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7.6: Cálculo de centros de masa y momentos de inercia


Ya hemos discutido algunas aplicaciones de múltiples integrales, como encontrar áreas, volúmenes y el valor promedio de una función en una región acotada. Por lo general, se considera que la densidad es un número constante cuando la lámina o el objeto son homogéneos; es decir, el objeto tiene una densidad uniforme.

Centro de masa en dos dimensiones

El centro de masa también se conoce como centro de gravedad si el objeto está en un campo gravitacional uniforme. Si el objeto tiene densidad uniforme, el centro de masa es el centro geométrico del objeto, que se llama centroide. La figura ( PageIndex {1} ) muestra un punto (P ) como el centro de masa de una lámina. La lámina está perfectamente equilibrada alrededor de su centro de masa.

Para encontrar las coordenadas del centro de masa (P ( bar {x}, bar {y}) ) de una lámina, necesitamos encontrar el momento (M_x ) de la lámina alrededor de (x ) - eje y el momento (M_y ) sobre el (y ) - eje. También necesitamos encontrar la masa (m ) de la lámina. Luego

[ bar {x} = dfrac {M_y} {m} ]

y

[ bar {y} = dfrac {M_x} {m}. ]

Consulte Momentos y centros de masa para conocer las definiciones y los métodos de integración simple para encontrar el centro de masa de un objeto unidimensional (por ejemplo, una barra delgada). Vamos a usar una idea similar aquí, excepto que el objeto es una lámina bidimensional y usamos una integral doble.

Si permitimos una función de densidad constante, entonces ( bar {x} = dfrac {M_y} {m} ) y ( bar {y} = dfrac {M_x} {m} ) dan el centroide de la lámina.

Suponga que la lámina ocupa una región (R ) en el plano (xy ) - y sea ( rho (x, y) ) su densidad (en unidades de masa por unidad de área) en cualquier punto ((x, y) ). Por eso,

[ rho (x, y) = lim _ { Delta A rightarrow 0} dfrac { Delta m} { Delta A} ]

donde ( Delta m ) y ( Delta A ) son la masa y el área de un pequeño rectángulo que contiene el punto ((x, y) ) y el límite se toma cuando las dimensiones del rectángulo van a (0 ) (ver la siguiente figura).

Al igual que antes, dividimos la región (R ) en pequeños rectángulos (R_ {ij} ) con área ( Delta A ) y elegimos ((x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) ) como puntos de muestra. Entonces la masa (m_ {ij} ) de cada (R_ {ij} ) es igual a ( rho (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) Delta A ) (Figura ( PageIndex {2} )). Sea (k ) y (l ) el número de subintervalos en (x ) y (y ) respectivamente. Además, tenga en cuenta que es posible que la forma no siempre sea rectangular, pero el límite funciona de todos modos, como se vio en las secciones anteriores.

Por tanto, la masa de la lámina es

[m = lim_ {k, l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l m_ {ij} = lim_ {k, l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l rho (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) Delta A = iint_R rho (x, y) dA. ]

Veamos ahora un ejemplo de cómo encontrar la masa total de una lámina triangular.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): encontrar la masa total de una lámina

Considere una lámina triangular (R ) con vértices ((0,0), , (0,3), , (3,0) ) y con densidad ( rho (x, y) = xy , kg / m ^ 2 ). Calcula la masa total.

Solución

Un bosquejo de la región (R ) siempre es útil, como se muestra en la siguiente figura.

Usando la expresión desarrollada para masa, vemos que

[m = iint_R , dm = iint_R rho (x, y) dA = int_ {x = 0} ^ {x = 3} int_ {y = 0} ^ {y = 3-x} xy , dy , dx = int_ {x = 0} ^ {x = 3} left [ left. x dfrac {y ^ 2} {2} right | _ {y = 0} ^ {y = 3} right] , dx = int_ {x = 0} ^ {x = 3} dfrac {1 } {2} x (3 - x) ^ 2 dx = left. Left [ dfrac {9x ^ 2} {4} - x ^ 3 + dfrac {x ^ 4} {8} right] right | _ {x = 0} ^ {x = 3} = dfrac {27} {8}. ]

El cálculo es sencillo, dando la respuesta (m = dfrac {27} {8} , kg ).

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Considere la misma región (R ) que en el ejemplo anterior y use la función de densidad ( rho (x, y) = sqrt {xy} ). Calcula la masa total.

Respuesta

( dfrac {9 pi} {8} , kg )

Ahora que hemos establecido la expresión de masa, tenemos las herramientas que necesitamos para calcular momentos y centros de masa. El momento (M_z ) sobre el eje (x ) - para (R ) es el límite de las sumas de momentos de las regiones (R_ {ij} ) sobre el eje (x ) . Por eso

[M_x = lim_ {k, l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l (y_ {ij} ^ *) m_ {ij} = lim_ {k , l flecha derecha infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l (y_ {ij} ^ *) rho (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) Delta A = iint_R y rho (x, y) dA ]

De manera similar, el momento (M_y ) sobre el eje (y ) - para (R ) es el límite de las sumas de momentos de las regiones (R_ {ij} ) sobre el (y ) -eje. Por eso

[M_x = lim_ {k, l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l (x_ {ij} ^ *) m_ {ij} = lim_ {k , l flecha derecha infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l (y_ {ij} ^ *) rho (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) Delta A = iint_R x rho (x, y) dA ]

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Encontrar momentos

Considere la misma lámina triangular (R ) con vértices ((0,0), , (0,3), , (3,0) ) y con densidad ( rho (x, y) = xy ). Encuentra los momentos (M_x ) y (M_y ).

Solución

Use integrales dobles para cada momento y calcule sus valores:

[M_x = iint_R y rho (x, y) dA = int_ {x = 0} ^ {x = 3} int_ {y = 0} ^ {y = 3-x} xy ^ 2 , dy , dx = dfrac {81} {20}, ]

[M_y = iint_R x rho (x, y) dA = int_ {x = 0} ^ {x = 3} int_ {y = 0} ^ {y = 3-x} x ^ 2 y , dy , dx = dfrac {81} {20}, ]

El cálculo es bastante sencillo.

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Considere la misma lámina (R ) que la anterior y use la función de densidad ( rho (x, y) = sqrt {xy} ). Encuentra los momentos (M_x ) y (M_y ).

Respuesta

(M_x = dfrac {81 pi} {64} ) y (M_y = dfrac {81 pi} {64} )

Finalmente, estamos listos para reformular las expresiones del centro de masa en términos de integrales. Denotamos el X-coordenada del centro de masa por ( bar {x} ) y el y-coordinar por ( bar {y} ). Específicamente,

[ bar {x} = dfrac {M_y} {m} = dfrac { iint_R x rho (x, y) dA} { iint_R rho (x, y) dA} ]

y

[ bar {y} = dfrac {M_x} {m} = dfrac { iint_R y rho (x, y) dA} { iint_R rho (x, y) dA} ]

Ejemplo ( PageIndex {3} ): centro de masa

Considere nuevamente la misma región triangular (R ) con vértices ((0,0), , (0,3), , (3,0) ) y con función de densidad ( rho (x, y ) = xy ). Encuentra el centro de masa.

Solución

Usando las fórmulas que desarrollamos, tenemos

[ bar {x} = dfrac {M_y} {m} = dfrac { iint_R x rho (x, y) dA} { iint_R rho (x, y) dA} = dfrac {81 / 20} {27/8} = dfrac {6} {5}, ]

[ bar {y} = dfrac {M_x} {m} = dfrac { iint_R y rho (x, y) dA} { iint_R rho (x, y) dA} = dfrac {81 / 20} {27/8} = dfrac {6} {5}. ]

Por lo tanto, el centro de masa es el punto ( left ( dfrac {6} {5}, dfrac {6} {5} right). )

Análisis

Si elegimos la densidad ( rho (x, y) ) en lugar de ser uniforme en toda la región (es decir, constante), como el valor 1 (cualquier constante servirá), entonces podemos calcular el centroide,

[x_c = dfrac {M_y} {m} = dfrac { iint_R x , dA} { iint_R dA} = dfrac {9/2} {9/2} = 1, ]

[y_c = dfrac {M_x} {m} = dfrac { iint_R y , dA} { iint_R dA} = dfrac {9/2} {9/2} = 1. ]

Observe que el centro de masa ( left ( dfrac {6} {5}, dfrac {6} {5} right) ) no es exactamente el mismo que el centroide ((1,1) ) de la región triangular. Esto se debe a la densidad variable de (R ) Si la densidad es constante, entonces usamos ( rho (x, y) = c ) (constante). Este valor se cancela de las fórmulas, por lo que para una densidad constante, el centro de masa coincide con el centroide de la lámina.

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Nuevamente use la misma región (R ) que arriba y use la función de densidad ( rho (x, y) = sqrt {xy} ). Encuentra el centro de masa.

Respuesta

( bar {x} = dfrac {M_y} {m} = dfrac {81 pi / 64} {9 pi / 8} = dfrac {9} {8} ) y ( bar { y} = dfrac {M_x} {m} = dfrac {81 pi} {9 pi / 8} = dfrac {0} {8} ).

Una vez más, según los comentarios al final del Ejemplo ( PageIndex {3} ), tenemos expresiones para el centroide de una región en el plano:

[x_c = dfrac {M_y} {m} = dfrac { iint_R x , dA} { iint_R dA} , text {y} , y_c = dfrac {M_x} {m} = dfrac { iint_R y , dA} { iint_R dA}. ]

Debemos usar estas fórmulas y verificar el centroide de la región triangular


Cómo medir el MOI a través de CG

1. ¿Por qué medir el momento de inercia (MOI) a través del centro de gravedad (CG)?

Cuando un objeto puede girar libremente, girará alrededor de un eje que pasa por su centro de gravedad. Por tanto, es fundamental conocer el momento de inercia a través del centro de gravedad para evaluar las características de vuelo de una carga útil.

El MOI alrededor de un eje A que pasa por CG es el MOI más pequeño alrededor de cualquier eje paralelo a A. Una vez que sepa MOI a través de CG, puede extrapolar a MOI a través de cualquier eje paralelo a él, siempre que conozca la distancia entre CG y su eje.

La formula es:

MOI a través del eje A = MOI a través de CG + Md 2

Donde:
M es la masa del objeto
d es la distancia entre el CG y el eje A

2. ¿Cómo medir MOI a través de CG sin conocer la ubicación de CG?

Por supuesto, la forma más sencilla de medir el momento de inercia a través del centro de gravedad es utilizar un instrumento que mida tanto CG como MOI. Nuestra serie KSR son instrumentos de alta precisión que miden CG y MOI con una precisión del 0,1%. En este instrumento, una configuración de carga útil permite medir dos coordenadas de ubicación del centro de gravedad y un momento de inercia. El instrumento da resultados de momento de inercia directamente a través del centro de gravedad.

Nuestras máquinas de balance de giro (serie POI) también miden CG y MOI y, por lo tanto, dan el momento de inercia a través de resultados del centro de gravedad. Nuestra serie MP son instrumentos que también miden tanto CG como MOI, aunque con menor precisión.

Pero no es necesario conocer la posición del centro de gravedad para medir el momento de inercia a través del centro de gravedad. Al medir el MOI en varios ejes paralelos, se puede calcular el MOI a través del CG.

El número óptimo de mediciones de momento de inercia (mejor compromiso entre precisión y tiempo) es 6. Más mediciones no proporcionarán mucha más precisión. Menos mediciones reducirán la precisión de manera significativa.

La precisión del momento de inercia depende de varios factores, que incluyen:

  • Las posiciones utilizadas para cada medida
  • La precisión del instrumento
  • La precisión del accesorio.

Dependiendo de su carga útil, obtendrá una precisión del orden de 1,5 a 3 veces peor que la precisión de su instrumento. En otras palabras, si su instrumento de medición de momento de inercia tiene una precisión del 0,1%, obtendrá MOI a través de CG con una precisión del 0,15% al ​​0,3%.

De una medición a la siguiente, la carga útil debe trasladarse en un plano horizontal, sin cambiar su orientación. Las mediciones del momento de inercia dan mejores resultados cuando el centro de gravedad de la carga útil se encuentra cerca de la línea central de la máquina. Por lo tanto, las posiciones de medición deben elegirse cuidadosamente para permanecer dentro de la tolerancia del instrumento para el momento de vuelco, pero para proporcionar la mayor variación posible de una posición a la siguiente.

La fijación es crucial para estas mediciones. El uso de una tabla de traslación de dos ejes permite realizar mediciones sin volver a texturizar la carga útil.

3. ¿Puedo encontrar la ubicación del centro de gravedad con este método? ¿Qué precisión puedo esperar?

Este método le dará una estimación aproximada de la ubicación del centro de gravedad, pero la incertidumbre es muy grande. No confíe en este método para obtener una ubicación del centro de gravedad que pueda utilizar en el cálculo o con fines de equilibrio.

La precisión depende de su carga útil. En la cabeza de un palo de golf, por ejemplo, puede obtener una ubicación del centro de gravedad de +/- 0,25 pulgadas (+/- 6 mm). En otras cargas útiles, la incertidumbre puede ser de +/- 1 pulgada (+/- 2,54 cm) o más.

4. ¿Cómo implementa Space Electronics este método?

Los instrumentos de Space Electronics & # 8217 de momento de inercia admiten el método de mediciones de MOI múltiples para encontrar MOI a través de CG. Diseñamos software y accesorios personalizados que automatizan el proceso de medición y cálculo.

Nuestros instrumentos de medición de momento de inercia también permiten entradas manuales del centro de gravedad y traslación de los resultados de MOI a cualquier eje.


El centroide de una forma es la media aritmética (es decir, el promedio) de todos los puntos de una forma. Suponga que una forma consta de puntos distintos , entonces el centroide viene dado por

En el contexto del procesamiento de imágenes y la visión por computadora, cada forma está hecha de píxeles y el centroide es simplemente el promedio ponderado de todos los píxeles que constituyen la forma.


Momento de inercia de masa

Cómo en NX 7.5 puedo obtener el momento de inercia de la masa alrededor de un eje alejado del centro de gravedad del cuerpo.

RE: momento de inercia de la masa

Cuando ejecuta un comando "medir cuerpo", la ventana de información mostrará los resultados:
Momentos de inercia (Centroidal)
Momentos de inercia (WCS)

El marcado "WCS" es el momento de inercia con respecto a los ejes del WCS. Entonces, todo lo que necesita hacer es colocar y orientar el WCS como desee antes de usar "medir cuerpo".

RE: momento de inercia de la masa

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RE: momento de inercia de la masa

Gracias
¿Cuál es el momento de inercia de masa polar? Hay una terminología extraña.

RE: momento de inercia de la masa

Tendrá que derivar eso de los Momentos Masivos de Interia. Simplemente oriente el eje Z del WCS para que se alinee con el eje polar de interés, realice un Cuerpo de medición y luego AGREGUE los valores de Ix e Iy para obtener el momento polar de inercia con respecto a Iz.

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RE: momento de inercia de la masa

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El momento de inercia de cualquier objeto alrededor de un eje a través de su CG se puede expresar mediante la fórmula: I = Mk 2 donde I = momento de inercia
M = masa (slug) u otra unidad de masa correcta
k = longitud (radio de giro) (pies) o cualquier otra unidad de longitud

La distancia (k) se llama Radio de giro. El método para calcular el radio de giro se describe en las siguientes secciones. Considere primero el cuerpo que consta de dos masas puntuales, cada una con una masa de M / 2 separada por una distancia de 2r. El eje de referencia pasa por un punto equidistante de las dos masas. Cada una de las masas tiene un MOI de Mr 2/2. Su MOI combinado es, por lo tanto, Mr 2. El segundo ejemplo muestra un tubo de pared delgada de radio r. Por simetría, el CG se encuentra en la línea central del tubo. Nuevamente, toda la masa está ubicada a una distancia r del eje de referencia, por lo que su MOI = Mr 2. En estos ejemplos, el radio de giro es k = r. Esto conduce a la definición: & # 8220 El radio de giro de un objeto, con respecto a un eje a través del CG, es la distancia desde el eje en el que toda la masa de un objeto podría concentrarse sin cambiar su momento de inercia. El radio de giro siempre se mide desde CG. & # 8221


Acerca de las propiedades físicas

Por:

Asigne propiedades físicas a los componentes para calcular el peso y el volumen del ensamblaje, para ubicar un centro de gravedad y para exportar datos a otra aplicación para su posterior análisis.

El análisis de las propiedades físicas le ayuda a evaluar cómo su modelo diseñado se correlaciona con su contraparte física. Para verificar la intención del diseño, puede calcular las propiedades físicas de las piezas y los ensamblajes.

Las propiedades de masa no se actualizan automáticamente con los cambios del modelo. Si los cambios en el modelo afectan las propiedades físicas, los últimos valores conocidos quedan desactualizados y muestran N / A.

Las expresiones de la lista de materiales y el texto del dibujo pueden mostrar propiedades físicas (masa, volumen, área y densidad). N / A se muestra en las expresiones de la lista de materiales y en el texto del dibujo cuando las propiedades del modelo están desactualizadas.

  • La ubicación del componente virtual no se puede definir más que el origen del ensamblaje.
  • La superficie y los momentos de inercia de los componentes virtuales no existen.

9.6 Centro de masa

Hemos estado evitando un tema importante hasta ahora: cuando decimos que un objeto se mueve (más correctamente, acelera) de una manera que obedece a la segunda ley de Newton, hemos ignorado el hecho de que todos los objetos están hechos de muchas partículas constituyentes. Un automóvil tiene motor, volante, asientos, pasajeros, una pelota de fútbol es de cuero y una goma que rodea el aire, un ladrillo está hecho de átomos. Hay muchos tipos diferentes de partículas y, por lo general, no se distribuyen uniformemente en el objeto. ¿Cómo incluimos estos hechos en nuestros cálculos?

Además, un objeto extendido puede cambiar de forma a medida que se mueve, como un globo de agua o la caída de un gato (Figura 9.26). Esto implica que las partículas constituyentes están aplicando fuerzas internas entre sí, además de la fuerza externa que actúa sobre el objeto en su conjunto. Queremos poder manejar esto también.

El problema que tenemos ante nosotros, entonces, es determinar qué parte de un objeto extendido está obedeciendo la segunda ley de Newton cuando se aplica una fuerza externa y determinar cómo el movimiento del objeto en su conjunto se ve afectado por las fuerzas internas y externas.

Advertencia: para tratar correctamente esta nueva situación, debemos ser rigurosos y completamente generales. No haremos suposiciones sobre la naturaleza del objeto, o de sus partículas constituyentes, ni sobre las fuerzas internas o externas. Por tanto, los argumentos serán complejos.

Fuerzas internas y externas

Supongamos que tenemos un objeto extendido de masa METRO, hecho de norte partículas que interactúan. Etiquetemos sus masas como m j m j, donde j = 1, 2, 3,…, N j = 1, 2, 3,…, N. Tenga en cuenta que

Observe que estas fracciones de la fuerza total no son necesariamente iguales, de hecho, prácticamente nunca lo son. (Ellos puede ser, pero por lo general no lo son). En general, por lo tanto,

A continuación, asumimos que cada una de las partículas que componen nuestro objeto puede interactuar (aplicar fuerzas sobre) todas las demás partículas del objeto. No intentaremos adivinar qué tipo de fuerzas son, pero dado que estas fuerzas son el resultado de partículas del objeto que actúan sobre otras partículas del mismo objeto, nos referimos a ellas como fuerza interna. s f → j int f → j int así:

Ahora el neto fuerza, interna más externa, en el jLa partícula es la suma vectorial de estos:

donde de nuevo, esto es para todos norte partículas j = 1, 2, 3,…, N j = 1, 2, 3,…, N.

Como resultado de esta fuerza fraccionaria, el impulso de cada partícula cambia:

Esta fuerza neta cambia el momento del objeto como un todo, y el cambio neto del momento del objeto debe ser la suma vectorial de todos los cambios individuales de momento de todas las partículas:

(Este argumento es sutil, pero es crucial que tome mucho tiempo para comprenderlo por completo).

Para las fuerzas externas, esta suma es simplemente la fuerza externa total que se aplicó a todo el objeto:

Este es un resultado importante. La ecuación 9.25 nos dice que el cambio total de momento de todo el objeto (todos norte partículas) se debe solo a las fuerzas externas; las fuerzas internas no cambian el momento del objeto en su conjunto. Esta es la razón por la que no puede levantarse en el aire parándose en una canasta y tirando hacia arriba de las asas: para el sistema de usted + canasta, su fuerza de tracción hacia arriba es una fuerza interna.

Fuerza y ​​momentum

Recuerde que nuestro objetivo real es determinar la ecuación de movimiento para todo el objeto (todo el sistema de partículas). Con ese fin, definamos:

y por lo tanto la ecuación 9.25 se puede escribir simplemente como

Dado que este cambio de impulso es causado solo por la fuerza externa neta, hemos eliminado el subíndice "ext".

Centro de masa

Nuestra siguiente tarea es determinar qué parte del objeto extendido, si lo hay, obedece a la Ecuación 9.26.

Es tentador dar el siguiente paso, ¿significa algo la siguiente ecuación?

Si se lo hace significar algo (aceleración de qué, exactamente?), entonces podríamos escribir

lo que se sigue porque la derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas.

Sustituyendo de nuevo, obtenemos

Dividiendo ambos lados por METRO (la masa total del objeto extendido) nos da

Por lo tanto, el punto en el objeto que traza la trayectoria dictada por la fuerza aplicada en la ecuación 9.27 está dentro del paréntesis en la ecuación 9.28.

Al observar este cálculo, observe que (dentro del paréntesis) estamos calculando el producto de la masa de cada partícula con su posición, sumando todos norte de estos, y dividiendo esta suma por la masa total de partículas que sumamos. Esto recuerda a un promedio inspirado en esto, lo interpretaremos (vagamente) como la posición promedio ponderada de la masa del objeto extendido. En realidad, se llama centro de masa del objeto. Observe que la posición del centro de masa tiene unidades de metros que sugiere una definición:

Entonces, el punto que obedece a la Ecuación 9.26 (y por lo tanto también a la Ecuación 9.27) es el centro de masa del objeto, que está ubicado en el vector de posición r → CM r → CM.

Puede que le sorprenda saber que no es necesario que haya una masa real en el centro de masa de un objeto. Por ejemplo, una esfera de acero hueca con un vacío en su interior es esféricamente simétrica (lo que significa que su masa se distribuye uniformemente alrededor del centro de la esfera) toda la masa de la esfera está en su superficie, sin masa en el interior. Pero se puede demostrar que el centro de masa de la esfera está en su centro geométrico, lo que parece razonable. Por tanto, no hay masa en la posición del centro de masa de la esfera. (Otro ejemplo es una rosquilla). El procedimiento para encontrar el centro de masa se ilustra en la figura 9.27.

Dado que r → j = x j i ^ + y j j ^ + z j k ^ r → j = x j i ^ + y j j ^ + z j k ^, se deduce que:

Por lo tanto, puede calcular los componentes del vector de centro de masa individualmente.

Finalmente, para completar la cinemática, la velocidad instantánea del centro de masa se calcula exactamente como podría sospechar:

y esto, como la posición, tiene X-, y-, y z-componentes.

Para calcular el centro de masa en situaciones reales, recomendamos el siguiente procedimiento:

Estrategia de resolución de problemas

Calcular el centro de masa

El centro de masa de un objeto es un vector de posición. Por lo tanto, para calcularlo, siga estos pasos:

  1. Defina su sistema de coordenadas. Normalmente, el origen se coloca en la ubicación de una de las partículas. Sin embargo, esto no es necesario.
  2. Determina el X, y, z-coordenadas de cada partícula que compone el objeto.
  3. Determine la masa de cada partícula y súmelas para obtener la masa total del objeto. Tenga en cuenta que la masa del objeto en el origen deber incluirse en la masa total.
  4. Calcula el X-, y-, y z-componentes del vector del centro de masa, utilizando la ecuación 9.30, la ecuación 9.31 y la ecuación 9.32.
  5. Si es necesario, use el teorema de Pitágoras para determinar su magnitud.

Aquí hay dos ejemplos que le darán una idea de cuál es el centro de masa.

Ejemplo 9.16

Centro de masa del sistema Tierra-Luna

Estrategia

Solución

Definimos el centro de la Tierra como el origen, por lo que r e = 0 m r e = 0 m. Insertándolos en la ecuación para R da

Significado

Supongamos que incluimos el sol en el sistema. Aproximadamente, ¿dónde estaría ubicado el centro de masa del sistema Tierra-Luna-Sol? (Siéntase libre de calcularlo).

Ejemplo 9.17

Centro de masa de un cristal de sal

Estrategia

Solución

Hay ocho iones en este cristal, así que norte = 8:

La masa de cada uno de los iones cloruro es

Por tanto, la masa total de la celda unitaria es

De la geometría, las ubicaciones son

Significado

Suponga que tiene un cristal de sal macroscópico (es decir, un cristal que es lo suficientemente grande como para ser visible a simple vista). Se compone de un enorme número de celdas unitarias. ¿El centro de masa de este cristal está necesariamente en el centro geométrico del cristal?

De estos ejemplos surgen dos conceptos cruciales:

  1. Como con todos los problemas, debe definir su sistema de coordenadas y origen. Para los cálculos del centro de masa, a menudo tiene sentido elegir su origen para ubicarlo en una de las masas de su sistema. Esa elección define automáticamente su distancia en la Ecuación 9.29 como cero. Sin embargo, aún debe incluir la masa del objeto en su origen en su cálculo de METRO, la masa total Ecuación 9.19. En el ejemplo del sistema Tierra-Luna, esto significa incluir la masa de la Tierra. Si no lo hubiera hecho, habría terminado con el centro de masa del sistema en el centro de la luna, lo cual es claramente incorrecto.
  2. En el segundo ejemplo (el cristal de sal), observe que no hay masa en absoluto en la ubicación del centro de masa. Este es un ejemplo de lo que dijimos anteriormente, que no tiene que haber ninguna masa real en el centro de masa de un objeto.

Centro de masa de objetos continuos

Si el objeto en cuestión tiene su masa distribuida uniformemente en el espacio, en lugar de como una colección de partículas discretas, entonces m j → d m m j → d m, y la suma se convierte en una integral:

En este contexto, r es una dimensión característica del objeto (el radio de una esfera, la longitud de una varilla larga). Para generar un integrando que realmente se pueda calcular, debe expresar el elemento de masa diferencial dm en función de la densidad de masa del objeto continuo, y la dimensión r. Un ejemplo aclarará esto.

Ejemplo 9.18

CM de un aro fino uniforme

Estrategia

Nosotros reemplazamos dm con una expresión que involucra la densidad del aro y el radio del aro. Entonces tenemos una expresión que realmente podemos integrar. Dado que el aro se describe como "delgado", lo tratamos como un objeto unidimensional, descuidando el grosor del aro. Por tanto, su densidad se expresa como el número de kilogramos de material por metro. Tal densidad se llama densidad de masa lineal, y se le da el símbolo λ λ esta es la letra griega "lambda", que es el equivalente de la letra inglesa "l" (para "lineal").

Solución

El centro de masa se calcula con la Ecuación 9.34:

Tenemos que determinar los límites de la integración a y B. Expresando r → r → en forma de componentes nos da

En el diagrama, resaltamos una parte del aro que tiene una longitud diferencial ds por lo tanto, tiene una masa diferencial d m = λ d s d m = λ d s. Sustituyendo:

Sin embargo, la longitud del arco ds subtiende un ángulo diferencial d θ d θ, por lo que tenemos

Centro de masa y conservación del impulso

¿Cómo se relaciona todo esto con la conservación del impulso?

y así el momento inicial del centro de masa es

Después de que estas masas se mueven e interactúan entre sí, el impulso del centro de masa es

Pero la conservación del impulso nos dice que el lado derecho de ambas ecuaciones debe ser igual, lo que dice

Este resultado implica que la conservación del momento se expresa en términos del centro de masa del sistema. Observe que cuando un objeto se mueve a través del espacio sin una fuerza externa neta que actúe sobre él, una partícula individual del objeto puede acelerar en varias direcciones, con varias magnitudes, dependiendo de la fuerza interna neta que actúa sobre ese objeto en cualquier momento. (Recuerde, es solo la suma vectorial de todas las fuerzas internas lo que se desvanece, no la fuerza interna sobre una sola partícula). Por lo tanto, el momento de tal partícula no será constante, pero el momento de todo el objeto extendido será, en de acuerdo con la Ecuación 9.36.

La ecuación 9.36 implica otro resultado importante: dado que METRO representa la masa de todo el sistema de partículas, es necesariamente constante. (Si no es así, no tenemos un sistema cerrado, por lo que no podemos esperar que se conserve el impulso del sistema). Como resultado, la Ecuación 9.36 implica que, para un sistema cerrado,

Es decir, en ausencia de una fuerza externa, la velocidad del centro de masa nunca cambia.

Es posible que sienta la tentación de encogerse de hombros y decir: "Bueno, sí, esa es solo la primera ley de Newton", pero recuerde que la primera ley de Newton analiza la velocidad constante de una partícula, mientras que la ecuación 9.37 se aplica al centro de masa de una colección (posiblemente vasta). de partículas que interactúan, y que puede que no haya ninguna partícula en el centro de masa. Entonces, este es realmente un resultado notable.

Ejemplo 9.19

Exhibición de fuegos artificiales

La imagen muestra una simetría radial sobre los puntos centrales de las explosiones, lo que sugiere la idea de centro de masa. También podemos ver el movimiento parabólico de las partículas brillantes, lo que nos trae a la mente ideas de movimiento de proyectiles.

Solución

En el instante de la explosión, los miles de fragmentos brillantes vuelan hacia afuera en un patrón radialmente simétrico. La simetría de la explosión es el resultado de todas las fuerzas internas sumando cero (∑ jf → j int = 0) (∑ jf → j int = 0) para cada fuerza interna, hay otra que es igual en magnitud y opuesta en dirección.

Sin embargo, como aprendimos anteriormente, estas fuerzas internas no pueden cambiar el impulso del centro de masa del caparazón (ahora explotado). Dado que la fuerza del cohete ahora se ha desvanecido, el centro de masa del caparazón ahora es un proyectil (la única fuerza sobre él es la gravedad), por lo que su trayectoria se vuelve parabólica. Las dos explosiones rojas de la izquierda muestran la trayectoria de sus centros de masa en un tiempo un poco más largo después de la explosión en comparación con la explosión amarilla en la parte superior derecha.

De hecho, si observa detenidamente las tres explosiones, puede ver que los senderos brillantes no son verdaderamente simétricos radialmente, sino que son algo más densos en un lado que en el otro. Específicamente, la explosión amarilla y la explosión media inferior son ligeramente más densas en sus lados derechos, y la explosión superior izquierda es más densa en su lado izquierdo. Esto se debe al impulso de sus centros de masa, las diferentes densidades de estelas se deben al impulso que tenía cada pieza de la cáscara en el momento de su explosión. El fragmento de la explosión en la parte superior izquierda de la imagen tenía un impulso que apuntaba hacia arriba y hacia la izquierda el impulso del fragmento del medio apuntaba hacia arriba y ligeramente a la derecha y la explosión del lado derecho claramente hacia arriba y hacia la derecha (como lo demuestra el rastro de escape del cohete blanco visible debajo de la explosión amarilla).

Finalmente, cada fragmento es un proyectil en sí mismo, trazando así miles de parábolas resplandecientes.

Significado

¿Cómo cambiaría la exhibición de fuegos artificiales en el espacio profundo, lejos de cualquier fuente de gravedad?

A veces, es posible que escuche a alguien describir una explosión diciendo algo como, "los fragmentos del objeto explotado siempre se mueven de una manera que asegura que el centro de masa continúe moviéndose en su trayectoria original". Esto hace que parezca que el proceso es algo mágico: ¿cómo puede ser que, en todos explosión, es siempre ¿Se da cuenta de que los fragmentos se mueven de la manera correcta para que el movimiento del centro de masa no cambie? Expresado de esta manera, sería difícil creer que ninguna explosión haga algo diferente.

La explicación de esta coincidencia aparentemente asombrosa es: Definimos el centro de masa precisamente para que esto sea exactamente lo que obtendríamos. Recuerde que primero definimos el impulso del sistema:

Luego llegamos a la conclusión de que la fuerza externa neta sobre el sistema (si la hubiera) cambió este impulso:

y luego, y aquí está el punto, definimos una aceleración que obedecería la segunda ley de Newton. Es decir, exigimos que pudiéramos escribir

donde la cantidad entre paréntesis es el centro de masa de nuestro sistema. Entonces, no es sorprendente que el centro de masa obedezca a la segunda ley de Newton, la definimos para que lo hiciera.

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    • Autores: William Moebs, Samuel J. Ling, Jeff Sanny
    • Editor / sitio web: OpenStax
    • Título del libro: University Physics Volume 1
    • Fecha de publicación: 19 de septiembre de 2016
    • Ubicación: Houston, Texas
    • URL del libro: https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/1-introduction
    • URL de la sección: https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/9-6-center-of-mass

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    7.6: Calculating Centers of Mass and Moments of Inertia

    MOMENTS, CENTER OF GRAVITY, CENTROID, MOMENT OF INERTIA, RADIUS OF GYRATION

    Moment of a force. The concept of the moment of a force comes from the law of the lever, discovered by Archimedes. It corresponds to the torque exerted on a lever by a force. A lever consists of a rigid bar which is free to turn about a fixed point called the fulcrum.

    Def. Moment of a force. The moment M of a force F about some fixed fulcrum is defined as

    where d is the distance from the fulcrum to the line of action of the force. The torque produced by a force F is also defined as Fd. The two terms are synonymous. See Fig. 1a.

    In Fig.1b the torque, or moment, produced by force F1 is given by F1 times its distance from the fulcrum, which is 19 feet. Thus the torque is equal to F1𖃏. If F1 = 7.2 lbs., the torque is 7.2𖃏 = 136.8 ft.-lbs.

    Fig. 1b shows a system of five forces acting on a lever at varying distances from the fulcrum. Forces F1 and F2 produce a counterclockwise torque and forces F3, F4 and F5 produce a clockwise torque. The law of the lever states that in order to have equilibrium the sum of the counterclockwise torques (or moments) must be equal to the sum of the clockwise torques. If the sums are not equal there will be rotation. In the figure the sum of the counterclockwise moments is given by

    If F1 = 7.2 lbs. and F2 = 9 lbs. luego

    The sum of the clockwise moments is given by

    If F3 = 4 lbs., F4 = 10 lbs. and F5 = 5 lbs. luego

    Computing centers of gravity. We wish now to deal with the problem of computing the location of the center of gravity, or center of mass, of a body. The center of gravity is the same as the center of mass since weight and mass are proportional. Because the concept of a center of mass doesn’t presume a gravitational field, many prefer that term. However, in developing the ideas involved we need to assume a gravitational field and will speak of the center of gravity.

    In developing the ideas for computing the location of the center of gravity we will view a body as an assemblage of individual particles. The earth exerts an attraction on each individual particle of a body and the weight of a body is the sum total of all the forces on all the particles making up the body. Thus we will consider the problem of finding the location of the center of gravity for assemblages of particles in space.

    Consider a steel rod resting on a pivot as shown in Fig. 2. If the pivot is directly below the center of gravity, the rod is balanced, and the sum of all the clockwise moments from particles to the right of the pivot is equal to the sum of all the counterclockwise moments from the particles to the left of the pivot. The upward force F exerted by the pivot on the rod, as shown in Fig. 3, is equal to the weight of the rod.

    Now let us consider the situation in which the pivot is at the left end of the rod as shown in Fig. 4. Suppose an upward force F is exerted directly below the center of gravity and equal in magnitude to the weight of the rod. Then the rod will be balanced, no force will be exerted on the pivot, and the sum of all of the clockwise moments from the particles of the rod will be equal to the counterclockwise moment Fd produced by force F (where d is the distance from the pivot to the center of gravity, as shown in the figure). Thus if we were able to compute the clockwise moments of the particles of the rod with respect to the pivot point and knew the weight of the rod, we would then be able to compute the distance d from the pivot to the center of gravity.

    Consider now a system of n point masses situated along a horizontal line, as shown in Fig. 5, conceived of as attached to a rigid weightless framework with a pivot point at the left end. Suppose the weights of the masses are w1, w2, w3,. , wnorte and their distances from the pivot point are x1, X2, X3,. Xnorte. Let M1 be the sum of the clockwise moments of the n masses with respect to the pivot point. Luego

    Let F be an upward force equal in magnitude to the combined weights of all the masses and located directly under the center of gravity. Then the counterclockwise moment M2 due to F is given by Fd where d is the distance from the pivot to the center of gravity. The system of masses will be balanced with the counterclockwise moment M2 equal to the sum of the clockwise moments M1 asi que

    Let us now go back to the rod of Fig. 4 and write down the expression for computing the distance d. We lay an x-axis of a coordinate system along the rod with the origin at the pivot. We consider the rod to consist of an assemblage of particles m1, m2,. metronorte. The sum M1 of the clockwise moments of the particles of the rod with respect to the pivot is given by

    where ρ is the density of an infinitesimal element dx and integration takes place over the length l of the rod. The weight W of the rod is given by

    Since mass is proportional to weight, 3) can also be expressed in terms of mass.

    where x is the distance of the infinitesimal element of mass dm from the pivot.

    We have considered a one-dimensional case where masses are distributed out in a line, as in a rod. The ideas are easily extended to assemblages of points in two and three-dimensional space.

    Consider a system of n point masses m1, m2,. metronorte scattered about on a horizontal plane, as shown in Fig. 7, with an x-y coordinate system superimposed on the plane. Again the point masses are conceived of as being attached to a rigid weightless framework. The masses are located at points (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), . , (xnorte, ynorte) and have weights w1, w2, w3,. , wnorte. The moment of mass m1 with respect to the y-axis is x1w1. Its moment with respect to the x-axis is y1w1. The sum of the moments of the n particles about the y axis is

    The sum of the moments of the n particles about the x axis is

    The x and y coordinates of the center of gravity of this collection of point masses is then

    where W is the combined weight of the n point masses.

    For an assemblage of point masses in three-dimensional space as shown in Fig. 8, these formulas become

    The x, y and z coordinates of the center of gravity of a body in space are then given by

    where integration takes place over the volume V of the body and ρ is the density of the infinitesimal element of volume dV. Expressed in terms of mass these formulas become

    Def. Moment of mass about a point, line, or plane. The sum of the products of the mass of each of the particles and its distance from the point, line or plane. Tech. The integral, over the given mass, of the element of mass times its perpendicular distance from the point, line or plane. Algebraic (signed) distances are to be used in computing moments. A moment is essentially the sum of the moments of individual particles (elements of integration).

    For a set of particles on a line (the x-axis), the moment Ma about a point a on the line is

    where ρ(x) is the density (mass per unit length) at the point x.

    For a set of particles in the plane, the moment My about the y-axis is

    where ρ(x, y) is the density (mass per unit area) at the point (x, y) (if ρ is a function of x alone, then dA may be a strip parallel to the y-axis).

    For a set of particles in space, the moment Mxy with respect to the x-y plane is given by

    where ρ(x, y, z) is the density (mass per unit volume) at the point (x, y, z) in the element of volume dV.

    Centroids. The centroid of an area or volume is the same as the center of gravity if the figure or body is homogeneous. We speak of the centroids of geometric figures and solids such circles, triangles, spheres, cubes, etc. It is customary to speak of their centroid rather than center of gravity since, being merely geometrical figures, they are not influenced by gravity.

    Centroid of a plane area or figure . The coordinates of the centroid of a plane area or figure are given by

    where A is the area of the figure. See Fig. 9.

    Centroid of a volume or solid. The coordinates of the centroid of a volume or solid are given by

    Finding the centroid of an area or volume when the centroids of component parts are known. Sometimes we may wish to find the centroid of a figure or solid consisting of component parts with known centroids. Suppose, for example, that an area A consists of two parts A1 and A2, with centroids at and respectively. See Fig. 10. It follows from 9) above that

    Similarly, in the case of volumes,

    where the volume V consists of two portions, V1 and V2, with centroids at and respectively.

    Example 1. The density of a certain rod a foot long varies directly as the square of the distance from one end. Find the center of gravity.

    Solución. Place the rod on the x-axis, one end at the origin so that ρ = kx 2 .

    where a is the length of the rod.

    Example 2. Find the center of gravity of that area cut from the parabola y 2 = 4px by the latus rectum. See Fig. 11.

    Solución. Because of symmetry = 0.

    Example 3. Find the center of gravity of a homogeneous hemisphere of radius r.

    Solución. The center of gravity will lie on the diameter perpendicular to the base at a distance above the base. See Fig. 12.

    Moment of inertia. The term “moment of inertia” is applied to different quantities in physics and engineering which are mathematically similar but different in nature. In some cases the term is inappropriate because the quantity has nothing to do with inertia. The quantity that is most appropriately called the moment of inertia is encountered in dynamics in connection with rotating bodies. In various engineering problems, in particular in the analysis of the distribution of stress over the cross-sectional areas of beams, columns, machine parts, etc. a quantity called the “moment of inertia” of an area is encountered which has nothing to do with mass or inertia and would be more appropriately called something else. Because of this situation one cannot give a single definition of “moment of inertia”. The quantities called moments of inertia fall into two groups: 1. the areal moments of inertia connected with computing stresses over cross-sectional areas. 2. the mass moment of inertia connected with the analysis of rotating bodies. We will treat the group concerned with finding cross-sectional stresses first. It is concerned with areas, plane figures.

    I Areal moments of inertia.

    Moment of inertia of an area. The moment of inertia of an area A is given by

    where a is the distance of a differential element dA from an axis L about which the moment of inertia is desired. See Fig. 13. The axis can be a line in the plane of area A or it can be a line perpendicular to the plane. See Fig. 14. If it is perpendicular to the plane the moment of inertia is called the polar moment of inertia.

    Rectangular Moments of Inertia. If an area A is referred to an x-y coordinate system the moments of inertia with respect to the x and y axes are

    where the element dA corresponds to the point (x, y). These are called the rectangular moments of inertia. See Fig. 15.

    Polar Moment of Inertia. The moment of inertia about the pole O (i.e. z-axis of an x-y-z coordinate system) is

    where r is a radius vector from the pole O to the element dA [which corresponds to point (x, y)]. See Fig. 15. Since x 2 + y 2 = r 2 it can be seen that

    Radius of gyration. The radius of gyration kL about some axis L is defined by

    where IL is the moment of inertia about L. Similarly, the radius of gyration kz about some pole z is defined by

    If the entire area were concentrated at a point whose distance from the axis (or pole) is equal to the radius of gyration k, the moment of inertia of the concentrated area would be equal to that of the original area. It is a mathematical quantity used in connection with studying the strength of columns, beams, etc.

    Parallel-Axis theorem. If IC is the moment of inertia of an area A with respect to a line through its centroid and Is is the moment of inertia with respect to a line S parallel to this line, then

    where d is the distance between the two lines.  

    Equation 18) also holds for polar moments of inertia i.e.

    Composite areas. When a composite area can be divided into a group of simple areas, such as rectangles, triangles, and circles, the moment of inertia of the composite area about a particular axis is the sum of the moments of inertia of the simple areas, each about this same axis. If a composite area has a “hole” in it, the moment of inertia of the net composite area is equal to the moment of inertia of the gross area including the “hole” minus the moment of inertia of the “hole”, each moment of inertia being taken about the same axis.

    Example 1. Compute the moment of inertia of the area of a rectangle with respect to one side.

    Solución. Choosing axes as shown in Fig. 16, we have

    Example 2. Compute the moment of inertia of the area of a circle with respect to a diameter.

    II Moments of inertia of masses (i.e. mass moment of inertia)

    The moment of inertia of a body with respect to some particular line or axis is a property of the body associated with rotational movement about that line or axis. Consider the body shown in Fig. 18 rotating about axis L. Any torque M applied to the body causes rotational acceleration. The moment of inertia of a body is a measure of the resistance that the body offers to any change in its angular velocity in the same way that the mass of the body is a measure of the resistance that the body offers to any change in its linear velocity. In fact, the moment of inertia, I, plays the very same role in angular motion that mass plays in linear motion. For example, the angular momentum of a rotating body is given by Iω, (where ω is the angular velocity) while, in analogy, linear momentum is given by mv. A rotating body maintains a constant angular momentum unless acted upon by a torque just as in linear motion a moving body maintains a constant linear momentum unless acted upon by some force. In angular motion the relationship between torque M, moment of inertia I, and angular acceleration α, is M = Iα in analogy to the formula F = ma for linear motion. The formula for the kinetic energy in angular motion is K.E = ½ Iω 2 in analogy to the formula K.E. = ½ mv 2 for linear motion.

    Def. Moment of inertia with respect to an axis. The moment of inertia of a body with respect to an axis is given by

    where r is the distance of a differential element of mass dm from the axis and integration takes place over the entire body. See Fig. 18.

    Example. Find the moment of inertia of a solid circular cylinder of radius r, height h, and density δ about its axis of revolution.                 

    Solución. A solid cylinder can be generated by revolving a rectangle about one side as shown in Fig. 19. The value of I can be computed by the cylindrical shell method. The strip shown in the figure generates a cylindrical shell for which

    This can be conveniently expressed in terms of the mass m of the cylinder. Since m = πr 2 hδ, we have

    Def. Moment of inertia with respect to a plane. The moment of inertia of a body with respect to a plane is given by

    where r is the distance of a differential element of mass dm from the plane and integration takes place over the entire body.

    This quantity has no physical significance. It is useful in some problems primarily as an aid to the calculation of the moment of inertia with respect to an axis.

    Connection between the moment of inertia with respect to an axis and the moment of inertia with respect to a plane. The moment of inertia of a body with respect to the y-z plane is given by

    The moment of inertia of a body with respect to the x-z plane is given by

    The moment of inertia of a body with respect to the z axis is given by

    where r is the distance from dm to the z-axis. Since r 2 = x 2 + y 2

    Similar expressions can be written for the other two axes i.e.

    Stated in words: The sum of the moments of inertia of a mass with respect to two planes at right angles to each other is equal to the moment of inertia of the mass with respect to the axis formed by the intersection of the planes.

    Product of inertia. In a few problems of advanced mechanics the integrals

    are useful. These integrals are called the products of inertia of the mass m. They may be either positive or negative. In general, a three-dimensional body has three moments of inertia about the three mutually perpendicular axes and three products of inertia about the three coordinate planes. For an unsymmetrical body of any shape it is found that for a given origin of coordinates there is one orientation of axes for which the products of inertia vanish. These axes are called the principal axes of inertia . The corresponding moments of inertia about these axes are known as the principal moments of inertia and include the maximum possible value and the minimum possible value.  

    Radius of gyration. The radius of gyration k of a mass m about some axis is defined by

    If the entire mass were concentrated at a point whose distance from the axis is equal to the radius of gyration k, the moment of inertia of the concentrated mass would be equal to that of the original mass.  

    Transfer of Axes. If the moment of inertia of a body is known about a centroidal axis, it may be determined easily about any parallel axis using the Parallel-Axis theorem .

    Parallel-Axis theorem. If IC is the moment of inertia of a body of mass m with respect to a line through its centroid and Is is the moment of inertia with respect to a line S parallel to this line, then

    where d is the distance between the two lines.

    Composite bodies. The moment of inertia of a composite body is the sum of the moments of inertia of the parts of the body, the same axis of reference being used for each part. If a body has a hole drilled in it, the moment of inertia of the drilled body is equal to the moment of inertia of the original body minus the moment of inertia of the removed material, each moment of inertia being about the same axis.


    I would like to be able to find the rotational moment of inertia of an assembly (that is, to disegnate which parts move around the axis and get the moment for those parts together). There are several different materials involved in these parts. I have the density (kg/m^3) of all the materials. I tried setting mass poperties but everthing in the window is greyed out or locked. And even if I could set that, I am unsure how to find the moment. How do I go about doing this? I could do it one part at a time and sum if needed, since inertia about the same axis is additive.

    Initial thoughts are the first part needs to be fixed. There are two constraints on this part but it is still 'packaged' and free to move.

    Also, the first part has no material applied to it. For a Mass Properties analysys you need to assign a material or density to every single component. Which parts was the material property greyed out?

    So I put together a few of the parts I think should be in the rotor sub-assembly and added this to the housing with a pin connection. The attached model should be self-explanatory. You should then be able to check the moments of intertia of the rotating parts as they will be in one sub-assembly.

    With the model open in PTC Creo, open the Analysis tab and click Mass properties. Click on the glasses button and the dialog will report moments of inertia. For this to work you must assign materials to every component in the assembly/

    The entire assembly is not moving (that is, the assembly includes the stationary parts in which the item is moving). How do I get the moment for only the parts that will move? Also, the density entry boxes for some of the items in the assembly are greyed out what do I do with these items?

    Can you make the moving parts into a sub-assembly?

    Rather than change the density apply a material definition. File > Prepare > Model Properties > Material. In the dialog choose a material and apply it to the part.

    I appplied materials to everything.

    I've been trying to move them to a subassmebly but it won't allow me to finish the operation and it keeps on bringing along some parts I don't want and leaving others behind even with as far as I can get.

    Can you zip the folder containing all the files for your design and upload to here?

    As no-one else has responded you may need to contact PTC Academic support on the form below.

    Here are the files if you are interested. The green bas and it's directly connected parts are not supposed to move. The setup is an air bearing. I need the moment of inertia of all the moving parts together.

    Initial thoughts are the first part needs to be fixed. There are two constraints on this part but it is still 'packaged' and free to move.

    Also, the first part has no material applied to it. For a Mass Properties analysys you need to assign a material or density to every single component. Which parts was the material property greyed out?

    So I put together a few of the parts I think should be in the rotor sub-assembly and added this to the housing with a pin connection. The attached model should be self-explanatory. You should then be able to check the moments of intertia of the rotating parts as they will be in one sub-assembly.

    That does exactly what I wanted. How were you able to get it into a subassembly?

    I started a new assembly (Rotor.asm) to contain all the rotating parts. The first part I added was the Air_bearing_rotor_conical.PRT. This was fixed in this sub-assembly using the 'Default' assembly constraint. This is really important and is needed in most assemblies to create a fixed reference for all the other parts which were located by adding constraints to the existing parts. The key is making sure none of the parts are left floating or 'packaged'. Packaged parts have a very small square next to the icon in the model tree.

    I did this assembly rather quickly and notice today the rotor wobbles a bit! You will need to edit definition and sort out the constraints for the 'wobbling' parts.

    I then created a new assembly (Air_bearing_conical_2.ASM) which will be the top-level assembly. I brought in the Air_bearing_rotor_conical.prt and same as before, fixed this part in the assembly using a 'Default' constraint. I then added the Rotor sub-assembly to this assembly and used a pin connection to allow it to rotate in the main assembly.

    I used the mechanism module to add a servo motor to drive it at 2 RPM. You may not have this module in the student edition but should be able to play it on the university plus version on campus.