Artículos

2.3: Los axiomas lógicos


Sea un lenguaje de primer orden ( mathcal {L} ). Además, podríamos, en principio, diseñar un programa de computadora que pudiera decidir la pertenencia a ( Lambda ) en una cantidad de tiempo finita.

Una vez que hayamos establecido el conjunto de axiomas lógicos ( Lambda ) y queremos comenzar a hacer matemáticas, querremos agregar axiomas adicionales que están diseñados para permitirnos deducir declaraciones sobre cualquier sistema matemático que podamos tener en mente. Éstos constituirán la colección de axiomas no lógicos, ( Sigma ). Por ejemplo, si estamos trabajando en teoría de números, usando el lenguaje ( mathcal {L} _ {NT} ), junto con los axiomas lógicos ( Lambda ), también querremos usar otros axiomas que conciernen al propiedades de la suma y la relación de ordenación denotada por el símbolo (<). Estos axiomas adicionales son las fórmulas que colocaremos en ( Sigma ). Luego, a partir de este conjunto expandido de axiomas ( Lambda cup Sigma ) intentaremos escribir deducciones de fórmulas que hagan enunciados de interés teórico de números. Para reiterar: ( Lambda ), el conjunto de axiomas lógicos, será fijo, al igual que la colección de reglas de inferencia. Pero el conjunto de axiomas no lógicos debe especificarse para cada deducción. En la sección actual presentamos solo los axiomas lógicos, tratando con las reglas de inferencia en la sección 2.4 y postergando nuestra discusión de los axiomas no lógicos hasta la sección 2.8.

Axiomas de igualdad

Hemos tomado la ruta de asumir que el símbolo de igualdad, (= ), es parte del lenguaje ( mathcal {L} ). Hay tres grupos de axiomas que están diseñados para este símbolo. El primero solo dice que cualquier objeto es igual a sí mismo:

[x = x : text {para cada variable} : x. etiqueta {E1} ]

Para el segundo grupo de axiomas, suponga que (x_1, x_2, ldots, x_n ) son variables, (y_1, y_2, ldots, y_n ) son variables y (f ) es una (n ) - símbolo de función aria.

[ left [ left (x_1 = y_1 right) land left (x_2 = y_2 right) land cdots land left (x_n = y_n right) right] rightarrow left (f izquierda (x_1, x_2, ldots, x_n right) = f left (y_1, y_2, ldots, y_n right) right). etiqueta {E2} ]

Las suposiciones para el tercer grupo de axiomas son las mismas que para el segundo grupo, excepto que se supone que (R ) es un símbolo de relación (n ) - ario ( (R ) podría ser el símbolo de igualdad, que se ve como un símbolo de relación binaria).

[ left [ left (x_1 = y_1 right) land left (x_2 = y_2 right) land cdots land left (x_n = y_n right) right] rightarrow left (R izquierda (x_1, x_2, ldots, x_n right) rightarrow R rightarrow R left (y_1, y_2, ldots, y_n right) right). etiqueta {E3} ]

Los axiomas (E2) y (E3) son axiomas que están diseñados para permitir la sustitución de iguales por iguales. Nada más elegante que eso.

Axiomas cuantificadores

Los axiomas del cuantificador están diseñados para permitir un tipo de entrada muy razonable en una deducción. Suponga que conocemos ( forall x P left (x right) ). Entonces, si (t ) es cualquier término del lenguaje, deberíamos poder decir (P left (t right) ). Para evitar problemas como los descritos al comienzo de la sección 1.8, exigiremos que el término (t ) sea sustituible por la variable (x ).

[ left ( forall x phi right) rightarrow phi_t ^ x, : text {if} : t : text {es sustituible por} : x : text {in} : phi. etiqueta {Q1} ]

[ phi_t ^ x rightarrow left ( existe x phi right), : text {if} : t : text {es sustituible por} : x : text {in} : phi. etiqueta {Q2} ]

En muchos textos de lógica, el axioma (Q1) se llamaría instanciación universal, mientras que (Q2) se conocería como generalización existencial. Evitaremos este lenguaje impresionante y nos quedaremos con los más mundanos (Q1) y (Q2).

Resumen

Solo para reunir todos los axiomas lógicos en un solo lugar, expresémoslos una vez más. El conjunto ( Lambda ) de axiomas lógicos es la colección de todas las fórmulas que caen en una de las siguientes categorías:

[x = x : text {para cada variable} : x. etiqueta {E1} ]

[ left [ left (x_1 = y_1 right) land left (x_2 = y_2 right) land cdots land left (x_n = y_n right) right] rightarrow left (f izquierda (x_1, x_2, ldots, x_n right) = f left (y_1, y_2, ldots, y_n right) right). etiqueta {E2} ]

[ left [ left (x_1 = y_1 right) land left (x_2 = y_2 right) land cdots land left (x_n = y_n right) right] rightarrow left (R izquierda (x_1, x_2, ldots, x_n right) rightarrow R left (y_1, y_2, ldots, y_n right) right). etiqueta {E3} ]

[ left ( forall x phi right) rightarrow phi_t ^ x, : text {if} : t : text {es sustituible por} : x : text {in} : phi. etiqueta {Q2} ]

Observe que ( Lambda ) es decidible. Podríamos escribir un programa de cálculo que, dada una fórmula ( phi ), pueda decidir en una cantidad finita de tiempo si ( phi ) es o no un elemento de ( Lambda ).


Ver el vídeo: MicroBásica: Qué son los axiomas de las preferencias? Completitud, Reflexividad, Transitividad (Octubre 2021).