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2.7: Contraejemplos - Matemáticas


No todas las deducciones son válidas. Para mostrar que una deducción particular es no válida, debe demostrar que es posible que su conclusión sea falsa al mismo tiempo que todas sus hipótesis son verdaderas. Para hacer esto, debe encontrar una asignación a las variables que haga que todas las hipótesis sean verdaderas, pero que la conclusión sea falsa.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Demuestre que la deducción [A lor B, quad A Rightarrow B, quad por lo tanto A ] no es válida.

Pista:

Para que la conclusión sea falsa, dejamos que (A ) sea falsa. Entonces, para que la primera hipótesis sea verdadera, debemos dejar que (B ) sea verdadera. Afortunadamente, esto también hace que la segunda hipótesis sea cierta.

Solución

Sea (A ) falso y sea (B ) verdadero. Luego

[A lor B = mathsf {F} lor mathsf {T} = mathsf {T} ]

y [A Rightarrow B = mathsf {F} Rightarrow mathsf {T} = mathsf {T}, ]

por lo que ambas hipótesis de la deducción son verdaderas. Sin embargo, la conclusión de la deducción (es decir, (A )) es falsa.

Dado que tenemos una situación en la que ambas hipótesis de la deducción son verdaderas, pero la conclusión de la deducción es falsa, la deducción no es válida.

Cualquier situación en la que todas las hipótesis de una deducción sean verdaderas, pero la conclusión sea falsa, se denomina contraejemplo de la deducción.

[ text {Para mostrar que una deducción no es válida, encuentre un contraejemplo.} ]

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Demuestre que cada una de estas deducciones es inválida, encontrando un contraejemplo.

  1. (A lor B ), (A Flecha derecha B )
  2. (P lor Q ), (P & Q )
  3. (A Rightarrow (B & C) ), ( lnot A Rightarrow (B lor C) ), (C )
  4. (P Rightarrow Q ), ( lnot P Rightarrow R ), (Q & (P lor R) )


Ver el vídeo: Matemáticas discretas I Clase 10 11 Demostración por contraejemplo (Octubre 2021).