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3.1: Rectas tangentes - Matemáticas


Todo el mundo sabe que la Tierra no es plana, pero en la zona, p.ej. en tu vecindad inmediata, ¿no es la Tierra? efectivamente ¿plano? En otras palabras, "plano" es una aproximación bastante buena de la superficie de la Tierra "cerca" de usted, y simplifica las cosas lo suficiente como para que pueda hacer algunas cosas útiles.

Esta idea de aproximar formas curvas mediante formas rectas es un tema frecuente en cálculo. Recuerde del capítulo 1 que, según la propiedad de micro rectitud, una curva diferenciable (y = f (x) ) en realidad es una línea recta sobre un intervalo infinitesimal, que tiene pendiente ( dydx ). La extensión de esa línea a todos los valores de (x ) se llama linea tangente:

La figura [fig: línea tangente] de la derecha muestra la línea tangente a una curva (y = f (x) ) en un punto (P ). Si mirase la curva cerca de (P ) con un microscopio, se vería casi idéntica a su línea tangente a través de (P ). ¿Por qué esta línea, de todas las líneas posibles que pasan por (P ), es una aproximación tan buena de la curva cerca de (P )? Es porque en el punto (P ) tanto la recta tangente como la curva tienen la la misma tasa de cambio, a saber, (f '(a) ). Entonces, los valores de la curva y los valores de la línea cambian aproximadamente en la misma cantidad, ligeramente alejados de (P ) (donde la línea y la curva tienen el mismo valor), haciendo que sus valores sean casi iguales.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): tangentline1

Agrega texto aquí.

Solución

Encuentra la recta tangente a la curva (y = x ^ 2 ) en (x = 1 ).

Solución: Por fórmula ([eqn: tangentline]), la ecuación de la tangente es

[y ~ - ~ f (a) ~ = ~ f '(a) cdot (x - a) ] con (a = 1 ) y (f (x) = x ^ 2 ). Entonces (f (a) = f (1) = 1 ^ 2 = 1 ). Tanto la curva (y = x ^ 2 ) como la recta tangente pasan por el punto ((1, f (1)) = (1,1) ). La derivada de (f (x) = x ^ 2 ) es (f '(x) = 2x ), entonces (f' (a) = f '(1) = 2 (1) = 2 ), que es la pendiente de la recta tangente en ((1,1) ). Por tanto, la ecuación de la recta tangente es (y - 1 = 2 (x - 1) ), o (en forma pendiente-intersección) (y = 2x - 1 ).

La curva y la línea tangente se muestran en la Figura [fig: tangentline1]. Cerca del punto ((1,1) ) la curva y la línea tangente están juntas, pero la separación crece más lejos de ese punto, especialmente en la dirección negativa (x ).

En trigonometría probablemente aprendió sobre las líneas tangentes a los círculos, donde una línea tangente se define como la línea única que toca el círculo en un solo punto, como en la figura de la derecha. En este caso, la línea tangente siempre está en un lado del círculo, es decir, el exterior del círculo; no atraviesa el interior del círculo. De hecho, esa definición es un caso especial de la definición de cálculo. Sin embargo, en general, la línea tangente a cualquier otro tipo de curva no estará necesariamente en un solo lado de la curva, como estaba en el Ejemplo

Ejemplo ( PageIndex {1} ): tangentline1

Agrega texto aquí.

Solución

.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): tangentline2

Agrega texto aquí.

Solución

Encuentra la recta tangente a la curva (y = x ^ 3 ) en (x = 0 ).

Solución: Usa la fórmula ([eqn: tangentline]) con (a = 0 ) y (f (x) = x ^ 3 ). Entonces (f (a) = f (0) = 0 ^ 3 = 0 ). La derivada de (f (x) = x ^ 3 ) es (f '(x) = 3x ^ 2 ), entonces (f' (a) = f '(0) = 3 (0) ^ 2 = 0 ). Por tanto, la ecuación de la recta tangente es ({y - 0 = 0 (x - 0)} ), que es (y = 0 ). En otras palabras, la recta tangente es el eje (x ) - en sí.

Como se muestra en la Figura [fig: tangentline2], la línea tangente corta la curva. En general, es posible que una línea tangente cruce la curva en más de un punto, dependiendo de la función.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): tangentline3

Agrega texto aquí.

Solución

Encuentra la recta tangente a la curva (y = sin , x ) en (x = 0 ).

Solución: Utilice la fórmula ([eqn: tangentline]) con (a = 0 ) y (f (x) = sin , x ). Entonces (f (a) = f (0) = sin , 0 = 0 ). La derivada de (f (x) = sin , x ) es (f '(x) = cos , x ), entonces (f' (a) = f '(0) = cos , 0 = 1 ). Por tanto, la ecuación de la recta tangente es ({y - 0 = 1 (x - 0)} ), que es (y = x ), como en la Figura [fig: tangentline3]. Cerca de (x = 0 ), la recta tangente (y = x ) está cerca de la recta (y = sin , x ), que se mostró en la Sección 1.3 (a saber, ( sin , dx = dx ), de modo que ( sin , x approx x ) para (x ll 1 )).

Hay varias cosas importantes a tener en cuenta sobre las líneas tangentes:

  • La pendiente de la línea tangente de una curva es la pendiente de la curva..
    Dado que la pendiente de una recta tangente es igual a la derivada de la curva en el punto de tangencia, la pendiente de una curva en un punto particular se puede definir como la pendiente de su recta tangente en ese punto. Por lo tanto, las curvas pueden tener pendientes variables, según el punto, a diferencia de las líneas rectas, que tienen una pendiente constante. Una forma fácil de recordar todo esto es pensar en "pendiente = derivada".
  • La línea tangente a una línea recta es la propia línea recta..
    Esto se deriva fácilmente de la definición de una línea tangente, pero también es fácil de ver con la idea de "pendiente = derivada": la pendiente de una línea recta (es decir, la derivada) nunca cambia, por lo que su línea tangente, que tiene la misma pendiente, será paralela y por tanto deben coincidir con la recta (ya que tienen los puntos de tangencia en común). Por ejemplo, la línea tangente a la línea recta (y = -3x + 2 ) es (y = -3x + 2 ) en cada punto de la línea recta.
  • La recta tangente se puede considerar como un límite de rectas secantes..
    A Linea secante a una curva es una línea que pasa por dos puntos de la curva. La figura [fig: línea secante] muestra una línea secante (L_ {PQ} ) que pasa por los puntos (P = (x_0, f (x_0)) ) y (Q = (w, f (w)) ) en la curva (y = f (x) ),

    A medida que el punto (Q ) se mueve a lo largo de la curva hacia (P ), la línea (L_ {PQ} ) se acerca a la línea tangente (T_P ) en el punto (P ), siempre que la curva es suave en (P ) (es decir, (f '(x_0) ) existe). Esto se debe a que la pendiente de (L_ {PQ} ) es ((f (w) - f (x_0)) / (w - x_0) ), y entonces

    [ lim_ {Q to P} ~ left ( text {pendiente de} L_ {PQ} right) ~ = ~ lim_ {w to x_0} ~ frac {f (w) ~ - ~ f (x_0)} {w ~ - ~ x_0} ~ = ~ f '(x_0) ~ = ~ text {pendiente de} T_P ] lo que significa que cuando (Q ) se acerca a (P ) el "límite" de la recta secante (L_ {PQ} ) tiene la misma pendiente y pasa por el mismo punto (P ) que la recta tangente (T_P ).

  • Las curvas suaves tienen líneas tangentes, las curvas no suaves no.
    Por ejemplo, piense en la función de valor absoluto (f (x) = abs {x} ). Su gráfico tiene un borde afilado en el punto ((0,0) ), lo que lo hace no liso allí, como se muestra en la Figura [fig: tangente no liso] (a) a continuación. No hay una forma real de definir una recta tangente en ((0,0) ), porque como se mencionó en la Sección 1.2, la derivada de (f (x) ) no existe en (x = 0 ) . Lo mismo es válido para las curvas con cúspides, como en la Figura [fig: tangente no suave] (b).

    Muchas líneas pasan por el punto de falta de suavidad, algunas de las cuales están indicadas por las líneas discontinuas en las figuras anteriores, pero ninguna de ellas puede ser la línea tangente. Los bordes afilados y las cúspides deben "suavizarse" para tener una línea tangente.

Cuando un punto se mueve a lo largo de una curva suave, las líneas tangentes correspondientes a la curva forman ángulos variables con el eje positivo (x ); el ángulo es, por tanto, una función de (x ). Sea ( phi = phi (x) ) el ángulo más pequeño que forma la recta tangente (L ) a una curva (y = f (x) ) con el eje positivo (x ) , de modo que (- 90 Degrees < phi (x) <90 Degrees ) para todo (x ) (vea la Figura [fig: tangentangle]).

Como muestra la Figura [fig: tangentangle], (- 90 Degrees < phi (x) <0 Degrees ) cuando la recta tangente (L ) tiene pendiente negativa, (0 Degrees < phi (x ) <90 Degrees ) cuando (L ) tiene pendiente positiva, y ( phi (x) = 0 Degrees ) cuando (L ) es horizontal (es decir, tiene pendiente cero). La pendiente de una línea generalmente se define como la elevación dividida por la carrera en un triángulo rectángulo, como se muestra en la figura de la derecha. La figura también muestra que, por definición de la tangente de un ángulo, ( tan , phi (x) ) también es igual a la elevación (opuesta) sobre la carrera (adyacente). Por lo tanto, dado que la pendiente de (L ) es (f '(x) ), esto significa que ( tan , phi (x) = f' (x) ). En otras palabras:

Ejemplo ( PageIndex {1} ): tangentangle

Agrega texto aquí.

Solución

Encuentra el ángulo ( phi ) que forma la recta tangente a la curva (y = e ^ {2x} ) en (x = - frac {1} {2} ) con el positivo (x ) - eje, tal que (- 90 Degrees < phi <90 Degrees ).

Solución: El ángulo es ( phi = phi (-1/2) = tan ^ {- 1} f` (-1/2) ), donde (f (x) = e ^ {2x} ) . Dado que (f '(x) = 2e ^ {2x} ), entonces

[ phi ~ = ~ phi (-1/2) ~ = ~ tan ^ {- 1} f` (-1/2) ~ = ~ tan ^ {- 1} 2e ^ {- 1} ~ = ~ tan ^ {- 1} 0.7358 ~ = ~ 36.3 Degrees ~. ] La figura de la derecha muestra la línea tangente (L ) a la curva en (x = - frac {1} {2 } ) y el ángulo ( phi ).

Aprendiste sobre las líneas perpendiculares en geometría elemental. La figura [fig: normalline] muestra la forma natural de definir cómo una línea (N ) puede ser perpendicular a una curva (y = f (x) ) en un punto (P ) de la curva: la línea es perpendicular a la línea tangente de la curva en (P ). Llame a esta línea (N ) el línea normal a la curva en (P ). Dado que (N ) y (L ) son perpendiculares, sus pendientes son recíprocas negativas entre sí (siempre que ninguna pendiente sea 0). La ecuación de la recta normal sigue fácilmente:

Ejemplo ( PageIndex {1} ): normalline

Agrega texto aquí.

Solución

Encuentra la línea normal a la curva (y = x ^ 2 ) en (x = 1 ). (Nota: esta es la curva del ejemplo

Ejemplo ( PageIndex {1} ): tangentline1

Agrega texto aquí.

Solución

.)

Solución: La ecuación de la recta normal es

[y ~ - ~ f (a) ~ = ~ - frac {1} {f '(a)} cdot (x - a) ] con (a = 1 ), (f (x) = x ^ 2 ) y (f '(x) = 2x ). Entonces (f (a) = 1 ) y (f '(a) = 2 ). Por tanto, la ecuación de la recta normal es (y - 1 = - frac {1} {2} (x - 1) ), o (en forma pendiente-intersección) (y = - frac {1} {2} x + frac {3} {2} ).

[sec3dot1]

Para los Ejercicios del 1 al 12, encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva (y = f (x) ) en (x = a ).

3

(f (x) ~ = ~ x ^ 2 ~ + ~ 1 ); en (x = 2 )

(f (x) ~ = ~ x ^ 2 ~ - ~ 1 ); en (x = 2 )

(f (x) ~ = ~ -x ^ 2 ~ + ~ 1 ); en (x = 3 )

3

(f (x) ~ = ~ 1 ); en (x = -1 )

(f (x) ~ = ~ 4x ); en (x = 1 )

(f (x) ~ = ~ e ^ x ); en (x = 0 )

3

(f (x) ~ = ~ x ^ 2 ~ - ~ 3x ~ + ~ 7 ); en (x = 2 vphantom { dfrac {x ~ + ~ 1} {x ~ - ~ 1}} )

(f (x) ~ = ~ dfrac {x ~ + ~ 1} {x ~ - ~ 1} ); en (x = 0 )

(f (x) ~ = ~ (x ^ 3 ~ + ~ 2x ~ - ~ 1) ^ 3 ); en (x = -1 vphantom { dfrac {x ~ + ~ 1} {x ~ - ~ 1}} )

3

(f (x) ~ = ~ tan , x ); en (x = 0 )

(f (x) ~ = ~ sin , 2x ); en (x = 0 )

(f (x) ~ = ~ sqrt {1 ~ - ~ x ^ 2} ); en (x = 1 / sqrt {2} )

Encuentra las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva (y = x ^ 3 - 2x ^ 2 + 4x + 1 ) que son paralelas a la recta (y = 3x - 5 ).

Dibuje un ejemplo de una curva que tenga una línea tangente que se cruce con la curva en más de un punto. Para los Ejercicios 15-17, encuentre el ángulo ( phi ) que forma la recta tangente a la curva (y = f (x) ) en (x = a ) con el positivo (x ) - eje, tal que (- 90 Degrees < phi <90 Degrees ). [[1.]]

3

(f (x) ~ = ~ x ^ 2 ); en (x = 2 )

(f (x) ~ = ~ cos , 2x ); en (x = pi / 6 )

(f (x) ~ = ~ x ^ 2 ~ + ~ 2x ~ - ~ 3 ); en (x = -1 )

Muestre que si ( phi (x) ) es el ángulo que forma la recta tangente a una curva (y = f (x) ) con el eje positivo (x ) - tal que (0 Degrees le phi (x) <180 Degrees ), entonces

[ phi (x) ~ = ~ begin {cases} ~ cos ^ {- 1} left ( dfrac {1} { sqrt {1 ~ + ~ (f '(x)) ^ 2}} right) & text {cuando $ f '(x) ge 0 $}

[12pt] ~ cos ^ {- 1} left ( dfrac {-1} { sqrt {1 ~ + ~ (f '(x)) ^ 2}} right) & text {cuando $ f '(x) <0 $.} end {cases} ] (Pista: dibuja un triángulo rectángulo). Para los Ejercicios 19-21, encuentre el ángulo ( phi ) que forma la recta tangente a la curva (y = f (x) ) en (x = a ) con el positivo (x ) - eje, tal que (0 Degrees le phi <180 Degrees ). [[1.]]

3

(f (x) ~ = ~ x ^ 2 ); en (x = -1 )

(f (x) ~ = ~ e ^ {- x} ); en (x = 1 )

(f (x) ~ = ~ ln 2x ); en (x = 10 )

Para los Ejercicios 22-24, encuentre la ecuación de la recta normal a la curva (y = f (x) ) en (x = a ). [[1.]]

3

(f (x) ~ = ~ sqrt {x} ); en (x = 4 )

(f (x) ~ = ~ x ^ 2 ~ + ~ 1 ); en (x = 2 )

(f (x) ~ = ~ x ^ 2 ~ - ~ 7x ~ + ~ 4 ); en (x = 3 )

Encuentra las ecuaciones de las rectas normales a la curva (y = x ^ 3 - 2x ^ 2 - 11x + 3 ) que tienen una pendiente de (- frac {1} {4} ). [[1.]]

Demuestre que el área del triángulo formado por el eje (x ) -, el eje (y ) - y la recta tangente a la curva (y = 1 / x ) en cualquier punto (P ) es constante (es decir, el área es la misma para todos (P )).

Para una constante (a> 0 ), sea (P ) un punto en la curva (y = ax ^ 2 ), y sea (Q ) el punto donde la línea tangente a la curva en (P ) se cruza con el eje (y ) -. Muestre que el eje (x ) - biseca el segmento de línea ( overline {PQ} ).

Sea (P ) un punto en la curva (y = 1 / x ) en el primer cuadrante, y sea (Q ) el punto donde la recta tangente a la curva en (P ) se cruza el eje (x ) -. Muestre que el triángulo ( Delta , POQ ) es isósceles, donde (O ) es el origen.


  1. Por ejemplo, consulte la Sección 2.2 en Protter, M.H. y C.B. Morrey, Un primer curso de análisis real, Nueva York: Springer-Verlag, 1977.↩
  2. Para una prueba, vea las páginas 89-91 en Protter, M.H. Morrey, Un primer curso de análisis real, Nueva York: Springer-Verlag, 1977.↩
  3. Véanse las páginas 154-159 en francés, A.P., Relatividad especial, Surrey, Reino Unido: Thomas Nelson & Sons Ltd., 1968.↩
  4. Las pruebas completas requieren algunos resultados avanzados. Véanse las páginas 97-98 y 558 en Taylor, A.E. y W.R. Mann, Cálculo avanzado, 2a ed., Nueva York: John Wiley & Sons, Inc., 1972.↩
  5. Por ejemplo, consulte la Sección 12.2 en Buchmann, J.A., Introducción a la criptografía, Nueva York: Springer-Verlag, 2001.↩
  6. Consulte la documentación en http://www.gnuplot.info/documentation.html↩
  7. Más exactamente, muchos Actual los libros de texto de cálculo nunca los mencionan. Los textos de cálculo hasta la década de 1930 más o menos no solo mencionaban los infinitesimales, sino que los usaban ampliamente, incluso hasta el punto de que los textos mismos tenían títulos como Introducción al cálculo infinitesimal.↩
  8. Aunque a menudo de una manera poco clara y, a veces, confusa y engañosa, como se verá más adelante en esta sección.
  9. Para otras formulaciones, consulte el Capítulo 1 en Rosser, J.B., R.R. Newton y G.L. Gross, Teoría matemática del vuelo en cohete, Nueva York: McGraw-Hill Book Company, Inc., 1947.↩
  10. Para obtener una excelente descripción general sobre este tema, consulte Dray, T. y C.A. Manogue, Volviendo a poner los diferenciales en el cálculo, Matemáticas universitarias. J. 41 (2010), 90100. Parte del material de esta sección se debe a ese documento, que está disponible en www.math.oregonstate.edu/bridge/papers/differentials.pdf↩

3.1 Plano tangente y normal superficial

Definición 3.1.1. Un punto regular (ordinario) en una superficie paramétrica se define como un punto donde. Un punto que no es un punto regular se llama punto singular.

La condición requiere que en el punto los vectores y no desaparezcan y tengan direcciones diferentes, es decir, sean linealmente independientes. Como comentamos en la Secta. 1.3.6, en algunos problemas de diseño necesitamos emplear parches triangulares definidos por parametrización sobre un dominio rectangular. Un parche degenerado de este tipo se puede generar colapsando una curva límite en un solo punto o disponiendo que dos derivadas parciales y en una de las esquinas de un parche cuadrilátero sean colineales. En ambos casos tiene una magnitud cero en el punto de la esquina degenerado y (3.3) no se puede utilizar. Las condiciones para la existencia de normales de superficie en estos puntos de esquina degenerados se han discutido en [116,92,453,457]. El concepto de superficie regular requiere condiciones adicionales más allá de la existencia de un plano tangente en todas partes de la superficie, como la ausencia de auto-intersecciones. Este concepto se presenta en su totalidad en do Carmo [76].

Hay singularidades esenciales y artificiales [444]. Las singularidades esenciales surgen de características específicas de la geometría de la superficie, como el vértice de un cono. Las singularidades artificiales surgen de la elección de la parametrización.

Ejemplo 3.1.1. El cono elíptico se puede describir en forma paramétrica, donde, y, son constantes. Tenemos

El vector normal unitario para una superficie implícita se puede derivar considerando dos curvas paramétricas, que se encuentran en una superficie implícita y se intersecan en un punto de la superficie con diferentes direcciones de tangente. Así tenemos las relaciones:

Alternativamente, podemos derivar (3.9) considerando una curva paramétrica arbitraria en una superficie implícita, que conduce a la relación. Dado que es arbitrario, debe ser perpendicular al plano tangente y, por tanto, es un vector normal.

Ejemplo 3.1.2. El cono elíptico del ejemplo 3.1.1 también tiene la siguiente representación implícita. La magnitud del vector normal, donde, se convierte en 0 solo cuando = = = 0 correspondiente al vértice del cono como también se deriva en el ejemplo 3.1.1.


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Lección 3

La línea ( ell ) representa una parte recta de la costa en una playa. Suponga que está en el océano en el punto (C ) y quiere llegar a la orilla lo más rápido posible. Suponga que no hay corriente. Los segmentos (CJ ) y (CD ) representan 2 posibles caminos.

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Diego dice: “No importa dónde coloquemos el punto (D ), el Teorema de Pitágoras nos dice que el segmento (CJ ) es más corto que el segmento (CD ). Entonces, el segmento (CJ ) representa el camino más corto hacia la costa ".

¿Estás de acuerdo con Diego? Explica tu razonamiento.

3.2: Una perpendicular particular

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  1. Dibuja un radio en el círculo. Marca el punto donde el radio se cruza con el círculo y etiquétalo como (A ).
  2. Construya una línea perpendicular al radio que pasa por el punto (A ). Etiqueta esta línea (n ).
  3. La línea (n ) interseca el círculo exactamente en 1 punto, (A ). ¿Por qué es imposible que la línea (n ) cruce el círculo en más de 1 punto?
  4. ¿Qué tipo de línea, entonces, es (n )?

Aquí hay un círculo centrado en (O ) con radio 1 unidad. La línea (AB ) es tangente al círculo.

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  1. Calcula la longitud del segmento (AB ).
  2. ¿Cómo se relaciona la longitud del segmento (AB ) con la tangente de 50 grados? ¿Por qué es esto cierto?
  3. En la trigonometría de triángulos rectángulos, la "tangente" se define en términos de relaciones de lados. Escribe otra definición de tangente (en el sentido de un valor numérico, no una línea) en términos de un círculo con radio de 1 unidad.

3.3: Otro ángulo

La imagen muestra un ángulo cuyos rayos son tangente a un círculo.

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  1. Marque los puntos aproximados de tangencia.
  2. Dibuja los 2 radios que se cruzan con estos puntos de tangencia. Rotula la medida del ángulo central que se forma (w ).
  3. ¿Cuál es el valor de (w + z )? Explique o muestre su razonamiento.

Resumen

Se dice que una línea es tangente a un círculo si se cruza con el círculo exactamente en 1 punto. Suponga que la línea ( ell ) es tangente a un círculo centrado en (A ). Dibuja un radio desde el centro del círculo hasta el punto de tangencia, o el punto donde la línea ( ell ) se cruza con el círculo. Llame a este punto (B ). Parece que el radio (AB ) es perpendicular a la línea ( ell ). ¿Podemos probarlo?

Expandir imagen

Todos los demás puntos de la línea tangente están fuera del círculo, por lo que todos deben estar más lejos del centro que el punto donde se cruza la tangente. Esto significa que el punto (B ) donde la línea tangente se cruza con el círculo es el punto más cercano en la línea al punto central (A ). El radio (AB ) debe ser perpendicular a la línea tangente porque la distancia más corta de un punto a una línea es siempre a lo largo de una trayectoria perpendicular.


Tangentes y normales, si diferencia la ecuación de una curva, obtendrá una fórmula para el gradiente de la curva. Antes de aprender a diferenciar, habría encontrado el gradiente de una curva dibujando una tangente y midiendo el gradiente de esta. Esto se debe a que el gradiente de una curva en un punto es igual al gradiente de la tangente en ese punto.

Por tanto, la ecuación de la tangente a un punto de una curva se puede encontrar por diferenciación.

Encuentre la ecuación de la tangente a la curva y = x 3 en el punto (2, 8).
dy = 3 x 2
dx

Gradiente de tangente cuando x = 2 es 3 × 2 2 = 12.

De la sección de geometría de coordenadas, la ecuación de la tangente es por lo tanto:
y - 8 = 12 (x - 2) ya que el gradiente de la tangente es 12 y sabemos que pasa por (2, 8)
asi que y = 12x - 16

También se le puede pedir que encuentre el gradiente de la normal a la curva. La normal a la curva es la línea perpendicular (en ángulo recto) a la tangente a la curva en ese punto.

Recordar, si dos rectas son perpendiculares, el producto de sus gradientes es -1.

Entonces, si el gradiente de la tangente en el punto (2, 8) de la curva y = x 3 es 12, el gradiente de la normal es -1/12, ya que -1/12 × 12 = -1.


Así es como puede usar la tabla de tangentes de arriba para encontrar la tangente de algunos ángulos.

¿Cómo encontramos la tangente de 35 grados?

Usando la tabla, primero necesitamos ubicar 35 grados. Luego, ubique el número que se encuentra en la misma fila que 35 grados y la misma columna que el título 'Tangente'. & # Xa0

Usando esta estrategia y la tabla de arriba, esto es lo que es igual a la tangente de algunos ángulos seleccionados.

Tangente (88 grados) = 28,6363

Aquí hay una tabla que es más completa. Podrás usarlo para encontrar la tangente de cualquier ángulo de 0 grados a 360 grados. & # Xa0


A cociente de diferencias es una expresión que describe la pendiente de una línea en un solo punto. Consideremos nuestra fórmula de pendiente nuevamente:

Tenga en cuenta que esta recta secante no tiene la misma pendiente que la recta tangente, pero tiene una pendiente que es cerrar a la pendiente de la recta tangente. Podemos calcular la pendiente de la recta secante fácilmente:

Este método de encontrar la pendiente se conoce como derivado, y puede leer más sobre esto aquí: Derivada por primer principio.

¿Cuál es la pendiente de la recta tangente af (x) = x 3 + 1 f (x) = x ^ 3 + 1 f (x) = x 3 + 1 en el punto (1, 2)? (1,2)? (1, 2)?


Las 3 historias de amor sobre matemáticas más tristes

Hay muchos eventos desafortunados en las matemáticas, así como en la vida de los matemáticos. Probablemente no hayas escuchado las desgracias de Evariste Galois: murió a la edad de 20 años en un duelo por una dama que no lo amaba. Probablemente conozcas algunos teoremas famosos de grandes matemáticos, pero probablemente no sabías que eran murió joven. Probablemente no sepa que Descartes no pudo casarse con ninguna de las dos mujeres que ama porque tenían un estatus social diferente.

Pero a pesar de estos eventos inimaginables, en realidad hay historias no contadas que la historia no reconoció. Creo que son probablemente las 3 historias de amor sobre matemáticas más tristes jamás contadas. Ahora, no se deprima.

Las 3 historias de amor sobre matemáticas más tristes

1. Líneas tangentes que tuvieron una oportunidad de encontrarse y luego se separaron para siempre.

2. Líneas paralelas que nunca debieron encontrarse.

3. Asíntotas que pueden acercarse cada vez más pero que nunca estarán juntas.


Aproximación de la línea tangente

Suponga que queremos encontrar la tangente a una curva. ¿Cómo podemos encontrar uno?

    Elija un punto $ Q $ haciendo clic en la curva del subprograma, que es la línea que aparece como la línea secante entre $ P $ y $ Q $.

A medida que $ Q $ se acerca a $ P $, la recta secante se aproxima cada vez mejor a la recta tangente. La posición límite de la línea secante cuando $ Q $ se acerca a $ P $ es la tangente a la curva en $ P $.

Si la curva está dada por $ y = f (x) $ y $ P $ tiene las coordenadas $ (x_0, y_0) $, entonces la pendiente de la recta tangente en $ P $ es $ f '(x_0) $, la derivada de f evaluada en $ x_0 $.

Busquemos & # 8217s la ecuación de la recta tangente a la parábola en $ (2,3) $.

La pendiente de la tangente es solo $ f '(x) $ evaluada en x. comenzar f (x) & amp = & amp x ^ 2-1 f '(x) & amp = & amp 2x f' (2) & amp = & amp 4. end Ahora, la ecuación de la línea se puede escribir en forma punto-pendiente. El forma punto-pendiente de la ecuación de la recta que pasa por el punto $ (x_0, y_0) $ con pendiente $ m $ viene dada por [y-y_0 = m (x-x_0). ]

Entonces podemos escribir así: begin y-y_0 & amp = & amp m (x-x_0) y-y_0 & amp = & amp f '(x_0) (x-x_0) y-3 & amp = & amp 4 (x-2) end ya que la línea pasa por el punto $ (2,3) $ y tiene pendiente $ 4 $.

En forma pendiente-intersección, la recta con pendiente $ m $ y $ y $ -intercepto $ b $ viene dada por [y = mx + b. ], por lo que la ecuación de la recta tangente se convierte en $ y = 4x-5. PS

    Arrastre $ P $ a lo largo de la parábola o ingrese la coordenada x para el punto $ P $.

¿Qué sucede cuando $ x = 0 $ para esta función? ¿Qué pasa cuando $ | x | $ crece?

Ahora que podemos encontrar la tangente a una curva en un punto, ¿de qué sirve esto?

¿Observa que a medida que hace zoom en $ P $, la curva se ve cada vez más lineal y la línea tangente se aproxima cada vez mejor?

Dejemos que & # 8217s sea más específico:

Cerca de $ x_0 $, vimos que $ y = f (x) $ puede aproximarse mediante la recta tangente $ y-y_0 = f '(x_0) (x-x_0) $. Escribiendo esto como $ y = y_0 + f '(x_0) (x-x_0) $ y observando que $ y = f (x_0) $, encontramos que

Suponga que $ f $ se puede diferenciar $ n + 1 $ veces en cada punto de algún intervalo que contenga $ x_0 $. Luego, para $ x $ en este intervalo, aproximadamente $ x_0 $, $ f (x) approx f (x_0) + f '(x_0) (x-x_0) + frac<2!> (X-x_0) ^ 2 + puntos + frac(x_0)>(x-x_0) ^ n. PS Observe que el lado derecho es solo el término de 2 Expansión de Taylor de $ f (x) $.

Si conocemos el valor de $ f $ en $ x_0 $, esto nos da una forma de aproximar el valor de $ f $ en $ x $ cerca de $ x_0 $. Hacemos esto comenzando en $ (x_0, f (x_0)) $ y moviéndonos a lo largo de la línea tangente para aproximar el valor de la función en $ x $.

Usemos & # 8217s la aproximación de tangente $ f (x) approx f (x_0) + f '(x_0) (x-x_0) $ para aproximar $ f (1.04) $:

¿Qué tan bien se aproxima esto a $ arctan (1.04) $?

    Muestra la tangente que pasa por $ left (1, frac < pi> <4> right) $.

Conceptos clave

    Para la curva $ y = f (x) $, la pendiente de la recta tangente en un punto $ (x_0, y_0) $ en la curva es $ f '(x_0) $. La ecuación de la recta tangente viene dada por $ y-y_0 = f '(x_0) (x-x_0). PS


Ejemplo resuelto 13: Ecuación de una tangente a un círculo

La línea recta (y = x + 4 ) corta el círculo (x ^ <2> + y ^ <2> = 26 ) en (P ) y (Q ).

  1. Calcula las coordenadas de (P ) y (Q ).
  2. Dibuja el círculo y la línea recta en el mismo sistema de ejes. Rotula los puntos (P ) y (Q ).
  3. Determine las coordenadas de (H ), el punto medio de la cuerda (PQ ).
  4. Si (O ) es el centro del círculo, demuestre que (PQ perp OH ).
  5. Determine las ecuaciones de las tangentes al círculo en (P ) y (Q ).
  6. Determina las coordenadas de (S ), el punto donde se cruzan las dos tangentes.
  7. Muestre que (S ), (H ) y (O ) están en línea recta.

Determine las coordenadas de (P ) y (Q )

Sustituye la línea recta (y = x + 4 ) en la ecuación del círculo y resuelve para (x ):

comenzar x ^ <2> + y ^ <2> & amp = 26 x ^ <2> + (x + 4) ^ <2> & amp = 26 x ^ <2> + x ^ <2> + 8x + 16 & amp = 26 2x ^ <2> + 8x - 10 & amp = 0 x ^ <2> + 4x - 5 & amp = 0 (x - 1) (x + 5) & amp = 0 por lo tanto x = 1 & amp text x = -5 text x = 1 quad y & amp = 1 + 4 = 5 text x = -5 quad y & amp = -5 + 4 = -1 end

Esto da los puntos (P (-5-1) ) y (Q (15) ).

Dibujar un boceto

Determine las coordenadas del punto medio (H )

Demuestre que (OH ) es perpendicular a (PQ )

Necesitamos mostrar que el producto de los dos gradientes es igual a (- text <1> ). De la ecuación dada de (PQ ), sabemos que (m_ = 1).

comenzar metro_ & amp = frac <2 - 0> <-2 - 0> & amp = - 1 & amp m_ times m_ & amp = - 1 & amp por lo tanto PQ & amp perp OH end

Determine las ecuaciones de las tangentes en (P ) y (Q )

Tangente en (P ):

Determine el gradiente del radio (OP ):

La tangente de un círculo es perpendicular al radio, por lo que podemos escribir:

comenzar frac <1> <5> times m_

& amp = -1 por lo tanto m_

& amp = - 5 end

Sustituir (m_

= - 5 ) y (P (-5-1) ) en la ecuación de una línea recta.

comenzar y - y_ <1> & amp = - 5 (x - x_ <1>) text P (-5-1): quad y + 1 & amp = - 5 (x + 5) y & amp = -5x - 25-1 & amp = -5x - 26 end

Tangente en (Q ):

Determine el gradiente del radio (OQ ):

La tangente de un círculo es perpendicular al radio, por lo que podemos escribir:

comenzar 5 veces m_ & amp = -1 por lo tanto m_ & amp = - frac <1> <5> end

Sustituir (m_ = - frac <1> <5> ) y (Q (15) ) en la ecuación de una línea recta.

comenzar y - y_ <1> & amp = - frac <1> <5> (x - x_ <1>) text Q (15): quad y - 5 & amp = - frac <1> <5> (x - 1) y & amp = - frac <1> <5> x + frac <1> <5> + 5 & amp = - frac <1> <5> x + frac <26> <5> end

Las ecuaciones de las tangentes son (y = -5x - 26 ) y (y = - frac <1> <5> x + frac <26> <5> ).

Determine las coordenadas de (S )

Iguale las dos ecuaciones lineales y resuelva para (x ):

comenzar -5x - 26 & amp = - frac <1> <5> x + frac <26> <5> -25x - 130 & amp = - x + 26 -24x & amp = 156 x & amp = - frac <156> <24> & amp = - frac <13> <2> text x = - frac <13> <2> quad y & amp = - 5 left (- frac <13> <2> right) - 26 & amp = frac <65> <2> - 26 & amp = frac <13> <2> end

Esto da el punto (S left (- frac <13> <2> frac <13> <2> right) ).

Demuestre que (S ), (H ) y (O ) están en línea recta

Necesitamos demostrar que hay un gradiente constante entre dos de los tres puntos. Ya hemos demostrado que (PQ ) es perpendicular a (OH ), por lo que esperamos que el gradiente de la recta que pasa por (S ), (H ) y (O ) sea (- texto <1> ).

Por lo tanto, (S ), (H ) y (O ) se encuentran en la línea (y = -x ).


Ver el vídeo: Section - Larson Calculus - The Derivative and the Tangent Line Problem (Octubre 2021).