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10.2: Funciones trigonométricas de un ángulo agudo


Considere un triángulo rectángulo ( triangle , ABC ), con el ángulo recto en (C ) y con longitudes (a ), (b ) y (c ), como en la figura A la derecha. Para el ángulo agudo (A ), llame al cateto ( overline {BC} ) su lado opuesto, y llamar a la pierna ( overline {AC} ) su lado adyacente. Recuerda que la hipotenusa del triángulo es el lado ( overline {AB} ). Las proporciones de los lados de un triángulo rectángulo ocurren con suficiente frecuencia en aplicaciones prácticas como para justificar sus propios nombres, por lo que definimos el seis funciones trigonométricas de (A ) como sigue:

Cuadro 1.2 Las seis funciones trigonométricas de (A )

Normalmente usaremos los nombres abreviados de las funciones. Observe en la tabla 1.2 que los pares ( sin A ) y ( csc A ), ( cos A ) y ( sec A ), y ( tan A ) y ( cot A ) son recíprocos:

Ejemplo 1.5

Para el triángulo rectángulo ( triángulo , ABC ) que se muestra a la derecha, encuentre los valores de las seis funciones trigonométricas de los ángulos agudos (A ) y (B ).

Solución:

La hipotenusa de ( triangle , ABC ) tiene una longitud (5 ). Para el ángulo (A ), el lado opuesto ( overline {BC} ) tiene una longitud (3 ) y el lado adyacente ( overline {AC} ) tiene una longitud (4 ). Por lo tanto:

[ nonumber sin A ~ = ~ dfrac { text {opuesto}} { text {hipotenusa}} ~ = ~ dfrac {3} {5} qquad qquad
cos A ~ = ~ dfrac { text {adyacente}} { text {hipotenusa}} ~ = ~ dfrac {4} {5} qquad qquad
tan A ~ = ~ dfrac { text {opuesto}} { text {adyacente}} ~ = ~ dfrac {3} {4} ]

[ nonumber csc A ~ = ~ dfrac { text {hipotenusa}} { text {opuesto}} ~ = ~ dfrac {5} {3} qquad qquad
sec A ~ = ~ dfrac { text {hipotenusa}} { text {adyacente}} ~ = ~ dfrac {5} {4} qquad qquad
cot A ~ = ~ dfrac { text {adyacente}} { text {opuesto}} ~ = ~ dfrac {4} {3} ]

Para el ángulo (B ), el lado opuesto ( overline {AC} ) tiene una longitud (4 ) y el lado adyacente ( overline {BC} ) tiene una longitud (3 ). Por lo tanto:

[ sin B ~ = ~ dfrac { text {opuesto}} { text {hipotenusa}} ~ = ~ dfrac {4} {5} qquad qquad
cos B ~ = ~ dfrac { text {adyacente}} { text {hipotenusa}} ~ = ~ dfrac {3} {5} qquad qquad
tan B ~ = ~ dfrac { text {opuesto}} { text {adyacente}} ~ = ~ dfrac {4} {3} ]

[ csc B ~ = ~ dfrac { text {hipotenusa}} { text {opuesto}} ~ = ~ dfrac {5} {4} qquad qquad
sec B ~ = ~ dfrac { text {hipotenusa}} { text {adyacente}} ~ = ~ dfrac {5} {3} qquad qquad
cot B ~ = ~ dfrac { text {adyacente}} { text {opuesto}} ~ = ~ dfrac {3} {4} ]

Observe en el ejemplo 1.5 que no especificamos las unidades para las longitudes. Esto plantea la posibilidad de que nuestras respuestas dependieran de un triángulo de un tamaño físico específico.

Por ejemplo, suponga que dos estudiantes diferentes están leyendo este libro de texto: uno en los Estados Unidos y otro en Alemania. El estudiante estadounidense piensa que las longitudes (3 ), (4 ) y (5 ) del ejemplo 1.5 se miden en pulgadas, mientras que el estudiante alemán piensa que se miden en centímetros. Dado que (1 ) en ( approx ) (2.54 ) cm, los estudiantes están usando triángulos de diferentes tamaños físicos (vea la Figura 1.2.1 a continuación, no dibujados a escala).


Figura 1.2.1: (△ ABC ∼ △ A ′ B ′ C ′ )

Si el triángulo americano es ( triangle , ABC ) y el triángulo alemán es ( triangle , A'B'C '), entonces vemos en la Figura 1.2.1 que ( triangle , ABC ) es similar a ( triangle , A'B'C '), y por lo tanto los ángulos correspondientes son iguales y las proporciones de los lados correspondientes son iguales. De hecho, sabemos que la razón común: los lados de ( triangle , ABC ) son aproximadamente (2.54 ) veces más largos que los lados correspondientes de ( triangle , A'B'C '). Entonces, cuando el estudiante estadounidense calcula ( sin A ) y el estudiante alemán calcula ( sin A '), obtienen la misma respuesta:

[ triángulo , ABC ~ sim ~ triángulo , A'B'C ' quad Rightarrow quad
dfrac {BC} {B'C '} ~ = ~ dfrac {AB} {A'B'} quad Rightarrow quad
dfrac {BC} {AB} ~ = ~ dfrac {B'C '} {A'B'} quad Rightarrow quad sin A ~ = ~ sin A ']

Asimismo, los otros valores de las funciones trigonométricas de (A ) y (A ') son iguales. De hecho, nuestro argumento fue lo suficientemente general como para trabajar con triángulos rectángulos similares. Esto nos lleva a la siguiente conclusión:

Al calcular las funciones trigonométricas de un ángulo agudo (A ), puede usar ninguna triángulo rectángulo que tiene (A ) como uno de los ángulos.

Dado que definimos las funciones trigonométricas en términos de razones de lados, puede pensar que las unidades de medida para esos lados se cancelan en esas razones. Esto significa que los valores de las funciones trigonométricas son números sin unidades. Entonces, cuando el estudiante estadounidense calculó (3/5 ) como el valor de ( sin A ) en el ejemplo 1.5, ese es el mismo que el (3/5 ) que calculó el estudiante alemán, a pesar de las diferencias unidades para las longitudes de los lados.

Ejemplo 1.6

Encuentra los valores de las seis funciones trigonométricas de (45 ^ circ ).

Solución:

Como podemos usar cualquier triángulo rectángulo que tenga (45 ^ circ ) como uno de los ángulos, use el más simple: tome un cuadrado cuyos lados midan todos (1 ) unidad y divídalo por la mitad en diagonal, como en la figura de la derecha. Dado que los dos catetos del triángulo ( triangle , ABC ) tienen la misma longitud, ( triangle , ABC ) es un triángulo isósceles, lo que significa que los ángulos (A ) y (B ) son iguales. Entonces, como (A + B = 90 ^ circ ), esto significa que debemos tener (A = B = 45 ^ circ ). Según el Teorema de Pitágoras, la longitud (c ) de la hipotenusa está dada por

[c ^ 2 ~ = ~ 1 ^ 2 ~ + ~ 1 ^ 2 ~ = ~ 2 quad Flecha derecha quad c ~ = ~ sqrt {2} ~ ]

Entonces, usando el ángulo (A ) obtenemos:

[ sin ; 45 ^ circ ~ = ~ dfrac { text {opuesto}} { text {hipotenusa}} ~ = ~ dfrac {1} { sqrt {2}} quad quad
cos ; 45 ^ circ ~ = ~ dfrac { text {adyacente}} { text {hipotenusa}} ~ = ~ dfrac {1} { sqrt {2}} quad quad
tan ; 45 ^ circ ~ = ~ dfrac { text {opuesto}} { text {adyacente}} ~ = ~ dfrac {1} {1} ~ = ~ 1 ]

[ csc ; 45 ^ circ ~ = ~ dfrac { text {hipotenusa}} { text {opuesto}} ~ = ~ sqrt {2} quad quad
sec ; 45 ^ circ ~ = ~ dfrac { text {hipotenusa}} { text {adyacente}} ~ = ~ sqrt {2} quad quad
cot ; 45 ^ circ ~ = ~ dfrac { text {adyacente}} { text {opuesto}} ~ = ~ dfrac {1} {1} ~ = ~ 1 ]

Tenga en cuenta que habríamos obtenido las mismas respuestas si hubiéramos utilizado cualquier triángulo rectángulo similar a ( triangle , ABC ). Por ejemplo, si multiplicamos cada lado de ( triangle , ABC ) por ( sqrt {2} ), entonces tendríamos un triángulo similar con catetos de longitud ( sqrt {2} ) y hipotenusa de longitud (2 ). Esto nos daría ( sin 45 ^ circ = frac { sqrt {2}} {2} ), que es igual a ( frac { sqrt {2}} { sqrt {2} cdot sqrt {2}} = frac {1} { sqrt {2}} ) como antes. Lo mismo ocurre con las demás funciones.

Ejemplo 1.7

Encuentra los valores de las seis funciones trigonométricas de (60 ^ circ ).

Solución:

Dado que podemos usar cualquier triángulo rectángulo que tenga (60 ^ circ ) como uno de los ángulos, usaremos uno simple: tome un triángulo cuyos lados midan todos (2 ) unidades y divídalo por la mitad entre dibujando la bisectriz de un vértice al lado opuesto, como en la figura de la derecha. Dado que el triángulo original era un triángulo equilátero (es decir, los tres lados tenían la misma longitud), sus tres ángulos eran todos iguales, es decir, (60 ^ circ ). Recuerde de la geometría elemental que la bisectriz del ángulo del vértice de un triángulo equilátero a su lado opuesto biseca tanto el ángulo del vértice como el lado opuesto. Entonces, como en la figura de la derecha, el triángulo ( triangle , ABC ) tiene un ángulo (A = 60 ^ circ ) y un ángulo (B = 30 ^ circ ), que fuerza el ángulo (C ) sea (90 ^ circ ). Por lo tanto, ( triangle , ABC ) es un triángulo rectángulo. Vemos que la hipotenusa tiene una longitud (c = AB = 2 ) y el cateto ( overline {AC} ) tiene una longitud (b = AC = 1 ). Según el Teorema de Pitágoras, la longitud (a ) del cateto ( overline {BC} ) está dada por

[a ^ 2 ~ + ~ b ^ 2 ~ = ~ c ^ 2 quad Flecha derecha quad a ^ 2 ~ = ~ 2 ^ 2 ~ - ~ 1 ^ 2 ~ = ~ 3
quad Flecha derecha quad a ~ = ~ sqrt {3} ~. ]

Entonces, usando el ángulo (A ) obtenemos:

[ sin 60 ^ circ ; = ; dfrac { text {opuesto}} { text {hipotenusa}} ; = ; dfrac { sqrt {3}} {2} qquad
cos 60 ^ circ ; = ; dfrac { text {adyacente}} { text {hipotenusa}} ; = ; dfrac {1} {2} qquad
tan 60 ^ circ ; = ; dfrac { text {opuesto}} { text {adyacente}} ; = ; dfrac { sqrt {3}} {1} , = ,
sqrt {3} ]

[ csc 60 ^ circ ; = ; dfrac { text {hipotenusa}} { text {opuesto}} ; = ; dfrac {2} { sqrt {3}} qquad
sec 60 ^ circ ; = ; dfrac { text {hipotenusa}} { text {adyacente}} ; = ; 2 qquad
cot 60 ^ circ ; = ; dfrac { text {adyacente}} { text {opuesto}} ; = ;
dfrac {1} { sqrt {3}} ~ quad quad ]

Observe que, como beneficio adicional, obtenemos los valores de las seis funciones trigonométricas de (30 ^ circ ), usando el ángulo (B = 30 ^ circ ) en el mismo triángulo ( triangle , ABC ) encima:

[ sin 30 ^ circ ; = ; dfrac { text {opuesto}} { text {hipotenusa}} ; = ; dfrac {1} {2} qquad
cos 30 ^ circ ; = ; dfrac { text {adyacente}} { text {hipotenusa}} ; = ; dfrac { sqrt {3}} {2} qquad
tan 30 ^ circ ; = ; dfrac { text {opuesto}} { text {adyacente}} ; = ;
dfrac {1} { sqrt {3}} quad quad ]

[ csc 30 ^ circ ; = ; dfrac { text {hipotenusa}} { text {opuesto}} ; = ; 2 qquad
sec 30 ^ circ ; = ; dfrac { text {hipotenusa}} { text {adyacente}} ; = ; dfrac {2} { sqrt {3}} qquad
cot 30 ^ circ ; = ; dfrac { text {adyacente}} { text {opuesto}} ; = ;
dfrac { sqrt {3}} {1} ; = ; sqrt {3} ]

Ejemplo 1.8

(A ) es un ángulo agudo tal que ( sin A = frac {2} {3} ). Encuentra los valores de las otras funciones trigonométricas de (A ).

Solución:

En general ayuda dibujar un triángulo rectángulo para resolver problemas de este tipo. La razón es que las funciones trigonométricas se definieron en términos de razones de lados de un triángulo rectángulo, y ya se le da una de esas funciones (el seno, en este caso) en términos de una razón: ( sin ; A = frac {2} {3} ). Dado que ( sin ; A ) se define como ( frac { text {opuesto}} { text {hipotenusa}} ), use (2 ) como la longitud del lado opuesto a (A ) y use (3 ) como la longitud de la hipotenusa en un triángulo rectángulo ( triangle , ABC ) (vea la figura anterior), de modo que ( sin ; A = frac {2} {3} ). El lado adyacente a (A ) tiene una longitud desconocida (b ), pero podemos usar el Teorema de Pitágoras para encontrarlo:

[2 ^ 2 ~ + ~ b ^ 2 ~ = ~ 3 ^ 2 quad Rightarrow quad b ^ 2 ~ = ~ 9 ~ - ~ 4 ~ = ~ 5 quad Rightarrow quad
b ~ = ~ sqrt {5} ]

Ahora sabemos las longitudes de todos los lados del triángulo ( triangle , ABC ), por lo que tenemos:

[ cos ; A ; = ; dfrac { text {adyacente}} { text {hipotenusa}} ; = ; dfrac { sqrt {5}} {3} qquad
tan ; A ; = ; dfrac { text {opuesto}} { text {adyacente}} ; = ;
dfrac {2} { sqrt {5}} quad quad ]

[ csc ; A ; = ; dfrac { text {hipotenusa}} { text {opuesto}} ; = ; dfrac {3} {2} qquad
sec ; A ; = ; dfrac { text {hipotenusa}} { text {adyacente}} ; = ; dfrac {3} { sqrt {5}} qquad
cot ; A ; = ; dfrac { text {adyacente}} { text {opuesto}} ; = ; dfrac { sqrt {5}} {2} ]

Es posible que haya notado las conexiones entre el seno y el coseno, la secante y la cosecante, y la tangente y la cotangente de los ángulos complementarios en los ejemplos 1.5 y 1.7. Generalizar esos ejemplos nos da el siguiente teorema:

Teorema 1.2 Teorema de cofunción

Si (A ) y (B ) son los ángulos agudos complementarios en un triángulo rectángulo ( triangle , ABC ), entonces se cumplen las siguientes relaciones:

[ sin ; A ~ = ~ cos ; B qquad qquad sec ; A ~ = ~ csc ; B qquad qquad tan ; A ~ = ~ cot ; B ]

[ sin ; B ~ = ~ cos ; A qquad qquad sec ; B ~ = ~ csc ; A qquad qquad tan ; B ~ = ~ cot ; A ]

Decimos que los pares de funciones ( lbrace ; sin, cos ; rbrace ), ( lbrace ; sec, csc ; rbrace ) y ( lbrace ; tan, cot ; rbrace ) son ( textbf {cofunciones} ).

Entonces seno y coseno son cofunciones, secante y cosecante son cofunciones, y tangente y cotangente son cofunciones. Así es como las funciones coseno, cosecante y cotangente obtuvieron el "co" en sus nombres. El teorema de la cofunción dice que cualquier función trigonométrica de un ángulo agudo es igual a su cofunción del ángulo complementario.

Ejemplo 1.9

Escribe cada uno de los siguientes números como funciones trigonométricas de un ángulo menor que (45 ^ circ: textbf {(a)} sin ; 65 ^ circ; textbf {(b)} cos ; 78 ^ circ; textbf {(c)} tan ; 59 ^ circ ).

Solución

( textbf {(a)} ) El complemento de (65 ^ circ ) es (90 ^ circ - 65 ^ circ = 25 ^ circ ) y la cofunción de ( sin ) es ( cos ), entonces por el Teorema de la cofunción sabemos que ( sin ; 65 ^ circ = cos ; 25 ^ circ ).

( textbf {(b)} ) El complemento de (78 ^ circ ) es (90 ^ circ - 78 ^ circ = 12 ^ circ ) y la cofunción de ( cos ) es ( sin ), entonces ( cos ; 78 ^ circ = sin ; 12 ^ circ ).

( textbf {(c)} ) El complemento de (59 ^ circ ) es (90 ^ circ - 59 ^ circ = 31 ^ circ ) y la cofunción de ( tan ) es ( cot ), entonces ( tan ; 59 ^ circ = cot ; 31 ^ circ ).

Los ángulos (30 ^ circ ), (45 ^ circ ) y (60 ^ circ ) surgen a menudo en las aplicaciones. Podemos usar el Teorema de Pitágoras para generalizar los triángulos rectángulos en los Ejemplos 1.6 y 1.7 y ver qué ninguna (45-45-90 ) y (30-60-90 ) se ven como triángulos rectángulos, como en la Figura 1.2.2 anterior.

Ejemplo 1.10

Encuentra el seno, el coseno y la tangente de (75 ^ circ ).

Solución

Dado que (75 ^ circ = 45 ^ circ + 30 ^ circ ), coloca un (30-60-90 ) triángulo rectángulo ( triangle , ADB ) con catetos de longitud ( sqrt {3} ) y (1 ) encima de la hipotenusa de un (45-45-90 ) triángulo rectángulo ( triangle , ABC ) cuya hipotenusa tiene la longitud ( sqrt {3} ), como en la figura de la derecha. De la figura 1.2.2 (a) sabemos que la longitud de cada cateto de ( triangle , ABC ) es la longitud de la hipotenusa dividida por ( sqrt {2} ). Entonces (AC = BC = frac { sqrt {3}} { sqrt {2}} = sqrt { frac {3} {2}} ). Dibuja ( overline {DE} ) perpendicular a ( overline {AC} ), de modo que ( triangle , ADE ) sea un triángulo rectángulo. Dado que ( angle , BAC = 45 ^ circ ) y ( angle , DAB = 30 ^ circ ), vemos que ( angle , DAE = 75 ^ circ ) ya que es la suma de esos dos ángulos. Por lo tanto, necesitamos encontrar el seno, el coseno y la tangente de ( angle , DAE ).

Observa que ( angle , ADE = 15 ^ circ ), ya que es el complemento de ( angle , DAE ). Y ( angle , ADB = 60 ^ circ ), ya que es el complemento de ( angle , DAB ). Dibuja ( overline {BF} ) perpendicular a ( overline {DE} ), de modo que ( triangle , DFB ) sea un triángulo rectángulo. Entonces ( angle , BDF = 45 ^ circ ), ya que es la diferencia de ( angle , ADB = 60 ^ circ ) y ( angle , ADE = 15 ^ circ ). Además, ( angle , DBF = 45 ^ circ ) ya que es el complemento de ( angle , BDF ). La hipotenusa ( overline {BD} ) de ( triangle , DFB ) tiene una longitud (1 ) y ( triangle , DFB ) es una (45-45-90 ) derecha triángulo, entonces sabemos que (DF = FB = frac {1} { sqrt {2}} ).

Ahora, sabemos que ( overline {DE} perp overline {AC} ) y ( overline {BC} perp overline {AC} ), entonces ( overline {FE} ) y ( overline {BC} ) son paralelos. Del mismo modo, ( overline {FB} ) y ( overline {EC} ) son perpendiculares a ( overline {DE} ) y, por tanto, ( overline {FB} ) es paralelo a ( overline {EC} ). Por lo tanto, (FBCE ) es un rectángulo, ya que ( angle , BCE ) es un ángulo recto. Entonces (EC = FB = frac {1} { sqrt {2}} ) y (FE = BC = sqrt { frac {3} {2}} ). Por eso,

[DE ~ = ~ DF ~ + ~ FE ~ = ~ tfrac {1} { sqrt {2}} ~ + ~ sqrt { tfrac {3} {2}} ~ = ~ tfrac { sqrt { 3} ~ + ~ 1} { sqrt {2}}
quad text {y} quad
AE ~ = ~ AC ~ - ~ EC ~ = ~ sqrt { tfrac {3} {2}} ~ - ~ tfrac {1} { sqrt {2}} ~ = ~ tfrac { sqrt {3} ~ - ~ 1} { sqrt {2}}
~. ~ text {Por lo tanto,} ]

[ sin ; 75 ^ circ = tfrac {DE} {AD} = tfrac { frac { sqrt {3} + 1} { sqrt {2}}} {2} =
tfrac { sqrt {6} + sqrt {2}} {4} ~, ~ cos ; 75 ^ circ = tfrac {AE} {AD} =
tfrac { frac { sqrt {3} - 1} { sqrt {2}}} {2} = tfrac { sqrt {6} - sqrt {2}} {4}
~, ~ text {y} ~ tan ; 75 ^ circ =
tfrac {DE} {AE} = tfrac { frac { sqrt {3} + 1} { sqrt {2}}} { frac { sqrt {3} - 1} { sqrt {2}} } =
tfrac { sqrt {6} + sqrt {2}} { sqrt {6} - sqrt {2}} ~. ]

Nota: Tomando recíprocos, obtenemos ( csc ; 75 ^ circ = frac {4} { sqrt {6} + sqrt {2}} ), ( sec ; 75 ^ circ = frac {4} { sqrt {6} - sqrt {2}} ) y ( cot ; 75 ^ circ = frac { sqrt {6} - sqrt {2}} { sqrt {6} + sqrt {2}} ).


Definiciones de las funciones trigonométricasde un ángulo agudo

ANTES DE DEFINIR LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS, debemos ver cómo relacionar los ángulos y los lados de un triángulo rectángulo.

Un triángulo rectángulo se compone de un ángulo recto, el ángulo en C y dos ángulos agudos, que son ángulos menores que un ángulo recto. Es convencional etiquetar los ángulos agudos con letras griegas. Rotularemos el ángulo en B con la letra & theta ("THAY-ta"). Y etiquetaremos el ángulo en A con la letra & phi ("fie").

En cuanto a los lados, el lado AB, opuesto al ángulo recto, se llama hipotenusa ("hy-POT'n-yoos"). Cada ángulo agudo está formado por la hipotenusa y el lado adyacente al ángulo. Por lo tanto, el ángulo & theta está formado por la hipotenusa y el lado BC. El ángulo & phi está formado por la hipotenusa y el lado AC.

Sin embargo, con respecto al ángulo y theta, el lado AC es su lado opuesto. Mientras que el lado BC es el lado opuesto a & phi.

Cualquiera de los dos lados del triángulo tendrá una relación, una relación, entre sí. Es posible formar seis de tales relaciones: la relación del lado opuesto a la hipotenusa, el lado adyacente a la hipotenusa y así sucesivamente. Esas seis proporciones tienen nombres históricos y abreviaturas, con las que el alumno deberá hacer las paces. Son los siguientes.

seno de & theta = pecado y theta = opuesto
hipotenusa
cosecante de & theta = csc y ​​theta = hipotenusa
opuesto
coseno de & theta = cos & theta = adyacente
hipotenusa
secante de & theta = sec y theta = hipotenusa
adyacente
tangente de & theta = bronceado y theta = opuesto
adyacente
cotangente de & theta = cuna y theta = adyacente
opuesto

Observe que cada razón en la columna de la derecha es la inversa, o recíproca, de la razón en la columna de la izquierda.

El recíproco de sin & theta es csc & theta y viceversa.

El recíproco de cos & theta es sec & theta.

Y el recíproco de tan & theta es cot & theta.

Además, cada relación es función del ángulo agudo. Es decir, una cantidad es una "función" de otra si su valor depende del valor de la otra. La circunferencia de un círculo es una función del radio, porque el tamaño de la circunferencia depende del tamaño del radio, y cuando el radio cambia, la circunferencia también cambiará. Como veremos en el próximo tema, el valor de cada razón depende solo del valor del ángulo agudo. Por eso decimos que esas relaciones son funciones del ángulo agudo. Las llamamos funciones trigonométricas de un ángulo agudo. Toda la trigonometría se basa en las definiciones de esas funciones.

Problema 1. Complete lo siguiente con "opuesto", "adyacente a" o "hipotenusa".

Para ver la respuesta, pase el mouse sobre el área coloreada.
Para cubrir la respuesta nuevamente, haga clic en "Actualizar" ("Recargar").

a) En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto se llama

b) CA se llama el lado opuesto al ángulo & theta.

c) BC se denomina lado adyacente al ángulo & theta.

d) AC se denomina lado adyacente al ángulo & phi.

e) BC se denomina ángulo del lado opuesto & phi.

Problema 2. Los lados de un triángulo rectángulo tienen una proporción de 3: 4: 5, como se muestra. Nombrar y evaluar las seis funciones trigonométricas de ángulo y theta.

pecado y theta = 4
5
csc y ​​theta = 5
4
cos & theta = 3
5
sec y theta = 5
3
bronceado y theta = 4
3
cuna y theta = 3
4

Problema 3. Los lados de un triángulo rectángulo tienen una razón de 8: 15: 17, como se muestra. Nombra y evalúa las seis funciones trigonométricas de ángulo & phi.

pecado y phi = 15
17
csc y ​​phi = 17
15
cos y phi = 8
17
sec y phi = 17
8
bronceado y phi = 15
8
cuna y phi = 8
15

Observe que los lados de este triángulo satisfacen, como deben, el teorema de Pitágoras:

8 2 + 15 2 = 17 2
64 + 225 = 289

Problema 4. Una línea recta forma un ángulo y theta con el eje x. El valor

¿De qué función de & theta es igual a su pendiente?

Teorema 1. El área de un triángulo. El área de un triángulo es igual a la mitad del seno de cualquier ángulo por el producto de los dos lados que forman el ángulo.

Área del triángulo ABC = & frac12 sin A bc = & frac12 cb sin A.

El área de un triángulo es igual a la mitad de la base por la altura. En el triángulo ABC, sea la base cy la altura h. Luego

Por lo tanto, en la expresión del Área, reemplace h con b sin A:

Que es lo que queríamos demostrar.

Teorema 2. La razón de las áreas de triángulos semejantes.

Triángulos similares son entre sí como los cuadrados dibujados
en sus lados correspondientes.

Cuando los triángulos son similares, entonces por cualquier factor que cambie el lado a, los lados byc cambiarán por ese mismo factor. Proporcionalmente,

Por lo tanto, de acuerdo con el Teorema 1, el área del triángulo de la izquierda tiene la siguiente relación con el triángulo de la derecha:

Pero las áreas de los cuadrados en los lados correspondientes tienen la misma proporción.

Por lo tanto, los triángulos similares son entre sí como los cuadrados dibujados en sus lados correspondientes.

Que es lo que queríamos demostrar.

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Funciones trigonométricas de un ángulo agudo

Considere un triángulo rectángulo △A B C, con el ángulo recto en C y con longitudes a, B, y C, como en la figura de la derecha. Para el ángulo agudo A, llama a la pierna ( overline) su lado opuestoy llamar a la pierna ( overline) su lado adyacente. La hipotenusa del triángulo es el lado ( overline). Las proporciones de los lados de un triángulo rectángulo ocurren con suficiente frecuencia en aplicaciones prácticas como para justificar sus propios nombres, por lo que definimos los seis funciones trigonométricas de A como sigue:

Tabla 1.2 Las seis funciones trigonométricas de A

Nombre de la funciónAbreviaturaDefinición
$ texto A $$ sin A $$ frac < text> < texto> = frac$
$ texto A $$ cos A $$ frac < text> < texto> = frac$
$ texto A $$ tan A $$ frac < text> < texto> = frac$
$ texto A $$ csc A $$ frac < text> < texto> = frac$
$ texto A $$ seg A $$ frac < text> < texto> = frac$
$ texto A $$ cuna A $$ frac < text> < texto> = frac$

Normalmente usaremos los nombres abreviados de las funciones. Observe en la tabla 1.2 que los pares pecanA y cscA, porqueA y segAy bronceadoA y cunaA son recíprocos:

$ cscA = frac <1>$$ seg A = frac <1>$$ cotA = frac <1>$
$ sinA = frac <1>$$ cos A = frac <1>$$ tanA = frac <1>$

Ejemplo 1

Para el triángulo rectángulo △A B C que se muestra a la derecha, encuentre los valores de las seis funciones trigonométricas de los ángulos agudos A y B.

Solución: La hipotenusa de △A B C tiene longitud 5. Para ángulo A, el lado opuesto ( overline) tiene una longitud 3 y el lado adyacente ( overline) tiene una longitud de 4. Por lo tanto:

$ sinA = frac < text> < texto> = frac <3> <5> $$ cosA = frac < text> < texto> = frac <4> <5> $$ tanA = frac < text> < texto> = frac <3> <4> $
$ cscA = frac < text> < texto> = frac <5> <3> $$ secA = frac < text> < texto> = frac <5> <4> $$ cotA = frac < text> < texto> = frac <4> <3> $

Para el ángulo B, el lado opuesto ( overline) tiene una longitud de 4 y el lado adyacente ( overline) tiene una longitud de 3. Por lo tanto:

$ sinB = frac < text> < texto> = frac <4> <5> $$ cosB = frac < text> < texto> = frac <3> <5> $$ tanB = frac < text> < texto> = frac <4> <3> $
$ cscB = frac < text> < texto> = frac <5> <4> $$ secB = frac < text> < texto> = frac <5> <3> $$ cotB = frac < text> < texto> = frac <3> <4> $

Observe en el Ejemplo 1 que no especificamos las unidades para las longitudes. Esto plantea la posibilidad de que nuestras respuestas dependieran de un triángulo de un tamaño físico específico. Por ejemplo, suponga que dos estudiantes diferentes están leyendo este artículo: uno en los Estados Unidos y otro en Alemania. El estudiante estadounidense piensa que las longitudes 3, 4 y 5 del ejemplo 1 se miden en pulgadas, mientras que el estudiante alemán piensa que se miden en centímetros. Dado que 1 pulg. ≈ 2,54 cm, los estudiantes están usando triángulos de diferentes tamaños físicos (consulte la Figura 3, 4, 5 a continuación, no dibujados a escala).

Si el triángulo americano es △A B C y el triángulo alemán es △A B C', luego vemos en la Figura 3, 4 y 5 que △A B C es similar a △A B C', y por lo tanto los ángulos correspondientes son iguales y las proporciones de los lados correspondientes son iguales. De hecho, es posible que conozca esa razón común: los lados de △A B C son aproximadamente 2,54 veces más largos que los lados correspondientes de △A B C'. Entonces, cuando el estudiante estadounidense calcula el pecado A y el estudiante alemán calcula el pecado A', obtienen la misma respuesta:

$ △ ABC ∼ △ A′B′C ′ ⇒ frac = frac ⇒ frac = frac ⇒ sin A = sin A ′ $

Asimismo, los otros valores de las funciones trigonométricas de A y A' son lo mismo. De hecho, nuestro argumento fue lo suficientemente general como para trabajar con triángulos rectángulos similares. Esto nos lleva a la siguiente conclusión:

Al calcular las funciones trigonométricas de un ángulo agudo A, puedes utilizar ninguna triángulo rectángulo que tiene A como uno de los ángulos.

Dado que definimos las funciones trigonométricas en términos de razones de lados, puede pensar que las unidades de medida para esos lados se cancelan en esas razones. Esto significa que los valores de las funciones trigonométricas son números sin unidades. Entonces, cuando el estudiante estadounidense calculó 3/5 como el valor del pecado A en el Ejemplo 1, es igual al 3/5 que calculó el estudiante alemán, a pesar de las diferentes unidades para las longitudes de los lados.

Encuentra los valores de las seis funciones trigonométricas de 45º.

Solución: Como podemos usar cualquier triángulo rectángulo que tenga 45º como uno de los ángulos, use el más simple: tome un cuadrado cuyos lados tengan 1 unidad de largo y divídalo por la mitad en diagonal, como en la figura de la derecha. Dado que los dos catetos del triángulo △A B C tienen la misma longitud, △A B C es un triángulo isósceles, lo que significa que los ángulos A y B son iguales. Así que desde A +B = 90º, esto significa que debemos tener A = B = 45º. Según el teorema de Pitágoras, la longitud C de la hipotenusa viene dada por

Por lo tanto, usando el ángulo A obtenemos:

$ sin45 ^ circ = frac < text> < texto> = frac <1> < sqrt <2>> $$ cos45 ^ circ = frac < text> < texto> = frac <1> < sqrt <2>> $$ tan45 ^ circ = frac < text> < texto> = frac <1> <1> = 1 $
$ csc45 ^ circ = frac < text> < texto> = sqrt <2> $$ seg45 ^ circ = frac < text> < texto> = sqrt <2> $$ cot45 ^ circ = frac < text> < texto> = frac <1> <1> = 1 $

Tenga en cuenta que habríamos obtenido las mismas respuestas si hubiéramos utilizado cualquier triángulo rectángulo similar a △A B C. Por ejemplo, si multiplicamos cada lado de △A B C por ( sqrt <2> ), entonces tendríamos un triángulo similar con catetos de longitud ( sqrt <2> ) e hipotenusa de longitud 2. Esto nos daría sin 45º = ( frac < sqrt <2>> <2> ), que es igual a ( frac < sqrt <2>> < sqrt <2> • sqrt <2>> ) = ( frac <1> < sqrt <2>> ) como antes. Lo mismo ocurre con las demás funciones.

Encuentra los valores de las seis funciones trigonométricas de 60º.

Solución: Como podemos usar cualquier triángulo rectángulo que tenga 60º como uno de los ángulos, usaremos uno simple: tome un triángulo cuyos lados midan 2 unidades de largo y divídalo por la mitad dibujando la bisectriz de un vértice al lado opuesto , como en la figura de la derecha. Dado que el triángulo original era un triángulo equilátero (es decir, los tres lados tenían la misma longitud), sus tres ángulos eran todos iguales, es decir, 60º. Recuerde de la geometría elemental que la bisectriz desde el ángulo del vértice de un triángulo equilátero hasta su lado opuesto divide el ángulo del vértice y el lado opuesto. Entonces, como en la figura de la derecha, el triángulo △A B C tiene ángulo A = 60º y ángulo B = 30º, que fuerza el ángulo C ser de 90º. Por lo tanto, △A B C es un triángulo rectángulo. Vemos que la hipotenusa tiene longitud C = AB = 2 y la pierna ( overline) tiene longitud B = C.A. = 1. Según el Teorema de Pitágoras, la longitud a de la pierna ( overline) es dado por

$ a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 ⇒ a ^ 2 = 2 ^ 2-1 ^ 2 = 3 ⇒ a = sqrt <3>. PS

Por lo tanto, usando el ángulo A obtenemos:

$ sin60 ^ circ = frac < text> < texto> = frac < sqrt <3>> <2> $$ cos60 ^ circ = frac < text> < texto> = frac <1> <2> $$ tan60 ^ circ = frac < text> < texto> = frac < sqrt <3>> <1> = sqrt <3> $
$ csc60 ^ circ = frac < text> < texto> = frac <2> < sqrt <3>> $$ seg60 ^ circ = frac < text> < texto> = 2$$ cot60 ^ circ = frac < text> < texto> = frac <1> < sqrt <3>> $

Observe que, como beneficio adicional, obtenemos los valores de las seis funciones trigonométricas de 30º, usando el ángulo B = 30º en el mismo triángulo △A B C encima:

$ sin30 ^ circ = frac < text> < texto> = frac <1> <2> $$ cos30 ^ circ = frac < text> < texto> = frac < sqrt <3>> <2> $$ tan30 ^ circ = frac < text> < texto> = frac <1> < sqrt <3>> $
$ csc30 ^ circ = frac < text> < texto> = <2>$$ seg30 ^ circ = frac < text> < texto> = frac <2> < sqrt <3>> $$ cot30 ^ circ = frac < text> < texto> = frac < sqrt <3>> <1> $

A es un ángulo agudo tal que el pecado A = ( frac <2> <3> ). Encuentre los valores de las otras funciones trigonométricas de A.

Solución: En general ayuda dibujar un triángulo rectángulo para resolver problemas de este tipo. La razón es que las funciones trigonométricas se definieron en términos de razones de lados de un triángulo rectángulo, y ya se le da una de esas funciones (el seno, en este caso) en términos de una razón: sin A = ( frac <2> <3> ). Desde el pecado A se define como ( frac ), use 2 como la longitud del lado opuesto A y usa 3 como la longitud de la hipotenusa en un triángulo rectángulo △A B C (ver la figura de arriba), para que el pecado A = ( frac <2> <3> ). El lado adyacente a A tiene una longitud desconocida B, pero podemos usar el Teorema de Pitágoras para encontrarlo:

$ 2 ^ 2 + b ^ 2 = 3 ^ 2 ⇒ b ^ 2 = 9 - 4 = 5 ⇒ b = sqrt <5> $

Ahora sabemos las longitudes de todos los lados del triángulo △A B C, entonces tenemos:

$ cosA = frac < text> < texto> = frac < sqrt <5>> <3> $$ tanA = frac < text> < texto> = frac <2> < sqrt <5>> $

$ cscA = frac < text> < texto> = frac <3> <2> $$ secA = frac < text> < texto> = frac <3> < sqrt <5>> $$ cotA = frac < text> < texto> = frac < sqrt <5>> <2> $

Es posible que haya notado las conexiones entre el seno y el coseno, la secante y la cosecante, y la tangente y la cotangente de los ángulos complementarios en los Ejemplos 1 y 3. La generalización de esos ejemplos nos da el siguiente teorema:

Teorema de la confusión Si A y B son los ángulos agudos complementarios en un triángulo rectángulo △A B C, entonces se mantienen las siguientes relaciones:

$ sin A = cos B $$ seg A = csc B $$ tan A = cuna B $
$ sin B = cos A $$ seg B = csc A $$ tan B = cuna A $

Decimos que los pares de funciones , y son cofunciones.

Entonces, seno y coseno son cofunciones, secante y cosecante son cofunciones, y tangente y cotangente son cofunciones. Así es como las funciones coseno, cosecante y cotangente obtuvieron el "co" en sus nombres. El teorema de la cofunción dice que cualquier función trigonométrica de un ángulo agudo es igual a su cofunción del ángulo complementario.

Escribe cada uno de los siguientes números como funciones trigonométricas de un ángulo menor a 45º: (a) sin 65º (b) cos 78º (c) tan 59º.

Solución: (a) El complemento de 65º es 90º −65º = 25º y la cofunción de sin es cos, por lo que por el Teorema de la Cofunción sabemos que sin 65º = cos 25º. (b) El complemento de 78º es 90º −78º = 12º y la cofunción de cos es sin, entonces cos 78º = sin 12º. (c) El complemento de 59º es 90º −59º = 31º y la función de tan es cot, entonces tan 59º = cot 31º.

Los ángulos de 30º, 45º y 60º surgen a menudo en las aplicaciones. Podemos usar el Teorema de Pitágoras para generalizar los triángulos rectángulos en los Ejemplos 2 y 3 y ver cómo se ven los triángulos rectángulos 45-45-90 y 30-60-90, como en las Figuras 9 y 10 anteriores.

Ejemplo 6

Halla el seno, el coseno y la tangente de 75º.

Solución: Como 75º = 45º + 30º, coloca un triángulo rectángulo 30−60−90 △ADB con catetos de longitud ( sqrt <3> ) y 1 encima de la hipotenusa de un triángulo rectángulo 45−45−90 △A B C cuya hipotenusa tiene longitud ( sqrt <3> ), como en la figura de la derecha. De la Figura 9 sabemos que la longitud de cada cateto de △A B C es la longitud de la hipotenusa dividida por ( sqrt <2> ). Entonces C.A. = antes de Cristo = ( frac < sqrt <3>> < sqrt <2>> = sqrt < frac <3> <2>> ). Dibujar ( overline) perpendicular a ( overline), de modo que △ADE es un triángulo rectángulo. Dado que ( angle )BAC = 45º y ( ángulo )LENGUADO = 30º, vemos que ( angle )DAE = 75º ya que es la suma de esos dos ángulos. Por lo tanto, necesitamos encontrar el seno, el coseno y la tangente de ( angle )DAE.

Note que ( angle )ADE = 15º, ya que es el complemento de ( angle )DAE. Y ( ángulo )ADB = 60º, ya que es el complemento de ( angle )LENGUADO. Dibujar ( overline) perpendicular a ( overline), de modo que △DFB es un triángulo rectángulo. Entonces ( angle )BDF = 45º, ya que es la diferencia de ( angle )ADB = 60º y ( ángulo )ADE = 15º. Además, ( angle )DBF = 45º ya que es el complemento de ( angle )BDF. La hipotenusa ( overline) de △DFB tiene longitud 1 y △DFB es un triángulo rectángulo 45−45−90, por lo que sabemos que DF = pensión completa = ( frac <1> < sqrt <2>> ).

Ahora, sabemos que ( overline ⊥ overline y overline ⊥ overline), entonces ( overline) y ( overline) son paralelos. Del mismo modo, ( overline) y ( overline) son perpendiculares a ( overline) y por lo tanto ( overline) es paralelo a ( overline). Por lo tanto, FBCE es un rectángulo, ya que ( angle )AEC es un ángulo recto. Entonces CE = pensión completa = ( frac <1> < sqrt <2>> ) y FE = antes de Cristo = ( sqrt < frac <3> <2 >> ). Por eso,

Note: Taking reciprocals, we get csc 75º = (frac<4>+ sqrt<2>>), sec 75º = (frac<4>− sqrt<2>>) , and cot 75º = (frac− sqrt<2>>+ sqrt<2>>).


Problemas

Problema 1
Given the right triangle below, find
sin A, cos A, tan A, sec A, csc A and cot A.

Solution to Problem 1:
First we need to find the hypotenuse using Pythagora's theorem.
(hypotenuse) 2 = 8 2 + 6 2 = 100
and hypotenuse = 10
We now use the definitions of the six trigonometric ratios given above to find sin A, cos A, tan A, sec A, csc A and cot A.
sin A = side opposite angle A / hypotenuse = 8 / 10 = 4 / 5
cos (A) = side adjacent to angle A / hypotenuse = 6 / 10 = 3 / 5
tan (A) = side opposite angle A / side adjacent to angle A
= 8 / 6 = 4 / 3
sec (A) = hypotenuse / side adjacent to angle A = 10 / 6
= 5 / 3
csc (A) = hypotenuse / side opposite to angle A
= 10 / 8 = 5 / 4
cot (A) = side adjacent to angle A / side opposite angle A
= 6 / 8 = 3 / 4

Problem 2
Find c in the figure below.

Solution to Problem 2:
We are given angle A and the side opposite to it with c the hypotenuse. The sine ratio gives a relationship between the angle, the side opposite to it and the hypotenuse as follows
sin A = opposite / hypotenuse
Angle A and opposite side are known, hence
sin 31 o = 5.12 / c
Solve for c
c = 5.12 / sin 31 o
and use a calculator to obtain
c (approximately) = 9.94

Problem 4
Find the exact values of x and y.

Problem 5
If x is an acute angle and tan x = 5, find the exact value of the trigonometric functions sin x and cos x.
Solution to Problem 5:
If tan x = opposite / adjacent = 5 = 5 / 1, then we can say that opposite = 5 and adjacent = 1 and find the hypotenuse using Pythagora's theorem.
(hypotenuse) 2 = adjacent 2 + opposite 2
(hypotenuse) 2 = 1 2 + 5 2
hypotenuse = √ (26)
We now use trigonometric ratios to find
sin x = opposite / hypotenuse = 5 / √ (26)
cos x = adjacent / hypotenuse = 1 / √ (26)


Definiciones:

The abbreviations stand for sine, cosine, tangent, cotangent, secant and cosecant of A respectively. These functions of angle A are called trigonometrical functions o trigonometrical ratios.

Trigonometrical functions of any angle: Let A be a given angle with specified initial ray. We introduce rectangular coordinate system in the plane with the vertex of angle A as the origin and the initial ray of angle A as the positive ray of the X-eje. We choose any point P on the terminal ray of angle A. Let the coordinates of P be (X, y) and its distance from the origin be r, then we define

These quantities are functions of the angle A alone. They do not dependon the choice of the point P and the terminal ray for if we choose a different point P’ (X‘, y‘) on the terminal ray of A at a distance r‘ from the origin, it is clear that X‘ and y‘ will have the same sign as those of X y y respectively and because of similar and , , , , etc. will be equal to , , , respectively (r being always positive).

Also any trigonometrical function of an angle is equal to the same trigonometrical function of any angle , where norte is any integer since all these angles will have the same terminal ray.

For example, . After the coordinates system has been introduced, the plane is divided into four quadrants. An angle is said to be in that quadrant in which its terminal ray lies. For positive acute angles this definition gives the same result as in case of a right angled triangles since X y y are both positive for any point in the first quadrant and consequently are the length of base and perpendicular of the angle A.

  1. In 1st quadrant , , , , , are all positive as X, y are positive.
  2. In 2nd quadrant X is negative and y is positive therefore, only and are positive.
  3. In 3rd quadrant both X y y are negative, therefore only and are positive.
  4. In 4th quadrant X is positive and y is negative, therefore only and are positive.

Determining the Value of Trigonometric Functions

1. Determine the values of the six trigonometric functions.

The point ((-3, 4)) is a point on the terminal side of an angle in standard position. Determine the values of the six trigonometric functions of the angle.

Notice that the angle is more than 90 degrees, and that the terminal side of the angle lies in the second quadrant. This will influence the signs of the trigonometric functions.

Figure (PageIndex<4>)

Notice that the value of (r) depends on the coordinates of the given point. You can always find the value of (r) using the Pythagorean Theorem. However, often we look at angles in a circle with radius 1. As you can see, doing this allows us to simplify the definitions of the trig functions.

2. Use the unit circle above to find the value of (cos 90^)

The ordered pair for this angle is (0, 1). The cosine value is the (x) coordinate, .

3. Use the unit circle above to find the value of (cot 180^)

The ordered pair for this angle is (-1, 0). The ratio (dfrac) is (dfrac<&minus1><0>), which is undefined.

Earlier, you were asked if you can actually calculate (sin 150^).

Since you now know that it is possible to apply trigonometric functions to angles greater than (90^), you can calculate the (sin 150^). The easiest way to do this without difficulty is to consider that an angle of (150^) is in the same position as (30^), except it's in the second quadrant. This means that it has the same "(x)" and "(y)" values as (30^), except that the "x" value is negative.

Figure (PageIndex<5>)

to answer the following examples.

Find (cos heta) on the circle above.

We can see from the "(x)" and "(y)" axes that the "(x)" coordinate is (&minusdfrac><2>), the "(y)" coordinate is (dfrac<1><2>), and the hypotenuse has a length of 1. This means that the cosine function is:

Find cot heta on the circle above.

Find csc heta on the circle above.

We know that (mathrm=dfrac<1>=dfrac<1>>< ext < hypotenuse >>>=dfrac< ext < hypotenuse >>< ext < opposite >>). The opposite side to ( heta) in the circle is (dfrac<1><2>) and the hypotenuse is 1. Therefore,


10.2: Trigonometric Functions of an Acute Angle

Evaluating trigonometric functions of "special" angles given in radian measure.

4-2 Trigonometry of Acute Angles - pt 3 (Watch before Day #22 lesson)

"Study Guide" for upcoming assessment

For assessment on Chapters 4.1-4.2:

  • Know the relationship between angle, arc length, and radius
  • Apply that relationship in "word problems" involving racetracks, etc.
  • Convert angle measure between radian and degree
  • Determine the six trigonometric functions for a right triangle, given two side lengths
  • Solve all unknown lengths and angles of a right triangle, given one side length and one angle
  • "Clever algebra" to fund the sum, difference, product, sum of squares, etc. of two unknown numbers. We spent a good deal of "Do Now" time on this one day. In addition to those questions, here are some more "clever algebra" practice questions and solutions.
  • Apply basic right-triangle trigonometry to find the missing lengths of a given shape similar to the following handout you received in class.


Will I Have to Find the Measure of an Angle?

The short answer is: no, you won't be asked to find exact measure of an angle degree using trigonometry. The longer answer is: no, you won't be asked to find the measure of an angle, but it's important to know it's done.

To get the actual degree measure of theta (Θ), you would have to perform an inverse (also called "arc") function. This would transform your equation from, for example:

Although you will never be asked to find the $arctan$, $arcsin$, or $arccos$ of an angle to solve for the actual angle measure degree, it is important for you to understand how these equations are manipulated to get to the right ACT answer.

Because we know that $tan^<−1>(a/b)$ is the arctan, we know that it means we can re-write it as $tan‌Θ=a/b$

We also know that $tan‌Θ=opposite/adjacent$

This means that, for the angle $Θ$, a is the opposite and B is the adjacent.

We also know that $cos‌Θ=adjacent/hypoteneuse$

Because we already discovered that B is the adjacent, it means that the answer is D, $b/<√(a^2+b^2)>$


Trigonometry Formulas, Basics, Ratios and Functions with Angles

Trigonometry Formulas, Basics, Ratios, this is a branch of mathematics deals with the relationship between angles and sides of triangles with the help of basic trigonometric functions.

What are the Basics for understanding and Learning of Easy Trigonometry?

Trigonometry All Formulas

Measurement of Angles in Trigonometry Formulas

This system is also known as “circular system”.

The relation between Degree and Radian

  • Example: What is the radian value of 60 °?Respuesta: According to above formula
    60° = 60 x ?/180= ?/3 radian.
  • Example: What is the degree measurement value of 4 ? /2 radian?Respuesta: According to formula
    4?/2 radian
    = 4?/2 x 180/?
    =360°

Trigonometric Ratios in Trigonometry Formula Tables

Pythagoras theorem = Hypotenuse² = Base² + Perpendicular²

Reciprocal relations of Trigonometric Ratios

Trigonometric Ratios for Specific Angle Values – Trigonometry Formulas

Trigonometric Identities (sin, cos, tan formulas and rules) – Trigonometry Table

3. cosec² A – cot² A = 1 (or) cosec² A = 1+ cot² A (or) cot² A = cosec² A -1

Basic Trigonometric Function Formula and Signs with all formulas of Trigonometry

  • sin (?/2 – θ) = cos θ
    sin (?/2 + θ) = cos θ
  • cos (?/2 – θ) = sin θ
    cos (?/2 + θ) = -sin θ
  • tan (?/2 – θ) = cot θ
    tan (?/2 + θ) = -cot θ
  • cosec (?/2 – θ) = sec θ
    cosec (?/2 + θ) = sec θ
  • sec (?/2 – θ) = cosec θ
    sec (?/2 + θ) = -cosec θ
  • cot (?/2 – θ) = tan θ
    cot (?/2 + θ) = -tan θ
  • sin (? – θ) = sin θ
    sin (? + θ) = -sin θ
  • cos (? – θ) = -cos θ
    cos (? + θ) = -cos θ
  • tan (? – θ) = -tan θ
    tan (? + θ) = tan θ
  • cosec (? – θ) = cosec θ
    cosec (? + θ) = -cosec θ
  • sec (? – θ) = -sec θ
    sec (? + θ) = -sec θ
  • cot (? – θ) = cot θ
    cot (? + θ) = cot θ
  • sin (-x) = – sin x
  • cos (-x) = cos x
  • tan (-x) = -tan x
  • cosec (-x) = -cosec x
  • sec(-x) = sec x
  • cot (-x) = -cot x

Changing of functions as follows for (90+θ) and (270+θ)
sin θ ↔ cos θ
tan θ ↔ cot θ
cosec θ ↔ sec θ
and functions not changed for (180+θ) and (360+θ ).

Trigonometric Ratios of Combined Angles – Basic Trigonometry Formulas

Important sin and cos Rules – Trigonometry Formula Tables

Important sin, cos and tan values – Trigonometry Table

  • If sin x = 0 (or) tan x =0, then x = n?
  • if cos x = 0 (or) cot x = 0, then x = (2n+1)?/2
  • sin 22½ ° = √2 -√2/2
  • tan 22½ ° = (whole√2 +√2)/2
  • tan 22½° = √2 -1
  • cot 22½° = √2 +1
  • sin 18° = cos 72° = √5 -1 /4
  • cos 18° = sin 72° = (whole√10+2√5)/4
  • sin 36° = cos 54°= (whole√10-2√5)/4
  • cos 36° = sin 54°= √5+1 /4

Frequently asked sin, cos and tan values in Exams – Trigonometry Formulas

  • tan 1°. tan 2°………..tan 89° = 1
  • cot 1°. cot 2°………..cot 89° =1
  • cos 1°. cos 2°. cos 3°….cos 90° =0
  • cos 1°. cos 2°. cos 3°….(above cos 90°)… =0
  • sin 1°. sin 2°. sin 3°…..sin 180° = 0
  • sin 1°. sin 2°. sin 3°…..(above sin 180°) = 0
  • sin A/cos B = 1, when A+B = 90°
  • tan A tan B = 1 = cot A.cot B, when A+B = 90°

Maximum and Minimum values of Trigonometric Angles – Trigonometry Formulas

  • -1 ≤ sin θ (or) cosθ ≤ 1
  • -∞ ≤ tan θ (or) cot θ ≤ 1
  • sec θ or cosec θ ≥ 1
  • sec θ or cosec θ ≤ -1

Maximum and Minimum values of Trigonometric Expressions- Trigonometry Formulas

Trigonometric Formulae – Height and Distance concepts

1. Line of sight,




Concept 2:
If the angles of depression of two ships from the top of a lighthouse are ɑ° and ?°. If the ships are “d” m apart then find the height of the lighthouse. Here formula for height
height = broncearseɑ. broncearse? x distance
broncearseɑ + tan?





Concept 3:
From the top of cliff with height (h), the angle of depression of the top and bottom of a tower observed to be θ1 and θ2 respectively, the height of the tower(m)

Height (h)= m cot θ1/cot θ2-cot θ1
Distance (x) = m /tan θ1 – tan θ2


10.2: Trigonometric Functions of an Acute Angle

RIGHT ANGLES: angles that measure 90-degrees. A right angle is often shown with a small square drawn in the corner of the angle.

Now, we are going to look at the other three basic Trigonometric Functions:

cosecant (csc) secant(sec) cotangent(cot)

csc θ = hypotenuse

cot θ = adjacent

- Notice that the sin, cos, and tan are reciprocals of the csc , sec, and cot respectively.

Therefore, the following are true:

csc θ = _ 1__ segundo θ = 1__ _ cot θ = 1 ___

pecado θ porque θ broncearse θ

OTHER IMPORTANT INFORMATION:

  1. The sum of the angles of any triangle is 180-degrees.
  1. The sum of the two acute angles of the right triangle is 90-degrees.
  1. A triangle without a right angle (an ‘oblique triangle’) can be worked with by first creating two right triangles. Working from the known values, the two triangles can be solved and results combined to give the desired angles and sides of the oblique triangle.
  2. The Trigonometric Functions are: , another way of remembering this information is as follows: .

If sin θ = 4­_ or 0.8 , then find the other five trig. function values.

- we can use the Pythagorean Thm. to find the missing leg. The opposite leg must be 4 and the hypotenuse is 5 so,

(adj.leg) 2 + 4 2 = 5 2 and adj. leg = 3

- cos θ = 3 _ tan θ = 4_ csc θ = 5_ sec θ = 5_ cot θ = 3_

or 0.6 or 1.3333 or 1.25 or 1.6667 or 0.75

- Inverses of the basic trig. functions are used when you know the value of the trig. function but you would like to know the measure of the angle that goes with it. (symbol for inverse is -1 )

sin -1 (½) = 30° because the sin 30° = ½

Solving a Right Triangle if you know the measures of any two sides of a right triangle or the measure of any one side and one of the acute angles, you can find all the missing measures. This is called solving the right triangle.

If a = 10 “ and Angle B = 35°, then solve the right triangle.

Step 1 tan 35° = B_ , 0.7002 = B_ , b = 7.0”

Step 2 90° - 35° = 55° , Angle A = 55°

Step 3 cos 35° = 10_ , 0.8192 = 10_ , c = 12.2”

or 10 2 + 7.0 2 = c 2 , √ 149 = c , c = 12.2”

Angle A = 55° Angle B = 35° Angle C = 90°

If b = 6 cm and c = 13 cm , then solve the right triangle.

Step 1 a 2 + 6 2 = 13 2 , a 2 + 36 = 169 , a = √133 , a = 11.5 cm

Step 2 sin -1 6_ = Angle B , Angle B = 27.5°

Step 3 90° - 27.5° = 62.5° , Angle A = 62.5°

a = 11.5 cm b = 6 cm c = 13 cm

Angle A = 62.5° Angle B = 27.5° Angle C = 90°

Nota: There is usually more than one way to solve a right triangle. You may want to go back and redo the two examples using different steps. The answers should stay the same.


Ver el vídeo: Ecuaciones paramétricas 3 (Octubre 2021).