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5.2: Simplificar Expresiones Radicales - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Usa la propiedad del producto para simplificar expresiones radicales
  • Utilice la propiedad del cociente para simplificar expresiones radicales

Antes de comenzar, responda este cuestionario de preparación.

  1. Simplifica: ( dfrac {x ^ {9}} {x ^ {4}} ).
    Si pasó por alto este problema, revise el Ejemplo 5.13.
  2. Simplifica: ( dfrac {y ^ {3}} {y ^ {11}} ).
    Si pasó por alto este problema, revise el Ejemplo 5.13.
  3. Simplifica: ( left (n ^ {2} right) ^ {6} ).
    Si pasó por alto este problema, revise el Ejemplo 5.17.

Utilice la propiedad del producto para simplificar expresiones radicales

Simplificaremos expresiones radicales de una manera similar a como simplificamos fracciones. Para simplificar una fracción, buscamos cualquier factor común en el numerador y denominador.

A expresión radical, ( sqrt [n] {a} ), se considera simplificado si no tiene factores de (m ^ {n} ). Entonces, para simplificar una expresión radical, buscamos cualquier factor en el radicando que sea potencia del índice.

Definición ( PageIndex {1} ): Expresión radical simplificada

Para números reales (a ) y (m ), y (n geq 2 ),

( sqrt [n] {a} ) se considera simplificado si (a ) no tiene factores de (m ^ {n} )

Por ejemplo, ( sqrt {5} ) se considera simplificado porque no hay factores cuadrados perfectos en (5 ). Pero ( sqrt {12} ) no se simplifica porque (12 ) tiene un factor cuadrado perfecto de (4 ).

De manera similar, ( sqrt [3] {4} ) se simplifica porque no hay factores de cubo perfectos en (4 ). Pero ( sqrt [3] {24} ) no está simplificado porque (24 ) tiene un factor cúbico perfecto de (8 ).

Para simplificar expresiones radicales, también usaremos algunas propiedades de las raíces. Las propiedades que usaremos para simplificar expresiones radicales son similares a las propiedades de los exponentes. Lo sabemos

[(a b) ^ {n} = a ^ {n} b ^ {n}. ]

El correspondiente de Propiedad del producto de las raíces dice que

[ sqrt [n] {a b} = sqrt [n] {a} cdot sqrt [n] {b}. ]

Definición ( PageIndex {2} ): Propiedad del producto de (N ^ {th} ) raíces

Si ( sqrt [n] {a} ) y ( sqrt [n] {b} ) son números reales y (n geq 2 ) es un número entero, entonces

( sqrt [n] {ab} = sqrt [n] {a} cdot sqrt [n] {b} quad text {y} quad sqrt [n] {a} cdot sqrt [n] {b} = sqrt [n] {ab} )

Usamos la propiedad del producto de las raíces para eliminar todos los factores cuadrados perfectos de una raíz cuadrada.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Simplificar raíces cuadradas usando la propiedad de producto de las raíces

Simplifica: ( sqrt {98} ).

Solución:

Paso 1: Encuentre el factor más grande en el radicando que sea una potencia perfecta del índice.

Vemos que (49 ) es el factor más grande de (98 ) que tiene una potencia de (2 ).

( sqrt {98} )

Reescribe el radicando como un producto de dos factores, usando ese factor.

En otras palabras, (49 ) es el factor cuadrado perfecto más grande de (98 ).

(98 = 49 cdot 2 )

Siempre escribe primero el factor del cuadrado perfecto.

( sqrt {49 cdot 2} )
Paso 2: Use la regla del producto para reescribir el radical como el producto de dos radicales. ( sqrt {49} cdot sqrt {2} )
Paso 3: Simplifica la raíz del poder perfecto. (7 sqrt {2} )

Pruébelo ( PageIndex {1} )

Simplificar: ( sqrt {48} )

Respuesta

(4 sqrt {3} )

Pruébelo ( PageIndex {2} )

Simplifica: ( sqrt {45} ).

Respuesta

(3 sqrt {5} )

Observe en el ejemplo anterior que la forma simplificada de ( sqrt {98} ) es (7 sqrt {2} ), que es el producto de un número entero y una raíz cuadrada. Siempre escribimos el número entero delante de la raíz cuadrada.

Tenga cuidado de escribir su número entero para que no se confunda con el índice. La expresión (7 sqrt {2} ) es muy diferente de ( sqrt [7] {2} ).

Simplificar una expresión radical usando la propiedad del producto

  1. Encuentre el factor más grande en el radicando que sea una potencia perfecta del índice. Reescribe el radicando como un producto de dos factores, usando ese factor.
  2. Usa la regla del producto para reescribir el radical como el producto de dos radicales.
  3. Simplifica la raíz del poder perfecto.

Aplicaremos este método en el siguiente ejemplo. Puede ser útil tener una tabla de cuadrados perfectos, cubos y cuartas potencias.

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Simplificar:

  1. ( sqrt {500} )
  2. ( sqrt [3] {16} )
  3. ( sqrt [4] {243} )

Solución:

un.

( sqrt {500} )

Reescribe el radicando como un producto usando el factor cuadrado perfecto más grande.

( sqrt {100 cdot 5} )

Reescribe el radical como el producto de dos radicales.

( sqrt {100} cdot sqrt {5} )

Simplificar.

(10 ​​ sqrt {5} )

B.

( sqrt [3] {16} )

Reescribe el radicando como un producto usando el factor cúbico perfecto más grande. (2 ^ {3} = 8 )

( sqrt [3] {8 cdot 2} )

Reescribe el radical como el producto de dos radicales.

( sqrt [3] {8} cdot sqrt [3] {2} )

Simplificar.

(2 sqrt [3] {2} )

C.

( sqrt [4] {243} )

Reescribe el radicando como un producto utilizando el mayor factor de potencia perfecto del cuarto. (3 ^ {4} = 81 )

( sqrt [4] {81 cdot 3} )

Reescribe el radical como el producto de dos radicales.

( sqrt [4] {81} cdot sqrt [4] {3} )

Simplificar.

(3 sqrt [4] {3} )

Pruébelo ( PageIndex {3} )

Simplifica: a. ( sqrt {288} ) b. ( sqrt [3] {81} ) c. ( sqrt [4] {64} )

Respuesta

un. (12 sqrt {2} ) b. (3 sqrt [3] {3} ) c. (2 sqrt [4] {4} )

Pruébelo ( PageIndex {4} )

Simplifica: a. ( sqrt {432} ) b. ( sqrt [3] {625} ) c. ( sqrt [4] {729} )

Respuesta

un. (12 sqrt {3} ) b. (5 sqrt [3] {5} ) c. (3 sqrt [4] {9} )

El siguiente ejemplo es muy parecido a los ejemplos anteriores, pero con variables. No olvide utilizar los signos de valor absoluto al sacar una raíz par de una expresión con una variable en el radical.

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Simplificar:

  1. ( sqrt {x ^ {3}} )
  2. ( sqrt [3] {x ^ {4}} )
  3. ( sqrt [4] {x ^ {7}} )

Solución:

un.

( sqrt {x ^ {3}} )

Reescribe el radicando como un producto usando el factor cuadrado perfecto más grande.

( sqrt {x ^ {2} cdot x} )

Reescribe el radical como el producto de dos radicales.

( sqrt {x ^ {2}} cdot sqrt {x} )

Simplificar.

(| x | sqrt {x} )

B.

( sqrt [3] {x ^ {4}} )

Reescribe el radicando como un producto usando el factor cúbico perfecto más grande.

( sqrt [3] {x ^ {3} cdot x} )

Reescribe el radical como el producto de dos radicales.

( sqrt [3] {x ^ {3}} cdot sqrt [3] {x} )

Simplificar.

(x sqrt [3] {x} )

C.

( sqrt [4] {x ^ {7}} )

Reescribe el radicando como un producto utilizando el mayor factor de potencia perfecto del cuarto.

( sqrt [4] {x ^ {4} cdot x ^ {3}} )

Reescribe el radical como el producto de dos radicales.

( sqrt [4] {x ^ {4}} cdot sqrt [4] {x ^ {3}} )

Simplificar.

(| x | sqrt [4] {x ^ {3}} )

Pruébelo ( PageIndex {5} )

Simplifica: a. ( sqrt {b ^ {5}} ) b. ( sqrt [4] {y ^ {6}} ) c. ( sqrt [3] {z ^ {5}} )

Respuesta

un. (b ^ {2} sqrt {b} ) b. (| y | sqrt [4] {y ^ {2}} ) c. (z sqrt [3] {z ^ {2}} )

Pruébelo ( PageIndex {6} )

Simplifica: a. ( sqrt {p ^ {9}} ) b. ( sqrt [5] {y ^ {8}} ) c. ( sqrt [6] {q ^ {13}} )

Respuesta

un. (p ^ {4} sqrt {p} ) b. (p sqrt [5] {p ^ {3}} ) c. (q ^ {2} sqrt [6] {q} )

Seguimos el mismo procedimiento cuando hay un coeficiente en el radicando. En el siguiente ejemplo, tanto la constante como la variable tienen factores de cuadrados perfectos.

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Simplificar:

  1. ( sqrt {72 n ^ {7}} )
  2. ( sqrt [3] {24 x ^ {7}} )
  3. ( sqrt [4] {80 años ^ {14}} )

Solución:

un.

( sqrt {72 n ^ {7}} )

Reescribe el radicando como un producto usando el factor cuadrado perfecto más grande.

( sqrt {36 n ^ {6} cdot 2 n} )

Reescribe el radical como el producto de dos radicales.

( sqrt {36 n ^ {6}} cdot sqrt {2 n} )

Simplificar.

(6 izquierda | n ^ {3} derecha | sqrt {2 n} )

B.

( sqrt [3] {24 x ^ {7}} )

Reescribe el radicando como un producto usando factores cúbicos perfectos.

( sqrt [3] {8 x ^ {6} cdot 3 x} )

Reescribe el radical como el producto de dos radicales.

( sqrt [3] {8 x ^ {6}} cdot sqrt [3] {3 x} )

Reescribe el primer radicando como ( left (2 x ^ {2} right) ^ {3} ).

( sqrt [3] { left (2 x ^ {2} right) ^ {3}} cdot sqrt [3] {3 x} )

Simplificar.

(2 x ^ {2} sqrt [3] {3 x} )

C.

( sqrt [4] {80 años ^ {14}} )

Reescribe el radicando como un producto usando factores de potencia de cuarto perfecto.

( sqrt [4] {16 y ^ {12} cdot 5 y ^ {2}} )

Reescribe el radical como el producto de dos radicales.

( sqrt [4] {16 años ^ {12}} cdot sqrt [4] {5 y ^ {2}} )

Reescribe el primer radicando como ( left (2 y ^ {3} right) ^ {4} ).

( sqrt [4] { left (2 y ^ {3} right) ^ {4}} cdot sqrt [4] {5 y ^ {2}} )

Simplificar.

(2 left | y ^ {3} right | sqrt [4] {5 y ^ {2}} )

Pruébelo ( PageIndex {7} )

Simplifica: a. ( sqrt {32 y ^ {5}} ) b. ( sqrt [3] {54 p ^ {10}} ) c. ( sqrt [4] {64 q ^ {10}} )

Respuesta

un. (4 y ^ {2} sqrt {2 y} ) b. (3 p ^ {3} sqrt [3] {2 p} ) c. (2 q ^ {2} sqrt [4] {4 q ^ {2}} )

Pruébelo ( PageIndex {8} )

Simplifica: a. ( sqrt {75 a ^ {9}} ) b. ( sqrt [3] {128 m ^ {11}} ) c. ( sqrt [4] {162 n ^ {7}} )

Respuesta

un. (5 a ^ {4} sqrt {3 a} ) b. (4 m ^ {3} sqrt [3] {2 m ^ {2}} ) c. (3 | n | sqrt [4] {2 n ^ {3}} )

En el siguiente ejemplo, continuamos usando los mismos métodos aunque hay más de una variable debajo del radical.

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Simplificar:

  1. ( sqrt {63 u ^ {3} v ^ {5}} )
  2. ( sqrt [3] {40 x ^ {4} y ^ {5}} )
  3. ( sqrt [4] {48 x ^ {4} y ^ {7}} )

Solución:

un.

( sqrt {63 u ^ {3} v ^ {5}} )

Reescribe el radicando como un producto usando el factor cuadrado perfecto más grande.

( sqrt {9 u ^ {2} v ^ {4} cdot 7 u v} )

Reescribe el radical como el producto de dos radicales.

( sqrt {9 u ^ {2} v ^ {4}} cdot sqrt {7 u v} )

Reescribe el primer radicando como ( left (3 u v ^ {2} right) ^ {2} ).

( sqrt { left (3 u v ^ {2} right) ^ {2}} cdot sqrt {7 u v} )

Simplificar.

(3 | u | v ^ {2} sqrt {7 u v} )

B.

( sqrt [3] {40 x ^ {4} y ^ {5}} )

Reescribe el radicando como un producto usando el factor cúbico perfecto más grande.

( sqrt [3] {8 x ^ {3} y ^ {3} cdot 5 x y ^ {2}} )

Reescribe el radical como el producto de dos radicales.

( sqrt [3] {8 x ^ {3} y ^ {3}} cdot sqrt [3] {5 x y ^ {2}} )

Reescribe el primer radicando como ((2xy) ^ {3} ).

( sqrt [3] {(2 x y) ^ {3}} cdot sqrt [3] {5 x y ^ {2}} )

Simplificar.

(2 x y sqrt [3] {5 x y ^ {2}} )

C.

( sqrt [4] {48 x ^ {4} y ^ {7}} )

Reescribe el radicando como un producto usando el cuarto factor de potencia perfecto más grande.

( sqrt [4] {16 x ^ {4} y ^ {4} cdot 3 y ^ {3}} )

Reescribe el radical como el producto de dos radicales.

( sqrt [4] {16 x ^ {4} y ^ {4}} cdot sqrt [4] {3 y ^ {3}} )

Reescribe el primer radicando como ((2xy) ^ {4} ).

( sqrt [4] {(2 x y) ^ {4}} cdot sqrt [4] {3 y ^ {3}} )

Simplificar.

(2 | x y | sqrt [4] {3 y ^ {3}} )

Pruébelo ( PageIndex {9} )

Simplificar:

  1. ( sqrt {98 a ^ {7} b ^ {5}} )
  2. ( sqrt [3] {56 x ^ {5} y ^ {4}} )
  3. ( sqrt [4] {32 x ^ {5} y ^ {8}} )
Respuesta
  1. (7 left | a ^ {3} right | b ^ {2} sqrt {2 a b} )
  2. (2 x y sqrt [3] {7 x ^ {2} y} )
  3. (2 | x | y ^ {2} sqrt [4] {2 x} )

Pruébelo ( PageIndex {10} )

Simplificar:

  1. ( sqrt {180 m ^ {9} n ^ {11}} )
  2. ( sqrt [3] {72 x ^ {6} y ^ {5}} )
  3. ( sqrt [4] {80 x ^ {7} y ​​^ {4}} )
Respuesta
  1. (6 m ^ {4} left | n ^ {5} right | sqrt {5 m n} )
  2. (2 x ^ {2} y sqrt [3] {9 y ^ {2}} )
  3. (2 | x y | sqrt [4] {5 x ^ {3}} )

Ejemplo ( PageIndex {6} )

Simplificar:

  1. ( sqrt [3] {- 27} )
  2. ( sqrt [4] {- 16} )

Solución:

un.

( sqrt [3] {- 27} )

Reescribe el radicando como un producto usando factores cúbicos perfectos.

( sqrt [3] {(- 3) ^ {3}} )

Toma la raíz cúbica.

(-3)

B.

( sqrt [4] {- 16} )

No hay un número real (n ) donde (n ^ {4} = - 16 ).

No es un numero real

Pruébelo ( PageIndex {11} )

Simplificar:

  1. ( sqrt [3] {- 64} )
  2. ( sqrt [4] {- 81} )
Respuesta
  1. (-4)
  2. sin número real

Pruébelo ( PageIndex {12} )

Simplificar:

  1. ( sqrt [3] {- 625} )
  2. ( sqrt [4] {- 324} )
Respuesta
  1. (- 5 sqrt [3] {5} )
  2. sin número real

Hemos visto cómo utilizar el Orden de operaciones para simplificar algunas expresiones con radicales. En el siguiente ejemplo, tenemos la suma de un número entero y una raíz cuadrada. Simplificamos la raíz cuadrada, pero no podemos sumar la expresión resultante al número entero, ya que un término contiene un radical y el otro no. El siguiente ejemplo también incluye una fracción con un radical en el numerador. Recuerda que para simplificar una fracción necesitas un factor común en el numerador y denominador.

Ejemplo ( PageIndex {7} )

Simplificar:

  1. (3+ sqrt {32} )
  2. ( dfrac {4- sqrt {48}} {2} )

Solución:

un.

(3+ sqrt {32} )

Reescribe el radicando como un producto usando el factor cuadrado perfecto más grande.

(3+ sqrt {16 cdot 2} )

Reescribe el radical como el producto de dos radicales.

(3+ sqrt {16} cdot sqrt {2} )

Simplificar.

(3 + 4 sqrt {2} )

Los términos no se pueden agregar ya que uno tiene un radical y el otro no. Intentar sumar un entero y un radical es como intentar sumar un entero y una variable. ¡No son términos semejantes!

B.

( dfrac {4- sqrt {48}} {2} )

Reescribe el radicando como un producto usando el factor cuadrado perfecto más grande.

( dfrac {4- sqrt {16 cdot 3}} {2} )

Reescribe el radical como el producto de dos radicales.

( dfrac {4- sqrt {16} cdot sqrt {3}} {2} )

Simplificar.

Factoriza el factor común del numerador.

( dfrac {4 (1- sqrt {3})} {2} )

Quita el factor común, 2, del numerador y denominador.

( dfrac { cancel {2} cdot 2 (1- sqrt {3})} { cancel {2}} )

Simplificar.

(2 (1- sqrt {3}) )

Pruébelo ( PageIndex {13} )

Simplificar:

  1. (5+ sqrt {75} )
  2. ( dfrac {10- sqrt {75}} {5} )
Respuesta
  1. (5 + 5 sqrt {3} )
  2. (2- sqrt {3} )

Pruébelo ( PageIndex {14} )

Simplificar:

  1. (2+ sqrt {98} )
  2. ( dfrac {6- sqrt {45}} {3} )
Respuesta
  1. (2 + 7 sqrt {2} )
  2. (2- sqrt {5} )

Utilice la propiedad del cociente para simplificar expresiones radicales

Siempre que tenga que simplificar una expresión radical, el primer paso que debe dar es determinar si el radicando es una potencia perfecta del índice. Si no es así, verifique el numerador y el denominador en busca de factores comunes y elimínelos. Puede encontrar una fracción en la que tanto el numerador como el denominador sean potencias perfectas del índice.

Ejemplo ( PageIndex {8} )

Simplificar:

  1. ( sqrt { dfrac {45} {80}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {16} {54}} )
  3. ( sqrt [4] { dfrac {5} {80}} )

Solución:

un.

( sqrt { dfrac {45} {80}} )

Simplifica primero el interior del radical. Reescribe mostrando los factores comunes del numerador y denominador.

( sqrt { dfrac {5 cdot 9} {5 cdot 16}} )

Simplifica la fracción quitando factores comunes.

( sqrt { dfrac {9} {16}} )

Simplificar. Nota ( left ( dfrac {3} {4} right) ^ {2} = dfrac {9} {16} ).

( dfrac {3} {4} )

B.

( sqrt [3] { dfrac {16} {54}} )

Simplifica primero el interior del radical. Reescribe mostrando los factores comunes del numerador y denominador.

( sqrt [3] { dfrac {2 cdot 8} {2 cdot 27}} )

Simplifica la fracción quitando factores comunes.

( sqrt [3] { dfrac {8} {27}} )

Simplificar. Nota ( left ( dfrac {2} {3} right) ^ {3} = dfrac {8} {27} ).

( dfrac {2} {3} )

C.

( sqrt [4] { dfrac {5} {80}} )

Simplifica primero el interior del radical. Reescribe mostrando los factores comunes del numerador y denominador.

( sqrt [4] { dfrac {5 cdot 1} {5 cdot 16}} )

Simplifica la fracción quitando factores comunes.

( sqrt [4] { dfrac {1} {16}} )

Simplificar. Nota ( left ( dfrac {1} {2} right) ^ {4} = dfrac {1} {16} ).

( dfrac {1} {2} )

Pruébelo ( PageIndex {15} )

Simplificar:

  1. ( sqrt { dfrac {75} {48}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {54} {250}} )
  3. ( sqrt [4] { dfrac {32} {162}} )
Respuesta
  1. ( dfrac {5} {4} )
  2. ( dfrac {3} {5} )
  3. ( dfrac {2} {3} )

Pruébelo ( PageIndex {16} )

Simplificar:

  1. ( sqrt { dfrac {98} {162}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {24} {375}} )
  3. ( sqrt [4] { dfrac {4} {324}} )
Respuesta
  1. ( dfrac {7} {9} )
  2. ( dfrac {2} {5} )
  3. ( dfrac {1} {3} )

En el último ejemplo, nuestro primer paso fue simplificar la fracción debajo del radical eliminando los factores comunes. En el siguiente ejemplo usaremos el Propiedad del cociente simplificar bajo el radical. Dividimos las bases semejantes restando sus exponentes,

( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = a ^ {m-n}, quad a neq 0 )

Ejemplo ( PageIndex {9} )

Simplificar:

  1. ( sqrt { dfrac {m ^ {6}} {m ^ {4}}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {a ^ {8}} {a ^ {5}}} )
  3. ( sqrt [4] { dfrac {a ^ {10}} {a ^ {2}}} )

Solución:

un.

( sqrt { dfrac {m ^ {6}} {m ^ {4}}} )

Primero, simplifica la fracción dentro del radical. Divide las bases semejantes restando los exponentes.

( sqrt {m ^ {2}} )

Simplificar.

(| m | )

B.

( sqrt [3] { dfrac {a ^ {8}} {a ^ {5}}} )

Usa la propiedad del cociente de exponentes para simplificar la fracción debajo del radical primero.

( sqrt [3] {a ^ {3}} )

Simplificar.

(a)

C.

( sqrt [4] { dfrac {a ^ {10}} {a ^ {2}}} )

Usa la propiedad del cociente de exponentes para simplificar la fracción debajo del radical primero.

( sqrt [4] {a ^ {8}} )

Reescribe el radicando usando factores de potencia de cuarto perfecto.

( sqrt [4] { left (a ^ {2} right) ^ {4}} )

Simplificar.

(a ^ {2} )

Pruébelo ( PageIndex {17} )

Simplificar:

  1. ( sqrt { dfrac {a ^ {8}} {a ^ {6}}} )
  2. ( sqrt [4] { dfrac {x ^ {7}} {x ^ {3}}} )
  3. ( sqrt [4] { dfrac {y ^ {17}} {y ^ {5}}} )
Respuesta
  1. (| a | )
  2. (| x | )
  3. (y ^ {3} )

Pruébelo ( PageIndex {18} )

Simplificar:

  1. ( sqrt { dfrac {x ^ {14}} {x ^ {10}}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {m ^ {13}} {m ^ {7}}} )
  3. ( sqrt [5] { dfrac {n ^ {12}} {n ^ {2}}} )
Respuesta
  1. (x ^ {2} )
  2. (m ^ {2} )
  3. (n ^ {2} )

Recuerda el Cociente de una propiedad de potencia? Decía que podíamos elevar una fracción a una potencia elevando el numerador y el denominador a la potencia por separado.

( left ( dfrac {a} {b} right) ^ {m} = dfrac {a ^ {m}} {b ^ {m}}, b neq 0 )

Definición ( PageIndex {3} )

Propiedad del cociente de expresiones radicales

Si ( sqrt [n] {a} ) y ( sqrt [n] {b} ) son números reales, (b neq 0 ), y para cualquier entero (n geq 2 ) luego,

( sqrt [n] { dfrac {a} {b}} = dfrac { sqrt [n] {a}} { sqrt [n] {b}} text {y} dfrac { sqrt [n] {a}} { sqrt [n] {b}} = sqrt [n] { dfrac {a} {b}} )

Ejemplo ( PageIndex {10} ) cómo simplificar el cociente de expresiones radicales

Simplificar: ( sqrt { dfrac {27 m ^ {3}} {196}} )

Solución:

Paso 1: Simplifique la fracción en el radicando, si es posible.

( dfrac {27 m ^ {3}} {196} ) no se puede simplificar.

( sqrt { dfrac {27 m ^ {3}} {196}} )

Paso 2: Utilice la propiedad del cociente para reescribir el radical como el cociente de dos radicales.

Reescribimos ( sqrt { dfrac {27 m ^ {3}} {196}} ) como el cociente de ( sqrt {27 m ^ {3}} ) y ( sqrt {196} ).

( dfrac { sqrt {27 m ^ {3}}} { sqrt {196}} )

Paso 3: Simplifica los radicales en el numerador y el denominador.

(9m ^ {2} ) y (196 ) son cuadrados perfectos.

( dfrac { sqrt {9 m ^ {2}} cdot sqrt {3 m}} { sqrt {196}} )

( dfrac {3 m sqrt {3 m}} {14} )

Pruébelo ( PageIndex {19} )

Simplifique: ( sqrt { dfrac {24 p ^ {3}} {49}} ).

Respuesta

( dfrac {2 | p | sqrt {6 p}} {7} )

Pruébelo ( PageIndex {20} )

Simplifica: ( sqrt { dfrac {48 x ^ {5}} {100}} ).

Respuesta

( dfrac {2 x ^ {2} sqrt {3 x}} {5} )

Simplificar una raíz cuadrada usando la propiedad del cociente

  1. Simplifique la fracción en el radicando, si es posible.
  2. Usa la propiedad del cociente para reescribir el radical como el cociente de dos radicales.
  3. Simplifica los radicales en el numerador y el denominador.

Ejemplo ( PageIndex {11} )

Simplificar:

  1. ( sqrt { dfrac {45 x ^ {5}} {y ^ {4}}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {24 x ^ {7}} {y ^ {3}}} )
  3. ( sqrt [4] { dfrac {48 x ^ {10}} {y ^ {8}}} )

Solución:

un.

( sqrt { dfrac {45 x ^ {5}} {y ^ {4}}} )

No podemos simplificar la fracción en el radicando. Reescribe usando la propiedad del cociente.

( dfrac { sqrt {45 x ^ {5}}} { sqrt {y ^ {4}}} )

Simplifica los radicales en el numerador y el denominador.

( dfrac { sqrt {9 x ^ {4}} cdot sqrt {5 x}} {y ^ {2}} )

Simplificar.

( dfrac {3 x ^ {2} sqrt {5 x}} {y ^ {2}} )

B.

( sqrt [3] { dfrac {24 x ^ {7}} {y ^ {3}}} )

La fracción del radicando no se puede simplificar. Utilice la propiedad del cociente para escribir como dos radicales.

( dfrac { sqrt [3] {24 x ^ {7}}} { sqrt [3] {y ^ {3}}} )

Reescribe cada radicando como un producto usando factores de cubo perfectos.

( dfrac { sqrt [3] {8 x ^ {6} cdot 3 x}} { sqrt [3] {y ^ {3}}} )

Reescribe el numerador como el producto de dos radicales.

( dfrac { sqrt [3] { left (2 x ^ {2} right) ^ {3}} cdot sqrt [3] {3 x}} { sqrt [3] {y ^ { 3}}} )

Simplificar.

( dfrac {2 x ^ {2} sqrt [3] {3 x}} {y} )

C.

( sqrt [4] { dfrac {48 x ^ {10}} {y ^ {8}}} )

La fracción del radicando no se puede simplificar.

( dfrac { sqrt [4] {48 x ^ {10}}} { sqrt [4] {y ^ {8}}} )

Utilice la propiedad del cociente para escribir como dos radicales. Reescribe cada radicando como un producto usando factores de potencia de cuarto perfecto.

( dfrac { sqrt [4] {16 x ^ {8} cdot 3 x ^ {2}}} { sqrt [4] {y ^ {8}}} )

Reescribe el numerador como el producto de dos radicales.

( dfrac { sqrt [4] { left (2 x ^ {2} right) ^ {4}} cdot sqrt [4] {3 x ^ {2}}} { sqrt [4] { left (y ^ {2} right) ^ {4}}} )

Simplificar.

( dfrac {2 x ^ {2} sqrt [4] {3 x ^ {2}}} {y ^ {2}} )

Pruébelo ( PageIndex {21} )

Simplificar:

  1. ( sqrt { dfrac {80 m ^ {3}} {n ^ {6}}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {108 c ^ {10}} {d ^ {6}}} )
  3. ( sqrt [4] { dfrac {80 x ^ {10}} {y ^ {4}}} )
Respuesta
  1. ( dfrac {4 | m | sqrt {5 m}} { left | n ^ {3} right |} )
  2. ( dfrac {3 c ^ {3} sqrt [3] {4 c}} {d ^ {2}} )
  3. ( dfrac {2 x ^ {2} sqrt [4] {5 x ^ {2}}} {| y |} )

Pruébelo ( PageIndex {22} )

Simplificar:

  1. ( sqrt { dfrac {54 u ^ {7}} {v ^ {8}}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {40 r ^ {3}} {s ^ {6}}} )
  3. ( sqrt [4] { dfrac {162 m ^ {14}} {n ^ {12}}} )
Respuesta
  1. ( dfrac {3 u ^ {3} sqrt {6 u}} {v ^ {4}} )
  2. ( dfrac {2 r sqrt [3] {5}} {s ^ {2}} )
  3. ( dfrac {3 left | m ^ {3} right | sqrt [4] {2 m ^ {2}}} { left | n ^ {3} right |} )

Asegúrese de simplificar primero la fracción en el radicando, si es posible.

Ejemplo ( PageIndex {12} )

Simplificar:

  1. ( sqrt { dfrac {18 p ^ {5} q ^ {7}} {32 p q ^ {2}}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {16 x ^ {5} y ^ {7}} {54 x ^ {2} y ^ {2}}} )
  3. ( sqrt [4] { dfrac {5 a ^ {8} b ^ {6}} {80 a ^ {3} b ^ {2}}} )

Solución:

un.

( sqrt { dfrac {18 p ^ {5} q ^ {7}} {32 p q ^ {2}}} )

Simplifique la fracción en el radicando, si es posible.

( sqrt { dfrac {9 p ^ {4} q ^ {5}} {16}} )

Reescribe usando la propiedad del cociente.

( dfrac { sqrt {9 p ^ {4} q ^ {5}}} { sqrt {16}} )

Simplifica los radicales en el numerador y el denominador.

( dfrac { sqrt {9 p ^ {4} q ^ {4}} cdot sqrt {q}} {4} )

Simplificar.

( dfrac {3 p ^ {2} q ^ {2} sqrt {q}} {4} )

B.

( sqrt [3] { dfrac {16 x ^ {5} y ^ {7}} {54 x ^ {2} y ^ {2}}} )

Simplifique la fracción en el radicando, si es posible.

( sqrt [3] { dfrac {8 x ^ {3} y ^ {5}} {27}} )

Reescribe usando la propiedad del cociente.

( dfrac { sqrt [3] {8 x ^ {3} y ^ {5}}} { sqrt [3] {27}} )

Simplifica los radicales en el numerador y el denominador.

( dfrac { sqrt [3] {8 x ^ {3} y ^ {3}} cdot sqrt [3] {y ^ {2}}} { sqrt [3] {27}} )

Simplificar.

( dfrac {2 x y sqrt [3] {y ^ {2}}} {3} )

C.

( sqrt [4] { dfrac {5 a ^ {8} b ^ {6}} {80 a ^ {3} b ^ {2}}} )

Simplifique la fracción en el radicando, si es posible.

( sqrt [4] { dfrac {a ^ {5} b ^ {4}} {16}} )

Reescribe usando la propiedad del cociente.

( dfrac { sqrt [4] {a ^ {5} b ^ {4}}} { sqrt [4] {16}} )

Simplifica los radicales en el numerador y el denominador.

( dfrac { sqrt [4] {a ^ {4} b ^ {4}} cdot sqrt [4] {a}} { sqrt [4] {16}} )

Simplificar.

( dfrac {| a b | sqrt [4] {a}} {2} )

Pruébelo ( PageIndex {23} )

Simplificar:

  1. ( sqrt { dfrac {50 x ^ {5} y ^ {3}} {72 x ^ {4} y}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {16 x ^ {5} y ^ {7}} {54 x ^ {2} y ^ {2}}} )
  3. ( sqrt [4] { dfrac {5 a ^ {8} b ^ {6}} {80 a ^ {3} b ^ {2}}} )
Respuesta
  1. ( dfrac {5 | y | sqrt {x}} {6} )
  2. ( dfrac {2 x y sqrt [3] {y ^ {2}}} {3} )
  3. ( dfrac {| a b | sqrt [4] {a}} {2} )

Pruébelo ( PageIndex {24} )

Simplificar:

  1. ( sqrt { dfrac {48 m ^ {7} n ^ {2}} {100 m ^ {5} n ^ {8}}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {54 x ^ {7} y ​​^ {5}} {250 x ^ {2} y ^ {2}}} )
  3. ( sqrt [4] { dfrac {32 a ^ {9} b ^ {7}} {162 a ^ {3} b ^ {3}}} )
Respuesta
  1. ( dfrac {2 | m | sqrt {3}} {5 left | n ^ {3} right |} )
  2. ( dfrac {3 x y sqrt [3] {x ^ {2}}} {5} )
  3. ( dfrac {2 | a b | sqrt [4] {a ^ {2}}} {3} )

En el siguiente ejemplo, no hay nada que simplificar en los denominadores. Dado que el índice de los radicales es el mismo, podemos usar el Propiedad del cociente de nuevo, para combinarlos en un solo radical. Luego miraremos para ver si podemos simplificar la expresión.

Ejemplo ( PageIndex {13} )

Simplificar:

  1. ( dfrac { sqrt {48 a ^ {7}}} { sqrt {3 a}} )
  2. ( dfrac { sqrt [3] {- 108}} { sqrt [3] {2}} )
  3. ( dfrac { sqrt [4] {96 x ^ {7}}} { sqrt [4] {3 x ^ {2}}} )

Solución:

un.

( dfrac { sqrt {48 a ^ {7}}} { sqrt {3 a}} )

El denominador no se puede simplificar, así que use la propiedad del cociente para escribir como un radical.

( sqrt { dfrac {48 a ^ {7}} {3 a}} )

Simplifica la fracción debajo del radical.

( sqrt {16 a ^ {6}} )

Simplificar.

(4 left | a ^ {3} right | )

B.

( dfrac { sqrt [3] {- 108}} { sqrt [3] {2}} )

El denominador no se puede simplificar, así que use la propiedad del cociente para escribir como un radical.

( sqrt [3] { dfrac {-108} {2}} )

Simplifica la fracción debajo del radical.

( sqrt [3] {- 54} )

Reescribe el radicando como un producto usando factores cúbicos perfectos.

( sqrt [3] {(- 3) ^ {3} cdot 2} )

Reescribe el radical como el producto de dos radicales.

( sqrt [3] {(- 3) ^ {3}} cdot sqrt [3] {2} )

Simplificar.

C.

( dfrac { sqrt [4] {96 x ^ {7}}} { sqrt [4] {3 x ^ {2}}} )

El denominador no se puede simplificar, así que use la propiedad del cociente para escribir como un radical.

( sqrt [4] { dfrac {96 x ^ {7}} {3 x ^ {2}}} )

Simplifica la fracción debajo del radical.

( sqrt [4] {32 x ^ {5}} )

Reescribe el radicando como un producto usando factores de potencia de cuarto perfecto.

( sqrt [4] {16 x ^ {4}} cdot sqrt [4] {2 x} )

Reescribe el radical como el producto de dos radicales.

( sqrt [4] {(2 x) ^ {4}} cdot sqrt [4] {2 x} )

Simplificar.

(2 | x | sqrt [4] {2 x} )

Pruébelo ( PageIndex {25} )

Simplificar:

  1. ( dfrac { sqrt {98 z ^ {5}}} { sqrt {2 z}} )
  2. ( dfrac { sqrt [3] {- 500}} { sqrt [3] {2}} )
  3. ( dfrac { sqrt [4] {486 m ^ {11}}} { sqrt [4] {3 m ^ {5}}} )
Respuesta
  1. (7z ^ {2} )
  2. (- 5 sqrt [3] {2} )
  3. (3 | m | sqrt [4] {2 m ^ {2}} )

Pruébelo ( PageIndex {26} )

Simplificar:

  1. ( dfrac { sqrt {128 m ^ {9}}} { sqrt {2 m}} )
  2. ( dfrac { sqrt [3] {- 192}} { sqrt [3] {3}} )
  3. ( dfrac { sqrt [4] {324 n ^ {7}}} { sqrt [4] {2 n ^ {3}}} )
Respuesta
  1. (8m ^ {4} )
  2. (-4)
  3. (3 | n | sqrt [4] {2} )

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica con la simplificación de expresiones radicales.

  • Simplificar la raíz cuadrada y la raíz cúbica con variables
  • Expresar un radical en forma simplificada: raíces cuadradas y cúbicas con variables y exponentes
  • Simplificando raíces cúbicas

Conceptos clave

  • Expresión radical simplificada
    • Para números reales (a, m ) y (n≥2 )
      ( sqrt [n] {a} ) se considera simplificado si (a ) no tiene factores de (m ^ {n} )
  • Propiedad del producto de (n ^ {th} ) raíces
    • Para cualquier número real, ( sqrt [n] {a} ) y ( sqrt [n] {b} ), y para cualquier entero (n≥2 )
      ( sqrt [n] {ab} = sqrt [n] {a} cdot sqrt [n] {b} ) y ( sqrt [n] {a} cdot sqrt [n] { b} = sqrt [n] {ab} )
  • Cómo simplificar una expresión radical usando la propiedad del producto
    1. Encuentre el factor más grande en el radicando que sea una potencia perfecta del índice.
      Reescribe el radicando como un producto de dos factores, usando ese factor.
    2. Usa la regla del producto para reescribir el radical como el producto de dos radicales.
    3. Simplifica la raíz del poder perfecto.
  • Propiedad del cociente de expresiones radicales
    • Si ( sqrt [n] {a} ) y ( sqrt [n] {b} ) son números reales, (b ≠ 0 ), y para cualquier número entero (n≥2 ) entonces , ( sqrt [n] { dfrac {a} {b}} = dfrac { sqrt [n] {a}} { sqrt [n] {b}} ) y ( dfrac { sqrt [n] {a}} { sqrt [n] {b}} = sqrt [n] { dfrac {a} {b}} )
  • Cómo simplificar una expresión radical usando la propiedad del cociente.
    1. Simplifique la fracción en el radicando, si es posible.
    2. Usa la propiedad del cociente para reescribir el radical como el cociente de dos radicales.
    3. Simplifica los radicales en el numerador y el denominador.

8.2 Simplificar expresiones radicales

Simplificaremos expresiones radicales de una manera similar a como simplificamos fracciones. Una fracción se simplifica si no hay factores comunes en el numerador y denominador. Para simplificar una fracción, buscamos cualquier factor común en el numerador y denominador.

Expresión radical simplificada

Para números reales a y metroy n ≥ 2, n ≥ 2,

Para simplificar expresiones radicales, también usaremos algunas propiedades de las raíces. Las propiedades que usaremos para simplificar expresiones radicales son similares a las propiedades de los exponentes. Sabemos que (a b) n = a n b n. (a b) n = a n b n. El correspondiente de la propiedad del producto de las raíces dice que a b n = a n · b n. a b norte = a norte · b n.

Propiedad del producto de norte th Raíces

Usamos la propiedad del producto de las raíces para eliminar todos los factores cuadrados perfectos de una raíz cuadrada.

Ejemplo 8.13

Simplificar raíces cuadradas usando la propiedad del producto de raíces

Solución

Tenga cuidado de escribir su número entero para que no se confunda con el índice. La expresión 7 2 7 2 es muy diferente de 2 7. 2 7.

Cómo

Simplifique una expresión radical usando la propiedad del producto.

  1. Paso 1. Encuentre el factor más grande en el radicando que sea una potencia perfecta del índice. Reescribe el radicando como un producto de dos factores, usando ese factor.
  2. Paso 2. Usa la regla del producto para reescribir el radical como el producto de dos radicales.
  3. Paso 3. Simplifique la raíz del poder perfecto.

Aplicaremos este método en el siguiente ejemplo. Puede ser útil tener una tabla de cuadrados perfectos, cubos y cuartas potencias.

Ejemplo 8.14

Solución

El siguiente ejemplo es muy parecido a los ejemplos anteriores, pero con variables. No olvide utilizar los signos de valor absoluto al sacar una raíz par de una expresión con una variable en el radical.

Ejemplo 8.15

Solución

Seguimos el mismo procedimiento cuando hay un coeficiente en el radicando. En el siguiente ejemplo, tanto la constante como la variable tienen factores de cuadrados perfectos.

Ejemplo 8.16

Solución

En el siguiente ejemplo, continuamos usando los mismos métodos aunque hay más de una variable debajo del radical.

Ejemplo 8.17

Solución

Ejemplo 8.18

Solución

Hemos visto cómo usar el orden de las operaciones para simplificar algunas expresiones con radicales. En el siguiente ejemplo, tenemos la suma de un número entero y una raíz cuadrada. Simplificamos la raíz cuadrada, pero no podemos agregar la expresión resultante al número entero, ya que un término contiene un radical y el otro no. El siguiente ejemplo también incluye una fracción con un radical en el numerador. Recuerda que para simplificar una fracción necesitas un factor común en el numerador y denominador.

Ejemplo 8.19

Solución

Los términos no se pueden agregar ya que uno tiene un radical y el otro no. Intentar sumar un entero y un radical es como intentar sumar un entero y una variable. ¡No son términos semejantes!

Utilice la propiedad del cociente para simplificar expresiones radicales

Siempre que tenga que simplificar una expresión radical, el primer paso que debe dar es determinar si el radicando es una potencia perfecta del índice. Si no es así, verifique el numerador y el denominador en busca de factores comunes y elimínelos. Puede encontrar una fracción en la que tanto el numerador como el denominador sean potencias perfectas del índice.

Ejemplo 8.20

Solución

En el último ejemplo, nuestro primer paso fue simplificar la fracción debajo del radical eliminando los factores comunes. En el siguiente ejemplo usaremos la propiedad del cociente para simplificar bajo el radical. Dividimos las bases semejantes restando sus exponentes,

Ejemplo 8.21

Solución

¿Recuerda el cociente de una propiedad de potencia? Decía que podíamos elevar una fracción a una potencia elevando el numerador y el denominador a la potencia por separado.

Podemos usar una propiedad similar para simplificar la raíz de una fracción. Después de eliminar todos los factores comunes del numerador y denominador, si la fracción no es una potencia perfecta del índice, simplificamos el numerador y el denominador por separado.

Propiedad del cociente de expresiones radicales

Ejemplo 8.22

Cómo simplificar el cociente de expresiones radicales

Solución

Cómo

Simplifique una raíz cuadrada usando la propiedad del cociente.

  1. Paso 1. Simplifique la fracción en el radicando, si es posible.
  2. Paso 2. Usa la propiedad del cociente para reescribir el radical como el cociente de dos radicales.
  3. Paso 3. Simplifique los radicales en el numerador y el denominador.

Ejemplo 8.23

Solución

Asegúrese de simplificar primero la fracción en el radicando, si es posible.

Ejemplo 8.24

Solución

En el siguiente ejemplo, no hay nada que simplificar en los denominadores. Dado que el índice de los radicales es el mismo, podemos usar la propiedad del cociente nuevamente para combinarlos en un solo radical. Luego miraremos para ver si podemos simplificar la expresión.

Ejemplo 8.25

Solución

Medios de comunicación

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica con la simplificación de expresiones radicales.

Sección 8.2 Ejercicios

La práctica hace la perfección

Utilice la propiedad del producto para simplificar expresiones radicales

En los siguientes ejercicios, use la propiedad del producto para simplificar expresiones radicales.

En los siguientes ejercicios, simplifique el uso de signos de valor absoluto según sea necesario.

Utilice la propiedad del cociente para simplificar expresiones radicales

En los siguientes ejercicios, use la propiedad del cociente para simplificar las raíces cuadradas.

Ejercicios de escritura

Explica cómo sabes que x 10 5 = x 2. x 10 5 = x 2.

Autocomprobación

Ⓐ Después de completar los ejercicios, use esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

Ⓑ Después de revisar esta lista de verificación, ¿qué hará para tener confianza en todos los objetivos?

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    Si está redistribuyendo todo o parte de este libro en formato impreso, debe incluir en cada página física la siguiente atribución:

  • Utilice la siguiente información para generar una cita. Recomendamos utilizar una herramienta de citas como esta.
    • Autores: Lynn Marecek, Andrea Honeycutt Mathis
    • Editor / sitio web: OpenStax
    • Título del libro: Álgebra intermedia 2e
    • Fecha de publicación: 6 de mayo de 2020
    • Ubicación: Houston, Texas
    • URL del libro: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/1-introduction
    • URL de la sección: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/8-2-simplify-radical-expressions

    © 21 de enero de 2021 OpenStax. El contenido de los libros de texto producido por OpenStax tiene una licencia Creative Commons Attribution License 4.0. El nombre OpenStax, el logotipo de OpenStax, las portadas de libros de OpenStax, el nombre de OpenStax CNX y el logotipo de OpenStax CNX no están sujetos a la licencia Creative Commons y no pueden reproducirse sin el consentimiento previo y expreso por escrito de Rice University.


    La raíz cuadrada de un entero positivo que no es un cuadrado perfecto es siempre un número irracional. La representación decimal de tal número pierde precisión cuando se redondea, y se requiere mucho tiempo para calcular sin la ayuda de una calculadora. En lugar de usar la representación decimal, la forma estándar de escribir tal número es usar la forma radical simplificada, que implica escribir el radical sin cuadrados perfectos como factores del número debajo del símbolo de la raíz.

    El proceso para poner una raíz cuadrada en forma radical simplificada implica encontrar factores cuadrados perfectos y luego aplicar la identidad a b = a × b sqrt= sqrt times sqrt a b

    , Lo que nos permite sacar la raíz de los factores cuadrados perfectos.

    Del mismo modo, las raíces de mayor grado (raíces cúbicas, cuartos, etc.) se simplifican cuando no tienen factores debajo del radical que sean potencias perfectas del mismo grado que el radical.


    5.2: Simplificar Expresiones Radicales - Matemáticas

    ¿Cómo simplificas una expresión variable?
    ¿Cómo usa la propiedad distributiva para simplificar expresiones?


    A término es una constante o una variable en una expresión. Un término variable es un producto de números y variables, como 2x o 3y. Los términos variables tienen un coeficiente numérico. La parte numérica de un término variable es la coeficiente .

    Ejemplo: En el término variable 2x,
    2 es el coeficiente
    X es la variable
    y 2x significa "2 por x"

    Caso especial: en el término variable x, el coeficiente es 1 (porque "x" es lo mismo que "1x")

    El coeficiente de 6x es 6, el coeficiente de -4y 2 es -4 y el coeficiente de x es 1.

    Los términos están separados por suma (+) o resta (-).
    En la expresión 12 + 3x + 2x 2, los 3 términos son 12, 3x y 2x 2.
    En la expresión 5x - 12, los 2 términos son 5x y -12.


    Términos similares son términos que tienen la mismo variables (y los mismos exponentes para esas variables.)
    El coeficientes no importa, solo la (s) variable (s).

    Estos son términos semejantes: 2x y 3x, 5 y 7, -5y y 13y, 5k y -k, -7 y 0, 5x 3 y -19x 3

    Estos son NO términos semejantes: 2x y 6, 4x y 5y, 3y y 5k, 4m 3 y 4m 5


    Combinando términos similares
    One part of simplifying an expression is combining like terms. This is done by adding or subtracting the coefficients of like terms. ONLY like terms can be combined.

    Example: 2x + 3x + 7 can be simplified and written as 5x + 7 because 2x+3x = (2+3)x = 5x. 5x and 7 can not be combined because they are NOT like terms.

    Example: 5m + 6p – 7 + 4p – 2m – 8 can be simplified and written as 3m +10p – 15 because
    5m and -2m is 3m
    6p and 4p is 10p
    -7 and -8 is -15


    Some expressions contain parentheses that must be removed before combining like terms.

    The Distributive Property: a(b+c) = ab + ac

    The distributive property allows you to remove parentheses from around an algebraic expression by multiplying every term inside the parentheses by the number outside.

    Ejemplos:
    2(3x+5) can be rewritten as 6x+10 because 2•3x=6x and 2•5=10.
    3(4x-6) can be rewritten as 12x-18 because 3•4x=12x and 3•-6=-18.
    -(4m+5) can be rewritten as -4m-5 because -1•4m=-4m and -1•5=-5. -(4m+5) is the same as -1(4m+5)

    Para simplifyan expression means to write the expression with 1) NO parentheses and 2) NO like terms!
    1st: Get rid of any parentheses using the distributive property.
    2nd: Combine any like terms.

    Ejemplo: Simplify 4(3x+2)+5x-9


    Questions (with solutions given below)

    DO NOT use the calculator to answer the follwoing questions

    Part 1 - Given the following:
    ( 2^6 = 64 ) , ( 3^5 = 243 ) , ( 5^3 = 125 ), ( 0^7 = 0 ), ( 1^ <20>= 1 ), ( 2^9 = 512 ), ( 5^5 = 3125 ), ( 10^5 = 100000 ) , ( 0.1^3 = 0.001 )
    find the values of the following:
    ( sqrt <512>) , ( sqrt[5] <3125>) , ( sqrt[5] <243>) , ( sqrt[6] <64>) , ( sqrt[3] <0.001>) , ( sqrt[20] <1>) , ( sqrt[5] <100000>) , ( sqrt[7] <0>) , ( sqrt[3] <125>)

    Part 2 - Given the following:
    ( sqrt <64>= 8 ) , ( sqrt[5] <7776>= 6) , ( sqrt[3] <1000>= 10 ) , ( sqrt[7] <128>= 2) , ( sqrt[7] <0.0000001>= 0.1) , ( sqrt <10000>= 100) , ( sqrt[4] <20736>= 12) , ( sqrt[9] <512>= 2)
    find the values of the following:
    ( 2^7 ) , ( 0.1^7 ) , ( 6^5 ) , ( 8^2 ) , ( 2^9 ) , ( 12^4 ) , ( 10^3 ) ( 100^2 )

    Part 3 - Simplify the following:
    ( sqrt <5^2>) , ( (sqrt[5]<3>)^5) , ( sqrt[3] <10^3>) , ( (sqrt[7]<128>)^7 )


    Simplifying Radical Expressions – Example 1:

    Find the square root of (sqrt<144x^2 >).

    Find the factor of the expression (144x^2: 144=12×12) and (x^2=x×x), now use radical rule: (sqrt[n]=a), Then: (sqrt<12^2 >=12) and (sqrt =x) Finally: (sqrt<144x^2>=sqrt<12^2>×sqrt=12×x=12x)

    Simplifying Radical Expressions – Example 2:

    Write this radical in exponential form. (sqrt[3])

    To write a radical in exponential form, use this rule: (sqrt[n]=x^>) Then: (sqrt[3]=x^<3>>)

    Simplifying Radical Expressions – Example 3:

    First factor the expression (8x^3: 8x^3=2^3×x×x ×x), we need to find perfect squares: (8x^3=2^2×2×x^2×x=2^2×x^2×2x), Then: (sqrt <8x^3 >=sqrt<2^2 ×x^2>×sqrt<2x>)
    Now use radical rule: (sqrt[n]=a), Then: (sqrt<2^2 ×x^2 >×sqrt<(2x)>=2x×sqrt<2x>=2xsqrt<2x>)


    Multiplication and Division of Radical Expressions

    Note&emsp&emsp&emsp&emspThe final radical must be in standard form.

    &emsp&emspTo multiply one radical by a radical expression of more than one term, we use the distributive law: a(b+c)=ab+ac .

    EXAMPLE&emsp&emspMultiply 3root(2)(5root(6)-2root(10)) and simplify.

    Solution&emsp&emsp 3root(2)(5root(6)-2root(10))

    EXAMPLE&emsp&emspMultiply 2root(3xy)(4root(x)-3root(y)) and simplify.

    Solution&emsp&emsp 2root(3xy)(4root(x)-3root(y))

    &emsp&emspTo multiply two radical expressions, each with more than one term, follow the same arrangement as in multiplying polynomials.

    EXAMPLE&emsp&emspMultiply (2root(3)-4root(2)) by (3root(3)+root(2)) and simplify.

    &emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp

    EXAMPLE&emsp&emspMultiply root(3x)-root(2y) by 5root(3x)+2root(2y) and simplify.

    &emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp

    EXAMPLE&emsp&emspExpand (root(x+3)+root(x-2))^2 and simplify.

    &emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp

    Let&rsquos see how our math solver simplifies this and similar problems. Click on "Solve Similar" button to see more examples.

    &emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp (root(a)+root(b))^2=(root(a)+root(b))(root(a)+root(b))=a+2root(ab)+b &emsp&emspWhen the radicals have different indices, we apply the rule root(n,a^m)=root(nk,a^mk) to make the indices the same as their LCM and then apply root(n,a)root(n,b)=root(n,ab) .

    EXAMPLES&emsp&emsp1. root(3)root(3,3^2) = root(6,3^3)root(6,3^7)=root(6,3^7)=3root(6,3)

    10.5&emsp&emspDivision of Radical Expressions

    THEOREM&emsp&emspWhen a,b &isin R,a>0,b>0 , and n &isin N , then root(n,a)/root(n,b)=root(n,a/b) .

    &emsp&emspRadical expressions can be divided according to the above theorem only when the radical indices are the same. For different radical indices, the preliminary step to make them the same must be carried out.

    EXAMPLES&emsp&emsp1. root(15)/root(5)=root(15/5)=root(3)

    &emsp&emsp Sometimes the numerator of a fractional radicand is not an exact multiple of the denominator, for example root(3/2) To simplify such a radical, multiply both numerator and denominator of the radicand by the smallest number that will make the denominator a perfect root.

    Note&emsp&emsp&emsp&emspThe denominator is a perfect root if the exponent of each factor is an integral multiple of the radical index.

    &emsp&emspTo simplify root(3/2) multiply the numerator and denominator of the radicand by 2 .

    &emsp&emspIt is easier to manipulate 1/2 root(6) than root(3/2) .

    Remark&emsp&emspWhen the radical expression is of the form a/(b&radicc) , multiply the numerator and the denominator by root(c) .

    EXAMPLE&emsp&emspDivide root(15) by root(21) and put in standard form.

    Solution&emsp&emsp root(15)/root(21)=root(15/21)=root(5/7)=root((5*7)/(7*7))=1/7root(35)

    EXAMPLE&emsp&emspDivide root(3xy) by root(4a^3b) and put in standard form.

    Solution&emsp&emsp root(3xy)/root(4a^3b)=root((3xy)/(2^2a^3b))=root((3xy)/(2^2a^4b)*(ab)/(ab))

    EXAMPLE&emsp&emspPut root((3a^2b^3)/(20xy^5)) in standard form.

    Solution&emsp&emsp root((3a^2b^3)/(20xy^5)) = root((3a^2b^3)/(2^2*5xy^5)*(5xy)/(5xy)

    EXAMPLE&emsp&emspDivide root(3,3) by root(3,20) and put in standard form.

    Solution&emsp&emsp root(3,3)/root(3,20)=root(3,3/(2^2*5))=root(3,3/(2^2*5)*(2*5^2)/(2*5^2)

    EXAMPLE&emsp&emspPut root(3,(81x^6y^7)/(8a^8b^10) in standard form.

    Solution&emsp&emsp root(3,(81x^6y^7)/(8a^8b^10) = root(3,(3^4x^6y^7)/(2^3a^8b^10))=root(3,(3^4x^6y^7)/(2^3a^8b^10)*(ab^2)/(ab^2))

    &emsp&emspThe definition of addition of fractions, (a+b)/c=a/c+b/c , is used to divide a radical expression with more than one term by a one-term radical.

    EXAMPLE&emsp&emspDivide and simplify (3root(6)-6root(10))/(3root(2)) .

    Solution&emsp&emsp (3root(6)-6root(10))/(3root(2))

    EXAMPLE&emsp&emspDivide and simplify (root(7x)-root(2y))/root(14xy) .

    Solution&emsp&emsp (root(7x)-root(2y))/root(14xy)

    &emsp&emspWhen we multiply the radical expressions (root(a)+root(b)) and (root(a)-root(b)) , we have get the rational expression (a-b) . Each of the expressions (root(a)+root(b)) and (root(a)-root(b)) is called a rationalizing factor of other.

    EXAMPLES&emsp&emsp1. root(2)-root(3) is a rationalizing factor of root(2)+root(3) .

    &emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp 2. 2+3root(2) is a rationalizing factor of 2-3root(2) .

    &emsp&emspTo facilitate the manipulation with a radical expression such as (root(2)+root(3))/(2root(2)+root(3)) , we change the fraction to an equivalent one with a rational denominator. This can be accomplished by multiplying both numerator and denominator by the rationalizing factor of the denominator, 2root(2)-root(3) .

    &emsp&emspThis operation is called rationalizing the denominator

    EXAMPLE&emsp&emspRationalize the denominator of root(2)/(2-root(3)) .

    Solution&emsp&emsp root(2)/(2-root(3))

    EXAMPLE&emsp&emspRationalize the denominator of (root(2)+root(3))/(2root(2)+root(3)) .

    Solution&emsp&emsp (root(2)+root(3))/(2root(2)+root(3))

    Let&rsquos see how our math solver simplifies this and similar problems. Click on "Solve Similar" button to see more examples.


    Add Radicals

    Adding radicals is very simple action. There is only one thing you have to worry about, which is a very standard thing in math. You can’t add radicals that have different index or radicand. The only thing you can do is match the radicals with the same index and radicands and add them together.

    Summation is done in a very natural way so $sqrt[3] <2>+ sqrt[3] <2>= 2sqrt[3]<2>$

    But summations like $sqrt[3] <2>+ sqrt[4]<2725>$ can’t be done, and you simply leave it just the way it is.


    Simplify the following radical expression 

    First we have to split the given numbers inside the radical as much as possible.

    Here we have to keep √30 as it is.

    Simplify the following radical expression 

    First we have to split the given numbers inside the radical as much as possible

    =  √(3 x 3 x 3) + √(5 x 3 x 7) +   √(3 x 3 x 3 x 2 x 2) - √(5 x 5 x 3) 

    Simplify the following radical expression 

    First we have to split the given numbers inside the radical as much as possible.

    =  √(3 x 3 x 5) + √(2 x 2 x 5) +  √(5 x 2 x 2 x 2 x 2) - √(5 x 2 x 2 x 2) 

    Simplify the following radical expression 

    First we have to split the given numbers inside the radical as much as possible

     =  3 √5 + 2 √(5 x 19) + 3 √(3 x 3 x 13) - √(3 x 2 x 13)

    Simplify the following radical expression

    First we have to split the given numbers inside the radical as much as possible.

      =  3 √(2 x 2 x 2 x 2 x 2) - 2 √(2 x 2 x 2) + √(5 x 5 x 2) 

    Simplify the following radical expression

    First we have to split the given numbers inside the radical as much as possible.

      =  2√(2 x 2 x 3) - 3√(3 x 3 x 3) -  √(3 x 3 x 3 x 3 x 3) 

    Simplify the following radical expression

    First we have to split the given numbers inside the radical as much as possible.

    = √(2 x 3 x 3 x 3)-√(5 x 5 x 5 x 5 x 2 x 2)- √(3 x 2 x 2 x 2)

      =  3 √(3 x 2) - (5 x 5 x 2) - (2 x 2) √(2 x 3)

    Simplify the following radical expression

      =  √(5 x 3 x 3) - √(5 x 5) -  √(5 x 2 x 2 x 2 x 2)

    Simplify the following radical expression

    First we have to split the given numbers inside the radical as much as possible.

      =  5 √95  -  2 √(2 x 5 x 5) - 3 √(3 x 3 x 2 x 2 x 5) 

      =  5 √95 - (2 x 5) √2 - (3 x 2 x 3 )√5

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    Simplifying Radicals Expressions with Imperfect Square Radicands

    Imperfect squares are the opposite of perfect squares. As radicands, imperfect squares don’t have an integer as its square root. Instead, the square root would be a number which decimal part would continue on endlessly without end and won’t show any repeating pattern. Aquí hay unos ejemplos:

    As you can see, the decimal part of these square roots won’t repeat nor terminate. These numbers can’t even be expressed accurately with fractions of integers. How do we simplify them? To tell you the truth, it’s quite simple.

    How did we do it? Well, in reality, there’s another property of radical expressions, which is the Regla del producto of radical expressions.

    The Product Rule of Radical Expressions

    The Product Rule indicates radical expression behavior. That is, if two or more radical expressions with the same index—let’s say norte—are multiplied, the result would be equal to the radical expression of the product between the previous radicands, with the index of norte. To understand it better, consider the equation below:

    With this rule, we can more easily simplify radical expressions that are seemingly complicated like before. Let’s deepen our understanding with a few more examples.

    From the equation above, we separate the radicand (72) into three different numbers (4, 9, and 2). Afterward, we put each of the numbers into its own radical expressions, then grouped them again into a more manageable form, which is ​​.

    There are multiple ways of simplifying ​. Can you find the different methods of solving it? Try it!

    Once you’ve done, take a look at this one.

    The problem is similar to the one before. The only difference is that we split apart the 4s into two 2s for each, giving it more explanations as to how the radical expressions with the radicands of 4 are simplified.

    The Quotient Rule of Radical Expressions

    El Regla del cociente denotes the property of radicals differently. That is, the division between two or more radical expressions with the same index—let’s say norte—is always equal to the radical expression of the quotient between the previous radicands, with the index of norte. Look at the following:

    Well, looking simply at the definition will hardly do any good. Let’s sharpen our calculation skill with a couple of examples:

    Voila! The rather convoluted expression of ​ is easily solved using the rule.

    Let’s take a look at a more difficult problem:

    This time, the road we took is longer but it’s actually not that different. Look at the process and you’ll see that it only takes simple calculations.

    In case you are wondering, we multiply the equation with ​ to rationalize the denominator.​ equals 1, so the figure won’t change the underlying value of the equation if multiplied with it.


    Ver el vídeo: Απλοποίηση κλασμάτων Παπούλας Νίκος (Octubre 2021).