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4.3: Serie infinita de constantes - Matemáticas


4.3: Serie infinita de constantes - Matemáticas

Charla: Lista de constantes matemáticas

Todas las constantes aquí parecen tener al menos 1 fuente secundaria que le da un nombre a cada constante, la referencia (s) es independiente del nombre o homónimo. Espero que esto ayude. Marvin Ray Burns (charla) 23:31, 17 de febrero de 2015 (UTC)

La constante de Tetranacci se define como una raíz particular de un determinado polinomio con coeficientes enteros. Eso debería hacer que la constante sea algebraica. Los números trascendentales son precisamente aquellos reales, que no son raíz de ningún polinomio con coeficientes racionales. Saludos cordiales Slubbert Slamberti (charla) 18:04, 28 de enero de 2015 (UTC)

Slubbert, La página no dice que la constante Tetranacci es trascendental, dice que tiene "T" como símbolo. Marvin Ray Burns (charla) 23:41, 17 de febrero de 2015 (UTC)

Hay un pequeño error en la definición de la constante de Viswanath, se dice que es un cierto límite donde unnorte = Secuencia de Fibonacci, pero, de acuerdo con la entrada de Wolfram MathWorld [1], es un cierto límite que se obtiene de una secuencia aleatoria similar a Fibonacci con probabilidad uno. Además, la enorte: s en la constante de Vardi deben explicarse (parecen ser la secuencia de Sylvester). K9re11 (charla) 14:17, 12 de agosto de 2015 (UTC)

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Las nociones tipo Journal of Smarandache son una referencia falsa. Además, el enlace [19] va al artículo de la serie Fourier de Eric Weinstein, no a esa supuesta Enciclopedia. Véase también Florentin Smarandache en el siguiente enlace: [2]

¿Algún comentario? Mdob (charla) 18:47, 21 de junio de 2018 (UTC)

Estimados a todos, Me gustaría mover la columna de "gráficos" a que se elimine, ya que no agrega mucha información útil y desordena la página. Saludos, Jam Jamgoodman (charla) 13:47, 31 de marzo de 2019 (UTC)

Solo una idea para pensar: agregan una definición muy rápida de la constante o de qué se trata la constante. Por lo tanto, uno no tiene que hacer clic en un enlace y leer nada para obtener su primera impresión. El gráfico también sirve como una forma rápida de reconocer la constante, que podría ser más fácil que recordar el nombre. Marvin Ray Burns (charla) 04:26, 1 de abril de 2019 (UTC) Gracias por la respuesta, @Marburns:. Supongo que tienes razón en que puede ser útil para una interpretación visual rápida pero aún así, sin una leyenda, muchos de ellos son inútiles. Además, sigo pensando que la página está demasiado abarrotada. Creo que un gráfico oculto por defecto (en el que los usuarios hacen clic para expandir) y la eliminación de la "expansión decimal con formato web" (que no agrega información útil) ordenarían adecuadamente la página. Jamgoodman (charla) 20:54, 11 de abril de 2019 ( UTC) PS. He arreglado el formato deficiente de la tabla: hacía imposible la edición y significaba que 4 entradas habían estado ocultas en su interior durante años. También eliminé la columna 'formato web' ya que no agregaba información útil y solo reafirmaba la primera columna. Los datos de esta columna se pueden recuperar fácilmente de la primera columna.

El criterio de inclusión es que la constante debe haberse utilizado en al menos una fuente publicada. Pero, ¿qué pasa con el área de un círculo con radio r = 4? o r = 7? o r = 8? Todos estos círculos se han utilizado innumerables veces en fuentes publicadas, pero no están incluidos. ¿Qué pasa con los enteros arbitrarios: 194 o 182? ¿O valores arbitrarios de funciones comunes: sin (1) y tan (1/2)? Estos también se han utilizado en muchas fuentes publicadas, pero no figuran en la lista. Sin tener una razón de buena fe para incluir o excluir constantes, esta lista casi no tiene sentido. Propongo las siguientes opciones:

  • La lista debe excluir elementos si son múltiplos triviales, recíprocos o combinaciones de otros elementos.. ¿Es realmente necesario incluir 1 π < displaystyle < frac <1> < pi >>> si ya hemos incluido π < displaystyle pi>?
  • La lista debe excluir valores específicos de funciones., como ζ (2) < displaystyle zeta (2)> o log ⁡ (3) < displaystyle log (3)>. Estos valores se pueden incluir en las propias páginas de esas funciones. Para aclarar, me refiero a valores que primero surgió con esas funciones. No estoy sugiriendo excluir π < displaystyle pi> de la lista solo porque es un (múltiplo de) un valor de arctan ⁡ (x)
  • Se aumente el número de fuentes publicadas necesarias para su inclusión. Si realmente incluimos todos número que se haya publicado alguna vez, la lista continuaría para siempre.
  • La lista se dividirá en artículos separados según las características de los números.. Por ejemplo, listas de constantes trascendentales, lista de series infinitas, etc. Jamgoodman (charla) 21:37, 11 de abril de 2019 (UTC)

La mesa realmente no debería desbordarse. Contiene demasiadas entradas en filas y columnas. Propongo que la tabla se divida en filas por 'año de descubrimiento' y que algunas de sus columnas (como fracción continua y 'fórmula de wolframio') se muevan a artículos separados o simplemente se eliminen por completo. Si la tabla contiene demasiada información para ser navegable, se vuelve inútil

Hice una lista de mejoras que creo que se pueden hacer en el artículo y me gustaría escuchar las opiniones de otros usuarios. Si no escucho objeciones para mayo, las implementaré:

  • Ordenando las mesas
    • 1. Convertir los enlaces OEIS en referencias en línea y ponerlos por expansión decimal de los números. Esto se debe a que la columna no agrega información directa, es solo un enlace en el que se puede hacer clic y que funcionaría igual de bien que un enlace en otra columna.
    • 2. Eliminando la sección de código Wolfram Alpha. Esta columna es esencialmente una reiteración de la columna Fórmula.
    • 3. Convirtiendo la columna 'Figura' en una galería al final de cada tabla. Solo unas pocas constantes derivadas de geometría / geometría analítica tendrán cifras relevantes que se pueden interpretar fácilmente. Para la gran mayoría de las entradas del artículo, no tiene figura o no tiene sentido sin una leyenda. Cualquier figura complicada será imposible de interpretar sin una leyenda suficientemente descriptiva.
    • 1. Convertir todas las constantes en notas a pie de página si son modificaciones meramente triviales. Por ejemplo, 1 / pi, 1 / e, 1 / (2 * pi), etc. Estos no son lo suficientemente diferentes de la constante original para ser realmente de alguna nota en particular.
    • 2. La mitad de las fórmulas enumeradas en el artículo son formas completamente complicadas de expresar la constante. ¿Por qué la raíz cuadrada de (5) se representa como una suma de exponenciales complejos? Eso es absolutamente ridículo. Llamar a las cosas por su nombre. Claramente, la raíz cuadrada (5) es la x tal que x ^ 2 = 5.
    • 3. Configure una lista de criterios para que las entradas a seguir se incluyan en el artículo. Por ejemplo, si (1) se les da un nombre, (2) son suficientemente notables (3) no son modificaciones triviales de otras constantes, etc. Sin esto, ninguna La constante que alguna vez se ha utilizado en un artículo publicado se incluiría en la tabla, lo cual es una estupidez. La lista tendría 100.000 entradas. Wikipedia no es un directorio, es un sitio para artículos sobre Incapaz cosas. Sin embargo, reconozco que este criterio de "notabilidad", como con todas las cosas en Wikipedia, requerirá juicios subjetivos. Por lo tanto, propongo que las constantes en el artículo sean examinadas por su notoriedad y eliminadas si no son lo suficientemente notables.

    No estoy seguro de qué constantes merecen ser incluidas en este artículo, pero hay una que me gusta y que falta. Es del artículo de 1936 de Einar Hille Un problema en "Factorisatio Numerorum". Un número entero positivo se puede factorizar en el producto de números enteros mayores que 1 de varias formas. Por ejemplo, 12 se puede escribir de ocho formas distintas cuando el orden de los factores importa: 12 = 6 × 2 = 4 × 3 = 3 × 4 = 3 × 2 × 2 = 2 × 6 = 2 × 3 × 2 = 2 × 2 × 3. En algunos casos, un gran número norte se puede escribir en norte ρ formas donde ρ = ζ −1 (2) ≈ 1,72 y ζ −1 es la inversa de la función zeta de Riemann. Esta es la constante que me gustaría ver. 165.156.39.49 (conversación) 14:44, 17 de junio de 2019 (UTC)

    Hola, 165.156.39.49. Esta es una buena sugerencia, pero el consenso sobre el artículo es solo agregar constantes que tienen artículos. Esto es para frenar la posibilidad de agregar miles de constantes posiblemente notables a la página. Entonces, la inversa de la función zeta de Riemann en 2 aún no se ajusta a ese criterio. En el futuro, no es una mala idea ser audaz con sus ediciones y hacer cualquier cambio que crea necesario: WP: BOLD. Las páginas como esta pueden estancarse si no suelen tener modificaciones. Buscar en los archivos de las páginas de discusión las discusiones sobre los cambios que le gustaría proponer y ser audaz con las ediciones que cree que son útiles puede ser una excelente manera de promover la mejora del artículo. Jamgoodman (charla) 15:09, 17 de junio de 2019 (UTC) ¿Ha considerado agregarlo a Valores particulares del artículo de la función zeta de Riemann (al que acabo de vincular en el Ver también)? NeilOnWiki (charla) 13:39, 21 de marzo de 2021 (UTC)

    Si cree que ha detectado un error, sea audaz y hágalo: realice el cambio que considere oportuno. Sin que las personas agreguen citas o eliminen contenido poco confiable, la página se estancará y propagará información errónea. Si puede encontrar una cita para esa serie, agréguela. Si no parece haber uno, no dude en eliminarlo de la página. Jamgoodman (charla) 17:19, 9 de junio de 2020 (UTC)

    En primer lugar, me gustaría felicitar a @Deacon Vorbis :, @ XOR'easter: y @Joel B. Lewis: por su ayuda en la limpieza de este artículo. Era un desastre total antes del año pasado y me tomó muchas horas desmontarlo y quitar las pelusas. Creo que para un artículo como este, es fácil llenarlo con ejemplos insignificantes, ya que hay demasiadas constantes para incluirlas en un solo artículo. He detallado en (una sección anterior de esta página de discusión) mis sugerencias de criterios para que las constantes sean lo suficientemente notables como para ser incluidas.

    La razón por la que clasifiqué el artículo por una columna de "Año (de descubrimiento)" fue para agrupar las constantes "iguales" (p. Ej., Pi frente a 2pi). Ordenar el artículo por valor de las constantes significa que estas dos constantes estarían muy separadas a pesar de su obvia similitud (lo que dificultaba la eliminación de duplicados como estos). Además, debe haber una forma de dividir la página y no tener una lista ridículamente larga (por ejemplo, por períodos de tiempo). Sin embargo, el año del descubrimiento de muchas de las constantes aquí no se puede encontrar fácilmente, por lo que recurrí a incluir la fecha más temprana que pude encontrar de su mención (en todos estos casos, había incluido "Antes" con la fecha). Pero esta no es una solución óptima, ya que se basa en investigaciones originales y la fecha más temprana que encuentro puede no estar cerca de la fecha real del descubrimiento.

    Por lo tanto, otra forma de ordenar la página sería alfabéticamente por el nombre de la constante. Sin embargo, esto dependería de eliminar todas las constantes sin nombre. Si la gente pudiera dar su opinión sobre esta decisión o brindar soluciones alternativas, los insto a que contribuyan a la página de discusión. Muchas gracias, Jamgoodman (charla) 19:14, 18 de junio de 2020 (UTC)

    Esto parece una increíble cantidad de trabajo por parte de todos. Personalmente, me gusta el orden cronológico, que da una sensación de desarrollo de ideas y probablemente actúa como un proxy para aumentar el nivel de conocimiento del lector. Si necesito un valor con nombre, puedo hacer fácilmente una búsqueda de cadenas en la página, pero no buscar automáticamente por período de tiempo. Las tablas son (obviamente) muy amplias y me pregunto si valdría la pena dividirlas en dos dentro de cada sección, donde la primera es descriptiva (nombre, símbolo, fórmula, año, conjunto? No estoy seguro de dónde debería ir el conjunto ) y el segundo se basa en valores (nombre, símbolo, valor, fuente (s)). Una columna de fuente (que sospecho que teníamos antes) mantendría la fuente con el valor y proporcionaría acceso con un solo clic, sin una lista larga y separada al final del artículo. Supongo que valdría la pena recibir comentarios de alguien con mucho más conocimiento de la accesibilidad que yo sobre esto, pero espero que este sea el tipo de opinión que buscaba. NeilOnWiki (charla) 14:28, 21 de marzo de 2021 (UTC) Solo me gustaría opinar. Creo que aliviaría muchos de estos problemas si hubiera alguna forma de dividir las constantes por notabilidad de alguna manera. Ashorocetus (hablar | contribuciones) 18:17, 21 de marzo de 2021 (UTC)

    No me gusta la limpieza de este artículo y creo que debería ser una tabla gigante nuevamente ordenada por valor de las constantes. 63.227.221.214 (conversación) 19:54, 24 de mayo de 2021 (UTC)


    Llame a esta suma $ S $. Ahora resta de $ S $ la suma $ frac <1> <4> + frac <1> <4 ^ 2> + frac <1> <4 ^ 3> + cdots. $ Si lo hacemos en el forma obvia, término por término, obtenemos $ frac <1> <4 ^ 2> + frac <2> <4 ^ 3> + frac <3> <4 ^ 4> + cdots. $

    Tenga en cuenta que esta última suma es $ (1/4) S $.

    Poniendo las cosas juntas y usando su cálculo para $ 1 + 1/4 + 1/4 ^ 2 + cdots $ (no del todo, comenzamos en $ 1/4 $) obtenemos $ S- frac <1> <3> = frac<4>. $ Resuelve para $ S $. Encontramos que $ S = 4/9 $.

    Comentario: El cálculo es un poco descuidado, asume que las sumas infinitas pueden manipularse de forma muy similar a las sumas finitas. Allí son teoremas sobre series de potencias que se podrían utilizar para justificar las manipulaciones.

    Pero (en este caso) no necesitamos tales teoremas. Sea $ S_n $ la suma de los términos hasta el término $ n / 4 ^ n $. Se puede usar más o menos el mismo tipo de cálculo que el que hice para encontrar una fórmula explícita para $ S_n $. Entonces podemos calcular $ lim_S_n $, y obtenga una derivación completamente rigurosa.

    Podríamos usar los resultados del cálculo de $ sum n / 4 ^ n $ para abordar $ sum n ^ 2/4 ^ n $, y así sucesivamente. ¡Pero el enfoque de derivados es ciertamente más hábil!


    La siguiente tabla contiene algunas constantes matemáticas importantes:

    Nombre Símbolo Valor Sentido
    Pi, constante de Arquímedes o número de Ludoph π ≈3.141592653589793 Un número trascendental que es la razón entre la longitud de la circunferencia de un círculo y su diámetro. También es el área del círculo unitario.
    E, constante de Napier mi ≈2.718281828459045 Número trascendental que es la base de los logaritmos naturales, a veces llamado "número natural".
    Proporción áurea φ 5 + 1 2 ≈ 1.618 < Displaystyle < frac << sqrt <5>>+1> <2>> approx 1.618> Es el valor de un valor mayor dividido por un valor menor si este es igual al valor de la suma de los valores dividido por el valor mayor.
    Raíz cuadrada de 2, constante de Pitágoras 2 < Displaystyle < sqrt <2> >> ≈ 1.414 Un número irracional que es la longitud de la diagonal de un cuadrado con lados de longitud 1. Este número no se puede escribir como una fracción.

    La siguiente tabla contiene una lista de constantes y series en matemáticas, con las siguientes columnas:

    • Valor: Valor numérico de la constante.
    • Látex: Fórmula o serie en formato TeX.
    • Fórmula: Para usar en programas como Mathematica o Wolfram Alpha.
    • OEIS: Enlace a la Enciclopedia en línea de secuencias de enteros (OEIS), donde las constantes están disponibles con más detalles.
    • Fracción continua: En la forma simple [al entero frac1, frac2, frac3,. ] (entre paréntesis si es periódico)
    • Escribe:
      • R - Número racional
      • Yo - número irracional
      • T - Número trascendental
      • C - Número complejo

      Tenga en cuenta que la lista se puede ordenar correspondientemente haciendo clic en el título del encabezado en la parte superior de la tabla.


      Contenido

      El símbolo utilizado por los matemáticos para representar la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro es la letra griega minúscula π, a veces escrita como Pi, y derivado de la primera letra de la palabra griega perimetros, es decir, circunferencia. [11] En inglés, π se pronuncia como "pie" (/ p aɪ / PY ). [12] En el uso matemático, la letra minúscula π se distingue de su contraparte ampliada y en mayúscula enlar, que denota un producto de una secuencia, análoga a cómo ∑ denota la suma.

      La elección del símbolo π se analiza en la sección Adopción del símbolo π .

      Definición

      π se define comúnmente como la proporción de la circunferencia de un círculo C a su diámetro D : [13] [3]

      El radio C/D es constante, independientemente del tamaño del círculo. Por ejemplo, si un círculo tiene el doble de diámetro que otro círculo, también tendrá el doble de circunferencia, conservando la relación C/D . Esta definición de π utiliza implícitamente la geometría plana (euclidiana), aunque la noción de círculo puede extenderse a cualquier geometría curva (no euclidiana), estos nuevos círculos ya no satisfarán la fórmula π = C/D . [13]

      Aquí, la circunferencia de un círculo es la longitud del arco alrededor del perímetro del círculo, una cantidad que se puede definir formalmente independientemente de la geometría usando límites, un concepto en cálculo. [14] Por ejemplo, se puede calcular directamente la longitud del arco de la mitad superior del círculo unitario, dada en coordenadas cartesianas por la ecuación X 2 + y 2 = 1, como la integral: [15]

      Una integral como esta fue adoptada como la definición de π por Karl Weierstrass, quien la definió directamente como una integral en 1841. [a]

      La integración ya no se usa comúnmente en una primera definición analítica porque, como explica Remmert 2012, el cálculo diferencial típicamente precede al cálculo integral en el currículo universitario, por lo que es deseable tener una definición de π que no se base en este último. Una de esas definiciones, debida a Richard Baltzer [16] y popularizada por Edmund Landau, [17] es la siguiente: π es el doble del número positivo más pequeño en el que la función coseno es igual a 0. [13] [15] [18] El coseno puede definirse independientemente de la geometría como una serie de potencias, [19] o como la solución de una ecuación diferencial. [18]

      En un espíritu similar, π se puede definir usando propiedades del exponencial complejo, exp z , de una variable compleja z . Al igual que el coseno, el exponencial complejo se puede definir de varias formas. El conjunto de números complejos en los que exp z es igual a uno es entonces una progresión aritmética (imaginaria) de la forma:

      y hay un número real positivo único π con esta propiedad. [15] [20]

      Una variación más abstracta de la misma idea, haciendo uso de conceptos matemáticos sofisticados de topología y álgebra, es el siguiente teorema: [21] hay un isomorfismo continuo único (hasta automorfismo) del grupo R/Z de números reales bajo suma módulo entero (el grupo circular), en el grupo multiplicativo de números complejos de valor absoluto uno. El número π se define entonces como la mitad de la magnitud de la derivada de este homomorfismo. [22]

      Irracionalidad y normalidad

      Los dígitos de π no tienen un patrón aparente y han pasado las pruebas de aleatoriedad estadística, incluidas las pruebas de normalidad. Un número de longitud infinita se llama normal cuando todas las secuencias posibles de dígitos (de cualquier longitud dada) aparecen con la misma frecuencia. [25] La conjetura de que π es normal no ha sido probada ni refutada. [25]

      Desde la llegada de las computadoras, ha estado disponible una gran cantidad de dígitos de π para realizar análisis estadísticos. Yasumasa Kanada ha realizado análisis estadísticos detallados en los dígitos decimales de π y los encontró consistentes con la normalidad, por ejemplo, las frecuencias de los diez dígitos del 0 al 9 se sometieron a pruebas de significación estadística y no se encontró evidencia de un patrón. [26] Cualquier secuencia aleatoria de dígitos contiene subsecuencias arbitrariamente largas que parecen no aleatorias, según el teorema del mono infinito. Por lo tanto, debido a que la secuencia de dígitos de π pasa las pruebas estadísticas de aleatoriedad, contiene algunas secuencias de dígitos que pueden parecer no aleatorias, como una secuencia de seis 9 consecutivos que comienza en el lugar decimal 762 de la representación decimal de π. . [27] Esto también se llama el "punto de Feynman" en el folclore matemático, en honor a Richard Feynman, aunque no se conoce ninguna conexión con Feynman.

      Trascendencia

      La trascendencia de π tiene dos consecuencias importantes: Primero, π no se puede expresar usando ninguna combinación finita de números racionales y raíces cuadradas o norte-ésimas raíces (como 3 √ 31 o √ 10). En segundo lugar, dado que no se puede construir ningún número trascendental con compás y regla, no es posible "cuadrar el círculo". En otras palabras, es imposible construir, usando solo el compás y la regla, un cuadrado cuya área sea exactamente igual al área de un círculo dado. [29] La cuadratura de un círculo fue uno de los problemas geométricos importantes de la antigüedad clásica. [30] Los matemáticos aficionados en los tiempos modernos a veces han intentado cuadrar el círculo y reclamar el éxito, a pesar de que es matemáticamente imposible. [31]

      Fracciones continuas

      Como todos los números irracionales, π no se puede representar como una fracción común (también conocida como fracción simple o vulgar), por la definición misma de número irracional (es decir, no un número racional). Pero cada número irracional, incluido π, se puede representar mediante una serie infinita de fracciones anidadas, llamadas fracción continua:

      Truncar la fracción continua en cualquier punto produce una aproximación racional para π, los primeros cuatro de estos son 3, 22/7, 333/106 y 355/113. Estos números se encuentran entre las aproximaciones históricas más conocidas y más utilizadas de la constante. Cada aproximación generada de esta manera es la mejor aproximación racional, es decir, cada una está más cerca de π que cualquier otra fracción con el mismo denominador o uno menor. [32] Debido a que se sabe que π es trascendental, por definición no es algebraico y, por lo tanto, no puede ser un irracional cuadrático. Por lo tanto, π no puede tener una fracción continua periódica. Aunque la fracción continua simple para π (que se muestra arriba) tampoco muestra ningún otro patrón obvio, [33] los matemáticos han descubierto varias fracciones continuas generalizadas que sí lo hacen, como: [34]

      Valor aproximado y dígitos

      • Enteros: 3
      • Fracciones: Las fracciones aproximadas incluyen (en orden creciente de precisión)
      • 22 / 7 ,
      • 333 / 106 ,
      • 355 / 113 ,
      • 52163 / 16604 ,
      • 103993 / 33102 ,
      • 104348/33215 y
      • 245850922/78256779. [32] (La lista incluye términos seleccionados de OEIS: A063674 y OEIS: A063673.)
      • Dígitos: Los primeros 50 dígitos decimales son 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510. [35] (ver OEIS: A000796)

      Dígitos en otros sistemas numéricos

      • Los primeros 48 dígitos binarios (base 2) (llamados bits) son 11.0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0011. (ver OEIS: A004601)
      • Los primeros 20 dígitos en hexadecimal (base 16) son 3.243F 6A88 85A3 08D3 1319. [36] (ver OEIS: A062964)
      • Los primeros cinco dígitos sexagesimales (base 60) son 38,29,44,0,47 [37] (ver OEIS: A060707)

      Números complejos e identidad de Euler

      Cualquier número complejo, digamos z , se puede expresar usando un par de números reales. En el sistema de coordenadas polares, un número (radio o r) se utiliza para representar z la distancia desde el origen del plano complejo, y el otro (ángulo o φ) la rotación en sentido antihorario desde la línea real positiva: [38]

      donde I es la unidad imaginaria que satisface I 2 = −1. La aparición frecuente de π en análisis complejos puede estar relacionada con el comportamiento de la función exponencial de una variable compleja, descrita por la fórmula de Euler: [39]

      donde la constante mi es la base del logaritmo natural. Esta fórmula establece una correspondencia entre potencias imaginarias de mi y puntos en el círculo unitario centrados en el origen del plano complejo. Configuración φ = π en la fórmula de Euler da como resultado la identidad de Euler, celebrada en matemáticas debido a que contiene las cinco constantes matemáticas más importantes: [39] [40]

      Existen norte diferentes números complejos z satisfactorio z norte = 1, y estos se denominan " norte -th raíces de la unidad "[41] y están dadas por la fórmula:

      Antigüedad

      Las aproximaciones más conocidas de π que datan antes de la Era Común tenían una precisión de dos decimales; esto se mejoró en las matemáticas chinas en particular a mediados del primer milenio, con una precisión de siete decimales. Después de esto, no se hicieron más avances hasta finales del período medieval.

      Era de aproximación de polígonos

      El astrónomo persa Jamshīd al-Kāshī produjo 9 dígitos sexagesimales, aproximadamente el equivalente a 16 dígitos decimales, en 1424 usando un polígono con 3 × 2 28 lados, [65] [66] que se mantuvo como el récord mundial durante aproximadamente 180 años. [67] El matemático francés François Viète en 1579 logró 9 dígitos con un polígono de 3 × 2 17 lados. [67] El matemático flamenco Adriaan van Roomen llegó a 15 lugares decimales en 1593. [67] En 1596, el matemático holandés Ludolph van Ceulen alcanzó los 20 dígitos, un récord que luego aumentó a 35 dígitos (como resultado, π fue llamado el "Ludolphian número "en Alemania hasta principios del siglo XX). [68] El científico holandés Willebrord Snellius alcanzó 34 dígitos en 1621, [69] y el astrónomo austríaco Christoph Grienberger llegó a 38 dígitos en 1630 usando 10 40 lados, [70] que sigue siendo la aproximación más precisa lograda manualmente usando algoritmos poligonales. [69]

      Series infinitas

      El cálculo de π fue revolucionado por el desarrollo de técnicas de series infinitas en los siglos XVI y XVII. Una serie infinita es la suma de los términos de una secuencia infinita. [71] Las series infinitas permitieron a los matemáticos calcular π con mucha mayor precisión que Arquímedes y otros que usaban técnicas geométricas. [71] Aunque las series infinitas fueron explotadas para π sobre todo por matemáticos europeos como James Gregory y Gottfried Wilhelm Leibniz, el enfoque se descubrió por primera vez en la India en algún momento entre 1400 y 1500 d. C. [72] [73] La primera descripción escrita de una serie infinita que podría usarse para calcular π fue presentada en verso sánscrito por el astrónomo indio Nilakantha Somayaji en su Tantrasamgraha, alrededor del 1500 d.C. [74] La serie se presenta sin pruebas, pero las pruebas se presentan en una obra india posterior, Yuktibhāṣā, de alrededor de 1530 d.C. Nilakantha atribuye la serie a un matemático indio anterior, Madhava de Sangamagrama, que vivió c. 1350 - c. 1425. [74] Se describen varias series infinitas, incluidas series para seno, tangente y coseno, que ahora se denominan serie de Madhava o serie de Gregory-Leibniz. [74] Madhava usó series infinitas para estimar π a 11 dígitos alrededor de 1400, pero ese valor fue mejorado alrededor de 1430 por el matemático persa Jamshīd al-Kāshī, usando un algoritmo poligonal. [75]

      La primera secuencia infinita descubierta en Europa fue un producto infinito (en lugar de una suma infinita, que se usa más típicamente en los cálculos π) encontrado por el matemático francés François Viète en 1593: [77] [78] [79]

      El descubrimiento del cálculo, por el científico inglés Isaac Newton y el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz en la década de 1660, condujo al desarrollo de muchas series infinitas para aproximar π. El mismo Newton usó una serie de arcosin para calcular una aproximación de 15 dígitos de π en 1665 o 1666, y luego escribió: "Me avergüenza decirle a cuántas cifras llevé estos cálculos, sin tener otros asuntos en ese momento". [76]

      En Europa, la fórmula de Madhava fue redescubierta por el matemático escocés James Gregory en 1671 y por Leibniz en 1674: [80] [81]

      Esta fórmula, la serie de Gregory-Leibniz, es igual a π / 4 cuando se evalúa con z = 1. [81] En 1699, el matemático inglés Abraham Sharp usó la serie de Gregory-Leibniz para z = 1 3 < textstyle z = < frac <1> < sqrt <3> >>> para calcular π a 71 dígitos , rompiendo el récord anterior de 39 dígitos, que se estableció con un algoritmo poligonal. [82] La serie de Gregory-Leibniz para z = 1 < displaystyle z = 1> es simple, pero converge muy lentamente (es decir, se acerca a la respuesta gradualmente), por lo que no se usa en los cálculos de π modernos. [83]

      En 1706, John Machin utilizó la serie Gregory-Leibniz para producir un algoritmo que convergía mucho más rápido: [84]

      Machin alcanzó los 100 dígitos de π con esta fórmula. [85] Otros matemáticos crearon variantes, ahora conocidas como fórmulas tipo Machin, que se utilizaron para establecer varios registros sucesivos para calcular dígitos de π. [85] Las fórmulas tipo Machin siguieron siendo el método más conocido para calcular π hasta bien entrada la era de las computadoras, y se utilizaron para establecer récords durante 250 años, culminando en una aproximación de 620 dígitos en 1946 por Daniel Ferguson: la mejor aproximación lograda sin la ayuda de un dispositivo de cálculo. [86]

      El prodigio calculador Zacharias Dase estableció un récord, quien en 1844 empleó una fórmula similar a Machin para calcular 200 decimales de π en su cabeza a instancias del matemático alemán Carl Friedrich Gauss. [87] El matemático británico William Shanks tardó 15 años en calcular π a 707 dígitos, pero cometió un error en el dígito 528, lo que hizo que todos los dígitos posteriores fueran incorrectos. [87]

      Tasa de convergencia

      Algunas series infinitas para π convergen más rápido que otras. Dada la elección de dos series infinitas para π, los matemáticos generalmente usarán la que converge más rápidamente porque una convergencia más rápida reduce la cantidad de cálculo necesario para calcular π con cualquier precisión dada. [88] Una serie infinita simple para π es la serie de Gregory-Leibniz: [89]

      A medida que se agregan términos individuales de esta serie infinita a la suma, el total se acerca gradualmente a π y, con un número suficiente de términos, puede acercarse tanto a π como se desee. Sin embargo, converge bastante lentamente: después de 500.000 términos, solo produce cinco dígitos decimales correctos de π. [90]

      Una serie infinita para π (publicada por Nilakantha en el siglo XV) que converge más rápidamente que la serie de Gregory-Leibniz es: [91] Nótese que (norte − 1)norte(norte + 1) = norte 3 − norte. [92]

      La siguiente tabla compara las tasas de convergencia de estas dos series:

      Serie infinita para π Después del 1er trimestre Después del segundo trimestre Después del tercer trimestre Después del cuarto trimestre Después del quinto trimestre Converge para:
      π = 4 1 - 4 3 + 4 5 - 4 7 + 4 9 - 4 11 + 4 13 + ⋯ < Displaystyle pi = < frac <4> <1>> - < frac <4> <3> > + < frac <4> <5>> - < frac <4> <7>> + < frac <4> <9>> - < frac <4> <11>> + < frac < 4> <13>> + cdots> 4.0000 2.6666 . 3.4666 . 2.8952 . 3.3396 . π = 3,1415.
      π = 3 + 4 2 × 3 × 4 - 4 4 × 5 × 6 + 4 6 × 7 × 8 + ⋯ < displaystyle pi = <3> + < frac <4> <2 times 3 times 4 >> - < frac <4> <4 times 5 times 6 >> + < frac <4> <6 times 7 times 8 >> + cdots> 3.0000 3.1666 . 3.1333 . 3.1452 . 3.1396 .

      Después de cinco términos, la suma de la serie de Gregory-Leibniz está dentro de 0.2 del valor correcto de π, mientras que la suma de la serie de Nilakantha está dentro de 0.002 del valor correcto de π. La serie de Nilakantha converge más rápido y es más útil para calcular dígitos de π. Las series que convergen aún más rápido incluyen la serie de Machin y la serie de Chudnovsky, esta última produce 14 dígitos decimales correctos por término. [88]

      Irracionalidad y trascendencia

      No todos los avances matemáticos relacionados con π tenían como objetivo aumentar la precisión de las aproximaciones. Cuando Euler resolvió el problema de Basilea en 1735, encontrando el valor exacto de la suma de los cuadrados recíprocos, estableció una conexión entre π y los números primos que más tarde contribuyeron al desarrollo y estudio de la función zeta de Riemann: [93]

      El científico suizo Johann Heinrich Lambert en 1761 demostró que π es irracional, lo que significa que no es igual al cociente de dos números enteros. [23] La demostración de Lambert explotó una representación de fracción continua de la función tangente. [94] El matemático francés Adrien-Marie Legendre demostró en 1794 que π 2 también es irracional. En 1882, el matemático alemán Ferdinand von Lindemann demostró que π es trascendental, [95] confirmando una conjetura hecha por Legendre y Euler. [96] [97] Hardy y Wright afirman que "las pruebas fueron posteriormente modificadas y simplificadas por Hilbert, Hurwitz y otros escritores". [98]

      Adopción del símbolo π

      En los usos más antiguos, la letra griega π era una abreviatura de la palabra griega para periferia (περιφέρεια), [100] y se combinaba en proporciones con δ (para diámetro) o ρ (para radio) para formar constantes circulares. [101] [102] [103] (Antes, los matemáticos a veces usaban letras como C o pag en lugar de. [104]) El primer uso registrado es "δ. Π < displaystyle delta. Pi>" de Oughtred, para expresar la relación entre la periferia y el diámetro en las ediciones de 1647 y posteriores de Clavis Mathematicae. [105] [104] Barrow también usó "π δ < textstyle < frac < pi> < delta >>>" para representar la constante 3.14. [106] mientras que Gregory usó "π ρ < textstyle < frac < pi> < rho >>>" para representar 6.28. . [107] [102]

      El primer uso conocido de la letra griega π solo para representar la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro fue realizado por el matemático galés William Jones en su obra de 1706 Sinopsis Palmariorum Matheseos o, una nueva introducción a las matemáticas. [108] [109] La letra griega aparece por primera vez allí en la frase "1/2 Periferia (π)" en la discusión de un círculo con radio uno. [110] Sin embargo, escribe que sus ecuaciones para π provienen de "la pluma lista del ingenioso Sr. John Machin", lo que lleva a la especulación de que Machin pudo haber empleado la letra griega antes que Jones. [104] La notación de Jones no fue adoptada inmediatamente por otros matemáticos, y la notación de fracción todavía se usaba en 1767. [101] [111]

      Euler comenzó a usar la forma de una sola letra a partir de su 1727 Ensayo que explica las propiedades del aire, aunque usó π = 6.28. , la relación entre el radio y la periferia, en esta y en algunas escrituras posteriores. [112] [113] Euler utilizó por primera vez π = 3,14. en su obra de 1736 Mechanica, [114] y continuó en su obra de 1748 ampliamente leída Introductio en analysin infinitorum (escribió: "en aras de la brevedad, escribiremos este número como π, por lo que π es igual a la mitad de la circunferencia de un círculo de radio 1"). [115] Debido a que Euler mantuvo una gran correspondencia con otros matemáticos en Europa, el uso de la letra griega se extendió rápidamente y la práctica fue adoptada universalmente a partir de entonces en el mundo occidental, [104] aunque la definición todavía variaba entre 3,14. y 6.28. tan tarde como 1761. [116]

      Era informática y algoritmos iterativos

      Entonces una estimación de π viene dada por

      El desarrollo de las computadoras a mediados del siglo XX revolucionó nuevamente la búsqueda de dígitos de π. Los matemáticos John Wrench y Levi Smith alcanzaron los 1.120 dígitos en 1949 usando una calculadora de escritorio. [117] Usando una serie infinita de tangente inversa (arctan), un equipo liderado por George Reitwiesner y John von Neumann ese mismo año logró 2.037 dígitos con un cálculo que tomó 70 horas de tiempo de computadora en la computadora ENIAC.[118] [119] El récord, siempre apoyándose en una serie de arctan, se rompió repetidamente (7.480 dígitos en 1957 10.000 dígitos en 1958 100.000 dígitos en 1961) hasta alcanzar 1 millón de dígitos en 1973. [118]

      Dos desarrollos adicionales alrededor de 1980 aceleraron una vez más la capacidad de calcular π. Primero, el descubrimiento de nuevos algoritmos iterativos para calcular π, que eran mucho más rápidos que las series infinitas y, segundo, la invención de algoritmos de multiplicación rápida que podían multiplicar números grandes muy rápidamente. [120] Estos algoritmos son particularmente importantes en los cálculos π modernos porque la mayor parte del tiempo de la computadora se dedica a la multiplicación. [121] Incluyen el algoritmo de Karatsuba, la multiplicación de Toom-Cook y los métodos basados ​​en la transformada de Fourier. [122]

      Los algoritmos iterativos fueron publicados de forma independiente en 1975-1976 por el físico Eugene Salamin y el científico Richard Brent. [123] Éstos evitan la dependencia de series infinitas. Un algoritmo iterativo repite un cálculo específico, cada iteración utiliza las salidas de los pasos anteriores como entradas, y produce un resultado en cada paso que converge al valor deseado. En realidad, el enfoque fue inventado más de 160 años antes por Carl Friedrich Gauss, en lo que ahora se denomina método de la media aritmética-geométrica (método AGM) o algoritmo de Gauss-Legendre. [123] Modificado por Salamin y Brent, también se lo conoce como el algoritmo de Brent-Salamin.

      Los algoritmos iterativos se utilizaron ampliamente después de 1980 porque son más rápidos que los algoritmos de series infinitas: mientras que las series infinitas normalmente aumentan el número de dígitos correctos de forma aditiva en términos sucesivos, los algoritmos iterativos en general multiplicar el número de dígitos correctos en cada paso. Por ejemplo, el algoritmo de Brent-Salamin duplica el número de dígitos en cada iteración. En 1984, los hermanos John y Peter Borwein produjeron un algoritmo iterativo que cuadruplica el número de dígitos en cada paso y en 1987, uno que aumenta el número de dígitos cinco veces en cada paso. [124] El matemático japonés Yasumasa Kanada utilizó métodos iterativos para establecer varios récords para calcular π entre 1995 y 2002. [125] Esta rápida convergencia tiene un precio: los algoritmos iterativos requieren significativamente más memoria que las series infinitas. [125]

      Motivos para calcular π

      Para la mayoría de los cálculos numéricos que involucran π, un puñado de dígitos proporciona suficiente precisión. Según Jörg Arndt y Christoph Haenel, treinta y nueve dígitos son suficientes para realizar la mayoría de los cálculos cosmológicos, porque esa es la precisión necesaria para calcular la circunferencia del universo observable con una precisión de un átomo. [126] Teniendo en cuenta los dígitos adicionales necesarios para compensar los errores de redondeo computacional, Arndt concluye que unos pocos cientos de dígitos serían suficientes para cualquier aplicación científica. A pesar de esto, la gente ha trabajado arduamente para calcular π a miles y millones de dígitos. [127] Este esfuerzo puede atribuirse en parte a la compulsión humana de batir récords, y tales logros con π suelen aparecer en los titulares de todo el mundo. [128] [129] También tienen beneficios prácticos, como probar supercomputadoras, probar algoritmos de análisis numérico (incluidos algoritmos de multiplicación de alta precisión) y dentro de las matemáticas puras, proporcionando datos para evaluar la aleatoriedad de los dígitos de π. [130]

      Serie rápidamente convergente

      Las calculadoras π modernas no utilizan algoritmos iterativos exclusivamente. En las décadas de 1980 y 1990 se descubrieron nuevas series infinitas que son tan rápidas como los algoritmos iterativos, pero son más simples y menos intensivas en memoria. [125] Los algoritmos iterativos rápidos se anticiparon en 1914, cuando el matemático indio Srinivasa Ramanujan publicó docenas de fórmulas nuevas e innovadoras para π, notables por su elegancia, profundidad matemática y rápida convergencia. [131] Una de sus fórmulas, basada en ecuaciones modulares, es

      Esta serie converge mucho más rápidamente que la mayoría de las series arctan, incluida la fórmula de Machin. [132] Bill Gosper fue el primero en utilizarlo para avances en el cálculo de π, estableciendo un récord de 17 millones de dígitos en 1985. [133] Las fórmulas de Ramanujan anticiparon los algoritmos modernos desarrollados por los hermanos Borwein (Jonathan y Peter) y el Hermanos Chudnovsky. [134] La fórmula de Chudnovsky desarrollada en 1987 es

      Produce alrededor de 14 dígitos de π por término, [135] y se ha utilizado para varios cálculos de π que establecen récords, incluido el primero en superar los mil millones (10 9) dígitos en 1989 por los hermanos Chudnovsky, 10 billones (10 13) dígitos en 2011 por Alexander Yee y Shigeru Kondo, [136] más de 22 billones de dígitos en 2016 por Peter Trueb [137] [138] y 50 billones de dígitos por Timothy Mullican en 2020. [139] Para fórmulas similares, ver también Ramanujan– Serie Sato.

      En 2006, el matemático Simon Plouffe utilizó el algoritmo de relación de enteros PSLQ [140] para generar varias fórmulas nuevas para π, de acuerdo con la siguiente plantilla:

      donde q es mi π (Constante de Gelfond), k es un número impar, y a, B, C son ciertos números racionales que Plouffe calculó. [141]

      Métodos de Monte Carlo

      Los métodos de Monte Carlo, que evalúan los resultados de múltiples ensayos aleatorios, se pueden utilizar para crear aproximaciones de π. [142] La aguja de Buffon es una de esas técnicas: si una aguja de longitud se deja caer norte veces en una superficie en la que se dibujan líneas paralelas t unidades aparte, y si X de esas veces se llega al descanso cruzando una línea ( X & gt 0), entonces se puede aproximar π según los recuentos: [143]

      Otro método de Monte Carlo para calcular π es dibujar un círculo inscrito en un cuadrado y colocar puntos al azar en el cuadrado. La proporción de puntos dentro del círculo al número total de puntos será aproximadamente igual a π / 4. [144]

      Otra forma de calcular π usando la probabilidad es comenzar con una caminata aleatoria, generada por una secuencia de lanzamientos de monedas (justos): variables aleatorias independientes Xk tal que Xk ∈ <−1,1> con probabilidades iguales. El paseo aleatorio asociado es

      de modo que, para cada n, Wnorte se extrae de una distribución binomial desplazada y escalada. Como n varía, Wnorte define un proceso estocástico (discreto). Entonces π se puede calcular mediante [145]

      Este método de Monte Carlo es independiente de cualquier relación con los círculos y es una consecuencia del teorema del límite central, que se analiza a continuación.

      Estos métodos de Monte Carlo para aproximar π son muy lentos en comparación con otros métodos y no proporcionan ninguna información sobre el número exacto de dígitos que se obtienen. Por lo tanto, nunca se utilizan para aproximar π cuando se desea velocidad o precisión. [146]

      Algoritmos de espiga

      En 1995 se descubrieron dos algoritmos que abrieron nuevas vías de investigación sobre π. Se denominan algoritmos de grifo porque, como el agua que gotea de un grifo, producen dígitos únicos de π que no se reutilizan una vez calculados. [147] [148] Esto contrasta con las series infinitas o los algoritmos iterativos, que retienen y usan todos los dígitos intermedios hasta que se produce el resultado final. [147]

      Los matemáticos Stan Wagon y Stanley Rabinowitz produjeron un algoritmo spigot simple en 1995. [148] [149] [150] Su velocidad es comparable a los algoritmos arctan, pero no tan rápida como los algoritmos iterativos. [149]

      Otro algoritmo de espiga, el algoritmo de extracción de dígitos BBP, fue descubierto en 1995 por Simon Plouffe: [151] [152]

      Esta fórmula, a diferencia de otras anteriores, puede producir cualquier dígito hexadecimal individual de π sin calcular todos los dígitos anteriores. [151] Se pueden extraer dígitos binarios individuales de dígitos hexadecimales individuales y dígitos octales se pueden extraer de uno o dos dígitos hexadecimales. Se han descubierto variaciones del algoritmo, pero aún no se ha encontrado ningún algoritmo de extracción de dígitos que produzca rápidamente dígitos decimales. [153] Una aplicación importante de los algoritmos de extracción de dígitos es validar nuevas afirmaciones de cálculos de registro π: después de reclamar un nuevo registro, el resultado decimal se convierte a hexadecimal, y luego se utiliza un algoritmo de extracción de dígitos para calcular varios dígitos hexadecimales aleatorios cerca de al final, si coinciden, esto proporciona una medida de confianza de que todo el cálculo es correcto. [136]

      Entre 1998 y 2000, el proyecto de computación distribuida PiHex usó la fórmula de Bellard (una modificación del algoritmo BBP) para calcular el cuatrillonésimo (10 15º) bit de π, que resultó ser 0. [154] En septiembre de 2010, un Yahoo ! El empleado utilizó la aplicación Hadoop de la compañía en mil computadoras durante un período de 23 días para calcular 256 bits de π en el bit dos billonésimo (2 × 10 15º), que también resulta ser cero. [155]

      Debido a que π está estrechamente relacionado con el círculo, se encuentra en muchas fórmulas de los campos de la geometría y la trigonometría, en particular las que se refieren a círculos, esferas o elipses. Otras ramas de la ciencia, como la estadística, la física, el análisis de Fourier y la teoría de números, también incluyen π en algunas de sus fórmulas importantes.

      Geometría y trigonometría

      π aparece en fórmulas para áreas y volúmenes de formas geométricas basadas en círculos, como elipses, esferas, conos y toros. A continuación se muestran algunas de las fórmulas más comunes que involucran π. [156]

      • La circunferencia de un círculo con radio. r es 2πr .
      • El área de un círculo con radio r es πr 2 .
      • El volumen de una esfera con radio. r es
      • 4/3 πr 3 .
      • El área de la superficie de una esfera con radio r es 4πr 2 .

      Las fórmulas anteriores son casos especiales del volumen de la norte-bola dimensional y el área de la superficie de su límite, el (norte−1) -esfera dimensional, dada a continuación.

      Aparte de los círculos, existen otras curvas de ancho constante (orbiformes [157]). Según el teorema de Barbier, toda curva de ancho constante tiene un perímetro π veces su ancho. [158] El triángulo de Reuleaux (formado por la intersección de tres círculos, cada uno centrado donde se cruzan los otros dos círculos [159]) tiene el área más pequeña posible para su ancho y el círculo el más grande. También existen curvas suaves no circulares de ancho constante. [160]

      Las integrales definidas que describen la circunferencia, el área o el volumen de formas generadas por círculos generalmente tienen valores que involucran π. Por ejemplo, una integral que especifica la mitad del área de un círculo de radio uno viene dada por: [161]

      En esa integral la función √ 1 - X 2 representa la mitad superior de un círculo (la raíz cuadrada es una consecuencia del teorema de Pitágoras), y la integral ∫ 1
      −1 calcula el área entre esa mitad de un círculo y el X eje.

      Las funciones trigonométricas se basan en ángulos y los matemáticos generalmente usan radianes como unidades de medida. π juega un papel importante en los ángulos medidos en radianes, que se definen de modo que un círculo completo abarque un ángulo de 2 π radianes. [162] La medida del ángulo de 180 ° es igual a π radianes y 1 ° = π / 180 radianes. [162]

      Las funciones trigonométricas comunes tienen períodos que son múltiplos de π, por ejemplo, el seno y el coseno tienen un período 2 π, [163] así que para cualquier ángulo θ y cualquier entero k ,

      Autovalores

      Muchas de las apariciones de π en las fórmulas de las matemáticas y las ciencias tienen que ver con su estrecha relación con la geometría. Sin embargo, π también aparece en muchas situaciones naturales que aparentemente no tienen nada que ver con la geometría.

      En muchas aplicaciones, juega un papel destacado como valor propio. Por ejemplo, una cuerda vibrante idealizada se puede modelar como el gráfico de una función F en el intervalo unitario [0,1], con extremos fijos F(0) = F(1) = 0. Los modos de vibración de la cuerda son soluciones de la ecuación diferencial f ″ (x) + λ f (x) = 0 < displaystyle f '' (x) + lambda f (x) = 0>, o f ″ ( t) = - λ f (x) < displaystyle f '' (t) = - lambda f (x)>. Por lo tanto, λ es un valor propio del operador de la segunda derivada f ↦ f ″ < displaystyle f mapsto f ''>, y está limitado por la teoría de Sturm-Liouville a tomar solo ciertos valores específicos. Debe ser positivo, ya que el operador es negativo definido, por lo que es conveniente escribir λ = ν 2, donde ν & gt 0 se llama número de onda. Luego F(X) = pecado (π X) satisface las condiciones de contorno y la ecuación diferencial con ν = π. [164]

      El valor π es, de hecho, el menos tal valor del número de onda, y está asociado con el modo fundamental de vibración de la cuerda. Una forma de mostrar esto es estimando la energía, que satisface la desigualdad de Wirtinger: [165] para una función F : [0, 1] → ℂ con F(0) = F(1) = 0 y F , F 'ambos cuadrados integrables, tenemos:

      con igualdad precisamente cuando F es un múltiplo de pecado (π X). Aquí π aparece como una constante óptima en la desigualdad de Wirtinger, y se deduce que es el número de onda más pequeño, utilizando la caracterización variacional del valor propio. Como consecuencia, π es el valor singular más pequeño del operador derivado en el espacio de funciones en [0,1] que desaparece en ambos extremos (el espacio de Sobolev H 0 1 [0, 1] < displaystyle H_ <0> ^ < 1> [0,1]>).

      Desigualdades

      El número π sirve aparece en problemas de valores propios similares en análisis de dimensiones superiores. Como se mencionó anteriormente, se puede caracterizar por su papel como la mejor constante en la desigualdad isoperimétrica: el área A encerrada por una curva de Jordan plana de perímetro P satisface la desigualdad

      y la igualdad se logra claramente para el círculo, ya que en ese caso A = πr 2 y PAG = 2πr . [166]

      En última instancia, como consecuencia de la desigualdad isoperimétrica, π aparece en la constante óptima para la desigualdad crítica de Sobolev en norte dimensiones, que por lo tanto caracteriza el papel de π en muchos fenómenos físicos, por ejemplo, los de la teoría clásica del potencial. [167] [168] [169] En dos dimensiones, la desigualdad crítica de Sobolev es

      por F una función suave con soporte compacto en R 2, ∇ f < displaystyle nabla f> es el gradiente de F, y ‖ f ‖ 2 < displaystyle | f | _ <2>> y ‖ ∇ f ‖ 1 < displaystyle | nabla f | _ <1>> se refieren respectivamente a L 2 y L 1 - norma. La desigualdad de Sobolev es equivalente a la desigualdad isoperimétrica (en cualquier dimensión), con las mismas mejores constantes.

      La desigualdad de Wirtinger también se generaliza a las desigualdades de Poincaré de dimensiones superiores que proporcionan las mejores constantes para la energía de Dirichlet de un norte-membrana dimensional. Específicamente, π es la mayor constante tal que

      para todos los subconjuntos convexos GRAMO de R norte de diámetro 1, y funciones integrables al cuadrado tu en GRAMO de media cero. [170] Así como la desigualdad de Wirtinger es la forma variacional del problema de valores propios de Dirichlet en una dimensión, la desigualdad de Poincaré es la forma variacional del problema de valores propios de Neumann, en cualquier dimensión.

      Transformada de Fourier y principio de incertidumbre de Heisenberg

      La constante π también aparece como un parámetro espectral crítico en la transformada de Fourier. Esta es la transformada integral, que toma una función integrable de valor complejo F en la línea real a la función definida como:

      Aunque existen varias convenciones diferentes para la transformada de Fourier y su inversa, dicha convención debe involucrar π algun lado. La anterior es la definición más canónica, sin embargo, dando el operador unitario único en L 2 que es también un homomorfismo de álgebra de L 1 a L ∞ . [171]

      El principio de incertidumbre de Heisenberg también contiene el número π. El principio de incertidumbre da un límite inferior agudo en la medida en que es posible localizar una función tanto en el espacio como en la frecuencia: con nuestras convenciones para la transformada de Fourier,

      La consecuencia física, acerca de la incertidumbre en las observaciones simultáneas de posición y momento de un sistema de mecánica cuántica, se analiza a continuación. La aparición de π en las fórmulas del análisis de Fourier es en última instancia una consecuencia del teorema de Stone-von Neumann, que afirma la unicidad de la representación de Schrödinger del grupo de Heisenberg. [172]

      Integrales gaussianas

      Los campos de probabilidad y estadística utilizan con frecuencia la distribución normal como un modelo simple para fenómenos complejos, por ejemplo, los científicos generalmente asumen que el error de observación en la mayoría de los experimentos sigue una distribución normal. [173] La función gaussiana, que es la función de densidad de probabilidad de la distribución normal con media μ y desviación estándar σ, naturalmente contiene π: [174]

      que dice que el área bajo la curva de campana básica en la figura es igual a la raíz cuadrada de π.

      El teorema del límite central explica el papel central de las distribuciones normales y, por tanto, de π, en la probabilidad y la estadística. Este teorema está finalmente conectado con la caracterización espectral de π como el valor propio asociado con el principio de incertidumbre de Heisenberg, y el hecho de que la igualdad se cumple en el principio de incertidumbre solo para la función gaussiana. [175] De manera equivalente, π es la constante única que hace que la distribución normal gaussiana miX 2 igual a su propia transformada de Fourier. [176] De hecho, según Howe (1980), "todo el asunto" de establecer los teoremas fundamentales del análisis de Fourier se reduce a la integral gaussiana.

      Geometría proyectiva

      Topología

      La constante π aparece en la fórmula de Gauss-Bonnet que relaciona la geometría diferencial de las superficies con su topología. Específicamente, si una superficie compacta Σ tiene curvatura de Gauss K, luego

      donde χ(Σ) es la característica de Euler, que es un número entero. [178] Un ejemplo es el área de la superficie de una esfera. S de curvatura 1 (de modo que su radio de curvatura, que coincide con su radio, también es 1.) La característica de Euler de una esfera se puede calcular a partir de sus grupos de homología y se encuentra que es igual a dos. Así tenemos

      reproduciendo la fórmula para el área de la superficie de una esfera de radio 1.

      La constante aparece en muchas otras fórmulas integrales en topología, en particular, aquellas que involucran clases características a través del homomorfismo de Chern-Weil. [179]

      Cálculo vectorial

      El cálculo vectorial es una rama del cálculo que se ocupa de las propiedades de los campos vectoriales y tiene muchas aplicaciones físicas, como la electricidad y el magnetismo. El potencial newtoniano para una fuente puntual Q situada en el origen de un sistema de coordenadas cartesiano tridimensional es [180]

      que representa la energía potencial de una unidad de masa (o carga) colocada a una distancia | X | de la fuente, y k es una constante dimensional. El campo, denotado aquí por mi , que puede ser el campo gravitacional (newtoniano) o el campo eléctrico (Coulomb), es el gradiente negativo del potencial:

      Los casos especiales incluyen la ley de Coulomb y la ley de gravitación universal de Newton. La ley de Gauss establece que el flujo hacia afuera del campo a través de cualquier superficie lisa, simple, cerrada y orientable S que contenga el origen es igual a 4 π kQ :

      Es estándar absorber este factor de 4π en la constante k, pero este argumento muestra por qué debe aparecer en algún lugar. Además, 4π es el área de la superficie de la esfera unitaria, pero no hemos asumido que S es la esfera. Sin embargo, como consecuencia del teorema de la divergencia, debido a que la región alejada del origen es vacío (libre de fuente), es solo la clase de homología de la superficie S en R 3 <0> que importa en el cálculo de la integral, por lo que puede ser reemplazado por cualquier superficie conveniente en la misma clase de homología, en particular, una esfera, donde las coordenadas esféricas se pueden utilizar para calcular la integral.

      Una consecuencia de la ley de Gauss es que el laplaciano negativo del potencial V es igual a 4πkQ multiplicado por la función delta de Dirac:

      A partir de esto se obtienen distribuciones más generales de materia (o carga) por convolución, dando la ecuación de Poisson

      donde ρ es la función de distribución.

      La constante π también juega un papel análogo en los potenciales tetradimensionales asociados con las ecuaciones de Einstein, una fórmula fundamental que forma la base de la teoría general de la relatividad y describe la interacción fundamental de la gravitación como resultado de que el espacio-tiempo está curvado por materia y energía: [181]

      donde Rμν es el tensor de curvatura de Ricci, R es la curvatura escalar, gramoμν es el tensor métrico, Λ es la constante cosmológica, G es la constante gravitacional de Newton, c es la velocidad de la luz en el vacío y Tμν es el tensor estrés-energía. El lado izquierdo de la ecuación de Einstein es un análogo no lineal del laplaciano del tensor métrico, y se reduce al límite del campo débil, con el término Λ g < displaystyle Lambda g> desempeñando el papel de un Lagrange multiplicador, y el lado derecho es el análogo de la función de distribución, multiplicado por 8π.

      Fórmula integral de Cauchy

      Una de las herramientas clave en el análisis complejo es la integración de contorno de una función sobre una curva de Jordan γ orientada positivamente (rectificable). Una forma de la fórmula integral de Cauchy establece que si un punto z0 es interior a γ, entonces [182]

      Aunque la curva γ no es un círculo y, por lo tanto, no tiene ninguna conexión obvia con la constante π, una prueba estándar de este resultado utiliza el teorema de Morera, que implica que la integral es invariante bajo la homotopía de la curva, por lo que puede ser deformado en un círculo y luego integrado explícitamente en coordenadas polares. De manera más general, es cierto que si una curva cerrada rectificable γ no contiene z0 , entonces la integral anterior es 2πI multiplicado por el número de bobinado de la curva.

      La forma general de la fórmula integral de Cauchy establece la relación entre los valores de una función analítica compleja F(z) en la curva de Jordan γ y el valor de F(z) en cualquier punto interior z0 de γ: [183] ​​[184]

      previsto F(z) es analítico en la región encerrada por γ y se extiende continuamente a γ. La fórmula integral de Cauchy es un caso especial del teorema del residuo, que si gramo(z) es una función meromórfica la región encerrada por γ y es continua en una vecindad de γ, entonces

      donde la suma es de los residuos en los polos de gramo(z) .

      La función gamma y la aproximación de Stirling

      La función factorial norte! es el producto de todos los enteros positivos hasta norte . La función gamma extiende el concepto de factorial (normalmente definido solo para enteros no negativos) a todos los números complejos, excepto a los enteros reales negativos. Cuando la función gamma se evalúa en medios enteros, el resultado contiene π, por ejemplo, Γ (1/2) = π < displaystyle Gamma (1/2) = < sqrt < pi >>> y Γ (5 / 2) = 3 π 4 < textstyle Gamma (5/2) = < frac <3 < sqrt < pi >>> <4> >>. [185]

      La función gamma está definida por el desarrollo de su producto Weierstrass: [186]

      donde γ es la constante de Euler-Mascheroni. Evaluado en z = 1/2 y al cuadrado, la ecuación Γ (1/2) 2 = π se reduce a la fórmula del producto de Wallis. La función gamma también está relacionada con la función zeta de Riemann y las identidades del determinante funcional, en el que la constante π juega un papel importante.

      La función gamma se utiliza para calcular el volumen. Vnorte(r) del norte-bola dimensional de radio r en euclidiano norte-espacio dimensional y la superficie Snorte−1(r) de su límite, el (norte−1) -esfera dimensional: [187]

      Además, de la ecuación funcional se deduce que

      La función gamma se puede utilizar para crear una aproximación simple a la función factorial norte! para grande norte : n! ∼ 2 π norte (norte mi) norte < estilo de texto norte! Sim < sqrt <2 pi n >> left (< frac > derecha) ^> que se conoce como aproximación de Stirling. [188] De manera equivalente,

      Como una aplicación geométrica de la aproximación de Stirling, sea Δnorte denotar el simplex estándar en norte-espacio euclidiano dimensional, y (norte + 1) Δnorte denotar el simplex que tiene todos sus lados escalados por un factor de norte + 1. Luego

      La conjetura de volumen de Ehrhart es que este es el límite superior (óptimo) del volumen de un cuerpo convexo que contiene solo un punto de celosía. [189]

      Teoría de números y función zeta de Riemann

      La función zeta de Riemann ζ(s) se utiliza en muchas áreas de las matemáticas. Cuando se evalúa en s = 2 se puede escribir como

      Encontrar una solución simple para esta serie infinita fue un famoso problema matemático llamado problema de Basilea. Leonhard Euler lo resolvió en 1735 cuando demostró que era igual a π 2/6. [93] El resultado de Euler conduce al resultado de la teoría de números de que la probabilidad de que dos números aleatorios sean primos relativos (es decir, que no tengan factores compartidos) es igual a 6 / π 2. [190] [191] Esta probabilidad se basa en la observación de que la probabilidad de que cualquier número sea divisible por un número primo pag es 1 /pag (por ejemplo, cada séptimo entero es divisible entre 7.) Por lo tanto, la probabilidad de que dos números sean ambos divisibles por este primo es 1 /pag 2, y la probabilidad de que al menos uno de ellos no lo sea es 1 - 1 /pag 2. Para primos distintos, estos eventos de divisibilidad son mutuamente independientes, por lo que la probabilidad de que dos números sean primos relativos viene dada por un producto sobre todos los primos: [192]

      Esta probabilidad se puede usar junto con un generador de números aleatorios para aproximar π usando un enfoque de Monte Carlo. [193]

      La solución al problema de Basilea implica que la cantidad π derivada geométricamente está conectada de manera profunda a la distribución de números primos. Este es un caso especial de la conjetura de Weil sobre los números de Tamagawa, que afirma la igualdad de productos infinitos similares de aritmética cantidades, localizadas en cada prima pagy un geométrico cantidad: el recíproco del volumen de un cierto espacio localmente simétrico. En el caso del problema de Basilea, es el SL de 3 colectores hiperbólico2(R) / SL2(Z) . [194]

      La función zeta también satisface la ecuación funcional de Riemann, que involucra tanto a π como a la función gamma:

      Además, la derivada de la función zeta satisface

      Una consecuencia es que π puede obtenerse del determinante funcional del oscilador armónico. Este determinante funcional se puede calcular mediante la expansión de un producto y es equivalente a la fórmula del producto de Wallis. [195] El cálculo puede reformularse en mecánica cuántica, específicamente el enfoque variacional del espectro del átomo de hidrógeno. [196]

      Series de Fourier

      La constante π también aparece naturalmente en las series de Fourier de funciones periódicas. Las funciones periódicas son funciones en el grupo T =R/Z de partes fraccionarias de números reales. La descomposición de Fourier muestra que una función de valores complejos F en T puede escribirse como una superposición lineal infinita de caracteres unitarios de T . Es decir, homomorfismos grupales continuos de T al grupo del círculo U(1) de números complejos de módulo unitario. Es un teorema que todo carácter de T es uno de los exponenciales complejos e n (x) = e 2 π i n x < displaystyle e_(x) = e ^ <2 pi inx >>.

      Hay un personaje único en T , hasta la conjugación compleja, es un isomorfismo de grupo. Usando la medida de Haar en el grupo circular, la constante π es la mitad de la magnitud de la derivada Radon-Nikodym de este carácter. Los otros caracteres tienen derivadas cuyas magnitudes son múltiplos integrales positivos de 2 π. [22] Como resultado, la constante π es el número único tal que el grupo T, equipado con su medida Haar, es Pontrjagin dual a la red de múltiplos integrales de 2 π. [198] Ésta es una versión de la fórmula de suma de Poisson unidimensional.

      Formas modulares y funciones theta

      La constante π está conectada de manera profunda con la teoría de formas modulares y funciones theta. Por ejemplo, el algoritmo de Chudnovsky involucra de manera esencial el invariante j de una curva elíptica.

      que es una especie de forma modular llamada forma de Jacobi. [199] Esto a veces se escribe en términos del nombre q = e π i τ < displaystyle q = e ^ < pi i tau >>.

      La constante π es la constante única que hace que la función theta de Jacobi sea una forma automórfica, lo que significa que se transforma de una manera específica. Ciertas identidades son válidas para todas las formas automórficas. Un ejemplo es

      lo que implica que θ se transforma como una representación bajo el grupo discreto de Heisenberg. Las formas modulares generales y otras funciones theta también involucran π, una vez más debido al teorema de Stone-von Neumann. [199]

      Distribución de Cauchy y teoría del potencial

      es una función de densidad de probabilidad. La probabilidad total es igual a uno, debido a la integral:

      La entropía de Shannon de la distribución de Cauchy es igual a ln (4π), que también involucra a π.

      La distribución de Cauchy juega un papel importante en la teoría del potencial porque es la medida de Furstenberg más simple, el núcleo de Poisson clásico asociado con un movimiento browniano en un semiplano. [200] Las funciones armónicas conjugadas y también la transformada de Hilbert están asociadas con las asintóticas del núcleo de Poisson. La transformada de Hilbert H es la transformada integral dada por el valor principal de Cauchy de la integral singular

      La constante π es el factor de normalización único (positivo) tal que H define una estructura compleja lineal en el espacio de Hilbert de funciones de valor real integrables al cuadrado en la línea real. [201] La transformada de Hilbert, como la transformada de Fourier, se puede caracterizar puramente en términos de sus propiedades de transformación en el espacio de Hilbert L 2 (R): hasta un factor de normalización, es el único operador lineal acotado que conmuta con dilataciones positivas y anti-conmuta con todos los reflejos de la línea real. [202] La constante π es el único factor de normalización que hace que esta transformación sea unitaria.

      Dinámica compleja

      David Boll descubrió una ocurrencia de π en el conjunto fractal de Mandelbrot en 1991. [203] Examinó el comportamiento del conjunto de Mandelbrot cerca del "cuello" en (−0,75, 0). Si los puntos con coordenadas (−0,75, ε) se consideran, como ε tiende a cero, el número de iteraciones hasta que la divergencia para el punto multiplicado por ε converge a π. El punto (0,25 + ε, 0) en la cúspide del gran "valle" en el lado derecho del conjunto de Mandelbrot se comporta de manera similar: el número de iteraciones hasta la divergencia multiplicado por la raíz cuadrada de ε tiende a π. [203] [204]

      Describir fenómenos físicos

      Aunque no es una constante física, π aparece de forma rutinaria en las ecuaciones que describen los principios fundamentales del universo, a menudo debido a la relación de π con el círculo y con los sistemas de coordenadas esféricas. Una fórmula simple del campo de la mecánica clásica da el período aproximado T de un simple péndulo de longitud L , balanceándose con una pequeña amplitud ( gramo es la aceleración gravitacional de la Tierra): [205]

      Una de las fórmulas clave de la mecánica cuántica es el principio de incertidumbre de Heisenberg, que muestra que la incertidumbre en la medición de la posición de una partícula (Δ X ) y el impulso (Δ pag ) no pueden ser arbitrariamente pequeños al mismo tiempo (donde h es la constante de Planck): [206]

      El hecho de que π sea aproximadamente igual a 3 juega un papel en la vida relativamente larga del ortopositronio. La vida útil inversa al orden más bajo en la constante de estructura fina α es [207]

      donde metro es la masa del electrón.

      π está presente en algunas fórmulas de ingeniería estructural, como la fórmula de pandeo derivada por Euler, que da la carga axial máxima F que una larga y esbelta columna de longitud L , módulo de elasticidad mi , y momento de inercia del área I puede llevar sin doblarse: [208]

      El campo de la dinámica de fluidos contiene π en la ley de Stokes, que se aproxima a la fuerza de fricción F ejercido sobre pequeños objetos esféricos de radio R , moviéndose con velocidad v en un fluido con viscosidad dinámica η : [209]

      En electromagnetismo, la constante de permeabilidad al vacío μ0 aparece en las ecuaciones de Maxwell, que describen las propiedades de los campos eléctricos y magnéticos y la radiación electromagnética. Antes del 20 de mayo de 2019, se definía exactamente como

      Una relación para la velocidad de la luz en el vacío, C puede derivarse de las ecuaciones de Maxwell en el medio del vacío clásico usando una relación entre μ0 y la constante eléctrica (permitividad de vacío), ε0 en unidades SI:

      En condiciones ideales (pendiente suave uniforme sobre un sustrato erosionable homogéneamente), la sinuosidad de un río serpenteante se aproxima a π. La sinuosidad es la relación entre la longitud real y la distancia en línea recta desde la fuente hasta la boca. Las corrientes más rápidas a lo largo de los bordes exteriores de las curvas de un río causan más erosión que a lo largo de los bordes interiores, lo que empuja las curvas aún más hacia afuera y aumenta la curva general del río. Sin embargo, ese bucle eventualmente hace que el río se doble sobre sí mismo en algunos lugares y se "cortocircuite", creando un lago en forma de arco en el proceso. El equilibrio entre estos dos factores opuestos conduce a una relación media de π entre la longitud real y la distancia directa entre la fuente y la boca. [210] [211]

      Memorizando dígitos

      La pirilología es la práctica de memorizar un gran número de dígitos de π, [212] y los récords mundiales los mantiene el Records Mundiales Guinness. El récord de memorización de dígitos de π, certificado por Guinness World Records, es de 70.000 dígitos, recitado en India por Rajveer Meena en 9 horas y 27 minutos el 21 de marzo de 2015. [213] En 2006, Akira Haraguchi, un ingeniero japonés jubilado, afirmó haber recitado 100.000 lugares decimales, pero la afirmación no fue verificada por Guinness World Records. [214]

      Una técnica común es memorizar una historia o un poema en el que las longitudes de las palabras representan los dígitos de π: la primera palabra tiene tres letras, la segunda palabra tiene una, la tercera tiene cuatro, la cuarta tiene una, la quinta tiene cinco y pronto. Estas ayudas para la memorización se denominan mnemotécnicas. Un ejemplo temprano de un mnemónico para pi, originalmente ideado por el científico inglés James Jeans, es "Cómo quiero una bebida, alcohólico por supuesto, después de las pesadas conferencias sobre mecánica cuántica". [212] Cuando se usa un poema, a veces se lo denomina piem. [215] Se han compuesto poemas para memorizar π en varios idiomas además del inglés. [212] Los memorizadores π que establecen récords normalmente no se basan en poemas, sino que utilizan métodos como recordar patrones numéricos y el método de loci. [216]

      Algunos autores han utilizado los dígitos de π para establecer una nueva forma de escritura restringida, donde se requieren las longitudes de las palabras para representar los dígitos de π. El Cadaeic Cadenza contiene los primeros 3835 dígitos de π de esta manera, [217] y el libro completo No despierta contiene 10,000 palabras, cada una de las cuales representa un dígito de π. [218]

      En la cultura popular

      Quizás debido a la simplicidad de su definición y su omnipresente presencia en las fórmulas, π se ha representado en la cultura popular más que otros constructos matemáticos. [219]

      En la coproducción del documental de la Universidad Abierta y la BBC de 2008, La historia de las matemáticas, transmitido en octubre de 2008 por BBC Four, el matemático británico Marcus du Sautoy muestra una visualización de la fórmula (históricamente la primera exacta) para calcular π cuando visita la India y explora sus contribuciones a la trigonometría. [220]

      En el Palais de la Découverte (un museo de ciencias en París) hay una sala circular conocida como el habitación pi. En su pared están inscritos 707 dígitos de π. Los dígitos son grandes caracteres de madera unidos al techo en forma de cúpula. Los dígitos se basaron en un cálculo de 1874 realizado por el matemático inglés William Shanks, que incluía un error que comenzaba en el dígito 528. El error se detectó en 1946 y se corrigió en 1949. [221]

      En la novela de Carl Sagan Contacto se sugiere que el creador del universo enterró un mensaje en lo profundo de los dígitos de π. [222] Los dígitos de π también se han incorporado a la letra de la canción "Pi" del álbum. Aéreo por Kate Bush. [223]

      En el episodio de Star Trek Wolf in the Fold, una computadora fuera de control está contenida al recibir instrucciones de "Calcular hasta el último dígito el valor de π", aunque "π es una figura trascendental sin resolución". [224]

      En los Estados Unidos, el Día de Pi cae el 14 de marzo (escrito el 14 de marzo al estilo estadounidense) y es popular entre los estudiantes. [225] π y su representación digital son a menudo utilizados por autodenominados "fanáticos de las matemáticas" para bromas internas entre grupos de mentalidad matemática y tecnológica. Varias aclamaciones universitarias en el Instituto de Tecnología de Massachusetts incluyen "3.14159". [226] El día de Pi en 2015 fue particularmente significativo porque la fecha y la hora 14/03/15 9:26:53 reflejaban muchos más dígitos de pi. [227] [228] En partes del mundo donde las fechas se indican comúnmente en formato de día / mes / año, el 22 de julio representa el "Día de aproximación Pi", como 22/7 = 3,142857. [229]

      Durante la subasta de 2011 de la cartera de patentes de tecnología valiosa de Nortel, Google realizó una serie de ofertas inusualmente específicas basadas en constantes matemáticas y científicas, incluida π. [230]

      En 1958 Albert Eagle propuso reemplazar π por τ (tau), donde τ = π/ 2, para simplificar fórmulas. [231] Sin embargo, no se conocen otros autores que utilicen τ de esta manera. Algunas personas usan un valor diferente, τ = 2π = 6.28318. , [232] argumentando que τ, como el número de radianes en una vuelta, o como la relación entre la circunferencia de un círculo y su radio en lugar de su diámetro, es más natural que π y simplifica muchas fórmulas. [233] [234] Celebraciones de este número, debido a que aproximadamente equivale a 6.28, al hacer el 28 de junio "Día Tau" y comer "el doble del pastel", [235] han sido reportados en los medios de comunicación. Sin embargo, este uso de τ no se ha abierto camino en las matemáticas convencionales. [236]

      En 1897, un matemático aficionado intentó persuadir a la legislatura de Indiana para que aprobara el Indiana Pi Bill, que describía un método para cuadrar el círculo y contenía texto que implicaba varios valores incorrectos para π, incluido 3.2. El proyecto de ley es notorio como un intento de establecer un valor de constante científica por mandato legislativo. El proyecto de ley fue aprobado por la Cámara de Representantes de Indiana, pero rechazado por el Senado, lo que significa que no se convirtió en ley. [237]

      En la cultura informática

      En la cultura de Internet contemporánea, los individuos y las organizaciones suelen rendir homenaje al número π. Por ejemplo, el científico informático Donald Knuth dejó que los números de versión de su programa TeX se acercaran a π. Las versiones son 3, 3.1, 3.14, etc. [238]

      Notas

      1. ^ La integral precisa que usó Weierstrass fue π = ∫ - ∞ ∞ d x 1 + x 2. < Displaystyle pi = int _ <- infty> ^ < infty> < frac <1 + x ^ <2> >>.> Remmert 2012, pág. 148
      2. ^ El polinomio que se muestra son los primeros términos de la expansión en serie de Taylor de la función seno.
      3. ^ Supuestamente construido para que el círculo cuyo radio es igual a la altura de la pirámide tenga una circunferencia igual al perímetro de la base.

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      Calcular pi a partir de series infinitas

      Soy nuevo en C # y no solo me pregunto acerca de la sintaxis, sino también la lógica de cómo hacer esto, mi profesor acaba de lanzarnos a los lobos con este problema y no hemos repasado nada de la sintaxis ni nada. , No soy un estudiante de matemáticas, así que no estoy familiarizado con la serie infinita, ¡nada explicado! Y sin embargo, vence el lunes.

      El problema es que quiere un programa de consola C # que calcule Pi a partir de una serie infinita

      Pi = 4 - 4/3 + 4/5 - 4/7 + 4/9 - 4/11 +.

      "Pregunte al usuario la cantidad de lugares decimales que debe calcular Pi y muestre el número de términos (contando los 4 iniciales) que se necesitan para calcular Pi en esa cantidad de lugares. La fórmula se puede usar para determinar si su aproximación es lo suficientemente cercana

      Salida de muestra:
      Ingrese el número de lugares decimales para calcular: 2

      Se requieren 200 términos para aproximar Pi a 2 lugares decimales. "

      Por favor ayuda Estoy completamente perdido, necesito ayuda con la lógica y ayuda para programar esto en C #.


      Tipos de secuencias

      Hay varios tipos de series y secuencias sobre la naturaleza de los términos, el límite de la secuencia, la regla seguida, etc. Pero podemos hablar de algunas secuencias especiales de las que se ven y se habla más comúnmente:

      1. Secuencia aritmética
      2. Secuencia geométrica
      3. Secuencia armónica
      4. Secuencia Fibonacci

      Puede haber muchas otras secuencias, pero estas tienen cierta importancia en nuestra vida diaria y aplicaciones prácticas.

      Secuencia aritmética es una lista ordenada de números donde cada par de términos sucesivos tiene una diferencia común uniforme y constante. Para obtener más información sobre esto, visite Secuencia aritmética.

      Secuencia geométrica por otro lado, es una lista ordenada de números donde cada par de términos sucesivos tiene una razón común uniforme y constante. Esto significa que la división de dos términos consecutivos dará el mismo valor. Para obtener más información sobre esto, visite Secuencia geométrica.

      Secuencia armónica es una secuencia especial donde los recíprocos de los términos parecen estar en un arreglo aritmético y tienen una diferencia común. Para obtener más información sobre esto, visite Secuencia armónica.

      Secuencia Fibonacci es un arreglo ordenado de números muy interesante donde la suma de dos términos sucesivos da el valor del siguiente en orden.
      (comenzar1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , ……… end)

      Para ver otras secuencias comunes, pasemos a la siguiente sección.


      Sumas de series geométricas infinitas

      Vamos a volver a la situación de la introducción: el pobre Sayber está atascado limpiando su habitación. Limpia la mitad de la habitación en 60 minutos. Luego limpia la mitad de lo que queda, 30 minutos más, la mitad nuevamente por 15 más. Si sigue limpiando la mitad del área restante, ¿cómo terminará la habitación?

      Sabemos que las piezas tienen que sumar un período de tiempo finito (no importa cómo se sienta, Sayber PUEDE limpiar la habitación), pero ¿cómo es posible que la suma de un número infinito de términos sea un número finito?

      Para encontrar la suma de un número infinito de términos, debemos considerar algunos sumas parciales. Tres sumas parciales, relativamente al principio de la serie, podrían ser: ( S_ <2> = 90 ), ( S_ <3> = 105 ) y ( S_ <6> = 118.125 ) o ( 118 frac <1> <8> )

      Ahora veamos & rsquos valores más grandes de ( n ):

      ( S_ <7> ) ( = frac <60 left (1- left ( frac <1> <2> right) ^ <7> right)> <1- frac <1> <2>> aprox 119.06 text )
      ( S_ <8> ) ( = frac <60 left (1- left ( frac <1> <2> right) ^ <8> right)> <1- frac <1> <2>> approx 119.5 text )
      ( S_ <10> ) ( = frac <60 left (1- left ( frac <1> <2> right) ^ <10> right)> <1- frac <1> <2>> aprox 119,9 text )

      Como norte se acerca al infinito, el valor de Snorte parece acercarse a los 120 minutos. En términos de las sumas reales, lo que está sucediendo es esto: como norte aumenta la norte El término se hace cada vez más pequeño, por lo que el norte El término contribuye cada vez menos al valor de Snorte. Decimos que la serie converge, y podemos escribir esto con un límite:

      ( lim _ S_) ( = lim _ left ( frac <60 left (1- left ( frac <1> <2> right) ^ derecha)> <1- frac <1> <2>> derecha) )
      ( = lim _ left ( frac <60 left (1- left ( frac <1> <2> right) ^ right)> < frac <1> <2>> right) )
      ( = lim _ left (120 left (1- left ( frac <1> <2> right) ^ien bien))

      Como norte se acerca al infinito, el valor de ( left ( frac <1> <2> right) ^) se vuelve cada vez más pequeño. Es decir, el valor de esta expresión se acerca a 0. Por lo tanto, el valor de ( 1- left ( frac <1> <2> right) ^) se acerca a 1, y ( 120 left (1- left ( frac <1> <2> right) ^ right) ) se aproxima a ( 120 (1) = 120 ).

      Por lo tanto, no importa cuánto tiempo continúe el proceso, Sayber no pasará más de 2 horas limpiando la habitación. ¡Por supuesto, puede PARECER mucho más!

      Podemos hacer el mismo análisis para el caso general de una serie geométrica, siempre que los términos sean cada vez más pequeños. Esto significa que la razón común debe ser un número entre -1 y 1: | r | & lt 1.

      ( lim _ S_) ( = lim _ left ( frac left (1-r ^ right)> <1-r> right) )
      ( = frac> <1-r>, text left (1-r ^ right) rightarrow 1 )

      Por lo tanto, podemos encontrar la suma de una serie geométrica infinita usando la fórmula ( S = frac> <1-r> ).

      Cuando una suma infinita tiene un valor finito, decimos la suma converge. De lo contrario, la suma diverge. Una suma converge solo cuando los términos se acercan a 0 después de cada paso, pero eso por sí solo no es un criterio suficiente para la convergencia. Por ejemplo, la suma ( sum_^ < infty> frac <1>= 1 + frac <1> <2> + frac <1> <3> + frac <1> <4> + ldots ) ​​no converger.


      ENCUENTRA EL VALOR DE UNA SERIE GEOMÉTRICA INFINITA

      Encuentre & # xa0 la suma de las series geométricas infinitas & # xa0.

      Para encontrar la suma de la serie geométrica infinita, tenemos que usar la fórmula a / (1- r)

      suma de la serie infinita dada & # xa0 = & # xa0 1 / [1 - (3/4)]

      Por tanto, la suma de series infinitas es 4.

      Encuentre & # xa0 la suma de las series geométricas infinitas & # xa0.

      Para encontrar la suma de la serie geométrica infinita, tenemos que usar la fórmula a / (1- r)

      suma de la serie infinita dada & # xa0 = & # xa0 1 / [1 - (2/3)]

      Por tanto, la suma de series infinitas es 3.

      Encuentre & # xa0 la suma de las series geométricas infinitas & # xa0.

      Para encontrar la suma de la serie geométrica infinita, tenemos que usar la fórmula a / (1- r)

      suma de la serie infinita dada & # xa0 = & # xa0 1 / [1 - (1/2)]

      Por tanto, la suma de series infinitas es 2.

      Encuentre & # xa0 la suma de las series geométricas infinitas & # xa0.

      Para encontrar la suma de la serie geométrica infinita, tenemos que usar la fórmula a / (1- r)

      suma de la serie infinita dada & # xa0 = & # xa0 1 / [1 - (3/5)]

      Por tanto, la suma de series infinitas es 2.

      Encuentre & # xa0 la suma de las series geométricas infinitas & # xa0.

      Para encontrar la suma de la serie geométrica infinita, tenemos que usar la fórmula a / (1- r)

      y razón común (r) & # xa0 = & # xa0 & # xa0 a ₂ / a ₁

      suma de la serie infinita dada & # xa0 = & # xa0 1 / [1 - (1/4)]

      Por tanto, la suma de series infinitas es 4/3.

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      Guía paso a paso para resolver Infinite Geometric Series

      • Serie geométrica infinita: La suma de una serie geométrica es infinita cuando el valor absoluto de la razón es mayor que (1 ).
      • Fórmula de la serie geométrica infinita: ( color^ infty a_r ^ i = frac> <1-r>> )

      Serie geométrica infinita & # 8211 Ejemplo 1:

      Evalúe las series geométricas infinitas descritas. (S = sum_^ infty 9 ^)

      Serie geométrica infinita & # 8211 Ejemplo 2:

      Evalúe las series geométricas infinitas descritas. (S = sum_^ infty ( frac <1> <4>) ^)

      Serie geométrica infinita & # 8211 Ejemplo 3:

      Evalúe las series geométricas infinitas descritas. (S = sum_^ infty 8 ^)

      Serie geométrica infinita & # 8211 Ejemplo 4:

      Evalúe las series geométricas infinitas descritas. (S = sum_^ infty ( frac <1> <2>) ^)


      Ver el vídeo: Integral de una serie infinita. Series. Cálculo. Khan Academy en Español (Octubre 2021).