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13.E: Funciones con valores vectoriales (ejercicios)


13.1: Funciones con valores vectoriales y curvas espaciales

Da las funciones componentes ( mathrm {x = f (t)} ) y ( mathrm {y = g (t)} ) para la función con valores vectoriales ( mathrm {r (t) = 3 sec t mathbf {i} +2 tan t mathbf {j}} ).

( mathrm {f (t) = 3 sec t, g (t) = 2 tan t} )

Dado ( mathrm {r (t) = 3 sec t mathbf {i} +2 tan t mathbf {j}} ), encuentre los siguientes valores (si es posible).

  1. ( mathrm {r ( frac { pi} {4})} )
  2. ( mathrm {r ( pi)} )
  3. ( mathrm {r ( frac { pi} {2})} )

Dibuja la curva de la función con valores vectoriales ( mathrm {r (t) = 3 sec t mathbf {i} +2 tan t mathbf {j}} ) y da la orientación de la curva. Dibuje asíntotas como guía para la gráfica.

Evaluar ( mathrm { lim limits_ {t to 0} ⟨e ^ t mathbf {i} + frac { sin t} {t} mathbf {j} + e ^ {- t} mathbf {k}⟩} )

Dada la función con valores vectoriales ( mathrm {r (t) = ⟨ cos t, sin t⟩} ) encuentra los siguientes valores:

  1. ( mathrm { lim limits_ {t to frac { pi} {4}} r (t)} )
  2. ( mathrm {r ( frac { pi} {3})} )
  3. ¿Es ( mathrm {r (t)} ) continuo en ( mathrm {t = frac { pi} {3}} )?
  4. Grafica ( mathrm {r (t)} ).

un. ( mathrm {⟨ frac { sqrt {2}} {2}, frac { sqrt {2}} {2}} )⟩, b. ⟨ ( Mathrm { frac {1} {2}, frac { sqrt {3}} {2}} )⟩, c. Si, el limite como t se aproxima a ( mathrm { frac { pi} {3}} ) es igual a ( mathrm {r ( frac { pi} {3})} ), d.

Dada la función con valores vectoriales ( mathrm {r (t) = ⟨t, t ^ 2 + 1⟩} ), encuentra los siguientes valores:

  1. ( mathrm { lim limits_ {t to -3} r (t)} )
  2. ( mathrm {r (−3)} )
  3. ¿Es ( mathrm {r (t)} ) continuo en ( mathrm {x = −3} )?
  4. ( mathrm {r (t + 2) −r (t)} )

Sea ( mathrm {r (t) = e ^ t mathbf {i} + sin t mathbf {j} + ln t mathbf {k}} ). Encuentre los siguientes valores:

  1. ( mathrm {r ( frac { pi} {4})} )
  2. ( mathrm { lim limits_ {t to frac { pi} {4}} r (t)} )
  3. ¿Es ( mathrm {r (t)} ) continuo en ( mathrm {t = t = frac { pi} {4}} )?

un. ⟨ ( Mathrm {e ^ { frac { pi} {4}}, frac { sqrt {2}} {2}, ln ( frac { pi} {4})} )⟩ ; B. ⟨ ( Mathrm {e ^ { frac { pi} {4}}, frac { sqrt {2}} {2}, ln ( frac { pi} {4})} )⟩ ; C. sí

Encuentre el límite de las siguientes funciones con valores vectoriales en el valor indicado de t.

( mathrm { lim limits_ {t to 4} ⟨ sqrt {t − 3}, frac { sqrt {t} −2} {t − 4}, tan ( frac { pi} {t})⟩} )

( mathrm { lim limits_ {t to frac { pi} {2}} r (t)} ) para ( mathrm {r (t) = e ^ t mathbf {i} + sin t mathbf {j} + ln t mathbf {k}} )

( mathrm {⟨e ^ { frac { pi} {2}}, 1, ln ( frac { pi} {2})⟩} )

( mathrm { lim limits_ {t to infty} ⟨e ^ {- 2t}, frac {2t + 3} {3t − 1}, arctan (2t)⟩} )

( mathrm { lim limits_ {t to e ^ 2} ⟨t ln (t), frac { ln t} {t ^ 2}, sqrt { ln (t ^ 2)⟩ }} )

( mathrm {2e ^ 2 mathbf {i} + frac {2} {e ^ 4} mathbf {j} +2 mathbf {k}} )

( mathrm { lim limits_ {t to frac { pi} {6}} ⟨ cos 2t, sin 2t, 1⟩} )

( mathrm { lim limits_ {t to infty} r (t)} ) para ( mathrm {r (t) = 2e ^ {- t} mathbf {i} + e ^ {- t} mathbf {j} + ln (t − 1) mathbf {k}} )

El límite no existe porque el límite de ( mathrm { ln (t − 1)} ) como t se acerca al infinito no existe.

Describe la curva definida por la función con valores vectoriales ( mathrm {r (t) = (1 + t) mathbf {i} + (2 + 5t) mathbf {j} + (- 1 + 6t) mathbf {k}} ).

Encuentre el dominio de las funciones con valores vectoriales.

Dominio: ( mathrm {r (t) = ⟨t ^ 2, tan t, ln t⟩} )

( mathrm {t> 0, t ≠ (2k + 1) frac { pi} {2}} ), donde k es un número entero

Dominio: ( mathrm {r (t) = ⟨t ^ 2, sqrt {t − 3}, frac {3} {2t + 1}⟩} )

Dominio: ( mathrm {r (t) = ⟨ csc (t), frac {1} { sqrt {t − 3}}, ln (t − 2)⟩} )

( mathrm {t> 3, t ≠ n pi} ), donde norte es un entero

Deje ( mathrm {r (t) = ⟨ cos t, t, sin t⟩} ) y utilícelo para responder las siguientes preguntas.

Por que valores de t ¿es ( mathrm {r (t)} ) continuo?

Dibuja la gráfica de ( mathrm {r (t)} ).

Encuentre el dominio de ( mathrm {r (t) = 2e ^ {- t} mathbf {i} + e ^ {- t} mathbf {j} + ln (t − 1) mathbf {k} } ).

Por que valores de t es ( mathrm {r (t) = 2e_S ^ {- t} mathbf {i} + e ^ {- t} mathbf {j} + ln (t − 1) mathbf {k}} ) ¿continuo?

Todos t tal que ( mathrm {t∈ (1, infty)} )

Eliminar el parámetro t, escribe la ecuación en coordenadas cartesianas, luego dibuja las gráficas de las funciones con valores vectoriales. (Pista: Deje que ( mathrm {x = 2t} ) y ( mathrm {y = t ^ 2} ) Resuelva la primera ecuación para X en términos de t y sustituya este resultado en la segunda ecuación).

( mathrm {r (t) = 2t mathbf {i} + t ^ 2 mathbf {j}} )

( mathrm {r (t) = t ^ 3 mathbf {i} + 2t mathbf {j}} )

( mathrm {y = 2 sqrt [3] {x}} ), una variación de la función de raíz cúbica

( mathrm {r (t) = 2 ( sinh t) mathbf {i} +2 ( cosh t) mathbf {j}, t> 0} )

( mathrm {r (t) = 3 (costo) i + 3 (sint) j} )

( mathrm {x ^ 2 + y ^ 2 = 9} ), un círculo centrado en ( mathrm {(0,0)} ) con radio 3 y una orientación en sentido antihorario

( mathrm {r (t) = ⟨3 sin t, 3 cos t⟩} )

Utilice una utilidad gráfica para dibujar cada una de las siguientes funciones con valores vectoriales:

[T] ( mathrm {r (t) = 2 cos t ^ 2 mathbf {i} + (2− sqrt {t}) mathbf {j}} )

[T] ( mathrm {r (t) = ⟨e ^ { cos (3t)}, e ^ {- sin (t)}⟩} )

[T] ( mathrm {r (t) = ⟨2− sin (2t), 3 + 2 cos t⟩} )

Encuentre una función con valores vectoriales que traza la curva dada en la dirección indicada.

( mathrm {4x ^ 2 + 9y ^ 2 = 36} ); en sentido horario y antihorario

( mathrm {r (t) = ⟨t, t ^ 2⟩} ); de izquierda a derecha

De izquierda a derecha, ( mathrm {y = x ^ 2} ), donde t aumenta

La línea a través PAG y Q donde PAG es ( mathrm {(1,4, −2)} ) y Q es ( mathrm {(3,9,6)} )

Considere la curva descrita por la función con valores vectoriales ( mathrm {r (t) = (50e ^ {- t} cos t) mathbf {i} + (50e ^ {- t} sin t) mathbf {j} + (5−5e ^ {- t}) mathbf {k}} ).

¿Cuál es el punto inicial de la ruta correspondiente a ( mathrm {r (0)} )?

( mathrm {(50,0,0)} )

¿Qué es ( mathrm { lim limits_ {t to infty} r (t)} )?

[T] Utilice la tecnología para dibujar la curva.

Eliminar el parámetro t para mostrar que ( mathrm {z = 5− frac {r} {10}} ) donde ( mathrm {r = x ^ 2 + y ^ 2} ).

[T] Sea ( mathrm {r (t) = cos t mathbf {i} + sin t mathbf {j} +0.3 sin (2t) mathbf {k}} ). Utilice la tecnología para graficar la curva (llamada curva de montaña rusa) sobre el intervalo ( mathrm {[0,2 pi)} ). Elija al menos dos vistas para determinar los picos y los valles.

[T] Utilice el resultado del problema anterior para construir una ecuación de una montaña rusa con una caída pronunciada desde el pico y una pendiente pronunciada desde el "valle". Luego, usa la tecnología para graficar la ecuación.

Utilice los resultados de los dos problemas anteriores para construir una ecuación de la trayectoria de una montaña rusa con más de dos puntos de inflexión (picos y valles).

Una posibilidad es ( mathrm {r (t) = cos t mathbf {i} + sin t mathbf {j} + sin (4t) mathbf {k}} ). Al aumentar el coeficiente de t en el tercer componente, aumentará el número de puntos de inflexión.

  1. Grafica la curva ( mathrm {r (t) = (4 + cos (18t)) cos (t) mathbf {i} + (4+ cos (18t) sin (t)) mathbf {j} +0.3 sin (18t) mathbf {k}} ) usando dos ángulos de visión de su elección para ver la forma general de la curva.
  2. ¿La curva se parece a un "furtivo"?
  3. ¿Qué cambios se deben hacer en la ecuación para aumentar el número de bobinas del slinky?

13.2: Cálculo de funciones con valores vectoriales

Calcule las derivadas de las funciones con valores vectoriales.

( mathrm {r (t) = t ^ 3 mathbf {i} + 3t ^ 2 mathbf {j} + frac {t ^ 3} {6} mathbf {k}} )

( mathrm {⟨3t ^ 2,6t, frac {1} {2} t ^ 2⟩} )

( mathrm {r (t) = sin (t) mathbf {i} + cos (t) mathbf {j} + e ^ t mathbf {k}} )

( mathrm {r (t) = e ^ {- t} mathbf {i} + sin (3t) mathbf {j} +10 sqrt {t} mathbf {k}} ). Aquí se muestra un esquema del gráfico. Observe la naturaleza periódica variable de la gráfica.

( mathrm {⟨− e ^ {- t}, 3 cos (3t), 5t⟩} )

( mathrm {r (t) = e ^ t mathbf {i} + 2e ^ t mathbf {j} + mathbf {k}} )

( mathrm {r (t) = mathbf {i} + mathbf {j} + mathbf {k}} )

( mathrm {⟨0,0,0⟩} )

( mathrm {r (t) = te ^ t mathbf {i} + t ln (t) mathbf {j} + sin (3t) mathbf {k}} )

( mathrm {r (t) = frac {1} {t + 1} mathbf {i} + arctan (t) mathbf {j} + ln t ^ 3 mathbf {k}} )

( mathrm {⟨ frac {−1} {(t + 1) ^ 2}, frac {1} {1 + t ^ 2}, frac {3} {t}⟩} )

( mathrm {r (t) = tan (2t) mathbf {i} + sec (2t) mathbf {j} + sin ^ 2 (t) mathbf {k}} )

( mathrm {r (t) = 3 mathbf {i} +4 sin (3t) mathbf {j} + t cos (t) mathbf {k}} )

( mathrm {⟨0,12 cos (3t), cos t − t sin t⟩} )

( mathrm {r (t) = t ^ 2 mathbf {i} + te ^ {- 2t} mathbf {j} −5e ^ {- 4t} mathbf {k}} )

Para los siguientes problemas, encuentre un vector tangente en el valor indicado de t.

( mathrm {r (t) = t mathbf {i} + sin (2t) mathbf {j} + cos (3t) mathbf {k}} ); ( mathrm {t = frac {π} {3}} )

( mathrm { frac {1} { sqrt {2}} ⟨1, −1,0⟩} )

( mathrm {r (t) = 3t ^ 3 mathbf {i} + 2t ^ 2 mathbf {j} + frac {1} {t} mathbf {k}; t = 1} )

( mathrm {r (t) = 3e ^ t mathbf {i} + 2e ^ {- 3t} mathbf {j} + 4e ^ {2t} mathbf {k}; t = ln (2)} )

( mathrm { frac {1} { sqrt {1060.5625}} ⟨6, −34,32⟩} )

( mathrm {r (t) = cos (2t) mathbf {i} +2 sin t mathbf {j} + t ^ 2 mathbf {k}; t = frac {π} {2} } )

Encuentre el vector unitario tangente para las siguientes curvas parametrizadas.

( mathrm {r (t) = 6 mathbf {i} + cos (3t) mathbf {j} +3 sin (4t) mathbf {k}, 0≤t <2π} )

( mathrm { frac {1} { sqrt {9sin ^ 2 (3t) +144 cos ^ 2 (4t)}} ⟨0, −3 sin (3t), 12 cos (4t)⟩} )

( mathrm {r (t) = cos t mathbf {i} + sin t mathbf {j} + sin t mathbf {k}, 0≤t <2π} ). Aquí se presentan dos vistas de esta curva:

( mathrm {r (t) = 3 cos (4t) mathbf {i} +3 sin (4t) mathbf {j} + 5t mathbf {k}, 1≤t≤2} )

( mathrm {T (t) = - frac {12} {13} sin (4t) mathbf {i} + frac {12} {13} cos (4t) mathbf {j} + frac {5} {13} mathbf {k}} )

( mathrm {r (t) = t mathbf {i} + 3t mathbf {j} + t ^ 2 mathbf {k}} )

Sea ( mathrm {r (t) = t mathbf {i} + t ^ 2 mathbf {j} −t ^ 4 mathbf {k}} ) y ( mathrm {s (t) = sin (t) mathbf {i} + e ^ t mathbf {j} + cos (t) mathbf {k}} ) Aquí está la gráfica de la función:

Encuentra el siguiente.

( mathrm { frac {d} {dt} [r (t ^ 2)]} )

( mathrm {⟨2t, 4t ^ 3, −8t ^ 7⟩} )

( mathrm { frac {d} {dt} [t ^ 2⋅s (t)]} )

( mathrm { frac {d} {dt} [r (t) ⋅s (t)]} )

( mathrm { sin (t) + 2te ^ t − 4t ^ 3 cos (t) + tcos (t) + t ^ 2e ^ t + t ^ 4sin (t)} )

Calcule la primera, segunda y tercera derivadas de ( mathrm {r (t) = 3t mathbf {i} +6 ln (t) mathbf {j} + 5e ^ {- 3t} mathbf {k} } ).

Encuentra ( mathrm {r '(t) ⋅r' '(t) ; para ; r (t) = - 3t ^ 5 mathbf {i} + 5t mathbf {j} + 2t ^ 2 mathbf {k}.} )

( mathrm {900t ^ 7 + 16t} )

La función de aceleración, la velocidad inicial y la posición inicial de una partícula son

( mathrm {a (t) = - 5 cos t mathbf {i} −5 sin t mathbf {j}, v (0) = 9 mathbf {i} +2 mathbf {j}, y ; r (0) = 5 mathbf {i}.} ) Encuentra ( mathrm {v (t) ; y ; r (t)} ).

El vector de posición de una partícula es ( mathrm {r (t) = 5 sec (2t) mathrm {i} −4tan (t) mathrm {j} + 7t ^ 2 mathrm {k}} ) .

  1. Grafique la función de posición y muestre una vista del gráfico que ilustra el comportamiento asintótico de la función.
  2. Encuentre la velocidad como t se aproxima pero no es igual a ( mathrm { frac {π} {4}} ) (si existe).
  1. Indefinido o infinito

Encuentra la velocidad y la rapidez de una partícula con la función de posición ( mathrm {r (t) = ( frac {2t − 1} {2t + 1}) mathbf {i} + ln (1−4t ^ 2) mathbf {j}} ). La velocidad de una partícula es la magnitud de la velocidad y está representada por ( mathrm {‖r ′ (t) ‖} ).

Una partícula se mueve en una trayectoria circular de radio. B según la función ( mathrm {r (t) = b cos ( omega t) mathbf {i} + b sin ( omega) mathbf {j},} ) donde ( mathrm { omega} ) es la velocidad angular, ( mathrm { frac {d theta} {dt}} ).

Encuentre la función de velocidad y demuestre que ( mathrm {v (t)} ) siempre es ortogonal a ( mathrm {r (t)} ).

( mathrm {r '(t) = - b omega sin ( omega t) mathbf {i} + b omega cos ( omega t) mathbf {j}} ). Para mostrar la ortogonalidad, tenga en cuenta que ( mathrm {r '(t) ⋅r (t) = 0} ).

Demuestre que la rapidez de la partícula es proporcional a la velocidad angular.

Evalúa ( mathrm { frac {d} {dt} [u (t) times u ′ (t)]} ) dado ( mathrm {u (t) = t ^ 2 mathbf {i} - 2t mathbf {j} + mathbf {k}} ).

( mathrm {0 mathbf {i} +2 mathbf {j} + 4t mathbf {j}} )

Encuentra la antiderivada de ( mathrm {r '(t) = cos (2t) mathbf {i} −2 sin t mathbf {j} + frac {1} {1 + t ^ 2} mathbf {k}} ) que satisface la condición inicial ( mathrm {r (0) = 3 mathbf {i} −2 mathbf {j} + mathbf {k}} ).

Evalúe ( mathrm { int_0 ^ 3‖ti + t ^ 2j‖dt} ).

( mathrm { frac {1} {3} (10 ^ { frac {3} {2}} - 1)} )

Un objeto comienza desde el reposo en el punto ( mathrm {P (1,2,0)} ) y se mueve con una aceleración de ( mathrm {a (t) = mathbf {j} +2 mathbf {k },} ) donde ( mathrm {‖a (t) ‖} ) se mide en pies por segundo por segundo. Encuentre la ubicación del objeto después de ( mathrm {t = 2} ) seg.

Demuestre que si la velocidad de una partícula que viaja a lo largo de una curva representada por una función con valores vectoriales es constante, entonces la función de velocidad siempre es perpendicular a la función de aceleración.

( begin {align} mathrm {‖v (t) ‖ ;} & mathrm {= k} mathrm {v (t) · v (t) ;} & mathrm {= k} mathrm {ddt (v (t) · v (t)) ;} & mathrm {= frac {d} {dt} k = 0} mathrm {v (t) · v ′ ( t) + v ′ (t) · v (t) ;} & mathrm {= 0} mathrm {2v (t) · v ′ (t) ;} & mathrm {= 0} mathrm {v (t) · v ′ (t) ;} & mathrm {= 0} end {align} )

La última afirmación implica que la velocidad y la aceleración son perpendiculares u ortogonales.

Dado ( mathrm {r (t) = t mathbf {i} + 3t mathbf {j} + t ^ 2 mathbf {k}} ) y ( mathrm {u (t) = 4t mathbf {i} + t ^ 2 mathbf {j} + t ^ 3 mathbf {k}} ), encuentra ( mathrm { frac {d} {dt} (r (t) times u (t) )} ).

Dado ( mathrm {r (t) = ⟨t + cos t, t− sin t⟩} ), encuentra la velocidad y la rapidez en cualquier momento.

( mathrm {v (t) = ⟨1− sin t, 1− cos t⟩, velocidad = −v (t) ‖ = sqrt {4−2 ( sin t + cos t)}} )

Encuentra el vector de velocidad para la función ( mathrm {r (t) = ⟨e ^ t, e ^ {- t}, 0⟩} ).

Encuentra la ecuación de la recta tangente a la curva ( mathrm {r (t) = ⟨e ^ t, e ^ {- t}, 0⟩} ) en ( mathrm {t = 0} ).

( mathrm {x − 1 = t, y − 1 = −t, z − 0 = 0} )

Describe y dibuja la curva representada por la función con valores vectoriales ( mathrm {r (t) = ⟨6t, 6t − t ^ 2⟩} ).

Localiza el punto más alto en la curva ( mathrm {r (t) = ⟨6t, 6t − t ^ 2⟩} ) y da el valor de la función en este punto.

( mathrm {r (t) = ⟨18,9⟩} ) en ( mathrm {t = 3} )

El vector de posición de una partícula es ( mathrm {r (t) = t mathbf {i} + t ^ 2 mathbf {j} + t ^ 3 mathbf {k}} ). El gráfico se muestra aquí :

Encuentre el vector de velocidad en cualquier momento.

Encuentre la velocidad de la partícula en el tiempo ( mathrm {t = 2} ) seg.

( mathrm { sqrt {593}} )

Encuentra la aceleración en el tiempo ( mathrm {t = 2} ) seg.

Una partícula viaja a lo largo de la trayectoria de una hélice con la ecuación ( mathrm {r (t) = cos (t) mathbf {i} + sin (t) mathbf {j} + t mathbf {k} } ). Vea el gráfico presentado aquí:

Encuentra el siguiente:

Velocidad de la partícula en cualquier momento

( mathrm {v (t) = ⟨− sin t, cos t, 1⟩} )

Velocidad de la partícula en cualquier momento

Aceleración de la partícula en cualquier momento

( mathrm {a (t) = - cos t mathbf {i} - sin t mathbf {j} +0 mathbf {j}} )

Encuentra el vector unitario tangente de la hélice.

Una partícula viaja a lo largo de la ruta de una elipse con la ecuación ( mathrm {r (t) = cos t mathbf {i} +2 sin t mathbf {j} +0 mathbf {k}} ) . Encuentra el siguiente:

Velocidad de la partícula

( mathrm {v (t) = ⟨− sin t, 2 cos t, 0⟩} )

Velocidad de la partícula en ( mathrm {t = frac {π} {4}} )

Aceleración de la partícula en ( mathrm {t = frac {π} {4}} )

( mathrm {a (t) = ⟨− frac { sqrt {2}} {2}, - sqrt {2}, 0⟩} )

Dada la función con valores vectoriales ( mathrm {r (t) = ⟨ tan t, sec t, 0⟩} ) (la gráfica se muestra aquí), encuentre lo siguiente:

Velocidad

Velocidad

( mathrm {‖v (t) ‖ = sqrt { sec ^ 4 t + sec ^ 2 t tan ^ 2 t} = sqrt { sec ^ 2 t ( sec ^ 2 t + tan ^ 2 t)}} )

Aceleración

Encuentra la velocidad mínima de una partícula que viaja a lo largo de la curva ( mathrm {r (t) = ⟨t + cos t, t− sin t⟩} ) mathrm {t∈ [0,2π)} ).

2

Dado ( mathrm {r (t) = t mathbf {i} +2 sin t mathbf {j} +2 cos t mathbf {k}} ) y ( mathrm {u (t) = frac {1} {t} mathbf {i} +2 sin t mathbf {j} +2 cos t mathbf {k}} ), encuentre lo siguiente:

( mathrm {r (t) times u (t)} )

( mathrm { frac {d} {dt} (r (t) times u (t))} )

( mathrm {⟨0,2 sin t (t− frac {1} {t}) - 2 cos t (1+ frac {1} {t ^ 2}), 2 sin t (1 + frac {1} {t ^ 2}) + 2 cos t (t− frac {2} {t})⟩} )

Ahora, use la regla del producto para la derivada del producto cruzado de dos vectores y demuestre que este resultado es el mismo que la respuesta del problema anterior.

Encuentra el vector unitario tangente T(t) para las siguientes funciones con valores vectoriales.

( mathrm {r (t) = ⟨t, frac {1} {t}⟩} ). El gráfico se muestra aquí:

( mathrm {T (t) = ⟨ frac {t ^ 2} { sqrt {t ^ 4 + 1}}, frac {-1} { sqrt {t ^ 4 + 1}⟩}} )

( mathrm {r (t) = ⟨t cos t, t sin t⟩} )

( mathrm {r (t) = ⟨t + 1,2t + 1,2t + 2⟩} )

( mathrm {T (t) = frac {1} {3} ⟨1,2,2⟩} )

Evalúe las siguientes integrales:

( mathrm { int (e ^ t mathbf {i} + sin t mathbf {j} + frac {1} {2t − 1} mathbf {k}) dt} )

( mathrm { int_0 ^ 1 r (t) dt} ), donde ( mathrm {r (t) = ⟨ sqrt [3] {t}, frac {1} {t + 1}, e ^ {- t}⟩} )

( mathrm { frac {3} {4} mathbf {i} + ln (2) mathbf {j} + (1− frac {1} {e}) mathbf {j}} )

13.3: Longitud y curvatura del arco

Ejercicios

Encuentre la longitud del arco de la curva en el intervalo dado.

( mathrm {r (t) = t ^ 2 mathbf {i} + 14t mathbf {j}, 0≤t≤7} ). Esta parte del gráfico se muestra aquí:

( mathrm {r (t) = t ^ 2 mathbf {i} + (2t ^ 2 + 1) mathbf {j}, 1≤t≤3} )

( mathrm {8 sqrt {5}} )

( mathrm {r (t) = ⟨2 sin t, 5t, 2 cos t⟩, 0≤t≤π} ). Esta parte del gráfico se muestra aquí:

( mathrm {r (t) = ⟨t ^ 2 + 1,4t ^ 3 + 3⟩, −1≤t≤0} )

( mathrm { frac {1} {54} (37 ^ {3/2} −1)} )

( mathrm {r (t) = ⟨e ^ {- t cos t}, e ^ {- t sin t}⟩} ) en el intervalo ( mathrm {[0, frac {π} {2}]} ). Aquí está la parte del gráfico en el intervalo indicado:

Encuentra la longitud de una vuelta de la hélice dada por ( mathrm {r (t) = frac {1} {2} cos t mathbf {i} + frac {1} {2} sin t mathbf {j} + sqrt { frac {3} {4}} t mathbf {k}.} )

Longitud ( mathrm {= 2π} )

Encuentre la longitud del arco de la función con valores vectoriales ( mathrm {r (t) = - t mathbf {i} + 4t mathbf {j} + 3t mathbf {k}} ) sobre ( mathrm { [0,1]} ).

Una partícula viaja en un círculo con la ecuación de movimiento ( mathrm {r (t) = 3 cos t mathbf {i} +3 sin t mathbf {j} +0 mathbf {k}} ) . Calcula la distancia recorrida alrededor del círculo por la partícula.

( mathrm {6π} )

Configura una integral para encontrar la circunferencia de la elipse con la ecuación ( mathrm {r (t) = cos t mathbf {i} +2 sin t mathbf {j} +0 mathbf {k}. } )

Encuentre la longitud de la curva ( mathrm {r (t) = ⟨ sqrt {2} t, e ^ t, e ^ {- t}⟩} ) sobre el intervalo ( mathrm {0≤t≤ 1} ). El gráfico se muestra aquí:

( mathrm {e− frac {1} {e}} )

Encuentra la longitud de la curva ( mathrm {r (t) = ⟨2 sin t, 5t, 2 cos t⟩} ) para ( mathrm {t∈ [−10,10]} ).

La función de posición de una partícula es ( mathrm {r (t) = a cos (ωt) mathbf {i} + b sin (ωt) mathbf {j}} ). Encuentre el vector unitario tangente y el vector unitario normal en ( mathrm {t = 0.} )

( mathrm {T (0) = mathbf {j}, N (0) = - mathbf {i}} )

Dado ( mathrm {r (t) = a cos (ωt) mathbf {i} + b sin (ωt) mathbf {j}} ), encuentre el vector binormal ( mathrm {B (0 )} ).

Dado ( mathrm {r (t) = ⟨2e ^ t, e ^ t cos t, e ^ t sin t⟩} ), determina el vector tangente ( mathrm {T (t)} ) .

( mathrm {T (t) = ⟨2e ^ t, e ^ t cos t − e ^ t sin t, e ^ t cos t + e ^ t sin t⟩} )

Dado ( mathrm {r (t) = ⟨2e ^ t, e ^ t cos t, e ^ t sin t⟩} ), determina el vector unitario tangente ( mathrm {T (t)} ) evaluado en ( mathrm {t = 0} ).

Dado ( mathrm {r (t) = ⟨2e ^ t, e ^ t cos t, e ^ t sin t⟩} ), encuentre el vector normal unitario ( mathrm {N (t)} ) evaluado en ( mathrm {t = 0} ), ( mathrm {N (0)} ).

( mathrm {N (0) = ⟨ frac { sqrt {2}} {2}, 0, frac { sqrt {2}} {2}⟩} )

Dado ( mathrm {r (t) = ⟨2e ^ t, e ^ t cos t, e ^ t sin t⟩} ), encuentre el vector normal unitario evaluado en ( mathrm {t = 0} ).

Dado ( mathrm {r (t) = t mathbf {i} + t ^ 2 mathbf {j} + t mathbf {k}} ), encuentre el vector tangente unitario ( mathrm {T (t )} ). El gráfico se muestra aquí:

( mathrm {T (t) = frac {1} { sqrt {4t ^ 2 + 2}} <1,2t, 1>} )

Encuentra el vector tangente unitario ( mathrm {T (t)} ) y el vector normal unitario ( mathrm {N (t)} ) en ( mathrm {t = 0} ) para la curva plana ( mathrm {r (t) = ⟨t ^ 3−4t, 5t ^ 2−2⟩} ). El gráfico se muestra aquí:

Encuentra el vector tangente unitario ( mathrm {T (t)} ) para ( mathrm {r (t) = 3t mathbf {i} + 5t ^ 2 mathbf {j} + 2t mathbf {k} } )

( mathrm {T (t) = frac {1} { sqrt {100t ^ 2 + 13}} (3 mathbf {i} + 10t mathbf {j} +2 mathbf {k})} )

Encuentra el vector normal principal a la curva ( mathrm {r (t) = ⟨6 cos t, 6 sin t⟩} ) en el punto determinado por ( mathrm {t = π / 3} ) .

Encuentra ( mathrm {T (t)} ) para la curva ( mathrm {r (t) = (t ^ 3−4t) mathbf {i} + (5t ^ 2−2) mathbf {j }} ).

( mathrm {T (t) = frac {1} { sqrt {9t ^ 4 + 76t ^ 2 + 16}} ([3t ^ 2−4] mathbf {i} + 10t mathbf {j} )} )

Encuentra ( mathrm {N (t)} ) para la curva ( mathrm {r (t) = (t ^ 3−4t) mathbf {i} + (5t ^ 2−2) mathbf {j }} ).

Encuentre el vector normal unitario ( mathrm {N (t)} ) para ( mathrm {r (t) = ⟨2sint, 5t, 2cost⟩} ).

( mathrm {N (t) = ⟨− sint, 0, −cost⟩} )

Encuentra el vector tangente unitario ( mathrm {T (t)} ) para ( mathrm {r (t) = ⟨2 sin t, 5t, 2 cos t⟩} ).

Encuentra la función de longitud de arco ( mathrm {s (t)} ) para el segmento de línea dado por ( mathrm {r (t) = ⟨3−3t, 4t⟩} ). Escribir r como parámetro de s.

Función de longitud de arco: ( mathrm {s (t) = 5t} ); r como parámetro de s: ( mathrm {r (s) = (3− frac {3s} {5}) mathbf {i} + frac {4s} {5} mathbf {j}} )

Parametrice la hélice ( mathrm {r (t) = cos t mathbf {i} + sin t mathbf {j} + t mathbf {k}} ) usando el parámetro de longitud de arco s, desde ( mathrm {t = 0} ).

Parametrizar la curva usando el parámetro de longitud de arco s, en el punto en el que ( mathrm {t = 0} ) para ( mathrm {r (t) = e ^ t sin t mathbf {i} + e ^ t cos t mathbf {j }} )

( mathrm {(s) = (1+ frac {s} { sqrt {2}}) sin ( ln (1+ frac {s} { sqrt {2}})) mathbf { i} + (1+ frac {s} { sqrt {2}}) cos [ ln (1+ frac {s} { sqrt {2}})] mathbf {j}} )

Encuentra la curvatura de la curva ( mathrm {r (t) = 5 cos t mathbf {i} +4 sin t mathbf {j}} ) en ( mathrm {t = π / 3} ). (Nota: El gráfico es una elipse).

Encuentra el X-coordinada en la que la curvatura de la curva ( mathrm {y = 1 / x} ) es un valor máximo.

El valor máximo de la curvatura ocurre en ( mathrm {x = sqrt [4] {5}} ).

Encuentra la curvatura de la curva ( mathrm {r (t) = 5 cos t mathbf {i} +5 sin t mathbf {j}} ). ¿Depende la curvatura del parámetro t?

Encuentra la curvatura (κ ) de la curva ( mathrm {y = x− frac {1} {4} x ^ 2} ) en el punto ( mathrm {x = 2} ).

( mathrm { frac {1} {2}} )

Encuentra la curvatura (κ ) de la curva ( mathrm {y = frac {1} {3} x ^ 3} ) en el punto ( mathrm {x = 1} ).

Encuentra la curvatura κκ de la curva ( mathrm {r (t) = t mathbf {i} + 6t ^ 2 mathbf {j} + 4t mathbf {k}} ). El gráfico se muestra aquí:

( mathrm {κ≈ frac {49.477} {(17 + 144t ^ 2) ^ {3/2}}} )

Encuentra la curvatura de ( mathrm {r (t) = ⟨2 sin t, 5t, 2 cos t⟩} ).

Encuentra la curvatura de ( mathrm {r (t) = sqrt {2} t mathbf {i} + e ^ t mathbf {j} + e ^ {- t} mathbf {k}} ) en punto ( mathrm {P (0,1,1)} ).

( mathrm { frac {1} {2 sqrt {2}}} )

¿En qué punto la curva ( mathrm {y = e ^ x} ) tiene una curvatura máxima?

¿Qué le sucede a la curvatura como ( mathrm {x → ∞} ) para la curva ( mathrm {y = e ^ x} )?

La curvatura se acerca a cero.

Encuentre el punto de máxima curvatura en la curva ( mathrm {y = ln x} ).

Encuentra las ecuaciones del plano normal y el plano osculador de la curva ( mathrm {r (t) = ⟨2 sin (3t), t, 2 cos (3t)⟩} ) en el punto ( mathrm {(0, π, −2)} ).

( mathrm {y = 6x + π} ) y ( mathrm {x + 6 = 6π} )

Encuentra las ecuaciones de los círculos osculantes de la elipse ( mathrm {4y ^ 2 + 9x ^ 2 = 36} ) en los puntos ( mathrm {(2,0)} ) y ( mathrm {(0 , 3)} ).

Encuentra la ecuación para el plano osculador en el punto ( mathrm {t = π / 4} ) en la curva ( mathrm {r (t) = cos (2t) mathbf {i} + sin (2t ) mathbf {j} + t} ).

( mathrm {x + 2z = frac {π} {2}} )

Encuentra el radio de curvatura de ( mathrm {6y = x ^ 3} ) en el punto ( mathrm {(2, frac {4} {3}).} )

Encuentra la curvatura en cada punto ( mathrm {(x, y)} ) en la hipérbola ( mathrm {r (t) = ⟨a cosh (t), b sinh (t)⟩} ) .

( mathrm { frac {a ^ 4b ^ 4} {(b ^ 4x ^ 2 + a ^ 4y ^ 2) ^ {3/2}}} )

Calcula la curvatura de la hélice circular ( mathrm {r (t) = r sin (t) mathbf {i} + r cos (t) mathbf {j} + t mathbf {k}} ) .

Encuentra el radio de curvatura de ( mathrm {y = ln (x + 1)} ) en el punto ( mathrm {(2, ln 3)} ).

( mathrm { frac {10 sqrt {10}} {3}} )

Encuentra el radio de curvatura de la hipérbola ( mathrm {xy = 1} ) en el punto ( mathrm {(1,1)} ).

Una partícula se mueve a lo largo de la curva plana C descrita por ( mathrm {r (t) = t mathbf {i} + t ^ 2 mathbf {j}} ). Resuelve los siguientes problemas.

Encuentra la longitud de la curva en el intervalo ( mathrm {[0,2]} ).

( mathrm { frac {38} {3}} )

Encuentre la curvatura de la curva plana en ( mathrm {t = 0,1,2} ).

Describe la curvatura como t aumenta de ( mathrm {t = 0} ) a ( mathrm {t = 2} ).

La curvatura está disminuyendo durante este intervalo.

La superficie de una taza grande se forma girando la gráfica de la función ( mathrm {y = 0.25x ^ {1.6}} ) desde ( mathrm {x = 0} ) a ( mathrm {x = 5} ) sobre el y-eje (medido en centímetros).

[T] Usa la tecnología para graficar la superficie.

Encuentre la curvatura (κ ) de la curva generadora en función de X.

( mathrm {κ = frac {6} {x ^ {2/5} (25 + 4x ^ {6/5})}} )

[T] Utilice la tecnología para graficar la función de curvatura.

13.4: Movimiento en el espacio

aN = a⋅N = ‖v × a‖‖v‖ = ‖a‖2 − aT −−−−−−−−− √aN = a · N = ‖v × a‖‖v‖ = ‖a‖2 −aT2

Dado r (t) = (3t2−2) i + (2t − sin (t)) j, r (t) = (3t2−2) i + (2t − sin (t)) j, encuentre la velocidad de una partícula que se mueve a lo largo de esta curva.

v (t) = (6t) yo + (2 − cos (t)) jv (t) = (6t) yo + (2 − cos (t)) j

Dado r (t) = (3t2−2) i + (2t − sin (t)) j, r (t) = (3t2−2) i + (2t − sin (t)) j, encuentre el vector de aceleración de una partícula moviéndose a lo largo de la curva en el ejercicio anterior.

Dadas las siguientes funciones de posición, encuentre la velocidad, aceleración y rapidez en términos del parámetro t.

r (t) = ⟨3cost, 3sint, t2⟩r (t) = ⟨3cost, 3sint, t2⟩

v (t) = ⟨− 3sint, 3cost, 2t⟩, v (t) = ⟨− 3sint, 3cost, 2t⟩, a (t) = ⟨− 3cost, −3sint, 2⟩, a (t) = ⟨− 3cost, −3sint, 2⟩, velocidad = 9 + 4t2 −−−−−− √velocidad = 9 + 4t2

r (t) = e − ti + t2j + tantkr (t) = e − ti + t2j + tantk

r (t) = 2costj + 3sintk.r (t) = 2costj + 3sintk. El gráfico se muestra aquí:

v (t) = - 2sintj + 3costk, v (t) = - 2sintj + 3costk, a (t) = - 2costj − 3sintk, a (t) = - 2costj − 3sintk, velocidad = 4sin2 (t) + 9cos2 (t ) −−−−−−−−−−−−−− √velocidad = 4sin2 (t) + 9cos2 (t)

Encuentre la velocidad, aceleración y rapidez de una partícula con la función de posición dada.

r (t) = ⟨t2−1, t⟩r (t) = ⟨t2−1, t⟩

r (t) = ⟨et, e − t⟩r (t) = ⟨et, e − t⟩

v (t) = eti − e − tj, v (t) = eti − e − tj, a (t) = eti + e − tj, a (t) = eti + e − tj, ∥v (t) ∥ e2t + e − 2t −−−−−−−− √‖v (t) ‖e2t + e − 2t

r (t) = ⟨sint, t, cost⟩.r (t) = ⟨sint, t, cost⟩. El gráfico se muestra aquí:

La función de posición de un objeto está dada por r (t) = ⟨t2,5t, t2−16t⟩.r (t) = ⟨t2,5t, t2−16t⟩. ¿A qué hora es mínima la velocidad?

t = 4t = 4

Sea r (t) = rcosh (ωt) i + rsinh (ωt) j.r (t) = rcosh (ωt) i + rsinh (ωt) j. Encuentre los vectores de velocidad y aceleración y demuestre que la aceleración es proporcional a r (t) .r (t).

Considere el movimiento de un punto en la circunferencia de un círculo rodante. A medida que el círculo rueda, genera la cicloide r (t) = (ωt − sin (ωt)) i + (1 − cos (ωt)) j, r (t) = (ωt − sin (ωt)) i + (1− cos (ωt)) j, donde ωω es la velocidad angular del círculo y b es el radio del círculo:

Encuentre las ecuaciones para la velocidad, aceleración y rapidez de la partícula en cualquier momento.

v (t) = (ω − ωcos (ωt)) i + (ωsin (ωt)) j, v (t) = (ω − ωcos (ωt)) i + (ωsin (ωt)) j,

a (t) = (ω2sin (ωt)) i + (ω2cos (ωt)) j, a (t) = (ω2sin (ωt)) i + (ω2cos (ωt)) j,

velocidad = ω2−2ω2cos (ωt) + ω2cos2 (ωt) + ω2sin2 (ωt) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −√ = 2ω2 (1 − cos (ωt)) −−−−−−−−−−−−− √velocidad = ω2−2ω2cos (ωt) + ω2cos2 (ωt) + ω2sin2 (ωt) = 2ω2 (1 − cos (ωt))

Una persona en un ala delta gira en espiral hacia arriba como resultado del aire que se eleva rápidamente en un camino que tiene un vector de posición r (t) = (3cost) i + (3sint) j + t2k.r (t) = (3cost) i + (3sint ) j + t2k. El camino es similar al de una hélice, aunque no es una hélice. El gráfico se muestra aquí:

Encuentre las siguientes cantidades:

Los vectores de velocidad y aceleración

La velocidad del planeador en cualquier momento.

∥v (t) ∥ = 9 + 4t2 −−−−−− √‖v (t) ‖ = 9 + 4t2

Los tiempos, si los hay, en los que la aceleración del planeador es ortogonal a su velocidad.

Dado que r (t) = ⟨e − 5tsint, e − 5tcost, 4e − 5t⟩r (t) = ⟨e − 5tsint, e − 5tcost, 4e − 5t⟩ es el vector de posición de una partícula en movimiento, encuentre lo siguiente cantidades:

La velocidad de la partícula

v (t) = ⟨e − 5t (costo − 5sint), - e − 5t (sint + 5cost), - 20e − 5t⟩v (t) = ⟨e − 5t (costo − 5sint), - e − 5t ( sint + 5cost), - 20e − 5t⟩

La velocidad de la partícula

La aceleración de la partícula

a (t) = ⟨e − 5t (−sint − 5cost) −5e − 5t (costo − 5sint), a (t) = ⟨e − 5t (−sint − 5cost) −5e − 5t (costo − 5sint), −e − 5t (costo − 5sint) + 5e − 5t (sint + 5cost), 100e − 5t⟩ − e − 5t (costo − 5sint) + 5e − 5t (sint + 5cost), 100e − 5t⟩

Encuentre la velocidad máxima de un punto en la circunferencia de una llanta de automóvil con un radio de 1 pie cuando el automóvil viaja a 55 mph.

Se dispara un proyectil al aire desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 500 m / seg en un ángulo de 60 ° con la horizontal. El gráfico se muestra aquí:

¿A qué hora alcanza el proyectil la altura máxima?

44.185 segundos

¿Cuál es la altura máxima aproximada del proyectil?

¿A qué hora se alcanza el alcance máximo del proyectil?

t = 88,37 t = 88,37 segundos

¿Cuál es el rango máximo?

¿Cuál es el tiempo total de vuelo del proyectil?

88,37 segundos

Se dispara un proyectil a una altura de 1,5 m sobre el suelo con una velocidad inicial de 100 m / seg y en un ángulo de 30 ° sobre la horizontal. Utilice esta información para responder las siguientes preguntas:

Determina la altura máxima del proyectil.

Determina el alcance del proyectil.

El alcance es de aproximadamente 886,29 m.

Se golpea una pelota de golf en dirección horizontal desde el borde superior de un edificio de 100 pies de altura. ¿Qué tan rápido debe lanzarse la pelota para aterrizar a 450 pies de distancia?

Se dispara un proyectil desde el nivel del suelo en un ángulo de 8 ° con la horizontal. El proyectil debe tener un alcance de 50 m. Encuentre la velocidad mínima necesaria para alcanzar este rango.

v = 42,16 v = 42,16 m / seg

Demuestre que un objeto que se mueve en línea recta con rapidez constante tiene una aceleración de cero.

La aceleración de un objeto está dada por a (t) = tj + tk. A (t) = tj + tk. La velocidad en t = 1t = 1 seg es v (1) = 5jv (1) = 5j y la posición del objeto en t = 1t = 1sec es r (1) = 0i + 0j + 0k.r (1) = 0i + 0j + 0k. Encuentre la posición del objeto en cualquier momento.

r (t) = 0i + (16t3 + 4.5t − 143) j + (t36−12t + 13) kr (t) = 0i + (16t3 + 4.5t − 143) j + (t36−12t + 13) k

Encuentre r (t) r (t) dado que a (t) = - 32j, a (t) = - 32j, v (0) = 6003√i + 600j, v (0) = 6003i + 600j, y r ( 0) = 0.r (0) = 0.

Encuentre las componentes tangencial y normal de la aceleración para r (t) = acos (ωt) i + bsin (ωt) jr (t) = acos (ωt) i + bsin (ωt) j en t = 0.t = 0.

aT = 0, aT = 0, aN = aω2aN = aω2

Dado r (t) = t2i + 2tjr (t) = t2i + 2tj y t = 1, t = 1, encuentre las componentes tangencial y normal de la aceleración.

Para cada uno de los siguientes problemas, encuentre las componentes tangencial y normal de la aceleración.

r (t) = ⟨etcost, etsint, et⟩.r (t) = ⟨etcost, etsint, et⟩. El gráfico se muestra aquí:

aT = 3√et, aT = 3et, aN = 2√etaN = 2et

r (t) = ⟨cos (2t), sin (2t), 1⟩r (t) = ⟨cos (2t), sin (2t), 1⟩

r (t) = ⟨2t, t2, t33⟩r (t) = ⟨2t, t2, t33⟩

aT = 2t, aT = 2t, aN = 4 + 2t2aN = 4 + 2t2

r (t) = ⟨23 (1 + t) 3 / 2,23 (1 − t) 3 / 2,2√t⟩r (t) = ⟨23 (1 + t) 3 / 2,23 (1− t) 3 / 2,2t⟩

r (t) = ⟨6t, 3t2,2t3⟩r (t) = ⟨6t, 3t2,2t3⟩

aT6t + 12t31 + t4 + t2√, aT6t + 12t31 + t4 + t2, aN = 61 + 4t2 + t41 + t2 + t4 −−−−−− √aN = 61 + 4t2 + t41 + t2 + t4

r (t) = t2i + t2j + t3kr (t) = t2i + t2j + t3k

r (t) = 3cos (2πt) yo + 3sin (2πt) jr (t) = 3cos (2πt) i + 3sin (2πt) j

aT = 0, aT = 0, aN = 23√πaN = 23π

Encuentre la función de valor vectorial de posición r (t), r (t), dado que a (t) = i + etj, a (t) = i + etj, v (0) = 2j, v (0) = 2j y r (0) = 2i.r (0) = 2i.

La fuerza sobre una partícula viene dada por f (t) = (costo) i + (sint) j.f (t) = (costo) i + (sint) j. La partícula está ubicada en el punto (c, 0) (c, 0) en t = 0.t = 0. La velocidad inicial de la partícula viene dada por v (0) = v0j.v (0) = v0j. Encuentra el camino de la partícula de masa metro. (Recuerde, F = m⋅a.) F = m · a.)

r (t) = (- 1mcostos + c + 1m) i + (- sintm + (v0 + 1m) t) jr (t) = (- 1mcostos + c + 1m) i + (- sintm + (v0 + 1m) t) j

Un automóvil que pesa 2700 lb gira en una carretera plana mientras viaja a 56 pies / seg. Si el radio del giro es de 70 pies, ¿cuál es la fuerza de fricción requerida para evitar que el automóvil patine?

Usando las leyes de Kepler, se puede demostrar que v0 = 2GMr0 −−−− √v0 = 2GMr0 es la velocidad mínima necesaria cuando θ = 0θ = 0 para que un objeto escape del tirón de una fuerza central resultante de la masa METRO. Use this result to find the minimum speed when θ=0θ=0 for a space capsule to escape from the gravitational pull of Earth if the probe is at an altitude of 300 km above Earth’s surface.

10.94 km/sec

Find the time in years it takes the dwarf planet Pluto to make one orbit about the Sun given that a=39.5a=39.5 A.U.

Suppose that the position function for an object in three dimensions is given by the equation r(t)=tcos(t)i+tsin(t)j+3tk.r(t)=tcos(t)i+tsin(t)j+3tk.

Show that the particle moves on a circular cone.

Find the angle between the velocity and acceleration vectors when t=1.5.t=1.5.

Find the tangential and normal components of acceleration when t=1.5.t=1.5.

aT=0.43m/sec2,aT=0.43m/sec2,

aN=2.46m/sec2aN=2.46m/sec2

Chapter Review Exercises

True or False? Justify your answer with a proof or a counterexample.

A parametric equation that passes through points P and Q can be given by r(t)=⟨t2,3t+1,t−2⟩,r(t)=⟨t2,3t+1,t−2⟩, where P(1,4,−1)P(1,4,−1) and Q(16,11,2).Q(16,11,2).

ddt[u(t)×u(t)]=2u′(t)×u(t)ddt[u(t)×u(t)]=2u′(t)×u(t)

False, ddt[u(t)×u(t)]=0ddt[u(t)×u(t)]=0

The curvature of a circle of radius rr is constant everywhere. Furthermore, the curvature is equal to 1/r.1/r.

The speed of a particle with a position function r(t)r(t) is (r′(t))/(|r′(t)|).(r′(t))/(|r′(t)|).

False, it is |r′(t)||r′(t)|

Find the domains of the vector-valued functions.

r(t)=⟨sin(t),ln(t),t√⟩r(t)=⟨sin(t),ln(t),t⟩

r(t)=⟨et,14−t√,sec(t)⟩r(t)=⟨et,14−t,sec(t)⟩

t<4,t<4, t≠nπ2t≠nπ2

Sketch the curves for the following vector equations. Use a calculator if needed.

[T] r(t)=⟨t2,t3⟩r(t)=⟨t2,t3⟩

[T] r(t)=⟨sin(20t)e−t,cos(20t)e−t,e−t⟩r(t)=⟨sin(20t)e−t,cos(20t)e−t,e−t⟩

Find a vector function that describes the following curves.

Intersection of the cylinder x2+y2=4x2+y2=4 with the plane x+z=6x+z=6

Intersection of the cone z=x2+y2−−−−−−√z=x2+y2 and plane z=y−4z=y−4

r(t)=⟨t,2−t28,−2−t28⟩r(t)=⟨t,2−t28,−2−t28⟩

Find the derivatives of u(t),u(t), u′(t),u′(t), u′(t)×u(t),u′(t)×u(t), u(t)×u′(t),u(t)×u′(t), and u(t)⋅u′(t).u(t)·u′(t). Find the unit tangent vector.

u(t)=⟨et,e−t⟩u(t)=⟨et,e−t⟩

u(t)=⟨t2,2t+6,4t5−12⟩u(t)=⟨t2,2t+6,4t5−12⟩

u′(t)=⟨2t,2,20t4⟩,u′(t)=⟨2t,2,20t4⟩, u′′(t)=⟨2,0,80t3⟩,u″(t)=⟨2,0,80t3⟩, ddt[u′(t)×u(t)]=⟨−480t3−160t4,24+75t2,12+4t⟩,ddt[u′(t)×u(t)]=⟨−480t3−160t4,24+75t2,12+4t⟩, ddt[u(t)×u′(t)]=⟨480t3+160t4,−24−75t2,−12−4t⟩,ddt[u(t)×u′(t)]=⟨480t3+160t4,−24−75t2,−12−4t⟩, ddt[u(t)⋅u′(t)]=720t8−9600t3+6t2+4,ddt[u(t)·u′(t)]=720t8−9600t3+6t2+4, unit tangent vector: T(t)=2t400t8+4t2+4√i+2400t8+4t2+4√j+20t4400t8+4t2+4√kT(t)=2t400t8+4t2+4i+2400t8+4t2+4j+20t4400t8+4t2+4k

Evaluate the following integrals.

∫(tan(t)sec(t)i−te3tj)dt∫(tan(t)sec(t)i−te3tj)dt

∫14u(t)dt,∫14u(t)dt, with u(t)=⟨ln(t)t,1t√,sin(tπ4)⟩u(t)=⟨ln(t)t,1t,sin(tπ4)⟩

ln(4)22i+2j+2(2+2√)πkln(4)22i+2j+2(2+2)πk

Find the length for the following curves.

r(t)=⟨3(t),4cos(t),4sin(t)⟩r(t)=⟨3(t),4cos(t),4sin(t)⟩ for 1≤t≤41≤t≤4

r(t)=2i+tj+3t2kr(t)=2i+tj+3t2k for 0≤t≤10≤t≤1

37√2+112sinh−1(6)372+112sinh−1(6)

Reparameterize the following functions with respect to their arc length measured from t=0t=0 in direction of increasing t.t.

r(t)=2ti+(4t−5)j+(1−3t)kr(t)=2ti+(4t−5)j+(1−3t)k

r(t)=cos(2t)i+8tj−sin(2t)kr(t)=cos(2t)i+8tj−sin(2t)k

r(t(s))=cos(2s65√)i+8s65√j−sin(2s65√)kr(t(s))=cos(2s65)i+8s65j−sin(2s65)k

Find the curvature for the following vector functions.

r(t)=(2sint)i−4tj+(2cost)kr(t)=(2sint)i−4tj+(2cost)k

r(t)=2√eti+2√e−tj+2tkr(t)=2eti+2e−tj+2tk

e2t(e2t+1)2e2t(e2t+1)2

Find the unit tangent vector, the unit normal vector, and the binormal vector for r(t)=2costi+3tj+2sintk.r(t)=2costi+3tj+2sintk.

Find the tangential and normal acceleration components with the position vector r(t)=⟨cost,sint,et⟩.r(t)=⟨cost,sint,et⟩.

aT=e2t1+e2t√,aT=e2t1+e2t, aN=2e2t+4e2tsintcost+1√1+e2t√aN=2e2t+4e2tsintcost+11+e2t

A Ferris wheel car is moving at a constant speed vv and has a constant radius r.r. Find the tangential and normal acceleration of the Ferris wheel car.

The position of a particle is given by r(t)=⟨t2,ln(t),sin(πt)⟩,r(t)=⟨t2,ln(t),sin(πt)⟩, where tt is measured in seconds and rr is measured in meters. Find the velocity, acceleration, and speed functions. What are the position, velocity, speed, and acceleration of the particle at 1 sec?

v(t)=⟨2t,1t,cos(πt)⟩v(t)=⟨2t,1t,cos(πt)⟩ m/sec, a(t)=⟨2,−1t2,−sin(πt)⟩m/sec2,a(t)=⟨2,−1t2,−sin(πt)⟩m/sec2, speed=4t2+1t2+cos2(πt)−−−−−−−−−−−−−−−√speed=4t2+1t2+cos2(πt) m/sec; at t=1,t=1, r(1)=⟨1,0,0⟩r(1)=⟨1,0,0⟩ m, v(1)=⟨2,−1,1⟩v(1)=⟨2,−1,1⟩ m/sec, a(1)=⟨2,−1,0⟩a(1)=⟨2,−1,0⟩ m/sec2, and speed=6√speed=6 m/sec

The following problems consider launching a cannonball out of a cannon. The cannonball is shot out of the cannon with an angle θθ and initial velocity v0.v0. The only force acting on the cannonball is gravity, so we begin with a constant acceleration a(t)=−gj.a(t)=−gj.

Find the velocity vector function v(t).v(t).

Find the position vector r(t)r(t) and the parametric representation for the position.

r(t)=v0t−g2t2j,r(t)=v0t−g2t2j, r(t)=⟨v0(cosθ)t,v0(sinθ)t,−g2t2⟩r(t)=⟨v0(cosθ)t,v0(sinθ)t,−g2t2⟩

At what angle do you need to fire the cannonball for the horizontal distance to be greatest? What is the total distance it would travel?


Ver el vídeo: Determinar el vector velocidad y aceleración, así como la rapidez de una función vectorial. (Octubre 2021).