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4: Resolución de sistemas de desigualdades


Objetivos de aprendizaje

En este capítulo, aprenderá a:

  1. Grafica desigualdades lineales en dos variables
  2. Graficar sistemas de desigualdades lineales
  3. Utilice desigualdades lineales en aplicaciones de maximización y minimización

SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE DESIGUALDADES CON UNA VARIABLE

Los siguientes pasos serán útiles para resolver un sistema de desigualdades con una variable.

Resuelve cada desigualdad dada y encuentra los conjuntos de soluciones. También representa la solución en la recta numérica.

Encuentre la intersección de los conjuntos de soluciones obtenidos en el primer paso con la ayuda de la representación gráfica de los conjuntos de soluciones.

El conjunto de soluciones obtenido en el paso 2 es el conjunto de soluciones requerido del sistema de desigualdades dado.

Resuelve el siguiente sistema de desigualdades lineales & # xa0

Resolver las ecuaciones por separado

Dividir por 3 en ambos lados

Dividir por 4 en ambos lados

El conjunto de soluciones de la primera desigualdad dada es [2, & # xa0 & # xa0 ∞).

El conjunto de solución de la segunda desigualdad dada es (-∞, 4]

La intersección de estos conjuntos de soluciones es el conjunto [2, 4].

Resuelve el siguiente sistema de desigualdades lineales & # xa0

Resolviendo la primera desigualdad dada & # xa0

Multiplicar por 8 en todas las ecuaciones

El conjunto de soluciones de la primera desigualdad dada es (3, & # xa0 ∞)

Resolviendo la segunda desigualdad dada:

Multiplica 12 en ambos lados

Resta 9x en ambos lados

Dividir por -1 en ambos lados

El conjunto de solución de la desigualdad dada es (0, & # xa0 ∞)

La intersección de los dos conjuntos de soluciones es (3, & # xa0 ∞).

Entonces, la solución de las desigualdades dadas es (3, & # xa0 ∞).

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Dado un conjunto de METRO desigualdades en norte variables, donde cada desigualdad tiene la forma rIrjk para valores enteros de k, uno de los algoritmos de ruta más corta del Apéndice A se puede utilizar para determinar si existe una solución y para encontrar una solución si realmente existe. Esto se hace mediante el siguiente procedimiento.

(a) Dibuja el nodo I para cada uno de los norte variables rI, I = 1, 2, … , norte.

(b) Dibuja el nodo norte + 1.

(c) Para cada desigualdad rIrjk, dibuja el borde jI desde el nodo j al nodo I con longitud k.

(d) Para cada nodo I, I = 1, 2, … , norte, dibuja el borde norte + 1 → I desde el nodo norte + 1 al nodo I con longitud 0.

Figura 4.3 La gráfica de restricción del ejemplo 4.3.1.

(a) El sistema de desigualdades tiene una solución si y solo si la gráfica de restricción no contiene ciclos negativos.

(b) Si existe una solución, una solución es donde rI es la ruta de longitud mínima desde el nodo norte + 1 al nodo I.

Ejemplo 4.3.1 En este ejemplo demostramos cómo se pueden usar los algoritmos de ruta más corta para resolver un sistema de M = 5 desigualdades

Posada = 4 variables. El primer paso es dibujar el gráfico de restricción, que se muestra en Figura 4.3.

Usando el algoritmo de Bellman-Ford (descrito en la Sección A.2 del Apéndice A

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  • Grafica la línea límite de la primera desigualdad.
  • Utilice un punto de prueba para determinar qué semiplano sombrear. Sombrea el semiplano que contiene las soluciones de la primera desigualdad.
  • Grafique la línea límite de la segunda desigualdad.
  • Utilice un punto de prueba para determinar qué semiplano sombrear. Sombrea el semiplano que contiene las soluciones de la segunda desigualdad.
  • Analiza tu sistema de desigualdades y determina qué área está sombreada por AMBAS desigualdades. Esta área es la solución para el sistema de desigualdades.

El siguiente ejemplo demostrará cómo graficar una línea horizontal y una vertical.


4: Resolución de sistemas de desigualdades

Esto es muy similar a resolver sistemas de ecuaciones, tema 3. La única diferencia es que el signo igual se cambiará por un signo de desigualdad. En lugar de buscar un punto específico de intersección como nuestra respuesta, buscaremos una región (área) de la gráfica que proporcione todos los puntos que harán que el sistema de desigualdades sea verdadero.

Por ejemplo, ya hemos visto cómo resolver problemas como el siguiente.

Ahora, intentaremos resolver cuándo cambiamos el signo igual a un signo de desigualdad. Primero, recuerde un par de ideas. Uno, que la línea está punteada cuando la desigualdad es menor o mayor que, y la línea es sólida cuando la línea es menor o igual o mayor o igual que.

Mira el ejemplo de abajo.

¿Ves algún problema con la forma en que la computadora grafica la desigualdad? Con base en la ecuación y & lt x + 1, la línea debe tener puntos. El programa de computadora solo usa la línea como límite, pero no tiene en cuenta si el límite es parte del conjunto de soluciones o no. Por lo tanto, al graficar estas desigualdades usando tecnología, se debe prestar mucha atención a las líneas fronterizas.

Entonces, ahora que vemos cómo graficar una desigualdad, encontrar la solución a un sistema de desigualdades se vuelve muy fácil. Graficamos dos desigualdades en el mismo plano de coordenadas y encontramos dónde se cruzan las regiones sombreadas en lugar de solo un punto de intersección.

Por ejemplo: contamos las líneas de arriba y cambiamos ambos signos iguales a menos que un signo.

Entonces, la solución es la región que parece un tono rojo intenso. Eso significa que cualquier punto en esa región hará que ambas desigualdades sean verdaderas. Entonces, veamos uno más.

Aquí nuevamente, el área de color rojo oscuro es la solución establecida para este sistema de desigualdades. Ahora, ¿cómo usamos la TI-83 para resolver sistemas de desigualdades?

Utilización de la TI-83

Esto es muy similar a lo que sucede en la calculadora gráfica de programas de computadora. Al igual que la computadora, la TI-83 no mostrará la línea como sólida o punteada. Tendrás que encargarte de eso. Entonces, estos son los pasos:

Paso 1: presione la tecla Y =. La pantalla debería verse ahora como Y 1 =.

Paso 2: Utilice las teclas de flecha para mover el cursor a la barra invertida () frente a Y. La barra inclinada debería parpadear ahora.

Paso 3: Use la tecla Intro para recorrer las diferentes opciones. Cuando uno presiona Enter, la barra invertida cambiará. Cambiamos esto para que la TI-83 sombree el gráfico.

Mayor que: parece una flecha sólida que apunta hacia arriba. .

Menor que: parece una flecha sólida apuntando hacia abajo,.

Ahora, probemos uno juntos. Utilice su TI-83 para encontrar la solución al siguiente sistema de desigualdades.


Sistemas de desigualdades - Problema 4

Para resolver un problema verbal usando un sistema de desigualdades, comience usando la información del problema para establecer dos desigualdades que modelen el problema. Asegúrese de identificar correctamente cuál es la variable independiente (x) y cuál es la variable dependiente (y). Resuelve para y. Luego, grafica cada desigualdad trazando primero la intersección con el eje y (la constante) y luego, desde allí, usando la pendiente (el coeficiente de la variable x) para trazar un segundo punto. Si la desigualdad es menor o igual, o mayor o igual que, dibuje una línea continua. Si la desigualdad es menor o mayor que (pero no igual a), dibuja una línea de puntos. Para determinar la región que debe sombrearse, elija un punto en cualquier lugar del plano de coordenadas y sustituya los valores en la desigualdad. Si la desigualdad es verdadera, sombree la región de donde se tomó el punto. Si la desigualdad es falsa, sombrea la región del otro lado de la línea de desigualdad. Siga los mismos pasos con la otra desigualdad del sistema. El área donde se superponen las regiones sombreadas de las dos desigualdades representa todas las posibles soluciones. Tenga en cuenta que la solución debe tener sentido para el problema. Por ejemplo, si el problema es sobre cantidades, tiempo o dinero, entonces la solución no puede ser negativa.

Muy bien, chicos, abordemos un problema verbal de sistema de desigualdades. Usted compra carne picada y pavo molido a granel para hacer diferentes tipos de frío en su restaurante. Sí, la carne molida fría cuesta $ 1,50 la libra y el pavo molido cuesta $ 2,50 la libra. No desea gastar más de 9,50 en total y necesita al menos 4 libras de carne. Escribe un sistema de desigualdades, grafica el sistema para mostrar todas las posibles soluciones.

Bien, aquí vamos, hablemos del sistema. Voy a dejar que sea carne de res, libras de carne molida yx libras de pavo molido. Así que esto es lo que sé, sé que necesito al menos 4 libras, por lo que la cantidad de carne que obtenga más la cantidad de pavo que obtenga tiene que ser de 4 libras o más, así que voy a escribirlo así. Esa será la primera ecuación en mi sistema de desigualdades.

Ahora tengo que ocuparme de los costes. La cantidad que voy a gastar en carne de res será de $ 1,50 por año, ¿verdad? Tengo que pagar $ 1.50 por cada libra que compro y y representa la cantidad de libras. Para el pavo, voy a gastar $ 2,50 por cada libra de x que no debe ser más de $ 9,50, por lo que tiene que ser 9,50 o menos. Este es mi sistema de desigualdades que representa cuánto gasto y cuánto gasto.

Ahora estoy listo para hacer mi gráfico para mostrar todas las posibles soluciones. Solo voy a hacer un gráfico en el primer cuadrante porque solo tengo valores positivos. No estoy usando números negativos en esta situación. Para mi valor x, voy a ir, no estoy seguro de qué tan lejos todavía, mi valor de y no estoy seguro de qué tan lejos voy a llegar todavía, pero cuando lo hago con la barra es solo yo subiendo a aproximadamente 4 en cada uno porque 4 es mi cantidad más alta.

Pasemos y grafiquemos esta línea, la voy a reescribir en forma de intersección de pendiente restando x de ambos lados. Y es mayor o igual que -x más 4. 1, 2, 3, 4 Voy a usar -1 para mi pendiente bajando uno sobre uno, bajando uno sobre uno Ustedes siempre usan papel cuadriculado para que el suyo sea un mucho más preciso que el mío.

Ahí vamos, mi primera línea veamos la segunda línea. Quiero resolverle a este tipo y ahora mismo tengo este negocio de $ 1.50 en marcha. Para eliminar esos $ 1.50 voy a pasar y dividir cada una de estas cantidades por 1.5. De esa manera lo tendré todo solo. Así que déjame agarrar mi calculadora y voy a tener, vamos marcador, ahí vamos. Y más lo que sea 2,50 dividido por 1,50, que es 1,66xy luego será menor o igual a lo que sea 9,50 dividido por 1,50 y obtengo 6,3.

Por cierto, si usaras fracciones en lugar de decimales aquí, serías más preciso. Pero para mis propósitos, solo estoy haciendo un gráfico aproximado, lo voy a usar así. Todavía necesito resolver esto para y, lo que significa obtener y por sí solo 1.66x más 6.33 y tendré que extender mi gráfico un poco para que encaje.

Perdóname cuando borre esta ecuación que tienes por escrito. Bueno. Voy a borrar eso y hacer que mi gráfico sea un poco más alto que el eje y. 4, 5, 6 dólares y 33 centavos por encima de allí. Comenzando en mi intercepción y, necesito bajar 1.6 casillas y más de una. Baje 1.6 cajas y más de una. Nuevamente, este es un boceto muy aproximado, baje un punto seis casillas así y más de una.

Si puedo obtener algunos buenos puntos allí, podré conectarme y tener una idea de hacia dónde va mi línea. Estoy haciendo una línea continua porque este es el signo menor o igual que. Al igual que tenía un signo mayor o igual que.

De acuerdo, cuando hice mi primer gráfico, olvidé hacer el sombreado, así que volvamos a este tipo y sombreemos adecuadamente. Dejemos que & # 39s pruebe el punto (0,0). ¿Es cierto que o es mayor que 4? No.

Eso significa que para esta primera línea que graficé, no quiero sombrear hacia 00.Quiero sombrear lejos de (0,0) o por encima de esa línea. Para la segunda desigualdad, voy a probar con 0,0 y veré que 0 es sí menos que 6.33. Eso significa que para la segunda ecuación quiero sombrear hacia 0, voy a sombrear debajo de ella.

Mi región de solución es donde se superponen los dos sombreados. Está en este pequeño triángulo de aquí. Esto significa que cualquier punto representa la cantidad de pavo y carne que puedo comprar.

¿Recuerdas cómo al principio llamé x un número de pavo? ¿Y llamé a mi número de carne o mi cantidad de pavo y carne? Lo que eso significa es que si utilizo una libra de pavo y 1, 2, 3, 4 libras de carne de res, estaría en mi región de solución.

Esa es una cantidad posible que podría comprar. También podría comprar 3/4 libras de pavo. Y 1, 2, 3, 4 libras de carne de res que funcionaría también porque está en mi región de solución. Cualquier cantidad de libras de carne de res y pavo, incluso si son fraccionales, me daría soluciones a este sistema de desigualdades siempre que los puntos se encuentren dentro de la región de esa solución.

Así que este fue un gran problema verbal intimidante y tuve que usar muchas habilidades matemáticas diferentes, pero es realmente aplicable a la vida real, especialmente si eres alguien que se dedica al marketing en el futuro, esto aún te ayudará a realizar un seguimiento de cómo cuánto puede gastar en diferentes artículos para su tienda o su negocio o lo que sea.


Resolver sistemas de desigualdades y dibujar intervalos en una recta numérica.

La solución a una desigualdad lineal es un intervalo, que también es cierto o sistemas de desigualdades, pero la solución es el intervalo que es común a ambas desigualdades. El procedimiento es el siguiente: resuelve ambas desigualdades y luego busca su intersección, que es la solución del sistema de desigualdades.

Ejemplo 1. Resuelve el sistema de desigualdades lineales.

Resuelve desigualdades individualmente.

La solución de esta desigualdad es el intervalo $ [1, + infty & gt $, que se representa gráficamente:

La solución de la segunda desigualdad:

La solución al sistema de las dos desigualdades dadas es la intersección de $ [1, + infty & gt $ y lt- infty, 4 & gt $, que es $ [1, 4 & gt $.

Ejemplo 2. ¿Qué pasaría si modificamos un poco este sistema? Si tenemos un sistema:

La primera desigualdad es la misma, también lo es su solución: $ [1, + infty & gt $.

Pero la segunda desigualdad cambió, encontremos su solución.

Tenemos el intervalo lt- infty, 0 & gt $. Dibujemos estos dos intervalos.

De la imagen podemos concluir que estos dos intervalos no tienen intersección, lo que significa que este sistema de desigualdades no tiene soluciones.

Ejemplo 3. Resuelve la desigualdad:

Si esto fuera una igualdad, multiplicaríamos la expresión por $ (x + 2) $, sin embargo, no podemos & # 8217t hacer esto aquí. Cuando la desigualdad se multiplica por un número negativo, el signo de desigualdad cambia. Dado que $ (x + 2) $ es positivo para todo $ x $ estrictamente mayor que 2, y negativo para todo $ x $ estrictamente menor que 2. Por eso este problema se considera el sistema de desigualdades. Para resolver esta desigualdad, debemos resolver ambos:

La condición es $ x + 2 & gt 0 $ o $ x & gt-2 $. Estas dos desigualdades forman un sistema de desigualdades. Dibujemos estas soluciones en una recta numérica:

La solución de este caso es el intervalo lt-2, - frac <4> <4> & gt $.

La condición es $ x + 2 & lt 0 $ o $ x & lt-2 $.

La solución de este caso es un conjunto vacío o $ conjunto vacío $.

La solución de nuestra desigualdad inicial es la unión de estos dos intervalos:


Resolver sistemas de desigualdades lineales

Paso 1 Resuelve la primera desigualdad para y. Luego grafica la desigualdad.

Para resolver 2x + y & # 8804 -4 para y, reste 2x de ambos lados. El resultado es y & # 8804 - 2x - 4.

Para graficar y & # 8804 - 2x - 4, primero grafica la ecuación y = - 2x - 4.

â € ¢ Grafique la intersección en y (0, -4). Luego usa la pendiente para trazar un segundo punto en (1, -6).

Para la desigualdad y & # 8804 - 2x - 4, el símbolo de desigualdad es "& # 8804". Esto significa "es menor o igual que".

â € ¢ Para representar â € œigual a, â € dibuje una lÃnea continua a travà © s de (0, - 4) y (1, - 6).

â € ¢ Para representar â € œmenos queâ €, sombree la región debajo de la lÃnea.

Paso 2 Resuelve la segunda desigualdad para y. Luego grafica la desigualdad.

Para resolver 6x + 3y & gt 0 para y, haga lo siguiente:

Resta 6x de ambos lados. 3 años y gt - 6x + 0

Divida ambos lados entre 3. y & gt - 2x + 0

Para graficar y & gt - 2x + 0, primero grafica la ecuación y = 2x + 0.

â € ¢ Grafique la intersección en y (0, 0). Luego usa la pendiente`` para trazar un segundo punto en (1, -2).

Para la desigualdad y & gt - 2x, el símbolo de desigualdad es "& gt". Esto significa "es mayor que".

â € ¢ Dado que el sÃmbolo de desigualdad â € œ & gtâ € no contiene â € œigual a, â € dibuje una lÃnea de puntos a travà © s de (0, 0) y (1, -2).

â € ¢ Para representar â € œmayor queâ €, sombree la región por encima de la lÃnea.

Paso 3 Sombree la región donde se superponen los dos gráficos.

Las regiones sombreadas no se superponen.

Entonces el sistema de desigualdades no tiene solución.

Grafica el sistema de desigualdades.

Paso 1 Resuelve la primera desigualdad para y. Después gráfica.

Se muestra la gráfica de y & # 8804 x + 5.

Paso 2 Resuelve la segunda desigualdad para y. Después gráfica.

Se muestra la gráfica de y & lt x - 3.

Paso 3 Sombree la región donde se superponen los dos gráficos. La solución es la región debajo de la línea y = x - 3 ya que es donde las gráficas se superponen.

La solución de los sistemas es la región oscura donde se superpone el gráfico.

Dado el siguiente sistema de desigualdades lineales:

B. Encuentra las coordenadas de tres puntos que satisfacen las cuatro desigualdades.

C. Encuentra los puntos de intersección de cada par de líneas correspondientes.

D. Encuentre el área de la región cuyos puntos son la solución del sistema.

un. Grafica cada desigualdad y sombrea la región donde se superponen los gráficos.

B. Cada punto de la región sombreada es una solución del sistema. Por ejemplo, (0, 0), (-2, 1) y (-4, 1) satisfacen el sistema.


Ejemplo 1 - Problema verbal de sistemas de desigualdades

Sarah vende pulseras y aretes para ganar dinero para las vacaciones de verano. Las pulseras cuestan $ 2 y los pendientes cuestan $ 3. Ella necesita ganar al menos $ 500.

  • Escribe una desigualdad para representar el ingreso de las joyas vendidas.
  • Sarah sabe que verá más de 50 pulseras. Escribe una desigualdad para representar esta situación.
  • Grafica las dos desigualdades y sombrea la intersección.
  • Identifica una solución. ¿Cuántas pulseras y aretes puede vender Sarah?

Solución

Paso 1: Resalte la información importante en el problema.

Sarah vende pulseras y aretes para ganar dinero para las vacaciones de verano. Las pulseras cuestan $ 2 y los pendientes cuestan $ 3. Ella necesita ganar al menos $ 500.

Paso 2: Identifica tus variables. & # Xa0 Piensa en lo que no sabes y necesitas saber para resolver el problema.

Sea x = el número de pulseras vendidas.

Sea y = la cantidad de aretes vendidos.

Paso 3: Escribe una desigualdad para representar el ingreso de las joyas vendidas.

Así es como se me ocurrió esta desigualdad.

Paso 4: Sarah sabe que venderá más de 50 pulseras. Escribe una desigualdad para representar esta situación.

Paso 5: Grafica las dos desigualdades y sombrea la intersección.

Para la mayoría de los problemas del mundo real, será más fácil graficar las desigualdades usando las intersecciones xey. Asegúrese de escalar su cuadrícula para que ambas desigualdades se puedan representar gráficamente en la misma cuadrícula.

A continuación, se ofrecen algunos consejos que le ayudarán a resolver los problemas planteados.


Trabajo colaborativo: crea tu propio sistema de desigualdades lineales

Los estudiantes continúan trabajando en pequeños grupos en Trabajo colaborativo para la siguiente sección, pero ahora cambiamos a una habilidad de pensamiento de orden superior de creación para la lección. En este momento, quiero que la mayoría de los estudiantes se sientan cómodos dibujando y sombreando sistemas de desigualdades. Si este no es el caso, volvería a enseñar y revisaría uno o dos problemas de ejemplo adicionales para brindar más apoyo a toda la clase o diferenciar la instrucción según las necesidades de los estudiantes individuales.

Dicho esto, en el futuro, cada grupo tiene la tarea de crear un escenario que pueda ser modelado por un sistema. Solo requiero que al menos una de las funciones en el sistema sea una desigualdad porque quiero equilibrar la necesidad de practicar la habilidad con permitir la creatividad y darles a los estudiantes la oportunidad de pensar si cierta regla o parámetro de un escenario está mejor modelado con una ecuación o una desigualdad.

La tarea se puede completar con papel y lápiz, con tecnología o con un equilibrio entre los dos. Personalmente, me gusta proporcionar a cada grupo dos ipads: uno para centrarse en crear el gráfico y capturar el sistema que grafican, y otro para escribir explicaciones y el razonamiento del grupo. Usando una tecnología como Google Drive puede ser útil para hacer que el proceso de compartir el trabajo entre los miembros del grupo y el maestro sea más eficiente y manejable.