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12.2: Encontrar límites - Propiedades de los límites - Matemáticas


Considera el función racional

[f (x) = dfrac {x ^ 2−6x − 7} {x − 7} nonumber ]

La función se puede factorizar de la siguiente manera:

[f (x) = dfrac { cancel {(x − 7)} (x + 1)} { cancel {x − 7}} nonumber ]

que nos da

[f (x) = x + 1, x ≠ 7. sin número ]

¿Significa esto que la función (f (x) ) es la misma que la función (g (x) = x + 1? )

La respuesta es no. La función (f (x) ) no tiene (x = 7 ) en su dominio, pero (g (x) ) sí. Gráficamente, observamos que hay un agujero en la gráfica de (f (x) ) en (x = 7 ), como se muestra en la Figura y no hay tal agujero en la gráfica de (g (x) ), como se muestra en la Figura.

(izquierda) La gráfica de la función (f ) contiene una ruptura en (x = 7 ) y, por lo tanto, no es continua en (x = 7 ). (Derecha) La gráfica de la función (g ) es continua.

Entonces, ¿estas dos funciones diferentes también tienen límites diferentes cuando (x ) se acerca a 7? No necesariamente. Recuerde, al determinar un límite de una función cuando (x ) se acerca a (a ), lo que importa es si la salida se acerca a un número real cuando nos acercamos a (x = a ). La existencia de un límite no depende de lo que suceda cuando (x ) es igual a (a ).

Mire nuevamente la Figura y la Figura. Observe que en ambas gráficas, cuando (x ) se acerca a 7, los valores de salida se acercan a 8. Esto significa

[ lim limits_ {x to 7} f (x) = lim limits_ {x to 7} g (x). sin número ]

Recuerde que al determinar un límite, la preocupación es lo que ocurre cerca de (x = a ), no en (x = a ). En esta sección, utilizaremos una variedad de métodos, como reescribir funciones por factorización, para evaluar el límite. Estos métodos nos darán una verificación formal de lo que antes logramos por intuición.

Hallar el límite de una suma, una diferencia y un producto

Graficar una función o explorar una tabla de valores para determinar un límite puede resultar engorroso y llevar mucho tiempo. Cuando sea posible, es más eficiente utilizar el propiedades de los límites, que es una colección de teoremas para encontrar límites.

Conocer las propiedades de los límites nos permite calcular los límites directamente. Podemos sumar, restar, multiplicar y dividir los límites de funciones como si estuviéramos realizando las operaciones en las funciones mismas para encontrar el límite del resultado. De manera similar, podemos encontrar el límite de una función elevada a una potencia elevando el límite a esa potencia. También podemos encontrar el límite de la raíz de una función tomando la raíz del límite. Usando estas operaciones sobre límites, podemos encontrar los límites de funciones más complejas encontrando los límites de sus funciones componentes más simples.

propiedades de los límites

Sean (a, k, A, ) y (B ) números reales, y (f ) y (g ) sean funciones, tales que ( lim limits_ {x to a} f (x) = A ) y ( lim limits_ {x to a} g (x) = B. ) Para los límites que existen y son finitos, las propiedades de los límites se resumen en la Tabla

Constante, k ( lim limites_ {x to a} k = k )
Tiempos constantes de una función ( lim limites_ {x to a} [k⋅f (x)] = k lim limites_ {x to a} f (x) = kA )
Suma de funciones ( lim limites_ {x to a} [f (x) + g (x)] = lim limites_ {x to a} f (x) + lim limites_ {x to a} g ( x) = A + B )
Diferencia de funciones ( lim limits_ {x to a} [f (x) −g (x)] = lim limits_ {x to a} f (x) - lim limits_ {x to a} g (x) = A − B )
Producto de funciones ( lim limits _ {x to a} [f (x) ⋅g (x)] = lim limits _ {x to a} f (x) ⋅ lim limits_ {x to a } g (x) = A⋅B )
Cociente de funciones ( lim limits _ {x to a} frac {f (x)} {g (x)} = frac { lim limits _ {x to a} f (x)} { lim límites _ {x to a} g (x)} = frac {A} {B}, B ≠ 0 )
Función elevada a exponente ( lim limits _ {x to a} [f (x)] ^ n = [ lim limits _ {x to ∞} f (x)] ^ n = A ^ n ), donde (n ) es un número entero positivo
nortela raíz de una función, donde n es un número entero positivo ( lim limits _ {x to a} f (x) sqrt [n] {f (x)} = sqrt [n] { lim limits _ {x to a} [f (x )]} = sqrt [n] {A} )
Función polinómica ( lim límites _ {x to a} p (x) = p (a) )

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Evaluar el límite de una función algebraicamente

Evalúa [ lim limits _ {x to 3} (2x + 5). sin número ]

Solución

[ begin {align} lim limits _ {x to 3} (2x + 5) & = lim limits _ {x to 3} (2x) + lim limits _ {x to 3 } (5) && text {Propiedad de suma de funciones} & = 2 lim limits_ {x to 3} (x) + lim limits _ {x to 3} (5) && text { Constante multiplicada por una propiedad de función} & = 2 (3) +5 && text {Evaluar} & = 11 end {align} nonumber ]

Ejercicio ( PageIndex {1} ):

Evalúe el siguiente límite: [ lim limits_ {x to −12} (- 2x + 2). sin número ]

Solución

26

Encontrar el límite de un polinomio

No todas las funciones o sus límites implican una simple suma, resta o multiplicación. Algunos pueden incluir polinomios. Recuerde que un polinomio es una expresión que consta de la suma de dos o más términos, cada uno de los cuales consta de una constante y una variable elevada a una potencia integral no negativa. Para encontrar el límite de una función polinomial, podemos encontrar los límites de los términos individuales de la función y luego sumarlos. Además, el límite de una función polinomial cuando (x ) se acerca a (a ) es equivalente a simplemente evaluar la función para (a ).

cómo: Dada una función que contiene un polinomio, encuentra su límite

  1. Utilice las propiedades de los límites para dividir el polinomio en términos individuales.
  2. Encuentra los límites de los términos individuales.
  3. Suma los límites.
  4. Alternativamente, evalúe la función para (a ).

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Evaluar el límite de una función algebraicamente

Evalúa [ lim limits_ {x to 3} (5x ^ 2). sin número ]

Solución

[ begin {align} lim limits_ {x to 3} (5x ^ 2) & = 5 lim limits_ {x to 3} (x ^ 2) && text {Constante multiplicada por una propiedad de función} & = 5 (3 ^ 2) && text {Función elevada a una propiedad de exponente} & = 45 end {align} nonumber ]

Ejercicio ( PageIndex {1} ):

Evalúe [ lim limits_ {x to 4} (x ^ 3−5). sin número ]

Solución

59

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Evaluar el límite de un polinomio algebraicamente

Evalúa [ lim limits_ {x to 5} (2x ^ 3−3x + 1). sin número ]

Solución

[ begin {align} lim limits_ {x to 5} (2x ^ 3−3x + 1) & = lim limits_ {x to 5} (2x3) - lim limits_ {x to 5} (3x) + lim limits_ {x to 5} (1) && text {Suma de funciones} & = 2 lim limits_ {x to 5} (x ^ 3) −3 lim limits_ {x to 5} (x) + lim limits_ {x to 5} (1) && text {Constante multiplicada por una función} & = 2 (5 ^ 3) −3 (5) +1 && text {Función elevada a un exponente} & = 236 && text {Evaluar} end {align} nonumber ]

Ejercicio ( PageIndex {2} ):

Evalúe el siguiente límite: [ lim limits_ {x to −1} (x ^ 4−4x ^ 3 + 5). sin número ]

Solución

10

Encontrar el límite de una potencia o una raíz

Cuando un límite incluye una potencia o una raíz, necesitamos otra propiedad que nos ayude a evaluarla. El cuadrado del límite de una función es igual al límite del cuadrado de la función; lo mismo ocurre con los poderes superiores. Asimismo, la raíz cuadrada del límite de una función es igual al límite de la raíz cuadrada de la función; lo mismo ocurre con las raíces superiores.

Ejemplo ( PageIndex {3} ): evaluar un límite de una potencia

Evalúa [ lim limits_ {x to 2} (3x + 1) ^ 5. sin número ]

Solución

Tomaremos el límite de la función cuando (x ) se aproxime a 2 y elevaremos el resultado a 5th poder.

[ begin {align} lim limits_ {x to 2} (3x + 1) ^ 5 & = ( lim limits_ {x to 2} (3x + 1)) ^ 5 & = ( 3 (2) +1) ^ 5 & = 7 ^ 5 & = 16.807 end {align} nonumber ]

Ejercicio ( PageIndex {3} ):

Evalúe el siguiente límite: ( lim limits_ {x to −4} (10x + 36) ^ 3. )

Solución

−64

Preguntas y respuestas: si no podemos aplicar directamente las propiedades de un límite, por ejemplo en ( lim limits_ {x to 2} ( frac {x ^ 2 + 6x + 8} {x − 2}) ), ¿podemos todavía determinar el límite de la función cuando (x ) se acerca a (a )?

sí. Algunas funciones pueden reorganizarse algebraicamente para que se pueda evaluar el límite de una forma equivalente simplificada de la función.

Encontrar el límite de un cociente

Encontrar el límite de una función expresada como cociente puede ser más complicado. A menudo necesitamos reescribir la función algebraicamente antes de aplicar las propiedades de un límite. Si el denominador se evalúa como 0 cuando aplicamos las propiedades de un límite directamente, debemos reescribir el cociente en una forma diferente. Un enfoque consiste en escribir el cociente en forma factorizada y simplificar.

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Evaluar el límite de un cociente mediante factorización

Evalúa [ lim limits_ {x to 2} ( frac {x ^ 2−6x + 8} {x − 2}). sin número ]

Solución

Factoriza siempre que sea posible y simplifica.

[ begin {align} lim limits_ {x to 2} ( dfrac {x ^ 2−6x + 8} {x − 2}) & = lim limits_ {x to 2} ( dfrac {(x − 2) (x − 4)} {x − 2}) && text {Factoriza el numerador.} & = lim limits_ {x to 2} ( dfrac { cancel {(x −2)} (x − 4)} { cancel {x − 2}}) && text {Cancelar los factores comunes.} & = lim limits_ {x to 2} (x − 4) && text {Evaluar.} & = 2−4 = −2 end {align} nonumber ]

Análisis

Cuando el límite de una función racional no se puede evaluar directamente, las formas factorizadas del numerador y el denominador pueden simplificarse a un resultado que se puede evaluar.

Fíjate, la función

[f (x) = dfrac {x ^ 2−6x + 8} {x − 2} nonumber ]

es equivalente a la función

[f (x) = x − 4, x ≠ 2. sin número ]

Observe que el límite existe aunque la función no esté definida en (x = 2 ).

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Evalúe el siguiente límite: [ lim limits_ {x to 7} left ( dfrac {x ^ 2−11x + 28} {7 − x} right). sin número ]

Solución

(−3)

Ejemplo ( PageIndex {5} ): evaluar el límite de un cociente al encontrar el LCD

Evalúa [ lim limits_ {x to 5} left ( dfrac { frac {1} {x} - frac {1} {5}} {x − 5} right). sin número ]

Solución

Encuentre el MCD de los denominadores de los dos términos en el numerador y convierta ambas fracciones para que el MCD sea su denominador.

Análisis

Al determinar el límite de una función racional que tiene términos agregados o restados en el numerador o en el denominador, el primer paso es encontrar el denominador común de los términos agregados o restados; luego, convierta ambos términos para que tengan ese denominador, o simplifique la función racional multiplicando el numerador y el denominador por el mínimo común denominador. Luego, verifique si el numerador y el denominador resultantes tienen factores comunes.

Ejercicio ( PageIndex {5} ):

Evalúa [ lim limits_ {x to −5} left ( dfrac { frac {1} {5} + frac {1} {x}} {10 + 2x} right). sin número ]

Solución

(- frac {1} {50} )

cómo: Dado un límite de una función que contiene una raíz, use un conjugado para evaluar

  1. Si el cociente dado no está en forma indeterminada (( frac {0} {0}) ), evalúe directamente.
  2. De lo contrario, reescriba la suma (o diferencia) de dos cocientes como un cociente simple, usando el mínimo común denominador (LCD).
  3. Si el numerador incluye una raíz, racionalice el numerador; multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del numerador. Recuerda que (a ± sqrt {b} ) son conjugados.
  4. Simplificar.
  5. Evalúe el límite resultante.

Ejemplo ( PageIndex {6} ): evaluar un límite que contiene una raíz usando un conjugado

Evalúa [ lim limits_ {x to 0} left ( dfrac { sqrt {25 − x} −5} {x} right). sin número ]

Solución

[ begin {align} lim limits_ {x to 0} left ( dfrac { sqrt {25 − x} −5} {x} right) & = lim limits_ {x to 0 } left ( dfrac {( sqrt {25 − x} −5)} {x} ⋅ frac {( sqrt {25 − x} +5)} {( sqrt {25 − x} +5) } right) && text {Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado.} & = lim limits_ {x to 0} left ( dfrac {(25 − x) −25} {x ( sqrt {25 − x} +5)} right) && text {Multiplicar:} ( sqrt {25 − x} −5) ⋅ ( sqrt {25 − x} +5) = (25 − x) −25 . & = lim limits_ {x to 0} left ( dfrac {- cancel {x}} { cancel {x} (25 − x + 5)} right) && text {Combinar como términos.} & = lim limits_ {x to 0} left ( dfrac {- cancel {x}} { cancel {x} ( sqrt {25 − x} +5)} right ) && text {Simplificar} dfrac {−x} {x} = - 1. & = dfrac {−1} { sqrt {25−0} +5} && text {Evaluar.} & = dfrac {−1} {5 + 5} = - dfrac {1} {10} end {align} nonumber ]

Análisis

Al determinar un límite de una función con una raíz como uno de dos términos donde no podemos evaluar directamente, piense en multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado de los términos.

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Evalúe el siguiente límite: ( lim limits_ {h to 0} left ( dfrac { sqrt {16 − h} −4} {h} right) ).

Solución

(- frac {1} {8} )

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Evaluar el límite de un cociente de una función mediante factorización

Evalúa [ lim limits_ {x to 4} left ( frac {4 − x} { sqrt {x − 2}} right). sin número ]

Solución

[ begin {align} lim limits_ {x to 4} ( dfrac {4 − x} { sqrt {x} −2}) & = lim limits_ {x to 4} ( dfrac {(2+ sqrt {x}) (2 − x)} { sqrt {x} −2}) && text {Factor.} & = lim limits_ {x to 4} ( dfrac {(2+ sqrt {x}) ( cancel {2− sqrt {x}})} {- cancel {(2− sqrt {x})}}) && text {Factor −1 de el denominador. Simplifica.} & = lim limits_ {x a 4} - (2 + x) && text {Evaluar.} & = - (2+ sqrt {4}) & = - 4 end {align} nonumber ]

Análisis

Multiplicar por un conjugado expandiría el numerador; busque en su lugar factores en el numerador. Cuatro es un cuadrado perfecto, por lo que el numerador tiene la forma

[a ^ 2 − b ^ 2 nonumber ]

y puede factorizarse como

[(a + b) (a − b). sin número ]

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Evalúe el siguiente límite: [ lim limits_ {x to 3} left ( frac {x − 3} { sqrt {x} - sqrt {3}} right). sin número ]

Solución

(2 sqrt {3} )

cómo: dado un cociente con valores absolutos, evaluar su límite

  1. Intente factorizar o encontrar la pantalla LCD.
  2. Si el límite no se puede encontrar, elija varios valores cerca y en cada lado de la entrada donde la función no está definida.
  3. Utilice la evidencia numérica para estimar los límites en ambos lados.

Ejemplo ( PageIndex {8} ): evaluar el límite de un cociente con valores absolutos

Evalúa [ lim limits_ {x to 7} frac {| x − 7 |} {x − 7}. sin número ]

Solución

La función no está definida en (x = 7 ), así que probaremos valores cercanos a 7 desde la izquierda y la derecha.

Límite de la izquierda: [ frac {| 6.9−7 |} {6.9−7} = frac {| 6.99−7 |} {6.99−7} = frac {| 6.999−7 |} {6.999−7 } = - 1 nonumber ]

Límite de la derecha: [ frac {| 7.1−7 |} {7.1−7} = frac {| 7.01−7 |} {7.01−7} = frac {| 7.001−7 |} {7.001−7 } = 1 nonumber ]

Dado que los límites de la izquierda y la derecha no son iguales, no hay límite.

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Evalúa [ lim limits_ {x a 6 ^ +} frac {6 − x} {| x − 6 |}. sin número ]

Solución

Conceptos clave

  • Las propiedades de los límites se pueden utilizar para realizar operaciones en los límites de funciones en lugar de las funciones en sí mismas. Ver ejemplo.
  • El límite de una función polinomial se puede encontrar hallando la suma de los límites de los términos individuales. Ver ejemplo y ejemplo.
  • El límite de una función que se ha elevado a una potencia es igual a la misma potencia del límite de la función. Otro método es la sustitución directa. Ver ejemplo.
  • El límite de la raíz de una función es igual a la raíz correspondiente del límite de la función.
  • Una forma de encontrar el límite de una función expresada como cociente es escribir el cociente en forma factorizada y simplificar. Ver ejemplo.
  • Otro método para encontrar el límite de una fracción compleja es encontrar el LCD. Ver ejemplo.
  • Un límite que contiene una función que contiene una raíz se puede evaluar usando un conjugado. Ver ejemplo.
  • Los límites de algunas funciones expresadas como cocientes se pueden encontrar factorizando. Ver ejemplo.
  • Una forma de evaluar el límite de un cociente que contiene valores absolutos es utilizando evidencia numérica. Configurarlo por partes también puede ser útil. Ver ejemplo.

Glosario

propiedades de los límites
una colección de teoremas para encontrar límites de funciones realizando operaciones matemáticas en los límites


Ver el vídeo: Leyes y Propiedades de los Límites - Ejercicios Resueltos (Octubre 2021).