Artículos

8.4.1: La función de paso unitario (ejercicios) - Matemáticas


Q8.4.1

En Ejercicios 8.4.1-8.4.6 encuentre la transformada de Laplace por el método del ejemplo 8.4.1. Grafica (f ) para Ejercicios 8.4.3 y 8.4.4.

1. (f (t) = left { begin {array} {cl} {1,} & {0 le t <4,} {t,} & {t ge4.} End {matriz} derecha. )

2. (f (t) = left { begin {array} {cl} t, & 0 le t <1, [4pt] 1, & t ge1. End {array} right. )

3. (f (t) = left { begin {array} {cl} 2t-1, & 0 le t <2, [4pt] t, & t ge2. End {array} derecho.)

4. (f (t) = left { begin {array} {cl} 1, & 0 le t <1, [4pt] t + 2, & t ge1. End {array} right . )

5. (f (t) = left { begin {array} {cl} t-1, & 0 le t <2, [4pt] 4, & t ge2. End {array} derecho.)

6. (f (t) = left { begin {array} {cl} t ^ 2, & 0 le t <1, [4pt] 0, & t ge1. End {array} derecho.)

Q8.4.2

En Ejercicios 8.4.7-8.4.18 exprese la función dada (f ) en términos de funciones de pasos unitarios y use el teorema 8.4.1 para encontrar ( cal {L} (f) ). Grafica (f ) para Ejercicios 8.4.15-8.4.18.

7. (f (t) = left { begin {array} {cl} 0, & 0 le t <2, [4pt] t ^ 2 + 3t, ​​& t ge2. End {array} derecho.)

8. (f (t) = left { begin {array} {cl} t ^ 2 + 2, & 0 le t <1, [4pt] t, & t ge1. End {array} derecho.)

9. (f (t) = left { begin {array} {cl} te ^ t, & 0 le t <1, [4pt] e ^ t, & t ge1. End {array }derecho.)

10. (f (t) = left { begin {array} {cl} e ^ { phantom {2} -t}, & 0 le t <1, [4pt] e ^ {- 2t }, & t ge1. end {matriz} right. )

11. (f (t) = left { begin {array} {cl} -t, & 0 le t <2, [4pt] t-4, & 2 le t <3, [ 4pt] 1, & t ge3. End {matriz} right. )

12. (f (t) = left { begin {array} {cl} 0, & 0 le t <1, [4pt] t, & 1 le t <2, [4pt] 0 , & t ge2. end {matriz} right. )

13. (f (t) = left { begin {array} {cl} t, & 0 le t <1, [4pt] t ^ 2, & 1 le t <2, [4pt ] 0, & t ge2. End {matriz} right. )

14. (f (t) = left { begin {array} {cl} t, & 0 le t <1, [4pt] 2-t, & 1 le t <2, [4pt ] 6, & t> 2. end {matriz} derecha. )

15. (f (t) = left { begin {array} {cl} { sin t,} & {0 leq t < frac { pi} {2}} {2 sin t,} & { frac { pi} {2} leq t < pi} { cos t,} & {t geq pi} end {array} right. )

16. (f (t) = left { begin {array} {cl} phantom {-} 2, & 0 le t <1, [4pt] -2t + 2, & 1 le t < 3, [4pt] phantom {-} 3t, & t ge 3. end {matriz} right. )

17. (f (t) = left { begin {array} {cl} 3, & 0 le t <2, [4pt] 3t + 2, & 2 le t <4, [4pt ] 4t, & t ge 4. end {matriz} derecha. )

18. (f (t) = left { begin {array} {ll} (t + 1) ^ 2, & 0 le t <1, [4pt] (t + 2) ^ 2, & t ge1. end {matriz} right. )

Q8.4.3

En Ejercicios 8.4.19-8.4.28 use el teorema 8.4.2 para expresar las transformadas inversas en términos de funciones escalonadas, y luego encuentre fórmulas distintas para las transformadas inversas en los intervalos apropiados, como en el ejemplo 8.4.7. Grafica la transformada inversa para Ejercicios 8.4.21, 8.4.22, y 8.4.25.

19. (H (s) = {e ^ {- 2s} over s-2} )

20. (H (s) = {e ^ {- s} over s (s + 1)} )

21. (H (s) = {e ^ {- s} sobre s ^ 3} + {e ^ {- 2s} sobre s ^ 2} )

22. (H (s) = left ({2 over s} + {1 over s ^ 2} right) + e ^ {- s} left ({3 over s} - {1 sobre s ^ 2} right) + e ^ {- 3s} left ({1 sobre s} + {1 sobre s ^ 2} right) )

23. (H (s) = left ({5 over s} - {1 over s ^ 2} right) + e ^ {- 3s} left ({6 over s} + {7 sobre s ^ 2} right) + {3e ^ {- 6s} sobre s ^ 3} )

24. (H (s) = {e ^ {- pi s} (1-2s) over s ^ 2 + 4s + 5} )

25. (H (s) = left ({1 over s} - {s over s ^ 2 + 1} right) + e ^ {- { pi over 2} s} left ({ 3s-1 over s ^ 2 + 1} right) )

26. (H (s) = e ^ {- 2s} left [{3 (s-3) over (s + 1) (s-2)} - {s + 1 over (s-1) (s-2)} derecha] )

27. (H (s) = {1 over s} + {1 over s ^ 2} + e ^ {- s} left ({3 over s} + {2 over s ^ 2} derecha) + e ^ {- 3s} left ({4 over s} + {3 over s ^ 2} right) )

28. (H (s) = {1 over s} - {2 over s ^ 3} + e ^ {- 2s} left ({3 over s} - {1 over s ^ 3} derecha) + {e ^ {- 4s} over s ^ 2} )

Q8.4.4

29. Encuentra ({ cal L} left (u (t- tau) right) ).

30. Sea ( {t_m } _ {m = 0} ^ infty ) una secuencia de puntos tal que (t_0 = 0 ), (t_ {m + 1}> t_m ), y ( lim_ {m to infty} t_m = infty ). Para cada entero no negativo (m ), sea (f_m ) continuo en ([t_m, infty) ), y sea (f ) definido en ([0, infty) ) por

[f (t) = f_m (t), , t_m le t

Demuestre que (f ) es continuo por partes en ([0, infty) ) y que tiene la representación de la función escalonada

[f (t) = f_0 (t) + sum_ {m = 1} ^ infty u (t-t_m) left (f_m (t) -f_ {m-1} (t) right), , 0 le t < infty. Nonumber ]

¿Cómo sabemos que la serie de la derecha converge para todo (t ) en ([0, infty) )?

31. Además de los supuestos de Ejercicio 8.4.30, asumir que

[| f_m (t) | le Me ^ {s_0t}, , t ge t_m, , m = 0,1, dots, tag {A} ]

y que la serie

[ sum_ {m = 0} ^ infty e ^ {- rho t_m} tag {B} ]

converge para algunos ( rho> 0 ). Usando los pasos que se enumeran a continuación, muestre que ({ cal L} (f) ) está definido para (s> s_0 ) y

[{ cal L} (f) = { cal L} (f_0) + sum_ {m = 1} ^ infty e ^ {- st_m} { cal L} (g_m) tag {C} ]

para (s> s_0 + rho ), donde

[g_m (t) = f_m (t + t_m) -f_ {m-1} (t + t_m). nonumber ]

  1. Utilice (A) y el teorema 8.1.6 para demostrar que [{ cal L} (f) = sum_ {m = 0} ^ infty int_ {t_m} ^ {t_ {m + 1}} e ^ { -st} f_m (t) , dt tag {D} ] se define para (s> s_0 ).
  2. Demuestre que (D) se puede reescribir como [{ cal L} (f) = sum_ {m = 0} ^ infty left ( int_ {t_m} ^ infty e ^ {- st} f_m (t ) , dt - int_ {t_ {m + 1}} ^ infty e ^ {- st} f_m (t) , dt right). etiqueta {E} ]
  3. Utilice (A), la convergencia supuesta de (B) y la prueba de comparación para mostrar que la serie [ sum_ {m = 0} ^ infty int_ {t_m} ^ infty e ^ {- st} f_m ( t) , dt quad text {y} quad sum_ {m = 0} ^ infty int_ {t_ {m + 1}} ^ infty e ^ {- st} f_m (t) , dt nonumber ] ambos convergen (absolutamente) si (s> s_0 + rho ).
  4. Muestre que (E) se puede reescribir como [{ cal L} (f) = { cal L} (f_0) + sum_ {m = 1} ^ infty int_ {t_m} ^ infty e ^ { -st} left (f_m (t) -f_ {m-1} (t) right) , dt nonumber ] if (s> s_0 + rho ).
  5. Complete la prueba de (C).

32. Suponga que ( {t_m } _ {m = 0} ^ infty ) y ( {f_m } _ {m = 0} ^ infty ) satisfacen los supuestos de Ejercicios 8.4.30 y 8.4.31, y hay una constante positiva (K ) tal que (t_m ge Km ) para (m ) suficientemente grande. Demuestre que la serie (B) de Ejercicio 8.4.31 converge para cualquier ( rho> 0 ), y concluye de esto que (C) de Ejercicio 8.4.31 se mantiene para (s> s_0 ).

En Ejercicios 8.4.33-8.4.36 encuentra la representación de la función escalonada de (f ) y usa el resultado de Ejercicio 8.4.32 para encontrar ( cal {L} (f) ). PISTA: Necesitará fórmulas relacionadas con la fórmula para la suma de una serie geométrica.

33. (f (t) = m + 1, , m le t

34. (f (t) = (- 1) ^ m, , m le t

35. (f (t) = (m + 1) ^ 2, , m le t

36. (f (t) = (- 1) ^ mm, , m le t