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1.4.4E: Ejercicios para la Sección 12.4 - Matemáticas


Determinación de la longitud del arco

En las preguntas 1 a 6, encuentre la longitud del arco de la curva en el intervalo dado.

1) ( vecs r (t) = t ^ 2 , hat { mathbf {i}} + (2t ^ 2 + 1) , hat { mathbf {j}}, quad 1≤t ≤3 )

Respuesta:
(8 sqrt {5} ) unidades

2) ( vecs r (t) = t ^ 2 , hat { mathbf {i}} + 14t , hat { mathbf {j}}, quad 0≤t≤7 ). Esta parte del gráfico se muestra aquí:

3) ( vecs r (t) = ⟨t ^ 2 + 1,4t ^ 3 + 3⟩, quad −1≤t≤0 )

Respuesta:
( frac {1} {54} (37 ^ {3/2} −1) ) unidades

4) ( vecs r (t) = ⟨2 sin t, 5t, 2 cos t⟩, quad 0≤t≤π ). Esta parte del gráfico se muestra aquí:

5) ( vecs r (t) = ⟨e ^ {- t cos t}, e ^ {- t sin t}⟩ ) en el intervalo ([0, frac {π} {2} ] ). Aquí está la parte del gráfico en el intervalo indicado:

6)

7) Encuentra la longitud de una vuelta de la hélice dada por ( vecs r (t) = frac {1} {2} cos t , hat { mathbf {i}} + frac {1} {2} sin t , hat { mathbf {j}} + sqrt { frac {3} {4}} t , hat { mathbf {k}} ).

Respuesta:
Unidades de longitud (= 2π )

8) Encuentra la longitud del arco de la función con valores vectoriales ( vecs r (t) = - t , hat { mathbf {i}} + 4t , hat { mathbf {j}} + 3t , hat { mathbf {k}} ) sobre ([0,1] ).

9) Una partícula viaja en un círculo con la ecuación de movimiento ( vecs r (t) = 3 cos t , hat { mathbf {i}} + 3 sin t , hat { mathbf { j}} +0 , hat { mathbf {k}} ). Calcula la distancia recorrida alrededor del círculo por la partícula.

Respuesta:
(6π ) unidades

10) Configura una integral para encontrar la circunferencia de la elipse con la ecuación ( vecs r (t) = cos t , hat { mathbf {i}} + 2 sin t , hat { mathbf {j}} + 0 , hat { mathbf {k}} ).

11) Encuentra la longitud de la curva ( vecs r (t) = ⟨ sqrt {2} t, e ^ t, e ^ {- t}⟩ ) sobre el intervalo (0≤t≤1 ) . El gráfico se muestra aquí:

Respuesta:
( left (e− frac {1} {e} right) ) unidades

12) Encuentra la longitud de la curva ( vecs r (t) = ⟨2 sin t, 5t, 2 cos t⟩ ) para (t∈ [−10,10] ).

Vectores unitarios tangentes y vectores unitarios normales

13) La función de posición de una partícula es ( vecs r (t) = a cos (ωt) , hat { mathbf {i}} + b sin (ωt) , hat { mathbf { j}} ). Encuentre el vector unitario tangente y el vector normal unitario en (t = 0 ).

Solución:
( vecs r '(t) = -aω sin (ωt) , hat { mathbf {i}} + bω cos (ωt) , hat { mathbf {j}} )
( | vecs r '(t) | = sqrt {a ^ 2 ω ^ 2 sin ^ 2 (ωt) + b ^ 2ω ^ 2 cos ^ 2 (ωt)} )
( vecs T (t) = dfrac { vecs r '(t)} { | vecs r' (t) |} = dfrac {-aω sin (ωt) , hat { mathbf {i}} + bω cos (ωt) , hat { mathbf {j}}} { sqrt {a ^ 2 ω ^ 2 sin ^ 2 (ωt) + b ^ 2ω ^ 2 cos ^ 2 (ωt)}} )
( vecs T (0) = dfrac {bω , hat { mathbf {j}}} { sqrt {(bω) ^ 2}} = dfrac {bω , hat { mathbf {j }}} {| bω |} )
Si (bω> 0, ; vecs T (0) = hat { mathbf {j}}, ) y si (bω <0, ; T (0) = - hat { mathbf { j}} )
Respuesta:
Si (bω> 0, ; vecs T (0) = hat { mathbf {j}}, ) y si (bω <0, ; vecs T (0) = - hat { mathbf {j}} )
Si (a> 0, ; vecs N (0) = - hat { mathbf {i}}, ) y si (a <0, ; vecs N (0) = hat { mathbf {i}} )

14) Dado ( vecs r (t) = a cos (ωt) , hat { mathbf {i}} + b sin (ωt) , hat { mathbf {j}} ), encuentra el vector binormal ( vecs B (0) ).

15) Dado ( vecs r (t) = ⟨2e ^ t, e ^ t cos t, e ^ t sin t⟩ ), determina el vector unitario tangente ( vecs T (t) ).

Respuesta:
( begin {align *} vecs T (t) & = ⟨ frac {2} { sqrt {6}}, , frac { cos t− sin t} { sqrt {6}} , , frac { cos t + sin t} { sqrt {6}}⟩ [4pt]
& = ⟨ Frac { sqrt {6}} {3}, , frac { sqrt {6}} {6} ( cos t− sin t), , frac { sqrt {6} } {6} ( cos t + sin t)⟩ end {align *} )

16) Dado ( vecs r (t) = ⟨2e ^ t, e ^ t cos t, e ^ t sin t⟩ ), encuentre el vector unitario tangente ( vecs T (t) ) evaluado en (t = 0 ), ( vecs T (0) ).

17) Dado ( vecs r (t) = ⟨2e ^ t, e ^ t cos t, e ^ t sin t⟩ ), determina el vector normal unitario ( vecs N (t) ).

Respuesta:
( vecs N (t) = ⟨0, , - frac { sqrt {2}} {2} ( sin t + cos t), , frac { sqrt {2}} {2 } ( cos t- sin t)⟩ )

18) Dado ( vecs r (t) = ⟨2e ^ t, e ^ t cos t, e ^ t sin t⟩ ), encuentre el vector normal unitario ( vecs N (t) ) evaluado en (t = 0 ), ( vecs N (0) ).

Respuesta:
( vecs N (0) = ⟨0, ; - frac { sqrt {2}} {2}, ; frac { sqrt {2}} {2}⟩ )

19) Dado ( vecs r (t) = t , hat { mathbf {i}} + t ^ 2 , hat { mathbf {j}} + t , hat { mathbf {k }} ), encuentre el vector unitario tangente ( vecs T (t) ). El gráfico se muestra aquí:

Respuesta:
( vecs T (t) = frac {1} { sqrt {4t ^ 2 + 2}} <1,2t, 1> )

20) Encuentre el vector tangente unitario ( vecs T (t) ) y el vector normal unitario ( vecs N (t) ) en (t = 0 ) para la curva plana ( vecs r (t ) = ⟨T ^ 3−4t, 5t ^ 2−2⟩ ). El gráfico se muestra aquí:

21) Encuentra el vector tangente unitario ( vecs T (t) ) para ( vecs r (t) = 3t , hat { mathbf {i}} + 5t ^ 2 , hat { mathbf {j}} + 2t , hat { mathbf {k}} ).

Respuesta:
( vecs T (t) = frac {1} { sqrt {100t ^ 2 + 13}} (3 , hat { mathbf {i}} + 10t , hat { mathbf {j} } +2 , hat { mathbf {k}}) )

22) Encuentra el vector normal principal a la curva ( vecs r (t) = ⟨6 cos t, 6 sin t⟩ ) en el punto determinado por (t = frac {π} {3} ).

23) Encuentra ( vecs T (t) ) para la curva ( vecs r (t) = (t ^ 3−4t) , hat { mathbf {i}} + (5t ^ 2−2 ) , hat { mathbf {j}} ).

Respuesta:
( vecs T (t) = frac {1} { sqrt {9t ^ 4 + 76t ^ 2 + 16}} ([3t ^ 2−4] , hat { mathbf {i}} + 10t , hat { mathbf {j}}) )

24) Encuentra ( vecs N (t) ) para la curva ( vecs r (t) = (t ^ 3−4t) , hat { mathbf {i}} + (5t ^ 2−2 ) , hat { mathbf {j}} ).

25) Encuentra el vector tangente unitario ( vecs T (t) ) para ( vecs r (t) = ⟨2 sin t, , 5t, , 2 cos t⟩ ).

Respuesta:
( vecs T (t) = ⟨ frac {2 sqrt {29}} {29} cos t, , frac {5 sqrt {29}} {29}, , - frac {2 sqrt {29}} {29} sin t⟩ )

26) Encuentra el vector normal unitario ( vecs N (t) ) para ( vecs r (t) = ⟨2 sin t, , 5t, , 2 cos t⟩ ).

Respuesta:
( vecs N (t) = ⟨− sin t, 0, - cos t⟩ )

Parametrizaciones de la longitud del arco

27) Encuentra la función de longitud de arco ( vecs s (t) ) para el segmento de línea dado por ( vecs r (t) = ⟨3−3t, , 4t⟩ ). Luego escriba la parametrización de la longitud del arco de (r ) con (s ) como parámetro.

Respuesta:
Función de longitud de arco: (s (t) = 5t ); La parametrización de la longitud del arco de ( vecs r (t) ): ( vecs r (s) = (3− frac {3s} {5}) , hat { mathbf {i}} + frac {4s} {5} , hat { mathbf {j}} )

28) Parametrizar la hélice ( vecs r (t) = cos t , hat { mathbf {i}} + sin t , hat { mathbf {j}} + t , hat { mathbf {k}} ) usando el parámetro de longitud de arco (s ), de (t = 0 ).

29) Parametrice la curva usando el parámetro de longitud de arco (s ), en el punto en el que (t = 0 ) para ( vecs r (t) = e ^ t sin t , hat { mathbf {i}} + e ^ t cos t , hat { mathbf {j}} )

Respuesta:
( vecs r (s) = (1+ frac {s} { sqrt {2}}) sin ( ln (1+ frac {s} { sqrt {2}})) , sombrero { mathbf {i}} + (1+ frac {s} { sqrt {2}}) cos [ ln (1+ frac {s} { sqrt {2}})] , sombrero { mathbf {j}} )

Curvatura y círculo osculante

30) Encuentra la curvatura de la curva ( vecs r (t) = 5 cos t , hat { mathbf {i}} + 4 sin t , hat { mathbf {j}} ) en (t = π / 3 ). (Nota: El gráfico es una elipse).

31) Encuentre la coordenada (x ) - en la que la curvatura de la curva (y = 1 / x ) es un valor máximo.

Respuesta:
El valor máximo de la curvatura ocurre en (x = 1 ).

32) Encuentra la curvatura de la curva ( vecs r (t) = 5 cos t , hat { mathbf {i}} + 5 sin t , hat { mathbf {j}} ) . ¿Depende la curvatura del parámetro (t )?

33) Encuentra la curvatura (κ ) para la curva (y = x− frac {1} {4} x ^ 2 ) en el punto (x = 2 ).

Respuesta:
( frac {1} {2} )

34) Encuentra la curvatura (κ ) de la curva (y = frac {1} {3} x ^ 3 ) en el punto (x = 1 ).

35) Encuentra la curvatura (κ ) de la curva ( vecs r (t) = t , hat { mathbf {i}} + 6t ^ 2 , hat { mathbf {j}} + 4t , hat { mathbf {k}} ). El gráfico se muestra aquí:

Respuesta:
(κ≈ dfrac {49.477} {(17 + 144t ^ 2) ^ {3/2}} )

36) Encuentra la curvatura de ( vecs r (t) = ⟨2 sin t, 5t, 2 cos t⟩ ).

37) Encuentra la curvatura de ( vecs r (t) = sqrt {2} t , hat { mathbf {i}} + e ^ t , hat { mathbf {j}} + e ^ {−t} , hat { mathbf {k}} ) en el punto (P (0,1,1) ).

Respuesta:
( frac {1} {2 sqrt {2}} )

38) ¿En qué punto la curva (y = e ^ x ) tiene una curvatura máxima?

39) ¿Qué sucede con la curvatura como (x → ∞ ) para la curva (y = e ^ x )?

Respuesta:
La curvatura se acerca a cero.

40) Encuentre el punto de máxima curvatura en la curva (y = ln x ).

41) Encuentre las ecuaciones del plano normal y el plano osculador de la curva ( vecs r (t) = ⟨2 sin (3t), t, 2 cos (3t)⟩ ) en el punto ((0 , π, −2) ).

Respuesta:
(y = 6x + π ) y (x + 6y = 6π )

42) Encuentra las ecuaciones de los círculos osculantes de la elipse (4y ^ 2 + 9x ^ 2 = 36 ) en los puntos ((2,0) ) y ((0,3) ).

43) Encuentra la ecuación para el plano osculador en el punto (t = π / 4 ) en la curva ( vecs r (t) = cos (2t) , hat { mathbf {i}} + sin (2t) , hat { mathbf {j}} + t , hat { mathbf {k}} ).

Respuesta:
(x + 2z = frac {π} {2} )

44) Encuentra el radio de curvatura de (6y = x ^ 3 ) en el punto ((2, frac {4} {3}). )

45) Encuentra la curvatura en cada punto ((x, y) ) de la hipérbola ( vecs r (t) = ⟨a cosh (t), b sinh (t)⟩ ).

Respuesta:
( dfrac {a ^ 4b ^ 4} {(b ^ 4x ^ 2 + a ^ 4y ^ 2) ^ {3/2}} )

46) Calcula la curvatura de la hélice circular ( vecs r (t) = r sin (t) , hat { mathbf {i}} + r cos (t) , hat { mathbf { j}} + t , hat { mathbf {k}} ).

47) Encuentra el radio de curvatura de (y = ln (x + 1) ) en el punto ((2, ln 3) ).

Respuesta:
( frac {10 sqrt {10}} {3} )

48) Encuentra el radio de curvatura de la hipérbola (xy = 1 ) en el punto ((1,1) ).

Una partícula se mueve a lo largo de la curva plana (C ) descrita por ( vecs r (t) = t , hat { mathbf {i}} + t ^ 2 , hat { mathbf {j}} ). Utilice esta parametrización para responder las preguntas 49 a 51.

49) Encuentra la longitud de la curva en el intervalo ([0,2] ).

Respuesta:
( frac {1} {4} big [4 sqrt {17} + ln left (4+ sqrt {17} right) big] text {unidades} approx 4.64678 text {unidades } )

50) Encuentre la curvatura de la curva plana en (t = 0,1,2 ).

51) Describe la curvatura como t aumenta de (t = 0 ) a (t = 2 ).

Respuesta:
La curvatura está disminuyendo durante este intervalo.

La superficie de una taza grande se forma girando la gráfica de la función (y = 0.25x ^ {1.6} ) desde (x = 0 ) a (x = 5 ) alrededor de (y ) -eje (medido en centímetros).

52) [T] Usa la tecnología para graficar la superficie.

53) Encuentra la curvatura (κ ) de la curva generadora en función de (x ).

Respuesta:
(κ = dfrac {30} {x ^ {2/5} left (25 + 4x ^ {6/5} right) ^ {3/2}} )

Tenga en cuenta que inicialmente su respuesta puede ser:
( dfrac {6} {25x ^ {2/5} left (1+ frac {4} {25} x ^ {6/5} right) ^ {3/2}} )

Podemos simplificarlo de la siguiente manera:
( begin {align *} dfrac {6} {25x ^ {2/5} left (1+ frac {4} {25} x ^ {6/5} right) ^ {3/2} } & = dfrac {6} {25x ^ {2/5} big [ frac {1} {25} left (25 + 4x ^ {6/5} right) big] ^ {3/2 }} [4pt]
& = dfrac {6} {25x ^ {2/5} left ( frac {1} {25} right) ^ {3/2} big [25 + 4x ^ {6/5} big] ^ {3/2}} [4pt]
& = dfrac {6} { frac {25} {125} x ^ {2/5} big [25 + 4x ^ {6/5} big] ^ {3/2}} [4pt]
& = dfrac {30} {x ^ {2/5} left (25 + 4x ^ {6/5} right) ^ {3/2}} end {align *} )

54) [T] Utilice la tecnología para graficar la función de curvatura.


1.4.4E: Ejercicios para la Sección 12.4 - Matemáticas

L.H.S. =

C1→ C1+ C2

=

Según las propiedades del determinante


Pregunta 2.

L.H.S. =

= 0 [∵ Cada elemento de C1 son 0]

Ahora, L.H.S. = R.H.S.


Pregunta 3.

L.H.S. =

C3→ C3-C1

=

=

= 9 × 0 = 0 [∵C2 & C3 Son identicos]

Ahora, L.H.S. = R.H.S.

Por lo tanto probado

Pregunta 4.

L.H.S. =

=

Ahora, L.H.S. = R.H.S.

Por lo tanto probado

Pregunta 5.

L.H.S. =

Ahora, L.H.S. = R.H.S.


Pregunta 6.

Sea Δ =

Tomando (-1) común de cada fila

Δ = (- 1) 3

Intercambiar filas y columnas

Δ = -

Ahora, Δ = -Δ

Δ + Δ = 0

2Δ = 0


Pregunta 7.

L.H.S. =

Tomando un común de la Fila 1,

b de la Fila 2,

c de la Fila 3, tenemos

Ahora, L.H.S. = R.H.S.


Utilizando las propiedades de los determinantes, en los Ejercicios 8 a 14, demuestre que:

Pregunta 8 (i).

(ii)

(I) L.H.S. =

Ahora, L.H.S. = R.H.S.

Por lo tanto probado

(ii) L.H.S. =

Ahora, L.H.S. = R.H.S.


Pregunta 9.

L.H.S. =

Ahora, L.H.S. = R.H.S.


Pregunta 10. (i)

(ii)

(I) L.H.S. =

Ahora, L.H.S. = R.H.S.

Por lo tanto probado

(ii) L.H.S. =

Ahora, L.H.S. = R.H.S.

Por lo tanto probado


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  • Capítulo 1: Resolución de problemas
    • 1.1: Razonamiento inductivo y deductivo (28)
    • 1.2: Resolución de problemas con patrones (17)
    • 1.3: Estrategias de resolución de problemas (21)
    • 1: Ejercicios de repaso
    • 1: prueba
    • 1.IR1: Sumar números enteros (54)
    • 1.IR2: Resolver problemas de aplicaciones (6)
    • 1.IR3: Restar números enteros sin pedir prestado (31)
    • 1.IR4: Restar números enteros con préstamos (56)
    • 1.IR5: Evaluar una expresión variable (48)
    • 1.IR6: Encuentre la raíz cuadrada de un cuadrado perfecto (44)
    • 1.IR7: Leer un gráfico circular (11)
    • 1.IR8: Leer un gráfico de barras (6)
    • 1.IR9: leer un gráfico de línea discontinua (6)
    • 1.IR10: Escriba los términos de una secuencia (22)
    • 2.1: Propiedades básicas de los conjuntos (40)
    • 2.2: Complementos, subconjuntos y diagramas de Venn (28)
    • 2.3: Establecer operaciones (27)
    • 2.4: Aplicaciones de Conjuntos (24)
    • 2.5: Conjuntos infinitos (17)
    • 2: Ejercicios de repaso
    • 2: prueba
    • 2: Laboratorio receptivo: diagramas de Venn (1)
    • 2.IR1: Conjuntos de escritura y gráficos (45)
    • 2.IR2: Encuentre la unión y la intersección de conjuntos (30)
    • 3.1: Enunciados lógicos y cuantificadores (27)
    • 3.2: Tablas de verdad, afirmaciones equivalentes y tautologías (22)
    • 3.3: Lo condicional y lo bicondicional (21)
    • 3.4: Las declaraciones condicionales y conexas (17)
    • 3.5: Argumentos simbólicos (19)
    • 3.6: Argumentos y diagramas de Euler (18)
    • 3: Ejercicios de repaso
    • 3: prueba
    • 3.IR1: Evaluar expresiones exponenciales y usar el acuerdo de orden de operaciones (3)
    • 3.IR2: Usar e identificar las propiedades de los números reales (18)
    • 4.1: Introducción al prorrateo (18)
    • 4.2: Introducción a la votación (22)
    • 4.3: Sistemas de votación ponderada (24)
    • 4: Ejercicios de repaso
    • 4: prueba
    • 4: Laboratorio de respuesta: Teorema de imposibilidad de Arrow (1)
    • 4.IR1: Multiplica un número por un solo dígito (39)
    • 4.IR2: Dividir por un solo dígito sin resto en el cociente (16)
    • 4.IR3: Dividir por un solo dígito con un resto en el cociente (25)
    • 4.IR4: Simplificar expresiones que contienen exponentes (40)
    • 4.IR5: Use el acuerdo de orden de operaciones para simplificar expresiones (40)
    • 4.IR6: Redondear un decimal a un valor posicional dado (14)
    • 4.IR7: Convertir fracciones en decimales (10)
    • 4.IR8: Escriba un decimal o una fracción como porcentaje (37)
    • 4.IR9: Escribir un conjunto usando el método de lista (18)
    • 4.IR10: Resolver una desigualdad utilizando la propiedad de suma de las desigualdades (35)
    • 4.IR11: Evaluar expresiones que contienen el símbolo de valor absoluto (50)
    • 4.IR12: Evaluar expresiones variables (26)
    • 5.1: Gráficos y circuitos de Euler (17)
    • 5.2: Gráficos ponderados (22)
    • 5.3: Planaridad y fórmula de Euler (16)
    • 5.4: Coloración de gráficos (13)
    • 5: Ejercicios de repaso
    • 5: prueba
    • 5: Laboratorio receptivo: algoritmos gráficos completos (1)
    • 5.IR1: Identificar la relación de orden entre dos números (11)
    • 5.IR2: Evaluar expresiones variables (26)
    • 5.IR3: Resolver una ecuación de la forma X + a = B (30)
    • 6.1: Sistemas de numeración temprana (35)
    • 6.2: Sistemas de valor posicional (33)
    • 6.3: Diferentes sistemas base (35)
    • 6.4: Aritmética en diferentes bases (26)
    • 6.5: Números primos (21)
    • 6.6: Temas de la teoría de números (24)
    • 6: Ejercicios de repaso
    • 6: prueba
    • 6.IR1: Identificar la relación de orden entre dos números (11)
    • 6.IR2: Escriba números enteros en palabras y en forma estándar (8)
    • 6.IR3: Dividir por un solo dígito sin resto en el cociente (16)
    • 7.1: Medida (13)
    • 7.2: Conceptos básicos de geometría euclidiana (24)
    • 7.3: Figuras de perímetro y área de planos (32)
    • 7.4: Propiedades de los triángulos (27)
    • 7.5: Volumen y superficie (32)
    • 7.6: Trigonometría de triángulo rectángulo (24)
    • 7.7: Geometría no euclidiana (22)
    • 7.8: Fractales (20)
    • 7: Ejercicios de repaso
    • 7: prueba
    • 7: Laboratorio receptivo: polígonos regulares (1)
    • 7.IR1: Encuentre la longitud y el punto medio de un segmento de línea (13)
    • 7.IR2: Resolver problemas que involucran ángulos formados por líneas que se cruzan (8)
    • 7.IR3: Hallar el perímetro de figuras geométricas planas (10)
    • 7.IR4: Hallar el área de figuras geométricas (11)
    • 7.IR5: Hallar el volumen de sólidos geométricos (11)
    • 7.IR6: Resolver triángulos semejantes y congruentes (9)
    • 8.1: Aritmética modular (25)
    • 8.2: Aplicaciones de la aritmética modular (23)
    • 8.3: Introducción a la teoría de grupos (27)
    • 8: Ejercicios de repaso
    • 8: prueba
    • 8.IR1: Dividir por un solo dígito sin resto en el cociente (16)
    • 8.IR2: Dividir por un solo dígito con un resto en el cociente (25)
    • 8.IR3: Dividir por números enteros más grandes (32)
    • 8.IR4: Simplifique una expresión de variable usando las propiedades de la suma (37)
    • 8.IR5: Determinar si un número dado es una solución de una ecuación (17)
    • 8.IR6: Evaluar expresiones variables (26)
    • 9.1: Ecuaciones y fórmulas de primer grado (26)
    • 9.2: Tasa, razón y proporción (26)
    • 9.3: Porcentaje (27)
    • 9.4: Ecuaciones de segundo grado (26)
    • 9: Ejercicios de repaso
    • 9: prueba
    • 9: Laboratorio receptivo: escalado de una receta (1)
    • 9.IR1: Usar e identificar las propiedades de los números reales (19)
    • 9.IR2: Evaluar una expresión variable (17)
    • 9.IR3: Simplificar una expresión variable (34)
    • 9.IR4: Resolver una ecuación usando la propiedad de suma o multiplicación de las ecuaciones (35)
    • 9.IR5: Tasas y ratios de escritura (4)
    • 9.IR6: Utilice unidades de medida en el sistema habitual de EE. UU. (10)
    • 9.IR7: Escriba como fracción y como decimal (41)
    • 9.IR8: Escribir fracciones y decimales como porcentajes (43)
    • 10.1: Funciones y coordenadas rectangulares (26)
    • 10.2: Propiedades de funciones lineales (21)
    • 10.3: Encontrar modelos lineales (30)
    • 10.4: Funciones cuadráticas (24)
    • 10.5: Funciones exponenciales (25)
    • 10.6: Funciones logarítmicas (27)
    • 10: Ejercicios de repaso
    • 10: prueba
    • 10: Laboratorio receptivo: crecimiento de la población (1)
    • 10.IR1: Encuentre la longitud y el punto medio de un segmento de línea (13)
    • 10.IR2: Graficar una función lineal (15)
    • 10.IR3: Hallar la pendiente de una línea dados dos puntos (28)
    • 10.IR4: Evaluar funciones polinomiales (9)
    • 10.IR5: Encuentre las intersecciones x de una parábola (47)
    • 10.IR6: Encuentre el mínimo o máximo de una función cuadrática (14)
    • 10.IR7: Evaluar una función exponencial (13)
    • 10.IR8: Graficar una función exponencial (13)
    • 10.IR9: Hallar el logaritmo de un número (27)
    • 10.IR10: Usar las propiedades de los logaritmos para simplificar expresiones que contienen logaritmos (52)
    • 10.IR11: Utilice la fórmula de cambio de base (16)
    • 10.IR12: Grafique una función logarítmica (12)
    • 10.IR13: Resuelva una ecuación exponencial (18)
    • 10.IR14: Resuelva una ecuación logarítmica (10)
    • 11.1: Interés simple (36)
    • 11.2: Interés compuesto (34)
    • 11.3: Tarjetas de crédito y préstamos al consumo (28)
    • 11.4: Acciones, bonos y fondos mutuos (21)
    • 11.5: Propiedad de la vivienda (26)
    • 11: Ejercicios de repaso
    • 11: Prueba
    • 11: Laboratorio receptivo: tarjetas de crédito (1)
    • 11.IR1: Resolver problemas de inversión (6)
    • 11.IR2: Resolver problemas de aplicaciones (27)
    • 12.1: El principio de contar (21)
    • 12.2: Permutaciones y combinaciones (33)
    • 12.3: Probabilidad y probabilidades (28)
    • 12.4: Reglas de adición y complemento (29)
    • 12.5: Probabilidad condicional (28)
    • 12.6: Expectativa (25)
    • 12: Ejercicios de repaso
    • 12: Prueba
    • 12: Laboratorio receptivo: placas de matrícula (1)
    • 12.IR1: escribir una fracción en su forma más simple (39)
    • 12.IR2: Sumar fracciones con el mismo denominador (18)
    • 12.IR3: Sumar fracciones con diferentes denominadores (26)
    • 12.IR4: Sumar números enteros, números mixtos y fracciones (30)
    • 12.IR5: Dividir fracciones (34)
    • 12.IR6: Determinar la probabilidad de eventos simples (15)
    • 12.IR7: Determine las probabilidades de un evento (7)
    • 12.IR8: Evaluar expresiones variables (26)
    • 12.IR9: Expandir (a + B) n (21)
    • 13.1: Medidas de tendencia central (23)
    • 13.2: Medidas de dispersión (22)
    • 13.3: Medidas de posición relativa (26)
    • 13.4: Distribución normal (23)
    • 13.5: Correlación y regresión lineal (18)
    • 13: Ejercicios de repaso
    • 13: Prueba
    • 13: Laboratorio receptivo: distribuciones aproximadamente normales (1)
    • 13.IR1: Determinar soluciones de ecuaciones lineales en dos variables (21)
    • 13.IR2: Ecuaciones gráficas de la forma y = mx + B (35)
    • 13.IR3: Determine la media, la mediana y la moda de una distribución (12)
    • 13.IR4: Dibujar un diagrama de caja y bigotes (7)
    • 13.IR5: Calcular la desviación estándar de una distribución (5)

    Excursiones Matemáticas, Cuarta edición, de Aufmann, Lockwood, Nation y Clegg, explora varios temas que ejemplifican el poder y la diversidad de las matemáticas. El texto les enseña a los estudiantes que las matemáticas son un sistema de comprensión de nuestro entorno conectando conceptos con aplicaciones contemporáneas. El componente WebAssign de este título involucra a los estudiantes con muchas funciones y enlaces a un libro electrónico completo.

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    Permutación y combinación

    Un hombre puede entrar al estadio de 4 formas. Una vez más, el hombre puede salir del estadio de 9 maneras.

    Entonces, el número total de vías con las que un hombre entra y luego sale del estadio = 4 * 9 = 36 vías.

    Hay 6 opciones para que un estudiante ingrese al albergue. Hay 5 opciones para que un estudiante salga del albergue ya que se debe usar una puerta diferente.

    Entonces, número total de vías = 6 * 5 = 30.

    Hay 7 opciones para el 1 er hijo, 6 opciones para el 2 er hijo y 5 opciones para el 3 er hijo.

    Ahora, según el principio básico de contar, el número total de formas de elección = 7 * 6 * 5 = 210.

    Un hombre puede ir de la ciudad A a la ciudad B de 5 maneras. Como tiene que regresar por un camino diferente, puede regresar de la ciudad B a la ciudad A de 4 maneras.

    Entonces, el número total de caminos por los cuales un hombre puede ir de la ciudad A a la ciudad B y regresa por un camino diferente = 5 * 4 = 20 caminos.

    Una persona puede ir de la ciudad A a la ciudad B de 5 maneras. Nuevamente, puede ir de la ciudad B a la ciudad C de 4 maneras. Entonces, una persona puede ir de la ciudad A a la ciudad C en 5 * 4 = 20 vías. La persona tiene que regresar de C a A sin conducir dos veces por la misma carretera, por lo que puede regresar de la ciudad C a la ciudad B de 3 maneras y de la ciudad B a la ciudad A de 4 maneras.

    Entonces, puede regresar de la ciudad C a la ciudad A de 3 * 4 = 12 formas.

    Entonces, el número total de vías por las que una persona puede ir de la ciudad A a la ciudad C y regresar de la ciudad C a la ciudad A = 20 * 12 = 240 vías.

    Los números formados deben tener al menos 3 dígitos, lo que significa que pueden ser de 3 dígitos, 4 dígitos, 5 dígitos o 6 dígitos.

    Hay 6 opciones de dígitos en el lugar de las unidades. Hay 5 y 4 opciones para dígitos en diez y cien y rsquos respectivamente.

    Entonces, número total de formas en que se pueden formar números de 3 dígitos = 6.5.4 = 120

    De manera similar, el número total de formas mediante las cuales se pueden formar números de 4 dígitos = 6.5.4.3 = 360.

    el total no. de las formas en que se pueden formar números de 5 dígitos = 6.5.4.3.2 = 720.

    El número total de formas mediante las cuales se pueden formar números de 4 dígitos = 6.5.4.3.2.1 = 720.

    Entonces, el número total de formas por las cuales se pueden formar números de al menos 3 dígitos = 120 + 360 + 720 + 720 = 1920.

    Los números formados deben ser de tres dígitos y menos de 500, por lo que el dígito en el lugar de los cien y rsquos debe ser 1, 2, 3 o 4. Por lo tanto, hay 4 opciones para el dígito en el lugar de los cien y rsquos. Hay 5 opciones para el dígito en el lugar de diez & rsquos. Hay 4 opciones para el dígito en el lugar de unidad y rsquos.

    Entonces, ninguna de las formas en las que se pueden formar números de 3 dígitos menores a 500 = 4.5.4 = 80.

    Los números formados deben ser pares. Entonces, el dígito en el lugar de la unidad & rsquos debe ser 2 o 4. Entonces, el dígito en el lugar de la unidad & rsquos debe ser 2 o 4. Entonces, para el dígito en el lugar de la unidad & rsquos, hay 2 opciones. Entonces, después de fijar el dígito en el lugar de la unidad y rsquos, las 4 cifras restantes se pueden ordenar en P (4,4) formas.

    Entonces, el número total de formas por las cuales se pueden formar 5 números pares = 2 * 24 = 48.

    Los números formados deben ser de 4 dígitos. El dígito en el lugar de mil & rsquos siempre debe ser 4. Para esto, solo hay una opción. Después de eso, n = 6 & ndash 1 = 5, r = 4 & ndash 1 = 3. Luego, las 5 figuras restantes se pueden colocar en los 3 lugares restantes en:

    Por lo tanto, el número total de formas mediante las cuales se pueden formar números de 4 dígitos entre 4,000 y 5,000 = 1 * 60 = 60.

    Para los números de tres dígitos, hay 5 formas de completar el primer lugar, hay 4 formas de completar el segundo lugar y hay 3 formas de completar el tercer lugar. Según el principio básico de contar, número de números de tres dígitos = 5 * 4 * 3 = 60.


    1.4.4E: Ejercicios para la Sección 12.4 - Matemáticas

    Instructor: Peijun Li

    Información

    • Sección 111: TR 10:30 - 11:45 AM, WTHR 104
    • Libro de texto: Álgebra lineal: Ideas y aplicaciones, por Richard C. Penny, 4ta edición, Wiley

    Enlaces

    Notas de lectura

    Exámenes

    • Exam1, jueves 25 de febrero
    • Exam2, jueves 8 de abril
    • Examen final, viernes 7 de mayo

    Tarea

    Nota: "TF" es para las preguntas verdadero-falso "E" es para los ejercicios.

    Fecha de vencimiento Asignación de tareas
    1/26
    (HW # 1) Sección 1.1: TF # 1.1, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8 E # 1.5, 1.10, 1.12, 1.18, 1.19, 1.20
    2/2
    (HW # 2) Sección 1.2: TF # 1.16, 1.17 E # 1.49, 1.50, 1.51, 1.55 (e) (f)
    2/9
    (HW # 3) Sección 1.3: TF # 1.20, 1.21, 1.23 E # 1.63, 1.65 (a) (b) (d) (f), 1.69, 1.78, 1.79, 1.80
    (HW # 3) Sección 1.4: TF # 1.33, 1.34, 1.35 E # 1.104, 1.119, 1.120
    2/16
    (HW # 4) Sección 2.1: TF # 2.3, 2.4 E # 2.1, 2.3, 2.7
    2/23
    (HW # 5) Sección 2.2: TF # 2.10, 2.11, 2.13, 2.17 E # 2.28, 2.32, 2.34, 2.35, 2.39
    (HW # 5) Sección 2.3: Sección 2.3: TF # 2.21, 2,22, 2.23 E # 2.65, 2.72, 2.80
    3/9
    (HW # 6) Sección 3.1: TF # 3.1, 3.6 E # 3.11, 3.12
    (HW # 6) Sección 3.2: TF # 3.16, 3.18 E # 3.26, 3.45, 3.48
    3/16
    (HW # 7) Sección 3.3: TF # 3.26, 3.27, 3.28 E # 3.64 (a) (b) (c) (d) (h), 3.71, 3.84
    (HW # 7) Sección 3.4: E # 3.101 (a) (b)
    3/23
    (HW # 8) Sección 3.5: TF # 3.31, 3.33, 3.35, 3.37, 3.39 E # 3.117 (a) (c), 3.122, 3.124, 3.127
    3/30
    (HW # 9) Sección 4.1: TF # 4.1, 4.2, 4.3 E # 4.1, 4.8
    4/6
    (HW # 10) Sección 4.2: TF # 4.8, 4.9, 4.10 E # 4.15, 4.24, 4.25
    (HW # 10) Sección 4.3: TF # 4.12, 4.13 E # 4.34, 4.36, 4.41, 4.43
    4/20
    (HW # 11) Sección 5.1: TF # 5.1, 5.3, 5.5, 5.6, 5.8, 5.10 E # 5.1, 5.5 (a) (b) (c), 5.11, 5.12
    4/27
    (HW # 12) Sección 5.2: TF # 5.12, 5.13, 5.14 E # 5.29 (a) (b), 5.33, 5.34, 5.35

    Calendario de cursos

    Nota: El horario del curso es provisional y cualquier cambio se anunciará en clase.


    Capítulo 1

    No, porque no pasa la prueba de la línea horizontal.

    1.2 Dominio y rango

    1. Ⓐ valores que son menores o iguales que –2, o valores que son mayores o iguales que –1 y menores que 3
    2. ⓒ ( − ∞ , − 2 ] ∪ [ − 1 , 3 ) ( − ∞ , − 2 ] ∪ [ − 1 , 3 )

    dominio = [1950,2002] rango = [47,000,000,89,000,000]

    1.3 Tasas de cambio y comportamiento de los gráficos

    1.4 Composición de funciones

    (fg) (x) = f (x) g (x) = (x - 1) (x 2 - 1) = x 3 - x 2 - x + 1 (f - g) (x) = f (x) - g (x) = (x - 1) - (x 2 - 1) = x - x 2 (fg) (x) = f (x) g (x) = (x - 1) (x 2 - 1) = x 3 - x 2 - x + 1 (f - g) (x) = f (x) - g (x) = (x - 1) - (x 2 - 1) = x - x 2

    No, las funciones no son las mismas.

    1.5 Transformación de funciones

    1.6 Funciones de valor absoluto

    1.7 Funciones inversas

    f - 1 (x) = (2 - x) 2 dominio de f: [0, ∞) dominio de f - 1: (- ∞, 2] f - 1 (x) = (2 - x) 2 dominio de f : [0, ∞) dominio de f - 1: (- ∞, 2]

    1.1 Ejercicios de sección

    Una relación es un conjunto de pares ordenados. Una función es un tipo especial de relación en la que no hay dos pares ordenados que tengan la misma primera coordenada.

    Cuando una línea vertical interseca el gráfico de una relación más de una vez, eso indica que para esa entrada hay más de una salida. En cualquier valor de entrada particular, solo puede haber una salida si la relación va a ser una función.

    Cuando una línea horizontal interseca la gráfica de una función más de una vez, eso indica que para esa salida hay más de una entrada. Una función es uno a uno si cada salida corresponde a una sola entrada.

    sol (x) - sol (una) x - una = x + una + 2, x ≠ una sol (x) - sol (una) x - una = x + una + 2, x ≠ una

    no es una función, por lo que tampoco es una función uno a uno

    función, pero no uno a uno

    f (- 2) = 14 f (- 1) = 11 f (0) = 8 f ​​(1) = 5 f (2) = 2 f (- 2) = 14 f (- 1) = 11 f (0) = 8 f ​​(1) = 5 f (2) = 2

    f (- 2) = 4 f (- 1) = 4.414 f (0) = 4.732 f (1) = 5 f (2) = 5.236 f (- 2) = 4 f (- 1) = 4.414 f (0) = 4.732 f (1) = 5 f (2) = 5.236

    f (- 2) = 1 9 f (- 1) = 1 3 f (0) = 1 f (1) = 3 f (2) = 9 f (- 2) = 1 9 f (- 1) = 1 3 f (0) = 1 f (1) = 3 f (2) = 9

    1. Ⓐ La altura de un cohete sobre el suelo después de 1 segundo es de 200 pies.
    2. Ⓑ la altura de un cohete sobre el suelo después de 2 segundos es 350 pies.

    1.2 Ejercicios de sección

    El dominio de una función depende de qué valores de la variable independiente hacen que la función sea indefinida o imaginaria.

    f (- 3) = 1 f (- 2) = 0 f (- 1) = 0 f (0) = 0 f (- 3) = 1 f (- 2) = 0 f (- 1) = 0 f ( 0) = 0

    f (- 1) = - 4 f (0) = 6 f (2) = 20 f (4) = 34 f (- 1) = - 4 f (0) = 6 f (2) = 20 f (4) = 34

    f (- 1) = - 5 f (0) = 3 f (2) = 3 f (4) = 16 f (- 1) = - 5 f (0) = 3 f (2) = 3 f (4) = 16

    Muchas respuestas. Una función es f (x) = 1 x - 2. f (x) = 1 x - 2.

    1.3 Ejercicios de sección

    Sí, la tasa de cambio promedio de todas las funciones lineales es constante.

    El máximo y el mínimo absolutos se relacionan con todo el gráfico, mientras que los extremos locales se relacionan solo con una región específica alrededor de un intervalo abierto.

    aproximadamente –0,6 miligramos por día

    1.4 Ejercicios de sección

    f (g (x)) = x 2 + 3 + 2, g (f (x)) = x + 4 x + 7 f (g (x)) = x 2 + 3 + 2, g (f (x) ) = x + 4 x + 7

    f (g (x)) = x + 1 x 3 3 = x + 1 3 x, g (f (x)) = x 3 + 1 xf (g (x)) = x + 1 x 3 3 = x + 1 3 x, sol (f (x)) = x 3 + 1 x

    (f ∘ g) (x) = 1 2 x + 4 - 4 = x 2, (g ∘ f) (x) = 2 x - 4 (f ∘ g) (x) = 1 2 x + 4 - 4 = x 2, (sol f) (x) = 2 x - 4

    f (g (h (x))) = (1 x + 3) 2 + 1 f (g (h (x))) = (1 x + 3) 2 + 1

    muestra: f (x) = x 3 g (x) = x - 5 f (x) = x 3 g (x) = x - 5

    muestra: f (x) = 4 x g (x) = (x + 2) 2 f (x) = 4 x g (x) = (x + 2) 2

    muestra: f (x) = x 3 g (x) = 1 2 x - 3 f (x) = x 3 g (x) = 1 2 x - 3

    muestra: f (x) = x 4 g (x) = 3 x - 2 x + 5 f (x) = x 4 g (x) = 3 x - 2 x + 5

    f (g (0)) = 27, g (f (0)) = - 94 f (g (0)) = 27, g (f (0)) = - 94

    f (g (0)) = 1 5, g (f (0)) = 5 f (g (0)) = 1 5, g (f (0)) = 5

    (f ∘ g) (11) = 11, (g ∘ f) (11) = 11 (f ∘ g) (11) = 11, (g ∘ f) (11) = 11

    1.5 Ejercicios de sección

    Un desplazamiento horizontal se produce cuando se suma o se resta una constante a la entrada. Un desplazamiento vertical se produce cuando se suma o se resta una constante a la salida.

    Se produce una compresión horizontal cuando una constante mayor que 1 se multiplica por la entrada. Se produce una compresión vertical cuando una constante entre 0 y 1 se multiplica por la salida.

    g (x) = f (x - 1), h (x) = f (x) + 1 g (x) = f (x - 1), h (x) = f (x) + 1

    La gráfica de la función se estira horizontalmente en un factor de 3 y luego se desplaza verticalmente hacia abajo en 3 unidades.

    1.6 Ejercicios de sección

    Primero, determine los puntos fronterizos encontrando la (s) solución (es) de la ecuación. Utilice los puntos límite para formar posibles intervalos de solución. Elija un valor de prueba en cada intervalo para determinar qué valores satisfacen la desigualdad.

    1.7 Ejercicios de sección

    Cada salida de una función debe tener exactamente una salida para que la función sea uno a uno. Si cualquier línea horizontal cruza la gráfica de una función más de una vez, eso significa que los valores y y se repiten y la función no es uno a uno. Si ninguna línea horizontal cruza la gráfica de la función más de una vez, entonces no se repiten los valores y y la función es uno a uno.

    sí. Por ejemplo, f (x) = 1 x f (x) = 1 x es su propia inversa.

    dominio de f (x): [- 7, ∞) f - 1 (x) = x - 7 f (x): [- 7, ∞) f - 1 (x) = x - 7

    dominio de f (x): [0, ∞) f - 1 (x) = x + 5 f (x): [0, ∞) f - 1 (x) = x + 5

    f (g (x)) = x, g (f (x)) = x f (g (x)) = x, g (f (x)) = x

    Ejercicios de repaso

    - 64 + 80 a - 16 a 2-1 + a = - 16 a + 64-64 + 80 a - 16 a 2-1 + a = - 16 a + 64

    (f ∘ g) (x) = 17 - 18 x (g ∘ f) (x) = - 7 - 18 x (f ∘ g) (x) = 17 - 18 x (g ∘ f) (x) = - 7 - 18 x

    (f ∘ g) (x) = 1 + x 1 + 4 x, x ≠ 0, x ≠ - 1 4 (f ∘ g) (x) = 1 + x 1 + 4 x, x ≠ 0, x ≠ - 1 4

    muestra: g (x) = 2 x - 1 3 x + 4 f (x) = x g (x) = 2 x - 1 3 x + 4 f (x) = x

    La función no es uno a uno.

    Examen de práctica

    La relación es una función.

    La gráfica es una parábola y no pasa la prueba de la línea horizontal.

    f (x) = <| x | si x ≤ 2 3 si x & gt 2 f (x) = <| x | si x ≤ 2 3 si x & gt 2

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      • Autores: Jay Abramson
      • Editor / sitio web: OpenStax
      • Título del libro: Precálculo
      • Fecha de publicación: 23 de octubre de 2014
      • Ubicación: Houston, Texas
      • URL del libro: https://openstax.org/books/precalculus/pages/1-introduction-to-functions
      • URL de la sección: https://openstax.org/books/precalculus/pages/chapter-1

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      Matemáticas discretas y programación funcional

      Este sitio proporciona información y material complementario para Thomas VanDrunen, Matemáticas discretas y programación funcional Agosto de 2012 por Franklin, Beedle and Associates. (Consulte la entrada del catálogo de Franklin Beedle).

      He escrito una nueva versión de la Sección 6.12 sobre la codificación de Huffman. Aquí hay un PDF de la nueva sección, y también puede obtener el código SML revisado.

      1. Videos

      Estoy produciendo una serie de videos para acompañar el texto, tanto para ayudar a quienes están estudiando el libro de forma independiente como para ser una ayuda para el uso en el aula (por ejemplo, asignando estos videos para apoyar un modelo de "aula invertida"). Si hay alguna sección para la que le resulte particularmente útil un video, hágamelo saber. Vea también el canal de YouTube.

      • Introducción al libro (y curso). [MP4] [YouTube]
      • Conjuntos y elementos, Secciones 1. (1-3). [MP4] [YouTube]
      • Establecer operaciones y verificar hechos, Secciones 1. (4 y 5), Parte 1. [MP4] [YouTube]
      • Establecer operaciones y verificar hechos, Secciones 1. (4 y 5), Parte 2. [MP4] [YouTube]
      • Introducción al ML, Sección 1.6. [MP4] [YouTube]
      • Cardinalidad, producto cartesiano y otros conceptos de conjuntos misceláneos, Secciones 1. (8 y 9). [MP4] [YouTube]
      • Escribir los propios tipos y operaciones, Secciones 1. (10-12), Parte 1. [MP4] [YouTube]
      • Escribir los propios tipos y operaciones, Secciones 1. (10-12), Parte 2 (introducción a la recursividad). [MP4] [YouTube]
      • Introducción a las listas en ML, Sección 2.1. [MP4] [YouTube] NUEVO
      • Funciones en listas en ML, Sección 2.2. [MP4] [YouTube] NUEVO
      • Powersets, Sección 2.4. [MP4] [YouTube] NUEVO
      • Propiedades de las relaciones, Sección 5.4. [MP4] [YouTube]

      2. Extractos

      3. Documento relacionado

      The Case for Teaching Functional Programming in Discrete Math, un artículo en el Simposio de Educadores y Formadores en SPLASH (anteriormente OOPSLA) 2011 que describe el enfoque que se encuentra en este libro.

      4. Recursos para estudiantes

      Estoy preparando una colección de soluciones a ejercicios para ayudar a los estudiantes a estudiar el texto por su cuenta. Esto sustituirá a una sección de "fondo del libro". Será bastante limitado, ya que los ejercicios también deben servir como problemas de tarea para la evaluación. Estoy publicando el trabajo en progreso aquí:

      5. Recursos para instructores

      Para obtener información sobre cómo revisar este libro o asuntos relacionados, comuníquese con Tom Sumner en Franklin, Beedle. Para comentarios sobre el texto, informes de erratas, etc., comuníquese con Thomas VanDrunen.


      12.4 Energía libre

      Uno de los desafíos de usar la segunda ley de la termodinámica para determinar si un proceso es espontáneo es que requiere mediciones del cambio de entropía del sistema. y el cambio de entropía del entorno. Un enfoque alternativo que involucra una nueva propiedad termodinámica definida en términos de propiedades del sistema solo fue introducido a fines del siglo XIX por el matemático estadounidense Josiah Willard Gibbs. Esta nueva propiedad se llama energía libre de Gibbs (GRAMO) (o simplemente el energía gratis), y se define en términos de entalpía y entropía de un sistema de la siguiente manera:

      La energía libre es una función de estado y, a temperatura y presión constantes, el cambio de energía libre (ΔGRAMO) puede expresarse como sigue:

      (En aras de la simplicidad, el subíndice "sys" se omitirá de ahora en adelante).

      La relación entre esta propiedad del sistema y la espontaneidad de un proceso puede entenderse recordando la expresión de la segunda ley derivada previamente:

      La primera ley requiere que qsurr = −qsys, y a presión constante qsys = ΔH, por lo que esta expresión se puede reescribir como:

      Multiplicando ambos lados de esta ecuación por -T, y reorganizar produce lo siguiente:

      La comparación de esta ecuación con la anterior para el cambio de energía libre muestra la siguiente relación:

      El cambio de energía libre es, por tanto, un indicador fiable de la espontaneidad de un proceso, estando directamente relacionado con el indicador de espontaneidad previamente identificado, ΔSuniv. La tabla 12.3 resume la relación entre la espontaneidad de un proceso y los signos aritméticos de estos indicadores.

      ¿Qué tiene de "Gratis" ΔGRAMO?

      Además de indicar espontaneidad, el cambio de energía libre también proporciona información sobre la cantidad de trabajo útil (w) que puede lograrse mediante un proceso espontáneo. Aunque un tratamiento riguroso de este tema está más allá del alcance de un texto introductorio de química, una breve discusión es útil para obtener una mejor perspectiva de esta importante propiedad termodinámica.

      Para este propósito, considere un proceso exotérmico espontáneo que implica una disminución de la entropía. La energía libre, definida por

      puede interpretarse como que representa la diferencia entre la energía producida por el proceso, ΔH, y la energía perdida en el entorno, TΔS. La diferencia entre la energía producida y la energía perdida es la energía disponible (o "libre") para realizar un trabajo útil mediante el proceso, ΔGRAMO. Si el proceso de alguna manera pudiera realizarse en condiciones de reversibilidad termodinámica, la cantidad de trabajo que podría realizarse sería máxima:

      Sin embargo, como se señaló anteriormente en este capítulo, tales condiciones no son realistas. Además, las tecnologías utilizadas para extraer trabajo de un proceso espontáneo (por ejemplo, motor de automóvil, turbina de vapor) nunca son 100% eficientes, por lo que el trabajo realizado por estos procesos es siempre menor que el máximo teórico. Se puede aplicar un razonamiento similar a un proceso no espontáneo, para el cual el cambio de energía libre representa el mínimo cantidad de trabajo que se debe realizar en el sistema para llevar a cabo el proceso.

      Cálculo del cambio de energía libre

      La energía libre es una función de estado, por lo que su valor depende solo de las condiciones de los estados inicial y final del sistema. Un enfoque conveniente y común para el cálculo de cambios de energía libre para reacciones físicas y químicas es mediante el uso de compilaciones ampliamente disponibles de datos termodinámicos de estado estándar. Un método implica el uso de entalpías y entropías estándar para calcular los cambios de energía libre estándar, ΔGRAMO°, según la siguiente relación:

      Ejemplo 12.7

      Uso de cambios de entalpía y entropía estándar para calcular ΔGRAMO°

      Solución

      El cambio estándar de energía libre se puede calcular utilizando la siguiente ecuación:

      Usando los datos del apéndice para calcular los cambios de entalpía y entropía estándar, se obtiene:

      La sustitución en la ecuación estándar de energía libre produce:

      Compruebe su aprendizaje

      Respuesta:

      El cambio de energía libre estándar para una reacción también se puede calcular a partir de la energía libre estándar de formación ΔG °F valores de los reactivos y productos implicados en la reacción. La energía libre estándar de formación es el cambio de energía libre que acompaña a la formación de un mol de una sustancia a partir de sus elementos en sus estados estándar. Similar a la entalpía estándar de formación, Δ G f ° Δ G f ° es por definición cero para sustancias elementales en sus estados estándar. El enfoque utilizado para calcular Δ G ° Δ G ° para una reacción a partir de los valores de Δ G f ° Δ G f ° es el mismo que se demostró anteriormente para los cambios de entalpía y entropía. Por la reaccion

      el cambio de energía libre estándar a temperatura ambiente se puede calcular como

      Ejemplo 12.8

      Uso de energías libres estándar de formación para calcular ΔGRAMO°

      Solución

      (a) Utilizando energías libres de formación:

      (b) Usando entalpías y entropías de formación:

      Ambas formas de calcular el cambio de energía libre estándar a 25 ° C dan el mismo valor numérico (a tres cifras significativas) y ambas predicen que el proceso es no espontáneo (no espontáneo) a temperatura ambiente.

      Compruebe su aprendizaje

      Respuesta:

      (a) 140,8 kJ / mol, no espontáneo
      (b) 141,5 kJ / mol, no espontáneo

      Cambios de energía libre para reacciones acopladas

      El uso de energías libres de formación para calcular los cambios de energía libre para las reacciones como se describió anteriormente es posible porque ΔG es una función de estado, y el enfoque es análogo al uso de la ley de Hess para calcular los cambios de entalpía (consulte el capítulo sobre termoquímica). Considere la vaporización del agua como ejemplo:

      Se puede derivar una ecuación que represente este proceso agregando las reacciones de formación para las dos fases del agua (invirtiendo necesariamente la reacción para la fase líquida). El cambio de energía libre para la reacción total es la suma de los cambios de energía libre para las dos reacciones agregadas:

      Este enfoque también se puede utilizar en los casos en que se habilita una reacción no espontánea al acoplarla a una reacción espontánea. For example, the production of elemental zinc from zinc sulfide is thermodynamically unfavorable, as indicated by a positive value for ΔG°:

      The industrial process for production of zinc from sulfidic ores involves coupling this decomposition reaction to the thermodynamically favorable oxidation of sulfur:

      The coupled reaction exhibits a negative free energy change and is spontaneous:

      This process is typically carried out at elevated temperatures, so this result obtained using standard free energy values is just an estimate. The gist of the calculation, however, holds true.

      Example 12.9

      Calculating Free Energy Change for a Coupled Reaction

      Solución

      The coupled reaction exhibits a positive free energy change and is thus nonspontaneous.


      [PDF] RD Sharma Mathematics for Class 11 (set of 2 volumes) Examination | Download

      About The R D Sharma Class 11 Maths Book
      This textbook is based on the latest syllabus prescribed by the CBSE. The text has been divided into two volumes. Volume 1 Consists of chapters 1-21 and Volume 2 Consists of chapters 22-23 for ease of handling. Illustrative examples and exercises are given at the end of every section in each chapter at the end of each chapter exercises consisting of MCQs, Fill in the blanks, Very Short Answer Type questions, and activities have been given. Summary for quick revision concepts and formulae have also been given. Ncert problems in the exercises have been solved in the section "hints to NCERT & selected problems".

      The Mathematics for Class 11 by R D Sharma (Set of 2 Volume) closely follows the CBSE syllabus for Mathematics and is suitable for the students to develop their Mathematical skills. It contains detailed solutions to Mathematical equations and problems which are further simplified by the representation of elaborate yet simple to understand steps. It covers all the genres or branches of Mathematics which will further act as building blocks for the Mathematical knowledge based on the students of class 11. This book will be of great help if one is looking to crack entrance examinations that are offered by prestigious academies for courses in which one can enroll themselves after their class 11 board examinations.


      12.4 Derivatives

      The average teen in the United States opens a refrigerator door an estimated 25 times per day. Supposedly, this average is up from 10 years ago when the average teenager opened a refrigerator door 20 times per day 37 .

      It is estimated that a television is on in a home 6.75 hours per day, whereas parents spend an estimated 5.5 minutes per day having a meaningful conversation with their children. These averages, too, are not the same as they were 10 years ago, when the television was on an estimated 6 hours per day in the typical household, and parents spent 12 minutes per day in meaningful conversation with their kids.

      What do these scenarios have in common? The functions representing them have changed over time. In this section, we will consider methods of computing such changes over time.

      Finding the Average Rate of Change of a Function

      The functions describing the examples above involve a change over time. Change divided by time is one example of a rate. The rates of change in the previous examples are each different. In other words, some changed faster than others. If we were to graph the functions, we could compare the rates by determining the slopes of the graphs.

      A tangent line to a curve is a line that intersects the curve at only a single point but does not cross it there. (The tangent line may intersect the curve at another point away from the point of interest.) If we zoom in on a curve at that point, the curve appears linear, and the slope of the curve at that point is close to the slope of the tangent line at that point.


      Ver el vídeo: Excel Chapter 4 (Octubre 2021).