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4.1: Funciones multiplicativas


Definición 4.1

Las funciones teóricas de números o las funciones o secuencias aritméticas son funciones definidas en los enteros positivos (es decir, ( mathbb {N} )) con valores en ( mathbb {C} ).

Tenga en cuenta que en otras áreas de las matemáticas, la secuencia de palabras es el único término que se usa comúnmente. Usaremos estos términos indistintamente.

Definición 4.2

Una función multiplicativa es una secuencia tal que ( gcd (a, b) = 1 ) implica (f (ab) = f (a) f (b) ). Una función completamente multiplicativa es aquella en la que no se necesita la condición de que ( gcd (a, b) = 1 ).

Tenga en cuenta que completamente multiplicativo implica multiplicativo (pero no al revés). La razón por la que esta definición es interesante es que nos permite evaluar el valor de una función multiplicativa (f ) en cualquier número entero siempre que podamos calcular (f (p ^ k) ) para cualquier número primo (p ). De hecho, usando el teorema fundamental de la aritmética,

[ begin {array} {cccc} { mbox {if}} & {n = prod_ {i = 1} ^ {r} p_ {i} ^ {l_ {i}}} & { mbox {entonces }} & {f (n) = prod_ {i = 1} ^ {r} f (p_ {i} ^ {l_ {i}})} end {matriz} nonumber ]

como se desprende inmediatamente de la Definición 4.2.

Proposición 4.3

Sea (f ) una función multiplicativa de los números enteros. Luego

[F (n) = sum_ {d | n} f (d) nonumber ]

también es multiplicativo.

Prueba

Sea (n = prod ^ {r} _ {i = 1} p_ {i} ^ {l_ {i}} ). La suma ( sum_ {d | n} f (d) ) se puede escribir usando el lema anterior y el hecho de que (f ) es multiplicativo:

[F (n) = sum_ {a_ {1} = 0} ^ {l_ {1}} cdots sum_ {a_ {r} = 0} ^ {l_ {r}} f (p_ {1} ^ {a_ {1}}) cdots f (p_ {r} ^ {a_ {r}}) nonumber ]

[= prod_ {i = 1} ^ {r} ( sum_ {a_ {i} = 0} ^ {l_ {i}} f (p_ {i} ^ {a_ {i}})) nonumber ]

Ahora sean (a ) y (b ) dos enteros mayores que (1 ) y tales que ( gcd (a, b) = 1 ) y (ab = n ). Entonces, por el Teorema de factorización única, (a ) y (b ) se pueden escribir como:

[ begin {array} {ccc} {a = prod_ {i = 1} ^ {r} p_ {i} ^ {l_ {i}}} & { mbox {y}} & {b = prod_ {i = r + 1} ^ {s} p_ {i} ^ {l_ {i}}} nonumber end {array} ]

Al aplicar el cálculo anterior a (a ) y (b ) se obtiene que (f (a) f (b) = f (n) ).

Quizás las funciones multiplicativas más simples son aquellas en las que (f (n) = n ^ k ) para algunos (k ) fijos. De hecho, (f (n) f (m) = n ^ {k} m ^ {k} = f (nm) ). De hecho, esta es una función completamente multiplicativa.

Definición 4.4

Sea (k in mathbb {R} ). La función multiplicativa ( sigma_ {k}: mathbb {N} rightarrow mathbb {R} ) da la suma de la k-ésima potencia de los divisores positivos de (n ). Equivalentemente:

[ sigma_ {k} (n) = sum_ {d | n} d ^ {k} nonumber ]

Note que la multiplicatividad de ( sigma_k ) se sigue directamente de la Proposición 4.3. Los casos especiales son cuando (k = 1 ) y (k = 0 ). En el primer caso, la función es simplemente la suma de los divisores positivos y el subíndice '1' generalmente se elimina. Cuando (k = 0 ), la función generalmente se llama ( tau ) y el valor de la función es el número de divisores positivos de su argumento.

Teorema 4.5

Sea (n = prod ^ {r} _ {i = 1} p_ {i} ^ {l_ {i}} ) donde (p_ {i} ) son números primos. Entonces para (k ne 0 )

[ sigma_ {k} (n) = prod ^ {r} _ {i = 1} ( frac {p_ {i} ^ {k (l_ {i} +1)} - 1} {p_ {i } ^ {k} -1}) nonumber ]

mientras que para (k = 0 )

[ sigma_ {0} (n) = tau (n) = prod ^ {r} _ {i = 1} (l_ {i} +1) nonumber ]

Prueba

Por la Proposición 4.3, ( sigma_ {k} (n) ) es multiplicativo, por lo que es suficiente calcular para algún primo (p )

[ sigma_ {k} (p ^ l) = sum_ {i = 0} ^ {l} p_ {i} ^ {ik} = frac {p ^ {k (l + 1)} - 1} { p ^ {k} -1}) nonumber ]

Por lo tanto, ( sigma_ {k} (n) ) es de hecho un producto de estos términos.

Sin embargo, hay otras funciones multiplicativas interesantes además de las potencias de los divisores. La función de Mobius definida a continuación es una de ellas, como veremos.

Definición 4.6

La función de Mobius ( mu: mathbb {N} rightarrow mathbb {Z} ) está dada por:

[ mu (n) = left { begin {array} {ccc} {1} & { mbox {if}} & {n = 1} {0} & { mbox {if}} & { existe p> 1 mbox {primo con} p ^ 2 | n} {(-1) ^ r} & { mbox {if}} & {n = p_ {1} cdots p_ {r} mbox {y} p_ {i} mbox {son números primos distintos} } end {matriz} derecha. sin número]

Definición 4.7

Decimos que n es cuadrado libre si no hay un primo (p ) tal que (p ^ 2 | n ).

Lema 4.8

La función de Mobius ( mu ) es multiplicativa.

Prueba

Por factorización única, se nos permite asumir que

[ begin {array} {ccccc} {n = ab} & { mbox {donde}} & {a = prod_ {i = 1} ^ {r} p_ {i} ^ {l_ {i}}} & {y} & {b = prod_ {i = r + 1} ^ {s} p_ {i} ^ {l_ {i}}} end {matriz} nonumber ]

Si (a ) es igual a (1 ), entonces ( mu (ab) = mu (a) mu (b) = 1 mu (b) ), y similar si (b = 1 ). Si (a ) o (b ) no es libre de cuadrados, tampoco (n = ab ), y en ese caso, nuevamente tenemos ( mu (ab) = mu (a ) mu (b) = 0 ). Si tanto (a ) como (b ) son cuadrados libres, entonces (r ) (en la definición de ( mu )) es estrictamente aditivo y entonces ((- 1) ^ r ) es estrictamente multiplicativo, por lo tanto multiplicativo.

Definición 4.9

La función phi de Euler, también llamada función totient de Euler se define de la siguiente manera: ( phi (n) ) es igual al número de enteros en ( {1, cdots n } ) que son primos relativos a (n ).


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