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7.2E: Ejercicios para integrales trigonométricas


Complete el espacio en blanco para hacer una declaración verdadera.

1) ( sin ^ 2x + ) _______ (= 1 )

Respuesta:
( cos ^ 2x )

2) ( sec ^ 2x − 1 = ) _______

Respuesta:
( tan ^ 2x )

Utilice una identidad para reducir la potencia de la función trigonométrica a una función trigonométrica elevada a la primera potencia.

3) ( sin ^ 2x = ) _______

Respuesta:
( dfrac {1− cos (2x)} {2} )

4) ( cos ^ 2x = ) _______

Respuesta:
( dfrac {1+ cos (2x)} {2} )

Evalúa cada una de las siguientes integrales mediante (u ) - sustitución.

5) ( Displaystyle ∫ sin ^ 3x cos x , dx )

Respuesta:
( Displaystyle ∫ sin ^ 3x cos x , dx quad = quad frac { sin ^ 4x} {4} + C )

6) ( Displaystyle ∫ sqrt { cos x} sin x , dx )

7) ( Displaystyle ∫ tan ^ 5 (2x) sec ^ 2 (2x) , dx )

Respuesta:
( Displaystyle ∫ tan ^ 5 (2x) sec ^ 2 (2x) , dx quad = quad tfrac {1} {12} tan ^ 6 (2x) + C )

8) ( Displaystyle ∫ sin ^ 7 (2x) cos (2x) , dx )

9) ( Displaystyle ∫ tan ( frac {x} {2}) sec ^ 2 ( frac {x} {2}) , dx )

Respuesta:
( Displaystyle ∫ tan ( frac {x} {2}) sec ^ 2 ( frac {x} {2}) , dx quad = quad tan ^ 2 ( frac {x} { 2}) + C )

10) ( Displaystyle ∫ tan ^ 2x sec ^ 2x , dx )

Calcule las siguientes integrales usando las pautas para integrar potencias de funciones trigonométricas. Utilice un CAS para comprobar las soluciones. (Nota: Algunos de los problemas pueden resolverse utilizando técnicas de integración aprendidas anteriormente.)

11) ( Displaystyle ∫ sin ^ 3x , dx )

Respuesta:
( Displaystyle ∫ sin ^ 3x , dx quad = quad - frac {3 cos x} {4} + tfrac {1} {12} cos (3x) + C = - cos x + frac { cos ^ 3x} {3} + C )

12) ( Displaystyle ∫ cos ^ 3x , dx )

13) ( Displaystyle ∫ sin x cos x , dx )

Respuesta:
( Displaystyle ∫ sin x cos x , dx quad = quad - tfrac {1} {2} cos ^ 2x + C )

14) ( Displaystyle ∫ cos ^ 5x , dx )

15) ( Displaystyle ∫ sin ^ 5x cos ^ 2x , dx )

Respuesta:
( Displaystyle ∫ sin ^ 5x cos ^ 2x , dx quad = quad - frac {5 cos x} {64} - tfrac {1} {192} cos (3x) + tfrac {3} {320} cos (5x) - tfrac {1} {448} cos (7x) + C )

16) ( Displaystyle ∫ sin ^ 3x cos ^ 3x , dx )

17) ( Displaystyle ∫ sqrt { sin x} cos x , dx )

Respuesta:
( Displaystyle ∫ sqrt { sin x} cos x , dx quad = quad tfrac {2} {3} ( sin x) ^ {3/2} + C )

18) ( Displaystyle ∫ sqrt { sin x} cos ^ 3x , dx )

19) ( Displaystyle ∫ sec x tan x , dx )

Respuesta:
( Displaystyle ∫ sec x tan x , dx quad = quad sec x + C )

20) ( Displaystyle ∫ tan (5x) , dx )

21) ( Displaystyle ∫ tan ^ 2x sec x , dx )

Respuesta:
( Displaystyle ∫ tan ^ 2x sec x , dx quad = quad tfrac {1} {2} sec x tan x− tfrac {1} {2} ln ( sec x + tan x) + C )

22) ( Displaystyle ∫ tan x sec ^ 3x , dx )

23) ( Displaystyle ∫ sec ^ 4x , dx )

Respuesta:
( Displaystyle ∫ sec ^ 4x , dx quad = quad frac {2 tan x} {3} + tfrac {1} {3} sec ^ 2 x tan x = tan x + frac { tan ^ 3x} {3} + C )

24) ( Displaystyle ∫ cot x , dx )

25) ( Displaystyle ∫ csc x , dx )

Respuesta:
( Displaystyle ∫ csc x , dx quad = quad - ln | cot x + csc x | + C )

26) ( Displaystyle ∫ frac { tan ^ 3x} { sqrt { sec x}} , dx )

Para los ejercicios 27 a 28, encuentre una fórmula general para las integrales.

27) ( Displaystyle ∫ sin ^ 2ax cos ax , dx )

Respuesta:
( Displaystyle ∫ sin ^ 2ax cos ax , dx quad = quad frac { sin ^ 3 (ax)} {3a} + C )

28) ( Displaystyle ∫ sin ax cos ax , dx. )

Usa las fórmulas del doble ángulo para evaluar las integrales de los ejercicios 29 a 34.

29) ( Displaystyle ∫ ^ π_0 sin ^ 2x , dx )

Respuesta:
( Displaystyle ∫ ^ π_0 sin ^ 2x , dx quad = quad frac {π} {2} )

30) ( Displaystyle ∫ ^ π_0 sin ^ 4 x , dx )

31) ( Displaystyle ∫ cos ^ 2 3x , dx )

Respuesta:
( Displaystyle ∫ cos ^ 2 3x , dx quad = quad frac {x} {2} + tfrac {1} {12} sin (6x) + C )

32) ( Displaystyle ∫ sin ^ 2x cos ^ 2x , dx )

33) ( Displaystyle ∫ sin ^ 2x , dx + ∫ cos ^ 2x , dx )

Respuesta:
( Displaystyle ∫ sin ^ 2x , dx + ∫ cos ^ 2x , dx quad = quad x + C )

34) ( Displaystyle ∫ sin ^ 2 x cos ^ 2 (2x) , dx )

Para los ejercicios 35 a 43, evalúe las integrales definidas. Exprese las respuestas en forma exacta siempre que sea posible.

35) ( Displaystyle ∫ ^ {2π} _0 cos x sin 2x , dx )

Respuesta:
( Displaystyle ∫ ^ {2π} _0 cos x sin 2x , dx quad = quad 0 )

36) ( Displaystyle ∫ ^ π_0 sin 3x sin 5x , dx )

37) ( Displaystyle ∫ ^ π_0 cos (99x) sin (101x) , dx )

Respuesta:
( Displaystyle ∫ ^ π_0 cos (99x) sin (101x) , dx quad = quad 0 )

38) ( Displaystyle ∫ ^ π _ {- π} cos ^ 2 (3x) , dx )

39) ( Displaystyle ∫ ^ {2π} _0 sin x sin (2x) sin (3x) , dx )

Respuesta:
( Displaystyle ∫ ^ {2π} _0 sin x sin (2x) sin (3x) , dx quad = quad 0 )

40) ( Displaystyle ∫ ^ {4π} _0 cos (x / 2) sin (x / 2) , dx )

41) ( displaystyle ∫ ^ {π / 3} _ {π / 6} frac { cos ^ 3x} { sqrt { sin x}} , dx ) (Redondea esta respuesta a tres decimales. )

Respuesta:
( Displaystyle ∫ ^ {π / 3} _ {π / 6} frac { cos ^ 3x} { sqrt { sin x}} , dx quad approx quad 0.239 )

42) ( Displaystyle ∫ ^ {π / 3} _ {- π / 3} sqrt { sec ^ 2x − 1} , dx )

43) ( Displaystyle ∫ ^ {π / 2} _0 sqrt {1− cos (2x)} , dx )

Respuesta:
( Displaystyle ∫ ^ {π / 2} _0 sqrt {1− cos (2x)} , dx quad = quad sqrt {2} )

44) Encuentra el área de la región delimitada por las gráficas de las ecuaciones (y = sin x, , y = sin ^ 3x, , x = 0, ) y (x = frac {π} {2}. )

45) Encuentra el área de la región delimitada por las gráficas de las ecuaciones (y = cos ^ 2x, , y = sin ^ 2x, , x = - frac {π} {4}, ) y (x = frac {π} {4}. )

Respuesta:
(A = 1 , text {unidad} ^ 2 )

46) Una partícula se mueve en línea recta con la función de velocidad (v (t) = sin (ωt) cos ^ 2 (ωt). ) Encuentra su función de posición (x = f (t) ) si (f (0) = 0. )

47) Encuentra el valor promedio de la función (f (x) = sin ^ 2x cos ^ 3x ) en el intervalo ([- π, π]. )

Respuesta:
(0)

Para los ejercicios 48 a 49, resuelva las ecuaciones diferenciales.

48) ( dfrac {dy} {, dx} = sin ^ 2x. ) La curva pasa por el punto ((0,0). )

49) ( dfrac {dy} {dθ} = sin ^ 4 (πθ) )

Respuesta:
(f (x) = dfrac {3θ} {8} - tfrac {1} {4π} sin (2πθ) + tfrac {1} {32π} sin (4πθ) + C )

50) Encuentra la longitud de la curva (y = ln ( csc x), , text {para} , tfrac {π} {4} ≤x≤ tfrac {π} {2}. )

51) Encuentra la longitud de la curva (y = ln ( sin x), , text {para} , tfrac {π} {3} ≤x≤ tfrac {π} {2}. )

Respuesta:
(s = ln ( sqrt {3}) )

52) Encuentra el volumen generado al girar la curva (y = cos (3x) ) alrededor del eje (x ) -, para (0≤x≤ tfrac {π} {36}. )

Para los ejercicios 53 a 54, usa esta información: El producto interno de dos funciones (f ) y (g ) sobre ([a, b] ) está definido por ( displaystyle f (x) ⋅g (x) = ⟨f, g⟩ = ∫ ^ b_af⋅g , dx. ) Se dice que dos funciones distintas (f ) y (g ) son ortogonales si (⟨f, g⟩ = 0 . )

53) Muestre que ({ sin (2x), , cos (3x)} ) son ortogonales sobre el intervalo ([- π, , π] ).

Respuesta:
( Displaystyle ∫ ^ π _ {- π} sin (2x) cos (3x) , dx = 0 )

54) Evalúa ( displaystyle ∫ ^ π _ {- π} sin (mx) cos (nx) , dx. )

55) Integra (y ′ = sqrt { tan x} sec ^ 4x. )

Respuesta:
( Displaystyle y = int sqrt { tan x} sec ^ 4x , dx quad = quad tfrac {2} {3} left ( tan x right) ^ {3/2} + tfrac {2} {7} left ( tan x right) ^ {7/2} + C = tfrac {2} {21} left ( tan x right) ^ {3/2} left [7 + 3 tan ^ 2 x right] + C )

Para cada par de integrales de los ejercicios 56 a 57, determine cuál es más difícil de evaluar. Explica tu razonamiento.

56) ( Displaystyle ∫ sin ^ {456} x cos x , dx ) o ( Displaystyle ∫ sin ^ 2x cos ^ 2x , dx )

57) ( Displaystyle ∫ tan ^ {350} x sec ^ 2x , dx ) o ( Displaystyle ∫ tan ^ {350} x sec x , dx )

Respuesta:
La segunda integral es más difícil porque la primera integral es simplemente un tipo de sustitución (u ).

Colaboradores

  • Gilbert Strang (MIT) y Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) con muchos autores contribuyentes. Este contenido de OpenStax tiene una licencia CC-BY-SA-NC 4.0. Descárguelo gratis en http://cnx.org.


7.2E: Ejercicios para integrales trigonométricas

8. Utilice una sustitución trigonométrica para eliminar la raíz en ( sqrt <<< bf> ^ <8x>> - 9> ).

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Sabemos que para hacer una sustitución trigonométrica realmente necesitamos una suma o diferencia de un término con una variable al cuadrado y un número. Aunque esto no se parece en nada a los problemas de sustitución de trigonometría "normales", en realidad se acerca bastante a uno. Para ver esto, todo lo que tenemos que hacer es reescribir el término debajo de la raíz de la siguiente manera.

Todo lo que hicimos aquí fue aprovechar las reglas básicas de los exponentes para dejar en claro que realmente tenemos una diferencia aquí de un término al cuadrado que contiene una variable y un número.

La forma de la cantidad debajo de la raíz sugiere que la secante es la función trigonométrica correcta para usar en la subestación.

Ahora, para obtener el coeficiente de la función trigonométrica, observe que necesitamos girar el 1 (es decir. el coeficiente del término al cuadrado) en un 9 una vez que hayamos hecho la sustitución. Con eso en mente, parece que la sustitución debería ser,

Ahora, todo lo que tenemos que hacer es realizar la sustitución y eliminar la raíz.

Tenga en cuenta que debido a que no conocemos los valores de ( theta ) no podemos determinar si la tangente es positiva o negativa y, por lo tanto, no podemos deshacernos de las barras de valor absoluto aquí.


7.2E: Ejercicios para integrales trigonométricas

SOLUCIÓN 10: Integrar. Primero reescribe la función multiplicando por, obteniendo

(En el denominador use la identidad trigonométrica A del principio de esta sección).

(Use la regla de antiderivada 5 y la identidad trigonométrica F del comienzo de esta sección).

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SOLUCIÓN 11: Integrar. Primero cuadre la función, volviéndose verdadera

(Utilice la identidad trigonométrica G del principio de esta sección).

Ahora usa la sustitución de u. Dejar

Sustituir en el problema original, reemplazando todas las formas de, obteniendo

(Use la regla de antiderivada 4 en la primera integral. Use la regla de antiderivada 6 en la segunda integral).

(Combinar constante con ya que es una constante arbitraria).

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SOLUCIÓN 12: Integrar. Utilice la sustitución de u. Dejar

Sustituir en el problema original, reemplazando todas las formas de, obteniendo

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SOLUCIÓN 13: Integrar. Primero reescribe la función (recuerda eso), obteniendo

(Ahora use la identidad trigonométrica F del principio de esta sección).

En la primera integral, utilice la sustitución en u. Reescribe la segunda integral y usa la identidad trigonométrica F nuevamente. Dejar

Sustituir en el problema original, reemplazando todas las formas de obtener

Utilice la sustitución de u en la primera integral. Usa la regla de antiderivada 7 en la segunda integral. Dejar

Sustituir en el problema original, reemplazando todas las formas de, obteniendo

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SOLUCIÓN 14: Integrar. Utilice la sustitución de u. Dejar

Sustituir en el problema original, reemplazando todas las formas de obtener

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Sustituir en el problema original, reemplazando todas las formas de, obteniendo

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SOLUCIÓN 16: Integrar. (¡Hola! El término NO es el producto de y. Es la composición funcional de funciones y.) Utilice la sustitución de u. Dejar


Cálculo integral

En cierto sentido, el cálculo diferencial es local: se centra en aspectos de una función cerca de un punto dado, como su tasa de cambio allí. El cálculo integral complementa esto al tener una visión más completa de una función en parte o en todo su dominio.

Este curso proporciona una cobertura completa de los dos pilares esenciales del cálculo integral: integrales y series infinitas. Al final, conocerá sus principios básicos y cómo aplicarlos a problemas de geometría, probabilidad y física.

Interactivo cuestionarios

Conceptos y ejercicios

Introducción

El núcleo del cálculo integral.

Calcular la distancia

Encuentre su camino a las sumas de Riemann a través de un problema de movimiento simple.

Problema diferente, misma idea

Vea cómo las sumas de Riemann surgen en muchos lugares diferentes.

La Integral Definida

Aproveche su comprensión de las sumas de Riemann para dominar las ideas básicas de integración.

Técnicas de integración

La caja de herramientas esencial, desde el teorema fundamental hasta las sustituciones.

Primeros cálculos

Haga la conexión entre límites, sumas de Riemann e integrales definidas.

El teorema fundamental del cálculo

Solidifique su comprensión completa de la estrecha conexión entre derivadas e integrales.

Integrando polinomios

Comience a desentrañar integrales básicas con antiderivadas.

Sustitución

Invierta la regla de la cadena para calcular integrales desafiantes.

Integración avanzada

Una mezcla de técnicas de integración de la que ningún profesional puede prescindir.

Integración por partes

Combine reglas de derivadas para remodelar una integral definida en algo más simple.

Conceptos básicos de fracciones parciales

Aprenda a dividir integrales racionales en partes más simples.

Integrales trigonométricas

Simplifique las integrales trigonométricas complicadas con la fórmula de Euler.

Sustitución de activadores

Descubra integrales poderosas a través de la trigonometría.

Aplicaciones integrales

Usa integrales para resolver problemas cruciales en matemáticas y ciencias.

Área y probabilidad

Sumérjase en algunas aplicaciones de integrales del mundo real.

Calcular el volumen

Construya integrales de volumen para una variedad de objetos 3D utilizando discos, arandelas y carcasas.

Longitud del arco y área de superficie

Aplica integrales a la geometría y explora la forma paradójica del Cuerno de Gabriel.


Introducción

Los barcos de hielo son una vista común en los lagos de Wisconsin y Minnesota los fines de semana de invierno. Los barcos de hielo son similares a los veleros, pero están equipados con corredores o "patines" y están diseñados para correr sobre el hielo, en lugar de sobre el agua. Los botes de hielo pueden moverse muy rápido, y muchos entusiastas de los botes de hielo se sienten atraídos por el deporte debido a la velocidad. Los mejores corredores de barcos de hielo pueden alcanzar velocidades de hasta cinco veces la velocidad del viento. Si sabemos qué tan rápido se mueve un barco de hielo, podemos usar la integración para determinar qué tan lejos viaja. Revisaremos esta pregunta más adelante en el capítulo (consulte el Ejemplo 1.27).

La determinación de la distancia a la velocidad es solo una de las muchas aplicaciones de la integración. De hecho, las integrales se utilizan en una amplia variedad de aplicaciones mecánicas y físicas. En este capítulo, primero presentamos la teoría detrás de la integración y usamos integrales para calcular áreas. A partir de ahí, desarrollamos el Teorema Fundamental del Cálculo, que relaciona diferenciación e integración. Luego estudiamos algunas técnicas básicas de integración y examinamos brevemente algunas aplicaciones.

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    • Autores: Gilbert Strang, Edwin “Jed” Herman
    • Editor / sitio web: OpenStax
    • Título del libro: Cálculo Volumen 2
    • Fecha de publicación: 30 de marzo de 2016
    • Ubicación: Houston, Texas
    • URL del libro: https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/1-introduction
    • URL de la sección: https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/1-introduction

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    7.2E: Ejercicios para integrales trigonométricas


    Dado que $ displaystyle (adyacente) ^ 2 + (opuesto) ^ 2 = (hipotenusa) ^ 2 longrightarrow $ $ (adyacente) ^ 2 + (x) ^ 2 = (2) ^ 2 longrightarrow adyacente = sqrt <4-x ^ 2> longrightarrow $ $ cos theta = displaystyle = displaystyle < sqrt <4-x ^ 2> over 2> $ Entonces $ Displaystyle <2 theta + 2 sin theta cos theta> + C = 2 arcsin Big ( frac <2> Big) + 2 cdot displaystyle cdot displaystyle < sqrt <4-x ^ 2> over 2> $ $ = displaystyle 2 arcsin Big ( frac <2> Big) + frac <1> <2> x cdot sqrt <4-x ^ 2> + C $ Cuando usemos el método de sustitución trigonométrica, siempre usaremos uno de los siguientes tres conocidos identidades trigonométricas:

          • (I) $ 1 - sin ^ 2 theta = cos ^ 2 theta $
          • (II) $ 1 + tan ^ 2 theta = sec ^ 2 theta $ y
          • (III) $ sec ^ 2 theta - 1 = tan ^ 2 theta $
          • 1.) $ estilo de visualización < int cos x , dx> = sin x + C $
          • 2.) $ estilo de visualización < int sin x , dx> = - cos x + C $
          • 3.) $ estilo de visualización < int sec ^ 2 x , dx> = tan x + C $
          • 4.) $ estilo de visualización < int csc ^ 2 x , dx> = - cot x + C $
          • 5.) $ estilo de visualización < int sec x tan x , dx> = sec x + C $
          • 6.) $ estilo de visualización < int csc x cot x , dx> = - csc x + C $
          • 7.) $ estilo de visualización < int tan x , dx> = ln | sec x | + C $
          • 8.) $ Displaystyle < int cot x , dx> = ln | sin x | + C $
          • 9.) $ estilo de visualización < int sec x , dx> = ln | sec x + tan x | + C $
          • 10.) $ estilo de visualización < int csc x , dx> = ln | csc x - cot x | + C $

              • A.) $ sin 2x = 2 sin x cos x $
              • B.) $ cos 2x = 2 cos ^ 2 x - 1 $ de modo que $ cos ^ 2 x = displaystyle < frac <1> <2> (1 + cos 2x)> $
              • C.) $ cos 2x = 1 - 2 sin ^ 2 x $ de modo que $ sin ^ 2 x = displaystyle < frac <1> <2> (1 - cos 2x)> $
              • D.) $ cos 2x = cos ^ 2 x - sin ^ 2 x $

              Haga clic AQUÍ para ver una solución detallada al problema 1.

              Haga clic AQUÍ para ver una solución detallada al problema 2.

              Haga clic AQUÍ para ver una solución detallada al problema 3.

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              Cálculo APEX

              Es una cuestión simple tomar la derivada del integrando usando la regla del producto, pero no existe una regla del producto para integrales. Sin embargo, esta sección presenta Integración por partes, un método de integración que se basa en la regla del producto para derivados. Nos permitirá evaluar esta integral.

              Figura 6.2.1. Video de introducción a la Sección 6.2

              La regla del producto dice que si (u ) y (v ) son funciones de (x text <,> ) entonces ((uv) '= u'v + uv' text <.> ) Para simplificar, hemos escrito (u ) para (u (x) ) y (v ) para (v (x) text <.> ) Supongamos que integramos ambos lados con respecto a (x text <.> ) Esto da

              Según el Teorema fundamental del cálculo, el lado izquierdo se integra a (uv text <.> ) El lado derecho se puede dividir en dos integrales, y tenemos

              Resolviendo para la segunda integral tenemos

              Usando notación diferencial, podemos escribir (du = u '(x) dx ) y (dv = v' (x) dx ) y la expresión anterior se puede escribir de la siguiente manera:

              Esta es la fórmula de Integración por partes. A modo de referencia, lo expresamos en un teorema.

              Teorema 6.2.2. Integración por partes.

              Sean (u ) y (v ) funciones diferenciables de (x ) en un intervalo (I ) que contiene (a ) y (b text <.> ) Entonces

              La fórmula de integración por partes también se puede escribir como

              para funciones diferenciables (f ) y (g text <.> )

              Probemos un ejemplo para comprender nuestra nueva técnica.

              Ejemplo 6.2.3. Integración mediante Integración por partes.

              Evaluar ( ds int x cos (x) , dx text <.> )

              La clave para la integración por partes es identificar parte del integrando como “ (u )” y parte como “ (dv text <.> )” La práctica regular ayudará a hacer buenas identificaciones, y luego presentaremos algunos principios que ayudan. Por ahora, sean (u = x ) y (dv = cos (x) , dx text <.> )

              Generalmente es útil hacer una pequeña tabla de estos valores como se hace a continuación. En este momento solo sabemos (u ) y (dv ) como se muestra a la izquierda de la Figura 6.2.4 a la derecha, completamos el resto de lo que necesitamos. Si (u = x text <,> ) entonces (du = dx text <.> ) Dado que (dv = cos (x) , dx text <,> ) (v ) es una antiderivada de ( cos (x) text <.> ) Elegimos (v = sin (x) text <.> )

              Ahora sustituya todo esto en la fórmula Integración por partes, dando

              Entonces podemos integrar ( sin (x) ) para obtener (- cos (x) + C ) y en general nuestra respuesta es

              Observe cómo la antiderivada contiene un producto, (x sin (x) text <.> ) Este producto es lo que hace necesaria la integración por partes.

              Podemos comprobar nuestro trabajo tomando la derivada:

              Quizás se pregunte qué habría pasado en el ejemplo 6.2.3 si hubiéramos elegido (u ) y (dv ) de manera diferente. Si hubiéramos elegido (u = cos (x) ) y (dv = x , dx ) entonces (du = - sin (x) , dx ) y (v = x ^ 2 / 2 text <.> ) Nuestra segunda integral no es más simple que la primera que tendríamos

              La única forma de abordar esta segunda integral sería otra integración por partes.

              El ejemplo 6.2.3 demuestra cómo funciona la integración por partes en general. Intentamos identificar (u ) y (dv ) en la integral que se nos da, y la clave es que normalmente queremos elegir (u ) y (dv ) de modo que (du ) es más simple que (u ) y (v ) con suerte no es mucho más complicado que (dv text <.> ) Esto significará que la integral en el lado derecho de la fórmula de Integración por Partes, ( int v , du ) será más sencillo de integrar que la integral original ( int u , dv text <.> )

              En el ejemplo anterior, elegimos (u = x ) y (dv = cos (x) , dx text <.> ) Entonces (du = dx ) era más simple que (u ) y (v = sin (x) ) no es más complicado que (dv text <.> ) Por lo tanto, en lugar de integrar (x cos (x) , dx text <,> ) podríamos integrar ( sin (x) , dx text <,> ) lo cual sabíamos cómo hacer.

              Un mnemónico útil para ayudar a determinar (u ) es "LIATE", donde

              L = Logarítmico, I = IDisparo inverso, A = Algebraico (polinomios, raíces, funciones de potencia), T = Trigonométrica y E = miexponencial.

              Si el integrando contiene un término tanto logarítmico como algebraico, en general, dejar que (u ) sea el término logarítmico funciona mejor, como lo indica L antes de A en LIATE.

              Consideremos ahora otro ejemplo.

              Ejemplo 6.2.5. Integración mediante Integración por partes.

              Evalúa ( displaystyle int x e ^ x , dx text <.> )

              El integrando contiene un Atérmino lgebraico ( (x )) y un mitérmino xponencial ( (e ^ x )). Nuestro mnemónico sugiere dejar que (u ) sea el término algebraico, por lo que elegimos (u = x ) y (dv = e ^ x , dx text <.> ) Entonces (du = dx ) y (v = e ^ x ) como se indica en las tablas siguientes.

              Vemos que (du ) es más simple que (u text <,> ) mientras que no hay ningún cambio al pasar de (dv ) a (v text <.> ) Esto es bueno. La fórmula de integración por partes da

              La integral de la derecha es simple, nuestra respuesta final es

              Observe nuevamente cómo las antiderivadas contienen un término de producto.

              Ejemplo 6.2.7. Integración mediante Integración por partes.

              Evalúa ( displaystyle int x ^ 2 cos (x) , dx text <.> )

              El mnemónico sugiere dejar (u = x ^ 2 ) en lugar de la función trigonométrica, por lo tanto (dv = cos (x) , dx text <.> ) Entonces (du = 2x , dx ) y (v = sin (x) ) como se muestra a continuación.


              Ejercicios 19.7

              Encuentre la solución general de la ecuación diferencial usando la variación de parámetros.

              Ej 19.7.1 $ ds ddot y + y = tan x $ (respuesta)

              Ej 19.7.3 $ ds ddot y + 4y = sec x $ (respuesta)

              Ej 19.7.4 $ ds ddot y + 4y = tan x $ (respuesta)

              Ej 19.7.5 $ ds ddot y + dot y-6y = t ^ 2e ^ <2t> $ (respuesta)

              Ej 19.7.6 $ ds ddot y-2 dot y + 2y = e ^ tan (t) $ (respuesta)

              Ej 19.7.7 $ ds ddot y-2 dot y + 2y = sin (t) cos (t) $ (Esto es bastante complicado cuando se hace mediante la variación de parámetros en comparación con coeficientes indeterminados) (respuesta)


              7.2E: Ejercicios para integrales trigonométricas

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              Editor de expresiones matemáticas

              Resolvemos esta integral de dos formas diferentes

              Entonces la integral en términos de es

              Integrando y volviendo a obtenemos: Uso para la constante de integración.

              Ahora hagamos una sustitución diferente para encontrar la integral. Dejar . Luego

              Entonces la integral en términos de se convierte en:

              Integrarnos y volver a nos da:

              Utilícelo para la constante de integración.

              Tenga en cuenta que la respuesta que obtuvo de la segunda sustitución parece diferir de la respuesta que obtuvimos con la primera sustitución. Recuerde que existe un teorema según el cual todas las antiderivadas de una función dada solo pueden diferir por una constante. ¿Puede explicar esta aparente discrepancia?