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4.9: Método de Newton - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

  • Describe los pasos del método de Newton.
  • Explique qué significa un proceso iterativo.
  • Reconocer cuando el método de Newton no funciona.
  • Aplicar procesos iterativos a diversas situaciones.

En muchas áreas de las matemáticas puras y aplicadas, estamos interesados ​​en encontrar soluciones a una ecuación de la forma (f (x) = 0. ) Para la mayoría de las funciones, sin embargo, es difícil, si no imposible, calcular sus ceros. explícitamente. En esta sección, echamos un vistazo a una técnica que proporciona una forma muy eficiente de aproximar la ceros de funciones. Esta técnica hace uso de aproximaciones de líneas tangentes y está detrás del método utilizado a menudo por calculadoras y computadoras para encontrar ceros.

Describiendo el método de Newton

Considere la tarea de encontrar las soluciones de (f (x) = 0. ) Si (f ) es el polinomio de primer grado (f (x) = ax + b ), entonces la solución de ( f (x) = 0 ) viene dada por la fórmula (x = - frac {b} {a} ). Si (f ) es el polinomio de segundo grado (f (x) = ax ^ 2 + bx + c ), las soluciones de (f (x) = 0 ) se pueden encontrar usando la fórmula cuadrática . Sin embargo, para polinomios de grado 3 o más, encontrar raíces de (f ) se vuelve más complicado. Aunque existen fórmulas para polinomios de tercer y cuarto grado, son bastante complicadas. Además, si f es un polinomio de grado 5 o más, se sabe que no existen tales fórmulas. Por ejemplo, considere la función

[f (x) = x ^ 5 + 8x ^ 4 + 4x ^ 3−2x − 7. nonumber ]

No existe una fórmula que nos permita encontrar las soluciones de (f (x) = 0. ) Existen dificultades similares para las funciones no polinómicas. Por ejemplo, considere la tarea de encontrar soluciones de (tan (x) −x = 0. ) No existe una fórmula simple para las soluciones de esta ecuación. En casos como estos, podemos usar el método de Newton para aproximar las raíces.

Método de Newton hace uso de la siguiente idea para aproximar las soluciones de (f (x) = 0. ) Al trazar una gráfica de (f ), podemos estimar una raíz de (f (x) = 0 ). Llamemos a esta estimación (x_0 ). Luego dibujamos la recta tangente a (f ) en (x_0 ). Si (f ′ (x_0) ≠ 0 ), esta recta tangente interseca el eje (x ) - en algún punto ((x_1,0) ). Ahora sea (x_1 ) la siguiente aproximación a la raíz real. Normalmente, (x_1 ) está más cerca que (x_0 ) de una raíz real. A continuación, dibujamos la recta tangente a (f ) en (x_1 ). Si (f ′ (x_1) ≠ 0 ), esta recta tangente también interseca el eje (x ) -, produciendo otra aproximación, (x_2 ). Continuamos de esta manera, derivando una lista de aproximaciones: (x_0, , x_1, , x_2, ,…. ) Normalmente, los números (x_0, , x_1, , x_2, ,… ) se acercan rápidamente a una raíz real (x * ), como se muestra en la siguiente figura.

Ahora veamos cómo calcular las aproximaciones (x_0, , x_1, , x_2, ,…. ) Si (x_0 ) es nuestra primera aproximación, la aproximación (x_1 ) se define dejando ((x_1,0) ) sea la intersección en (x ) - de la recta tangente a (f ) en (x_0 ). La ecuación de esta recta tangente está dada por

[y = f (x_0) + f ′ (x_0) (x − x_0). sin número]

Por lo tanto, (x_1 ) debe satisfacer

[f (x_0) + f ′ (x_0) (x_1 − x_0) = 0. nonumber ]

Resolviendo esta ecuación para (x_1 ), llegamos a la conclusión de que

[x_1 = x_0− frac {f (x_0)} {f '(x_0)}. nonumber ]

De manera similar, el punto ((x_2,0) ) es la intersección en (x ) - de la recta tangente a (f ) en (x_1 ). Por tanto, (x_2 ) satisface la ecuación

[x_2 = x_1− frac {f (x_1)} {f '(x_1)}. nonumber ]

En general, para (n> 0, x_n ) satisface

[x_n = x_ {n − 1} - frac {f (x_ {n − 1})} {f '(x_ {n − 1})}. label {Newton} ]

A continuación veremos cómo hacer uso de esta técnica para aproximar la raíz del polinomio (f (x) = x ^ 3−3x + 1. )

Ejemplo ( PageIndex {1} ): encontrar la raíz de un polinomio

Usa el método de Newton para aproximar una raíz de (f (x) = x ^ 3−3x + 1 ) en el intervalo ([1,2] ). Deje (x_0 = 2 ) y encuentre (x_1, , x_2, , x_3, , x_4, ) y (x_5 ).

Solución

De la Figura ( PageIndex {2} ), vemos que (f ) tiene una raíz en el intervalo ((1,2) ). Por lo tanto, (x_0 = 2 ) parece una primera aproximación razonable. Para encontrar la siguiente aproximación, usamos la Ecuación ref {Newton}. Dado que (f (x) = x ^ 3−3x + 1 ), la derivada es (f ′ (x) = 3x ^ 2−3 ). Usando la ecuación ref {Newton} con (n = 1 ) (y una calculadora que muestra (10 ​​) dígitos), obtenemos

[x_1 = x_0− frac {f (x_0)} {f '(x_0)} = 2− frac {f (2)} {f' (2)} = 2− frac {3} {9} ≈1.666666667. Nonumber ]

Para encontrar la siguiente aproximación, (x_2 ), usamos la Ecuación con (n = 2 ) y el valor de (x_1 ) almacenado en la calculadora. Encontramos eso

[x_2 = x_1- frac {f (x_1)} {f '(x_1)} ≈1.548611111. nonumber ]

Continuando de esta forma, obtenemos los siguientes resultados:

  • (x_1≈1.666666667 )
  • (x_2≈1.548611111 )
  • (x_3≈1.532390162 )
  • (x_4≈1.532088989 )
  • (x_5≈1.532088886 )
  • (x_6≈1.532088886. )

Observamos que obtuvimos el mismo valor para (x_5 ) y (x_6 ). Por lo tanto, cualquier aplicación posterior del método de Newton probablemente dará el mismo valor para (x_n ).

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Dejando (x_0 = 0 ), usemos el método de Newton para aproximar la raíz de (f (x) = x ^ 3−3x + 1 ) sobre el intervalo ([0,1] ) calculando ( x_1 ) y (x_2 ).

Pista

Utilice la ecuación ref {Newton}.

Respuesta

(x_1≈0.33333333 )
(x_2≈0.347222222 )

El método de Newton también se puede utilizar para aproximar raíces cuadradas. Aquí mostramos cómo aproximar ( sqrt {2} ). Este método se puede modificar para aproximar la raíz cuadrada de cualquier número positivo.

Ejemplo ( PageIndex {2} ): encontrar una raíz cuadrada

Utilice el método de Newton para aproximar ( sqrt {2} ) (Figura ( PageIndex {3} )). Sea (f (x) = x ^ 2−2 ), deje (x_0 = 2 ) y calcule (x_1, , x_2, , x_3, , x_4, , x_5 ). (Observamos que, dado que (f (x) = x ^ 2−2 ) tiene un cero en ( sqrt {2} ), el valor inicial (x_0 = 2 ) es una opción razonable para aproximar ( sqrt {2} )).

Solución

Para (f (x) = x ^ 2−2, ; f ′ (x) = 2x. ) De ref {Newton}, sabemos que

[ begin {align *} x_n & = x_ {n − 1} - frac {f (x_ {n − 1})} {f '(x_ {n − 1})} [4pt]
& = x_ {n − 1} - frac {x ^ 2_ {n − 1} −2} {2x_ {n − 1}} [4pt]
& = frac {1} {2} x_ {n − 1} + frac {1} {x_ {n − 1}} [4pt]
& = frac {1} {2} left (x_ {n − 1} + frac {2} {x_ {n − 1}} right). end {align *} ]

Por lo tanto,

(x_1 = frac {1} {2} left (x_0 + frac {2} {x_0} right) = frac {1} {2} left (2+ frac {2} {2} derecha) = 1,5 )

(x_2 = frac {1} {2} left (x_1 + frac {2} {x_1} right) = frac {1} {2} left (1,5+ frac {2} {1,5} derecha) ≈1.416666667. )

Continuando de esta manera, encontramos que

(x_1 = 1,5 )

(x_2≈1.416666667 )

(x_3≈1.414215686 )

(x_4≈1.414213562 )

(x_5≈1.414213562. )

Dado que obtuvimos el mismo valor para (x_4 ) y (x_5 ), es poco probable que el valor (x_n ) cambie en cualquier aplicación posterior del método de Newton. Concluimos que ( sqrt {2} ≈1.414213562. )

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Usa el método de Newton para aproximar ( sqrt {3} ) haciendo que (f (x) = x ^ 2−3 ) y (x_0 = 3 ). Encuentra (x_1 ) y (x_2 ).

Pista

Para (f (x) = x ^ 2−3 ), la ecuación ref {Newton} se reduce a (x_n = frac {x_ {n − 1}} {2} + frac {3} {2x_ { n − 1}} ).

Respuesta

(x_1 = 2 )
(x_2 = 1,75 )

Cuando se usa el método de Newton, cada aproximación después de la conjetura inicial se define en términos de la aproximación anterior usando la misma fórmula. En particular, al definir la función (F (x) = x− left [ frac {f (x)} {f ′ (x)} right] ), podemos reescribir la ecuación ref {Newton} como (x_n = F (x_ {n − 1}) ). Este tipo de proceso, donde cada (x_n ) se define en términos de (x_ {n − 1} ) repitiendo la misma función, es un ejemplo de un proceso iterativo. En breve, examinamos otros procesos iterativos. Primero, veamos las razones por las que el método de Newton podría fallar al encontrar una raíz.

Fallos del método de Newton

Normalmente, el método de Newton se utiliza para encontrar raíces con bastante rapidez. Sin embargo, las cosas pueden salir mal. Algunas de las razones por las que el método de Newton puede fallar son las siguientes:

  1. En una de las aproximaciones (x_n ), la derivada (f ′ ) es cero en (x_n ), pero (f (x_n) ≠ 0 ). Como resultado, la recta tangente de (f ) en (x_n ) no se cruza con el eje (x ) -. Por lo tanto, no podemos continuar con el proceso iterativo.
  2. Las aproximaciones (x_0, , x_1, , x_2, ,… ) pueden aproximarse a una raíz diferente. Si la función (f ) tiene más de una raíz, es posible que nuestras aproximaciones no se acerquen a la que estamos buscando, sino que se acerquen a una raíz diferente (ver Figura ( PageIndex {4} )). Este evento ocurre con mayor frecuencia cuando no elegimos la aproximación (x_0 ) lo suficientemente cerca de la raíz deseada.
  3. Las aproximaciones pueden fallar en acercarse a una raíz por completo. En el ejemplo ( PageIndex {3} ), proporcionamos un ejemplo de una función y una suposición inicial (x_0 ) tal que las aproximaciones sucesivas nunca se acercan a una raíz porque las aproximaciones sucesivas continúan alternando entre dos valores .

Ejemplo ( PageIndex {3} ): cuando falla el método de Newton

Considere la función (f (x) = x ^ 3−2x + 2 ). Sea (x_0 = 0 ). Muestre que la secuencia (x_1, , x_2, ,… ) no se acerca a una raíz de (f ).

Solución

Para (f (x) = x ^ 3−2x + 2, ) la derivada es (f ′ (x) = 3x ^ 2−2 ). Por lo tanto,

[x_1 = x_0− frac {f (x_0)} {f ′ (x_0)} = 0− frac {f (0)} {f ′ (0)} = - frac {2} {- 2} = 1. sin número]

En el siguiente paso,

[x_2 = x_1− frac {f (x_1)} {f '(x_1)} = 1− frac {f (1)} {f ′ (1)} = 1− frac {1} {1} = 0. sin número]

En consecuencia, los números (x_0, , x_1, , x_2, ,… ) continúan rebotando entre (0 ) y (1 ) y nunca se acercan a la raíz de (f ) que está sobre el intervalo ([- 2, −1] ) (Figura ( PageIndex {5} )). Afortunadamente, si elegimos una aproximación inicial (x_0 ) más cercana a la raíz real, podemos evitar esta situación.

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Para (f (x) = x ^ 3−2x + 2, ) sea (x_0 = −1.5 ) y encuentre (x_1 ) y (x_2 ).

Pista

Utilice la ecuación ref {Newton}.

Respuesta

(x_1≈ − 1.842105263 )
(x_2≈ − 1.772826920 )

A partir del Ejemplo ( PageIndex {3} ), vemos que el método de Newton no siempre funciona. Sin embargo, cuando funciona, la secuencia de aproximaciones se acerca a la raíz muy rápidamente. Las discusiones sobre la rapidez con la que la secuencia de aproximaciones se acerca a una raíz encontrada usando el método de Newton se incluyen en los textos sobre análisis numérico.

Otros procesos iterativos

Como se mencionó anteriormente, el método de Newton es un tipo de proceso iterativo. Veamos ahora un ejemplo de un tipo diferente de proceso iterativo.

Considere una función (F ) y un número inicial (x_0 ). Defina los números subsiguientes (x_n ) mediante la fórmula (x_n = F (x_ {n − 1}) ). Este proceso es un proceso iterativo que crea una lista de números (x_0, , x_1, , x_2, ,…, , x_n, ,…. ) Esta lista de números puede acercarse a un número finito (x ^ * ) a medida que (n ) se hace más grande, o puede que no. En el Ejemplo ( PageIndex {4} ), vemos un ejemplo de una función (F ) y una estimación inicial (x_0 ) tal que la lista de números resultante se aproxima a un valor finito.

Ejemplo ( PageIndex {4} ): encontrar un límite para un proceso iterativo

Sea (F (x) = frac {1} {2} x + 4 ) y sea (x_0 = 0 ). Para todo (n≥1 ), sea (x_n = F (x_ {n − 1}) ). Encuentra los valores (x_1, , x_2, , x_3, , x_4, , x_5 ). Haz una conjetura sobre lo que le sucede a esta lista de números (x_1, , x_2, , x_3, ,…, , x_n, ,… ) como (n → ∞ ). Si la lista de números (x_1, , x_2, , x_3, ,… ) se acerca a un número finito (x ^ * ), entonces (x ^ * ) satisface (x ^ * = F (x ^ *) ), y (x ^ * ) se llama un punto fijo de (F ).

Solución

Si (x_0 = 0 ), entonces

  • (x_1 = frac {1} {2} (0) + 4 = 4 )
  • (x_2 = frac {1} {2} (4) + 4 = 6 )
  • (x_3 = frac {1} {2} (6) + 4 = 7 )
  • (x_4 = frac {1} {2} (7) + 4 = 7.5 )
  • (x_5 = frac {1} {2} (7.5) + 4 = 7.75 )
  • (x_6 = frac {1} {2} (7.75) + 4 = 7.875 )
  • (x_7 = frac {1} {2} (7.875) + 4 = 7.9375 )
  • (x_8 = frac {1} {2} (7,9375) + 4 = 7,96875 )
  • (x _9 = frac {1} {2} (7,96875) + 4 = 7,984375. )

De esta lista, conjeturamos que los valores (x_n ) se acercan a (8 ).

La figura ( PageIndex {6} ) proporciona un argumento gráfico de que los valores se acercan a (8 ) como (n → ∞ ). Comenzando en el punto ((x_0, x_0) ), dibujamos una línea vertical hasta el punto ((x_0, F (x_0)) ). El siguiente número de nuestra lista es (x_1 = F (x_0) ). Usamos (x_1 ) para calcular (x_2 ). Por lo tanto, dibujamos una línea horizontal que conecta ((x_0, x_1) ) con el punto ((x_1, x_1) ) en la línea (y = x ), y luego dibujamos una línea vertical que conecta (( x_1, x_1) ) hasta el punto ((x_1, F (x_1)) ). La salida (F (x_1) ) se convierte en (x_2 ). Continuando de esta manera, podríamos crear un número infinito de segmentos de línea. Estos segmentos de línea están atrapados entre las líneas (F (x) = frac {x} {2} +4 ) y (y = x ). Los segmentos de línea se acercan al punto de intersección de estas dos líneas, lo que ocurre cuando (x = F (x) ). Resolviendo la ecuación (x = frac {x} {2} +4, ) llegamos a la conclusión de que se intersecan en (x = 8 ). Por lo tanto, nuestra evidencia gráfica concuerda con nuestra evidencia numérica de que la lista de números (x_0, , x_1, , x_2, ,… ) se aproxima a (x * = 8 ) como (n → ∞ ).

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Considere la función (F (x) = frac {1} {3} x + 6 ). Sea (x_0 = 0 ) y sea (x_n = F (x_ {n − 1}) ) para (n≥2 ). Encuentra (x_1, , x_2, , x_3, , x_4, , x_5 ). Haz una conjetura sobre lo que sucede con la lista de números (x_1, , x_2, , x_3, ,… , x_n, ,… ) como (n → ∞. )

Pista

Considere el punto donde las líneas (y = x ) y (y = F (x) ) se cruzan.

Respuesta

(x_1 = 6, ; x_2 = 8, ; x_3 = frac {26} {3}, ; x_4 = frac {80} {9}, ; x_5 = frac {242} {27} ; ; x ^ * = 9 )

Procesos iterativos y caos

Los procesos iterativos pueden producir comportamientos muy interesantes. En esta sección, hemos visto varios ejemplos de procesos iterativos que convergen en un punto fijo. También vimos en el Ejemplo ( PageIndex {4} ) que el proceso iterativo rebotaba entre dos valores. Llamamos a este tipo de comportamiento un ciclo de 2. Los procesos iterativos pueden converger en ciclos con varias periodicidades, como 2 ciclos, 4 ciclos (donde el proceso iterativo repite una secuencia de cuatro valores), 8 ciclos, etc.

Algunos procesos iterativos producen lo que los matemáticos llaman caos. En este caso, el proceso iterativo salta de un valor a otro de una manera aparentemente aleatoria y nunca converge ni se instala en un ciclo. Aunque una exploración completa de caos está más allá del alcance de este texto, en este proyecto examinamos una de las propiedades clave de un proceso iterativo caótico: la dependencia sensible de las condiciones iniciales. Esta propiedad se refiere al concepto de que pequeños cambios en las condiciones iniciales pueden generar comportamientos drásticamente diferentes en el proceso iterativo.

Probablemente el ejemplo más conocido de caos es el Conjunto de Mandelbrot (ver Figura), que lleva el nombre de Benoit Mandelbrot (1924-2010), quien investigó sus propiedades y ayudó a popularizar el campo de la teoría del caos. El conjunto de Mandelbrot generalmente se genera por computadora y muestra detalles fascinantes sobre la ampliación, incluida la autorreplicación del conjunto. Varias versiones coloreadas del conjunto se han mostrado en museos y se pueden encontrar en línea y en libros populares sobre el tema.

En este proyecto usamos el mapa logístico

[f (x) = rx (1 − x) ]

donde (x∈ [0,1] ) y (r> 0 )

como la función en nuestro proceso iterativo. El mapa logístico es una función engañosamente simple; pero, dependiendo del valor de (r ), el proceso iterativo resultante muestra un comportamiento muy interesante. Puede conducir a puntos fijos, ciclos e incluso caos.

Para visualizar el comportamiento a largo plazo del proceso iterativo asociado con el mapa logístico, usaremos una herramienta llamada diagrama de telaraña. Como hicimos con el proceso iterativo que examinamos anteriormente en esta sección, primero dibujamos una línea vertical desde el punto ((x_0,0) ) al punto ((x_0, f (x_0)) = (x_0, x_1 ) ). Luego dibujamos una línea horizontal desde ese punto hasta el punto ((x_1, x_1), ) luego dibujamos una línea vertical hacia ((x_1, f (x_1)) = (x_1, x_2) ), y continuamos el proceso hasta que el comportamiento a largo plazo del sistema se hace evidente. La figura muestra el comportamiento a largo plazo del mapa logístico cuando (r = 3.55 ) y (x_0 = 0.2 ). (Las primeras (100 ) iteraciones no se grafican.) El comportamiento a largo plazo de este proceso iterativo es un ciclo (8 ).

  1. Sea (r = 0.5 ) y elija (x_0 = 0.2 ). Ya sea a mano o usando una computadora, calcule los primeros (10 ​​) valores de la secuencia. ¿Parece que la secuencia converge? Si es así, ¿a qué valor? ¿Resulta en un ciclo? Si es así, ¿qué tipo de ciclo (por ejemplo, (2 ) - ciclo, (4 ) - ciclo)?
  2. ¿Qué sucede cuando (r = 2 )?
  3. Para (r = 3.2 ) y (r = 3.5 ), calcula los primeros valores de secuencia (100 ). Genere un diagrama de telaraña para cada proceso iterativo. (Hay varios applets gratuitos disponibles en línea que generan diagramas de telaraña para el mapa logístico). ¿Cuál es el comportamiento a largo plazo en cada uno de estos casos?
  4. Ahora deje que (r = 4. ) Calcule los primeros valores de secuencia (100 ) y genere un diagrama de telaraña. ¿Cuál es el comportamiento a largo plazo en este caso?
  5. Repita el proceso para (r = 4, ) pero sea (x_0 = 0.201. ) ¿Cómo se compara este comportamiento con el comportamiento de (x_0 = 0.2 )?

Conceptos clave

  • El método de Newton aproxima las raíces de (f (x) = 0 ) comenzando con una aproximación inicial (x_0 ), luego usa rectas tangentes a la gráfica de (f ) para crear una secuencia de aproximaciones (x_1, , x_2, , x_3, ,…. )
  • Normalmente, el método de Newton es un método eficaz para encontrar una raíz en particular. En ciertos casos, el método de Newton no funciona porque la lista de números (x_0, , x_1, , x_2, , ... ) no se acerca a un valor finito o se acerca a un valor diferente a la raíz buscada.
  • Cualquier proceso en el que se genera una lista de números (x_0, , x_1, , x_2, ,… ) definiendo un número inicial (x_0 ) y definiendo los números subsiguientes mediante la ecuación (x_n = F (x_ {n − 1}) ) para alguna función (F ) es un proceso iterativo. El método de Newton es un ejemplo de un proceso iterativo, donde la función (F (x) = x− left [ frac {f (x)} {f ′ (x)} right] ) para una función dada (F).

Glosario

proceso iterativo
proceso en el que se genera una lista de números (x_0, x_1, x_2, x_3… ) comenzando con un número (x_0 ) y definiendo (x_n = F (x_ {n − 1}) ) para (n≥1 )
Método de Newton
método para aproximar raíces de (f (x) = 0; ) usando una estimación inicial (x_0 ); cada aproximación subsiguiente está definida por la ecuación (x_n = x_ {n − 1} - frac {f (x_ {n − 1})} {f '(x_ {n − 1})} )

Cálculo revisitado # 9: Método de Newton

Bienvenido a la entrada de blog # 9 de 21 de nuestro Cálculo revisitado. Hoy cubriremos el método de Newton: una forma eficaz y poderosa de encontrar raíces de funciones.

Proceso: método de Newton

Objetivo: encontrar las raíces de la función f (x). Es decir, resuelva para x: f (x) = 0

1. Comience con una suposición inicial. Sea esto x_n.

2. Calcula x_ (n + 1) = x_n - f (x_n) / f '(x_n) (función sobre su derivada)

3. Si x_n + 1 coincide con x_n, ya ha terminado, con la raíz x_n + 1. Usted determina qué tan precisa es la respuesta seleccionando cuántos puntos decimales coincidir. La precisión de la calculadora (lo que ve en la pantalla) varía de 10 a 12 puntos decimales.

Precaución: la elección del valor inicial es importante. Por lo general, la selección de conjeturas iniciales cercanas a la raíz funciona mejor, pero esto no siempre funciona.

Además, este método no es 100% para encontrar raíces. Si obtiene x_n y x_n + 1 flotando entre dos valores distintos, está atrapado en un bucle: no se encontrará una raíz.

Te recomiendo que uses una calculadora cuando trabajes con el Método de Newton. En las calculadoras científicas, es posible que pueda aprovechar la función de última respuesta, configurando x_n = ans.

Ejemplo: (TI -36X Pro, TI-30 Multiview, Casio fx-300, Casio fx-115ES, la mayoría de las calculadoras gráficas)
2 ENTER (2 se almacena en ans)
ans - f (ans) / f '(ans) (calcula x_1 con x_n = 2)
Sigue presionando ENTER

Problemas
El método de Newton se utilizará a menudo para estimar enésimas raíces (raíz cuadrada, raíz cúbica, etc.). El primer problema será un ejemplo de ello.

1. Estime & # 87306 a 5 posiciones decimales.

Observe que & # 87304 = 2 y & # 87309 = 3, lo que significa que & # 87306 se encuentra entre 2 y 3. Hagamos una suposición inicial 2.5.

Usa la función f (x) = x ^ 2 - 6. ¿Por qué?

Encontrar la raíz de la ecuación anterior conduce a & # 87306.

Teniendo x_0 como la suposición inicial,
x_0 = 2.50000
x_1 = 2,45000
x_2 = 2.44949
x_3 = 2.44949

(x_1 = 2.5 - (2.5 ^ 2-6) / (2 * 2.5) = 2.45,
x_2 = 2.45 - (2.45 ^ 2-6) / (2 * 2.45) = 2.44949, y así sucesivamente)

Entonces, a cinco lugares decimales, & # 87306 & # 8776 2.44949

2. Encuentre una raíz de la ecuación e ^ x - x = 5 para cualquier x> 0. Sea x_0 = 2. (la estimación inicial)

Obtenga la ecuación en forma de f (x) = 0:
e ^ x - x = 5
e ^ x - x - 5 = 0

Entonces f (x) = e ^ x - x - 5, f '(x) = e ^ x - 1, y

x_n + 1 = x_n - (e ^ x_n - x_n - 5) / (e ^ x_n - 1)

x_0 = 2.00000
x_1 = 1.93911
x_2 = 1.93685
x_3 = 1.93685

Entonces una raíz de f (x) es x & # 87761.93685.

3. Resuelva x ^ 4 - 4x - 4 = 0 con la condición -1. Sugerencia: es posible que desee graficar f (x) para estimar una estimación inicial adecuada.

Entonces f (x) = x ^ 4 - 4x - 4, f '(x) = 4x ^ 3 - 4, y

x_n + 1 = x_n - (x_n ^ 4 - 4x_n - 4) / (4x_n ^ 3 - 4)

Por cálculo, obtenemos:
x_0 = -0.50000
x_1 = -0,93056
x_2 = -0,86520
x_3 = -0,86198
x_4 = -0,86198

Eso resume todo sobre el método de Newton. ¡A continuación, nos dirigimos a la integración! - Eddie


4.9: Método de Newton - Matemáticas

Resolver ecuaciones algebraicas es un ejercicio común en las clases de introducción a las matemáticas. Sin embargo, a veces las ecuaciones no se pueden resolver usando álgebra simple y es posible que tengamos que encontrar una $ estimación $ buena y precisa de la solución exacta. Un algoritmo común y de fácil uso para encontrar una buena estimación de la solución exacta de una ecuación es el método de Newton (también llamado método Newton-Raphson), que fue desarrollado a finales del siglo XVII por los matemáticos ingleses Sir Isaac Newton y Joseph Raphson.

El algoritmo del método de Newton es simple y fácil de usar. Utiliza la primera derivada de una función y se basa en el concepto básico de cálculo de que la derivada de una función $ f $ en $ x = c $ es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $ y = f (x) $ en el punto $ (c, f (c)) $. Construyamos cuidadosamente el método de Newton.

Sea $ y = f (x) $ una función diferenciable. Nuestro objetivo es resolver la ecuación $ f (x) = 0 $ para $ x $. Llamemos a la solución exacta de esta ecuación $ x = r $. Vea el diagrama a continuación.

Comenzamos con un $ inicial supongo $ $ x_ <0> $. En el punto $ (x_ <0>, f (x_ <0>)) $ dibuje la recta tangente. Denote $ x_ <1> $ como el punto donde esta línea tangente cruza el eje $ x $. El punto $ x_ <1> $ es nuestra segunda conjetura. Repetir. En el punto $ (x_ <1>, f (x_ <1>)) $ dibuje la recta tangente. Denote $ x_ <2> $ como el punto donde esta línea tangente cruza el eje $ x $. El punto $ x_ <2> $ es nuestra tercera conjetura. Repetir . etc. Vea el diagrama a continuación.

Podemos ver que estas sucesivas suposiciones, $ x_ <0>, x_ <1>, x_ <2>, x_ <3>, cdots $ zig-zag se acercan cada vez más a la solución exacta $ x = r $. Creemos un $ recursividad $ que generará una secuencia de conjeturas sucesivas. Primero consideremos cómo podemos pasar de una suposición a la siguiente, es decir, de suposición $ x_ $ para adivinar $ x_ PS Vea el diagrama a continuación.

El $ SLOPE $ de la recta tangente en el punto $ (x_, f (x_)) $ es $ I.) m = f '(x_) $ y $ II.) m = displaystyle = ) over x_ - X_ > $ Ahora establezca las dos pendientes iguales entre sí obteniendo $ f '(x_) = ) over x_ - X_ > longrightarrow $ $ x_ - X_ = ) sobre f '(x_)> longrightarrow $ $ x_ = x_ - ) sobre f '(x_)> longrightarrow $ es decir, la recursividad para el método de Newton es $ x_ = x_ - ) sobre f '(x_)> $


En la lista de problemas del método de Newton que sigue, la mayoría de los problemas son promedio y algunos son algo desafiantes. Recomiendo usar la calculadora gráfica Desmos si desea graficar funciones. Es divertido y fácil de usar.

    PROBLEMA 1: Aplique el método de Newton a la ecuación $ x ^ 3 + x-5 = 0 $. Comience con la estimación inicial dada, $ x_ <0> $, y encuentre $ x_ <1> $ y $ x_ <2> $. Luego, use una hoja de cálculo o alguna otra herramienta tecnológica para encontrar la solución a esta ecuación con cinco lugares decimales.

a.) Utilice la estimación inicial $ x_ <0> = 0 $.
b.) Utilice la estimación inicial $ x_ <0> = 1 $.
c.) Utilice la estimación inicial $ x_ <0> = -1 $.

Haga clic AQUÍ para ver una solución detallada al problema 1.

a.) Utilice la estimación inicial $ x_ <0> = 1 $.
b.) Utilice la estimación inicial $ x_ <0> = 2 $.
c.) Utilice la estimación inicial $ x_ <0> = 0.5 $.
d.) Utilice la estimación inicial $ x_ <0> = 1000 $!
e.) Utilice la estimación inicial $ x_ <0> = -500 $!

Haga clic AQUÍ para ver una solución detallada al problema 2.

Haga clic AQUÍ para ver una solución detallada al problema 3.

Haga clic AQUÍ para ver una solución detallada al problema 4.

Haga clic AQUÍ para volver a la lista original de varios tipos de problemas de cálculo.

Tus comentarios y sugerencias son bienvenidos. Envíe por correo electrónico cualquier correspondencia a Duane Kouba haciendo clic en la siguiente dirección:

Un sincero "Gracias" para The MathJax Consortium por hacer que la construcción de esta página web sea divertida y fácil.


Queremos minimizar $ f ( mathbfPS En primer lugar, consideramos su serie de Taylor truncada de segundo orden:

$ f ( mathbf) approx sombrero( mathbf) = f ( mathbf) + [ mathbf- mathbf] ^ T , nabla f ( mathbf) + frac <1> <2> , [ mathbf- mathbf] ^ T , nabla ^ 2 f ( mathbf) , [ mathbf- mathbf]$

Considerando la matriz de Hesse $ nabla ^ 2 f ( mathbf) $ es positivo-definido, $ hat( mathbf) $ se puede minimizar fácilmente:

Entonces tenemos el valor minimizado:

$ sombrero( mathbf) = f ( mathbf) - [ nabla ^ 2 f ( mathbf) ^ <-1> nabla f ( mathbf)] ^ T nabla f ( mathbf) + frac <1> <2> [ nabla ^ 2 f ( mathbf) ^ <-1> nabla f ( mathbf)] ^ T nabla ^ 2 f ( mathbf) [ nabla ^ 2 f ( mathbf) ^ <-1> nabla f ( mathbf)]$

Entonces, el decremento en la aproximación $ hat( mathbf) $ viene dado por:

(Una matriz de Hesse es siempre simétrica para funciones de "buen comportamiento")


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Contenido

La idea es comenzar con una suposición inicial que esté razonablemente cerca de la raíz verdadera, luego aproximar la función por su línea tangente usando el cálculo, y finalmente calcular la intersección con el eje x de esta línea tangente por el álgebra elemental. Esta intersección con x será típicamente una mejor aproximación a la raíz de la función original que la primera aproximación, y el método se puede iterar.

Más formalmente, suponga F : (a, B) → ℝ es una función diferenciable definida en el intervalo (a, B) con valores en los números reales ℝ, y tenemos alguna aproximación actual Xnorte . Entonces podemos derivar la fórmula para una mejor aproximación, Xnorte + 1 consultando el diagrama de la derecha. La ecuación de la recta tangente a la curva. y = F (X) a X = Xnorte es

donde f ′ denota la derivada. La intersección con x de esta línea (el valor de x que hace y = 0) se toma como la siguiente aproximación, Xnorte + 1 , a la raíz, de modo que la ecuación de la recta tangente se satisfaga cuando (x, y) = (x n + 1, 0) < displaystyle (x, y) = (x_,0)> :

Resolviendo para Xnorte + 1 da

Comenzamos el proceso con algún valor inicial arbitrario X0 . (Cuanto más cerca del cero, mejor. Pero, en ausencia de intuición sobre dónde podría estar el cero, un método de "adivinar y comprobar" podría reducir las posibilidades a un intervalo razonablemente pequeño apelando al teorema del valor intermedio). El método generalmente convergerá, siempre que esta suposición inicial esté lo suficientemente cerca del cero desconocido, y que f ′(X0) ≠ 0. Además, para un cero de multiplicidad 1, la convergencia es al menos cuadrática (ver tasa de convergencia) en una vecindad del cero, lo que intuitivamente significa que el número de dígitos correctos aproximadamente se duplica en cada paso. Se pueden encontrar más detalles en la sección de análisis a continuación.

Los métodos de los jefes de hogar son similares pero tienen un orden superior para una convergencia aún más rápida. Sin embargo, los cálculos adicionales necesarios para cada paso pueden ralentizar el rendimiento general en relación con el método de Newton, especialmente si f o sus derivados son computacionalmente costosos de evaluar.

El nombre "método de Newton" se deriva de la descripción de Isaac Newton de un caso especial del método en De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (escrito en 1669, publicado en 1711 por William Jones) y en De metodis fluxionum et serierum infinitarum (escrito en 1671, traducido y publicado como Método de fluxiones en 1736 por John Colson). Sin embargo, su método difiere sustancialmente del método moderno mencionado anteriormente. Newton aplicó el método solo a polinomios, comenzando con una estimación de raíz inicial y extrayendo una secuencia de correcciones de errores. Usó cada corrección para reescribir el polinomio en términos del error restante, y luego resolvió una nueva corrección al descuidar los términos de mayor grado. No relacionó explícitamente el método con derivados ni presentó una fórmula general. Newton aplicó este método tanto a problemas numéricos como algebraicos, produciendo series de Taylor en el último caso.

Newton pudo haber derivado su método de un método similar pero menos preciso de Vieta. La esencia del método de Vieta se puede encontrar en el trabajo del matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi, mientras que su sucesor Jamshīd al-Kāshī utilizó una forma del método de Newton para resolver x Pnorte = 0 para encontrar raíces de N (Ypma 1995). Un caso especial del método de Newton para calcular raíces cuadradas se conoce desde la antigüedad y a menudo se denomina método babilónico.

El método de Newton fue utilizado por el matemático japonés del siglo XVII Seki Kōwa para resolver ecuaciones de una sola variable, aunque faltaba la conexión con el cálculo. [1]

El método de Newton se publicó por primera vez en 1685 en Un tratado de álgebra histórica y práctica por John Wallis. [2] En 1690, Joseph Raphson publicó una descripción simplificada en Análisis aequationum universalis. [3] Raphson también aplicó el método solo a polinomios, pero evitó el tedioso proceso de reescritura de Newton extrayendo cada corrección sucesiva del polinomio original. Esto le permitió derivar una expresión iterativa reutilizable para cada problema. Finalmente, en 1740, Thomas Simpson describió el método de Newton como un método iterativo para resolver ecuaciones generales no lineales usando cálculo, esencialmente dando la descripción anterior. En la misma publicación, Simpson también da la generalización a sistemas de dos ecuaciones y señala que el método de Newton se puede usar para resolver problemas de optimización estableciendo el gradiente en cero.

Arthur Cayley en 1879 en El problema imaginario de Newton-Fourier fue el primero en notar las dificultades para generalizar el método de Newton a raíces complejas de polinomios con grado mayor que 2 y valores iniciales complejos. Esto abrió el camino al estudio de la teoría de iteraciones de funciones racionales.

El método de Newton es una técnica poderosa; en general, la convergencia es cuadrática: a medida que el método converge en la raíz, la diferencia entre la raíz y la aproximación se eleva al cuadrado (el número de dígitos exactos se duplica aproximadamente) en cada paso. Sin embargo, existen algunas dificultades con el método.

Dificultad para calcular la derivada de una función Editar

El método de Newton requiere que la derivada se pueda calcular directamente. Es posible que no se pueda obtener fácilmente una expresión analítica para el derivado o que su evaluación podría resultar costosa. En estas situaciones, puede ser apropiado aproximar la derivada usando la pendiente de una línea a través de dos puntos cercanos en la función. El uso de esta aproximación daría como resultado algo parecido al método de la secante cuya convergencia es más lenta que la del método de Newton.

Fallo del método para converger a la raíz Editar

Es importante revisar la prueba de convergencia cuadrática del método de Newton antes de implementarlo. Específicamente, se deben revisar las suposiciones hechas en la prueba. Para situaciones en las que el método no converge, es porque no se cumplen los supuestos hechos en esta prueba.

Sobrepaso Editar

Si la primera derivada no se comporta bien en la vecindad de una raíz en particular, el método puede sobrepasar y divergir de esa raíz. An example of a function with one root, for which the derivative is not well behaved in the neighborhood of the root, is

In some cases, Newton's method can be stabilized by using successive over-relaxation, or the speed of convergence can be increased by using the same method.

Stationary point Edit

If a stationary point of the function is encountered, the derivative is zero and the method will terminate due to division by zero.

Poor initial estimate Edit

A large error in the initial estimate can contribute to non-convergence of the algorithm. To overcome this problem one can often linearize the function that is being optimized using calculus, logs, differentials, or even using evolutionary algorithms, such as the stochastic tunneling. Good initial estimates lie close to the final globally optimal parameter estimate. In nonlinear regression, the sum of squared errors (SSE) is only "close to" parabolic in the region of the final parameter estimates. Initial estimates found here will allow the Newton–Raphson method to quickly converge. It is only here that the Hessian matrix of the SSE is positive and the first derivative of the SSE is close to zero.

Mitigation of non-convergence Edit

In a robust implementation of Newton's method, it is common to place limits on the number of iterations, bound the solution to an interval known to contain the root, and combine the method with a more robust root finding method.

Slow convergence for roots of multiplicity greater than 1 Edit

If the root being sought has multiplicity greater than one, the convergence rate is merely linear (errors reduced by a constant factor at each step) unless special steps are taken. When there are two or more roots that are close together then it may take many iterations before the iterates get close enough to one of them for the quadratic convergence to be apparent. However, if the multiplicity m of the root is known, the following modified algorithm preserves the quadratic convergence rate: [4]

This is equivalent to using successive over-relaxation. On the other hand, if the multiplicity m of the root is not known, it is possible to estimate m after carrying out one or two iterations, and then use that value to increase the rate of convergence.

If the multiplicity m of the root is finite then gramo(X) = F(X) / f′(X) will have a root at the same location with multiplicity 1. Applying Newton's method to find the root of gramo(X) recovers quadratic convergence in many cases although it generally involves the second derivative of F(X) . In a particularly simple case, if F(X) = X metro luego gramo(X) = X / metro and Newton's method finds the root in a single iteration with

Suppose that the function f has a zero at α , i.e., F (α) = 0 , and f is differentiable in a neighborhood of α .

If f is continuously differentiable and its derivative is nonzero at α , then there exists a neighborhood of α such that for all starting values X0 in that neighborhood, the sequence <Xn> will converge to α . [5]

If the function is continuously differentiable and its derivative is not 0 at α and it has a second derivative at α then the convergence is quadratic or faster. If the second derivative is not 0 at α then the convergence is merely quadratic. If the third derivative exists and is bounded in a neighborhood of α , then:

If the derivative is 0 at α , then the convergence is usually only linear. Specifically, if f is twice continuously differentiable, f ′(α) = 0 and f ″(α) ≠ 0 , then there exists a neighborhood of α such that, for all starting values X0 in that neighborhood, the sequence of iterates converges linearly, with rate 1/2 [6] Alternatively, if f ′(α) = 0 and f ′(X) ≠ 0 for Xα , x in a neighborhood U of α , α being a zero of multiplicity r , and if FC r (U) , then there exists a neighborhood of α such that, for all starting values X0 in that neighborhood, the sequence of iterates converges linearly.

However, even linear convergence is not guaranteed in pathological situations.

In practice, these results are local, and the neighborhood of convergence is not known in advance. But there are also some results on global convergence: for instance, given a right neighborhood U+ of α , if f is twice differentiable in U+ y si f ′ ≠ 0 , F · f ″ > 0 in U+ , then, for each X0 en U+ the sequence Xk is monotonically decreasing to α .

Proof of quadratic convergence for Newton's iterative method Edit

According to Taylor's theorem, any function F (X) which has a continuous second derivative can be represented by an expansion about a point that is close to a root of F (X) . Suppose this root is α . Then the expansion of F (α) about Xn is:


Non-polynomial Functions with Multiple Roots

When using a computer to find roots of more complicated functions it's best to comprender what is going on and give the computer a guess close to your desired answer.

Ejemplo 2

[Certain math software is not able to find the solution directly for us. We need to know how to properly use the tool to get the solution, either with graphs or setting up Newton's Method. This could involve giving an initial estimate for the root.]

There appear to be 2 roots, one near t = &minus1 and the other near t = 3 . However, if we look more carefully in the region near t = 3 (by zooming in), we see that there is more than one root there.

By simple substitution, we can see that one of the roots is exactly t = 3 :

Now for the root near t = 3.4 .

We will use Newton's Method to approximate the root. We need to differentiate y = 1&minus t 2 + 2 t . Since we have t as an exponent in our expression, we need to use logarithms when differentiating. [See how to differentiate logarithms in Derivative of the Logarithmic Function].

Let's differentiate 2 t by itself first.

Take natural log of both sides:

So for Newton's Method in this example, we would have:

We can write this more conveniently (for later steps) showing the substitution as:

Now, doing another step of Newton's Method:

We can conclude that correct to 7 decimal places, t = 3.4074505 .

Using Graphs Instead

Using a computer algebra system, we can zoom into the root and we can see (from where the graph cuts the y-axis) that t is indeed close to `3.40745`.

Now for the negative case. Dejar t0 = &minus1 be our initial guess.

`t_2` `=-1.213076633-` `[(1-t^2+2^t)/(-2t+2^t ln 2)]_(t=-1.213076633)` `=-1.198322474`

`t_3` `=-1.198322474-` `[(1-t^2+2^t)/(-2t+2^t ln 2)]_(t=-1.198322474)` `=-1.198250199`

We could continue until we obtained the required accuracy.

Comparing this to the zoomed in graph, we can see that the solution is t = &minus1.198250197 , correct to 9 decimal places.

So the solutions for 1&minus t 2 + 2 t = 0 are

correct to 5 decimal places.


BIBLIOGRAPHY

Aristotle, Physics, Book I Nicomachean Ethics, Book III
cf. Thomas L. Health, Mathematics in Aristotle (Oxford,
1949), pp. 270-72. F. Bacon, The Philosophical Works of
Francis Bacon,
ed. J. M. Robertson (London, 1905), p. 249.
Isaac Barrow, Mathematical Lectures read in the Publick
Schools at the University of Cambridge,
trans. John Kirkby
(London, 1734) for Barrow's familiarity with Galileo's works
see Marie Boas Hall, “Galileo's Influence on Seventeenth-
Century English Scientists,” in Galileo, Man of Science, ed.
Ernan McMullin (New York and London, 1967), pp. 411-12.
Ernst Cassirer, Das Erkenntnisproblem, 3 vols. (Berlin,
1922-23), I, 136-44 for Randall's view, see his well-known
paper “Scientific Method in the School of Padua,” Journal
of the History of Ideas,
1 (1940), 177-206, and its revision
en su The School of Padua and the Emergence of Modern
Ciencia
(Padua, 1961). Cassirer accepted the results of
Randall's inquiry but could not “subscribe to his conclu-
sions,” for he believed Galileo's conception of the dual
method, despite the identity of the terms used, to be more
influenced by the mathematical tradition than by the phi-
losophers of Padua see his “Galileo's Platonism,” in M. P.
Ashley Montagu, ed. Studies and Essays in the History of
Science and Learning
(New York, 1946), pp. 279-97. I. B.
Cohen, Franklin and Newton, An Inquiry into Speculative
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. (Philadelphia, 1956).
M. R. Cohen and I. Drabkin, eds., A Source Book in
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(New York, 1948 Cambridge, Mass. 1959). UN.
Crombie, Robert Grosseteste and the Origins of Experimental
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C. Adam and P. Tannery, 13 vols. (Paris, 1891-1912). Galen,
Claudii Galeni Opera omnia, ed. C. G. Kühn, 20 vols.
(Leipzig, 1821-33) idem, Galen on Medical Experience, ed.
and trans. R. Walzer (London and New York, 1944). Galileo
Galilei, “Letter to the Grand Duchess Christina” (1615),
in S. Drake, Discoveries and Opinions of Galileo (Garden
City, N.Y., 1957) idem, Opere di Galileo Galilei, ed. UN.
Favaro, 20 vols. (Florence, 1890-1909 reprint 1929-39)
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Crew and A. de Salvio (New York, 1914) idem, Dialogue
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trans. S. Drake
(Berkeley and Los Angeles, 1953). Neal Gilbert, Renaissance
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L. Hankins, Jean D'Alembert—Science and the Enlighten-
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(Oxford, 1970), passim. Jaako Hintikka, “Kant and the
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schungszentrum für Grundfragen der Wissenschaften Salz-
burg,
ed. Paul Weingartner (Pustet-Verlag, Salzburg, and
Munich, 1966), pp. 254-72. Robert Hooke, Micrographia
(London, 1665) Hooke used Bacon's term instantia crucis
but in one place modified it to read experimentum crucis.
See Richard S. Westfall, “The Development of Newton's
Theory of Color,” Isis, 53 (1962), 354, and note 46. For a
skeptical appraisal of Newton's famous experiment see
A. I. Sabra, Theories of Light from Descartes to Newton
(London, 1967), pp. 294-97. Sabra's argument that only
Newton's adherence to a corpuscular doctrine permitted
him to infer the heterogeneity of white light from this
experiment is inconclusive. W. S. Jevons, The Principles of
Ciencia
(London and New York, 1905). P. S. de Laplace,
Exposition du système du monde, 6th ed. (Paris, 1835).
A. L. Lavoisier, Traité élémentaire de chimie (Paris, 1789).
Colin Maclaurin, Account of Sir Isaac Newton's Philo-
sophical Discoveries,
3rd ed. (London, 1775). Paul Mouy,
Le Développement de la physique cartésienne, 1646-1712
(Paris, 1934). Isaac Newton, Mathematical Principles of
Natural Philosophy,
ed. F. Cajori (Berkeley, 1934) idem,
Opticks, 4th ed. (1730) idem, Isaac Newton's Papers and
Letters on Natural Philosophy,
ed. I. B. Cohen (Cambridge,
Mass., 1958) idem, “Account of the Booke entituled Com-
mercium Epistolicum, etc.,” Philosophical Transactions, 19,
No. 342 (1717) trans. “Recensio,” in the second edition
(1722) of the Commercium for Newton's authorship of this
“Account” see Louis T. More, Isaac Newton (New York,
1934), pp. 590-91, note 43 idem, Universal Arithmetick
(London, 1728). Jacques Rohault, Traité de physique (Paris,
1671). W. J. 'sGravesande, Introductio ad philosophiam,
metaphysicam et logicam continens
(Leiden, 1736) trans.
into French as Oeuvres philosophiques et mathématiques de
Mr G. J. 'sGravesande,
ed. J. N. S. Allamand, two parts in
one vol. (Amsterdam, 1774). E. W. Strong, “Newton's
'Mathematical Way'” in Roots of Scientific Thought, eds.
Philip P. Wiener and Aaron Noland (New York, 1957) the
article is reprinted, somewhat abridged, from the Journal
of the History of Ideas,
12 (1951), 90-110. Henry G. Van
Leeuwen, The Problem of Certainty in English Thought
(The Hague, 1963). Basil Willey, The Seventeenth Century
Background
(London, 1949).

[See also Baconianism Classification of the Sciences
Cosmology Experimental Science Newton's Opticks
Number Optics Unity of Science.]


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Damped Newton's Method

To help improve convergence, newton's method may be dampened with a constant α from (0,1].

Ideally, the each value of α should have the next iteration get as close to the root as possible. Only possible method of determining α is the Bank-Rose algorithm. Ώ]


Ver el vídeo: Metodo Newton Raphson explicacion de grafica y excel (Octubre 2021).