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8.10: División de polinomios: matemáticas


División de un polinomio por un monomio

Los siguientes ejemplos ilustran cómo dividir un polinomio por un monomio. El proceso de división es bastante simple y se basa en la suma de expresiones racionales.

( dfrac {a} {c} + dfrac {b} {c} = dfrac {a + b} {c} )

Dando la vuelta a esta ecuación obtenemos

( dfrac {a + b} {c} = dfrac {a} {c} + dfrac {b} {c} )

Ahora simplemente dividimos (c ) en (a ) y (c ) en (b ). Esto debería sugerir una regla.

División de un polinomio por un monomio

Para dividir un polinomio por un monomio, divida cada término del polinomio por el monomio.

Conjunto de muestra A

Ejemplo ( PageIndex {1} )

( dfrac {3x ^ 2 + x - 11} {x} ). Dividir cada término de (3x ^ 2 + x - 11 ) por (x ).

( dfrac {3x ^ 2} {x} + dfrac {x} {x} - dfrac {11} {x} = 3x + 1 - dfrac {11} {x} )

Ejemplo ( PageIndex {2} )

( dfrac {8x ^ 3 + 4a ^ 2 - 16a + 9} {2a ^ 2}. Divide cada término de (8a ^ 3 + 4a ^ 2 - 16a + 9 ) por (2a ^ 2 ) .

Ejemplo ( PageIndex {3} )

( dfrac {4b ^ 6 - 9b ^ 4 - 2b + 5} {- 4b ^ 2} ). Dividir cada término de (4b ^ 6 - 9b ^ 4 - 2b + 5 ) por (- 4b ^ 2 ).

( dfrac {4b ^ 6} {- 4b ^ 2} - dfrac {9b ^ 4} {- 4b ^ 2} - dfrac {2b} {- 4b ^ 2} + dfrac {5} {- 4b ^ 2} = -b ^ 4 + dfrac {9} {4} b ^ 2 + dfrac {1} {2b} - dfrac {5} {4b ^ 2} )

Conjunto de práctica A

Realice las siguientes divisiones.

Problema de práctica ( PageIndex {1} )

( dfrac {2x ^ 2 + x - 1} {x} )

Respuesta

(2x + 1 - dfrac {1} {x} )

Problema de práctica ( PageIndex {2} )

( dfrac {3x ^ 3 + 4x ^ 2 + 10x - 4} {x ^ 2} )

Respuesta

(3x + 4 + dfrac {10} {x} - dfrac {4} {x ^ 2} )

Problema de práctica ( PageIndex {3} )

( dfrac {a ^ 2b + 3ab ^ 2 + 2b} {ab} )

Respuesta

(a + 3b + dfrac {2} {a} )

Problema de práctica ( PageIndex {4} )

( dfrac {14x ^ 2y ^ 2 - 7xy} {7xy} )

Respuesta

(2xy − 1 )

Problema de práctica ( PageIndex {5} )

( dfrac {10m ^ 3n ^ 2 + 15m ^ 2n ^ 3 - 20mn} {- 5m} )

Respuesta

(- 2m ^ 2n ^ 2 - 3mn ^ 3 + 4n )

El proceso de división

En la sección 8.3 estudiamos el método de reducción de expresiones racionales. Por ejemplo, observamos cómo reducir una expresión como

( dfrac {x ^ 2 - 2x - 8} {x ^ 2 - 3x - 4} )

Nuestro método consistía en factorizar tanto el numerador como el denominador y luego dividir los factores comunes.

( dfrac {(x-4) (x + 2)} {(x-4) (x + 1)} )

( dfrac { cancel {(x-4)} (x + 2)} { cancel {(x-4)} (x + 1)} )

( dfrac {x + 2} {x + 1} )

Cuando el numerador y el denominador no tienen factores en común, la división aún puede ocurrir, pero el proceso es un poco más complicado que simplemente factorizar. El método de dividir un polinomio por otro es muy parecido al de dividir un número por otro. Primero, revisaremos los pasos para dividir números.

( dfrac {35} {8} ). Debemos dividir 35 entre 8.

Intentamos 4, ya que 32 dividido entre 8 es 4.

Multiplica 4 por 8

Restar 32 de 35

Dado que el resto 3 es menor que el divisor 8, hemos terminado con la división 32.

(4 dfrac {3} {8} ). El cociente se expresa como un número mixto.

El proceso consistió en dividir, multiplicar y restar.

Revisión de la resta de polinomios

Un paso muy importante en el proceso de dividir un polinomio por otro es la resta de polinomios. Repasemos el proceso de resta observando algunos ejemplos.

1. Reste (x -2 ) de (x-5 ); es decir, encuentre ((x-5) - (x-2) ).

Dado que (x-2 ) está precedido por un signo menos, elimine el paréntesis, cambie el signo de cada término y luego agregue.

( begin {array} {flushleft}
x-5 && x-5
- (x-2) && -x + 2
text {_______} & = & text {_______}
&&-3
end {matriz} )

El resultado es (- 3 )

2. Reste (x ^ 3 + 3x ^ 2 ) de (x ^ 3 + 4x ^ 2 + x - 1 ).

Dado que (x ^ 3 + 3x ^ 2 ) está precedido por un signo menos, elimine el paréntesis, cambie el signo de cada término y luego agregue.

( begin {array} {flushleft}
x ^ 3 + 4x ^ 2 + x - 1 && x ^ 3 + 4x ^ 2 + x - 1
- (x ^ 3 + 3x ^ 2) && -x ^ 3 - 3x ^ 2
text {_______________} & = & text {_______________}
&& x ^ 2 + x - 1
end {matriz} )

El resultado es (x ^ 2 + x - 1 )

3. Reste (x ^ 2 + 3x ) de (x ^ 2 + 1 )

Podemos escribir (x ^ 2 + 1 ) como (x ^ 2 + 0x + 1 ).

( begin {array} {flushleft}
x ^ 2 + 1 && x ^ 2 + 0x + 1 && x ^ 2 + 0x + 1
- (x ^ 2 + 3x) && - (x ^ 2 + 3x) && -x ^ 2 - 3x
text {____________} & = & text {____________} & = & text {____________}
&&&& -3x + 1
end {matriz} )

División de un polinomio por un polinomio

Ahora observaremos algunos ejemplos de dividir un polinomio por otro. El proceso es el mismo que se utiliza con los números enteros: dividir, multiplicar, restar, dividir, multiplicar, restar, ....

La división, la multiplicación y la resta se llevan a cabo de un término a la vez. El proceso concluye cuando el resto del polinomio es de menor grado que el divisor del polinomio.

Conjunto de muestra B

Realiza la división.

Ejemplo ( PageIndex {4} )

( dfrac {x-5} {x-2} ). Debemos dividir (x-5 ) entre (x-2 ).

(1 - dfrac {3} {x-2} )

Por lo tanto,

( dfrac {x-5} {x-2} = 1 - dfrac {3} {x-2} )

Ejemplo ( PageIndex {5} )

( dfrac {x ^ 3 + 4x ^ 2 + x - 1} {x + 3} ). Debemos dividir (x ^ 3 + 4x ^ 2 + x - 1 ) entre (x + 3 ).

(x ^ 2 + x - 2 + dfrac {5} {x + 3} )

Por lo tanto,

( dfrac {x ^ 3 + 4x ^ 2 + x - 1} {x + 3} = x ^ 2 + x - 2 + dfrac {5} {x + 3} )

Conjunto de práctica B

Realice las siguientes divisiones.

Problema de práctica ( PageIndex {6} )

( dfrac {x + 6} {x-1} )

Respuesta

(1 + dfrac {7} {x-1} )

Problema de práctica ( PageIndex {7} )

( dfrac {x ^ 2 + 2x + 5} {x + 3} )

Respuesta

(x - 1 + dfrac {8} {x + 3} )

Problema de práctica ( PageIndex {8} )

( dfrac {x ^ 3 + x ^ 2 - x - 2} {x + 8} )

Respuesta

(x ^ 2 - 7x + 55 - dfrac {442} {x + 8} )

Problema de práctica ( PageIndex {9} )

( dfrac {x ^ 3 + x ^ 2 - 3x + 1} {x ^ 2 + 4x - 5} )

Respuesta

(x - 3 + dfrac {14x - 14} {x ^ 2 + 4x - 5} = x - 3 + dfrac {14} {x + 5} )

Conjunto de muestra C

Ejemplo ( PageIndex {6} )

Dividir (2x ^ 3 - 4x + 1 ) entre (x + 6 )

( dfrac {2x ^ 3 - 4x + 1} {x + 6} ) Observa que falta el término (x ^ 2 ) en el numerador. Podemos evitar cualquier confusión escribiendo

( dfrac {2x ^ 3 + 0x ^ 2 - 4x + 1} {x + 6} ) Dividir, multiplicar y restar.

( dfrac {2x ^ 3 - 4x + 1} {x + 6} = 2x ^ 3 - 12x + 68 - dfrac {407} {x + 6} )

Conjunto de práctica C

Realice las siguientes divisiones.

Problema de práctica ( PageIndex {10} )

( dfrac {x ^ 2 - 3} {x + 2} )

Respuesta

(x - 2 + dfrac {1} {x + 2} )

Problema de práctica ( PageIndex {11} )

( dfrac {4x ^ 2 - 1} {x-3} )

Respuesta

(4x + 12 + dfrac {35} {x-3} )

Problema de práctica ( PageIndex {12} )

( dfrac {x ^ 3 + 2x + 2} {x-2} )

Respuesta

(x ^ 2 + 2x + 6 + dfrac {14} {x-2} )

Problema de práctica ( PageIndex {13} )

( dfrac {6x ^ 3 + 5x ^ 2 - 1} {2x + 3} )

Respuesta

(3x ^ 2 - 2x + 3 - dfrac {10} {2x + 3} )

Ejercicios

Para los siguientes problemas, realice las divisiones.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

( dfrac {6a + 12} {2} )

Respuesta

(3a + 6 )

Ejercicio ( PageIndex {2} )

( dfrac {12b - 6} {3} )

Ejercicio ( PageIndex {3} )

( dfrac {8y - 4} {- 4} )

Respuesta

(- 2y + 1 )

Ejercicio ( PageIndex {4} )

( dfrac {21a - 9} {- 3} )

Ejercicio ( PageIndex {5} )

( dfrac {3x ^ 2 - 6x} {- 3} )

Respuesta

(- x (x − 2) )

Ejercicio ( PageIndex {6} )

( dfrac {4y ^ 2 - 2y} {2y} )

Ejercicio ( PageIndex {7} )

( dfrac {9a ^ 2 + 3a} {2a} )

Respuesta

(3a + 1 )

Ejercicio ( PageIndex {8} )

( dfrac {20x ^ 2 + 10x} {5x} )

Ejercicio ( PageIndex {9} )

( dfrac {6x ^ 3 + 2x ^ 2 + 8x} {2x} )

Respuesta

(3x ^ 2 + x + 4 )

Ejercicio ( PageIndex {10} )

( dfrac {26y ^ 3 + 13y ^ 2 + 39y} {13y} )

Ejercicio ( PageIndex {11} )

( dfrac {a ^ 2b ^ 2 + 4a ^ 2b + 6ab ^ 2 - 10ab} {ab} )

Respuesta

(ab + 4a + 6b − 10 )

Ejercicio ( PageIndex {12} )

( dfrac {7x ^ 3y + 8x ^ 2y ^ 3 + 3xy ^ 4 - 4xy} {xy} )

Ejercicio ( PageIndex {13} )

( dfrac {5x ^ 3y ^ 3 - 15x ^ 2y ^ 2 + 20xy} {- 5xy} )

Respuesta

(- x ^ 2y ^ 2 + 3xy - 4 )

Ejercicio ( PageIndex {14} )

( dfrac {4a ^ 2b ^ 3 - 8ab ^ 4 + 12ab ^ 2} {- 2ab ^ 2} )

Ejercicio ( PageIndex {15} )

( dfrac {6a ^ 2y ^ 2 + 12a ^ 2y + 18a ^ 2} {24a ^ 2} )

Respuesta

( dfrac {1} {4} y ^ 2 + dfrac {1} {2} y + dfrac {3} {4} )

Ejercicio ( PageIndex {16} )

( dfrac {3c ^ 3y ^ 3 + 99c ^ 3y ^ 4 - 12c ^ 3y ^ 5} {3x ^ 3y ^ 3} )

Ejercicio ( PageIndex {17} )

( dfrac {16ax ^ 2 - 20ax ^ 3 + 24ax ^ 4} {6a ^ 4} )

Respuesta

( dfrac {8x ^ 2 - 10x ^ 3 + 12x ^ 4} {3a ^ 3} ) o ( dfrac {12x ^ 4 - 10x ^ 3 + 8x ^ 2} {3a ^ 2} )

Ejercicio ( PageIndex {18} )

( dfrac {21ay ^ 3 - 18ay ^ 2 - 15ay} {6ay ^ 2} )

Ejercicio ( PageIndex {19} )

( dfrac {-14b ^ 2c ^ 2 + 21b ^ 3 - 28c ^ 3} {- 7a ^ 2c ^ 3} )

Respuesta

( dfrac {2b ^ 2 - 3b ^ 3c + 4c} {a ^ 2c} )

Ejercicio ( PageIndex {20} )

( dfrac {-30a ^ 2b ^ 4 - 35a ^ 2b ^ 3 - 25a ^ 2} {- 5b ^ 3} )

Ejercicio ( PageIndex {21} )

( dfrac {x + 6} {x-2} )

Respuesta

(1 + dfrac {8} {x-2} )

Ejercicio ( PageIndex {22} )

( dfrac {y + 7} {y + 1} )

Ejercicio ( PageIndex {23} )

( dfrac {x ^ 2 - x + 4} {x + 2} )

Respuesta

(x - 3 + dfrac {10} {x + 2} )

Ejercicio ( PageIndex {24} )

( dfrac {x ^ 2 + 2x - 1} {x + 1} )

Ejercicio ( PageIndex {25} )

( dfrac {x ^ 2 - x + 3} {x + 1} )

Respuesta

(x - 2 + dfrac {5} {x + 1} )

Ejercicio ( PageIndex {26} )

( dfrac {x ^ 2 + 5x + 5} {x + 5} )

Ejercicio ( PageIndex {27} )

( dfrac {x ^ 2 - 2} {x + 1} )

Respuesta

(x - 1 - dfrac {1} {x + 1} )

Ejercicio ( PageIndex {28} )

( dfrac {a ^ 2 - 6} {a + 2} )

Ejercicio ( PageIndex {29} )

( dfrac {y ^ 2 + 4} {y + 2} )

Respuesta

(y - 2 + dfrac {8} {y + 2} )

Ejercicio ( PageIndex {30} )

( dfrac {x ^ 2 + 36} {x + 6} )

Ejercicio ( PageIndex {31} )

( dfrac {x ^ 3 - 1} {x + 1} )

Respuesta

(x ^ 2 - x + 1 - dfrac {2} {x + 1} )

Ejercicio ( PageIndex {32} )

( dfrac {a ^ 3 - 8} {a + 2} )

Ejercicio ( PageIndex {33} )

( dfrac {x ^ 3 + 3x ^ 2 + x - 2} {x-2} )

Respuesta

(x ^ 2 + 5x + 11 + dfrac {20} {x-2} )

Ejercicio ( PageIndex {34} )

( dfrac {a ^ 3 + 2a ^ 2 - a + 1} {a - 3} )

Ejercicio ( PageIndex {35} )

( dfrac {x ^ 3 + 2x + 1} {x - 3} )

Ejercicio ( PageIndex {36} )

( dfrac {y ^ 3 + 2y ^ 2 + 4} {y + 2} )

Respuesta

(y ^ 2 + y - 2 + dfrac {8} {y + 2} )

Ejercicio ( PageIndex {37} )

( dfrac {y ^ 3 + 5y ^ 2 - 3} {y - 1} )

Ejercicio ( PageIndex {38} )

( dfrac {x ^ 3 + 3x ^ 2} {x + 3} )

Respuesta

(x ^ 2 )

Ejercicio ( PageIndex {39} )

( dfrac {a ^ 2 + 2a} {a + 2} )

Ejercicio ( PageIndex {40} )

( dfrac {x ^ 2 - x - 6} {x ^ 2 - 2x - 3} )

Respuesta

(1 + dfrac {1} {x + 1} )

Ejercicio ( PageIndex {41} )

( dfrac {a ^ 2 + 5a + 4} {a ^ 2 - a - 2} )

Ejercicio ( PageIndex {42} )

( dfrac {2y ^ 2 + 5y + 3} {y ^ 2 - 3y - 4} )

Respuesta

(2 + dfrac {11} {y-4} )

Ejercicio ( PageIndex {43} )

( dfrac {3a ^ 2 + 4a + 2} {3a + 4} )

Ejercicio ( PageIndex {44} )

( dfrac {6x ^ 2 + 8x - 1} {3x + 4} )

Respuesta

(2x - dfrac {1} {3x + 4} )

Ejercicio ( PageIndex {45} )

( dfrac {20y ^ 2 + 15y - 4} {4y + 3} )

Ejercicio ( PageIndex {46} )

( dfrac {4x ^ 3 + 4x ^ 2 - 3x - 2} {2x - 1} )

Respuesta

(2x ^ 2 + 3x - dfrac {2} {2x - 1} )

Ejercicio ( PageIndex {47} )

( dfrac {9a ^ 3 - 18a ^ 2 8a - 1} {3a - 2} )

Ejercicio ( PageIndex {48} )

( dfrac {4x ^ 4 - 4x ^ 3 + 2x ^ 2 - 2x - 1} {x-1} )

Respuesta

(4x ^ 3 + 2x - dfrac {1} {x-1} )

Ejercicio ( PageIndex {49} )

( dfrac {3y ^ 4 + 9y ^ 3 - 2y ^ 2 - 6y + 4} {y + 3} )

Ejercicio ( PageIndex {50} )

( dfrac {3y ^ 2 + 3y + 5} {y ^ 2 + y + 1} )

Respuesta

(3 + dfrac {2} {y ^ 2 + y + 1} )

Ejercicio ( PageIndex {51} )

( dfrac {2a ^ 2 + 4a + 1} {a ^ 2 + 2a + 3} )

Ejercicio ( PageIndex {52} )

( dfrac {8z ^ 6 - 4z ^ 5 - 8z ^ 4 + 8z ^ 3 + 3z ^ 2 - 14z} {2z - 3} )

Respuesta

(4z ^ 5 + 4z ^ 4 + 2z ^ 3 + 7z ^ 2 + 12z + 11 + dfrac {33} {2z - 3} )

Ejercicio ( PageIndex {53} )

( dfrac {9 a ^ {7} +15 a ^ {6} +4 a ^ {5} -3 a ^ {4} -a ^ {3} +12 a ^ {2} + a-5} {3 a + 1} )

Ejercicio ( PageIndex {54} )

((2x ^ 5 + 5x ^ 4 -1) div (2x + 5) )

Respuesta

(x ^ 4 - dfrac {1} {2x + 5} )

Ejercicio ( PageIndex {55} )

((6a ^ 4 - 2a ^ 3 - 3a ^ 2 + a + 4) div (3a - 1) )

Ejercicios para repaso

Ejercicio ( PageIndex {56} )

Encuentra el producto. ( dfrac {x ^ 2 + 2x - 8} {x ^ 2 - 9} cdot dfrac {2x + 6} {4x - 8} )

Respuesta

( dfrac {x + 4} {2 (x-3)} )

Ejercicio ( PageIndex {57} )

Encuentra la suma. ( dfrac {x-7} {x + 5} + dfrac {x + 4} {x - 2} )

Ejercicio ( PageIndex {58} )

Resuelve la ecuación ( dfrac {1} {x + 3} + dfrac {1} {x - 3} = dfrac {1} {x ^ 2 - 9} )

Respuesta

(x = dfrac {1} {2} )

Ejercicio ( PageIndex {59} )

Cuando se resta el mismo número tanto del numerador como del denominador de (dfrac {3} {10} ), el resultado es ( dfrac {1} {8} ). ¿Cuál es el número que se resta?

Ejercicio ( PageIndex {60} )

Simplifica ( dfrac { frac {1} {x + 5}} { frac {4} {x ^ {2} -25}} )

Respuesta

( dfrac {x-5} {4} )


División de polinomios por binomios

Repasemos un ejemplo paso a paso para ver cómo funciona:

Primero, escribiremos esto como un problema de división larga:

Ahora seguiremos los pasos anteriores.


Paso 1:Dividir Dividiremos el primer término del polinomio
por x. , aparece en la parte superior como parte de nuestra respuesta:

Paso 4: Reducir. Simplemente baje el siguiente término en el polinomio:

Paso 5: Repetir. Ahora volvemos a empezar desde el principio con la división.
Dividir: Ahora dividiremos el primer término de nuestra respuesta 5x 2 por x. , por lo que 5x va en la parte superior como parte de nuestra respuesta:

Multiplicar: Ahora multiplicamos la pieza que acabamos de poner como parte de la respuesta (5x) por el binomio completo (x + 2). .Esto está escrito debajo (como lo haríamos en un problema aritmético de división larga).

Sustraer: Ahora tenemos que restar. Recuerda que para restar un polinomio tienes que cambiar el signo de cada término y luego combinar términos semejantes como se muestra aquí:

Reducir: Simplemente baje el siguiente término en el polinomio:

Repetir: Una vez más, volvemos al principio con la división.

Dividir: Ahora dividiremos el primer término de nuestra respuesta -3x por x.
, entonces -3 va en la parte superior como parte de nuestra respuesta:

Paso 6: Sustraer. Ahora necesitamos restar -3x-6 .. Recuerda que para restar un polinomio debes cambiar el signo de cada término y luego combinar términos semejantes como se muestra aquí:

No tenemos resto, así que hemos terminado, y nuestra respuesta es el trinomio en la parte superior:

Como puede ver, hay muchos pasos para estos problemas, pero los pasos son repetitivos, por lo que una vez que comprenda el patrón, podrá resolverlos sin demasiados problemas. Tómese unos minutos para leer los pasos anteriores nuevamente, resolviendo el problema usted mismo en una hoja de papel a medida que avanza.

Ahora, intente resolver este problema por su cuenta:. Para obtener ayuda, revise los pasos anteriores y trabaje en cada paso del nuevo problema pieza por pieza.


Ejemplo resuelto 4: división larga

Utilice el método de división larga para determinar el cociente (Q (x) ) y el resto (R (x) ) si (a (x) = 2x ^ <3> - x ^ <2> - 6x + 16 ) se divide por (b (x) = x - 1 ). Escribe tu respuesta en la forma (a (x) = b (x) cdot Q (x) + R (x) ).

Escribe las expresiones conocidas y desconocidas.

Utilice el método de división larga para determinar (Q (x) ) y (R (x) )

Asegúrate de que (a (x) ) y (b (x) ) se escriban en orden descendente de los exponentes. Si falta un término de cierto grado en (a (x) ), entonces escribe el término con un coeficiente de ( text <0> ).

comenzar & amp 2x ^ <2> + x - 5 x-1 & amp | overline <2x ^ <3> - x ^ <2> - 6x + 16> - & amp left ( underline <2x ^ <3> - 2x ^ <2>> right) & amp text < > 0 + x ^ <2> - 6x & amp text <> - left ( underline - x> right) & amp text <> quad quad 0 -5x + 16 & amp text <> quad quad - left ( underline <-5x + 5> right) & amp text <> quad quad qquad 0 + 11 end

Escribe la respuesta final

La división sintética es un método más simple y eficiente para dividir polinomios. Nos permite determinar el cociente y el resto considerando los coeficientes de los términos en cada uno de los polinomios sin necesidad de reescribir la variable y el exponente para cada término. Si falta un término de cierto grado en (a (x) ), entonces escribe el término con un coeficiente de ( text <0> ). Por ejemplo, (a (x) = 5x ^ <3> + 6x - 1 ) debe escribirse como (a (x) = 5x ^ <3> + 0x ^ <2> + 6x - 1 ).

Tenga en cuenta que para la división sintética:

  • los coeficientes del dividendo ( (a (x) )) se escriben debajo de la línea horizontal.
  • los coeficientes del cociente ( (Q (x) )) se escriben sobre la línea horizontal.
  • sumamos coeficientes en lugar de restar como es el caso de la división larga
  • usamos el signo opuesto del divisor ( (b (x) )) el divisor es ((x - 1) ) y usamos ( text <+1> ).
  • el coeficiente del término (x ) en el divisor es ( text <1> ), entonces (q_ <2> = a_ <3> ).

El propósito de esta tarea es enfatizar el uso del teorema del resto (una discusión del cual obviamente debe considerarse como un prerrequisito para la tarea) como un método para determinar la estructura en polinomios en ecuaciones, y en este caso particular, como un reemplazo. para la división de polinomios.

De hecho, una posible ruta de solución es usar la división polinomial para dividir $ P (x) $ por $ (x - 2) $ y determinar el resto en términos de $ a $, y luego resolver $ a $ estableciendo el resto igual a cero. Sin embargo, la operación de división se vuelve difícil de manejar con el parámetro desconocido $ a $ en juego. Un enfoque más sencillo es usar el teorema del resto (A-APR.2), que establece que si $ (x - 2) $ debe ser un factor de $ P (x) $, entonces $ P (2) $ debe igual a cero.


La división sintética es un método para realizar la división larga de polinomios. El método no se usa para dividir factores sino para encontrar ceros (o raíces) de polinomios. La regla de Ruffini se usa para la división larga. Aquí hay una calculadora de álgebra en línea para división sintética de ecuaciones polinomiales usando la regla de Ruffini con un tercer grado. Ingrese números decimales en los lugares apropiados para la resolución de problemas.

Ejemplo

Resuelve una ecuación cúbica 4x 3 + 3x 2 + 2x + 7 por x + 2.

De x + 2, podemos derivar,
x = -2.
Consideremos los coeficientes de la ecuación como: 4 3 2 7
Considere 0 como el cociente inicialmente,
Por lo tanto, la ecuación se convierte en
4 3 2 7
(-) 0
--------------------------------
4
--------------------------------
Ahora multiplica -2 por el resto 4 (-2 & times4 = -8), que será el cociente para el siguiente paso.

El siguiente paso es multiplicar 5 por -2, para derivar (5 & times-2 = -10), -10 debe usarse como el siguiente cociente.
4 3 2 7
(-) 0 -8 10
--------------------------------
4 -5 12
--------------------------------

Multiplica -8 por -2 para obtener 16.
4 3 2 7
(-) 0 -8 10 -24
--------------------------------
4 -5 12 -17
--------------------------------
Por tanto, la ecuación polinomial es 4x²-5x + 12 - 17 / x + 2.


7 comentarios y raquo

Cuando la gente descubre que yo & # 8217 estoy estudiando matemáticas, siempre van, & # 8220 ¡De ninguna manera! ¿Puedes hacer una división larga? Yo & # 8217 nunca lo he entendido & # 8221 y cuando respondo & # 8220Hey, puedo hacer una división larga con x & # 8217s yy & # 8217s, & # 8221 ¡están muy impresionados!

No puedo recordar dónde lo aprendí, ¿tal vez en el nivel A de matemáticas?

Comentario de Craig & # 8212 Domingo 19 de junio de 2005 6:54 pm #

Tan pocos estudiantes están estudiando más matemáticas en estos días que el gobierno está financiando un proyecto que permitirá que las escuelas y universidades se reúnan para enseñar a los estudiantes donde no hay suficientes para impartir clases en una escuela o universidad en particular.

Es una triste acusación del estado de cosas de las matemáticas en estos días.

Comentario de Steve & # 8212 Domingo 19 de junio de 2005 7:33 pm #

Eso es realmente malo, no puedo imaginar que alguna vez hubiera ido a estudiar matemáticas a nivel de grado si no hubiera despertado mi interés en la práctica de Más matemáticas. Además, el primer año de tu título se hace mucho más fácil si & # 8217 has hecho algunos números complejos, etc. antes & # 8230

Comentario de Craig & # 8212 Lunes 20 de junio de 2005 8:10 pm #

Hola, soy bastante nuevo en el látex, así que tal vez mi pregunta sea estúpida & # 8230, lo siento si es el caso. Estoy intentando usar polyhornerscheme [x = 1] pero sigo obteniendo una secuencia de control indefinida. ¿Sabes qué podría estar mal y qué debo hacer para usar este comando? gracias de antemano por tu ayuda, Aude

Comentario de aude & # 8212 miércoles 24 de agosto de 2005 1:35 pm #

Por lo general, obtiene ese error si ha escrito mal un comando de LaTeX. Intente reducir el código LaTeX en el documento hasta que encuentre la fuente del error.

¿Funciona este ejemplo mínimo?

Comentario de Steve & # 8212 Miércoles 24 de agosto de 2005 2:29 pm #

Aude
El problema podría ser que tiene una versión anterior de polynom que no & # 8217t es compatible con polyhornerscheme. Intente cambiar a la última versión aquí

Comentario de Steve & # 8212 Domingo 9 de octubre de 2005 11:45 am #

¿Qué pasa si desea mostrar la división larga polinomial en modular. por ejemplo, estoy tratando de dividir un polinomio en mod7


8.10: División de polinomios: matemáticas

En esta sección comenzaremos a ver polinomios. Los polinomios aparecerán en casi todas las secciones de cada capítulo en el resto de este material, por lo que es importante que los comprenda.

Comenzaremos con polinomios en una variable. Los polinomios en una variable son expresiones algebraicas que constan de términos en la forma (a) donde (n ) es un (es decir. positivo o cero) entero y (a ) es un número real y se llama coeficiente del término. El grado de un polinomio en una variable es el mayor exponente del polinomio.

Tenga en cuenta que a menudo soltaremos la parte "en una variable" y solo diremos polinomio.

A continuación se muestran ejemplos de polinomios y sus grados.

Entonces, un polinomio no tiene que contener todas las potencias de (x ) como vemos en el primer ejemplo. Además, los polinomios pueden constar de un solo término, como vemos en el tercer y quinto ejemplo.

Probablemente deberíamos discutir un poco más el ejemplo final. Esto realmente es un polinomio, aunque no lo parezca. Recuerde que un polinomio es cualquier expresión algebraica que consta de términos en la forma (a). Otra forma de escribir el último ejemplo es

Escrito de esta manera deja claro que el exponente en (x ) es un cero (esto también explica el grado…) y entonces podemos ver que realmente es un polinomio en una variable.

A continuación, se muestran algunos ejemplos de cosas que no son polinomios.

El primero no es un polinomio porque tiene un exponente negativo y todos los exponentes de un polinomio deben ser positivos.

Para ver por qué el segundo no es un polinomio, reescribámoslo un poco.

Al convertir la raíz a la forma exponente, vemos que hay una raíz racional en la expresión algebraica. Todos los exponentes de la expresión algebraica deben ser números enteros no negativos para que la expresión algebraica sea un polinomio. Como regla general, si una expresión algebraica tiene un radical, entonces no es un polinomio.

También reescribamos el tercero para ver por qué no es un polinomio.

Entonces, esta expresión algebraica realmente tiene un exponente negativo y sabemos que no está permitido. Otra regla general es que si hay variables en el denominador de una fracción, la expresión algebraica no es un polinomio.

Tenga en cuenta que esto no significa que no se permitan radicales y fracciones en polinomios. Simplemente no pueden involucrar las variables. Por ejemplo, el siguiente es un polinomio

Hay muchos radicales y fracciones en esta expresión algebraica, pero los denominadores de las fracciones son solo números y los radicandos de cada radical son solo números. Cada (x ) en la expresión algebraica aparece en el numerador y el exponente es un número entero positivo (o cero). Por tanto, este es un polinomio.

A continuación, echemos un vistazo rápido a polinomios en dos variables. Los polinomios en dos variables son expresiones algebraicas que constan de términos en la forma (a). El grado de cada término en un polinomio en dos variables es la suma de los exponentes en cada término y el grado del polinomio es la suma más grande.

A continuación se muestran algunos ejemplos de polinomios en dos variables y sus grados.

En este tipo de polinomios no todos los términos necesitan tener tanto (x ) como (y ) en ellos, de hecho, como vemos en el último ejemplo, no necesitan tener ningún término que contenga tanto de (x ) como de (y ). Además, el grado del polinomio puede provenir de términos que involucran solo una variable. Tenga en cuenta también que varios términos pueden tener el mismo grado.

También podemos hablar de polinomios en tres variables, o cuatro variables o tantas variables como necesitemos. La gran mayoría de los polinomios que veremos en este curso son polinomios en una variable, por lo que la mayoría de los ejemplos en el resto de esta sección serán polinomios en una variable.

A continuación, necesitamos sacar algo de terminología. A monomio es un polinomio que consta exactamente de un término. A binomio es un polinomio que consta exactamente de dos términos. Finalmente, un trinomio es un polinomio que consta exactamente de tres términos. Usaremos estos términos de vez en cuando, por lo que probablemente debería estar familiarizado con ellos al menos un poco.

Ahora tenemos que hablar sobre sumar, restar y multiplicar polinomios. Notarás que dejamos fuera la división de polinomios. Eso se discutirá en una sección posterior donde usaremos la división de polinomios con bastante frecuencia.

Antes de comenzar esta discusión, necesitamos recordar la ley distributiva. Esto se utilizará repetidamente en el resto de esta sección. Aquí está la ley distributiva.

Empezaremos sumando y restando polinomios. Probablemente, esto se haga mejor con un par de ejemplos.

Lo primero que debemos hacer es anotar la operación que se nos pide que hagamos.

[ izquierda (<6- 10 + x - 45> derecha) + izquierda (<13- 9x + 4> derecha) ]

En este caso, los paréntesis no son necesarios ya que estamos sumando los dos polinomios. Están ahí simplemente para dejar en claro la operación que estamos realizando. Para sumar dos polinomios todo lo que hacemos es combinar términos semejantes. Esto significa que para cada término con el mismo exponente sumaremos o restaremos el coeficiente de ese término.

Nuevamente, anotemos la operación que estamos haciendo aquí. También tendremos que tener mucho cuidado con el orden en el que escribimos las cosas. Aquí está la operación

Esta vez los paréntesis alrededor del segundo término son absolutamente necesarios. Estamos restando el polinomio completo y el paréntesis debe estar ahí para asegurarnos de que de hecho estamos restando el polinomio completo.

Al hacer la resta, lo primero que haremos es distribuir el signo menos a través del paréntesis. Esto significa que cambiaremos el signo de cada término del segundo polinomio. Tenga en cuenta que todo lo que realmente estamos haciendo aquí es multiplicar un “-1” por el segundo polinomio usando la ley distributiva. Después de distribuir el menos a través del paréntesis, volvemos a combinar términos semejantes.

Aquí está el trabajo para este problema.

Tenga en cuenta que a veces un término desaparece por completo después de combinar términos semejantes como lo hizo (x ) aquí. Esto sucederá en ocasiones, así que no se emocione cuando suceda.

Ahora pasemos a la multiplicación de polinomios. Nuevamente, es mejor hacer esto en un ejemplo.

  1. (4 left (<- 6x + 2> derecha) )
  2. ( left (<3x + 5> right) left ( derecho))
  3. ( izquierda (<4- x> derecha) izquierda (<6 - 3x> derecha) )
  4. ( left (<3x + 7y> right) left ( derecho))
  5. ( left (<2x + 3> right) left (<- x + 1> derecha) )

Éste no es más que una aplicación rápida de la ley distributiva.

[ left (<3x + 5> right) left ( right) ] Este usará el método FOIL para multiplicar estos dos binomios.

Recuerde que el método FOIL solo funcionará al multiplicar dos binomios. Si alguno de los polinomios no es un binomio, el método FOIL no funcionará.

También tenga en cuenta que todo lo que realmente estamos haciendo aquí es multiplicar cada término en el segundo polinomio por cada término en el primer polinomio. El acrónimo FOIL es simplemente una forma conveniente de recordar esto.

Una vez más, vamos a frustrar este.

[ izquierda (<4- x> derecha) izquierda (<6 - 3x> derecha) = 24 - 12 - 6x + 3 = - 12 + 27 - 6x ]

Todavía podemos usar binomios FOIL que involucran más de una variable, así que no se entusiasme con este tipo de problemas cuando surjan.

[ left (<3x + 7y> right) left ( right) = 3 - 6xy + 7xy - 14 = 3 + xy - 14]

En este caso, el método FOIL no funcionará ya que el segundo polinomio no es un binomio. Sin embargo, recuerde que el acrónimo FOIL era solo una forma de recordar que multiplicamos cada término del segundo polinomio por cada término del primer polinomio.

Eso es todo lo que necesitamos hacer aquí.

[ left (<2x + 3> right) left (<- x + 1> derecha) = 2 - 2 + 2x + 3 - 3x + 3 = 2 + - x + 3 ]

Trabajemos con otro conjunto de ejemplos que ilustrarán algunas fórmulas interesantes para algunos productos especiales. Daremos las fórmulas después del ejemplo.

Podemos usar FOIL en este, así que hagámoslo.

[ left (<3x + 5> right) left (<3x - 5> right) = 9 - 15x + 15x - 25 = 9 - 25]

En este caso, los términos intermedios se eliminan.

Ahora recuerda que (<4 ^ 2> = left (4 right) left (4 right) = 16 ). Cuadrar con polinomios funciona de la misma manera. Entonces en este caso tenemos,

[< left (<2x + 6> right) ^ 2> = left (<2x + 6> right) left (<2x + 6> right) = 4 + 12x + 12x + 36 = 4 + 24x + 36 ]

Éste es casi idéntico a la parte anterior.

[< left (<1 - 7x> right) ^ 2> = left (<1 - 7x> right) left (<1 - 7x> right) = 1 - 7x - 7x + 49 = 1 - 14x + 49]

Esta parte está aquí para recordarnos que debemos tener cuidado con los coeficientes. Cuando tenemos un coeficiente, DEBEMOS hacer la exponenciación primero y luego multiplicar el coeficiente.

[4 < izquierda ( right) ^ 2> = 4 left ( derecha izquierda( right) = 4 left (<+ 6x + 9> derecha) = 4 + 24x + 36 ]

Solo puede multiplicar un coeficiente a través de un paréntesis si hay un exponente de "1" en el paréntesis. Si hay algún otro exponente, NO PUEDES multiplicar el coeficiente entre paréntesis.

Solo para ilustrar el punto.

Esto claramente no es lo mismo que la respuesta correcta, ¡así que ten cuidado!

Todas las partes de este ejemplo utilizan uno de los siguientes productos especiales.

¡Tenga cuidado de no cometer los siguientes errores!

Estos son errores muy comunes que los estudiantes suelen cometer cuando comienzan a aprender a multiplicar polinomios.


Resolver el cúbico reducido

Primero recuerde la ecuación [2]
[2, repetido]

Si pyq son cero, entonces t es cero. De lo contrario, consideramos los casos en los que el valor de poq es cero y cuando ambos no son cero:

Las reducciones cúbicas a ecuaciones inmediatamente solubles

Si p = 0, la ecuación [2] se convierte en:

Si q = 0, la ecuación [2] se convierte en:

Si p = 0, entonces t = & # 8731 (-q), y las raíces de la ecuación original son:
X1= & # 8731 (-q) - a / 3 (usando la ecuación 3: x = t-a / 3)
X2,3= & # 8731 (-q) [- 1/2 & plusmn & # 8730 (3) i / 2] - a / 3 (multiplicando t por las raíces cúbicas irracionales de uno: -1/2 + & # 8730 (3) i / 2 y -1/2 - & # 8730 (3) i / 2)
Si q = 0, entonces tenemos t 3 + pt = 0, dando t1= 0 y t2,3 son las soluciones a t 2 + p = 0, o
x1 = -a / 3 (usando la ecuación 3: x = t-a / 3)
x 2,3 = & plusmn & # 8730 (-p) -a / 3 (multiplicando t por las dos raíces de uno: +1 y (-1))
Naturalmente, si p o q son cero, entonces hemos resuelto la ecuación. Si no, continuamos.

La reducción cúbica a una ecuación en pyq, donde ninguna de las dos es cero

Los valores de pyq en la siguiente ecuación no son cero. [2, repetido]
Entonces, debemos resolver esta ecuación. Considere, que, para dos números u y v:

[Nota: este es el equivalente cúbico de completar el cuadrado en cuadráticas].
Y, si sustituimos en [2]:
p = 3uv, y
-q = u 3 -v 3 y sea t = u-v
Encontramos que, debido a que el resultado es cero, u-v es una raíz de nuestra ecuación. Al encontrar los valores de u y v, podremos resolver el cúbico. La razón quedará clara.
Sustituimos por v, usando:
[4]
(Tenga en cuenta que u no puede ser cero, porque p también sería cero, y ya hemos tratado ese caso. Por lo tanto, ni u ni v son cero aquí).
en:
[5]
Llegar:

Multiplicando todo por u 3:
[6]
Ahora, esta ecuación es cuadrática en u 3, entonces sabemos cómo resolverla, ¡y por lo tanto la cúbica!

O, simplificado:
[7]
Hay 3 raíces de un cúbico, y no 6, como se prometió con lo anterior, pero afortunadamente, encontramos que no importa cuál de los valores de & plusmn tomemos, y normalmente, solo tomo el signo más. Las ocasiones que pueden causar problemas ya se han tratado anteriormente. Entonces, dejaré silenciosamente el & plusmn y mantendré el +. (¡Naturalmente, el lector serio comprobará que esto es cierto!)
De la ecuación 5, podemos encontrar v 3:
[8]
Claramente, el discriminante, D o & # 916, es el bit en la raíz cuadrada.
[9]
Si & # 916 = 0, entonces todas las raíces son reales y al menos dos son iguales.
Si & # 916 & gt0, entonces & # 8730 (& # 916) es un número real, por lo que una raíz (la raíz principal) es real y las otras dos son números complejos.
Si & # 916 & lt0, entonces & # 8730 (& # 916) es imaginario, por lo que todas las raíces son reales y uyv serán números complejos. Este es el llamado caso irreductible de la antigüedad (por supuesto, no es irreducible con aritmética compleja), cuando necesitamos usar aritmética compleja.

Sustituyendo & # 916 en 7 y 8, tenemos:
[10]
Y:
[11]


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Esto puede parecer un poco confuso, por lo que revisaremos dos ejemplos paso a paso para comprender mejor cómo resolver estos problemas.

1. Organiza cada polinomio por orden superior
Podemos omitir este paso porque los polinomios ya están en orden alto
2. Configurar en forma de división larga

1. Organiza cada polinomio por orden superior
frac <(2x ^ 2 + 5x-18)>

2. Configurar en forma de división larga

3. Escribe 0 como el coeficiente de los términos faltantes en el dividendo.
Podemos omitir este paso porque no faltan términos.

4. Dividir el primer término del dividendo (numerador) por el primer término del divisor (denominador)
frac <2x ^ 2>= 2x

5. Multiplica el divisor por ese término.
2x (x + 4) = 2x ^ 2 + 8x

Dividir polinomios usando división larga es muy complicado. Es muy fácil saltarse un exponente, tener un error algebraico y olvidar un paso. Por eso es tan importante practicar este tipo de problemas. La única forma de mejorar es seguir practicándolo. Consulte Symbolab & # 8217s Practice para problemas de práctica y cuestionarios.


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