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10.4: Funciones de Bessel de orden general - Matemáticas


La relación de recurrencia para la función de Bessel de orden general ( pm nu ) ahora se puede resolver usando la función gamma,

[a_ {m} = - frac {1} {m (m pm 2 nu)} a_ {m-2} ]

tiene las soluciones ( (x> 0 ))

[ begin {alineado} J _ { nu} (x) & = sum_ {k = 0} ^ { infty} frac {(- 1) ^ {k}} {k! Gamma ( nu + k + 1)} left ( frac {x} {2} right) ^ { nu + 2k}, J _ {- nu} (x) & = sum_ {k = 0} ^ { infty} frac {(- 1) ^ {k}} {k! Gamma (- nu + k + 1)} left ( frac {x} {2} right) ^ {- nu + 2k }. end {alineado} ]

Por tanto, la solución general a la ecuación de Bessel de orden ( nu ) es

[y (x) = A J _ { nu} (x) + BJ _ {- nu} (x), ]

para cualquier valor no entero de ( nu ). Esto también se aplica a valores medio enteros (sin registros).


Ecuación diferencial de Bessel

se llama ecuación de Bessel. El número (v ) se llama el orden de la ecuación de Bessel.

La ecuación diferencial dada lleva el nombre del matemático y astrónomo alemán Friedrich Wilhelm Bessel, quien estudió esta ecuación en detalle y demostró (en (1824 )) que sus soluciones se expresan en términos de una clase especial de funciones llamadas funciones de cilindro o funciones de Bessel. .

La representación concreta de la solución general depende del número (v. ) Además, consideramos dos casos por separado:

Caso (1. ) El orden (v ) no es entero

Suponiendo que el número (v ) no es entero y es positivo, la solución general de la ecuación de Bessel se puede escribir como

donde (,) () son constantes arbitrarias y ( izquierda (x derecha), ) (> left (x right) ) son funciones de Bessel del primer tipo.

La función de Bessel se puede representar mediante una serie, cuyos términos se expresan mediante la llamada función Gamma:

La función Gamma es la generalización de la función factorial de enteros a todos los números reales. Tiene, en particular, las siguientes propiedades:

Las funciones de Bessel de orden negativo ( left (-v right) ) (asumiendo que (v gt 0 )) se escriben de forma similar:

Las funciones de Bessel se pueden calcular en la mayoría de los paquetes de software matemático, así como en MS Excel. Por ejemplo, las funciones de Bessel del (1 ) st tipo de órdenes (v = 0 ) a (v = 4 ) se muestran en la Figura (1. )

Caso (2. ) La Orden (v ) es un Entero

Si el orden (v ) de la ecuación diferencial de Bessel es un número entero, las funciones de Bessel ( left (x right) ) y (> left (x right) ) pueden volverse dependientes entre sí. En este caso, la solución general se describe mediante otra fórmula:

donde ( left (x right) ) es la función de Bessel de segundo tipo. A veces, esta familia de funciones también se denomina funciones de Neumann o funciones de Weber.

La función de Bessel del segundo tipo ( left (x right) ) se puede expresar en términos de las funciones de Bessel del primer tipo ( left (x right) ) y (> left (x right): )

Las gráficas de las funciones ( left (x right) ) para varios primeros órdenes (v ) se muestran en la Figura (2. )

En realidad, la solución general de la ecuación diferencial expresada en términos de funciones de Bessel de primer y segundo tipo también es válida para órdenes no enteros.

Algunas ecuaciones diferenciales reducibles a la ecuación de Bessel y # 8217s

  1. Una de las ecuaciones más conocidas ligadas a la ecuación diferencial de Bessel & # 8217s es la ecuación de Bessel & # 8217s modificada que se obtiene reemplazando (x ) con (ix. ) Esta ecuación tiene la forma:

Las funciones especiales de Bessel se utilizan ampliamente para resolver problemas de física teórica, por ejemplo, al investigar


Sobre la evaluación de integrales infinitas que involucran funciones de Bessel ☆

En este artículo consideramos el método numérico para calcular las infinitas integrales de Bessel altamente oscilatorias de la forma ∫ a ∞ f (x) C v (ω x) dx, donde C v (ω x) denota la función de Bessel J v (ω x) del primer tipo, Y v (ω x) del segundo tipo, H v (1) (ω x) y H v (2) (ω x) del tercer tipo, F es una función suave en [a, ∞), lim x → ∞ f (k) (x) = 0 (k = 0, 1, 2,…), ω es grande y a ⩾ 1 ω k con k ≤ 1. Construimos el método basándonos en aproximar F mediante una combinación del polinomio de Chebyshev desplazado de modo que los momentos generalizados se puedan evaluar de manera eficiente mediante la fórmula truncada de Whittaker W función. El método es muy eficaz para obtener aproximaciones de muy alta precisión si ω es suficientemente grande. Además, damos el error que depende del punto final "a”. Se proporcionan ejemplos numéricos para confirmar nuestros resultados.


Impulsar las bibliotecas de C ++

Estas funciones devuelven la primera derivada con respecto a X de la función de Bessel correspondiente.

El tipo de retorno de estas funciones se calcula utilizando el reglas de cálculo de tipo de resultado cuando T1 y T2 son tipos diferentes. Las funciones también están optimizadas para el caso relativamente común de que T1 es un número entero.

El argumento final de la política es opcional y se puede usar para controlar el comportamiento de la función: cómo maneja los errores, qué nivel de precisión usar, etc. Consulte la documentación de la política para obtener más detalles.

Las funciones devuelven el resultado de domain_error siempre que el resultado sea indefinido o complejo.

Pruebas

Hay dos conjuntos de valores de prueba: valores puntuales calculados usando wolframalpha.com, y un conjunto mucho más grande de pruebas calculadas usando una relación con las funciones de Bessel subyacentes que la implementación no usa.

Exactitud

La precisión de estas funciones es muy similar a las funciones de Bessel subyacentes. Consulte esas funciones para obtener más información.


Métodos multipolares

4.2.2.1 Determinación de coeficientes de expansión

Ya que ψen(r) es una función regular dentro de una esfera de radio b & gt a concéntrico con el dispersor, esta función se puede ampliar en la siguiente serie sobre r = r0:

donde los coeficientes E n m dependen del campo incidente. Por ejemplo, para una onda plana de intensidad compleja ψen(r0) = Q, según Eq. (2.3.6), tenemos

donde los ángulos polares esféricos θk y φk caracterizar la dirección de la onda plana (ver relación (2.3.4)). En el caso, cuando la onda incidente es generada por una fuente de intensidad Q situado en r = rs, |rsr0| ≥ B, tenemos de la expansión (3.2.2):

No es difícil construir la expansión local del campo incidente generado por una fuente multipolar arbitraria o una suma de fuentes multipolares y ondas planas provenientes de diferentes direcciones.

Dado que el campo disperso es una función radiante, lo construimos en forma de una suma de funciones de base esféricas singulares:

donde los coeficientes de expansión A n m deben determinarse a partir de las condiciones de contorno.

Usando definiciones de las funciones de base esférica (2.1.101) y (2.1.102), el potencial total se puede representar como

Para satisfacer la condición de frontera (4.2.2) en |rr0| = a, tenemos que tener

donde s = (rr0)/un. Debido a la ortogonalidad y la completitud de los armónicos esféricos, cada término de esta suma debe ser cero. Esto determina A n m como

En los casos particulares de superficies sólidas y suaves para el sonido, tenemos

También podemos ver que estos casos límite se realizan para σ ≪ k y σ ≫ k, respectivamente. Esto introduce la escala y define σ "pequeña" y "grande".

En cualquier caso, las ecuaciones anteriores muestran que los coeficientes del campo disperso son proporcionales a los coeficientes del campo incidente, y el coeficiente de proporcionalidad depende solo del grado de las funciones esféricas norte. En un problema más general de dispersión de un cuerpo de forma arbitraria, la solución para el campo disperso en la región fuera de una esfera que rodea al dispersor se puede representar en la forma (4.2.6) (ver también la ecuación (2.3.37) )). En el caso general, los coeficientes de expansión están relacionados con los coeficientes del campo incidente de forma lineal, debido a la linealidad de la ecuación de Helmholtz y las condiciones de contorno. Por tanto, podemos escribir

donde T n n ′ m m ′ son elementos de la matriz T, que a veces se llama Matriz en T. Esta matriz depende del tamaño y la forma del objeto, número de onda, ky admitancia (o impedancia) del esparcidor. Como podemos ver en las expresiones (4.2.9) y (4.2.11) en el caso de la esfera, esta matriz es diagonal:


Descripción del curso

MTH 101 - El arte del pensamiento matemático (3 horas)
Gen. Ed. MAMÁ
Core Curr. QR
Grandes ideas en matemáticas, resolución de problemas, aplicaciones contemporáneas.

MTH 105 - Matemáticas finitas (3 horas)
Temas de la matemática finita: conjuntos, matrices, sistemas de ecuaciones lineales, programación lineal, probabilidad elemental, procesos multietapa y cadenas de Markov.

MTH 109 - Álgebra universitaria (3 horas)
Para estudiantes que necesitan fortalecer sus habilidades de álgebra: factorización de polinomios, resolución de ecuaciones cuadráticas y otras, exponentes, logaritmos y gráficas. Requisito previo: La puntuación del examen de ubicación de matemáticas es de al menos 46.

MTH 111 - Estadísticas elementales (3 horas)
Gen. Ed. MAMÁ
Core Curr. QR
Probabilidad, estadística descriptiva, modelos estadísticos, correlación y regresión, testeo de hipótesis, límites de confianza y aplicaciones seleccionadas.

MTH 112 - Precálculo (4 horas)
Para estudiantes que necesitan más formación en matemáticas antes de matricularse en cálculo (especialmente MTH 121). Estudio exhaustivo de funciones algebraicas, trascendentales y trigonométricas, énfasis en la representación gráfica y el uso del álgebra. Requisito previo: Calificación de C o mejor en MTH 109 o el puntaje del examen de colocación de matemáticas es de al menos 61.

MTH 114 - Matemática finita aplicada (3 horas)
Core Curr. QR, QR
Un estudio de las técnicas matemáticas más comunes utilizadas en los negocios. Los temas incluyen: funciones lineales, funciones no lineales (polinomios, exponenciales, logaritmos), sistemas de ecuaciones lineales, programación lineal, conjuntos y probabilidad, introducción a la estadística básica. Requisito previo: Calificación de C o mejor en MTH 109 o 112 o la calificación del examen de colocación de matemáticas es de al menos 61.

MTH 115 - Cálculo breve con aplicaciones I (4 horas)
Gen. Ed. MAMÁ
Core Curr. QR, QR
Cálculo diferencial e integral con énfasis en la comprensión mediante gráficas. Temas de geometría analítica, límites, derivadas, antiderivadas, integrales definidas, funciones exponenciales y logarítmicas y derivadas parciales. Requisito previo: Calificación de C o mejor en MTH 109 o 112 o la calificación del examen de colocación de matemáticas es de al menos 61.

MTH 116 - Cálculo breve con aplicaciones II (3 horas)
Gen. Ed. MAMÁ
Core Curr. QR
Continuación de MTH 115. Incluye funciones trigonométricas, técnicas de integración, series, ecuaciones diferenciales y cálculo multivariable. Requisito previo: C o mejor en MTH 115.

MTH 118 - Cálculo con repaso A (4 horas)
Temas de geometría analítica, límites, continuidad, derivada y revisión de álgebra pertinente. Requisito previo: La suma del puntaje ACT de matemáticas y el puntaje del examen de colocación de matemáticas es de al menos 45

MTH 119 - Cálculo con revisión B (4 horas)
Gen. Ed. MAMÁ
Core Curr. QR
Continuación de MTH 118. Temas de geometría analítica, integral definida, teorema fundamental de cálculo y revisión de álgebra pertinente. Requisito previo: calificación de C o mejor en MTH 118.

MTH 120 - Matemáticas discretas (3 horas)
Introducción a la teoría de grafos, álgebra de Boole, inducción matemática y combinatoria elemental. Requisito previo: Calificación de C o mejor en MTH 112 o la calificación del examen de colocación de matemáticas es de al menos 68.

MTH 121 - Cálculo I (4 horas)
Gen. Ed. MAMÁ
Core Curr. QR, QR
Los temas de geometría analítica limitan la introducción de la diferenciación de continuidad a las aplicaciones de integración. Requisito previo: Calificación de C o mejor en MTH 112 o la calificación del examen de colocación de matemáticas es de al menos 76.

MTH 122 - Cálculo II (4 horas)
Gen. Ed. MAMÁ
Core Curr. QR
Temas en cálculo de funciones logarítmicas, exponenciales y trigonométricas técnicas de integración geometría analítica formas indeterminadas integrales impropias series infinitas. Requisito previo: Calificación de C o mejor en MTH 119 o MTH 121 o su equivalente.

MTH 190 - Temas de matemáticas para profesores de secundaria (3 horas)
Temas para maestros de matemáticas de secundaria que pueden variar cada vez que se ofrece un curso, rotando entre: geometría analítica, resolución de problemas, programación lineal. Puede repetirse bajo diferentes temas por un máximo de 6 horas de crédito. Requisito previo: C o mejor en MTH111 y C o mejor en uno de MTH115, 119 o 121 y permiso del Presidente.

MTH 207 - Álgebra lineal elemental con aplicaciones (3 horas)
Álgebra de matrices, determinantes, teoría de ecuaciones simultáneas, espacios vectoriales, bases, ortogonalización de Gram-Schmidt, autovalores, autovectores, transformaciones y aplicaciones. Requisito previo: MTH 122 o consentimiento del instructor.

MTH 223 - Cálculo III (4 horas)
Gen. Ed. MAMÁ
Core Curr. QR
Temas en cálculo de vectores de funciones de varias variables cálculo de vectores de integrales múltiples. Requisito previo: calificación de C o mejor en MTH 122.

MTH 224 - Ecuaciones diferenciales elementales (3 horas)
Solución de ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes Laplace transforma métodos de series de potencia métodos numéricos modelado de aplicaciones. Requisito previo: MTH 223

MTH 300 - Temas para profesores de matemáticas de secundaria (3 horas)
Temas de especial interés que pueden variar cada vez que se ofrece el curso, rotando entre geometría, álgebra / teoría de números y resolución de problemas. Se proporcionarán motivaciones históricas dentro de cada tema. Para los maestros de escuela intermedia, la certificación no cuenta para una especialización en matemáticas o una especialización en matemáticas. Puede repetirse bajo diferentes temas por un máximo de 9 horas de crédito. Prerrequisito: C o mejor en MTH 111 y C o mejor en uno de MTH 115, 119 o 121 y permiso del Presidente.

MTH 301 - Combinatoria (3 horas)
Análisis combinatorio, relaciones de recurrencia, funciones generadoras y máquinas de estados finitos. Requisito previo: MTH 120, 122 o MTH 223.

MTH 302 - Introducción a la teoría de grafos (3 horas)
Teoría y aplicaciones de gráficos, incluidas motivaciones históricas. Propiedades fundamentales de gráficos, circuitos, ciclos, árboles y algoritmos de gráficos, planaridad y coloración. Requisito previo: MTH 120, 122 o MTH 223.

MTH 305 - Geometría moderna (3 horas)
Introducción a las propiedades de los sistemas de axiomas formales. Estudio de geometrías euclidianas y no euclidianas, incluidas motivaciones históricas. Los temas se explorarán utilizando un software dinámico apropiado. Requisito previo: MTH 223.

MTH 307 - Álgebra lineal (3 horas)
Espacios vectoriales, transformaciones lineales, espacios de productos internos, formas canónicas de Jordan, teoremas espectrales y temas seleccionados. Requisito previo: MTH 207.

MTH 310 - Introducción a la teoría de números (3 horas)
Desarrollo histórico de los números primos de la teoría de números y su distribución divisibilidad factorización única de congruencias enteras Ecuaciones diofánticas funciones teóricas de números. Requisito previo: MTH 223.

MTH 325 - Probabilidad y estadística I (3 horas)
Un tratamiento de nivel superior de los conceptos fundamentales en la teoría de la probabilidad y la estadística: variables aleatorias discretas y continuas, distribuciones de probabilidad particulares de cada tipo, distribuciones de probabilidad multivariadas, probabilidades condicionales y marginales, funciones generadoras de momentos, teorema del límite central. Requisito previo: MTH 223

MTH 326 - Probabilidad y estadística II (3 horas)
Una continuación de MTH 325 que se centra en la inferencia estadística mediante intervalos de confianza, pruebas de hipótesis, modelos de regresión de mínimos cuadrados y análisis de varianza. Los conceptos clave también incluyen: medidas de bondad para estimadores puntuales, estimadores insesgados de mínima varianza, pruebas uniformemente más poderosas, estimadores de máxima verosimilitud. Requisito previo: MTH 325

MTH 335 - Temas en ciencia actuarial (3 horas)
Los temas pueden variar cada vez que se ofrece el curso, rotando entre interés compuesto, matemáticas de contingencias de vida y matemáticas actuariales. Algunos temas coincidirán con los de los exámenes actuariales. Puede repetirse bajo diferentes temas por un máximo de 9 horas de crédito. Requisito previo: MTH 207, MTH 223 o consentimiento del instructor.

MTH 345 - Ecuaciones diferenciales (3 horas)
Métodos de solución de teoremas de existencia y unicidad para problemas de valores iniciales y de frontera ecuaciones en diferencias de la teoría de la estabilidad de sistemas lineales y no lineales. Requisito previo: MTH 207, 223 o consentimiento del instructor.

MTH 371 - Historia de las Matemáticas (3 horas)
Un estudio del desarrollo histórico de las matemáticas desde la antigüedad hasta el siglo XX. Se hará hincapié en las interrelaciones entre las diversas áreas de las matemáticas, así como el contenido matemático en sí. Requisito previo: MTH 207 y 3 horas semestrales de cursos numerados MTH 301 o superior o consentimiento del instructor.

MTH 390 - Modelado matemático (3 horas)
Introducción a la construcción y evaluación de modelos matemáticos para describir y analizar fenómenos del mundo real. Modelos continuos y / o discretos. Requisito previo: MTH 223 consentimiento del instructor.

MTH 403 - Variables complejas I (3 horas)
Introducción al cálculo complejo: funciones elementales, integración, fórmula de Cauchy, teoría de residuos y aplicaciones. Requisito previo: MTH 207, 223 o MTH 224.

MTH 404 - Álgebra moderna I (3 horas)
Teoría básica de conjuntos, números enteros y mapeos propiedades elementales de grupos, anillos y campos. Requisito previo: MTH 207, 223.

MTH 405 - Álgebra moderna II (3 horas)
Temas seleccionados de teoría de anillos, teoría de campo y aplicaciones. Requisito previo: MTH 404.

MTH 406 - Topología elemental (3 horas)
Introducción a los rudimentos de la topología de conjuntos de puntos. Conceptos de compacidad, conectividad y continuidad, en el contexto de espacios topológicos generales y espacios métricos. Requisito previo: MTH 207, 223 o consentimiento del instructor

MTH 410 - Métodos numéricos I (3 horas)
Introducción a los aspectos numéricos y computacionales de diversos temas matemáticos: precisión finita, soluciones de ecuaciones no lineales, interpolación, aproximación, sistemas lineales de ecuaciones e integración. Requisito previo: CS 100 o 101 MTH 207 y 223.

MTH 411 - Métodos numéricos II (3 horas)
Continuación de MTH 410: nuevas técnicas de integración, ecuaciones diferenciales ordinarias, álgebra lineal numérica, sistemas de ecuaciones no lineales, problemas de valores de frontera y optimización. Requisito previo: MTH 224 o 345 MTH 410.

MTH 414 - Ecuaciones diferenciales parciales (3 horas)
Series de Fourier y aplicaciones a soluciones de ecuaciones diferenciales parciales. Separación de variables, expansiones de funciones propias, funciones de Bessel, funciones de Green, transformadas de Fourier y Laplace. Se otorgará crédito por solo uno de los MTH 414, MTH 514. Requisito previo: MTH 224 o MTH 345

MTH 420 - Introducción al análisis (3 horas)
Sistema de números reales y funciones de variables reales: sucesiones, límites, continuidad, diferenciación, serie, convergencia uniforme e integral de Riemann-Stieltjes. Requisito previo: MTH 207, 223.

MTH 421 - Cálculo avanzado (3 horas)
Funciones de varias variables. Cálculo de transformaciones, teoremas de función implícita e inversa, integrales de línea y superficie, análisis de Fourier, teoremas de punto fijo y aplicaciones. Requisito previo: MTH 420 o consentimiento del instructor.

MTH 427 - Métodos estadísticos aplicados (3 horas)
Análisis de regresión, análisis de series de tiempo y pronóstico Prerrequisito: MTH325 MTH326 o consentimiento del instructor.

MTH 428 - Temas de estadística aplicada (3 horas)
Una continuación de Math 427 para incluir más estudios en estadística, como estadísticas bayesianas, computación estadística o métodos multivariados. Puede repetirse bajo diferentes temas por un máximo de 6 horas de crédito. Requisito previo: Matemáticas 325 Matemáticas 326 o consentimiento del instructor.

MTH 435 - Procesos estocásticos (3 horas)
Probabilidad y expectativa condicional, modelos de probabilidad, cadenas de Markov, proceso de Poisson, teoría de la renovación, procesos de movimiento browniano. Requisito previo: MTH 325 y MTH 207

MTH 490 - Temas de Matemáticas (3 horas)
Temas de especial interés que pueden variar cada vez que se ofrece el curso. Tema establecido en el horario actual de clases. Requisito previo: consentimiento del instructor.

MTH 491 - Estudios individuales dirigidos en matemáticas (1-16 horas)
Trabajo individual en áreas especiales de matemáticas para estudiantes de pregrado avanzados y calificados. Puede registrarse por más de 6 hrs. crédito solo si está inscrito en un programa especial aprobado fuera del campus. Requisito previo: consentimiento del Jefe de Departamento.

MTH 494 - Proyecto Senior en Matemáticas I (0 horas)
Temas de matemáticas seleccionados, estudiados y discutidos por los estudiantes bajo la guía del profesorado. Cada estudiante explora un área de las matemáticas y selecciona un tema en el que tiene un interés particular. Prerrequisito: categoría senior (categoría junior con consentimiento del instructor).

MTH 495 - Proyecto Senior en Matemáticas II (3 horas)
Core Curr. EL, WI
Un estudiante estudia un tema seleccionado en matemáticas bajo la guía de un profesor. Cada estudiante escribe un artículo y hace una presentación sobre su tema. Requisito previo: MTH 494 de alto nivel.

MTH 501 - Temas de Matemática Aplicada I (3 horas)
Teoría, aplicaciones y algoritmos para problemas básicos de la matemática aplicada moderna. Sistemas lineales simétricos, principios mínimos, ecuaciones de equilibrio, cálculo de variaciones, expansiones ortogonales y variables complejas. Requisito previo: MTH 224 o 345.

MTH 502 - Temas de Matemática Aplicada II (3 horas)
Continuación de MTH 501. Algoritmos numéricos seleccionados: transformada rápida de Fourier, problemas de valor inicial, estabilidad, transformadas z y programación lineal. Requisito previo: MTH 501 o consentimiento del instructor.

MTH 510 - Métodos numéricos I (3 horas)
Introducción a los aspectos numéricos y computacionales de diversos temas matemáticos: precisión finita, soluciones de ecuaciones no lineales, interpolación, aproximación, sistemas lineales de ecuaciones e integración. Listado cruzado como CS 510. Requisito previo: CS 101 MTH 207 y 223.

MTH 511 - Métodos numéricos II (3 horas)
Continuación de CS / MTH 510: técnicas adicionales de integración, ecuaciones diferenciales ordinarias, álgebra lineal numérica, sistemas de ecuaciones no lineales, problemas de valores de frontera y optimización. Listado en cruz como CS 511. Requisito previo: MTH 224 o 345 CS / MTH 510.

MTH 514 - Ecuaciones diferenciales parciales (3 horas)
Series de Fourier y aplicaciones a soluciones de ecuaciones diferenciales parciales. Separación de variables, expansiones de funciones propias, funciones de Bessel, funciones de Green, transformadas de Fourier y Laplace. Requisito previo: MTH 224 o 345.


10.4: Funciones de Bessel de orden general - Matemáticas

Aquí voy a ver una forma más física de ver las funciones de Bessel. Las funciones de Bessel ocurren a menudo en el estudio de problemas con simetría cilíndrica. Entonces, cuando vea simetría cilíndrica, piense en `` funciones de Bessel '', simetría esférica, piense en `` polinomios de Legendre '' y cuando vea cartesianos, piense en `` seno y coseno ''.

Supongamos que queremos resolver en coordenadas cilíndricas. Escribir . Esta sustitución, a la separación de variables, conduce a las ecuaciones

La última ecuación es solo bidimensional, diferente del original utilizado anteriormente, que es tridimensional. Eqn. (2) a menudo se denomina ecuación de Helmoltz. Para solucionarlo podríamos utilizar dos métodos. El primero es separar las variables en coordenadas polares. Esto da

que tiene soluciones donde n es un número entero. Esto es lo mismo que la ecuación del capítulo 13 de Boas (5.6). La ecuación para R, Boas (5.7) es

Nos gustaría saber cómo resolver esta ecuación, que está estrechamente relacionada con la ecuación de Bessel. No sabemos cómo resolverlo, así que tenemos dos opciones. Una es hacer una expansión de la serie de potencias como se hace en el capítulo 12 de Boas. En su lugar, podemos retroceder hasta la ecuación. (2) y resolverlo en coordenadas cartesianas. Haciendo nuevamente la separación de variables con, obtenemos

con como condición en las dos constantes y que se obtiene cuando se pasa por la separación de variables. Entonces, F (x, y) se puede escribir en una forma bastante agradable:

Entonces la solución general se puede escribir

La interpretación física de esto es la siguiente. es una onda plana que viaja en la dirección. Su magnitud está restringida a K. Entonces, la solución general para eqn. (2) es la suma de ondas planas, todas con la misma longitud de onda (o vector de onda), viajando en cualquier dirección arbitraria. El coeficiente indica la amplitud y la fase de una onda que viaja en la dirección de.

Dado que existe un rango continuo de ángulos en los que podría entrar la onda, deberíamos escribir eqn. (7) como una integral sobre todos los ángulos posibles. Entonces, escribiendo y podemos reescribir eqn. (7) como

Aquí está el ángulo que apunta con respecto al eje x. Dejando y notando que el integrando es periódico, podemos reescribirlo como

Ésta es la solución general de la ecuación bidimensional de Helmoltz.

Ahora, ¿cómo relacionamos esto con la ecuación? (4) arriba? Esto se obtuvo diciendo que queríamos una solución especial que pareciera

Por eso buscamos soluciones para eqn. (9) que son de esta forma. Es decir, tenemos que buscar lo apropiado. ¡No es imposible ver que funciona! Esto da

Bueno, esto de hecho parece haber separado los componentes r y en la forma deseada. Entonces, comparando con eqn. (10) vemos que

Esta integral se definirá como igual a una función especial. Lo llamaremos. El es solo un factor de normalización de plagas que debemos incluir, pero es bastante poco interesante. La gran noticia es la cuestión. Esto se llama una `` función de Bessel de primer tipo y orden n ''. La integral anterior es una representación integral de esa función. Y esto por construcción es una solución a eqn. (4). Hay una forma estrechamente relacionada con la integral anterior. Dejar . Luego

En resumen, las funciones de Bessel pueden considerarse como la suma de ondas planas bidimensionales que van en todas las direcciones posibles.
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Un estudio de los enfoques de cálculo fraccional para las soluciones de la ecuación diferencial de Bessel de orden general

En un número notablemente grande de trabajos recientes, se puede encontrar el énfasis en (y demostraciones de) la utilidad de los operadores de cálculo fraccional en la derivación de soluciones particulares (explícitas) de familias significativamente generales de ecuaciones diferenciales lineales ordinarias y parciales del segundo y órdenes superiores. El objetivo principal de esta presentación es examinar algunas investigaciones anteriores de este enfoque simple de cálculo fraccional para las soluciones de la ecuación diferencial clásica de Bessel de orden general y mostrar cómo conduciría naturalmente a varias consecuencias interesantes que incluyen (por ejemplo) una derivación alternativa de las soluciones de series de potencia completas que se obtienen normalmente mediante el método de Frobenius. El análisis subyacente que se presenta aquí se basa principalmente en algunos de los teoremas generales sobre soluciones particulares (explícitas) de una cierta familia de ecuaciones integrales diferenciales fraccionarias ordinarias lineales con coeficientes polinomiales.


Contenido

CAPITULO l. Figuras convexas 1

1. Figuras planas convexas 1
2. Intersecciones y particiones de figuras planas convexas 5
3. Líneas de apoyo para figuras convexas bidimensionales 8
4. Curvas convexas dirigidas y líneas de apoyo dirigidas 10
5. Vectores normales externos a figuras planas convexas 13
6. Circuito de una longitud de polígono de una curva convexa 14
7. Sólidos convexos 17
8. Planos de apoyo y normales externas para sólidos convexos 20
9. Conos de proyección central 23
10. Figuras esféricas convexas 26
11. Mayor y menor anchura de figuras convexas 28
12. Óvalos de ancho constante Teorema 34 de Barbier

CAPÍTULO 2. Figuras convexas simétricas centrales 39

13. Simetría central y traslación (paralela) 39
14. Partición de poliedros simétricos centrales 42
15. La mayor figura convexa simétrica central en una red de números enteros Teorema de Minkowski 44
16. Llenar el plano y el espacio con figuras convexas 51

CAPÍTULO 3. Redes y poliedros convexos 58

17. Vértices (nodos), caras (regiones) y aristas (líneas) Teorema de Euler 58
18. Prueba del teorema para redes conectadas 61
19. Desigualdades de las redes desconectadas 64
20. Poliedros congruentes y simétricos Teorema de Cauchy 66
21. Prueba del teorema de Cauchy 71
22. Corrección de Steinitz de la prueba de Cauchy 73
23. Teorema de Steinitz de poliedros abstractos y convexos 81
24. Desarrollo de un poliedro convexo Teorema de Aleksandrov 95

CAPÍTULO 4. Sistemas lineales de figuras convexas 97

25. Operaciones lineales sobre puntos

26. Operaciones lineales sobre figuras "mezclando" figuras

27. Sistemas lineales de polígonos convexos, áreas y "áreas mixtas"
28. Aplicaciones
29. Desigualdad de Schwarz otras desigualdades
30. Relación entre las áreas de Q, Q_ <1> y Q_, la desigualdad de Brunn-Minkowski
31. Relación entre áreas de secciones planas de sólidos convexos
32. Teoremas del área más grande

CAPÍTULO 5. Teoremas de Minkowski y Aleksandrov para poliedros convexos congruentes 132

33. Formulación de los teoremas 132
34. Un teorema sobre polígonos convexos 134
35. Polígonos y poliedros medios 141
36. Prueba del teorema de Aleksandrov 146

37. Definición precisa de una figura convexa 150
38. Cartografía y funciones continuas 152
39. Redes regulares poliedros regulares y semirregulares 153
40. El problema isoperimétrico 164
41. Acordes de continuos arbitrarios Teorema de Levi 166
42. Cifras en una red de números enteros Teorema 172 de Blichfeldt
43. Teoremas topológicos de Lebesgue y Bol’-Brouwer 175
44. Generalización en n dimensiones 182
45. Figuras convexas en espacios normativos 185


Cálculo fraccional de la función de Lommel-Wright generalizada y su transformada Beta extendida

En este trabajo, aplicamos operadores diferenciales e integrales fraccionales de Saigo generalizados que tienen la función hipergeométrica $ k $ como núcleo, a la función extendida de Lommel-Wright. Los resultados se comunican en forma de la función k-Wright y se utilizan para calcular la transformación beta. La novedad y la generalización de los resultados obtenidos se muestran relacionándolos con la literatura existente como casos especiales.

Citación: Saima Naheed, Shahid Mubeen, Thabet Abdeljawad. Cálculo fraccional de la función de Lommel-Wright generalizada y su transformada Beta extendida [J]. AIMS Matemáticas, 2021, 6 (8): 8276-8293. doi: 10.3934 / math.2021479

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En este trabajo, aplicamos operadores diferenciales fraccionales e integrales de Saigo generalizados que tienen la función hipergeométrica $ k $ como núcleo, a la función extendida de Lommel-Wright. Los resultados se comunican en forma de la función k-Wright y se utilizan para calcular la transformación beta. La novedad y la generalización de los resultados obtenidos se muestran relacionándolos con la literatura existente como casos especiales.


Ver el vídeo: Bessel Function of the 2nd Kind. 2nd solution of Bessels Equation (Octubre 2021).