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15.1: Campos vectoriales - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

  • Reconocer un campo vectorial en un plano o en el espacio.
  • Dibuja un campo vectorial a partir de una ecuación dada.
  • Identifique un campo conservador y su función potencial asociada.

Los campos vectoriales son una herramienta importante para describir muchos conceptos físicos, como la gravitación y el electromagnetismo, que afectan el comportamiento de los objetos en una gran región de un plano o del espacio. También son útiles para hacer frente a comportamientos a gran escala, como tormentas atmosféricas o corrientes oceánicas de aguas profundas. En esta sección, examinamos las definiciones básicas y los gráficos de los campos vectoriales para poder estudiarlos con más detalle en el resto de este capítulo.

Ejemplos de campos vectoriales

¿Cómo podemos modelar la fuerza gravitacional ejercida por múltiples objetos astronómicos? ¿Cómo podemos modelar la velocidad de las partículas de agua en la superficie de un río? La figura ( PageIndex {1} ) proporciona representaciones visuales de tales fenómenos.

La figura ( PageIndex {1a} ) muestra un campo gravitacional ejercido por dos objetos astronómicos, como una estrella y un planeta o un planeta y una luna. En cualquier punto de la figura, el vector asociado con un punto da la fuerza gravitacional neta ejercida por los dos objetos sobre un objeto de unidad de masa. Los vectores de mayor magnitud en la figura son los vectores más cercanos al objeto más grande. El objeto más grande tiene mayor masa, por lo que ejerce una fuerza gravitacional de mayor magnitud que el objeto más pequeño.

La figura ( PageIndex {1b} ) muestra la velocidad de un río en puntos de su superficie. El vector asociado con un punto dado en la superficie del río da la velocidad del agua en ese punto. Dado que los vectores a la izquierda de la figura son de magnitud pequeña, el agua fluye lentamente en esa parte de la superficie. A medida que el agua se mueve de izquierda a derecha, encuentra algunos rápidos alrededor de una roca. La velocidad del agua aumenta y se produce un remolino en parte de los rápidos.

Cada figura ilustra un ejemplo de un campo vectorial. Intuitivamente, un campo vectorial es un mapa de vectores. En esta sección, estudiamos campos vectoriales en (ℝ ^ 2 ) y (ℝ ^ 3 ).

DEFINICIÓN: campo vectorial

  • Un campo vectorial ( vecs {F} ) en (ℝ ^ 2 ) es una asignación de un vector bidimensional ( vecs {F} (x, y) ) a cada punto ((x , y) ) de un subconjunto (D ) de (ℝ ^ 2 ). El subconjunto (D ) es el dominio del campo vectorial.
  • Un campo vectorial ( vecs {F} ) en (ℝ ^ 3 ) es una asignación de un vector tridimensional ( vecs {F} (x, y, z) ) a cada punto ( (x, y, z) ) de un subconjunto (D ) de (ℝ ^ 3 ). El subconjunto (D ) es el dominio del campo vectorial.

Campos vectoriales en (ℝ ^ 2 )

Un campo vectorial en (ℝ ^ 2 ) se puede representar de dos formas equivalentes. La primera forma es usar un vector con componentes que son funciones de dos variables:

[ vecs {F} (x, y) = ⟨P (x, y), Q (x, y)⟩ ]

La segunda forma es usar los vectores unitarios estándar:

[ vecs {F} (x, y) = P (x, y) , hat { mathbf i} + Q (x, y) , hat { mathbf j}. ]

Se dice que un campo vectorial es continuo si sus funciones componentes son continuas.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): encontrar un vector asociado con un punto dado

Sea ( vecs {F} (x, y) = (2y ^ 2 + x − 4) , hat { mathbf i} + cos (x) , hat { mathbf j} ) un campo vectorial en (ℝ ^ 2 ). Tenga en cuenta que este es un ejemplo de un campo vectorial continuo, ya que ambas funciones componentes son continuas. ¿Qué vector está asociado con el punto ((0, −1) )?

Solución

Sustituye los valores en puntos por (x ) y (y ):

[ begin {align *} vecs {F} (0, -1) & = (2 {(- 1)} ^ 2 + 0−4) , hat { mathbf i} + cos (0 ) , hat { mathbf j} [4pt] & = - 2 , hat { mathbf i} + hat { mathbf j}. end {alinear *} ]

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Sea ( vecs {G} (x, y) = x ^ 2y , hat { mathbf i} - (x + y) , hat { mathbf j} ) ser un campo vectorial en ( ℝ ^ 2 ). ¿Qué vector está asociado con el punto ((- 2,3) )?

Insinuación

Sustituye los valores de los puntos en la función vectorial.

Respuesta

( vecs {G} (- 2,3) = 12 hat { mathbf i} - hat { mathbf j} )

Dibujar un campo vectorial

Ahora podemos representar un campo vectorial en términos de sus componentes de funciones o vectores unitarios, pero representarlo visualmente dibujándolo es más complejo porque el dominio de un campo vectorial está en (ℝ ^ 2 ), al igual que el rango. Por lo tanto, la “gráfica” de un campo vectorial en (ℝ ^ 2 ) vive en un espacio de cuatro dimensiones. Como no podemos representar visualmente el espacio de cuatro dimensiones, en su lugar dibujamos campos vectoriales en (ℝ ^ 2 ) en un plano. Para hacer esto, dibuje el vector asociado con un punto dado en el punto de un plano. Por ejemplo, suponga que el vector asociado con el punto ((4, −1) ) es (⟨3,1⟩ ). Entonces, dibujaríamos el vector (⟨3,1⟩ ) en el punto ((4, −1) ).

Deberíamos trazar suficientes vectores para ver la forma general, pero no tantos como para que el boceto se convierta en un desorden. Si tuviéramos que trazar el vector de imagen en cada punto de la región, llenaría la región completamente y sería inútil. En su lugar, podemos elegir puntos en las intersecciones de las líneas de la cuadrícula y trazar una muestra de varios vectores de cada cuadrante de un sistema de coordenadas rectangular en (ℝ ^ 2 ).

Hay dos tipos de campos vectoriales en (ℝ ^ 2 ) en los que se centra este capítulo: campos radiales y campos rotacionales. Los campos radiales modelan ciertos campos gravitacionales y campos de fuentes de energía, y los campos rotacionales modelan el movimiento de un fluido en un vórtice. En un campo radial, todos los vectores apuntan directamente hacia o directamente lejos del origen. Además, la magnitud de cualquier vector depende solo de su distancia al origen. En un campo radial, el vector ubicado en el punto ((x, y) ) es perpendicular al círculo centrado en el origen que contiene el punto ((x, y) ), y todos los demás vectores en este círculo tienen la misma magnitud.

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Dibujar un campo vectorial radial

Dibuja el campo vectorial ( vecs {F} (x, y) = dfrac {x} {2} hat { mathbf i} + dfrac {y} {2} hat { mathbf j} ) .

Solución

Para dibujar este campo vectorial, elija una muestra de puntos de cada cuadrante y calcule el vector correspondiente. La siguiente tabla da una muestra representativa de puntos en un plano y los vectores correspondientes.

Tabla ( PageIndex {1} )
((x, y) ) ( vecs {F} (x, y) ) ((x, y) ) ( vecs {F} (x, y) ) ((x, y) ) ( vecs {F} (x, y) )
((1,0)) (⟨ Dfrac {1} {2}, 0⟩ )((2,0))(⟨1,0⟩)((1,1)) (⟨ Dfrac {1} {2}, dfrac {1} {2}⟩ )
((0,1)) (⟨0, dfrac {1} {2}⟩ )((0,2))(⟨0,1⟩)((−1,1)) (⟨− dfrac {1} {2}, dfrac {1} {2}⟩ )
((−1,0)) (⟨− dfrac {1} {2}, 0⟩ )((−2,0))(⟨−1,0⟩)((−1,−1)) (⟨− dfrac {1} {2}, - dfrac {1} {2}⟩ )
((0,−1)) (⟨0, - dfrac {1} {2}⟩ )((0,−2))(⟨0,−1⟩)((1,−1)) (⟨ Dfrac {1} {2}, - dfrac {1} {2}⟩ )

La figura ( PageIndex {2a} ) muestra el campo vectorial. Para ver que cada vector es perpendicular al círculo correspondiente, la Figura ( PageIndex {2b} ) muestra círculos superpuestos en el campo vectorial.

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Dibuja el campo radial ( vecs {F} (x, y) = - dfrac {x} {3} hat { mathbf i} - dfrac {y} {3} hat { mathbf j} ).

Insinuación

Dibuja suficientes vectores para tener una idea de la forma.

Respuesta

En contraste con los campos radiales, en un campo rotacional, el vector en el punto ((x, y) ) es tangente (no perpendicular) a un círculo con radio (r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ). En un campo rotacional estándar, todos los vectores apuntan en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario a las agujas del reloj, y la magnitud de un vector depende solo de su distancia desde el origen. Los dos ejemplos siguientes son campos de rotación en el sentido de las agujas del reloj y, por sus representaciones visuales, vemos que los vectores parecen girar alrededor del origen.

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Dibujar un campo vectorial rotacional

Dibuja el campo vectorial ( vecs {F} (x, y) = ⟨y, , - x⟩ ).

Solución

Cree una tabla (vea la que sigue) usando una muestra representativa de puntos en un plano y sus vectores correspondientes. La figura ( PageIndex {3} ) muestra el campo vectorial resultante.

Tabla ( PageIndex {2} )
((x, y) ) ( vecs {F} (x, y) ) ((x, y) ) ( vecs {F} (x, y) ) ((x, y) ) ( vecs {F} (x, y) )
((1,0))(⟨0,−1⟩)((2,0))(⟨0,−2⟩)((1,1))(⟨1,−1⟩)
((0,1))(⟨1,0⟩)((0,2))(⟨2,0⟩)((−1,1))(⟨1,1⟩)
((−1,0))(⟨0,1⟩)((−2,0))(⟨0,2⟩)((−1,−1))(⟨−1,1⟩)
((0,−1))(⟨−1,0⟩)((0,−2))(⟨−2,0⟩)((1,−1))(⟨−1,−1⟩)

Análisis

Tenga en cuenta que el vector ( vecs {F} (a, b) = ⟨b, −a⟩ ) apunta en el sentido de las agujas del reloj y es perpendicular al vector radial (⟨a, b⟩ ). (Podemos verificar esta afirmación calculando el producto escalar de los dos vectores: (⟨a, b⟩ · ⟨− b, a⟩ = −ab + ab = 0 ).) Además, el vector (⟨b, - a⟩ ) tiene la longitud (r = sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} ). Por lo tanto, tenemos una descripción completa de este campo vectorial rotacional: el vector asociado con el punto ((a, b) ) es el vector con longitud r tangente al círculo con radio ry apunta en el sentido de las agujas del reloj.

Los bocetos como el de la Figura ( PageIndex {3} ) se utilizan a menudo para analizar los principales sistemas de tormentas, incluidos los huracanes y ciclones. En el hemisferio norte, las tormentas giran en sentido antihorario; en el hemisferio sur, las tormentas giran en el sentido de las agujas del reloj. (Este es un efecto causado por la rotación de la Tierra sobre su eje y se llama Efecto Coriolis).

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Dibujar un campo vectorial

Campo de vector de bosquejo ( vecs {F} (x, y) = dfrac {y} {x ^ 2 + y ^ 2} hat { mathbf i}, - dfrac {x} {x ^ 2 + y ^ 2} hat { mathbf j} ).

Solución

Para visualizar este campo vectorial, primero observe que el producto escalar ( vecs {F} (a, b) · (a , hat { mathbf i} + b , hat { mathbf j}) ) es cero para cualquier punto ((a, b) ). Por lo tanto, cada vector es tangente al círculo en el que se encuentra. Además, como ((a, b) rightarrow (0,0) ), la magnitud de ( vecs {F} (a, b) ) llega al infinito. Para ver esto, tenga en cuenta que

(|| vecs {F} (a, b) || = sqrt { dfrac {a ^ 2 + b ^ 2} {{(a ^ 2 + b ^ 2)} ^ 2}} = sqrt { dfrac {1} {a ^ 2 + b ^ 2}} ).

Dado que ( dfrac {1} {a ^ 2 + b ^ 2} rightarrow infty ) como ((a, b) rightarrow (0,0) ), entonces (|| vecs F ( a, b) || rightarrow infty ) como ((a, b) rightarrow (0,0) ). Este campo vectorial se parece al campo vectorial del Ejemplo ( PageIndex {3} ), pero en este caso las magnitudes de los vectores cercanos al origen son grandes. La tabla ( PageIndex {3} ) muestra una muestra de puntos y los vectores correspondientes, y la figura ( PageIndex {5} ) muestra el campo vectorial. Tenga en cuenta que este campo vectorial modela el movimiento del remolino del río en la Figura ( PageIndex {5} ) (b). El dominio de este campo vectorial es todo (ℝ ^ 2 ) excepto el punto ((0,0) ).

Tabla ( PageIndex {3} )
((x, y) ) ( vecs {F} (x, y) ) ((x, y) ) ( vecs {F} (x, y) ) ((x, y) ) ( vecs {F} (x, y) )
((1,0))(⟨0,−1⟩)((2,0)) (⟨0, - dfrac {1} {2}⟩ )((1,1)) (⟨ Dfrac {1} {2}, - dfrac {1} {2}⟩ )
((0,1))(⟨1,0⟩)((0,2)) (⟨ Dfrac {1} {2}, 0⟩ )((−1,1)) (⟨ Dfrac {1} {2}, dfrac {1} {2}⟩ )
((−1,0))(⟨0,1⟩)((−2,0)) (⟨0, dfrac {1} {2}⟩ )((−1,−1)) (⟨− dfrac {1} {2}, dfrac {1} {2}⟩ )
((0,−1))(⟨−1,0⟩)((0,−2)) (⟨− dfrac {1} {2}, 0⟩ )((1,−1)) (⟨− dfrac {1} {2}, - dfrac {1} {2}⟩ )

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Dibuje el campo vectorial ( vecs {F} (x, y) = ⟨− 2y, , 2x⟩ ). ¿El campo vectorial es radial, rotacional o ninguno de los dos?

Insinuación

Sustituye suficientes puntos en ( vecs {F} ) para tener una idea de la forma.

Respuesta

Rotacional

Ejemplo ( PageIndex {5} ): campo de velocidad de un fluido

Suponga que ( vecs {v} (x, y) = - dfrac {2y} {x ^ 2 + y ^ 2} hat { mathbf i} + dfrac {2x} {x ^ 2 + y ^ 2} hat { mathbf j} ) es el campo de velocidad de un fluido. ¿Qué tan rápido se mueve el fluido en el punto ((1, −1) )? (Suponga que las unidades de velocidad son metros por segundo).

Solución

Para encontrar la velocidad del fluido en el punto ((1, −1) ), sustituya el punto por ( vecs {v} ):

( vecs {v} (1, −1) = dfrac {−2 (−1)} {1 + 1} hat { mathbf i} + dfrac {2 (1)} {1 + 1} hat { mathbf j} = hat { mathbf i} + hat { mathbf j} ).

La rapidez del fluido en ((1, −1) ) es la magnitud de este vector. Por lo tanto, la velocidad es (|| hat { mathbf i} + hat { mathbf j} || = sqrt {2} ) m / seg.

Ejercicio ( PageIndex {5} )

El campo vectorial ( vecs {v} (x, y) = ⟨4 | x |, , 1⟩ ) modela la velocidad del agua en la superficie de un río. ¿Cuál es la rapidez del agua en el punto ((2,3) )? Utilice metros por segundo como unidades.

Insinuación

Recuerde, la rapidez es la magnitud de la velocidad.

Respuesta

( sqrt {65} ) m / seg

Hemos examinado campos vectoriales que contienen vectores de varias magnitudes, pero así como tenemos vectores unitarios, también podemos tener un campo vectorial unitario. Un campo vectorial ( vecs {F} ) es un campo de vector unitario si la magnitud de cada vector en el campo es 1. En un campo de vector unitario, la única información relevante es la dirección de cada vector.

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Un campo de vector unitario

Muestre ese campo vectorial ( vecs {F} (x, y) = left langle dfrac {y} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}}, - dfrac {x} { sqrt { x ^ 2 + y ^ 2}} right rangle ) es un campo de vector unitario.

Solución

Para mostrar que ( vecs {F} ) es un campo unitario, debemos mostrar que la magnitud de cada vector es (1 ). Tenga en cuenta que

[ begin {align *} sqrt { left ( dfrac {y} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} right) ^ 2 + left (- dfrac {x} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} right) ^ 2} & = sqrt { dfrac {y ^ 2} {x ^ 2 + y ^ 2} + dfrac {x ^ 2} {x ^ 2 + y ^ 2}} [4pt] & = sqrt { dfrac {x ^ 2 + y ^ 2} {x ^ 2 + y ^ 2}} [4pt] & = 1 end {align *} ]

Por lo tanto, ( vecs {F} ) es un campo de vector unitario.

Ejercicio ( PageIndex {6} )

¿Es el campo vectorial ( vecs {F} (x, y) = ⟨− y, , x⟩ ) un campo vectorial unitario?

Insinuación

Calcula la magnitud de ( vecs {F} ) en un punto arbitrario ((x, y) ).

Respuesta

No.

¿Por qué son importantes los campos de vectores unitarios? Supongamos que estamos estudiando el flujo de un fluido y solo nos importa la dirección en la que fluye el fluido en un punto dado. En este caso, la velocidad del fluido (que es la magnitud del vector de velocidad correspondiente) es irrelevante, porque todo lo que nos importa es la dirección de cada vector. Por lo tanto, el campo del vector unitario asociado con la velocidad es el campo que estudiaríamos.

Si ( vecs {F} = ⟨P, Q, R⟩ ) es un campo vectorial, entonces el campo de vector unitario correspondiente es ( big langle tfrac {P} {|| vecs F ||} , tfrac {Q} {|| vecs F ||}, tfrac {R} {|| vecs F ||} big rangle ). Observe que si ( vecs {F} (x, y) = ⟨y, , - x⟩ ) es el campo vectorial del Ejemplo ( PageIndex {6} ), entonces la magnitud de ( vecs {F} ) es ( sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ), y por lo tanto el campo de vector unitario correspondiente es el campo ( vecs {G} ) del ejemplo anterior.

Si ( vecs {F} ) es un campo vectorial, entonces el proceso de dividir ( vecs {F} ) por su magnitud para formar un campo vectorial unitario ( vecs {F} / || vecs { F} || ) se llama normalizar el campo ( vecs {F} ).

Campos vectoriales en (ℝ ^ 3 )

Hemos visto varios ejemplos de campos vectoriales en (ℝ ^ 2 ); ahora dirijamos nuestra atención a los campos vectoriales en (ℝ ^ 3 ). Estos campos vectoriales se pueden usar para modelar campos gravitacionales o electromagnéticos, y también se pueden usar para modelar el flujo de fluidos o el flujo de calor en tres dimensiones. Un campo vectorial bidimensional en realidad solo puede modelar el movimiento del agua en una sección bidimensional de un río (como la superficie del río). Dado que un río fluye a través de tres dimensiones espaciales, para modelar el flujo de toda la profundidad del río, necesitamos un campo vectorial en tres dimensiones.

La dimensión adicional de un campo tridimensional puede hacer que los campos vectoriales en (ℝ ^ 3 ) sean más difíciles de visualizar, pero la idea es la misma. Para visualizar un campo vectorial en (ℝ ^ 3 ), trace suficientes vectores para mostrar la forma general. Podemos usar un método similar para visualizar un campo vectorial en (ℝ ^ 2 ) eligiendo puntos en cada octante.

Al igual que con los campos vectoriales en (ℝ ^ 2 ), podemos representar campos vectoriales en (ℝ ^ 3 ) con funciones componentes. Simplemente necesitamos una función de componente adicional para la dimensión adicional. Escribimos ya sea

[ vecs {F} (x, y, z) = ⟨P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z)⟩ ]

o

[ vecs {F} (x, y, z) = P (x, y, z) hat { mathbf i} + Q (x, y, z) hat { mathbf j} + R (x , y, z) hat { mathbf k}. ]

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Dibujar un campo vectorial en tres dimensiones

Describe el campo vectorial ( vecs {F} (x, y, z) = ⟨1, , 1, , z⟩ ).

Solución

Para este campo vectorial, los componentes (x ) - y (y ) - son constantes, por lo que cada punto en (ℝ ^ 3 ) tiene un vector asociado con (x ) - y (y ) -componentes iguales a uno. Para visualizar ( vecs {F} ), primero consideramos cómo se ve el campo en el plano (xy ). En el plano (xy ) -, (z = 0 ). Por tanto, cada punto de la forma ((a, b, 0) ) tiene un vector (⟨1,1,0⟩ ) asociado. Para los puntos que no están en el plano (xy ) sino ligeramente por encima de él, el vector asociado tiene una pequeña pero positiva componente (z ) - y, por lo tanto, el vector asociado apunta ligeramente hacia arriba. Para los puntos que están muy por encima del plano (xy ) -, el componente (z ) - es grande, por lo que el vector es casi vertical. La figura ( PageIndex {6} ) muestra este campo vectorial.

Figura ( PageIndex {6} ): Una representación visual del campo vectorial ( vecs {F} (x, y, z) = ⟨1,1, z⟩ ).

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Dibuje el campo vectorial ( vecs {G} (x, y, z) = ⟨2, , dfrac {z} {2}, , 1⟩ ).

Insinuación

Sustituya suficientes puntos en el campo vectorial para tener una idea de la forma general.

Respuesta

En el siguiente ejemplo, exploramos uno de los casos clásicos de un campo vectorial tridimensional: un campo gravitacional.

Ejemplo ( PageIndex {8} ): descripción de un campo vectorial gravitacional

La ley de gravitación de Newton establece que ( vecs {F} = - G dfrac {m_1m_2} {r ^ 2} hat { mathbf r} ), donde GRAMO es la constante gravitacional universal. Describe el campo gravitacional ejercido por un objeto (objeto 1) de masa (m_1 ) ubicado en el origen sobre otro objeto (objeto 2) de masa (m_2 ) ubicado en el punto ((x, y, z) ). El campo ( vecs {F} ) denota la fuerza gravitacional que el objeto 1 ejerce sobre el objeto 2, (r ) es la distancia entre los dos objetos y ( hat { mathbf r} ) indica la unidad vector del primer objeto al segundo. El signo menos muestra que la fuerza gravitacional atrae hacia el origen; es decir, la fuerza del objeto 1 es atractiva. Dibuje el campo vectorial asociado con esta ecuación.

Solución

Dado que el objeto 1 está ubicado en el origen, la distancia entre los objetos está dada por (r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} ). El vector unitario del objeto 1 al objeto 2 es ( hat { mathbf r} = dfrac {⟨x, y, z⟩} {|| ⟨x, y, z⟩ ||} ), y por lo tanto ( hat { mathbf r} = big langle dfrac {x} {r}, dfrac {y} {r}, dfrac {z} {r} big rangle ). Por lo tanto, el campo vectorial gravitacional ( vecs {F} ) ejercido por el objeto 1 sobre el objeto 2 es

[ vecs {F} = - Gm_1m_2 big langle dfrac {x} {r ^ 3}, dfrac {y} {r ^ 3}, dfrac {z} {r ^ 3} big rangle . sin número]

Este es un ejemplo de un campo vectorial radial en (ℝ ^ 3 ).

La figura ( PageIndex {7} ) muestra cómo se ve este campo gravitacional para una gran masa en el origen. Tenga en cuenta que las magnitudes de los vectores aumentan a medida que los vectores se acercan al origen.

Ejercicio ( PageIndex {8} )

La masa del asteroide 1 es de 750.000 kg y la masa del asteroide 2 es de 130.000 kg. Suponga que el asteroide 1 está ubicado en el origen y el asteroide 2 está ubicado en ((15, −5,10) ), medido en unidades de 10 a la octava potencia kilómetros. Dado que la constante gravitacional universal es (G = 6.67384 × 10 ^ {- 11} m ^ 3 {kg} ^ {- 1} s ^ {- 2} ), encuentre el vector de fuerza gravitacional que el asteroide 1 ejerce sobre el asteroide 2.

Insinuación

Siga el ejemplo ( PageIndex {8} ) y primero calcule la distancia entre los asteroides.

Respuesta

(1.49063 × {10} ^ {- 18} ), (4.96876 × {10} ^ {- 19} ), (9.93752 × {10} ^ {- 19} ) N

Campos de degradado (campos conservadores)

En esta sección, estudiamos un tipo especial de campo vectorial llamado campo degradado o campo conservador. Estos campos vectoriales son extremadamente importantes en física porque pueden usarse para modelar sistemas físicos en los que se conserva la energía. Los campos gravitacionales y los campos eléctricos asociados con una carga estática son ejemplos de campos de gradiente.

Recuerda que si (f ) es una función (escalar) de (x ) y (y ), entonces el gradiente de (f ) es

[ text {grad} , f = vecs nabla f (x, y) = f_x (x, y) hat { mathbf i} + f_y (x, y) hat { mathbf j}. ]

Podemos ver en la forma en que está escrito el gradiente que ( vecs nabla f ) es un campo vectorial en (ℝ ^ 2 ). De manera similar, si (f ) es una función de (x ), (y ) y (z ), entonces el gradiente de (f ) es

[ text {grad} , f = vecs nabla f (x, y, z) = f_x (x, y, z) hat { mathbf i} + f_y (x, y, z) hat { mathbf j} + f_z (x, y, z) hat { mathbf k}. ]

El gradiente de una función de tres variables es un campo vectorial en (ℝ ^ 3 ). Un campo de gradiente es un campo vectorial que se puede escribir como el gradiente de una función y tenemos la siguiente definición.

DEFINICIÓN: Campo de degradado

Un campo vectorial ( vecs {F} ) en (ℝ ^ 2 ) o en (ℝ ^ 3 ) es un campo degradado si existe una función escalar (f ) tal que ( vecs nabla f = vecs {F} ).

Ejemplo ( PageIndex {9} ): Dibujar un campo de vector degradado

Utilice la tecnología para trazar el campo vectorial de gradiente de (f (x, y) = x ^ 2y ^ 2 ).

Solución

El gradiente de (f ) es ( vecs nabla f (x, y) = ⟨2xy ^ 2, , 2x ^ 2y⟩ ). Para dibujar el campo vectorial, use un sistema de álgebra computarizado como Mathematica. La figura ( PageIndex {8} ) muestra ( vecs nabla f ).

Ejercicio ( PageIndex {9} )

Utilice la tecnología para trazar el campo vectorial de gradiente de (f (x, y) = sin x cos y ).

Insinuación

Encuentra el gradiente de (f ).

Respuesta

Considere la función (f (x, y) = x ^ 2y ^ 2 ) del Ejemplo ( PageIndex {9} ). La figura ( PageIndex {9} ) muestra las curvas de nivel de esta función superpuestas en el campo de vector de gradiente de la función. Los vectores de gradiente son perpendiculares a las curvas de nivel, y las magnitudes de los vectores aumentan a medida que las curvas de nivel se acercan, porque las curvas de nivel agrupadas estrechamente indican que el gráfico es empinado y la magnitud del vector de gradiente es el valor más grande de la derivado direccional. Por lo tanto, puede ver la inclinación local de un gráfico investigando el campo de gradiente de la función correspondiente.

Como aprendimos anteriormente, un campo vectorial ( vecs {F} ) es un campo vectorial conservador, o un campo degradado si existe una función escalar (f ) tal que ( vecs nabla f = vecs {F}). En esta situación, (f ) se llama función potencial para ( vecs {F} ). Los campos vectoriales conservadores surgen en muchas aplicaciones, particularmente en física. La razón por la que estos campos se llaman conservador es que modelan las fuerzas de los sistemas físicos en los que se conserva la energía. Estudiamos los campos vectoriales conservadores con más detalle más adelante en este capítulo.

Puede notar que, en algunas aplicaciones, una función potencial (f ) para ( vecs {F} ) se define en cambio como una función tal que (- vecs nabla f = vecs {F} ). Este es el caso de ciertos contextos en física, por ejemplo.

Ejemplo ( PageIndex {10} ): Verificación de una función potencial

¿Es (f (x, y, z) = x ^ 2yz− sin (xy) ) una función potencial para el campo vectorial

( vecs {F} (x, y, z) = ⟨2xyz − y cos (xy), x ^ 2z − x cos (xy), x ^ 2y⟩ )?

Solución

Necesitamos confirmar si ( vecs nabla f = vecs {F} ). Tenemos

[ begin {align *} f_x (x, y) = 2xyz − y cos (xy) [4pt] f_y (x, y) = x ^ 2z − x cos (xy) [4pt] f_z (x, y) = x ^ 2y end {align *}. ]

Por lo tanto, ( vecs nabla f = vecs {F} ) y (f ) es una función potencial para ( vecs {F} ).

Ejercicio ( PageIndex {10} )

¿Es (f (x, y, z) = x ^ 2 cos (yz) + y ^ 2z ^ 2 ) una función potencial para ( vecs {F} (x, y, z) = ⟨2x cos (yz), - x ^ 2z sin (yz) + 2yz ^ 2, y ^ 2⟩ )?

Insinuación

Calcule el gradiente de (f ).

Respuesta

No

Ejemplo ( PageIndex {11} ): Verificación de una función potencial

La velocidad de un fluido se modela mediante el campo ( vecs v (x, y) = ⟨xy, tfrac {x ^ 2} {2} −y⟩ ). Verifique que (f (x, y) = dfrac {x ^ 2y} {2} - dfrac {y ^ 2} {2} ) sea una función potencial para ( vecs {v} ).

Solución

Para mostrar que (f ) es una función potencial, debemos demostrar que ( vecs nabla f = vecs v ). Tenga en cuenta que (f_x (x, y) = xy ) y (f_y (x, y) = dfrac {x ^ 2} {2} −y ). Por lo tanto, ( vecs nabla f (x, y) = ⟨xy, tfrac {x ^ 2} {2} −y⟩ ) y (f ) es una función potencial para ( vecs {v } ) (Figura ( PageIndex {10} )).

Ejercicio ( PageIndex {11} )

Verifica que (f (x, y) = x ^ 2y ^ 2 + x ) sea una función potencial para el campo de velocidad ( vecs {v} (x, y) = ⟨3x ^ 2y ^ 2 + 1,2x ^ 3y⟩ ).

Insinuación

Calcula el gradiente.

Respuesta

( vecs nabla f (x, y) = vecs {v} (x, y) )

Si ( vecs {F} ) es un campo vectorial conservador, entonces hay al menos una función potencial (f ) tal que ( vecs nabla f = vecs {F} ). Pero, ¿podría haber más de una función potencial? Si es así, ¿existe alguna relación entre dos funciones potenciales para el mismo campo vectorial? Antes de responder a estas preguntas, recordemos algunos hechos del cálculo de una sola variable para guiar nuestra intuición. Recuerda que si (k (x) ) es una función integrable, entonces (k ) tiene infinitas antiderivadas. Además, si ( vecs {F} ) y ( vecs {G} ) son ambas antiderivadas de (k ), entonces ( vecs {F} ) y ( vecs {G} ) difieren solo por una constante. Es decir, hay un número (C ) tal que ( vecs {F} (x) = vecs {G} (x) + C ).

Ahora sea ( vecs {F} ) un campo vectorial conservador y sean (f ) y (g ) funciones potenciales para ( vecs {F} ). Dado que el gradiente es como una derivada, ( vecs {F} ) siendo conservador significa que ( vecs {F} ) es "integrable" con "antiderivadas" (f ) y (g ). Por lo tanto, si la analogía con el cálculo de una sola variable es válida, esperamos que haya alguna constante (C ) tal que (f (x) = g (x) + C ). El siguiente teorema dice que este es realmente el caso.

Para enunciar el siguiente teorema con precisión, debemos asumir que el dominio del campo vectorial está conectado y abierto. Estar conectado significa que si (P_1 ) y (P_2 ) son dos puntos cualesquiera en el dominio, entonces puedes caminar desde (P_1 ) a (P_2 ) a lo largo de una ruta que permanece completamente dentro del dominio.

UNICIDAD DE FUNCIONES POTENCIALES

Sea ( vecs {F} ) un campo vectorial conservador en un dominio abierto y conectado y sean (f ) y (g ) funciones tales que ( vecs nabla f = vecs {F } ) y ( vecs nabla g = vecs {G} ). Entonces, hay una constante (C ) tal que (f = g + C ).

Prueba

Dado que (f ) y (g ) son funciones potenciales para ( vecs {F} ), entonces ( vecs nabla (f − g) = vecs nabla f− vecs nabla g = vecs {F} - vecs {F} = vecs 0 ). Sea (h = f − g ), entonces tenemos ( vecs nabla h = vecs 0 ). Nos gustaría mostrar que (h ) es una función constante.

Suponga que (h ) es una función de (x ) y (y ) (la lógica de esta demostración se extiende a cualquier número de variables independientes). Dado que ( vecs nabla h = vecs 0 ), tenemos (h_x (x, y) = 0 ) y (h_y (x, y) = 0 ). La expresión (h_x (x, y) = 0 ) implica que (h ) es una función constante con respecto a (x ), es decir, (h (x, y) = k_1 (y) ) para alguna función (k_1 ). De manera similar, (h_y (x, y) = 0 ) implica (h (x, y) = k_2 (x) ) para alguna función (k_2 ). Por lo tanto, la función (h ) depende solo de (y ) y también depende solo de (x ). Por lo tanto, (h (x, y) = C ) para alguna constante (C ) en el dominio conectado de ( vecs {F} ). Tenga en cuenta que realmente necesitamos conectividad en este punto; si el dominio de ( vecs {F} ) viene en dos piezas separadas, entonces (k ) podría ser una constante (C_1 ) en una pieza pero podría ser una constante diferente (C_2 ) en la otra pieza. Dado que (f − g = h = C ), tenemos ese (f = g + C ), como se desee.

(cuadrado)

Los campos vectoriales conservadores también tienen una propiedad especial llamada propiedad parcial cruzada. Esta propiedad ayuda a probar si un campo vectorial dado es conservador.

LA PROPIEDAD TRANSPARCIAL DE LOS CAMPOS VECTORIALES CONSERVADORES

Sea ( vecs {F} ) un campo vectorial en dos o tres dimensiones de modo que las funciones componentes de ( vecs {F} ) tengan derivadas parciales mixtas continuas de segundo orden en el dominio de ( vecs {F} ).

Si ( vecs {F} (x, y) = ⟨P (x, y), Q (x, y)⟩ ) es un campo vectorial conservador en (ℝ ^ 2 ), entonces

[ dfrac { parcial P} { parcial y} = dfrac { parcial Q} { parcial x}. ]

Si ( vecs {F} (x, y, z) = ⟨P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z)⟩ ) es un vector conservador campo en ({ mathbb {R}} ^ 3 ), luego

[ begin {align *} dfrac { Particular P} { Particular y} = dfrac { Particular Q} { Particular x} [4pt] dfrac { Particular Q} { Particular Z} = dfrac { R parcial} { y parcial} [4pt] dfrac { R parcial} { parcial x} = dfrac { P parcial} { parcial z}. end {alinear *} ]

Prueba

Dado que ( vecs {F} ) es conservador, hay una función (f (x, y) ) tal que ( vecs nabla f = vecs {F} ). Por lo tanto, según la definición del gradiente, (f_x = P ) y (f_y = Q ). Según el teorema de Clairaut, (f_ {xy} = f_ {yx} ), pero, (f_ {xy} = P_y ) y (f_ {yx} = Q_ {x} ), y por lo tanto (P_y = Q_x ).

(cuadrado)

El teorema de Clairaut proporciona una prueba rápida de la propiedad parcial cruzada de los campos vectoriales conservadores en (ℝ ^ 3 ), tal como lo hizo para los campos vectoriales en (ℝ ^ 2 ).

La propiedad de parciales cruzados de los campos vectoriales conservadores muestra que la mayoría de los campos vectoriales no son conservadores. La propiedad de parciales cruzados es difícil de satisfacer en general, por lo que la mayoría de los campos vectoriales no tendrán parciales cruzados iguales.

Muestre que el campo vectorial rotacional ( vecs {F} (x, y) = ⟨y, , - x⟩ ) no es conservador.

Solución

Sea (P (x, y) = y ) y (Q (x, y) = - x ). Si ( vecs {F} ) es conservador, entonces los parciales cruzados serían iguales, es decir, (P_y ) sería igual a (Q_x ). Por lo tanto, para mostrar que ( vecs {F} ) no es conservador, verifique que (P_y ≠ Q_x ). Dado que (P_y = 1 ) y (Q_x = −1 ), el campo vectorial no es conservador.

Ejercicio ( PageIndex {12} )

Muestre que el campo vectorial ( vecs F (x, y) = xy , hat { mathbf i} −x ^ 2y , hat { mathbf j} ) no es conservador.

Insinuación

Compruebe los parciales cruzados.

Respuesta

(P_y (x, y) = x ) y (Q_x (x, y) = - 2xy ). Dado que (P_y (x, y) ≠ Q_x (x, y) ), ( vecs F ) no es conservador.

Ejemplo ( PageIndex {13} ): Mostrar un campo vectorial no es conservador

¿Es el campo vectorial ( vecs {F} (x, y, z) = ⟨7, −2, x ^ 3⟩ ) conservador?

Solución

Sea (P (x, y, z) = 7 ), (Q (x, y, z) = - 2 ) y (R (x, y, z) = x ^ 3 ). Si ( vecs {F} ) es conservador, entonces se cumplirán las tres ecuaciones parciales cruzadas, es decir, si ( vecs {F} ) es conservador, entonces (P_y ) sería igual a ( Q_x ), (Q_z ) sería igual a (R_y ) y (R_x ) sería igual a (P_z ). Tenga en cuenta que

[P_y = Q_x = R_y = Q_z = 0 nonumber ]

por lo que se mantienen las dos primeras igualdades necesarias. Sin embargo, (R_x (x, y, z) = x ^ 3 ) y (P_z (x, y, z) = 0 ) entonces (R_x ≠ P_z ). Por lo tanto, ( vecs {F} ) no es conservador.

Ejercicio ( PageIndex {13} )

¿Es el campo vectorial ( vecs {G} (x, y, z) = ⟨y, , x, , xyz⟩ ) conservador?

Insinuación

Compruebe los parciales cruzados.

Respuesta

No

Concluimos esta sección con una advertencia: La propiedad de parciales cruzados de los campos vectoriales conservadores dice que si ( vecs {F} ) es conservador, entonces ( vecs {F} ) tiene la propiedad de parciales cruzados . El teorema hace no digamos que, si ( vecs {F} ) tiene la propiedad parcial cruzada, entonces ( vecs {F} ) es conservador (el recíproco de una implicación no es lógicamente equivalente a la implicación original). En otras palabras, la propiedad entre parciales de los campos vectoriales conservadores solo puede ayudar a determinar que un campo no es conservador; no le permite concluir que un campo vectorial sea conservador.

Por ejemplo, considere el campo vectorial ( vecs {F} (x, y) = ⟨x ^ 2y, dfrac {x ^ 3} {3}⟩ ). Este campo tiene la propiedad de parciales cruzados, por lo que es natural intentar utilizar la propiedad de parciales cruzados de los campos vectoriales conservadores para concluir que este campo vectorial es conservador. Sin embargo, esta es una aplicación incorrecta del teorema. Más adelante aprenderemos cómo concluir que ( vecs F ) es conservador.

Conceptos clave

  • Un campo vectorial asigna un vector ( vecs {F} (x, y) ) a cada punto ((x, y) ) en un subconjunto (D ) de (ℝ ^ 2 ) o (ℝ ^ 3 ). ( vecs {F} (x, y, z) ) a cada punto ((x, y, z) ) en un subconjunto (D ) de (ℝ ^ 3 ).
  • Los campos vectoriales pueden describir la distribución de cantidades vectoriales como fuerzas o velocidades en una región del plano o del espacio. Son de uso común en áreas tales como física, ingeniería, meteorología, oceanografía.
  • Podemos esbozar un campo vectorial examinando su ecuación definitoria para determinar magnitudes relativas en varias ubicaciones y luego dibujando suficientes vectores para determinar un patrón.
  • Un campo vectorial ( vecs {F} ) se llama conservador si existe una función escalar (f ) tal que ( vecs nabla f = vecs {F} ).

Ecuaciones clave

  • Campo vectorial en (ℝ ^ 2 )
    ( vecs {F} (x, y) = ⟨P (x, y), , Q (x, y)⟩ )
    o
    ( vecs {F} (x, y) = P (x, y) , hat { mathbf i} + Q (x, y) , hat { mathbf j} )
  • Campo de vector en (ℝ ^ 3 )
    ( vecs {F} (x, y, z) = ⟨P (x, y, z), , Q (x, y, z), , R (x, y, z)⟩ )
    o
    ( vecs {F} (x, y, z) = P (x, y, z) , hat { mathbf i} + Q (x, y, z) , hat { mathbf j} + R (x, y, z) , hat { mathbf k} )

Glosario

campo conservador
un campo vectorial para el que existe una función escalar (f ) tal que ( vecs ∇f = vecs {F} )
campo degradado
un campo vectorial ( vecs {F} ) para el que existe una función escalar (f ) tal que ( vecs ∇f = vecs {F} ); en otras palabras, un campo vectorial que es el gradiente de una función; tales campos vectoriales también se denominan conservador
función potencial
una función escalar (f ) tal que ( vecs ∇f = vecs {F} )
campo radial
un campo vectorial en el que todos los vectores apuntan directamente hacia o directamente lejos del origen; la magnitud de cualquier vector depende solo de su distancia desde el origen
campo rotacional
un campo vectorial en el que el vector en el punto ((x, y) ) es tangente a un círculo con radio (r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ); en un campo rotacional, todos los vectores fluyen en sentido horario o antihorario, y la magnitud de un vector depende solo de su distancia desde el origen
campo de vector unitario
un campo vectorial en el que la magnitud de cada vector es 1
campo vectorial
medido en (ℝ ^ 2 ), una asignación de un vector ( vecs {F} (x, y) ) a cada punto ((x, y) ) de un subconjunto (D ) de (ℝ ^ 2 ); en (ℝ ^ 3 ), una asignación de un vector ( vecs {F} (x, y, z) ) a cada punto ((x, y, z) ) de un subconjunto (D ) de (ℝ ^ 3 )

15.1: Campos vectoriales - Matemáticas

Ya hemos visto que una forma conveniente de describir una línea en tres dimensiones es proporcionar un vector que "apunte a" cada punto de la línea como parámetro $ t $ varía, como $ langle 1,2,3 rangle + t langle 1, -2,2 rangle = langle 1 + t, 2-2t, 3 + 2t rangle. $ Excepto que esto da un objeto geométrico particularmente simple, no hay nada especial en las funciones individuales de $ t $ que componen las coordenadas de este vector & mdashany vector con un parámetro, como $ langle f (t), g (t), h (t) rangle $, describirán alguna curva en tres dimensiones a medida que $ t $ varía a través de todos los valores posibles.

Ejemplo 15.1.1 Describa las curvas $ langle cos t, sin t, 0 rangle $, $ langle cos t, sin t, t rangle $ y $ langle cos t, sin t , 2t rangle $.

Como $ t $ varía, las dos primeras coordenadas en las tres funciones trazan los puntos en el círculo unitario, comenzando con $ (1,0) $ cuando $ t = 0 $ y avanzando en sentido antihorario alrededor del círculo como $ t $ aumenta. En el primer caso, la coordenada $ z $ es siempre 0, por lo que describe con precisión el círculo unitario en el plano $ x $ - $ y $. En el segundo caso, las coordenadas $ x $ y $ y $ aún describen un círculo, pero ahora la coordenada $ z $ varía, de modo que la altura de la curva coincide con el valor de $ t $. Cuando $ t = pi $, por ejemplo, el vector resultante es $ langle -1,0, pi rangle $. Un poco de pensamiento debería convencerte de que el resultado es una hélice. En el tercer vector, la coordenada $ z $ varía dos veces más rápido que el parámetro $ t $, por lo que obtenemos una hélice estirada. Ambos se muestran en la figura 15.1.1. A la izquierda está la primera hélice, mostrada para $ t $ entre 0 y $ 4 pi $ a la derecha está la segunda hélice, mostrada para $ t $ entre 0 y $ 2 pi $. Ambos comienzan y terminan en el mismo punto, pero la primera hélice toma dos "vueltas" completas para llegar allí, porque su coordenada $ z $ crece más lentamente.

Una expresión vectorial de la forma $ langle f (t), g (t), h (t) rangle $ se llama función vectorial es una función de los números reales $ R $ al conjunto de todos los vectores tridimensionales. Alternativamente, podemos pensar en tres funciones separadas, $ x = f (t) $, $ y = g (t) $ y $ z = h (t) $, que describen puntos en el espacio. En este caso solemos referirnos al conjunto de ecuaciones como ecuaciones paramétricas para la curva, al igual que para una línea. Si bien el parámetro $ t $ en una función vectorial puede representar cualquiera de varias cantidades físicas, o ser simplemente un "número puro", a menudo es conveniente y útil pensar que $ t $ representa el tiempo. La función vectorial luego te dice en qué lugar del espacio se encuentra un objeto en particular en cualquier momento.

Las funciones vectoriales pueden ser difíciles de comprender, es decir, difíciles de representar. Cuando esté disponible, el software de computadora puede ser muy útil. Cuando se trabaja a mano, un enfoque útil es considerar las "proyecciones" de la curva en los tres planos de coordenadas estándar. Ya lo hemos hecho en parte: en el ejemplo 15.1.1 observamos que las tres curvas se proyectan en un círculo en el plano $ x $ - $ y $, ya que $ langle cos t, sin t rangle $ es una función vectorial bidimensional para el círculo unitario.

Ejemplo 15.1.2 Grafique las proyecciones de $ langle cos t, sin t, 2t rangle $ sobre el plano $ x $ - $ z $ y el plano $ y $ - $ z $. La función vectorial bidimensional para la proyección en el plano $ x $ - $ z $ es $ langle cos t, 2t rangle $, o en forma paramétrica, $ x = cos t $, $ z = 2t $. Al eliminar $ t $ obtenemos la ecuación $ x = cos (z / 2) $, la curva familiar que se muestra a la izquierda en la figura 15.1.2. Para la proyección en el plano $ y $ - $ z $, comenzamos con la función vectorial $ langle sin t, 2t rangle $, que es lo mismo que $ y = sin t $, $ z = 2t $ . Al eliminar $ t $ se obtiene $ y = sin (z / 2) $, como se muestra a la derecha en la figura 15.1.2.


Semana 15: 11 de diciembre - 15 de diciembre

Semana 14: 4 de diciembre - 8 de diciembre

  • Capítulo 18. Aplicaciones a la teoría de potenciales: campos electrostáticos.
  • Sección 18.2 Uso de mapeos conformes
  • Sección 18.3 Problemas de calor.
  • Sección 18.4 Flujo de fluido
  • Sección 18.5 Fórmula integral de Poisson

Semana 13:27 de noviembre - 1 de diciembre

  • Sección 16.1 Serie Laurent
  • Sección 16.2 Singularidades y ceros de funciones
  • Sección 16.3 Método de integración de residuos
  • Sección 16.4Evaluación de integrales reales

Semana 12:20 de noviembre - 24 de noviembre

Temas de lectura

  • Sección 15.3 Funciones dadas por series de potencias
  • Sección 15.4 Series de Taylor y Maclaurin
  • Sección 16.1 Serie Laurent
  • Sección 16.2 Singularidades y ceros de funciones

Semana 11:13 de noviembre - 17 de noviembre

  • Sección 15.2Serie de potencia: pruebas de radio de convergencia, propiedades de la serie de potencia
  • Sección 15.3 Funciones dadas por series de potencias
  • Sección 15.4 Series de Taylor y Maclaurin

Semana 10: 6 de noviembre - 10 de noviembre

  • Sección 14.3Integral de CauchyFórmula.
  • Sección 14.4Derivadas de funciones analíticas.
  • Sección 15.1Series, pruebas de convergencia
  • Sección 15.2Power Series, Taylor Series: Secuencias, Series, Pruebas de convergencia.

Semana 9: del 30 de octubre al 3 de noviembre

Temas de lectura

  • Sección 14.1 Integración compleja: Integral de línea en el plano complejo.
  • Sección 14.2 Teorema integral de Cauchy
  • Sección 14.3Integral de CauchyFórmula.

Semana 8:23 de octubre - 27 de octubre

  • Sección 13.3-13.4Derivado. Función analítica. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Ecuación de Laplace.
  • Sección 13.5Funcion exponencial.
  • Sección 13.6Funciones trigonométricas, funciones hiperbólicas.
  • Sección 13.7Logaritmo. Poder general.

Semana 7:16 de octubre - 20 de octubre

Temas de lectura

  • Sección 13.1 Números complejos. Plano complejo. Forma polar de números complejos.
  • Sección 13.2Poderes y raíces. Derivado.
  • Sección 13.3Funciones analíticas. Ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Semana 6: del 9 de octubre al 13 de octubre

  • Secciones 10.5 - 10.6Integrales de superficie.
  • Sección 10.7Integrales triples. Teorema de divergencia de Gauss.
  • Sección 10.8Aplicaciones del teorema de la divergencia.
  • Sección 10.9Teorema de Stokes.

Semana 5: 2 de octubre - 6 de octubre

  • Sección 10.4 Teorema de Green en el plano.
  • Secciones 10.5 - 10.6 Superficies para integrales de superficie. Integrales de superficie.
  • Sección 10.7 Integrales triples. Teorema de divergencia de Gauss.

Semana 4:25 de septiembre - 29 de septiembre

  • Secciones 10.1 Integrales de línea.
  • Sección 10.2 Integrales de línea independientes del camino.
  • Secciones 10.3 - 10.4 Integrales dobles.

Semana 3:18 de septiembre - 22 de septiembre

  • Secciones 9.5 Curvas en mecánica. Velocidad y aceleración.
  • Sección 9.7 Gradiente de un campo escalar. Derivado direccional.
  • Sección 9.8 Divergencia de un campo vectorial.
  • Sección 9.9 Rizo de campo vectorial.
  • Secciones 10.1 Integrales de línea.

Semana 2:11 de septiembre - 15 de septiembre

  • Secciones 9. 2 - 9.3 Producto interno (punto) y producto vectorial (cruzado).
  • Sección 9. 4 Funciones y campos vectoriales y escalares. Derivados. Curvas. Tangentes. Longitud de arco .
  • Secciones 9.5 Curvas en mecánica. Velocidad y aceleración.

Semana 1: 5 de septiembre - 8 de septiembre

Temas de estudio y lectura:

  • Secciones 9.1 Álgebra vectorial en el plano y en el espacio.
  • Secciones 9.2 -93 Producto interior.Producto vectorial (Cruz Producto). Producto triple escalar)


Suma de vectores

  • & lambdaa + b) = & lambdaa + & lambdaB (ley distributiva, para vectores)
  • (& lambda + y beta)a = & lambdaa + y betaB (ley distributiva para escalares)
  • 1 y middota = a
  • (& menos1) y middota = & menosa
  • 0 y middota = 0.

Generalizando ejemplos bien conocidos de vectores (velocidad y fuerza) en física e ingeniería, el matemático introdujo un objeto abstracto llamado vectores. Entonces, los vectores son objetos que se pueden sumar / restar y multiplicar por escalares. Se supone que estas dos operaciones (suma interna y multiplicación escalar externa) satisfacen las condiciones naturales descritas anteriormente. Se dice que un conjunto de vectores forma un espacio vectorial (también llamado espacio lineal), si algún vector de él se puede sumar / restar y multiplicar por escalares, sujeto a las propiedades regulares de suma y multiplicación. El viento, por ejemplo, tiene una velocidad y una dirección y, por lo tanto, se expresa convenientemente como un vector. Lo mismo puede decirse de los objetos en movimiento, el momento, las fuerzas, los campos electromagnéticos y el peso. (El peso es la fuerza producida por la aceleración de la gravedad que actúa sobre una masa).

Lo primero que debemos saber es cómo definir un vector para que quede claro para todos. Hoy más que nunca, las tecnologías de la información son una parte integral de nuestra vida cotidiana. Por eso necesitamos una herramienta para modelar vectores en computadoras. Una de las formas habituales de hacer esto es introducir un sistema de coordenadas, ya sea cartesiano o cualquier otro. En ingeniería, tradicionalmente usamos el sistema de coordenadas cartesianas que especifica cualquier punto con una cadena de dígitos. Cada coordenada mide una distancia desde un punto a sus proyecciones perpendiculares sobre los hiperplanos mutuamente perpendiculares.

Comencemos con nuestro conocido espacio tridimensional en el que el sistema de coordenadas cartesianas consiste en un triplete ordenado de líneas (los ejes) que pasan por un punto común (el origen), y son perpendiculares por pares; también incluye una orientación para cada uno. eje y una sola unidad de longitud para los tres ejes. A cada punto se le asignan distancias a tres planos mutuamente perpendiculares, llamados planos de coordenadas (de modo que el par X y y ejes definen el z-avión, X y z ejes definen el y-plano, etc.). La construcción inversa determina el punto dadas sus tres coordenadas. Cada par de ejes define un plano de coordenadas. Estos planos dividen el espacio en ocho trihedros, llamados octantes. Las coordenadas generalmente se escriben como tres números (o fórmulas algebraicas) entre paréntesis y separadas por comas, como en (-2.1,0.5,7). Por lo tanto, el origen tiene coordenadas (0,0,0) y los puntos unitarios en los tres ejes son (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1).

No existen nombres universales para las coordenadas en los tres ejes. Sin embargo, el eje horizontal se llama tradicionalmente abscisa tomado del nuevo latín (abreviatura de abscisa lineal, literalmente, "línea de corte"), y generalmente denotado por X. El siguiente eje se llama ordenada, que proviene del nuevo latín (linea), literalmente, línea aplicada de manera ordenada, generalmente la etiquetaremos por y. El último eje se llama aplicar y generalmente denotado por z. En consecuencia, los vectores unitarios se denotan por I (abscisa), j (ordenada), y k (aplicar), llamado la base. Una vez que se configuran las coordenadas rectangulares, cualquier vector se puede expandir a través de estos vectores unitarios. En el caso tridimensional, cada vector se puede expandir como (< bf v> = v_1 < bf i> + v_2 < bf j> + v_3 < bf k>, ) donde (v_1, v_2, v_3 ) se llaman las coordenadas del vector v. Las coordenadas siempre se especifican en relación con una base ordenada. Cuando se ha elegido una base, un vector se puede expandir con respecto a los vectores base y se puede identificar con un orden norte-tupla de norte números o coordenadas reales (o complejos). El conjunto de todos los números ordenados reales (o complejos) se denota por & reals n (o & Copf n). En general, un vector en un espacio dimensional infinito se identifica mediante una secuencia infinita de números. Los vectores de coordenadas de dimensión finita se pueden representar mediante un vector de columna (que suele ser el caso) o un vector de fila. Denotaremos los vectores de columna con letras minúsculas en negrita y los vectores de fila con letras minúsculas con una flecha superpuesta. Debido a la forma en que Wolfram Language usa listas para representar vectores, Mathematica no distingue los vectores de columna de los vectores de fila, a menos que el usuario especifique cuál está definido. Uno puede definir vectores usando Mathematica comandos: Lista, Mesa, Formación, o corchetes.

En matemáticas y aplicaciones, es una costumbre distinguir los vectores de columna

El concepto de espacio vectorial (también una espacio lineal) se ha definido de forma abstracta en matemáticas. Históricamente, las primeras ideas que llevaron a los espacios vectoriales se remontan al siglo XVII, sin embargo, la idea cristalizó con el trabajo del matemático alemán Hermann Günther Grassmann (1809-1877), quien publicó un artículo en 1862. Un vector el espacio es una colección de objetos llamados vectores, que se pueden sumar y multiplicar ("escalar") por números, llamados escalares, el resultado produce más vectores en esta colección. Los escalares a menudo se toman como números reales, pero también hay espacios vectoriales con multiplicación escalar por números complejos, números racionales o, en general, escalares en cualquier campo. Las operaciones de suma vectorial y multiplicación escalar deben satisfacer ciertos requisitos, llamados axiomas (se pueden encontrar en la página web).


Vectores en Mathematica se construyen, manipulan y acceden de manera similar a las matrices (consulte la siguiente sección). Sin embargo, como listas simples ("unidimensionales", no "bidimensionales", como las matrices que parecen más tabulares), son más fáciles de construir y manipular. Estarán encerrados entre corchetes ([,]) lo que nos permite distinguir un vector de una matriz con una sola fila, si miramos con atención. El número de "ranuras" en un vector no se menciona en Mathematica como filas o columnas, sino por "tamaño".

En Mathematica, la definición de vectores y matrices se realiza escribiendo cada fila entre llaves:

Se puede construir un vector de columna a partir de los corchetes que se muestran aquí <>. Una coma delimita cada fila. Sin embargo, es posible que la salida no se parezca a un vector de columna. Para solucionar esto, debe llamar a // MatrixForm en su representación variable de un vector de fila.

La construcción de un vector de fila es muy similar a la construcción de un vector de columna, excepto que se utilizan dos conjuntos de llaves. Una vez más, la salida parece un vector de fila, por lo que se debe llamar a // MatrixForm para poner el vector de fila en el formato con el que está más familiarizado:


15.1: Campos vectoriales - Matemáticas

En la sección anterior vimos que si supiéramos que el campo vectorial ( vec F ) es conservador, entonces ( int limits_<< vec F centerdot d , vec r >> ) era independiente de la ruta. Esto, a su vez, significa que podemos evaluar fácilmente esta integral de línea siempre que podamos encontrar una función potencial para ( vec F ).

En esta sección queremos ver dos preguntas. Primero, dado un campo vectorial ( vec F ), ¿hay alguna forma de determinar si es un campo vectorial conservador? En segundo lugar, si sabemos que ( vec F ) es un campo vectorial conservador, ¿cómo podemos encontrar una función potencial para el campo vectorial?

La primera pregunta es fácil de responder en este punto si tenemos un campo vectorial bidimensional. Para campos vectoriales de mayor dimensión, tendremos que esperar hasta la sección final de este capítulo para responder esta pregunta. Dicho esto, veamos cómo lo hacemos para campos vectoriales bidimensionales.

Teorema

Sea ( vec F = P , vec i + Q , vec j ) un campo vectorial en una región abierta y simplemente conectada (D ). Entonces, si (P ) y (Q ) tienen derivadas parciales continuas de primer orden en (D ) y

el campo vectorial ( vec F ) es conservador.

Echemos un vistazo a un par de ejemplos.

  1. ( vec F left ( right) = left (<- yx> derecha) vec i + left (<- xy> derecha) vec j )
  2. ( vec F left ( right) = left (<2x << bf>^> + y << bf>^>> derecha) vec i + izquierda (<<< bf>^> + 2y> derecha) vec j )

De acuerdo, realmente no hay mucho en estos. Todo lo que hacemos es identificar (P ) y (Q ), luego tomar un par de derivadas y comparar los resultados.

En este caso, aquí están (P ) y (Q ) y las derivadas parciales apropiadas.

Entonces, dado que las dos derivadas parciales no son iguales, este campo vectorial NO es conservador.

Aquí están (P ) y (Q ) así como las derivadas apropiadas.

Las dos derivadas parciales son iguales, por lo que este es un campo vectorial conservador.

Ahora que sabemos cómo identificar si un campo vectorial bidimensional es conservador, debemos abordar cómo encontrar una función potencial para el campo vectorial. En realidad, este es un proceso bastante simple. Primero, supongamos que el campo vectorial es conservador y, por lo tanto, sabemos que una función potencial, (f left ( right) ) existe. Entonces podemos decir que,

O al igualar los componentes tenemos,

Al integrar cada uno de estos con respecto a la variable apropiada, podemos llegar a las siguientes dos ecuaciones.

Vimos este tipo de integral brevemente al final de la sección sobre integrales iteradas en el capítulo anterior.

Por lo general, es mejor ver cómo usamos estos dos hechos para encontrar una función potencial en uno o dos ejemplos.

  1. ( vec F = left (<2+ x> derecha) vec i + left (<2+ y> derecha) vec j )
  2. ( vec F left ( right) = left (<2x << bf>^> + y << bf>^>> derecha) vec i + izquierda (<<< bf>^> + 2y> derecha) vec j )

Primero identifiquemos (P ) y (Q ) y luego verifiquemos que el campo vectorial sea conservador.

Entonces, el campo vectorial es conservador. Ahora busquemos la función potencial. Desde el primer hecho anterior sabemos que,

De estos podemos ver que

Podemos usar cualquiera de estos para iniciar el proceso. Recuerde que vamos a tener que tener cuidado con la “constante de integración” que sea la integral que elijamos utilizar. Para este ejemplo, trabajemos con la primera integral y eso significa que estamos preguntando qué función diferenciamos con respecto a (x ) para obtener el integrando. Esto significa que la "constante de integración" tendrá que ser una función de (y ) ya que cualquier función que consista solo en (y ) y / o constantes se diferenciará a cero al tomar la derivada parcial con respecto a (X).

Aquí está la primera integral.

donde (h left (y right) ) es la “constante de integración”.

Ahora necesitamos determinar (h left (y right) ). Esto es más fácil de lo que parece a primera vista. Para llegar a este punto, usamos el hecho de que sabíamos (P ), pero también necesitaremos usar el hecho de que conocemos (Q ) para completar el problema. Recuerda que (Q ) es realmente la derivada de (f ) con respecto a (y ). Entonces, si diferenciamos nuestra función con respecto a (y ) sabemos cuál debería ser.

Entonces, diferenciemos (f ) (incluyendo (h left (y right) )) con respecto a (y ) y pongámoslo igual a (Q ) ya que eso es lo que es la derivada se supone que es.

De esto podemos ver que,

Observe que, dado que (h ' left (y right) ) es una función solo de (y ), por lo que si hay (x ) en la ecuación en este punto, sabremos que he cometido un error. En este punto, encontrar (h left (y right) ) es simple.

Entonces, al juntar todo esto, podemos ver que una función potencial para el campo vectorial es,

Tenga en cuenta que siempre podemos verificar nuestro trabajo verificando que ( nabla f = vec F ). También tenga en cuenta que debido a que (c ) puede ser cualquier cosa, hay un número infinito de funciones potenciales posibles, aunque solo variarán por una constante aditiva.

De acuerdo, este irá mucho más rápido ya que no necesitamos dar tantas explicaciones. Ya hemos verificado que este campo vectorial es conservador en el primer conjunto de ejemplos, por lo que no nos molestaremos en volver a hacerlo.

Comencemos con lo siguiente,

Esto significa que podemos hacer cualquiera de las siguientes integrales,

Si bien podemos hacer cualquiera de estos, la primera integral sería algo desagradable ya que necesitaríamos hacer una integración por partes en cada porción. Por otro lado, la segunda integral es bastante simple ya que el segundo término solo involucra a (y ) y el primer término se puede hacer con la sustitución (u = xy ). Entonces, de la segunda integral obtenemos,

Observe que esta vez la "constante de integración" será una función de (x ). Si diferenciamos esto con respecto a (x ) y lo igualamos a (P ) obtenemos,

Entonces, en este caso parece,

[h ' left (x right) = 0 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> h left (x right) = c ]

Entonces, en este caso, la “constante de integración” realmente fue una constante. A veces esto sucederá y otras no.

Aquí está la función potencial para este campo vectorial.

Ahora, como se señaló anteriormente, no tenemos una forma (todavía) de determinar si un campo vectorial tridimensional es conservador o no. Sin embargo, si se nos da que un campo vectorial tridimensional es conservador, encontrar una función potencial es similar al proceso anterior, aunque el trabajo será un poco más complicado.

En este caso usaremos el hecho de que,

Echemos un vistazo rápido a un ejemplo.

De acuerdo, comenzaremos con las siguientes igualdad.

Para empezar podemos integrar el primero con respecto a (x ), el segundo con respecto a (y ), o el tercero con respecto a (z ). Integremos el primero con respecto a (x ).

Note que esta vez la “constante de integración” será una función tanto de (y ) como de (z ) ya que diferenciar cualquier cosa de esa forma con respecto a (x ) se diferenciará a cero.

Ahora, podemos diferenciar esto con respecto a (y ) e igualarlo a (Q ). Hacer esto da,

Por supuesto, necesitaremos tomar la derivada parcial de la constante de integración, ya que es una función de dos variables. Parece que ahora tenemos lo siguiente:

[izquierda( right) = 0 hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.5in> g left ( right) = h left (z right) ]

Desde que diferenciamos (g left ( right) ) con respecto a (y ) da cero entonces (g left ( right) ) como mucho podría ser una función de (z ). Esto significa que ahora sabemos que la función potencial debe tener la siguiente forma.

Para terminar con esto, todo lo que tenemos que hacer es diferenciar con respecto a (z ) y establecer el resultado igual a (R ).

[h ' left (z right) = 0 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> , , , h left (z right) = c ]

La función potencial para este campo vectorial es entonces,

Tenga en cuenta que para mantener el trabajo al mínimo, usamos una función potencial bastante simple para este ejemplo. Podría haber sido posible adivinar cuál era la función potencial basada simplemente en el campo vectorial. Sin embargo, debemos tener cuidado de recordar que este no suele ser el caso y, a menudo, este proceso es necesario.

Además, hubo varios otros caminos que podríamos haber tomado para encontrar la función potencial. Cada uno nos habría dado el mismo resultado.

Trabajemos un ejemplo más un poco (y solo un poco) más complicado.

Aquí están las igualdades para este campo vectorial.

Para este ejemplo integremos el tercero con respecto a (z ).

La “constante de integración” para esta integración será una función tanto de (x ) como de (y ).

Ahora, podemos diferenciar esto con respecto a (x ) e igualarlo a (P ). Hacer esto da,

Entonces, parece que ahora tenemos lo siguiente,

[izquierda( right) = 2x cos left (y right) hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.5in> g left ( right) = cos left (y right) + h left (y right) ]

La función potencial de este problema es entonces,

Para terminar con esto, todo lo que tenemos que hacer es diferenciar con respecto a (y ) y establecer el resultado igual a (Q ).

[h ' left (y right) = 3 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> , , , h left (y right) = 3y + c ]

La función potencial para este campo vectorial es entonces,

Entonces, un poco más complicado que los demás y nuevamente hay muchos caminos diferentes que podríamos haber tomado para obtener la respuesta.

Necesitamos trabajar un ejemplo final en esta sección.

Ahora, podríamos usar las técnicas que discutimos cuando vimos por primera vez las integrales de línea de los campos vectoriales, sin embargo, esa sería una solución particularmente desagradable.

En su lugar, aprovechemos el hecho de que sabemos por el ejemplo 2a anterior que este campo vectorial es conservador y que una función potencial para el campo vectorial es,

Al usar esto, sabemos que la integral debe ser independiente de la ruta, por lo que todo lo que necesitamos hacer es usar el teorema de la sección anterior para hacer la evaluación.

[ vec r left (1 right) = left langle <- 2,1> right rangle hspace <0.5in> vec r left (0 right) = left langle <- 1,0> right rangle ]


15.1: Campos vectoriales - Matemáticas

10. 2 curvas planas y ecuaciones paramétricas

Dibujar la gráfica de una curva dada por un conjunto de ecuaciones paramétricas eliminar lo paramétrico encontrar un conjunto de ecuaciones paramétricas para representar una curva entender dos problemas clásicos de cálculo: la Tautocrona y la Braquistocrona.

10.3 Ecuaciones paramétricas y cálculo

Encuentre la pendiente de una línea tangente a una curva definida por ecuaciones paramétricas encuentre la longitud del arco a lo largo de una curva definida paramétricamente encuentre el área de una superficie de revolución en forma paramétrica.

10.4 Coordenadas polares y gráficos polares

Comprender el sistema de coordenadas polares transformar coordenadas y ecuaciones de polares a cartesianos y de cartesianos a gráficos de bosquejo polar en forma polar encontrar la pendiente de una línea tangente a un gráfico dado en forma polar identificar varios tipos de gráficos polares.

10.5 Área y longitud del arco en coordenadas polares

Encuentre el área de una región limitada por gráficas polares Encuentre la longitud del arco y el área de una superficie de revolución en forma polar.

Realizar operaciones vectoriales en forma de componentes e interpretar geométricamente. Usar vectores unitarios estándar para expresar vectores. Usar vectores para resolver problemas que involucran fuerza o velocidad.

11.2 Coordenadas espaciales y vectores en el espacio

Comprender el sistema de coordenadas 3D y utilizar vectores tridimensionales para resolver problemas de la vida real.

Utilice las propiedades del producto escalar para encontrar el ángulo entre dos vectores, los cosenos de dirección, las proyecciones vectoriales y el trabajo.

Encuentre el producto cruzado de dos vectores y use el producto escalar triple.

11.5 Líneas y planos en el espacio

Halla las ecuaciones de líneas y planos en el espacio encuentra las distancias entre puntos, líneas y planos en el espacio.

Reconocer y escribir ecuaciones para superficies cilíndricas y cuádricas y para superficies de revolución.

11.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas

Utilice coordenadas cilíndricas y esféricas para representar las ecuaciones de superficies.

12.1 Funciones con valores vectoriales

Analizar y bosquejar una gráfica de una curva espacial dada por una función con valores vectoriales extienda los conceptos de límites y continuidad a estas funciones.

12.2 Diferenciación e integración de funciones con valores vectoriales.

Diferenciar e integrar funciones con valores vectoriales

12.3 Velocidad y aceleración

Describe la velocidad y la aceleración de una función con valores vectoriales. Utiliza una función con valores vectoriales para analizar el movimiento de un proyectil.

12.4 Vectores tangentes y vectores normales

Encuentre unidades tangentes a curvas en el espacio encuentre las componentes tangencial y normal de la aceleración.

12.5 Longitud y curvatura del arco

Encuentre la longitud del arco y la curvatura de las curvas espaciales. Utilice s para parametrizar las curvas.

13.1 Funciones de varias variables

Dibuje la gráfica y las curvas de nivel de una función de dos variables. Dibuje las superficies de nivel de una función de tres variables.

13.2 Límites y continuidad

Comprender cómo determinar los límites de funciones de dos variables extienda la noción de continuidad a funciones de dos y tres variables.

Encuentre derivadas parciales de primer orden y de orden superior de funciones de varias variables.

Use los conceptos de incrementos y diferenciales para extender el concepto de diferenciabilidad a funciones de dos variables use diferenciales para la aproximación.

13.5 Regla de la cadena para funciones de varias variables

Utilice reglas de cadena para funciones de varias variables para encontrar parciales implícitamente.

13.6 Derivadas y gradientes direccionales

Encuentre y use derivadas direccionales y gradientes de funciones de dos y tres variables.

13.7 Planos tangentes y rectas normales

Encuentre las ecuaciones de planos tangentes y rectas normales en el espacio. Encuentre el ángulo de inclinación de un plano en el espacio comparando gradientes.

13.8 Extremo de funciones de dos variables

Encuentre extremos absolutos y relativos para funciones de dos variables usando la Segunda Prueba de Parciales.

13.9 Aplicaciones de Extrema

Resolver problemas de optimización que involucran varios mínimos cuadrados de variables.

13.10 Multiplicadores de Lagrange

Utilice los multiplicadores de Lagrange para resolver problemas de optimización restringidos.

14.1 Integrales dobles y área plana

Evalúe integrales iteradas y utilícelas para encontrar el área de una región plana.

14.2 Integrales dobles y volúmenes

Utilice integrales dobles para representar el volumen de una región sólida y evalúe las integrales dobles como integrales iteradas.

14.3 Cambio de variables: coordenadas polares

Escribe y evalúa integrales dobles en forma polar.

Encuentre el centro de masa y los momentos de inercia de láminas planas usando integrales dobles.

Usa integrales dobles para encontrar el área de una superficie.

14.6 Integrales triples y aplicaciones

Utilice una integral triple para encontrar el volumen, la masa y los momentos de inercia de una región sólida.

14.7 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas

Escribir y evaluar integrales triples usando coordenadas cilíndricas y esféricas.

14.8 Cambio de variables y jacobianos

Utilice un jacobiano para transformar las variables en una integral doble.

Comprender el concepto de campo vectorial, encontrar la divergencia y la curvatura de un campo, determinar si un campo es conservador.

Usando curvas suaves por partes, escriba y evalúe una integral de línea de un campo vectorial, escriba y evalúe una integral de línea en forma diferencial.

15.3 Campos vectoriales conservadores e independencia de ruta

Utilice el Teorema fundamental de las integrales de línea Utilice los conceptos de independencia de trayectoria y conservación de energía.

Usa el teorema de Green para evaluar una integral de línea.

Encuentre un conjunto de ecuaciones paramétricas para representar una superficie encuentre un vector normal y un plano tangente a una superficie paramétrica encuentre el área de una superficie paramétrica.

Evaluar una integral de superficie para una superficie paramétrica determinar la orientación de una superficie usar una integral de flujo.

Comprender y utilizar el teorema de la divergencia para encontrar el flujo.

Comprender y utilizar el teorema de Stoke utiliza el rizo para analizar el movimiento de un líquido en rotación.


Escalando el monte Bourbaki

Es un hecho clásico que una variedad compacta que admita un campo vectorial que no desaparece en ninguna parte satisface. Una forma de probar esto es observar que los flujos locales generados por el campo vectorial son homotópicos a la identidad, pero no tienen puntos fijos para los pequeños (ya que el campo vectorial no se desvanece). Por el teorema del punto fijo de Lefschetz, encontramos que el número de Lefschetz de, que es, debe desaparecer.

Hay otra forma de demostrar este teorema, que utiliza la teoría de los operadores elípticos en lugar del teorema del punto fijo de Lefschetz. En cualquier variedad de Riemann de orientación dimensional, la característica de Euler se puede calcular como el índice del operador elíptico

desde formas diferenciales de dimensiones pares hasta formas de dimensiones impares. Aquí está la diferenciación exterior y el adjunto formal, que proviene de la métrica. Una forma de ver esto es observar que el operador elíptico así definido es solo una versión & # 8220 enrollada & # 8221 del habitual complejo de Rham.

De hecho, se puede definir en todo el espacio, y ahí está autoadjunto (consecuentemente con índice cero).

Los elementos en son precisamente los armónico diferenciales (de hecho, es una raíz cuadrada del Laplaciano de Hodge), y según la teoría de Hodge, estos representan clases de cohomología en. De esto se sigue que

Atiyah & # 8217s idea, en su artículo & # 8220 Vector fields on manifolds, & # 8221 es utilizar la existencia de un campo vectorial que desaparece en ninguna parte para obtener un simetría de (o una perturbación del mismo) para mostrar que su índice es cero.

Teorema 1 Sea un campo vectorial sin ceros. Luego .

2. Álgebras de Clifford

Para ver esto, es más conveniente usar la multiplicación de Clifford en lugar de la multiplicación exterior. Asociado al paquete de Riemann hay un paquete de álgebras de Clifford, de modo que la fibra en cada uno es el álgebra de Clifford. Este es un paquete de espacios vectoriales graduados (incluso álgebras), y como un paquete de espacios vectoriales graduados, es isomorfo al álgebra exterior del paquete cotangente.

De hecho, para cualquier espacio de producto interno, existe una acción del álgebra de Clifford sobre el álgebra exterior, mediante la cual un vector actúa por parte del operador. Aquí está el operador de acuñamiento con y es contracción con. Esta estructura define un mapa

lo que convierte el álgebra exterior en un módulo. Para verificar esto, uno simplemente tiene que verificar que los operadores satisfagan las relaciones de conmutación de Clifford, lo cual es sencillo.

Proposición 2 El álgebra exterior es un módulo libre de rango 1, generado por el elemento unitario del álgebra exterior.

De esta manera, podemos realmente identificar el álgebra de Clifford con el álgebra exterior. Asociada a la calificación natural del álgebra de Clifford está la calificación natural del álgebra exterior.

¿Y si hiciéramos esto a nivel mundial? Para una variedad, encontramos que hay un isomorfismo de paquetes de vectores graduados

Así podemos hablar de Multiplicación de clifford de formas, tan honestamente como la multiplicación exterior.

3. El símbolo de

El símbolo del complejo de Rham de operadores diferenciales

es dado por el Complejo de Koszul. Es decir, en un vector cotangente, uno tiene el complejo

donde cada mapa es una multiplicación exterior por. Este es precisamente el símbolo del complejo de Rham, en un vector cotangente. El operador se obtuvo & # 8220 enrollando & # 8221 el complejo de Rham, es decir, tomando el diferencial en el complejo de Rham y agregándolo a su adjunto. Todo esto es compatible con el paso a símbolos (excepto que uno toma un signo al tomar el adjunto), y encontramos que el símbolo de es, en un vector cotangente,

Pero actúa por multiplicación de Clifford izquierda por, ya que. De ello se deduce que el símbolo de, en un vector cotangente, viene dado por la multiplicación de Clifford por la izquierda por. es un caso especial (y relativamente fácil) del llamado & # 8220Dirac operator, & # 8221 que tiene sentido en cualquier paquete de Clifford.

De manera similar, encontramos que el símbolo del adjunto formal

viene dada por la multiplicación de Clifford por la izquierda, en un vector cotangente.

4. Simetrías

Ahora, nuestro objetivo es mostrar que si uno tiene un campo vectorial cero en ninguna parte, entonces

La idea de Atiyah es utilizar el campo vectorial para generar una simetría de & # 8212 o más bien su símbolo, que de todos modos es lo único que afecta al índice. Es decir, tenemos el operador de derecho Multiplicación de Clifford, en el paquete de álgebra exterior (identificado con el álgebra de Clifford). Entonces tiene la propiedad de que conmuta con la multiplicación de Clifford izquierda, por lo que el símbolo del operador elíptico

es simplemente la multiplicación de Clifford por en un vector cotangente.

Sin embargo, hemos visto que la multiplicación de Clifford por es precisamente el símbolo de y, en particular,

tienen el mismo símbolo. Por tanto, tienen el mismo índice, lo que implica

esto significa que . Esto lo prueba.

En el resto del artículo, Atiyah usa versiones más sofisticadas de esta idea para probar una serie de congruencias en la firma de múltiples que admiten campos de planos tangentes.


Componentes vectoriales

Los vectores generalmente se orientan en un sistema de coordenadas, el más popular de los cuales es el plano cartesiano bidimensional. El plano cartesiano tiene un eje horizontal etiquetado como x y un eje vertical etiquetado como y. Algunas aplicaciones avanzadas de vectores en física requieren el uso de un espacio tridimensional, en el que los ejes son x, y y z. Este artículo se ocupará principalmente del sistema bidimensional, aunque los conceptos se pueden ampliar con cierto cuidado a tres dimensiones sin demasiados problemas.

Los vectores en sistemas de coordenadas de múltiples dimensiones se pueden dividir en sus vectores de componentes. En el caso bidimensional, esto da como resultado una componente x y un componente y. Al dividir un vector en sus componentes, el vector es una suma de los componentes:

Tenga en cuenta que los números aquí son las magnitudes de los vectores. Conocemos la dirección de los componentes, pero estamos tratando de encontrar su magnitud, por lo que eliminamos la información direccional y realizamos estos cálculos escalares para averiguar la magnitud. Se puede utilizar una mayor aplicación de la trigonometría para encontrar otras relaciones (como la tangente) que se relacionan entre algunas de estas cantidades, pero creo que eso es suficiente por ahora.

Durante muchos años, las únicas matemáticas que aprende un estudiante son las matemáticas escalares. Si viaja 5 millas al norte y 5 millas al este, ha viajado 10 millas. La adición de cantidades escalares ignora toda la información sobre las direcciones.

Los vectores se manipulan de forma algo diferente. Siempre hay que tener en cuenta la dirección a la hora de manipularlos.


Tabla de contenido

Este texto desarrolla álgebra lineal con la visión de que es una puerta de entrada importante que conecta las matemáticas elementales con materias más avanzadas, como cálculo avanzado, sistemas de ecuaciones diferenciales, geometría diferencial y representaciones de grupos. El propósito de este libro es proporcionar un tratamiento de este tema con suficiente profundidad para preparar al lector para abordar este material adicional.

El texto comienza con espacios vectoriales, sobre conjuntos de números reales y complejos, y transformaciones lineales entre dichos espacios vectoriales. Posteriormente, esta configuración se extiende a los campos generales. El lector estará en condiciones de apreciar el material inicial en este nivel más general con un esfuerzo mínimo.

Las características notables del texto incluyen un tratamiento de los determinantes, que es más limpio de lo que uno ve a menudo, y un alto grado de contacto con la geometría y el análisis, particularmente en el capítulo sobre álgebra lineal sobre espacios de productos internos. Además de estudiar álgebra lineal sobre campos generales, el texto tiene un capítulo sobre álgebra lineal sobre anillos. También hay un capítulo sobre estructuras especiales, como cuaterniones, álgebras de Clifford y octoniones.


Dibujar parcelas de campo vectoriales nunca ha sido tan fácil

Las parcelas de campo vectoriales están vinculadas a ecuaciones diferenciales. Cuando resolvemos una ecuación diferencial, no obtenemos una solución particular (única), obtenemos una solución general, que es básicamente una familia de soluciones particulares.

Para una comprensión más sencilla, & # 8217s pase directamente a un ejemplo. Supongamos que tenemos la ecuación diferencial:

Esto es un ecuación diferencial de primer orden separable, porque podemos escribirlo con todas las y& # 8216s en un lado del signo igual, y todos los X& # 8216s en el otro lado, así:

En otras palabras, hemos separado el y& # 8216s del X& # 8216s. Lo resolvemos integrando ambos lados de la ecuación:

La solución es sencilla:

donde C es un constante.

Darse cuenta de la solución no es única (particular) pero general, porque la constante C puede tomar cualquier valor (número real). Esto significa que nuestra ecuación diferencial puede tener tantas soluciones como valores posibles de la constante C.

Utilizando parcelas de campo vectoriales podemos ver la representación de todas las soluciones de una ecuación diferencial lineal entre límites fijos.

Imagen: Gráfico de campo vectorial para la ecuación diferencial dy / dx = y + x

En la imagen de arriba podemos ver el parcela de campo vectorial para la ecuación diferencial:

Las pequeñas flechas azules (vectores) indican la tendencia (forma) de las soluciones de la ecuación diferencial entre los límites de la parcela. La línea roja representa una solución particular de la ecuación diferencial.

Al dibujar el diagrama de campo vectorial sabremos, antes de resolver la ecuación diferencial, cómo se verá la solución en términos de la forma de la curva.

La pregunta es: ¿Cómo dibujamos el diagrama de campo vectorial teniendo solo la ecuación diferencial?

Usaremos la misma ecuación diferencial, que resolvimos anteriormente, como ejemplo:

Primero debemos recordar que podemos definir la ecuación de una línea y = f (x) tener un puntoX0, y0) y la pendiente metro:

Para pequeños valores de X, La pendiente metro es la derivada de la función:

Al reemplazar la ecuación de la pendiente en la ecuación lineal, obtenemos:

Todos los vectores en la gráfica de campo son pequeñas líneas definidas por la ecuación anterior para diferentes valores del punto de inicio (X0, y0) y pendiente dy / dx.

En la siguiente tabla vamos a calcular los puntos que definen los vectores.

Paso 1. Elija el valor de X0.

Paso 2. Elija el valor de y0.

Paso 3. El valor de la pendiente es igual al valor de la ecuación diferencial. En nuestro caso, la ecuación diferencial es igual a X, entonces el valor de la pendiente es el mismo que el valor del punto X0.

Paso 4. Elegimos el punto X1 igual al punto X0 más un desplazamiento0.3).

Paso 5. Calcular el valor del punto y1 usando la ecuación de la recta:

Todos los pasos anteriores se resumen en la siguiente tabla.

Paso123456
VectorX0y0metroX1y1Dibujar linea
1-52-5-4.70.6
2-42-4-3.70.8
3-32-3-2.71.1
4-22-2-1.71.4
5-12-1-0.71.7
60200.32
71211.32.3
82222.32.6
93233.32.9
104244.33.2
115255.33.5

Después de calcular todos los puntos finales (X1, y1), podemos dibujar cada línea vectorial:

Imagen: Gráfico de campo vectorial y dibujo manual # 8211

El proceso se puede repetir para diferentes valores de y.

Para hacer los cálculos más rápidos, podemos usar el script Scilab a continuación:

La ecuación diferencial se define como una función, utilizando la función de Scilab incrustada deff (). Después de ejecutar el script, obtenemos el diagrama de campo vectorial para el X y y límites.

Imagen: Gráfico de campo vectorial para la ecuación diferencial dy / dx = x

Para comprobar nuestra declaración, que el parcela de campo vectorial de una ecuación diferencial es la familia de todas las soluciones particulares dentro de límites especificados, vamos a trazar en la misma figura la gráfica lineal de la solución general y (x) por C = -2, -1, 0, 1, 2.

Imagen: Gráfico de campo vectorial para la ecuación diferencial dy / dx = x y soluciones particulares (C = -2, -1, 0, 1, 2)

Como puede ver, cada una de las curvas para las soluciones particulares sigue la dirección del campo vectorial.

Para verificar si nuestro script Scilab está generando el diagrama de campo vectorial correcto, lo usaremos para dos ecuaciones diferenciales más, que tienen un diagrama de campo vectorial definido.

El diagrama de campo vectorial de esta ecuación diferencial se puede encontrar aquí.

Cambie la definición de la función en el script Scilab:

En la imagen de la izquierda está el diagrama de campo vectorial especificado en la fuente de arriba, en el lado derecho, tenemos el diagrama de campo vectorial generado por el script Scilab.

Imagen: Gráfico de campo vectorial para la ecuación diferencial dy / dx = y + x

Imagen: Gráfico de campo vectorial de Scilab para la ecuación diferencial dy / dx = y + x

Como puede ver, la dirección del campo vectorial es la misma en ambas gráficas.

Repita los pasos anteriores para la función:

El diagrama de campo vectorial de esta ecuación diferencial se puede encontrar aquí.

Imagen: Gráfico de campo vectorial para la ecuación diferencial dy / dx = y & # 8211 x

Imagen: Gráfico de campo vectorial de Scilab para la ecuación diferencial dy / dx = y & # 8211 x

Nuevamente, el script Scilab genera el mismo diagrama de campo vectorial.

Utilice el script para generar diagramas de campo vectoriales para diferentes ecuaciones diferenciales. Luego, resuelva las ecuaciones y vea si la gráfica lineal de una solución en particular coincide con la dirección del campo vectorial.

Para cualquier pregunta, observación y consulta sobre las variables de Scilab, utilice el formulario de comentarios a continuación.


Ver el vídeo: UNIDAD 4: Calculo vectorial - Función potencial de un campo conservativo Parte A (Octubre 2021).