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12.1: Funciones con valores vectoriales y curvas espaciales - Matemáticas


Nuestro estudio de funciones con valores vectoriales combina ideas de nuestro examen anterior del cálculo de una sola variable con nuestra descripción de vectores en tres dimensiones del capítulo anterior. En esta sección, ampliamos conceptos de capítulos anteriores y también examinamos nuevas ideas sobre curvas en el espacio tridimensional. Estas definiciones y teoremas apoyan la presentación de material en el resto de este capítulo y también en los capítulos restantes del texto.

Definición de una función con valores vectoriales

Nuestro primer paso para estudiar el cálculo de funciones con valores vectoriales es definir qué es exactamente una función con valores vectoriales. Luego podemos mirar gráficos de funciones con valores vectoriales y ver cómo definen curvas en dos y tres dimensiones.

Definición: funciones con valores vectoriales

Una función con valores vectoriales es una función de la forma

[ vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + g (t) , hat { mathbf {j}} quad text {o} quad vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + g (t) , hat { mathbf {j}} + h (t) , hat { mathbf { k}}, ]

donde las funciones componentes (f ), (g ) y (h ), son funciones de valor real del parámetro (t ).

Las funciones con valores vectoriales también se pueden escribir en la forma

[ vecs r (t) = ⟨f (t), , g (t)⟩ ; ; text {o} ; ; vecs r (t) = ⟨f (t), , g (t), , h (t)⟩. ]

En ambos casos, la primera forma de la función define una función de valor vectorial bidimensional en el plano; la segunda forma describe una función tridimensional con valores vectoriales en el espacio.

A menudo usamos (t ) como parámetro porque (t ) puede representar el tiempo.

El parámetro (t ) puede estar entre dos números reales: (a≤t≤b ), o su valor puede abarcar todo el conjunto de números reales.

Cada una de las funciones componentes que componen una función con valores vectoriales puede tener restricciones de dominio que imponen restricciones sobre el valor de (t ).

El dominio de una función con valores vectoriales ( vecs r ) es la intersección de los dominios de sus funciones componentes, es decir, es el conjunto de todos los valores de (t ) para los que se define la función con valores vectoriales .

Ejemplo ( PageIndex {1} ): encontrar el dominio de una función con valores vectoriales

Indique el dominio de la función con valores vectoriales ( vecs r (t) = sqrt {2-t} , hat { mathbf {i}} + ln (t + 3) , hat { mathbf {j}} + e ^ t , hat { mathbf {k}} ).

Solución

Primero consideramos el dominio natural de cada función componente. Tenga en cuenta que enumeramos los dominios en ambos notación de constructor de conjuntos y notación de intervalos.

Función: Dominio:
( begin {matriz} {ll} sqrt {2-t} & & big {, t , | , t le 2 big } quad text {o} quad (- infty, 2 grande]
ln (t + 3) & & big {, t , | , t gt -3 big } quad text {o} quad (-3, infty)
e ^ t & & (- infty, infty) end {matriz} )

El dominio de ( vecs r ) es la intersección de estos dominios, por lo que debe contener todos los valores de (t ) que funcionan en los tres, pero ningún valor de (t ) que no funciona en ningún una de estas funciones.

Por lo tanto, el dominio de ( vecs r ) es: ( text {D} _ { vecs r}: big {, t , | , -3 lt t le 2 big } ) o ((-3, 2 grande] ).

Tenga en cuenta que solo se necesita dar una forma del dominio de ( vecs r ). El primero, ( big {, t , | , -3 lt t le 2 big } ), está en notación de constructor de conjuntos, mientras que el segundo, ((-3, 2 big] ), está en notación de intervalos.

Ejemplo ( PageIndex {2} ): evaluación de funciones con valores vectoriales y determinación de dominios

Para cada una de las siguientes funciones con valores vectoriales, evalúe ( vecs r (0) ), ( vecs r ( frac { pi} {2}) ) y ( vecs r ( frac {2 pi} {3}) ). ¿Alguna de estas funciones tiene restricciones de dominio?

  1. ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 3 sin t , hat { mathbf {j}} )
  2. ( vecs r (t) = 3 tan t , hat { mathbf {i}} + 4 sec t , hat { mathbf {j}} + 5t , hat { mathbf { k}} )

Solución

  1. Para calcular cada uno de los valores de la función, sustituya el valor apropiado de (t ) en la función:

    begin {align *} vecs r (0) ; & = 4 cos (0) hat { mathbf {i}} + 3 sin (0) hat { mathbf {j}} [4pt] & = 4 hat { mathbf {i}} +0 hat { mathbf {j}} = 4 hat { mathbf {i}} [4pt] vecs r left ( frac { pi} {2} right) ; & = 4 cos left ( frac {π} {2} right) hat { mathbf {i}} + 3 sin left ( frac {π} {2} right) hat { mathbf {j}} [4pt] & = 0 hat { mathbf {i}} + 3 hat { mathbf {j}} = 3 hat { mathbf {j}} [4pt] vecs r left ( frac {2 pi} {3} right) ; & = 4 cos left ( frac {2π} {3} right) hat { mathbf {i}} + 3 sin left ( frac {2π} {3} right) hat { mathbf {j}} [4pt] & = 4 left (- tfrac {1} {2} right) hat { mathbf {i}} + 3 left ( tfrac { sqrt {3} } {2} right) hat { mathbf {j}} = - 2 hat { mathbf {i}} + tfrac {3 sqrt {3}} {2} hat { mathbf {j} } end {alinear *}

    Para determinar si esta función tiene restricciones de dominio, considere las funciones del componente por separado. La función del primer componente es (f (t) = 4 cos t ) y la función del segundo componente es (g (t) = 3 sin t ). Ninguna de estas funciones tiene una restricción de dominio, por lo que el dominio de ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 3 sin t , hat { mathbf { j}} ) son todos números reales.
  2. Para calcular cada uno de los valores de la función, sustituya el valor apropiado de t en la función: [ begin {align *} vecs r (0) ; & = 3 tan (0) hat { mathbf {i}} + 4 sec (0) hat { mathbf {j}} + 5 (0) hat { mathbf {k}} [ 4pt] & = 0 hat { mathbf {i}} + 4j + 0 hat { mathbf {k}} = 4 hat { mathbf {j}} [4pt] vecs r left ( frac { pi} {2} derecha) ; & = 3 tan left ( frac { pi} {2} right) hat { mathbf {i}} + 4 sec left ( frac { pi} {2} right) hat { mathbf {j}} + 5 left ( frac { pi} {2} right) hat { mathbf {k}}, , text {que no existe} [4pt] vecs r left ( frac {2 pi} {3} right) ; & = 3 tan left ( frac {2 pi} {3} right) hat { mathbf {i}} + 4 sec left ( frac {2 pi} {3} right) hat { mathbf {j}} + 5 left ( frac {2 pi} {3} right) hat { mathbf {k}} [4pt] & = 3 (- sqrt {3 }) hat { mathbf {i}} + 4 (−2) hat { mathbf {j}} + frac {10π} {3} hat { mathbf {k}} [4pt] & = (- 3 sqrt {3}) hat { mathbf {i}} - 8 hat { mathbf {j}} + frac {10π} {3} hat { mathbf {k}} end {align *} ] Para determinar si esta función tiene restricciones de dominio, considere las funciones del componente por separado. La función del primer componente es (f (t) = 3 tan t ), la función del segundo componente es (g (t) = 4 sec t ) y la función del tercer componente es (h (t) = 5t ). Las dos primeras funciones no están definidas para múltiplos impares de ( frac { pi} {2} ), por lo que la función no está definida para múltiplos impares de ( frac { pi} {2} ). Por lo tanto, [ text {D} _ { vecs r} = Big {t , | , t ≠ frac {(2n + 1) pi} {2} Big }, nonumber ] donde (n ) es cualquier número entero.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Para la función con valores vectoriales ( vecs r (t) = (t ^ 2−3t) , hat { mathbf {i}} + (4t + 1) , hat { mathbf {j}} ), evalúa ( vecs r (0), , vecs r (1) ) y ( vecs r (−4) ). ¿Esta función tiene restricciones de dominio?

Pista

Sustituye los valores apropiados de (t ) en la función.

Respuesta:

( vecs r (0) = hat { mathbf {j}}, , vecs r (1) = - 2 hat { mathbf {i}} + 5 hat { mathbf {j}} , , vecs r (−4) = 28 hat { mathbf {i}} - 15 hat { mathbf {j}} )

El dominio de ( vecs r (t) = (t ^ 2−3t) hat { mathbf {i}} + (4t + 1) hat { mathbf {j}} ) son todos números reales.

El ejemplo ( PageIndex {1} ) ilustra un concepto importante. El dominio de una función con valores vectoriales consta de números reales. El dominio puede ser todos los números reales o un subconjunto de los números reales. El rango de una función con valores vectoriales consta de vectores. Cada número real en el dominio de una función con valores vectoriales se asigna a un vector bidimensional o tridimensional.

Graficar funciones con valores vectoriales

Recuerde que un vector plano consta de dos cantidades: dirección y magnitud. Dado cualquier punto del plano (el punto inicial), si nos movemos en una dirección determinada durante una distancia determinada, llegamos a un segundo punto. Esto representa el punto terminal del vector. Calculamos los componentes del vector restando las coordenadas del punto inicial de las coordenadas del punto terminal.

Se considera que un vector está en posición estándar si el punto inicial se encuentra en el origen. Al graficar una función con valores vectoriales, normalmente graficamos los vectores en el dominio de la función en la posición estándar, porque hacerlo garantiza la unicidad del gráfico. Esta convención se aplica también a los gráficos de funciones tridimensionales con valores vectoriales. La gráfica de una función con valores vectoriales de la forma

[ vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + g (t) , hat { mathbf {j}} nonumber ]

consiste en el conjunto de todos los puntos ((f (t), , g (t)) ), y la ruta que traza se llama curva plana. La gráfica de una función con valores vectoriales de la forma

[ vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + g (t) , hat { mathbf {j}} + h (t) , hat { mathbf {k}} nonumber ]

consta del conjunto de todos los puntos ((f (t), , g (t), , h (t)) ), y la ruta que traza se llama curva espacial. Cualquier representación de una curva plana o curva espacial que utilice una función con valores vectoriales se denomina parametrización vectorial de la curva.

Cada curva plana y curva espacial tiene un orientación, indicado por flechas dibujadas en la curva, que muestra la dirección del movimiento a lo largo de la curva a medida que aumenta el valor del parámetro (t ).

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Graficar una función con valores vectoriales

Cree una gráfica de cada una de las siguientes funciones con valores vectoriales:

  1. La curva plana representada por ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 3 sin t , hat { mathbf {j}} ), ( 0≤t≤2 pi )
  2. La curva plana representada por ( vecs r (t) = 4 cos (t ^ 3) , hat { mathbf {i}} + 3 sin (t ^ 3) , hat { mathbf { j}} ), (0≤t≤ sqrt [3] {2 pi} )
  3. La curva espacial representada por ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 4 sin t , hat { mathbf {j}} + t , sombrero { mathbf {k}} ), (0≤t≤4 pi )

Solución

1. Como con cualquier gráfico, comenzamos con una tabla de valores. Luego graficamos cada uno de los vectores en la segunda columna de la tabla en posición estándar y conectamos los puntos terminales de cada vector para formar una curva (Figura ( PageIndex {1} )). Esta curva resulta ser una elipse centrada en el origen.

Tabla ( PageIndex {1} ): Tabla de valores para ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 3 sin t , hat { mathbf {j}} ), (0≤t≤2 Pi)
(t ) ( vecs r (t) ) (t ) ( vecs r (t) )
(0) (4 hat { mathbf {i}} )(Pi) (- 4 hat { mathbf {i}} )
( dfrac { pi} {4} ) (2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}} ) ( dfrac {5 pi} {4} ) (- 2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}} )
( dfrac { pi} {2} ) ( mathrm {3 hat { mathbf {j}}} ) ( dfrac {3 pi} {2} ) ( mathrm {-3 hat { mathbf {j}}} )
( dfrac {3 pi} {4} ) (-2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}} ) ( dfrac {7 pi} {4} ) (2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}} )
(2 pi ) (4 hat { mathbf {i}} )

2. La tabla de valores para ( vecs r (t) = 4 cos (t ^ 3) , hat { mathbf {i}} + 3 sin (t ^ 3) , hat { mathbf {j}} ), (0≤t≤ sqrt [3] {2 pi} ) es el siguiente:

Tabla de valores para ( vecs r (t) = 4 cos (t ^ 3) , hat { mathbf {i}} + 3 sin (t ^ 3) , hat { mathbf {j}} ) , (0≤t≤ sqrt [3] {2 pi} )
(t ) ( vecs r (t) ) (t ) ( vecs r (t) )
(0) ( mathrm {4 hat { mathbf {i}}} ) ( Displaystyle sqrt [3] { pi} ) ( mathrm {-4 hat { mathbf {i}}} )
( Displaystyle sqrt [3] { dfrac { pi} {4}} ) ( mathrm {2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}}} ) ( Displaystyle sqrt [3] { dfrac {5 pi} {4}} ) ( mathrm {-2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}}} )
( Displaystyle sqrt [3] { dfrac { pi} {2}} ) ( mathrm {3 hat { mathbf {j}}} ) ( Displaystyle sqrt [3] { dfrac {3 pi} {2}} ) ( mathrm {-3 hat { mathbf {j}}} )
( Displaystyle sqrt [3] { dfrac {3 pi} {4}} ) ( mathrm {-2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}}} ) ( Displaystyle sqrt [3] { dfrac {7 pi} {4}} ) ( mathrm {2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}}} )
( Displaystyle sqrt [3] {2 pi} ) ( mathrm {4 hat { mathbf {i}}} )

El gráfico de esta curva también es una elipse centrada en el origen.

3. Seguimos el mismo procedimiento para una función vectorial tridimensional.

Tabla de valores para ( mathrm {r (t) = 4 cos t hat { mathbf {i}} + 4 sin t hat { mathbf {j}} + t hat { mathbf {k }}} ), ( mathrm {0≤t≤4 pi} )
(t ) ( vecs r (t) ) (t ) ( vecs r (t) )
( mathrm {0} ) ( mathrm {4 hat { mathbf {i}}} ) ( mathrm { pi} ) ( mathrm {-4 hat { mathbf {i}}} + pi hat { mathbf {k}} )
( dfrac { pi} {4} ) ( mathrm {2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + 2 sqrt {2} hat { mathbf {j}} + frac { pi} {4} hat { mathbf {k}}} ) ( dfrac {5 pi} {4} ) ( mathrm {-2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - 2 sqrt {2} hat { mathbf {j}} + frac {5 pi} {4} hat { mathbf {k}}} )
( dfrac { pi} {2} ) ( mathrm {4 hat { mathbf {j}} + frac { pi} {2} hat { mathbf {k}}} ) ( dfrac {3 pi} {2} ) ( mathrm {-4 hat { mathbf {j}} + frac {3 pi} {2} hat { mathbf {k}}} )
( dfrac {3 pi} {4} ) ( mathrm {-2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + 2 sqrt {2} hat { mathbf {j}} + frac {3 pi} {4} hat { mathbf {k}}} ) ( dfrac {7 pi} {4} ) ( mathrm {2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - 2 sqrt {2} hat { mathbf {j}} + frac {7 pi} {4} hat { mathbf {k}}} )
( mathrm {2 pi} ) ( mathrm {4 hat { mathbf {j}} + 2 pi hat { mathbf {k}}} )

Luego, los valores se repiten, excepto por el hecho de que el coeficiente de ( hat { mathbf {k}} ) siempre aumenta ( ( PageIndex {3} )). Esta curva se llama hélice. Observe que si se elimina el componente ( hat { mathbf {k}} ), entonces la función se convierte en ( vecs r (t) = 4 cos t hat { mathbf {i}} + 4 sin t hat { mathbf {j}} ), que es un círculo de radio 4 centrado en el origen.

Puede notar que las gráficas en las partes a. y B. Son identicos. Esto sucede porque la función que describe la curva b es lo que se denomina una reparametrización de la función que describe la curva a. De hecho, cualquier curva tiene un número infinito de reparametrizaciones; por ejemplo, podemos reemplazar (t ) con (2t ) en cualquiera de las tres curvas anteriores sin cambiar la forma de la curva. El intervalo sobre el que se define (t ) puede cambiar, pero eso es todo. Volveremos a esta idea más adelante en este capítulo cuando estudiemos la parametrización de la longitud del arco. Como se mencionó, el nombre de la forma de la curva del gráfico en ( PageIndex {3} ) es un hélice. La curva se asemeja a un resorte, con una sección transversal circular mirando hacia abajo a lo largo del eje (z ) -. También es posible que una hélice sea elíptica en sección transversal. Por ejemplo, la función con valores vectoriales ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 3 sin t , hat { mathbf {j}} + t , hat { mathbf {k}} ) describe una hélice elíptica. La proyección de esta hélice en el plano (xy ) - es una elipse. Por último, las flechas en el gráfico de esta hélice indican la orientación de la curva a medida que (t ) progresa desde (0 ) a (4π ).

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Cree una gráfica de la función con valores vectoriales ( vecs r (t) = t , hat { mathbf {i}} + t ^ 3 , hat { mathbf {j}} ).

Pista

Comience haciendo una tabla de valores, luego grafique los puntos indicados por los vectores para cada valor de (t ).

Respuesta

En este punto, puede notar una similitud entre las funciones con valores vectoriales y las curvas parametrizadas. De hecho, dada una función con valores vectoriales ( vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + g (t) , hat { mathbf {j}} ) podemos definir (x = f (t) ) y (y = g (t) ). El gráfico de la función parametrizada estaría de acuerdo con el gráfico de la función con valores vectoriales, excepto que el gráfico de la función con valores vectoriales se trazaría mediante vectores en lugar de ser solo una colección de puntos. Dado que podemos parametrizar una curva definida por una función (y = f (x) ), también es posible representar una curva plana arbitraria mediante una función de valor vectorial.

Encontrar una función con valores vectoriales para trazar la gráfica de una función (y = f (x) )

Como puede ver en los ejemplos anteriores, una función con valores vectoriales traza una curva en el plano o en el espacio. ¿Qué pasa si deseamos escribir una función con valores vectoriales que traza la gráfica de una curva particular en el plano (xy )?

¿Qué gráfico de función traza la función con valores vectoriales en el ejercicio ( PageIndex {2} ) anterior: ( vecs r (t) = t , hat { mathbf {i}} + t ^ 3 , hat { mathbf {j}} )? Se parece a la gráfica de (y = x ^ 3 ), ¿no es así?

Recordando lo que se acaba de decir sobre los componentes de la función con valores vectoriales correspondientes a las ecuaciones paraméticas de una curva parametrizada, vemos que aquí tenemos:

[ begin {align *} x & = t y & = t ^ 3 end {align *} nonumber ]

Como (x = t ), podemos reemplazar (t ) en la ecuación (y = t ^ 3 ) con (x ), lo que nos da la función: (y = x ^ 3 ) .

Así que acertamos en nuestra suposición.

¿Cómo podríamos escribir una función con valores vectoriales para trazar la gráfica de una función, (y = f (x) )?

Bueno, hay dos orientaciones a considerar: de izquierda a derecha y De derecha a izquierda.

Seguimiento de una función de izquierda a derecha:

Para trazar la gráfica de (y = f (x) ) de izquierda a derecha, usa: ( vecs r (t) = t , hat { mathbf {i}} + f (t ) , hat { mathbf {j}} )

Tenga en cuenta que lo importante aquí es que el componente (x ) sea una función creciente. Cualquier función creciente funcionará. Podríamos usar (x = t ^ 3 ), por ejemplo. Pero entonces tendríamos que recordar reemplazar (x ) en la función (f (x) ) con esta expresión (t ^ 3 ), lo que nos da (y = f (t ^ 3) ) . Esto significa que la función (y = f (x) ) también podría parametrizarse de izquierda a derecha mediante la función con valores vectoriales: ( vecs r (t) = t ^ 3 , hat { mathbf {i}} + f (t ^ 3) , hat { mathbf {j}} )

Seguimiento de una función de derecha a izquierda:

Para trazar la gráfica de (y = f (x) ) de derecha a izquierda, usa: ( vecs r (t) = -t , hat { mathbf {i}} + f ( -t) , hat { mathbf {j}} )

Una vez más, observe que podríamos usar cualquier función decreciente de (t ) para el componente (x ) y obtener una función con valores vectoriales que traza la gráfica de (y = f (x) ) de derecha a -izquierda. Usar (x = -t ) es solo la función decreciente más simple que podemos elegir.

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Encontrar una función con valores vectoriales para trazar la gráfica de (y = f (x) )

Determine una función con valores vectoriales que trazará la gráfica de (y = cos x ) de izquierda a derecha, y otra para trazarla de derecha a izquierda.

Solución

De izquierda a derecha: ( vecs r (t) = t , hat { mathbf {i}} + cos t , hat { mathbf {j}} )

De derecha a izquierda: ( vecs r (t) = -t , hat { mathbf {i}} + cos (-t) , hat { mathbf {j}} )

Encontrar una función con valores vectoriales para trazar la gráfica de una ecuación en (x ) y (y ) y viceversa

¿Qué pasa si deseamos encontrar una función con valores vectoriales para trazar la gráfica de un círculo, una elipse o una hipérbola, dada su ecuación implícita?

Bueno, tenga en cuenta que en el ejemplo ( PageIndex {3} ), la función con valores vectoriales ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 3 sin t , hat { mathbf {j}} ) trazó la gráfica de la elipse ( frac {x ^ 2} {16} + frac {y ^ 2} {9} = 1 ).

En esta función con valores vectoriales vemos que: [x = 4 cos t quad text {y} quad y = 3 sin t ]

Lo que necesitamos ahora es una forma de convertir esto en una ecuación implícita que involucre (x ) y (y ). Para lograr esto, recuerde la identidad pitagórica, [ cos ^ 2 t + sin ^ 2 t = 1 ].

Ahora todo lo que tenemos que hacer es resolver las ecuaciones anteriores para ( cos t ) y ( sin t ) y podemos sustituir esta identidad para obtener una ecuación en (x ) y (y ) .

Entonces: [ cos t = frac {x} {4} quad text {y} quad sin t = frac {y} {3} ]

Sustituir en la identidad nos da: [ left ( frac {x} {4} right) ^ 2 + left ( frac {y} {3} right) ^ 2 = 1 ]

Simplificar esta ecuación implícita nos da la ecuación implícita de la elipse en el Ejemplo ( PageIndex {3} ) que escribimos arriba:

[ frac {x ^ 2} {16} + frac {y ^ 2} {9} = 1 ]

Para ir al otro lado y encontrar una función con valores vectoriales que traza una elipse, ¡simplemente debemos tomar estos pasos en la dirección opuesta!

Ejemplo ( PageIndex {5} ): escribir una función con valores vectoriales para un círculo, elipse o hipérbola determinados

Escriba una función con valores vectoriales que traza cada una de las siguientes curvas implícitas:

un. La elipse: ( frac {x ^ 2} {16} + frac {y ^ 2} {9} = 1 )

B. El círculo: (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 )

C. La hipérbola: ( frac {x ^ 2} {25} - frac {y ^ 2} {16} = 1 )

Solución

un. Usemos el proceso que se muestra arriba a la inversa. Primero, reescribamos la ecuación implícita para que muestre una suma de cantidades al cuadrado igual a uno.

[ left ( frac {x} {4} right) ^ 2 + left ( frac {y} {3} right) ^ 2 = 1 nonumber ]

Ahora necesitamos la identidad que usamos anteriormente, ( cos ^ 2 t + sin ^ 2 t = 1 ).

Al igualar las partes que están siendo cuadradas (tenga en cuenta que en realidad tenemos una opción aquí sobre cuál hacer ( cos t ) y cuál hacer ( sin t )), obtenemos:

[ frac {x} {4} = cos t quad text {y} quad frac {y} {3} = sin t nonumber ]

Ahora solo necesitamos resolver para (x ) y (y ).

[x = 4 cos t quad text {y} quad y = 3 sin t nonumber ]

Ahora podemos escribir una función con valores vectoriales que traza esta elipse: ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 3 sin t , hat { mathbf {j}} )

Tenga en cuenta que también podríamos haber escrito ( vecs r (t) = 4 sin t , hat { mathbf {i}} + 3 cos t , hat { mathbf {j}} ), ya que podríamos haber elegido cambiar ( sin t ) y ( cos t ) arriba. Trazará la misma elipse, pero con la orientación opuesta.

B. Trazar un círculo es bastante sencillo, no necesita realmente el proceso que mostramos anteriormente, aunque puede ser útil al principio. Recuerde que todos los vectores en el círculo unitario se pueden representar en la forma: ( vecs v = cos theta , hat { mathbf {i}} + sin theta , hat { mathbf { j}} ).

Entonces, la función con valores vectoriales, ( vecs r (t) = cos t , hat { mathbf {i}} + sin t , hat { mathbf {j}} ), rastreará fuera del círculo unitario con la ecuación, (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ).

Para obtener un círculo de radio (2 ) centrado en el origen (que es la gráfica de (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 )), solo necesitamos multiplicar esta función de valor vectorial por un escalar factor de (2 ).

Por lo tanto, una función con valores vectoriales que trazará este círculo es: ( vecs r (t) = 2 cos t , hat { mathbf {i}} + 2 sin t , hat { mathbf {j}} ).

Note nuevamente que otra posibilidad es: ( vecs r (t) = 2 sin t , hat { mathbf {i}} + 2 cos t , hat { mathbf {j}} ). Trazará el mismo círculo, pero con la orientación opuesta.

Para usar la técnica anterior, comience dividiendo cada término en la ecuación por el cuadrado del radio, aquí 4, poniendo así la ecuación del círculo en "forma de elipse". El resto de los pasos siguen el patrón que se muestra en la parte a.

C. Para trazar una hipérbola de la forma ( frac {x ^ 2} {a ^ 2} - frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) o ( frac {y ^ 2} { a ^ 2} - frac {x ^ 2} {b ^ 2} = 1 ), necesitamos ubicar una identidad trigonométrica que muestre la diferencia de dos cuadrados es igual a 1. Si aún no ha memorizado dicha identidad, podemos obtener uno de la identidad pitagórica utilizada anteriormente. Eso es,

[ cos ^ 2 t + sin ^ 2 t = 1 nonumber ]

Dividiendo cada término entre ( cos ^ 2 t )

[ frac { cos ^ 2 t} { cos ^ 2 t} + frac { sin ^ 2 t} { cos ^ 2 t} = frac {1} { cos ^ 2 t} nonumber ]

rendimientos

[1+ tan ^ 2 t = sec ^ 2 t nonumber ]

Reescribir esta ecuación nos da la identidad que necesitamos:

[ sec ^ 2 t - tan ^ 2 t = 1 nonumber ]

Ahora, la ecuación de esta hipérbola es:

[ frac {x ^ 2} {25} - frac {y ^ 2} {16} = 1 nonumber ]

Reescribiendo el lado izquierdo para mostrar las cantidades al cuadrado:

[ left ( frac {x} {5} right) ^ 2 - left ( frac {y} {4} right) ^ 2 = 1 nonumber ]

Entonces podemos igualar los términos correspondientes de las expresiones al cuadrado:

[ frac {x} {5} = sec t quad text {y} quad frac {y} {4} = tan t nonumber ]

Resolviendo para (x ) y (y ), tenemos:

[x = 5 sec t quad text {y} quad y = 4 tan t nonumber ]

Entonces, una función con valores vectoriales que trazará la hipérbola [ frac {x ^ 2} {25} - frac {y ^ 2} {16} = 1 ] es [ vecs r (t) = 5 sec t , hat { mathbf {i}} + 4 tan t , hat { mathbf {j}}. sin número]

Parametrización de una ruta por partes

Hay ocasiones en las que es necesario parametrizar un recorrido formado por piezas de diferentes curvas. Esta ruta por partes puede estar abierta o formar el límite de una región cerrada como lo hace el ejemplo que se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ). Además de determinar una función de valor vectorial para trazar cada pieza por separado, con la orientación indicada, también necesitamos determinar un rango adecuado de valores para el parámetro (t ).

Tenga en cuenta que hay muchas formas de parametrizar cualquier pieza, por lo que hay muchas formas correctas de parametrizar una ruta de esta forma.

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Parametrizar una ruta por partes

Determine una parametrización por partes de la ruta que se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ), comenzando con (t = 0 ) y continuando a través de cada parte.

Solución

Nuestra primera tarea es identificar las tres piezas en este camino por partes.

Observe cómo los etiquetamos secuencialmente como ( vecs r_1 ), ( vecs r_2 ) y ( vecs r_3 ). Ahora necesitamos identificar la función para cada uno y escribir la función correspondiente con valores vectoriales con la orientación correcta (de izquierda a derecha o de derecha a izquierda).

Determinando ( vecs r_1 ): La ecuación de la función lineal en esta pieza es (y = x ).

Dado que está orientado de izquierda a derecha entre (t = 1 ) y (t = 4 ), podemos escribir:

[ vecs r_ {1a} (t) = t , hat { mathbf {i}} + t , hat { mathbf {j}} quad text {para} quad 1 le t le 4 nonumber ]

Si deseamos comenzar esta pieza en (t = 0 ), solo necesitamos desplazar el valor de (t ) una unidad a la izquierda. Una forma de hacer esto es escribir ( vecs r_ {1a} ) en términos de (t_1 ) en lugar de (t ) para que la traducción sea más fácil de ver.

Por lo tanto, tenemos ( vecs r_ {1a} (t_1) = t_1 , hat { mathbf {i}} + t_1 , hat { mathbf {j}} ) para (1 le t_1 le 4 ).

Figura ( PageIndex {4} ): Un camino cerrado a trozos

Restando (1 ) de cada parte de este rango de valores de parámetro, tenemos: (0 le t_1 - 1 le 3 ).

Ahora dejamos (t = t_1 - 1 ). Resolviendo para (t_1 ), obtenemos: (t_1 = t + 1 ).

Reemplazar (t_1 ) con la expresión (t + 1 ) efectivamente desplazará el rango de valores de los parámetros una unidad hacia la izquierda.

Entonces, comenzando con (t = 0 ), tenemos: [ vecs r_1 (t) = (t + 1) , hat { mathbf {i}} + (t + 1) , hat { mathbf {j}} quad text {para} quad 0 le t le 3 nonumber ]

Verifique dos veces que esta función con valores vectoriales trazará este segmento en la dirección correcta antes de pasar a (r_2 ).

Determinando ( vecs r_2 ): Esta pieza tiene una etiqueta que muestra la función cuyo gráfico sigue. Si estuviera orientado de izquierda a derecha, tendríamos:

[ text {De izquierda a derecha:} quad vecs r_ {2a} (t) = t , hat { mathbf {i}} + left (2 sqrt { frac {4-t } {3}} + 4 right) , hat { mathbf {j}} quad text {para} quad 1 le t le 4 nonumber ]

Pero como necesitamos que esté orientado de derecha a izquierda, necesitamos reemplazar (t ) con (- t ) en la función y necesitamos dividir la desigualdad del rango por -1 para obtener el correspondiente abarcar. Así obtenemos:

[ vecs r_ {2b} (t) = -t , hat { mathbf {i}} + left (2 sqrt { frac {4 - (- t)} {3}} + 4 derecha) , hat { mathbf {j}} quad text {para} quad -4 le t le -1 nonumber ]

¡Comprueba que funciona!

Ahora deseamos que esta pieza comience en (t = 3 ) justo después de que termine la primera. De nuevo, hagamos esto más fácil de ver escribiendo (r_ {2b} ) en términos en (t_2 ).

[ vecs r_ {2b} (t_2) = -t_2 , hat { mathbf {i}} + left (2 sqrt { frac {4 - (- t_2)} {3}} + 4 derecha) , hat { mathbf {j}} quad text {para} quad -4 le t_2 le -1 nonumber ]

Para forzar a (r_2 ) a comenzar con (t = 3 ) en lugar de (t = -4 ), necesitamos sumar (7 ) a cada parte de la desigualdad. Esto produce: (3 le t_2 + 7 le 6 ).

Sea (t = t_2 + 7 ). Luego, despejando (- t_2 ) (ya que esto es lo que necesitamos reemplazar en (r_ {2b} )), tenemos: (t_2 = 7-t ).

Reemplazando (- t_2 ) con ( left (7-t right) ) en ( vecs r_ {2b} ), obtenemos:

[ vecs r_ {2} (t) = (7-t) , hat { mathbf {i}} + left (2 sqrt { frac {4- (7-t)} {3} } +4 right) , hat { mathbf {j}} quad text {para} quad 3 le t le 6 nonumber ]

Esto se puede combinar con nuestro resultado anterior para (r_1 ) para escribir una función con valores vectoriales definida por partes que traza las dos primeras piezas, comenzando en (t = 0 ):

[ vecs r (t) = begin {cases}
(t + 1) , hat { mathbf {i}} + (t + 1) , hat { mathbf {j}}, & 0 le t le 3
(7-t) , hat { mathbf {i}} + left (2 sqrt { frac {t - 3} {3}} + 4 right) , hat { mathbf {j} }, & 3 lt t le 6
end {casos} nonumber ]

Tenga en cuenta que se realizó una pequeña modificación en el segundo rango para que cuando (t = 3 ), no haya confusión sobre qué pieza evaluar.

Determinando ( vecs r_3 ): Para determinar esta última pieza necesitamos pensar un poco diferente. Esto se debe a que es un segmento vertical, que no se puede representar con una función de la forma (y = f (x) ). Tenga en cuenta que podría representarse mediante una función de la forma (x = f (y) ). Dejando (y = t ), podemos escribir (x = f (t) ) y escribiendo una parametrización en valores (y ) crecientes (de abajo hacia arriba), obtendríamos: ( vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + t , hat { mathbf {j}} ).

La ecuación de esta línea es (x = 1 ). Así, si deseamos parametrizar este segmento con orientación hacia arriba (valores crecientes de (y )), tenemos:

[ vecs r_ {3a} (t) = 1 , hat { mathbf {i}} + t , hat { mathbf {j}} quad text {para} quad 1 le t le 6 nonumber ]

Pero como deseamos usar una orientación hacia abajo (valores decrecientes de (y )), necesitamos usar una función decreciente de (t ) para (y ). Como antes, el caso más simple es usar (y = -t ). Luego, en el caso general, trazaríamos una función (x = f (y) ) en una orientación hacia abajo con ( vecs r (t) = f (-t) , hat { mathbf { i}} - t , hat { mathbf {j}} ).

En el caso de (r_3 ), esto nos da:

[ vecs r_ {3b} (t) = 1 , hat { mathbf {i}} - t , hat { mathbf {j}} quad text {para} quad -6 le t le -1 nonumber ]

Tenga en cuenta que desde (x = 1, , f (-t) = 1 ), es decir, no cambió el primer componente ya que era constante y no una función variable del parámetro (t ).

También tenga en cuenta que como negamos (t ), también tuvimos que negar el rango, dividiéndolo entre (- 1 ).

Como arriba, para facilitar la traducción, reemplazaremos (t ) con (t_3 ), dándonos:

[ vecs r_ {3b} (t) = 1 , hat { mathbf {i}} - t_3 , hat { mathbf {j}} quad text {para} quad -6 le t_3 le -1 nonumber ]

Ahora, deseamos que esta pieza final comience en (t = 6 ) donde termina la segunda pieza que formamos arriba. Vemos que necesitamos agregar (12 ) al rango del parámetro (t ) para lograr esto, lo que nos da un nuevo rango de (6 le t_3 + 12 le 11 ).

Sea (t = t_3 + 12 ). Luego, despejando (- t_3 ) (ya que esto es lo que necesitamos reemplazar en (r_ {3b} )), tenemos: (t_3 = 12-t ).

Reemplazando (- t_3 ) con ( left (12-t right) ) en ( vecs r_ {3b} ), obtenemos:

[ vecs r_ {3} (t) = 1 , hat { mathbf {i}} + (12 - t) , hat { mathbf {j}} quad text {para} quad 6 le t_3 le 11 nonumber ]

Compruebe que todavía traza este segmento vertical de arriba a abajo.

Ahora podemos establecer la respuesta final como una única función con valores vectoriales definida por partes que traza toda esta ruta, comenzando cuando (t = 0 ).

[ vecs r (t) = begin {cases}
(t + 1) , hat { mathbf {i}} + (t + 1) , hat { mathbf {j}}, & 0 le t le 3
(7-t) , hat { mathbf {i}} + left (2 sqrt { frac {t - 3} {3}} + 4 right) , hat { mathbf {j} }, & 3 lt t le 6
1 , hat { mathbf {i}} + (12 - t) , hat { mathbf {j}} & 6 lt t_3 le 11
end {casos} nonumber ]

¡Asegúrese de verificar que esta única función con valor vectorial rastrea toda la ruta!

Límites y continuidad de una función con valores vectoriales

Ahora echamos un vistazo al límite de una función con valores vectoriales. Es importante comprender esto para estudiar el cálculo de funciones con valores vectoriales.

Definición: límite de una función con valores vectoriales

Una función con valores vectoriales ( vecs r ) se acerca al límite ( vecs L ) cuando (t ) se acerca a (a ), escrito

[ lim limits_ {t to a} vecs r (t) = vecs L, ]

previsto

[ lim limits_ {t to a} big | vecs r (t) - vecs L big | = 0. ]

En el siguiente ejemplo, mostramos cómo calcular el límite de una función con valores vectoriales.

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Evaluación del límite de una función con valores vectoriales

Para cada una de las siguientes funciones con valores vectoriales, calcule ( lim limits_ {t to 3} vecs r (t) ) para

  1. ( vecs r (t) = (t ^ 2−3t + 4) hat { mathbf {i}} + (4t + 3) hat { mathbf {j}} )
  2. ( vecs r (t) = frac {2t − 4} {t + 1} hat { mathbf {i}} + frac {t} {t ^ 2 + 1} hat { mathbf {j }} + (4t − 3) hat { mathbf {k}} )

Solución

  1. Use Equation ef{Th1} and substitute the value (t=3) into the two component expressions:

[ egin{align*} lim limits_{t o 3} vecs r(t) ; & = lim limits_{t o 3} left[(t^2−3t+4) hat{mathbf{i}} + (4t+3) hat{mathbf{j}} ight] [5pt] & = left[lim limits_{t o 3} (t^2−3t+4) ight]hat{mathbf{i}}+left[lim limits_{t o 3} (4t+3) ight] hat{mathbf{j}} [5pt] & = 4 hat{mathbf{i}}+15 hat{mathbf{j}} end{align*}]

  1. Use Equation ef{Th2} and substitute the value (t=3) into the three component expressions:

[ egin{align*} lim limits_{t o 3} vecs r(t) ; & = lim limits_{t o 3}left(dfrac{2t−4}{t+1}hat{mathbf{i}}+dfrac{t}{t^2+1}hat{mathbf{j}}+(4t−3) hat{mathbf{k}} ight) [5pt] & = left[lim limits_{t o 3} left(dfrac{2t−4}{t+1} ight) ight]hat{mathbf{i}}+left[lim limits_{t o 3} left(dfrac{t}{t^2+1} ight) ight] hat{mathbf{j}} +left[lim limits_{t o 3} (4t−3) ight] hat{mathbf{k}} [5pt] & = frac{1}{2} hat{mathbf{i}}+ frac{3}{10}hat{mathbf{j}}+9 hat{mathbf{k}} end{align*}]

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Calculate (lim limits_{t o 2} vecs r(t)) for the function (vecs r(t) = sqrt{t^2 + 3t - 1},hat{mathbf{i}}−(4t-3),hat{mathbf{j}}− sin frac{(t+1)pi}{2},hat{mathbf{k}})

Pista

Use Equation ef{Th2} from the preceding theorem.

Respuesta

[lim limits_{t o 2} vecs r(t) = 3hat{mathbf{i}}−5hat{mathbf{j}}+hat{mathbf{k}}]

Now that we know how to calculate the limit of a vector-valued function, we can define continuity at a point for such a function.

Definitions

Let (f), (g), and (h) be functions of (t). Then, the vector-valued function (vecs r(t)=f(t) hat{mathbf{i}}+g(t)hat{mathbf{j}}) is continuous at point (t=a) if the following three conditions hold:

  1. (vecs r(a)) exists
  2. (lim limits_{t o a} vecs r(t)) exists
  3. (lim limits_{t o a} vecs r(t) = vecs r(a))

Similarly, the vector-valued function (vecs r(t)=f(t) hat{mathbf{i}}+g(t)hat{mathbf{j}}+h(t)hat{mathbf{k}}) is continuous at point (t=a) if the following three conditions hold:

  1. (vecs r(a)) exists
  2. (lim limits_{t o a} vecs r(t)) exists
  3. (lim limits_{t o a} vecs r(t) = vecs r(a))

Resumen

  • A vector-valued function is a function of the form (vecs r(t)=f(t) hat{mathbf{i}}+ g(t) hat{mathbf{j}}) or (vecs r(t)=f(t) hat{mathbf{i}}+g(t) hat{mathbf{j}}+h(t) hat{mathbf{k}}), where the component functions (f), (g), and (h) are real-valued functions of the parameter (t).
  • The graph of a vector-valued function of the form (vecs r(t)=f(t) hat{mathbf{i}}+g(t) hat{mathbf{j}}) is called a plane curve. The graph of a vector-valued function of the form (vecs r(t)=f(t)hat{mathbf{i}}+g(t)hat{mathbf{j}}+h(t) hat{mathbf{k}}) is called a space curve.
  • It is possible to represent an arbitrary plane curve by a vector-valued function.
  • To calculate the limit of a vector-valued function, calculate the limits of the component functions separately.

Ecuaciones clave

  • Vector-valued function
    (vecs r(t)=f(t) hat{mathbf{i}}+g(t) hat{mathbf{j}}) or (vecs r(t)=f(t) hat{mathbf{i}}+g(t) hat{mathbf{j}}+h(t) hat{mathbf{k}}),or (vecs r(t)=⟨f(t),g(t)⟩) or (vecs r(t)=⟨f(t),g(t),h(t)⟩)

  • Limit of a vector-valued function
    (lim limits_{t o a} vecs r(t) = [lim limits_{t o a} f(t)] hat{mathbf{i}} + [lim limits_{t o a} g(t)] hat{mathbf{j}}) or (lim limits_{t o a} vecs r(t) = [lim limits_{t o a} f(t)] hat{mathbf{i}} + [lim limits_{t o a} g(t)] hat{mathbf{j}} + [lim limits_{t o a} h(t)] hat{mathbf{k}})

Glosario

component functions
the component functions of the vector-valued function (vecs r(t)=f(t)hat{mathbf{i}}+g(t)hat{mathbf{j}}) are (f(t)) and (g(t)), and the component functions of the vector-valued function (vecs r(t)=f(t)hat{mathbf{i}}+g(t)hat{mathbf{j}}+h(t)hat{mathbf{k}}) are (f(t)), (g(t)) and (h(t))
helix
a three-dimensional curve in the shape of a spiral
limit of a vector-valued function
a vector-valued function (vecs r(t)) has a limit (vecs L) as (t) approaches (a) if (lim limits{t o a} left| vecs r(t) - vecs L ight| = 0)
plane curve
the set of ordered pairs ((f(t),g(t))) together with their defining parametric equations (x=f(t)) and (y=g(t))
reparameterization
an alternative parameterization of a given vector-valued function
space curve
the set of ordered triples ((f(t),g(t),h(t))) together with their defining parametric equations (x=f(t)), (y=g(t)) and (z=h(t))
vector parameterization
any representation of a plane or space curve using a vector-valued function
vector-valued function
a function of the form (vecs r(t)=f(t)hat{mathbf{i}}+g(t)hat{mathbf{j}}) or (vecs r(t)=f(t)hat{mathbf{i}}+g(t)hat{mathbf{j}}+h(t)hat{mathbf{k}}),where the component functions (f), (g), and (h) are real-valued functions of the parameter (t).

Colaboradores

  • Gilbert Strang (MIT) y Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) con muchos autores contribuyentes. Este contenido de OpenStax tiene una licencia CC-BY-SA-NC 4.0. Descárguelo gratis en http://cnx.org.

  • Edited by Paul Seeburger (Monroe Community College)
  • Paul Seeburger created Example (PageIndex{1}), Exercise (PageIndex{1}), and the subsections titled: Finding a Vector-Valued Function to Trace out the Graph of a Function (y = f(x)), Finding a Vector-Valued Function to Trace out the Graph of an Equation in (x) and (y) and Vice Versa, and Parameterizing a Piecewise Path.

12.1: Vector-Valued Functions and Space Curves - Mathematics

Math 211 Calculus IIIA
Instructor:
S. Levkov
Texto: Thomas and Finney, Calculus, 9th edition, Addison Wesley
Time:
Monday, Wednesday 6:00 9:00 PM.
Horas de oficina:
Monday, Wednesday 5:00 6:00 PM. Office: 303 ECE.
Phone:
973 596 5621. E-mail: [email protected]

Semana 1
Sec 9.4 Parametrization of Plane Curves - HW p741 #1,7-10,12-15,20,23,26-28
Sec 9.5 Calculus with Parametrized Curves - HW p749 #1-3,5,13,15,17,23,33,38

Sec 10.1 Vectors in the Plane - HW p 794 #1-4,7,9,11,13,15,17-19,21,24,26,30,40,41
Sec 10.2 Vectors in Space - HW p 804 #1,5,7,9,12, 15,19,20,27,33,49

Week 2
Sec 10.3 Dot Products - HW p8l2 #1,3,5,13,16,20,22,35,39,41,49,51,53,59
Sec 10.4 Cross Products - HW p820 #1,3,9,10,17,29,35,39,42

Sec 10.5 Lines and Planes in Space - HW p827

Week 3
Sec 11.1 Vector-Valued Functions and Space Curves - HW p865

#1,7,10,13,16,21,22,27,32,35,39,43,45, and read 57

Sec 11.3 Arc Length and the Unit Tangent Vector - HW p880 #1,6,8,15

Sec 12.1 Functions of Several Variables - HW p9l4 #3,6,11,25,31,32,41,45
Sec 12.2 Limits and Continuity - HW p921 #1-4,9,11,15,22,28,35

Semana 4
Sec 12.3 Partial Derivatives - HW p931

#2,4,8,14,16,23,26,30,37,43,45,49,50,53,57,59,65,69
Sec 12.5 The Chain Rule - HW p950 #3,7,15,19,27,32,35,43,47

Sec 12.6 Partial Derivatives with Constrained Variables- HW p956 #3,7,11 and then 9
MIDTERM

Semana 5
Sec 12.7 Directional Derivatives, Gradient Vectors and Tangent Planes - HW p967

#3,7,15,19,25,27,34,39,45,49,51,55,58 AND p942 #1,5,25,27

(Note that HW includes Linearization of Sec 12.4)

Sec 12.8 Extreme Values and Saddle Points - HW p975 #3,15,20,33,37,41,43,50,52

Sec 12.9 Lagrange Multipliers - HW p987 #3,7,10,15,17,25,32,35,37,42

Semana 6
Sec 13.1 Double Integrals - HW p1010 #1,2,6,13,18,22,27,31,36,43,47,51

Sec 14.1 Line Integrals - HW p1065 #5,11,12,18,20,25,26
Sec 14.2 Vector Fields, Work, Circulation and Flux - HW p1074

Semana 7
Sec 14.3 Path Independence, Potential Functions and Conservative Fields

- HW p1O83 #2,4,10,14,16,19,23,27,29,31
Sec 14.4 Green's Theorem in the Plane - HW p1093 #1,6,9,13,16,19,21,31,34
Sec 14.8 The Divergence Theorem and a Unified Theory - HW p1132 #3,5,6,8,13,15,26


2 respuestas 2

The difference is that a parametrization has some extra properties. A vector valued function is a map $f:Usubsetmathbb R^m o Vsubsetmathbb R^n$

And parametric equations for a [portion of a] submanifold $M$ in Euclidean space (it's rare to parametrize things other than manifolds) is a map $varphi:Usubsetmathbb R^m o Msubsetmathbb R^n$ Where:

  • $U$ is open
  • $varphi$ is a homeomorphism onto its image
  • $operatornameDvarphi = m$ everywhere

What we could say then, is that a parametrization is always in the form of a vector valued function, but conversely, we use vector valued functions with nice properties to parametrize varieties.


Evaluating and Graphing Vector-Valued Functions

y (b) Figure 12.1.1: Sketching the graph of a vector-valued function.

Evaluating a vector-valued function at a specific value of t is straightforward simply evaluate each component function at that value of t . For instance, if r → ⁢ ( t ) = ⟨ t 2 , t 2 + t - 1 ⟩ , then r → ⁢ ( - 2 ) = ⟨ 4 , 1 ⟩ . We can sketch this vector, as is done in Figure 12.1.1 (a). Plotting lots of vectors is cumbersome, though, so generally we do not sketch the whole vector but just the terminal point. The graph of a vector-valued function is the set of all terminal points of r → ⁢ ( t ) , where the initial point of each vector is always the origin. In Figure 12.1.1 (b) we sketch the graph of r → we can indicate individual points on the graph with their respective vector, as shown.

Vector-valued functions are closely related to parametric equations of graphs. While in both methods we plot points ( x ⁢ ( t ) , y ⁢ ( t ) ) or ( x ⁢ ( t ) , y ⁢ ( t ) , z ⁢ ( t ) ) to produce a graph, in the context of vector-valued functions each such point represents a vector. The implications of this will be more fully realized in the next section as we apply calculus ideas to these functions.

Ver el vídeo:
Domain of a Vector-Valued Function from https://youtu.be/Djtttm0C7zA


12.1: Vector-Valued Functions and Space Curves - Mathematics

The topics on this page are vector functions and space curves.

A function whose domain is a set of real numbers and whose range is a subset of 2-space (or called plane), or 3-space is called a vector-valued function of a real variable. For example, the line through a point P parallel to a nonzero vector U is the range of the vector-valued function r given by

Each t corresponds to a point, which can be thinked as a vector initiating from the origin and tip pointing at the point, in the straight line. See the graph below. Usually a vector-valued function in 2-space (resp. 3-space) has two component functions (resp. three component functions). Such as the staight line vector function in 2-space and 3-space can be written as

where point (a, b) (or (a, b, c)) is a point that the line passes through and (u1, u2) (or (u1, u2, u3)) is a vector parallel to the line. The graph above is of the vector function of the straight line r (t) = t i + (-0.6t + 2) j = 2 j + t( i - 0.6 j ). Second expression shows that r passes through point (0, 2) and is parallel to vector (1,-0.6).

If the point (x, y, z) revolves around z-axis at a distance a from it and simultaneously moves parallel to z-axis in such a way that its z-component is proportional to the angle of revolution, the resulting path is called circular helix . If t denotes the angle of revolution, we have

The uaual operations of vectors can be applied to combined two vector functions or to combine a vector function with a real-valued function. If U and V are vector-valued functions, and if f is a real-valued function, all having a common domain, we define new functions U + V, fU, and U dot V by the equations


Math 215 Examples

A vector-valued function is a function that outputs a vector rather than a single number. Often we will be working with functions whose outputs are vectors in three-dimensional space. Such a function can be written as [ vec r(t) = langle x(t), y(t), z(t) angle ] where (f(t)), (g(t)), and (h(t)) are usual functions whose outputs are single numbers (sometimes called scalar functions in contrast with vector-valued functions).

Space Curves

A vector-valued function (vec r(t)) whose values are three-dimensional functions traces out a space curve, a curve in three-dimensional space.

For example, [ vec r(t) = leftlangle t, frac<18>,frac <3> ight angle ] traces out a space curve called a twisted cubic:

Vector-valued functions don't always trace out smooth curves. For example, [ vec r(t) = leftlangle frac<30>, frac<10>, frac <5> ight angle ] has a sharp corner at the point (vec r(0) = langle 0, 0, 0 angle):

Different Parameterizations

Note that two different vector-valued functions may trace out the same curve. We say that two such vector-valued functions corresponding to the same curves are different parameterizations of the same curve.

Given any vector-valued function (vec r(t)), it is easy to construct different parameterizations of the same curve: just use (vec s(t) = vec r(at)) for any non-zero constant (a).

For example, suppose we have [egin vec r(t) &= langle (2+sin<3t>)cos, (2+sin<3t>)sin, cos <3t> angle vec s(t) &= langle (2+sin<6t>)cos<2t>,(2+sin<6t>)sin<2t>, cos <6t> angle. fin] Notice that (vec s(t) = vec r(2t)), so as observed above, both these vector-valued functions will trace out the same space curve (a curve called a toroidal spiral):

Illustrated Example

Find a vector-valued function that traces out the curve defined as the intersection of the paraboloid (z=x^2+y^2) with the plane (y=x).

Worked Solution

Since every equation in this problem is a function of (x), we can use (x) itself as our parameter. In other words, in our eventual parameterization [ vec r(t) = langle x(t), y(t), z(t) angle, ] we can set (x(t) = t).

Since our curve lies entirely in the plane (y=x), it follows that (y(t) = x(t)) in our parameterization, or (y(t) = t). Since the curve lies on the paraboloid (z = x^2 + y^2), we similarly have [ z(t) = x(t)^2 + y(t)^2 = 2t^2. ]

Thus our final parameterization of this curve is [ vec r(t) = langle t, t, 2t^2 angle. ]

Visualizing the Example

The animation below shows the paraboloid (z=x^2+y^2) with (vec r(t) = langle t, t, 2t^2) tracing out its intersection with the plane (y=x):

Further Questions

  1. Find a parameterization of the curve in the example that traces out the curve half as fast.
  2. Find a parameterization of the curve in the example that traces out the curve backwards.
  3. What curve does (vec r(t) = langle t, -t, 2t^2 angle) trace out?
  4. In the animation in Key Concepts with two different parameterizations, which of (vec r(t)) and (vec s(t)) is represented by the blue arrows? Which is represented by the red arrows?

Using the Mathematica Demo

All graphics on this page were generated by the Mathematica notebook 13_1SpaceCurves.nb.

This notebook generates images and animations like those on this page for any curve.

As an exercise, use the notebook to provide a visual demonstration illustrating your answers to Questions 1-3.

Investigate other vector-valued funtions (vec r(t)). Can you find one that traces out a circle? A helix? Can you find one with a sharp corner somewhere other than the origin? Experiment with functions that yield sharp corners can you figure out what causes them?


CalcPlot3D¶

A useful tool for graphing vector functions and other kinds of 3D objects. Although this applet was created for use in calculus classes, it is useful to us as well. Use the following procedure to graph a vector function in CalcPlot3D.

  1. Erase the default shape that appears, by unchecking the box next to Function 1 and clicking the Graph button immediately above it.
  2. Add a parametric curve by clicking the Graph menu and choosing Add a Space Curve.
  3. In the three blanks provided, enter the x , y , and z components of the vector function, using t as the parameter. The default bounds for t (from -10 to 10 ) may be sensible for your function, but you can change them.
  4. Click Graph (on the popup window into which you typed the parametric equations).
  5. Click and drag to view from different angles.

A powerful mathematics tool that you can use on your own computer or on the web. Here is a link to a webpage that evaluates Sage code and shows you the result immediately. Type in code like the following to graph a vector function. (Replace the three components of the vector function with any three vector function components.) The 0 and 2pi are the bounds on t .

To see that example plotted, click here.


Contenido

Vector fields on subsets of Euclidean space Edit

Given a subset S en R norte , a vector field is represented by a vector-valued function V: SR norte in standard Cartesian coordinates (X1, …, Xnorte) . If each component of V is continuous, then V is a continuous vector field, and more generally V es un C k vector field if each component of V is k times continuously differentiable.

A vector field can be visualized as assigning a vector to individual points within an norte-dimensional space. [1]

Given two C k -vector fields V , W definido en S and a real-valued C k -function f defined on S , the two operations scalar multiplication and vector addition

define the module of C k -vector fields over the ring of C k -functions where the multiplication of the functions is defined pointwise (therefore, it is commutative with the multiplicative identity being Fid(pag) := 1 ).

Coordinate transformation law Edit

In physics, a vector is additionally distinguished by how its coordinates change when one measures the same vector with respect to a different background coordinate system. The transformation properties of vectors distinguish a vector as a geometrically distinct entity from a simple list of scalars, or from a covector.

Thus, suppose that (X1. Xnorte) is a choice of Cartesian coordinates, in terms of which the components of the vector V son

and suppose that (y1. ynorte) are norte functions of the XI defining a different coordinate system. Then the components of the vector V in the new coordinates are required to satisfy the transformation law

Such a transformation law is called contravariant. A similar transformation law characterizes vector fields in physics: specifically, a vector field is a specification of norte functions in each coordinate system subject to the transformation law (1) relating the different coordinate systems.

Vector fields are thus contrasted with scalar fields, which associate a number or scalar to every point in space, and are also contrasted with simple lists of scalar fields, which do not transform under coordinate changes.

Vector fields on manifolds Edit

If the manifold M is smooth or analytic—that is, the change of coordinates is smooth (analytic)—then one can make sense of the notion of smooth (analytic) vector fields. The collection of all smooth vector fields on a smooth manifold M is often denoted by Γ ( T M ) or C ∞ ( M , T M ) (M,TM)> (especially when thinking of vector fields as sections) the collection of all smooth vector fields is also denoted by X ( M ) >(M)> (a fraktur "X").

  • A vector field for the movement of air on Earth will associate for every point on the surface of the Earth a vector with the wind speed and direction for that point. This can be drawn using arrows to represent the wind the length (magnitude) of the arrow will be an indication of the wind speed. A "high" on the usual barometric pressure map would then act as a source (arrows pointing away), and a "low" would be a sink (arrows pointing towards), since air tends to move from high pressure areas to low pressure areas. field of a moving fluid. In this case, a velocity vector is associated to each point in the fluid. are 3 types of lines that can be made from (time-dependent) vector fields. Ellos son:
    . The fieldlines can be revealed using small iron filings. allow us to use a given set of initial and boundary conditions to deduce, for every point in Euclidean space, a magnitude and direction for the force experienced by a charged test particle at that point the resulting vector field is the electromagnetic field.
  • A gravitational field generated by any massive object is also a vector field. For example, the gravitational field vectors for a spherically symmetric body would all point towards the sphere's center with the magnitude of the vectors reducing as radial distance from the body increases.

Gradient field in euclidean spaces Edit

Vector fields can be constructed out of scalar fields using the gradient operator (denoted by the del: ∇). [4]

A vector field V defined on an open set S se llama un campo degradado o un campo conservador if there exists a real-valued function (a scalar field) F en S such that

The associated flow is called the gradient flow , and is used in the method of gradient descent.

The path integral along any closed curve γ (γ(0) = γ(1)) in a conservative field is zero:

Central field in euclidean spaces Edit

A C ∞ -vector field over R norte <0>is called a central field Si

where O(norte, R) is the orthogonal group. We say central fields are invariant under orthogonal transformations around 0.

The point 0 is called the centrar of the field.

Since orthogonal transformations are actually rotations and reflections, the invariance conditions mean that vectors of a central field are always directed towards, or away from, 0 this is an alternate (and simpler) definition. A central field is always a gradient field, since defining it on one semiaxis and integrating gives an antigradient.

Line integral Edit

A common technique in physics is to integrate a vector field along a curve, also called determining its line integral. Intuitively this is summing up all vector components in line with the tangents to the curve, expressed as their scalar products. For example, given a particle in a force field (e.g. gravitation), where each vector at some point in space represents the force acting there on the particle, the line integral along a certain path is the work done on the particle, when it travels along this path. Intuitively, it is the sum of the scalar products of the force vector and the small tangent vector in each point along the curve.

The line integral is constructed analogously to the Riemann integral and it exists if the curve is rectifiable (has finite length) and the vector field is continuous.

Given a vector field V and a curve γ , parametrized by t in [a, B] (where a and b are real numbers), the line integral is defined as

Divergence Edit

The divergence of a vector field on Euclidean space is a function (or scalar field). In three-dimensions, the divergence is defined by

with the obvious generalization to arbitrary dimensions. The divergence at a point represents the degree to which a small volume around the point is a source or a sink for the vector flow, a result which is made precise by the divergence theorem.

The divergence can also be defined on a Riemannian manifold, that is, a manifold with a Riemannian metric that measures the length of vectors.

Curl in three dimensions Edit

The curl is an operation which takes a vector field and produces another vector field. The curl is defined only in three dimensions, but some properties of the curl can be captured in higher dimensions with the exterior derivative. In three dimensions, it is defined by

The curl measures the density of the angular momentum of the vector flow at a point, that is, the amount to which the flow circulates around a fixed axis. This intuitive description is made precise by Stokes' theorem.

Index of a vector field Edit

The index of a vector field is an integer that helps to describe the behaviour of a vector field around an isolated zero (i.e., an isolated singularity of the field). In the plane, the index takes the value -1 at a saddle singularity but +1 at a source or sink singularity.

Let the dimension of the manifold on which the vector field is defined be norte. Take a small sphere S around the zero so that no other zeros lie in the interior of S. A map from this sphere to a unit sphere of dimensions norte − 1 can be constructed by dividing each vector on this sphere by its length to form a unit length vector, which is a point on the unit sphere S n-1 . This defines a continuous map from S to S n-1 . The index of the vector field at the point is the degree of this map. It can be shown that this integer does not depend on the choice of S, and therefore depends only on the vector field itself.

The index of the vector field as a whole is defined when it has just a finite number of zeroes. In this case, all zeroes are isolated, and the index of the vector field is defined to be the sum of the indices at all zeroes.

The index is not defined at any non-singular point (i.e., a point where the vector is non-zero). it is equal to +1 around a source, and more generally equal to (−1) k around a saddle that has k contracting dimensions and n-k expanding dimensions. For an ordinary (2-dimensional) sphere in three-dimensional space, it can be shown that the index of any vector field on the sphere must be 2. This shows that every such vector field must have a zero. This implies the hairy ball theorem, which states that if a vector in R 3 is assigned to each point of the unit sphere S 2 in a continuous manner, then it is impossible to "comb the hairs flat", i.e., to choose the vectors in a continuous way such that they are all non-zero and tangent to S 2 .

For a vector field on a compact manifold with a finite number of zeroes, the Poincaré-Hopf theorem states that the index of the vector field is equal to the Euler characteristic of the manifold.

Michael Faraday, in his concept of lines of force, emphasized that the field itself should be an object of study, which it has become throughout physics in the form of field theory.

In addition to the magnetic field, other phenomena that were modeled by Faraday include the electrical field and light field.

Consider the flow of a fluid through a region of space. At any given time, any point of the fluid has a particular velocity associated with it thus there is a vector field associated to any flow. The converse is also true: it is possible to associate a flow to a vector field having that vector field as its velocity.

Given a vector field V definido en S, one defines curves γ(t) on S such that for each t in an interval I

By the Picard–Lindelöf theorem, if V is Lipschitz continuous there is a unique C 1 -curve γX for each point X en S so that, for some ε > 0,

The curves γX are called integral curves o trajectories (or less commonly, flow lines) of the vector field V and partition S into equivalence classes. It is not always possible to extend the interval (−ε, +ε) to the whole real number line. The flow may for example reach the edge of S in a finite time. In two or three dimensions one can visualize the vector field as giving rise to a flow on S. If we drop a particle into this flow at a point pag it will move along the curve γpag in the flow depending on the initial point pag. Si pag is a stationary point of V (i.e., the vector field is equal to the zero vector at the point pag), then the particle will remain at pag.

Given a smooth function between manifolds, F : METROnorte, the derivative is an induced map on tangent bundles, F* : TMTN. Given vector fields V : METROTM y W : norteTN, we say that W es F-related to V if the equation WF = FV holds.

Si VI es F-related to WI, I = 1, 2, then the Lie bracket [V1, V2] is F-related to [W1, W2].

Replacing vectors by pag-vectors (pagth exterior power of vectors) yields pag-vector fields taking the dual space and exterior powers yields differential k-forms, and combining these yields general tensor fields.

Algebraically, vector fields can be characterized as derivations of the algebra of smooth functions on the manifold, which leads to defining a vector field on a commutative algebra as a derivation on the algebra, which is developed in the theory of differential calculus over commutative algebras.


Syllabus

If at any time during this semester you feel ill, in the interest of your own health and safety as well as the health and safety of your instructors and classmates, you are encouraged not to attend face-to-face class meetings or events. Please review the steps outlined below that you should follow to ensure your absence for illness will be excused. These steps also apply to not participating in synchronous online class meetings if you feel too ill to do so and missing specified assignment due dates in asynchronous online classes because of illness.

1. If you are ill and think the symptoms might be COVID-19-related:
a) Call Student Health Services at 806.743.2848 or your health care provider.
b) Self-report as soon as possible using the Dean of Students COVID-19 webpage. This website has specific directions about how to upload documentation from a medical provider and what will happen if your illness renders you unable to participate in classes for more than one week.
c) If your illness is determined to be COVID-19-related, all remaining documentation and communication will be handled through the Office of the Dean of Students, including notification of your instructors of the period of time you may be absent from and may return to classes.
d) If your illness is determined not to be COVID-19-related, please follow steps 2.a-d below.

2. If you are ill and can attribute your symptoms to something other than COVID-19:
a) If your illness renders you unable to attend face-to-face classes, participate in synchronous online classes, or miss specified assignment due dates in asynchronous online classes, you are encouraged to visit with either Student Health Services at 806.743.2848 or your health care provider. Note that Student Health Services and your own and other health care providers may arrange virtual visits.
b) During the health provider visit, request a "return to school" note.
c) E-mail the instructor a picture of that note.
d) Return to class by the next class period after the date indicated on your note.

Following the steps outlined above helps to keep your instructors informed about your absences and ensures your absence or missing an assignment due date because of illness will be marked excused. You will still be responsible to complete within a week of returning to class any assignments, quizzes, or exams you miss because of illness.

Esta es una clase a distancia, todos los estudiantes inscritos en esta clase deben ser altamente responsables en la gestión de su horario. Este curso avanza muy rápido. Si se queda atrás, incluso en una sección, es posible que no pueda ponerse al día, ya que cada sección generalmente depende en gran medida de las anteriores. Un estudiante inscrito en esta clase debe ser capaz de leer y comprender el libro de texto. Si en el pasado tuviste problemas en las clases de matemáticas por tu cuenta, entonces esta no es la clase para ti y es muy recomendable que cambies a una clase presencial. El instructor espera que el estudiante lea cada sección del libro de texto, vea los videos y lea las notas de la clase antes de intentar resolver los problemas de la tarea. Cuando solicite ayuda, debe mostrar todo su trabajo, escribiéndolo en el correo electrónico (mejor) o adjuntando una copia escaneada de su trabajo. Cuando solicite ayuda para un problema de WebWork, se recomienda que utilice el botón de correo electrónico al instructor en la parte inferior de la pantalla, de lo contrario, es posible que no obtenga ninguna respuesta.


3 respuestas 3

As you seem to have worked out for yourself, you can just write the Taylor series for each component of $f$ separately so I guess the remaining issue is how to write this down neatly.

Your "something" here is the second derivative of $f$, which is the third-order tensor comprised of the Hessian matrices $H_1,ldots,H_n$ so you need to use a notation that can deal with this kind of object. If you're comfortable with the Einstein summation convention, then you can write $f_i( heta) = f_i( heta_0) + A_ ( theta_0) ( theta - theta_0) _j + frac 1 2 H_( theta ') ( theta - theta_0) _j ( theta- theta_0) _k, $ donde $ H_ = frac < parcial ^ 2 f_i> < parcial x_k parcial x_j>. $

Alternativamente, podrías elegir algo como $ f ( theta) = f ( theta_0) + A ( theta_0) ( theta - theta_0) + frac 1 2 H ( theta ') ( theta- theta_0 , theta- theta_0) $ donde $ H $ se interpreta como una forma bilineal en $ mathbb R ^ m $ tomando valores en $ mathbb R ^ n. $ Podrías escribir esto usando la multiplicación de matrices como en la respuesta de Mostafa, pero esto es un poco no estándar y debe tener claro que su "vector" $ A $ y su "matriz" $ H $ son en realidad $ mathbb R ^ n $ -valuados.


Ver el vídeo: Funciones a valores vectoriales (Octubre 2021).