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4.4: Clasificación de expresiones y ecuaciones - Matemáticas


Polinomios

Polinomios

Consideremos la colección de todas las expresiones algebraicas que no contienen variables en los denominadores de fracciones y donde todos los exponentes de las cantidades variables son números enteros. Las expresiones de esta colección se denominan polinomios.

Algunas expresiones que son los polinomios son

Ejemplo ( PageIndex {1} )

(3x ^ 4 )

Ejemplo ( PageIndex {2} )

( dfrac {2} {5} x ^ 2y ^ 6 )

Se produce una fracción, pero no aparece ninguna variable en el denominador.

Ejemplo ( PageIndex {3} )

(5x ^ 3 + 3x ^ 2-2x + 1 )

Algunas expresiones que no son los polinomios son

Ejemplo ( PageIndex {4} )

( dfrac {3} {x} -16 )

Aparece una variable en el denominador

Ejemplo ( PageIndex {5} )

(4x ^ 2 - 5x + x ^ {- 3} )

Aparece un exponente negativo en una variable

Clasificación de polinomios

Los polinomios se pueden clasificar utilizando dos criterios: el número de términos y el grado del polinomio.

Número de términosNombreEjemploComentario
UnoMonmial (4x ^ 2 )mononucleosis infecciosa significa "uno" en griego
DosBinomio (4x ^ 2 - 7x )bi significa "dos" en latín
TresTrinomio (4x ^ 2-7x + 3 )Tri significa "tres" en griego
Cuatro o masPolinomio (4x ^ 3-7x ^ 2 + 3x-1 )escuela politécnica significa "muchos" en griego

Grado de un término que contiene una variable

El grado de un término conteniendo solo uno variable es el valor del exponente de la variable. Los exponentes que aparecen en números no afectan el grado del término. Consideramos solo el exponente de la variable. Por ejemplo:

Ejemplo ( PageIndex {6} )

(5x ^ 3 ) es un monomio de grado (3 ).

Ejemplo ( PageIndex {7} )

(60a ^ 5 ) es un monomio de grado (5 ).

Ejemplo ( PageIndex {8} )

(21b ^ 2 ) es un monomio de grado (2 )

Ejemplo ( PageIndex {9} )

(8 ) es un monomio de grado 0. Decimos que un número distinto de cero es un término de (0 ) grado ya que podría escribirse como (8x ^ 0 ). Dado que (x ^ 0 = 1 (x not = 0) ), (8x ^ 0 = 8 ). El exponente de la variable es (0 ) por lo que debe ser de grado (0 ). (Por convención, el número (0 ) no tiene grado).

Ejemplo ( PageIndex {10} )

(4x ) es un monomio de primer grado. (4x ) podría escribirse como (4x ^ 1 ). El exponente de la variable es (1 ) por lo que debe ser de primer grado.

Grado de un término que contiene varias variables

El grado de un término que contiene más de una variable es el suma de los exponentes de las variables, como se muestra a continuación.

Ejemplo ( PageIndex {11} )

(4x ^ 2y ^ 5 ) es un monomio de grado (2 + 5 = 7 ). Este es un monomio de séptimo grado.

Ejemplo ( PageIndex {12} )

(37ab ^ 2c ^ 6d ^ 3 ) es un monomio de grado (1 + 2 + 6 + 3 = 12 ). Este es un monomio de grado 12.

Ejemplo ( PageIndex {13} )

(5xy ) es un monomio de grado (1 + 1 = 2 ). Este es un monomio de segundo grado.

Grado de un polinomio

El grado de un polinomio es el grado de término de más alto grado; por ejemplo:

Ejemplo ( PageIndex {14} )

(2x ^ 3 + 6x - 1 ) es un trinomio de grado (3 ). El primer término, (2x ^ 3 ), es el término del grado más alto. Por tanto, su grado es el grado del polinomio.

Ejemplo ( PageIndex {15} )

(7y -10y ^ 4 ) es un binomio de grado (4 ).

Ejemplo ( PageIndex {16} )

(a - 4 + 5a ^ 2 ) es un trinomio de grado (2 ).

Ejemplo ( PageIndex {17} )

(2x ^ 6 + 9x ^ 4 - x ^ 7 - 8x ^ 3 + x - 9 ) es un polinomio de grado (7 ).

Ejemplo ( PageIndex {18} )

(4x ^ 3y ^ 5 - 2xy ^ 3 ) es un binomio de grado (8 ). El grado del primer término es (8 ).

Ejemplo ( PageIndex {19} )

(3x + 10 ) es un binomio de grado (1 ).

Cúbico cuadrático lineal

Los polinomios de primer grado se llaman lineal polinomios.
Los polinomios de segundo grado se llaman cuadrático polinomios.
Los polinomios de tercer grado se llaman cúbico polinomios.
Los polinomios de cuarto grado se llaman cuarto grado polinomios.
Los polinomios de enésimo grado se llaman (n )grado polinomios.
Constantes distintas de cero son polinomios del grado.

A continuación se muestran algunos ejemplos de estos polinomios:

Ejemplo ( PageIndex {20} )

(4x - 9 ) es un polinomio lineal.

Ejemplo ( PageIndex {21} )

(3x ^ 2 + 5x - 7 ) es un polinomio cuadrático.

Ejemplo ( PageIndex {22} )

(8y - 2x ^ 3 ) es un polinomio cúbico

Ejemplo ( PageIndex {23} )

(16a ^ 2 - 32a ^ 5 - 64 ) es un polinomio de quinto grado.

Ejemplo ( PageIndex {24} )

(x ^ {12} - y ^ {12} ) es un polinomio de 12º grado.

Ejemplo ( PageIndex {25} )

(7x ^ 5y ^ 7z ^ 3 - 2x ^ 4y ^ 7z + x ^ 3y ^ 7 ) es un polinomio de 15 ° grado. El primer término es de grado (5 + 7 + 3 = 15 ).

Ejemplo ( PageIndex {26} )

(43 ) es un polinomio de grado 0.

Clasificación de ecuaciones polinomiales

Como sabemos, una ecuación se compone de dos expresiones algebraicas separadas por un signo igual. Si las dos expresiones resultan ser expresiones polinómicas, entonces podemos clasificar la ecuación según su grado. La clasificación de ecuaciones por grado es útil ya que las ecuaciones del mismo grado tienen el mismo tipo de gráfico. (Estudiaremos gráficas de ecuaciones en el capítulo 8.)

El grado de una ecuación es el grado de expresión del grado más alto.

Conjunto de muestra A

Ejemplo ( PageIndex {27} )

(x + 7 = 15 ).

Ésta es una ecuación lineal ya que es de grado 1, el grado de la expresión a la izquierda del signo "=".

Ejemplo ( PageIndex {28} )

(5x ^ 2 + 2x - 7 = 4 ) es una ecuación cuadrática ya que es de grado 2.

Ejemplo ( PageIndex {29} )

(9x ^ 3 - 8 = 5x ^ 2 + 1 )

Ejemplo ( PageIndex {30} )

(y ^ 4 - x ^ 4 = 0 ) es una ecuación de cuarto grado.

Ejemplo ( PageIndex {31} )

(a ^ 5 - 3a ^ 4 = -a ^ 3 + 6a ^ 4 - 7 ) es una ecuación de quinto grado.

Ejemplo ( PageIndex {32} )

(y = dfrac {2} {3} x + 3 ) es una ecuación lineal.

Ejemplo ( PageIndex {33} )

(y = 3x ^ 2 - 1 ) es una ecuación cuadrática.

Ejemplo ( PageIndex {34} )

(x ^ 2y ^ 2 - 4 = 0 ) ios una ecuación de cuarto grado. El grado de (x ^ 2y ^ 2 - 4 ) es (2 + 2 = 4 ).

Conjunto de práctica A

Clasifica las siguientes ecuaciones en función de su grado.

Problema de práctica ( PageIndex {1} )

(3x + 6 = 0 )

Respuesta

Primero, o lineal

Problema de práctica ( PageIndex {2} )

(9x ^ 2 + 5x - 6 = 3 )

Respuesta

Cuadrático

Problema de práctica ( PageIndex {3} )

(25y ^ 3 + y = 9y ^ 2 - 17y + 4 )

Respuesta

Cúbico

Problema de práctica ( PageIndex {4} )

(x = 9 )

Respuesta

Lineal

Problema de práctica ( PageIndex {5} )

(y = 2x + 1 )

Respuesta

Lineal

Problema de práctica ( PageIndex {6} )

(3y = 9x ^ 2 )

Respuesta

Cuadrático

Problema de práctica ( PageIndex {7} )

(x ^ 2 - 9 = 0 )

Respuesta

Cuadrático

Problema de práctica ( PageIndex {8} )

(y = x )

Respuesta

Lineal

Problema de práctica ( PageIndex {9} )

(5x ^ 7 = 3x ^ 5 - 2x ^ 8 + 11x - 9 )

Respuesta

octavo grado

Ejercicios

Para los siguientes problemas, clasifique cada polinomio como monomio, binomio o trinomio. Indique el grado de cada polinomio y escriba el coeficiente numérico de cada término.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

(5x + 7 )

Respuesta

binomio; primero (lineal); 5,7

Ejercicio ( PageIndex {2} )

(16x + 21 )

Ejercicio ( PageIndex {3} )

(4x ^ 2 + 9 )

Respuesta

binomio; segundo (cuadrático); 4,9

Ejercicio ( PageIndex {4} )

(7y ^ 3 + 8 )

Ejercicio ( PageIndex {5} )

(a ^ 4 + 1 )

Respuesta

binomio; cuatro; 1,1

Ejercicio ( PageIndex {6} )

(2b ^ 5 - 8 )

Ejercicio ( PageIndex {7} )

(5x )

Respuesta

monomio; primero (lineal); 5

Ejercicio ( PageIndex {8} )

(7a )

Ejercicio ( PageIndex {9} )

(5x ^ 3 + 2x + 3 )

Respuesta

trinomio; tercero (cúbico); 5,2,3

Ejercicio ( PageIndex {10} )

(17 años ^ 4 + y ^ 5 - 9 )

Ejercicio ( PageIndex {11} )

(41a ^ 3 + 22a ^ 2 + a )

Respuesta

trinomio; tercero (cúbico); 41,22,1

Ejercicio ( PageIndex {12} )

(6y ^ 2 + 9 )

Ejercicio ( PageIndex {13} )

(2c ^ 6 + 0 )

Respuesta

monomio; sexto; 2

Ejercicio ( PageIndex {14} )

(8x ^ 2 - 0 )

Ejercicio ( PageIndex {15} )

(9g )

Respuesta

monomio; primero (lineal); 9

Ejercicio ( PageIndex {16} )

(5xy + 3x )

Ejercicio ( PageIndex {17} )

(3yz - 6y + 11 )

Respuesta

trinomio; segundo (cuadrático); 3, −6,11

Ejercicio ( PageIndex {18} )

(7ab ^ 2c ^ 2 + 2a ^ 2b ^ 3c ^ 5 + a ^ {14} )

Ejercicio ( PageIndex {19} )

(x ^ 4y ^ 3z ^ 2 + 9z )

Respuesta

binomio; noveno; 1,9

Ejercicio ( PageIndex {20} )

(5a ^ 3b )

Ejercicio ( PageIndex {21} )

(6 + 3x ^ 2y ^ 5b )

Respuesta

binomio; octavo; 6,3

Ejercicio ( PageIndex {22} )

(- 9 + 3x ^ 2 + 2xy6z ^ 2 )

Ejercicio ( PageIndex {23} )

(5)

Respuesta

monomio; cero; 5

Ejercicio ( PageIndex {24} )

(3x ^ 2y ^ 0z ^ 4 + 12z ^ 3, y not = 0 )

Ejercicio ( PageIndex {25} )

(4xy ^ 3z ^ 5w ^ 0, w not = 0 )

Respuesta

monomio; noveno; 4

Clasifica cada una de las ecuaciones de los siguientes problemas por grado. Si se aplica el término lineal, cuadrático o cúbico, indíquelo.

Ejercicio ( PageIndex {26} )

(4x + 7 = 0 )

Ejercicio ( PageIndex {27} )

(3y - 15 = 9 )

Respuesta

lineal

Ejercicio ( PageIndex {28} )

(y = 5s + 6 )

Ejercicio ( PageIndex {29} )

(y = x ^ 2 + 2 )

Respuesta

cuadrático

Ejercicio ( PageIndex {30} )

(4y = 8x + 24 )

Ejercicio ( PageIndex {31} )

(9z = 12x - 18 )

Respuesta

lineal

Ejercicio ( PageIndex {32} )

(y ^ 2 + 3 = 2y - 6 )

Ejercicio ( PageIndex {33} )

(y - 5 + y ^ 3 = 3y ^ 2 + 2 )

Respuesta

cúbico

Ejercicio ( PageIndex {34} )

(x ^ 2 + x - 4 = 7x ^ 2 - 2x + 9 )

Ejercicio ( PageIndex {35} )

(2y + 5x - 3 + 4xy = 5xy + 2y )

Respuesta

cuadrático

Ejercicio ( PageIndex {36} )

(3x - 7y = 9 )

Ejercicio ( PageIndex {37} )

(8a + 2b = 4b - 8 )

Respuesta

lineal

Ejercicio ( PageIndex {38} )

(2x ^ 5 - 8x ^ 2 + 9x + 4 = 12x ^ 4 + 3x ^ 3 + 4x ^ 2 + 1 )

Ejercicio ( PageIndex {39} )

(x - y = 0 )

Respuesta

lineal

Ejercicio ( PageIndex {40} )

(x ^ 2 - 25 = 0 )

Ejercicio ( PageIndex {41} )

(x ^ 3-64 = 0 )

Respuesta

cúbico

Ejercicio ( PageIndex {42} )

(x ^ {12} - y ^ {12} = 0 )

Ejercicio ( PageIndex {43} )

(x + 3x ^ 5 = x + 2x ^ 5 )

Respuesta

quinto grado

Ejercicio ( PageIndex {44} )

(3x ^ 2 + 2x - 8y = 14 )

Ejercicio ( PageIndex {45} )

(10a ^ 2b ^ 3c ^ 6e ^ 4 + 27a ^ 3b ^ 2b ^ 4b ^ 3b ^ 2c ^ 5 = 1, d not = 0 )

Respuesta

19 ° grado

Ejercicio ( PageIndex {46} )

La expresión ( dfrac {4x ^ 3} {9x-7} ) no es un polinomio porque.

Ejercicio ( PageIndex {47} )

La expresión ( dfrac {a ^ 4} {7-a} ) no es un polinomio porque.

Respuesta

. hay una variable en el denominador

Ejercicio ( PageIndex {48} )

¿Toda expresión algebraica es una expresión polinomial? Si no es así, dé un ejemplo de una expresión algebraica que no sea una expresión polinomial.

Ejercicio ( PageIndex {49} )

¿Toda expresión polinomial es una expresión algebraica? Si no es así, dé un ejemplo de una expresión polinomial que no sea una expresión algebraica.

Respuesta

Ejercicio ( PageIndex {50} )

¿Cómo encontramos el grado de un término que contiene más de una variable?

Ejercicios de repaso

Ejercicio ( PageIndex {51} )

Usa la notación algebraica para escribir "once menos tres veces un número es cinco".

Respuesta

(11 - 3x = 5 )

Ejercicio ( PageIndex {52} )

Simplifica ((x ^ 4y ^ 2z ^ 3) ^ 5 ).

Ejercicio ( PageIndex {53} )

Encuentra el valor de (z ) es (z = dfrac {x-u} {s} ) y (x = 55, u = 49 ) y (s = 3 ).

Respuesta

(z = 2 ).

Ejercicio ( PageIndex {54} )

Enumere, si debe aparecer alguno, los factores comunes en la expresión (3x ^ 4 + 6x ^ 3 - 18x ^ 2 ).

Ejercicio ( PageIndex {55} )

Indique (escribiéndola) la relación que se expresa mediante la ecuación (y = 3x + 5 ).

Respuesta

El valor de (y ) es (5 ) más de tres veces el valor de (x ).