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5.4: Teoría de sistemas de ecuaciones diferenciales - Matemáticas


Resulta que la teoría de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales se parece a la teoría de ecuaciones diferenciales de orden superior. Esta discusión adoptará la siguiente notación. Considere el sistema de ecuaciones diferenciales

[ begin {align *} & x_1 '= p_ {11} (t) x_1 + dots + p_ {1n} (t) + g_1 (t) & vdots qquad vdots qquad qquad qquad ; ; ; vdots qquad quad ; ; vdots & x_n '= p_ {n1} (t) x_1 + dots + p_ {nn} (t) + g_n (t). end {alinear *} ]

Escribimos este sistema como

[ textbf {x} '= textbf {P} (t) textbf {x} + textbf {g} (t). ]

Un vector ( textbf {x} = textbf {f} (t) ) es una solución del sistema de ecuación diferencial si

[ textbf (f) '= textbf {P} (t) textbf {f} + textbf {g} (t). ]

Si ( textbf {g} (t) = 0 ) el sistema de ecuaciones diferenciales se llama homogéneo. De lo contrario, se llama no homogéneo.

Teorema: El espacio solución es un espacio vectorial

Suponga que ( textbf {x} ^ {(1)} ), ( textbf {x} ^ {(2)} ), ..., ( textbf {x} ^ {(k) } ) son soluciones al sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales

[ textbf {x} '= textbf {P} (t) textbf {x} ]

luego

[c_1 textbf {x} ^ {(1)} + c_2 textbf {x} ^ {(2)} + , ... , + c_k textbf {x} ^ {(k)} ]

también es una solución para cualquier constante (c_1 ), (c_2 ), ..., (c_k ).

Así como teníamos el Wronskiano para ecuaciones diferenciales lineales de orden superior, podemos definir una bestia similar para sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.

Si

[ textbf {x} ^ {(1)}, textbf {x} ^ {(2)}, dots, textbf {x} ^ {(n)} ]

son (n ) soluciones de un sistema (n veces n ), entonces el Wronskian de este conjunto es el determinante de la matriz cuya columna (i ^ {th} ) es ( textbf {x} ^ {(i)} ).

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Dejar

[ textbf {x} ^ {(1)} = begin {pmatrix} e ^ t e ^ {- t} end {pmatrix}, ; ; ; x ^ {(2)} = begin {pmatrix} 2e ^ {(t)} 3e ^ {(- t)} end {pmatrix}. sin número]

Luego

[W (t) = begin {vmatrix} e ^ t & 2e ^ t e ^ {- t} & 3e ^ {- t} end {vmatrix} = 3-2 = 1. sin número]

Es una consecuencia directa del álgebra lineal que las soluciones son linealmente independientes si y solo si el wronskiano es distinto de cero. De hecho, más es verdad. Hay una generalización del teorema de Abel para sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.

[ dfrac {W} {dt} = (p_ {11} + p_ {22} + ... p_ {nn}) W ]

El teorema principal sobre unicidad y existencia de soluciones de sistemas de ecuaciones diferenciales también es válido. Lo expresamos a continuación.

Teorema: existencia y unicidad de los sistemas

Dejar

[ textbf {x} '= textbf {P} (t) textbf {x} ]

sea ​​una ecuación diferencial con (p_ {ij} ) continua para todo (i ) y (j ) en el intervalo (a

[ textbf {x} (0) = textbf {x} _0 ]

se da, entonces existe una única solución en el intervalo ((a, b) ).

En particular, si

[ textbf {x} ^ {(1)}, textbf {x} ^ {(2)}, dots, textbf {x} ^ {(n)} ]

son soluciones del sistema homogéneo, y si el wronskiano es distinto de cero, entonces

[ textbf {y} = c_1 textbf {x} ^ {(1)} + c_2 textbf {x} ^ {(2)} + dots + c_k textbf {x} ^ {(k)} ]

es la solución general al sistema. Llamamos a ( textbf {x} ^ {(1)}, textbf {x} ^ {(2)}, dots, textbf {x} ^ {(n)} ) a conjunto fundamental de soluciones al sistema de ecuaciones diferenciales.

En particular, si la matriz Wronskiana en (t_0 ) es la matriz identidad ( (W (t_0) = I )) entonces su determinante es uno, por lo tanto, no cero. Esto nos da el siguiente teorema.

Teorema

Dejar

[e ^ {(1)} = begin {pmatrix} 1 0 0 vdots 0 end {pmatrix}, e ^ {(2)} = begin {pmatrix} 0 1 0 vdots 0 end {pmatrix}, dots, e ^ {(n)} = begin {pmatrix} 0 0 0 vdots 1 end {pmatrix}. ]

Si ( textbf {x} ^ {(1)}, textbf {x} ^ {(2)}, dots, textbf {x} ^ {(n)} ) son soluciones al sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales que satisfacen las condiciones

[ textbf {x} ^ {(1)} (t_0) = e ^ {(1)}, textbf {x} ^ {(2)} (t_0) = e ^ {(2)}, dots , textbf {x} ^ {(n)} (t_0) = e ^ (n) ]

luego forman un conjunto fundamental de soluciones.


5.4: Teoría de sistemas de ecuaciones diferenciales - Matemáticas

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Editor de expresiones matemáticas

Mostramos cómo los sistemas lineales se pueden escribir en forma de matriz y hacemos muchas comparaciones con temas que hemos estudiado anteriormente.

Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales

Un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden que se puede escribir en la forma

se llama un sistema lineal.

El sistema lineal (ecuación: 10.2.1) se puede escribir en forma matricial como

donde llamamos el matriz de coeficientes de (eq: 10.2.2) y el función de fuerza. Lo diremos y estamos continuo si sus entradas son continuas. Si, entonces (ecuación: 10.2.2) es homogéneo de lo contrario, (ecuación: 10.2.2) es no homogéneo.

Un problema de valor inicial para (ecuación: 10.2.2) consiste en encontrar una solución de (ecuación: 10.2.2) que sea igual a un vector constante dado en algún punto inicial. Escribimos este problema de valor inicial como

El siguiente teorema proporciona condiciones suficientes para la existencia de soluciones de problemas de valor inicial para (ecuación: 10.2.2). Omitimos la prueba.

ítem: 10.2.1c Debemos elegir y en (ecuación: 10.2.4) de modo que lo que sea equivalente a Resolver este sistema rinda, por lo que es la solución de (ecuación: 10.2.5).

Fuente de texto

Trench, William F., "Ecuaciones diferenciales elementales" (2013). Libros y CDs editados y escritos por profesores. 8. (CC-BY-NC-SA)


5.4: Teoría de sistemas de ecuaciones diferenciales - Matemáticas

Количество зарегистрированных учащихся: 43 тыс.

Este curso trata sobre ecuaciones diferenciales y cubre material que todos los ingenieros deben conocer. Se enseñan tanto la teoría básica como las aplicaciones. En las primeras cinco semanas aprenderemos acerca de las ecuaciones diferenciales ordinarias y, en la última semana, las ecuaciones diferenciales parciales. El curso se compone de 56 videos breves de conferencias, con algunos problemas simples para resolver después de cada conferencia. Y después de cada tema importante, hay un breve cuestionario de práctica. Las soluciones a los problemas y las pruebas de práctica se pueden encontrar en las notas de clase proporcionadas por el instructor. Hay un total de seis semanas en el curso, y al final de cada semana hay un cuestionario evaluado. Descargue las notas de la conferencia: http://www.math.ust.hk/

machas / diferencial-ecuaciones-para-ingenieros.pdf Vea el video promocional: https://youtu.be/eSty7oo09ZI

Получаемые навыки

Ecuación diferencial ordinaria, Ecuación diferencial parcial (PDE), Matemáticas de ingeniería

Рецензии

Mejor curso. han explicado los aspectos teóricos y prácticos de las ecuaciones diferenciales y, al mismo tiempo, han cubierto una parte sustancial del tema de una manera muy fácil y didáctica.

Creo que este curso es muy adecuado para cualquier mente curiosa. Puede aprender conceptos muy importantes y necesarios con este curso. N nLos cursos impartidos por el profesor Dr. Chasnov son excelentes.

Sistemas de ecuaciones diferenciales

Aprendemos a resolver un sistema acoplado de ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden con coeficientes constantes. Este sistema de odas se puede escribir en forma matricial, y aprendemos cómo convertir estas ecuaciones en un problema estándar de valores propios de álgebra matricial. Las soluciones bidimensionales se visualizan mediante retratos de fase. Luego aprendemos sobre la importante aplicación de los osciladores armónicos acoplados y el cálculo de los modos normales. Los modos normales son aquellos movimientos para los que las masas individuales que componen el sistema oscilan con la misma frecuencia.

Преподаватели

Jeffrey R. Chasnov

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En este video, quiero hablar sobre lo que creo que es un problema muy interesante. Este es el caso cuando tiene dos masas conectadas por un resorte y luego conectadas por otros dos resortes a una pared. Queremos entender si desplaza estas masas y las dejas oscilar, ¿cómo entendemos la oscilación de estas masas? La solución de este problema utilizará nuestro sistema de ecuaciones que acabamos de estudiar y los valores propios y los vectores propios. Entonces, comencemos por ver una simulación de este problema que hice en MathLab. Bien, estamos viendo la oscilación de dos masas con condiciones iniciales aleatorias. Ves que las masas se mueven de un lado a otro. El movimiento parece aleatorio, pero de hecho este movimiento no es aleatorio. Este movimiento es realmente muy simple, pero no podrá verlo a menos que resuelva las matemáticas. Eso es lo que quiero hacer. Bien, tenemos nuestra situación aquí. Las x uno y x dos se miden a partir de las posiciones de equilibrio de estas masas. Tenemos tres manantiales. Los dos del extremo tienen una constante de resorte de poco k. El del medio tiene una constante de resorte de gran K. Ambas masas son iguales. He construido esta situación para que tengamos una simetría muy agradable aquí. Ya sea que mire esta situación desde arriba o desde abajo, se ve exactamente igual. Eso significa que la solución tendrá una buena simetría. También estamos asumiendo que aquí no hay fricción. Entonces, digamos que esta es una vista superior y las masas se deslizan sobre el hielo, por lo que hay muy poca fricción. Hay dos leyes físicas que necesitamos para escribir la ecuación gobernante. La primera es la ley de Newton que todo el mundo conoce, que es la fuerza igual a la masa multiplicada por la aceleración. La aceleración es, por supuesto, la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo. La segunda ley se llama ley de Hooke & # x27s, que es una ley que se usa para entender el movimiento bajo fuerzas de resorte. Esto se escribe como F es igual a menos kx, donde x es el desplazamiento de la masa desde su posición de equilibrio y k es la llamada constante de resorte. Así que aquí, hemos escrito cuáles deberían ser las constantes de resorte. Bueno. Entonces, ¿cómo escribimos las ecuaciones gobernantes? Tenemos que considerar las fuerzas sobre cada masa por separado. Entonces, no consideremos primero la fuerza sobre la primera masa. Entonces, tenemos masa multiplicada por aceleración. Entonces, esa será la masa multiplicada por la aceleración de la primera masa, que es la segunda derivada de la posición x uno, d al cuadrado x uno d ​​t al cuadrado o x un punto doble. Se supone que esto es igual a las fuerzas sobre él. Las fuerzas sobre la primera masa se deben simplemente a los resortes. Entonces, la fuerza debida al primer resorte es solo la ley de Hooke menos kx uno. La fuerza debida al segundo resorte es también la ley de Hooke menos el capital Kx uno, excepto que la complicación es que ese resorte también está conectado a la segunda masa. Entonces, si x uno y x dos fueran iguales, entonces estas dos masas se mueven la misma cantidad hacia la derecha, el resorte del medio no cambiará su longitud. La fuerza neta debida a la extensión o compresión del resorte sobre esa masa aún sería cero. Entonces, eso significa que debemos tener en cuenta menos x dos aquí. Bien, entonces, la fuerza debida al resorte del medio es menos K x uno menos x dos, teniendo en cuenta que el resorte del medio está conectado tanto a la primera masa como a la segunda masa. Nuevamente, hacemos la misma ecuación para la segunda masa m x dos puntos dobles. Tenemos el resorte completamente a la derecha, es solo la ley de Hooke & # x27s menos k x dos. El resorte de la izquierda sería menos K x dos mayúsculas. Pero tenemos que tener en cuenta que ese resorte del medio también está conectado a la primera masa. Entonces, menos x uno. Bien, este es nuestro sistema de ecuaciones diferenciales. Son de segundo orden en lugar de de primer orden, pero también son lineales y homogéneos, como la situación que hemos estado resolviendo anteriormente. Podemos poner esta ecuación en forma de matriz. ¿Qué aspecto tendría? Tendríamos la masa multiplicada por la segunda derivada con respecto al tiempo del vector de posición x uno, x dos es igual a una matriz. Entonces, de la primera ecuación es la ecuación para x un punto doble. Entonces, necesitamos los términos proporcionales ax uno. Eso sería menos k pequeño menos K. grande Entonces, tenemos un k pequeño menos más K grande en el primer elemento. Entonces, el término proporcional ax dos, sería más grande K x dos. Entonces, tenemos una K más grande aquí. En la segunda ecuación, todo esto va a ser multiplicar x uno, x dos. Entonces, esa es la primera ecuación. Entonces, la segunda ecuación tiene una mayor K x uno. Tiene menos k x dos menos grandes K x dos. Por lo tanto, tiene una k menos pequeña más una K grande. Bien, ya ve lo bien que se ve esta matriz. Tiene el mismo elemento en las diagonales y es una matriz simétrica. Bien, podemos simplificar la notación. Podemos escribir esto simplemente como, déjame ponerlo aquí, como my luego, si definimos x como este vector de columna, entonces sería mx punto doble y & # x27s igual a esta matriz de dos por dos a veces x. Esta será la ecuación que necesitaremos resolver donde la matriz a viene dada por esta matriz de dos por dos. Lo haré en el siguiente video. Así que ahora, permítanme resumir lo que estamos haciendo. Estamos considerando un ejemplo de modelo que mostrará el poder de analizar un sistema de ecuaciones usando valores propios y vectores propios. Esto se denomina problema de modo normal. Aquí, por ejemplo, hago un caso muy simétrico, donde tenemos tres resortes y el resorte del medio es diferente a los dos de los lados y dos masas iguales. Podemos usar leyes físicas para escribir la ecuación que gobierna, la ley de Newton y la ley fenomenológica, sobre el comportamiento del resorte que se llama ley de Hooke. Luego, si considera cuidadosamente la posición de estas masas, puede escribir dos ecuaciones diferenciales de segundo orden y ponerlas en forma de matriz. Abordaremos la solución de esta ecuación en el siguiente video. Yo & # x27m Jeff Chasnov. Gracias por ver. Te veré la próxima vez.


5.4: Teoría de sistemas de ecuaciones diferenciales - Matemáticas

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Este curso trata sobre ecuaciones diferenciales y cubre material que todos los ingenieros deben conocer. Se enseñan tanto la teoría básica como las aplicaciones. En las primeras cinco semanas aprenderemos acerca de las ecuaciones diferenciales ordinarias y, en la última semana, las ecuaciones diferenciales parciales. El curso se compone de 56 videos breves de conferencias, con algunos problemas simples para resolver después de cada conferencia. Y después de cada tema importante, hay un breve cuestionario de práctica. Las soluciones a los problemas y las pruebas de práctica se pueden encontrar en las notas de clase proporcionadas por el instructor. Hay un total de seis semanas en el curso, y al final de cada semana hay un cuestionario evaluado. Descargue las notas de la conferencia: http://www.math.ust.hk/

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Ecuación diferencial ordinaria, Ecuación diferencial parcial (PDE), Matemáticas de ingeniería

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Mejor curso. han explicado los aspectos teóricos y prácticos de las ecuaciones diferenciales y, al mismo tiempo, han cubierto una parte sustancial del tema de una manera muy fácil y didáctica.

Creo que este curso es muy adecuado para cualquier mente curiosa. Puede aprender conceptos muy importantes y necesarios con este curso. N nLos cursos impartidos por el profesor Dr. Chasnov son excelentes.

Sistemas de ecuaciones diferenciales

Aprendemos a resolver un sistema acoplado de ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden con coeficientes constantes. Este sistema de odas se puede escribir en forma matricial, y aprendemos cómo convertir estas ecuaciones en un problema estándar de valores propios de álgebra matricial. Las soluciones bidimensionales se visualizan mediante retratos de fase. Luego aprendemos sobre la importante aplicación de los osciladores armónicos acoplados y el cálculo de los modos normales. Los modos normales son aquellos movimientos para los que las masas individuales que componen el sistema oscilan con la misma frecuencia.

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Jeffrey R. Chasnov

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Así que veamos el último tipo de retrato de fase. Uno para puntos espirales, aquí la ecuación diferencial es x_1 punto igual menos la mitad x_1 más x_2, x_2 punto es menos x_1 menos la mitad x_2. La matriz es menos la mitad 1 menos 1 menos la mitad. Si realiza el análisis de autovalores y autovectores en esa matriz, obtendrá un complejo conjugado de autovalores. Entonces, uno de los valores propios es menos la mitad más i y su vector propio asociado es uno i, y luego tiene el par conjugado complejo. Si escribimos la solución construyendo dos soluciones reales, terminaremos con x igual a esta exponencial decreciente multiplicada por a multiplicada por este coseno t menos seno t más b multiplicado por el seno t coseno t. Este tipo de solución es circular y luego tiene un decaimiento exponencial, por eso se obtiene una espiral. Déjame mostrarte cómo podría ser la solución. Entonces, el origen es el punto fijo y su decadencia exponencial, por lo que el punto fijo es estable y la solución gira en espiral hacia el origen. Entonces podría verse algo así, y luego te diriges al origen en espiral, y debido a que es estable, está entrando. Pero no estamos realmente seguros de cómo se ve porque hay dos formas de entrar en espiral. el origen. Esta es una de las formas, aquí ves que el movimiento es si te ves como un reloj, esto es en el sentido de las agujas del reloj, entonces esta es una espiral en el sentido de las agujas del reloj. Por otro lado, si tenemos una espiral en sentido antihorario, recuerde que esto es x_1 y x_2, x_1 y x_2, una espiral en sentido antihorario estará girando en espiral hacia el origen, pero en la otra dirección, así. Entonces, la solución puede verse como una de estas, es una espiral hacia el origen, pero podría ser en el sentido de las agujas del reloj o, en este caso, en el sentido contrario a las agujas del reloj. Entonces, ¿cómo saber cuál es? La forma más sencilla es simplemente mirar el punto en el eje x_2. Entonces aquí tenemos x_1 igual a 0, en ese punto, y aquí también. Si miramos x_1 igual a 0, entonces tenemos x_1 punto igual a x_2. Entonces, x_1 punto es igual a x_2, lo que significa que te estás moviendo hacia la derecha. Entonces, en el diagrama superior, la trayectoria se mueve hacia la derecha, y en el diagrama inferior, la trayectoria se mueve hacia la izquierda. Entonces sustituimos en x_1 igual a 0, x_2 es ​​positivo, entonces x_1 punto es positivo aquí, y eso debería ser, eso & # x27s correcto. Pero aquí el punto x_1 es negativo, por lo que este es incorrecto, este es correcto. Bueno. Veamos & # x27s un retrato de fase generado por computadora usando MATLAB. Entonces aquí puede ver cómo todas las trayectorias están girando en espiral hacia el origen. Bueno. Así que permítanme revisar, en este último y último caso, consideramos puntos espirales. Aquí los valores propios son complejos, se muestran como pares conjugados complejos. La clave aquí es la parte real del valor propio. Entonces, si la parte real es negativa, entonces esta es una espiral estable, todas las soluciones giran hacia el origen, si la parte real es positiva, entonces esta es una espiral inestable, todas las soluciones salen del origen. Entonces tiene dos opciones, ya sea una espiral en sentido horario o una espiral en sentido antihorario, puede determinar cuál es examinando la ecuación diferencial. Yo & # x27m Jeff Jasanoff, gracias por vernos. Te veré en el siguiente video.


Teoría cualitativa de sistemas diferenciales planos

Autores: DumortierFreddy Llibre, Jaume, Artés, Joan C.

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  • ISBN 978-3-540-32902-2
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El libro trata esencialmente de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias autónomas polinomiales en dos variables reales. El énfasis es principalmente cualitativo, aunque también se presta atención a aspectos más algebraicos como un estudio exhaustivo del problema centro / foco y resultados recientes sobre integrabilidad. En los dos últimos capítulos se presenta la herramienta de software performante P4: basada tanto en la manipulación algebraica como en el cálculo numérico, esta fue concebida con el propósito de dibujar "Retratos Polinomiales de Fase Planar" en parte del plano, o en una compactación de Poincaré, o incluso en una compactación Poincaré-Lyapunov del avión.

Desde el principio, los sistemas diferenciales están representados por campos vectoriales que permiten, con toda su fuerza, un enfoque de sistemas dinámicos. Se introducen todas las nociones esenciales, incluidas las variedades invariantes, formas normales, desingularización de singularidades, teoría de índices y ciclos límite, y se prueban los principales resultados para sistemas suaves con las especificaciones necesarias para sistemas analíticos y polinomiales.

El libro es muy apropiado para un primer curso en sistemas dinámicos, presentando las nociones básicas en el estudio de sistemas bidimensionales individuales. No solo proporciona pruebas sencillas y apropiadas, sino que también contiene una gran cantidad de ejercicios y presenta una encuesta de resultados interesantes con las referencias necesarias a la literatura.

FREDDY DUMORTIER es profesor titular en la Universidad Hasselt (Bélgica) y miembro de la Real Academia Flamenca de Bélgica para las Ciencias y las Artes. Fue un visitante de largo plazo en diferentes universidades e institutos de investigación importantes. Es autor de muchos artículos y sus principales resultados tratan sobre singularidades y su despliegue, perturbaciones singulares, ecuaciones de Lienard y el problema número 16 de Hilbert.

JAUME LLIBRE es catedrático de la Universidad Autónoma de Barcelona (España), es miembro de la Real Academia de Ciencias y Artes de Barcelona. Fue un visitante de largo plazo en diferentes universidades e institutos de investigación importantes. Es autor de muchos artículos y tuvo un gran número de estudiantes de doctorado. Sus principales resultados versan sobre órbitas periódicas, entropía topológica, campos vectoriales polinomiales, sistemas hamiltonianos y mecánica celeste.

JOAN C. ARTES es profesora de la Universidad Autónoma de Barcelona (España). Sus principales resultados tratan sobre campos vectoriales polinomiales, más concretamente cuadráticos. Programó, hace unos 20 años, la primera versión de P4 (solo para sistemas cuadráticos) a partir de la cual se desarrolló el programa P4 con la ayuda de Chris Herssens y Peter De Maesschalck.

"Qualitative Theory of Planar Differential Systems es una introducción a nivel de posgrado a los sistemas de ecuaciones diferenciales autónomas polinomiales en dos variables reales. ... Este texto trata los resultados básicos de la teoría cualitativa con competencia y claridad. ... el material del texto está bien- integrado y de fácil acceso para estudiantes graduados o estudiantes universitarios avanzados especialmente capaces ". (William J. Satzer, MathDL, diciembre de 2006)

"Este libro de texto, escrito por científicos reconocidos en el campo de la teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales ordinarias, presenta una introducción completa a los temas fundamentales y esenciales de los sistemas autónomos diferenciales planos reales ... El énfasis es principalmente cualitativo, aunque también se presta atención a aspectos más algebraicos. Hay una extensa lista de referencias. La monografía está bien escrita y contiene muchas ilustraciones y ejemplos. Será útil para estudiantes, profesores e investigadores ". (Alexander Grin, Zentralblatt MATH, Vol. 1110 (12), 2007)

"Los sistemas diferenciales planos que son el tema de este libro son sistemas de ecuaciones diferenciales autónomas ... Este libro contiene una gran cantidad de información y técnicas, algunas de las cuales no están disponibles fuera de la literatura de investigación ... Además, la exposición es precisa, clara y bien -motivado ... este trabajo podría servir tanto como un libro de texto para un curso en sistemas dinámicos suaves en regiones planas, y como una referencia en la que se explican a fondo importantes herramientas de la investigación actual y se ilustra su uso ". (Douglas S. Shafer, Mathematical Reviews, edición 2007 f)


5.4: Teoría de sistemas de ecuaciones diferenciales - Matemáticas

Horas de oficina: L-V 10: 05-10: 50am, L-V 4-4: 30pm, siempre que esté en mi oficina (haga clic aquí para ver mi horario)

Sesiones de revisión de TA: domingo de 9 a 11 p. M. En CLARK 204 y lunes de 9 a 11 p. M. En BRONFMAN 106

LA FINAL ES EL SÁBADO 23 DE MAYO A LAS 1:30 PM EN BRONFMAN 105

Sesiones de repaso: jueves 14 de mayo de 1:30 a 3:30 en Bronfman 107

Jueves 21 de mayo de 2 a 4 p. M., Viernes 22 de mayo de 10 a 11 a. M. Y de 1:30 a 2:30 p. M. (Todo en Bronfman 104)

DESCRIPCIÓN DEL CURSO: Históricamente, muchas matemáticas hermosas han surgido de los intentos de explicar el flujo de calor, las reacciones químicas, los procesos biológicos o los campos magnéticos. Algunas técnicas ingeniosas resuelven una fracción sorprendentemente grande de las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales asociadas. Comenzaremos con ecuaciones en diferencias. Estos son los análogos discretos de las ecuaciones diferenciales y tienen numerosas aplicaciones tanto en matemáticas puras como aplicadas (por ejemplo, una generalización de los números de Fibonacci explica por qué el doble más uno casi seguramente lo arruinará si juega a la ruleta en Las Vegas). . Después de estudiarlos, pasaremos a las ecuaciones diferenciales, describiendo los teoremas generales de existencia y unicidad, así como las técnicas para resolver los sistemas (que van desde soluciones completas hasta aproximaciones numéricas). Se extraerán ejemplos de matemáticas puras, física, biología, así como de solicitudes de clases. Si el tiempo lo permite, describiremos funciones especiales y temas avanzados (las posibilidades incluyen la teoría de matrices aleatorias y el cálculo de variaciones). Formato: conferencia / discusión. La evaluación se basará en conjuntos de problemas, pruebas por horas y un examen final. Requisitos previos: Matemáticas 102 (o competencia demostrada en una prueba de diagnóstico, consulte Matemáticas 101). Sin límite de inscripción (esperado: 30).

TAREA / EXÁMENES / CALIFICACIONES: Los animo a trabajar en grupos, pero todos deben enviar su propia asignación de HW. Los HW deben entregarse a tiempo, engrapados y prolijos; los HW descuidados o sin grapas no se calificarán. Muestre su trabajo en el HW y los exámenes (de lo contrario, corre el riesgo de no obtener crédito). La calificación será: 20% tarea, 40% parciales (habrá dos), 40% final. También puede hacer un proyecto que involucre ecuaciones diferenciales, que contarían como el 10% de su calificación (y las otras categorías se reducirían un 10% cada una). Todos los exámenes son acumulativos. Haga clic aquí para ver un ejemplo sobre cómo escribir una tarea (esta es la solución a los dos primeros problemas de ecuaciones en diferencias).

PROGRAMA / GENERAL: El libro de texto será la novena edición de 'Ecuaciones diferenciales elementales y problemas de valores en la frontera' de Boyce y DiPrima (PUEDE UTILIZAR LA OCHO EDICIÓN PARA ESTA CLASE; SI LOS PROBLEMAS DE HW SON DIFERENTES, PUBLICARÉ EL PROBLEMA DE LA NOVENA EDICIÓN.). Seguiremos el libro de cerca, cubriendo gran parte de los primeros 8 capítulos, complementando ocasionalmente con material adicional de otras fuentes. Mis notas de conferencia también están disponibles en línea aquí (haga clic aquí para comentarios adicionales sobre cada conferencia) tenga en cuenta, por supuesto, que estas son notas preliminares para ayudarme a dar cada conferencia y, por lo tanto, no incluirán todo lo mencionado en clase. Además, siéntase libre de pasar por mi oficina o mencionar antes, durante o después de la clase cualquier pregunta o inquietud que tenga sobre el curso. Si tiene alguna sugerencia de mejora, desde el método de presentación hasta la elección de ejemplos, hágamelo saber. Si prefiere hacer estas sugerencias de forma anónima, puede enviar un correo electrónico desde [email protected] (la contraseña son los primeros siete números de Fibonacci, 11235813).

OBJETIVOS: Este curso tiene dos objetivos principales: aprender a resolver ecuaciones diferenciales y diferenciales, y aprender a modelar problemas del mundo real y cómo atacar su solución. Enfatizaremos constantemente las técnicas que usamos para resolver problemas, ya que estas técnicas son aplicables a una amplia gama de problemas en las ciencias.

TAREA Y LECTURA: Cubriremos las siguientes secciones (así como otras si el tiempo lo permite):

Capítulo 1: Introducción: 1.1, 1.2, 1.3.

Capítulo 2: Ecuaciones lineales de primer orden: comenzaremos con ecuaciones en diferencias (ver también la Sección 2.9), 2.2, 2.5 (ver también Do Dogs Know Bifurcations de Tim Penning), 2.6, 2.7, 2.8.

Capítulo 3: Ecuaciones lineales de segundo orden: 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.7.


La teoría de las ecuaciones diferenciales: clásica y cualitativa

El Comité de Lista de Bibliotecas Básicas sugiere que las bibliotecas de matemáticas de pregrado consideren este libro para su adquisición.

Este es un muy buen libro sobre ecuaciones diferenciales. Es el tipo de libro que usaría en el aula y recomendaría a un estudiante para su estudio independiente. Puedo verlo usado como libro de texto para un curso de Ecuaciones Diferenciales, de un año si se necesita reforzar los antecedentes de Cálculo y Álgebra Lineal, o en un curso de un semestre para las especialidades de matemáticas.

El libro no incluye soluciones en serie, la transformada de Laplace o métodos numéricos, por lo que puede que no sea de utilidad inmediata para los estudiantes de ingeniería. Por otro lado, construye la teoría de Ecuaciones Diferenciales y lo hace bien. La teoría de Floquet se encuentra en el Capítulo 2, los sistemas autónomos se discuten en el Capítulo 3 y el Capítulo 4 contiene métodos de perturbación. Puede parecer que estos temas están fuera de lugar en un libro de texto para una primera clase de Ecuaciones Diferenciales, pero a través de la elección de ejemplos y ejercicios, los autores hacen que los temas fluyan a un ritmo natural.

Hay pequeños temas secundarios agradables, como la construcción de funciones de seno y coseno y la prueba de las identidades trigonométricas básicas basadas únicamente en el teorema de existencia y unicidad, así como temas menos habituales, como los teoremas de factorización.

Los capítulos 5 a 8 llevan al lector a través de los problemas de Sturm-Liouville, el cálculo de variaciones, los sistemas de orden superior, las EDO no lineales y los teoremas clásicos de existencia y unicidad. Estos temas son lo suficientemente ricos como para que cada uno de ellos sea objeto de un libro aparte. El presente texto trata sobre ellos hasta el punto en que se pueden discutir teoremas sustanciales y, al mismo tiempo, deja al lector deseando saber qué más se puede decir. Las referencias son apropiadas y apuntan a páginas específicas en los textos clásicos (Coddington y Levinson, Hartman, etc.).

Creo que los instructores disfrutarían enseñando con este libro y que los estudiantes podrían estudiar con él (ya sea a través de una clase o de forma independiente) a un buen ritmo. Y aprenderían mucho sobre ecuaciones diferenciales.

Florin Catrina es profesor asistente de matemáticas en la Universidad de St. John en Queens, Nueva York.

Capítulo 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden
1.1 Resultados básicos
1.2 Ecuaciones lineales de primer orden
1.3 Ecuaciones autónomas
1.4 Ecuación logística generalizada
1.5 Bifurcación
1.6 Ejercicios

Capítulo 2 Sistemas lineales
2.1 Introducción
2.2 La ecuación vectorial x '= A (t) x
2.3 La función exponencial matricial
2.4 Norma de matriz inducida
2.5 Teoría del floquet
2.6 Ejercicios

Capítulo 3 Sistemas autónomos
3.1 Introducción
3.2 Diagramas de plano de fase
3.3 Diagramas de plano de fase para sistemas lineales
3.4 Estabilidad de sistemas no lineales
3.5 Linealización de sistemas no lineales
3.6 Existencia e inexistencia de soluciones periódicas
3.7 Sistemas tridimensionales
3.8 Ecuaciones diferenciales y Mathematica
3.9 Ejercicios

Capítulo 4 Métodos de perturbación
4.1 Introducción
4.2 Soluciones periódicas
4.3 Perturbaciones singulares
4.4 Ejercicios

Capítulo 5 La ecuación diferencial de segundo orden autoadjunta
5.1 Definiciones básicas
5.2 Un ejemplo interesante
5.3 Función de Cauchy y fórmula de variación de constantes
5.4 Problemas de Sturm-Liouville
5.5 Ceros de soluciones y desconcierto
5.6 Factorizaciones y soluciones recesivas y dominantes
5.7 La ecuación de Riccati
5.8 Cálculo de variaciones
5.9 Funciones Green & # 8217s
5.10 Ejercicios

Capítulo 6 Ecuaciones diferenciales lineales de orden n
6.1 Resultados básicos
6.2 Fórmula de variación de constantes
6.3 Funciones Green & # 8217s
6.4 Factorizaciones y soluciones principales
6.5 Ecuación adjunta
6.6 Ejercicios

Capítulo 7 BVP para DE de segundo orden no lineales
7.1 Teorema del mapeo de contracciones (CMT)
7.2 Aplicación de la CMT a una ecuación forzada
7.3 Aplicaciones de la CMT a los BVP
7.4 Soluciones inferiores y superiores
7.5 Condición de Nagumo
7.6 Ejercicios

Capítulo 8 Teoremas de existencia y unicidad
8.1 Resultados básicos
8.2 Condición de Lipschitz y teorema de Picard-Lindelof
8.3 Equicontinuity and the Ascoli-Arzela Theorem
8.4 Cauchy-Peano Theorem
8.5 Extendability of Solutions
8.6 Basic Convergence Theorem
8.7 Continuity of Solutions with Respect to ICs
8.8 Kneser’s Theorem
8.9 Differentiating Solutions with Respect to ICs
8.10 Maximum and Minimum Solutions
8.11 Exercises


Differential Equations: Theory and Applications

The book provides a comprehensive introduction to the theory of ordinary differential equations at the graduate level and includes applications to Newtonian and Hamiltonian mechanics. It not only has a large number of examples and computer graphics, but also has a complete collection of proofs for the major theorems, ranging from the usual existence and uniqueness results to the Hartman-Grobman linearization theorem and the Jordan canonical form theorem.

The book can be used almost exclusively in the traditional way for graduate math courses, or it can be used in an applied way for interdisciplinary courses involving physics, engineering, and other science majors. For this reason an extensive computer component using Maple is provided on Springer’s website.

This new edition has been extensively revised throughout, particularly the chapters on linear systems, stability theory and Hamiltonian systems.

The computer component is an in-depth supplement and complement to the material in the text and contains an introduction to discrete dynamical systems and iterated maps, special-purpose Maple code for animating phase portraits, stair diagrams, N-body motions, and rigid-body motions, and numerous tutorial Maple worksheets pertaining to all aspects of using Maple to study the topics in the text.

Review from first edition:

"This book is intended for first- and second- year graduate students in mathematics and also organized to be used for interdisciplinary courses in applied mathematics, physics, and engineering. . The book is well written and provides many interesting examples. The author gives a comprehensive introduction to the theory on ordinary differential equations with a focus on mechanics and dynamical systems. The exposition is clear and easily understood. " (Yuan Rong, Zentralblatt MATH, Vol. 993 (18), 2002)

"This book is a comprehensive reader-friendly introduction to differential equations. … The theory is illustrated by a great number of nice examples, applications, figures. … I can warmly recommend the book for graduate mathematics, physic students and also students in applied sciences. Finally, I would like to encourage students, their professors and researchers to do computer experiments … for improving their study, teaching and scientific work." (János Karsai, Acta Scientiarum Mathematica, Vol. 70, 2004)

"The book under review is intended for a one or two semester graduate course in ordinary differential equations. A novel feature of the book is the incorporation of Maple into the presentation … . This well written book offers an application-minded instructor great flexibility in designing a course. All the necessary theory is included, as well as wide range of examples from physics and engineering … ." (J. E. Paullet, Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik, Vol. 84 (6), 2004)

"This book is one of the few graduate differential equations texts that use the computer to enhance the concepts and theory normally taught to first- and second-year graduate students in mathematics. The author gives a comprehensive introduction to the theory of ordinary differential equations with a focus on mechanics and dynamical systems … ." (Wei Nian Zhang, Mathematical Reviews, 2002 b)

"This book is intended to serve as a comprehensive introduction to the theory of ordinary differential equations … . the material is organized so that it can be also used in a wider setting within today’s modern university and society. … The book makes every attempt to blend together the traditional theoretical material on differential equations and the new techniques afforded by computer algebra systems … ." (International Aerospace Abstracts, Vol. 42 (5), 2002)

"This book is intended for first- and second-year graduate students in mathematics and also organized to be used for interdisciplinary courses in applied mathematics, physics, and engineering. … The book is well written and provides many interesting examples. The author gives a comprehensive introduction to the theory on ordinary differential equations with a focus on mechanics and dynamical systems. The exposition is clear and easily understood." (Yuan Rong, Zentralblatt MATH, Vol. 993 (18), 2002)

From the reviews of the second edition:

“This textbook is intended as a comprehensive introduction to ordinary differential equations for graduate students. … This is a very readable text that is enhanced with good supporting figures. Especially striking are hand-drawn figures reproduced to look like blackboard sketches. The proofs throughout the book are particularly … detailed. There are also well-designed exercises for every section in the text. This is one graduate-level graduate differential equations text that really would support self-study.” (William J. Satzer, The Mathematical Association of America, February, 2010)

“The book is an introduction to the theory of ordinary differential equations and intended for first- or second-year graduate students. … The main feature of this book is its comprehensive structure, many examples and illustrations, and complementary electronic material. The electronic material is now provided on the Springer’ website and consists of about 40 Maple-worksheets.” (Sergiy Yanchuk, Zentralblatt MATH, Vol. 1192, 2010)

“This is the updated edition of a comprehensive introduction to ordinary differential equations from the view point of dynamical systems. … The book is written in a concise style suitable for advanced undergraduate and beginning graduate students. … all chapters including the online materials have been revised and enhanced. Moreover, many new examples and exercises have been added.” (G. Teschl, Monatshefte für Mathematik, Vol. 162 (3), March, 2011)

“This is quite a good … intermediate level textbook on ordinary differential equations. It emphasizes dynamical systems and mechanics, nicely illustrating geometric ideas with good graphics … . this textbook has lots to recommend it.” (Robert E. O’Malley, Jr., SIAM Review, Vol. 52 (2), 2010)


Calculus Early Transcendentals: Integral & Multi-Variable Calculus for Social Sciences

Many physical phenomena can be modeled using the language of calculus. For example, observational evidence suggests that the temperature of a cup of tea (or some other liquid) in a room of constant temperature will cool over time at a rate proportional to the difference between the room temperature and the temperature of the tea.

In symbols, if (t) is the time, (M) is the room temperature, and (f(t)) is the temperature of the tea at time (t) then (f'(t) = k(M-f(t))) where (k>0) is a constant which will depend on the kind of tea (or more generally the kind of liquid) but not on the room temperature or the temperature of the tea. This is and the equation that we just wrote down is an example of a . Ideally we would like to solve this equation, namely, find the function (f(t)) that describes the temperature over time, though this often turns out to be impossible, in which case various approximation techniques must be used. The use and solution of differential equations is an important field of mathematics, because differential equations help us to predecir future behaviour based on how current values are related and how they change with respect to each other (perhaps over time). Here we see how to solve some simple but useful types of differential equation.

Informally, a differential equation is an equation in which one or more of the derivatives of some function appears. Typically, a scientific theory will produce a differential equation (or a system of differential equations) that describes or governs some physical process, but the theory will not produce the desired function or functions directly.

Definition 5.1 .

A is a mathematical equation for an unknown function of one (or several) variables that relates the function to its derivatives.

A to a differential equation is a function that satisfies the differential equation.

Nota: El termino Differential Equation is often abbreviated with , and so DEs stands for differential equations.

The following are examples of differential equations:

Clearly, there are many different characteristics of a differential equation. The characteristics that are used throughout the notes are introduced below. However, there are additional ways to classify differential equations, which we leave to the interested reader, who pursues this field of study.


5.4: Theory of Systems of Differential Equations - Mathematics

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Ver el vídeo: Teoría de sistemas Explicación (Octubre 2021).