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3.5: Existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones no lineales


Aunque existen métodos para resolver algunas ecuaciones no lineales, es imposible encontrar fórmulas útiles para las soluciones de la mayoría. En esta sección establecemos tal condición y la ilustramos con ejemplos.

Alguna terminología: un rectángulo abierto (R ) es un conjunto de puntos ((x, y) ) tal que

[a

(Figura ( PageIndex {1} )). Denotaremos este conjunto por (R: {a

El siguiente teorema proporciona condiciones suficientes para la existencia y unicidad de soluciones de problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden. Omitimos la prueba, que está más allá del alcance de este libro.

Teorema ( PageIndex {1} ): existencia y unicidad

  1. Si (f ) es continuo en un rectángulo abierto [R: {a
  2. Si tanto (f ) como (f_y ) son continuos en (R ) entonces la Ecuación ref {eq: 3.5.1} tiene una solución única en algún subintervalo abierto de ((a, b) ) que contiene (x_0 )

Es importante comprender exactamente lo que dice el teorema ( PageIndex {1} ).

  • (a) es un teorema de existencia. Garantiza que existe una solución en algún intervalo abierto que contiene (x_0 ), pero no proporciona información sobre cómo encontrar la solución o determinar el intervalo abierto en el que existe. Además, (a) no proporciona información sobre el número de soluciones que puede tener la ecuación ref {eq: 3.5.1}. Deja abierta la posibilidad de que la Ecuación ref {eq: 3.5.1} pueda tener dos o más soluciones que difieran para valores de (x ) arbitrariamente cercanos a (x_0 ). Veremos en el ejemplo ( PageIndex {6} ) que esto puede suceder.

  • (b) es un teorema de unicidad. Garantiza que la Ecuación ref {eq: 3.5.1} tiene una solución única en algún intervalo abierto (a, b) que contiene (x_0 ). Sin embargo, si ((a, b) ne (- infty, infty) ), la ecuación ref {eq: 3.5.1} puede tener más de una solución en un intervalo mayor que contiene ((a, B)). Por ejemplo, puede suceder que (b < infty ) y todas las soluciones tengan los mismos valores en ((a, b) ), pero dos soluciones (y_1 ) y (y_2 ) están definidas en algún intervalo ((a, b_1) ) con (b_1> b ), y tienen diferentes valores para (b

[ label {eq: 3.5.2} y = f (x, y), quad y (b) = overline {y} ]

que difieren en cada intervalo abierto que contiene (b ). Por lo tanto (f ) o (f_y ) deben tener una discontinuidad en algún punto de cada rectángulo abierto que contenga ((b, y) ), ya que si esto no fuera así, ref {eq: 3.5.2 } tendría una solución única en algún intervalo abierto que contenga (b ). Te dejamos dar un análisis similar del caso donde (a> −∞ ).

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Considere el problema del valor inicial

[ label {eq: 3.5.3} y '= {x ^ 2-y ^ 2 over 1 + x ^ 2 + y ^ 2}, quad y (x_0) = y_0. ]

Ya que

[f (x, y) = {x ^ 2-y ^ 2 over 1 + x ^ 2 + y ^ 2} quad text {y} quad f_y (x, y) = - {2y (1 + 2x ^ 2) over (1 + x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2} nonumber ]

son continuas para todo ((x, y) ), el teorema ( PageIndex {1} ) implica que si ((x_0, y_0) ) es arbitrario, entonces la ecuación ref {eq: 3.5.3} tiene una solución única en algún intervalo abierto que contiene (x_0 ).

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Considere el problema del valor inicial

[ label {eq: 3.5.4} y '= {x ^ 2-y ^ 2 over x ^ 2 + y ^ 2}, quad y (x_0) = y_0. ]

Aquí

[f (x, y) = {x ^ 2-y ^ 2 over x ^ 2 + y ^ 2} quad text {y} quad f_y (x, y) = - {4x ^ 2y over (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2} nonumber ]

son continuas en todas partes excepto en ((0,0) ). Si ((x_0, y_0) ne (0,0) ), hay un rectángulo abierto (R ) que contiene ((x_0, y_0) ) que no contiene ((0,0) ). Dado que (f ) y (f_y ) son continuas en (R ), el teorema ( PageIndex {1} ) implica que si ((x_0, y_0) ne (0,0) ) entonces la Ecuación ref {eq: 3.5.4} tiene una solución única en algún intervalo abierto que contiene (x_0 ).

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Considere el problema del valor inicial

[ label {eq: 3.5.5} y '= {x + y over x-y}, quad y (x_0) = y_0. ]

Aquí

[f (x, y) = {x + y over x-y} quad text {y} quad f_y (x, y) = {2x over (x-y) ^ 2} nonumber ]

son continuas en todas partes excepto en la línea (y = x ). Si (y_0 ne x_0 ), hay un rectángulo abierto (R ) que contiene ((x_0, y_0) ) que no se cruza con la línea (y = x ). Dado que (f ) y (f_y ) son continuas en (R ), el teorema ( PageIndex {1} ) implica que si (y_0 ne x_0 ), la ecuación ref {eq: 3.5 .5} tiene una solución única en algún intervalo abierto que contiene (x_0 ).

Ejemplo ( PageIndex {4} )

En el ejemplo 2.2.4, vimos que las soluciones de

[ label {eq: 3.5.6} y '= 2xy ^ 2 ]

son

[y equiv0 quad text {y} quad y = - {1 over x ^ 2 + c}, nonumber ]

donde (c ) es una constante arbitraria. En particular, esto implica que ninguna solución de la Ecuación ref {eq: 3.5.6} que no sea (y equiv0 ) puede ser igual a cero para cualquier valor de (x ). Muestre que el teorema ( PageIndex {1b} ) implica esto.

Obtendremos una contradicción asumiendo que la Ecuación ref {eq: 3.5.6} tiene una solución (y_1 ) que es igual a cero para algún valor de (x ), pero no es idénticamente cero. Si (y_1 ) tiene esta propiedad, hay un punto (x_0 ) tal que (y_1 (x_0) = 0 ), pero (y_1 (x) ne0 ) para algún valor de (x ) en cada intervalo abierto que contenga (x_0 ). Esto significa que el problema del valor inicial

[ label {eq: 3.5.7} y '= 2xy ^ 2, quad y (x_0) = 0 ]

tiene dos soluciones (y equiv0 ) y (y = y_1 ) que difieren para algún valor de (x ) en cada intervalo abierto que contiene (x_0 ). Esto contradice el Teorema ( PageIndex {1} ) (b), ya que en la Ecuación ref {eq: 3.5.6} las funciones

[f (x, y) = 2xy ^ 2 quad text {y} quad f_y (x, y) = 4xy. sin número]

son ambos continuos para todo ((x, y) ), lo que implica que la Ecuación ref {eq: 3.5.7} tiene una solución única en algún intervalo abierto que contiene (x_0 ).

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Considere el problema del valor inicial

[ label {eq: 3.5.8} y '= {10 over 3} xy ^ {2/5}, quad y (x_0) = y_0. ]

  1. ¿Para qué puntos ((x_0, y_0) ) implica el Teorema ( PageIndex {1a} ) que la Ecuación ref {eq: 3.5.8} tiene una solución?
  2. ¿Para qué puntos ((x_0, y_0) ) el Teorema ( PageIndex {1b} ) implica que la Ecuación ref {eq: 3.5.8} tiene una solución única en algún intervalo abierto que contiene (x_0 ) ?

Solución a

Ya que

[f (x, y) = {10 over 3} xy ^ {2/5} nonumber ]

es continua para todo ((x, y) ), el teorema ( PageIndex {1} ) implica que la ecuación ref {eq: 3.5.8} tiene una solución para todo ((x_0, y_0) ) .

Solución b

Aquí

[f_y (x, y) = {4 over 3} xy ^ {- 3/5} nonumber ]

es continuo para todo ((x, y) ) con (y ne 0 ). Por tanto, si (y_0 ne0 ) hay un rectángulo abierto en el que (f ) y (f_y ) son continuos, y el Teorema ( PageIndex {1} ) implica que la Ecuación ref {eq: 3.5.8} tiene una solución única en algún intervalo abierto que contiene (x_0 ).

Si (y = 0 ) entonces (f_y (x, y) ) no está definido y, por lo tanto, es discontinuo; por tanto, el Teorema ( PageIndex {1} ) no se aplica a la Ecuación ref {eq: 3.5.8} si (y_0 = 0 ).

Ejemplo ( PageIndex {6} )

Ejemplo ( PageIndex {5} ) deja abierta la posibilidad de que el problema del valor inicial

[ label {eq: 3.5.9} y '= {10 over 3} xy ^ {2/5}, quad y (0) = 0 ]

tiene más de una solución en cada intervalo abierto que contiene (x_0 = 0 ). Demuestre que esto es cierto.

Solución

Por inspección, (y equiv0 ) es una solución de la ecuación diferencial

[ label {eq: 3.5.10} y '= {10 over 3} xy ^ {2/5}. ]

Dado que (y equiv0 ) satisface la condición inicial (y (0) = 0 ), es una solución de la Ecuación ref {eq: 3.5.9}.

Ahora suponga que (y ) es una solución de la Ecuación ref {eq: 3.5.10} que no es idénticamente cero. La separación de variables en la ecuación ref {eq: 3.5.10} produce

[y ^ {- 2/5} y '= {10 over 3} x nonumber ]

en cualquier intervalo abierto donde (y ) no tenga ceros. Integrar esto y reescribir la constante arbitraria como (5c / 3 ) produce

[{5 over 3} y ^ {3/5} = {5 over 3} (x ^ 2 + c). sin número]

Por lo tanto

[ label {eq: 3.5.11} y = (x ^ 2 + c) ^ {5/3}. ]

Dado que dividimos por (y ) para separar variables en la Ecuación ref {eq: 3.5.10}, nuestra derivación de la Ecuación ref {eq: 3.5.11} es legítima solo en intervalos abiertos donde (y ) tiene sin ceros. Sin embargo, la ecuación ref {eq: 3.5.11} en realidad define (y ) para todo (x ), y la diferenciación de la ecuación ref {eq: 3.5.11} muestra que

[ begin {align} y '= {10 over 3} x (x ^ 2 + c) ^ {2/3} = {10 over 3} xy ^ {2/5}, , - infty end {alineado} ]

Por lo tanto, la ecuación ref {eq: 3.5.11} satisface la ecuación ref {eq: 3.5.10} en ((- infty, infty) ) incluso si (c le 0 ), de modo que ( y ( sqrt {| c |}) = y (- sqrt {| c |}) = 0 ). En particular, tomando (c = 0 ) en la ecuación ref {eq: 3.5.11} se obtiene

[y = x ^ {10/3} nonumber ]

como una segunda solución de la Ecuación ref {eq: 3.5.9}. Ambas soluciones se definen en ((- infty, infty) ) y difieren en cada intervalo abierto que contiene (x_0 = 0 ) (Figura ( PageIndex {2} )). De hecho, hay cuatro distintas soluciones de la Ecuación ref {eq: 3.5.9} definida en ((- infty, infty) ) que difieren entre sí en cada intervalo abierto que contiene (x_0 = 0 ). ¿Puedes identificar los otros dos?

Ejemplo ( PageIndex {7} )

Del Ejemplo ( PageIndex {5} ), el problema del valor inicial

[ label {eq: 3.5.12} y '= {10 over 3} xy ^ {2/5}, quad y (0) = - 1 ]

tiene una solución única en algún intervalo abierto que contiene (x_0 = 0 ). Encuentre una solución y determine el intervalo abierto más grande ((a, b) ) en el que es único.

Solución

Sea (y ) cualquier solución de la ecuación ref {eq: 3.5.12}. Debido a la condición inicial (y (0) = - 1 ) y la continuidad de (y ), hay un intervalo abierto (I ) que contiene (x_0 = 0 ) en el cual (y ) no tiene ceros y, en consecuencia, tiene la forma Ecuación ref {eq: 3.5.11}. Al establecer (x = 0 ) y (y = -1 ) en la Ecuación ref {eq: 3.5.11} se obtiene (c = -1 ), entonces

[ label {eq: 3.5.13} y = (x ^ 2-1) ^ {5/3} ]

para (x ) en (I ). Por lo tanto, toda solución de la Ecuación ref {eq: 3.5.12} difiere de cero y está dada por la Ecuación ref {eq: 3.5.13} en ((- 1,1) ); es decir, la ecuación ref {eq: 3.5.13} es la única solución de la ecuación ref {eq: 3.5.12} en ((- 1,1) ). Este es el intervalo abierto más grande en el que la Ecuación ref {eq: 3.5.12} tiene una solución única. Para ver esto, observe que la Ecuación ref {eq: 3.5.13} es una solución de la Ecuación ref {eq: 3.5.12} en ((- infty, infty) ). Desde Ejercicio 2.2.15, hay infinitas otras soluciones de la Ecuación ref {eq: 3.5.12} que difieren de la Ecuación ref {eq: 3.5.13} en cada intervalo abierto mayor que ((- 1,1) ). Una de esas soluciones es

[y = left { begin {array} {cl} (x ^ 2-1) ^ {5/3}, & -1 le x le 1, [6pt] 0, & | x |> 1. end {matriz} right. sin número]

Ejemplo ( PageIndex {8} )

Del Ejemplo ( PageIndex {5} )), el problema del valor inicial

[ label {eq: 3.5.14} y '= {10 over 3} xy ^ {2/5}, quad y (0) = 1 ]

tiene una solución única en algún intervalo abierto que contiene (x_0 = 0 ). Encuentre la solución y determine el intervalo abierto más grande en el que es única.

Solución

Sea (y ) cualquier solución de la ecuación ref {eq: 3.5.14}. Debido a la condición inicial (y (0) = 1 ) y la continuidad de (y ), hay un intervalo abierto (I ) que contiene (x_0 = 0 ) en el cual (y ) no tiene ceros y, en consecuencia, tiene la forma Ecuación ref {eq: 3.5.11}. Al establecer (x = 0 ) y (y = 1 ) en la ecuación ref {eq: 3.5.11} se obtiene (c = 1 ), entonces

[ label {eq: 3.5.15} y = (x ^ 2 + 1) ^ {5/3} ]

para (x ) en (I ). Por lo tanto, toda solución de la Ecuación ref {eq: 3.5.14} difiere de cero y está dada por la Ecuación ref {eq: 3.5.15} en ((- infty, infty) ); es decir, la ecuación ref {eq: 3.5.15} es la única solución de la ecuación ref {eq: 3.5.14} en ((- infty, infty) ). La figura ( PageIndex {4} )) muestra la gráfica de esta solución.


Existencia y singularidad de la solución minimizadora de la ecuación no lineal de Choquard

La ecuación que se aborda en este artículo tiene tres dimensiones. Proviene de minimizar lo funcional que, a su vez, proviene de una aproximación a la teoría de Hartree-Fock de un plasma. Describe un electrón atrapado en su propio agujero. El aspecto matemático interesante del problema es que no es convexo y no se aplican los métodos habituales para demostrar la existencia y unicidad del mínimo. Mediante el uso de desigualdades de reordenación decrecientes simétricas, podemos demostrar la existencia y unicidad (traslaciones de módulo) de un ϕ minimizador. Para probar la unicidad, se emplea una forma estricta de desigualdad, que creemos que es nueva.


Preliminares

Enumeramos algunas notaciones que se utilizan en este artículo. Usamos los símbolos Ξ, K, y H para denotar espacios de Hilbert reales separables, con productos escalares (( cdot, cdot) _ < Xi> ), (( cdot, cdot) _) y (( cdot, cdot) _), respectivamente. Dejemos que (| cdot | ) denote la norma en varios espacios, con un subíndice si es necesario. Deje (< mathcal > = C ([- tau, 0], H) ) denota el espacio de funciones continuas desde ([- tau, 0] ) a H, dotado de la norma habitual (| f | _= sup _ << theta in [- tau, 0] >> | f ( theta) | _). (L ( Xi, H) ) denota el espacio de todos los operadores lineales acotados desde Ξ en H el subespacio de los operadores de Hilbert-Schmidt, con la norma de Hilbert-Schmidt, se denota por (L_ <2> ( Xi, H) ).

Deje (( Omega, < mathcal>, P) ) ser un espacio completo con una filtración ( << mathcal>_>_) que satisfaga la condición habitual, es decir., ( << mathcal>_>_) es una familia de subproductos en continuo aumento σ-álgebra de ( mathcal) y (< mathcal> _ <0> ) contiene todos PAG-conjuntos nulos de ( mathcal). Un proceso Wiener cilíndrico definido en (( Omega, < mathcal>, P) ), y con valores en un espacio de Hilbert Ξ, es una familia () de asignaciones lineales ( Xi rightarrow L ^ <2> ( Omega) ) tal que para cada ( xi, eta en Xi ), () es un proceso de Wiener real y ((W (t) xi cdot W (t) eta) = ( xi, eta) _ < Xi> t ). En el siguiente, () es un proceso Wiener cilíndrico adaptado a la filtración ( << mathcal>_>_) .

Ahora definamos varias clases de procesos estocásticos con valores en un espacio de Banach F:

(L ^

_ << mathcal

>> ( Omega L ^_ < beta> (F)) ), definido para ( beta in R ) y (p, q in [1, infty) ), denota el espacio de clases de equivalencia de procesos ( ), con valores en F, tal que la norma

es finito y Y admite una versión predecible.

(L ^

_ << mathcal

>> ( OmegaC ([0, T] F)) ), definido para (T & gt0 ) y (p in [1, infty) ), denota el espacio de procesos predecibles () con trayectorias continuas en F, tal que la norma

es finito. Elementos de (L ^

_ << mathcal

>> ( OmegaC ([0, T] F)) ) se identifican hasta la indistinguibilidad.

(L ^_ << mathcal

>> ( OmegaC _ < eta> (F)) ), definido para ( eta in R ) y (q in [1, infty) ), denota el espacio de procesos predecibles ( ) con trayectorias continuas en F, tal que la norma

es finito. Elementos de (L ^_ << mathcal

>> ( OmegaC _ < eta> (F)) ) se identifican hasta la indistinguibilidad.

Finalmente, para ( eta en R ) y (q en [1, infty) ), definimos (< mathcal>^_ < eta> ) como el espacio (L ^_ << mathcal

>> ( Omega L ^_ < eta> (F)) cap L ^_ << mathcal

>> ( OmegaC _ < eta> (F)) ), dotado de la norma

Decimos (f in C ^ <1> (< mathcal> H) ) si F es continuo, Fréchet diferenciable y ( nabla_f: < mathcal> rightarrow L (< mathcal>, H) ) es continuo.

Decimos (g in < mathcal> ^ <1> (< mathcal> H) ) si gramo es continuo, Gâteaux diferenciable con respecto a X en (< mathcal> ) y ( nabla_g: < mathcal> rightarrow L (< mathcal>, H) ) es fuertemente continua.

Sea (F_) ser el espacio vectorial de todas las funciones simples de (z1 _ <[a, c)> ) donde (z in H ), (c in (a, b] ) y (1_ < [a, c)>: [a, b] rightarrow R ) es la función de carácter de ([a, c) ). Está claro que (C ([a, b], H) cap F_= <0 > ). Forme la suma directa (C ([a, b], H) oplus F_) y darle la norma completa

Ahora démos dos lemas básicos que se usarán en las siguientes secciones (ver Lema 2.1 y Lema 2.2 en [26]).

Decimos (: C ([a, b], H) oplus F_ rightarrow K ) satisfaciendo (V) si (<>>_) es una secuencia acotada en (C ([a, b], H) ) y (y + z1 _ <[a, c)> en C ([a, b], H) oplus F_) tal que (x ^(s) rightarrow y (s) + z1 _ <[a, c)> ) como (n rightarrow infty ) para todos (s en [a, b] ) y ( sup_| (x ^(s) -y (s), h_) | leq | (z, h_) | ) para todo (i en N ), donde (<>>_) es una base de H, luego (f (x ^) rightarrow f (y + z1 _ <[a, c)>) ) como (n rightarrow infty ).

Lema 2.1

Dejar (f en L (C ([a, b] H) K) ). Luego, para cada (c en (a, b] ), F tiene una extensión lineal continua única ( overline: C ([a, b], H) oplus F_ flecha derecha K ) satisfactorio (V). es más, el mapa de extensión (e: L (C ([0, T], H), K) rightarrow L (C ([0, T], H) oplus F_, K) ), (f rightarrow overline) es una isometría lineal.

Decimos (: [C ([a, b], H) oplus F_] times [C ([a, b], H) oplus F_] rightarrow R ) satisface (W) si (<>>_) , (<>>_) son secuencias acotadas en (C ([a, b], H) ) y (x + z_ <1> 1 _ <[a, c)>, y + z_ <2> 1 _ <[a, c )> en C ([a, b], H) oplus F_) tal que (x ^(s) flecha derecha x (s) + z_ <1> 1 _ <[a, c)> ), (y ^(s) rightarrow y (s) + z_ <2> 1 _ <[a, c)> ) como (n rightarrow infty ) para todo (s en [a, b] ), y (sorber_| (x ^(s) -x (s), h_) | leq | (z_ <1>, h_) | ), ( sup_| (y ^(s) -y (s), h_) | leq | (z_ <2>, h_) | ) para todo (i in N ), luego (f (x ^, y ^) rightarrow f (x + z_ <1> 1 _ <[a, c)>, y + z_ <2> 1 _ <[a, c)>) ) como (n rightarrow infty ).

Lema 2.2

Dejar ( beta: C ([a, b], H) times C ([a, b] H) rightarrow R ) ser un mapa bilineal continuo. Luego, para cada (c en (a, b] ), β tiene una extensión bilineal continua única ( overline < beta>: [C ([a, b], H) oplus F_] times [C ([a, b], H) oplus F_] flecha derecha R ) satisfactorio (W).


La teoría de las ecuaciones diferenciales impulsivas es una rama importante de las ecuaciones diferenciales que tiene un amplio trasfondo físico. Las ecuaciones diferenciales impulsivas surgen con frecuencia en el modelado de muchos sistemas físicos cuyos estados están sujetos a cambios repentinos en ciertos momentos. Ha habido un desarrollo significativo en la teoría impulsiva, especialmente en el área de ecuaciones diferenciales impulsivas con momentos fijos (véanse, por ejemplo, las monografías [1-4] y las referencias en ellas).

Muchos de los sistemas físicos pueden describirse mejor mediante condiciones de contorno integrales. Las condiciones de contorno integrales se encuentran en diversas aplicaciones tales como dinámica de poblaciones, modelos de flujo sanguíneo, ingeniería química y sistemas celulares. Además, los problemas de valores de frontera con condiciones integrales constituyen una clase de problemas muy interesante e importante. Incluyen problemas de valores límite de dos puntos, tres puntos, multipunto y no locales como casos especiales. Para problemas de valores de frontera con condiciones de frontera no locales y comentarios sobre su importancia, remitimos al lector a los artículos [5-18] y las referencias en ellos.

En el presente artículo estudiamos la existencia y unicidad del sistema de ecuaciones diferenciales impulsivas no lineales del tipo


3.5: Existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones no lineales

[1] P. Benilan, L. Boccardo, T. Gallouët, R. Gariepy, M. Pierre y J.L. Vazquez, Una teoría L1 de la existencia y unicidad de las ecuaciones elípticas no lineales, Ann. Norma de la Scuola. Sorber. Pisa, vol. 22, n. 2, 1995, págs. 240-273. | Numdam | MR 1354907 | Zbl 0866.35037

[2] L. Boccardo y T. Gallouët, Ecuaciones elípticas y parabólicas no lineales que involucran datos de medida, J. Funct. Anal. , Vol. 87, 1989, págs. 149-169. | MR 1025884 | Zbl 0707.35060

[3] L. Boccardo y T. Gallouët, Ecuaciones elípticas no lineales con medidas del lado derecho, Comm. Ecuaciones diferenciales parciales, vol. 17, n. 3 y 4, 1992, págs. 641-655. | Zbl 0812.35043

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[5] H. Brezis y W. Strauss, Ecuaciones elípticas de segundo orden semilineales en L1, J. Math. Soc. Japón, vol. 25, n. 4, 1973, págs. 565-590. | MR 336050 | Zbl 0278.35041

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[8] G. Dal Maso, Comunicación personal.

[9] M. Fukushima, K. Sato y S. Taniguchi, Sobre la parte que se puede cerrar de las formas pre-Dirichlet y los soportes finos de las medidas subyacentes, Osaka J. Math. , Vol. 28, 1991, págs. 517-535. | MR 1144471 | Zbl 0756.60071

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[11] J. Leray y J.L. Lions, Quelques résultats de Višik sur les problèmes elliptiques semi-linéaires par les méthodes de Minty et Browder, Bull. Soc. Matemáticas. Francia, vol. 93, 1965, págs. 97-107. | EuDML 87074 | Numdam | MR 194733 | Zbl 0132.10502

[12] A. Prignet, Observaciones sobre la existencia y unicidad de las soluciones de problemas elípticos con medidas del lado derecho, Rend. Estera. , Vol. 15, 1995, págs. 321-337. | MR 1362776 | Zbl 0843.35127

[13] J. Serrin, Soluciones patológicas de ecuaciones diferenciales elípticas, Ann. Norma de la Scuola. Sorber. Pisa, vol. 18, 1964, págs. 385-387. | Numdam | MR 170094 | Zbl 0142.37601

[14] G. Stampacchia, Le problème de Dirichlet pour les équations elliptiques du second ordre à coefficients discontinus, Ann. Inst. Fourier, (Grenoble), vol. 15, n. 1, 1965, págs. 189-258. | Numdam | MR 192177 | Zbl 0151.15401


Referencias

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  2. [BB] P. Bénilan, L. Boccardo, T. Gallouët, R. Gariepy, M. Pierre y J. L. Vázquez, An L 1 -teoría de la existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones elípticas no lineales, Ann. Norma de la Scuola. Sorber. Pisa 22 (1995), 241-273.Zbl0866.35037
  3. [BG] L. Boccardo y T. Gallouët, Ecuaciones elípticas y parabólicas no lineales que involucran datos de medida, J. Funct. Anal. 87 (1989), 149-169. Zbl0707.35060
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Resultado de la investigación: Contribución a la revista ›Artículo› revisión por pares

T1 - Existencia y unicidad de una solución estacionaria de una ecuación diferencial estocástica no lineal con memoria

N1 - Copyright: Copyright 2017 Elsevier B.V., Todos los derechos reservados.

N2 - El artículo obtiene condiciones suficientes para la existencia y unicidad de una solución estacionaria de una ecuación diferencial estocástica no lineal, cuyo coeficiente de deriva es un funcional no lineal de la historia de la solución.

AB - El artículo obtiene condiciones suficientes para la existencia y unicidad de una solución estacionaria de una ecuación diferencial estocástica no lineal, cuyo coeficiente de deriva es un funcional no lineal de la historia de la solución.


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Agradecimientos

Agradecemos al editor y a los revisores anónimos por muchas sugerencias valiosas para mejorar este documento.

Disponibilidad de datos y materiales

El intercambio de datos no se aplica a este artículo, ya que no se generaron ni analizaron conjuntos de datos durante el estudio actual.


Para cada condición inicial $ y (t_0) = y_0 $ con $ -1 & lt y_0 & lt 1 $, hay dos soluciones, una creciente y otra decreciente, siempre que $ | y | $ permanezca por debajo de $ 1 $. Pero una vez que llega a $ y = pm 1 $, no hay más unicidad.

Necesita escribir la EDO en la forma normal $ y '= f (y) $. Una vez que esté escrito en este formulario, verifique si $ f $ es Lipschitz. Si $ f $ es Lipschitz, el problema del valor inicial (es decir, cuando especifica el valor $ y (0) $) tiene una solución única.

En su ejemplo, tenemos 2 formas normales o 2 ramas para considerar: $ f (y) = pm sqrt <1-y ^ 2>. $ Por lo tanto, en el mejor de los casos, obtendríamos exactamente 2 soluciones para un dato inicial dado $ y (0) $. Siguiendo los valores reales por simplicidad, tenemos lo siguiente.


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