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2.3: Operaciones con matrices - Matemáticas


Dos equipos de fútbol de clubes, los Wildcats y los Mud Cats, esperan obtener nuevos equipos para la próxima temporada. La siguiente tabla muestra las necesidades de ambos equipos.

Gatos monteses

Gatos de barro

Metas

6

10

Pelotas

30

24

Camisetas

14

20

Una meta cuesta $ 300; una pelota cuesta $ 10; y una camiseta cuesta $ 30. ¿Cómo podemos encontrar el costo total del equipo necesario para cada equipo?

En la última sección aprendimos cómo se pueden usar las matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales. En esta sección, exploraremos otros usos de las matrices y descubriremos un método en el que los datos de la tabla del equipo de fútbol se pueden mostrar y utilizar para calcular otra información. Luego, podremos calcular el costo del equipo de una manera que se pueda traducir fácilmente a una computadora o calculadora.

Hallar la suma y la diferencia de dos matrices

Para resolver un problema como el del abridor de sección, podemos usar un matriz, que es una matriz rectangular de números. A hilera en una matriz hay un conjunto de números alineados horizontalmente. A columna en una matriz hay un conjunto de números que están alineados verticalmente. Cada número es un entrada, a veces llamado elemento, de la matriz. Las matrices (en plural) se encierran entre [] o (), y normalmente se nombran con letras mayúsculas. Por ejemplo, a continuación se muestran tres matrices llamadas (A, B, ) y (C ).

[A = left [ begin {array} {* {20} {r}} 1 & 2 3 & 4 end {array} right], quad B = left [ begin {array} {* {20 } {r}} 1 & 2 & 7 0 & {- 5} & 6 7 & 8 & 2 end {array} right], quad C = left [ begin {array} {* {20} {r}} - 1 & 3 0 & 2 3 & 1 end {array} right] nonumber ]

Describir matrices

A menudo se hace referencia a una matriz por su tamaño o dimensiones: (m times n ) indicando (m nonumber ) filas y (n ) columnas. Las entradas de la matriz se definen primero por fila y luego por columna. Por ejemplo, para ubicar la entrada en la matriz (A ) identificada como (a_ {ij} ), buscamos la entrada en la fila (i ), columna (j ). En la matriz (A ), que se muestra a continuación, la entrada en la fila 2, columna 3 es (a_ {23} ).

[A = left [ begin {array} {* {20} {r}} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} end {array} right] nonumber ]

Una matriz cuadrada es una matriz con dimensiones (n por n, ) lo que significa que tiene el mismo número de filas que de columnas. La matriz (3 times 3 ) anterior es un ejemplo de una matriz cuadrada.

Una matriz de filas es una matriz que consta de una fila con dimensiones (1 veces n. )

[ left [ begin {array} {* {20} {r}} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} end {array} right] nonumber ]

Una matriz de columna es una matriz que consta de una columna con dimensiones (m times 1 ).

[ left [ begin {array} {* {20} {r}} a_ {11} a_ {21} a_ {31} end {array} right] nonumber ]

Se puede usar una matriz para representar un sistema de ecuaciones. En estos casos, los números representan los coeficientes de las variables del sistema. Las matrices a menudo facilitan la resolución de sistemas de ecuaciones porque no están abrumadas por variables. Investigaremos esta idea más a fondo en la siguiente sección, pero primero veremos las operaciones básicas de la matriz.

Definición: Matrices

A matriz es una matriz rectangular de números que generalmente se nombra con una letra mayúscula: (A, B, C ), etc. Cada entrada en una matriz se conoce como (a_ {ij} ), tal que (i ) representa el hilera y (j nonumber ) representa el columna. A menudo se hace referencia a las matrices por sus dimensiones: (m times n ) indicando (m ) filas y (n ) columnas.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Dada la matriz [A = left [ begin {array} {* {20} {r}} 2 & 1 2 & 4 3 & 1 end {array} right] nonumber ]

a) ¿Cuáles son las dimensiones de la matriz (A? )

b) ¿Cuáles son las entradas en (a_ {31} ) y (a_ {22} )?

Solución

a) Las dimensiones son (3 times 2 ) porque hay tres filas y dos columnas.

b) La entrada (a_ {31} ) es el número en la fila 3, columna 1, que es 3. La entrada (a_ {22} ) es el número en la fila 2, columna 2, que es 4. Recuerde , la fila viene primero, luego la columna.

Sumar y restar matrices

Usamos matrices para listar datos o representar sistemas. Debido a que las entradas son números, podemos realizar operaciones en matrices. Sumamos o restamos matrices sumando o restando las entradas correspondientes.

Para hacer esto, las entradas deben corresponder. Por lo tanto, la suma y resta de matrices solo es posible cuando las matrices tienen las mismas dimensiones. Podemos sumar o restar una matriz (3 times 3 ) y otra matriz (3 times 3 ), pero no podemos sumar o restar una matriz (2 times 3 ) y una matriz (3 times 3 ) matriz porque algunas entradas en una matriz no tendrán una entrada correspondiente en la otra matriz.

Definición: suma y resta de matrices

Dadas matrices (A ) y (B ) de dimensiones similares, la suma y resta de (A ) y (B ) producirá la matriz (C ) o la matriz (D ) de la misma dimensión.

[A + B = C ; text {tal que} ; a_ {ij} + b_ {ij} = c_ {ij} A - B = D ; text {tal que} ; a_ {ij} - b_ {ij} = d_ {ij} ]

La suma de matrices es conmutativa: (A + B = B + A )

También es asociativo: ((A + B) + C = A + (B + C) )

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Dado (A ) y (B ):

[A = left [ begin {array} {* {20} {r}} 2 & {- 10} & {- 2} {14} & {12} & {10} 4 & {- 2 } & 2 end {matriz} right] quad { text {y}} quad B = left [ begin {array} {* {20} {r}} 6 & {10} & {- 2} 0 & {- 12} & {- 4} {- 5} & 2 & {- 2} end {array} right] nonumber ]

a) Encuentra la suma.

b) Encuentra la diferencia.

Solución

a) Agregue las entradas correspondientes.

[ begin {align *} A + B & = left [ begin {array} {* {20} {r}} 2 & {- 10} & {- 2} {14} & {12} & {10} 4 & {- 2} & 2 end {array} right] + left [ begin {array} {* {20} {r}} 6 & {10} & {- 2} 0 & { - 12} & {- 4} {- 5} & 2 & {- 2} end {array} right] & = left [ begin {array} {* {20} {r}} {2 + 6} & {- 10 + 10} & {- 2 - 2} {14 + 0} & {12 - 12} & {10 - 4} {4 - 5} & {- 2 + 2} & {2 - 2} end {array} right] & = left [ begin {array} {* {20} {r}} 8 & 0 & {- 4} {14} & 0 & 6 {- 1} & 0 & 0 end {array} right] end {align *} nonumber ]

b) Reste las entradas correspondientes.

[ begin {align *} A - B & = left [ begin {array} {* {20} {r}} 2 & {- 10} & {- 2} {14} & {12} & {10} 4 & {- 2} & 2 end {array} right] - left [ begin {array} {* {20} {r}} 6 & {10} & {- 2} 0 & { - 12} & {- 4} {- 5} & 2 & {- 2} end {array} right] & = left [ begin {array} {* {20} {r}} {2 - 6} & {- 10 - 10} & {- 2 + 2} {14 - 0} & {12 + 12} & {10 + 4} {4 + 5} & {- 2 - 2} & {2 + 2} end {array} right] & = left [ begin {array} {* {20} {r}} {- 4} & {- 20} & 0 {14} & {24} & {14} 9 & {- 4} & 4 end {array} right] end {align *} nonumber ]

Ejercicio ( PageIndex {1} )

1. Sume la matriz (A ) y la matriz (B ).

[A = left [ begin {array} {* {20} {r}} 2 1 1 end {array} begin {array} {* {20} {r}} 6 0 - 3 end {matriz} right] quad { text {y}} quad B = left [ begin {array} {* {20} {r}} 3 1 - 4 end {matriz} begin {matriz} {* {20} {r}} -2 5 3 end {matriz} derecha] nonumber ]

Respuesta

[A + B = left [ begin {array} {* {20} {r}} 2 & 6 1 & 0 1 & -3 end {array} right] + left [ begin {array} { * {20} {r}} 3 & -2 1 & 5 -4 & 3 end {matriz} right] = left [ begin {array} {* {20} {c}} 2 + 3 y 6 + (- 2 ) 1 + 1 y 0 + 5 1 + (-4) y - 3 + 3 end {matriz} right] = left [ begin {array} {* {20} {r}} 5 y 4 2 & 5 -3 & 0 end {array} right] nonumber ]

Encontrar múltiplos escalares de una matriz

Además de sumar y restar matrices enteras, hay muchas situaciones en las que necesitamos multiplicar una matriz por una constante llamada escalar. Recuerde que un escalar es un número real que tiene magnitud, pero no dirección. Por ejemplo, el tiempo, la temperatura y la distancia son cantidades escalares. El proceso de multiplicación escalar implica multiplicar cada entrada en una matriz por un escalar. A múltiple escalar es cualquier entrada de una matriz que resulte de la multiplicación escalar.

Definición: multiplicación escalar

La multiplicación escalar implica encontrar el producto de una constante por cada entrada en la matriz. Dado

[A = left [ begin {array} {* {20} {r}} a_ {11} & a_ {12} a_ {21} & a_ {22} end {array} right] nonumber ]

el múltiplo escalar (cA ) es

[ begin {align *} cA & = c left [ begin {array} {* {20} {r}} a_ {11} & a_ {12} a_ {21} & a_ {22} end { matriz} derecha] & = izquierda [ begin {matriz} {* {20} {r}} {c {a_ {11}}} & {c {a_ {12}}} {c { a_ {21}}} & {c {a_ {22}}} end {array} right] end {align *} ]

La multiplicación escalar es distributiva. Para las matrices (A, B, ) y (C ) con escalares (a ) y (b ),

[ begin {align *} a left ({A + B} right) = aA + aB (a + b) A = aA + bA end {align *} nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Multiplica la matriz (A ) por el escalar 3.

[A = left [ begin {array} {* {20} {r}} 8 & 1 5 & 4 end {array} right] nonumber ]

Solución

Multiplica cada entrada en (A ) por el escalar 3.

[ begin {align *} 3A & = 3 left [ begin {array} {* {20} {r}} 8 & 1 5 & 4 end {array} right] & = left [ begin {matriz} {* {20} {r}} {3 cdot 8} & {3 cdot 1} {3 cdot 5} & {3 cdot 4} end {matriz} right] & = left [ begin {array} {* {20} {r}} {24} & 3 {15} & {12} end {array} right] end {align *} nonumber ]

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Dada la matriz (B ), encuentre (- 2B ) donde

[B = left [ begin {array} {* {20} {r}} 4 & 1 3 & 2 end {array} right] nonumber ]

Respuesta

[- 2B = left [ begin {array} {* {20} {r}} - 8 & - 2 - 6 & - 4 end {array} right] nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Encuentra la suma (3A + 2B ).

[A = left [ begin {array} {* {20} {r}} 1 & {- 2} & 0 0 & {- 1} & 2 4 & 3 & {- 6} end {array} right] quad { text {y}} quad B = left [ begin {array} {* {20} {r}} {- 1} & 2 & 1 0 & {- 3} & 2 0 & 1 & {- 4} end {matriz} right] nonumber ]

Solución

Primero, encuentra (3A ), luego (2B ).

[ begin {align *} 3A & = left [ begin {array} {ccc} {3 cdot 1} & {3 left ({- 2} right)} & {3 cdot 0} {3 cdot 0} & {3 left ({- 1} right)} & {3 cdot 2} {3 cdot 4} & {3 cdot 3} & {3 left ({ - 6} right)} end {array} right] & = left [ begin {array} {ccc} 3 & {- 6} & 0 0 & {- 3} & 6 {12} & 9 & {- 18} end {matriz} right] end {align *} nonumber ]

[ begin {align *} 2B & = left [ begin {array} {ccc} {2 left ({- 1} right)} & {2 cdot 2} & {2 cdot 1} {2 cdot 0} & {2 left ({- 3} right)} & {2 cdot 2} {2 cdot 0} & {2 cdot 1} & {2 left ({ - 4} right)} end {array} right] & = left [ begin {array} {ccc} {- 2} & 4 & 2 0 & {- 6} & 4 0 & 2 & {- 8} end {matriz} right] end {align *} nonumber ]

Ahora, agregue (3A + 2B. )

[ begin {align *} 3A + 2B & = left [ begin {array} {* {20} {r}} 3 & {- 6} & 0 0 & {- 3} & 6 {12} & 9 & {- 18} end {matriz} right] + left [ begin {array} {* {20} {r}} {- 2} & 4 & 2 0 & {- 6} & 4 0 & 2 & {- 8} end {array} right] & = left [ begin {array} {* {20} {r}} {3 - 2} & {- 6 + 4} & {0 + 2} { 0 + 0} & {- 3 - 6} & {6 + 4} {12 + 0} & {9 + 2} & {- 18 - 8} end {array} right] & = izquierda [ begin {array} {* {20} {r}} 1 & {- 2} & 2 0 & {- 9} & {10} {12} & {11} & {- 26} end { matriz} right] end {align *} nonumber ]

Hallar el producto de dos matrices

Además de multiplicar una matriz por un escalar, podemos multiplicar dos matrices. Encontrar el producto de dos matrices solo es posible cuando las dimensiones internas son las mismas, lo que significa que el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda matriz. Si (A ) es una matriz (m times r ) y (B ) es una matriz (r times n ), entonces la matriz del producto (AB ) es una (m veces n ) matriz. Por ejemplo, el producto (AB ) es posible porque el número de columnas en (A ) es el mismo que el número de filas en (B ). Si las dimensiones internas no coinciden, el producto no está definido.

[ begin {array} {rcl}
A quad & cdot & quad B
2 times 3 && 3 times 3
nwarrow ! ! ! ! & text {mismo} & ! ! ! ! nearrow
end {matriz} nonumber ]

Multiplicamos entradas de (A ) con entradas de (B ) de acuerdo con un patrón específico como se describe a continuación. El proceso de multiplicación de matrices se vuelve más claro cuando se trabaja en un problema con números reales.

Para obtener las entradas en la fila (i ) de (AB ) multiplicamos las entradas en la fila (i ) de (A ) por la columna (j ) en (B ) y sumamos. Por ejemplo, dadas las matrices (A ) y (B ), donde las dimensiones de (A ) son (2 times 3 ) y las dimensiones de (B ) son (3 times 3 ) el producto de (AB ) será una matriz (2 times 3 ).

[A = left [ begin {array} {* {20} {r}} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} end { array} right] quad text {y} quad B = left [ begin {array} {* {20} {r}} b_ {11} & b_ {12} & b_ {13} b_ { 21} & b_ {22} & b_ {23} b_ {31} & b_ {32} & b_ {33} end {array} right] nonumber ]

Definición: multiplicar matrices

Para obtener la entrada en la fila 1, columna 1 de (AB ), multiplique la primera fila en (A ) por la primera columna en (B ) y sume.

[ left [ begin {array} {ccc} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} end {array} right] cdot left [ begin {array} {c} b_ {11} b_ {21} b_ {31} end {matriz} right] = a_ {11} cdot b_ {11} + a_ {12} cdot b_ {21} + a_ {13} cdot b_ {31} nonumber ]
Para obtener la entrada en la fila 1, columna 2 de (AB ), multiplique la primera fila de (A ) por la segunda columna en (B ) y sume.

[ left [ begin {array} {ccc} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} end {array} right] cdot left [ begin {array} {c} b_ {12} b_ {22} b_ {32} end {matriz} right] = a_ {11} cdot b_ {12} + a_ {12} cdot b_ {22} + a_ {13} cdot b_ {32} nonumber ]
Para obtener la entrada en la fila 1, columna 3 de (AB ), multiplique la primera fila de (A ) por la tercera columna en (B ) y sume.

[ left [ begin {array} {ccc} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} end {array} right] cdot left [ begin {array} {c} b_ {13} b_ {23} b_ {33} end {matriz} right] = a_ {11} cdot b_ {13} + a_ {12} cdot b_ {23} + a_ {13} cdot b_ {33} nonumber ]
Procedemos de la misma manera para obtener la segunda fila de (AB ). En otras palabras, la fila 2 de (A ) multiplicada por la columna 1 de (B ); fila 2 de (A ) multiplicada por la columna 2 de (B ); la fila 2 de (A ) multiplicada por la columna 3 de (B ). Cuando esté completo, la matriz del producto será

[AB = left [ begin {array} {ccc} a_ {11} cdot b_ {11} + a_ {12} cdot b_ {21} + a_ {13} cdot b_ {31} & a_ { 11} cdot b_ {12} + a_ {12} cdot b_ {22} + a_ {13} cdot b_ {32} & a_ {11} cdot b_ {13} + a_ {12} cdot b_ { 23} + a_ {13} cdot b_ {33} &&
a_ {21} cdot b_ {11} + a_ {22} cdot b_ {21} + a_ {23} cdot b_ {31} & a_ {21} cdot b_ {12} + a_ {22} cdot b_ {22} + a_ {23} cdot b_ {32} & a_ {21} cdot b_ {13} + a_ {22} cdot b_ {23} + a_ {23} cdot b_ {33} end {matriz} derecha] nonumber ]

Propiedades de la multiplicación de matrices

Para las matrices (A, B, ) y (C ) se cumplen las siguientes propiedades.

  • La multiplicación de matrices es asociativa: ( left (AB right) C = A left ({BC} right). )
  • La multiplicación de matrices es distributiva: [ begin {align *} C left ({A + B} right) & = CA + CB, (A + B) C & = AC + BC. end {alinear *} ]

Tenga en cuenta que la multiplicación de matrices es no conmutativo.

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Multiplica la matriz (A ) y la matriz (B ).

[A = left [ begin {array} {* {20} {r}} 1 & 2 3 & 4 end {array} right] quad { text {y}} quad B = left [ begin {array} {* {20} {r}} 5 & 6 7 & 8 end {array} right] nonumber ]

Solución

Primero, verificamos las dimensiones de las matrices. La matriz (A ) tiene dimensiones (2 times 2 ) y la matriz (B ) tiene dimensiones (2 times 2 ). Las dimensiones internas son las mismas para que podamos realizar la multiplicación. El producto tendrá las dimensiones (2 times 2 ).

Realizamos las operaciones descritas anteriormente.

[ begin {align *} AB & = left [ begin {array} {* {20} {r}} 1 & 2 3 & 4 end {array} right] cdot left [ begin {array} {* {20} {r}} 5 y 6 7 y 8 end {matriz} derecha] & = izquierda [ begin {matriz} {* {20} {r}} {1 cdot 5 + 2 cdot 7} & {1 cdot 6 + 2 cdot 8} {3 cdot 5 + 4 cdot 7} & {3 cdot 6 + 4 cdot 8} end {array} right] & = left [ begin {array} {* {20} {r}} {19} & {22} {43} & {50} end {array} right] end {align *} sin número ]

Ejemplo ( PageIndex {6} )

Dado (A ) y (B ):

a) Encuentra (AB ).

b) Encuentra (BA ).

[A = left [ begin {align *} begin {array} {* {20} {r}} {- 1} & 2 & 3 end {array} begin {array} {* {20} { r}} {4} & 0 & 5 end {array} end {align *} right] quad { text {y}} quad B = left [ begin {array} {* {20} {r} } {5} {- 4} {2} end {matriz} begin {matriz} {* {20} {r}} {- 1} {0} {3} end {matriz} derecha] nonumber ]

Solución

a) Como las dimensiones de (A ) son (2 times 3 ) y las dimensiones de (B ) son (3 times 2 ), estas matrices se pueden multiplicar juntas porque el número de columnas en (A ) coincide con el número de filas en (B ). El producto resultante será una matriz (2 times 2 ), el número de filas en (A ) por el número de columnas en (B ).


[ begin {align *} AB & = left [ begin {array} {rrr} -1 & 2 & 3 4 & 0 & 5 end {array} right] left [ begin {array} {rr} 5 & -1 -4 & 0 2 & 3 end {array} right] & = left [ begin {array} {rr} -1 (5) + 2 (-4) + 3 (2) & - 1 (- 1) + 2 (0) + 3 (3) 4 (5) + 0 (-4) + 5 (2) y 4 (-1) + 0 (0) + 5 (3) end {matriz} derecha] & = left [ begin {array} {rr} -7 & 10 30 & 11 end {array} right] end {align *} ]
b) Las dimensiones de (B ) son (3 times 2 ) y las dimensiones de (A ) son (2 times 3 ). Las dimensiones internas coinciden, por lo que el producto está definido y será una matriz (3 times 3 ).

[ begin {align *} BA & = left [ begin {array} {rr} 5 & -1 -4 & 0 2 & 3 end {array} right] left [ begin { array} {rrr} -1 & 2 & 3 4 & 0 & 5 end {array} right] & = left [ begin {array} {ccc} 5 (- 1) + - 1 (4) & 5 (2) + - 1 (0) y 5 (3) + - 1 (5) - 4 (- 1) + 0 (4) y - 4 (2) + 0 (0) y - 4 (3) + 0 (5) 2 (- 1) + 3 (4) & 2 (2) + 3 (0) & 2 (3) + 3 (5) end {matriz} right] & = left [ begin {matriz } {rrr} - 9 y 10 y 10 4 y - 8 y - 12 10 y 4 y 21 end {matriz} right] end {align *} ]

Observe en el ejemplo anterior que los productos (AB ) y (BA ) no son iguales.

[AB = left [ begin {array} {* {20} {r}} {- 7} & {10} {30} & {11} end {array} right] ne left [ begin {array} {* {20} {r}} {- 9} & {10} & {10} 4 & {- 8} & {- 12} {10} & 4 & {21} end {matriz} derecha] = BA nonumber ]

Esto ilustra el hecho de que la multiplicación de matrices no es conmutativa.

Además, esto significa que es posible definir AB pero no BA. Considere una matriz A con dimensión (3 times 4 ) y una matriz B con dimensión (4 times 2 ). Para el producto AB, las dimensiones internas son 4 y el producto está definido, pero para el producto BA, las dimensiones internas son 2 y 3, por lo que el producto no está definido.

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Multiplica: [ left [ begin {array} {* {20} {r}} 1 & {- 2} 4 & 0 {- 1} & 3 end {array} right] cdot left [ begin {array} {* {20} {r}} 2 & 3 1 & {- 1} end {array} right] nonumber ]

Respuesta

[ left [ begin {array} {r} 1 & {- 2} 4 & 0 {- 1} & 3 end {array} right] cdot left [ begin {array} {r} 2 & 3 1 & {- 1} end {matriz} right] = left [ begin {matriz} {* {20} {c}} {1 (2) + (- 2) (1)} & {1 (3) + (- 2) (- 1)} {4 (2) + 0 (1)} & {4 (3) + 0 (- 1)} {(- 1) (2) + (3) (1)} & {(- 1) (3) + (3) (- 1)} end {array} right] = left [ begin {array} {c} 0 & 5 8 & { 12} 1 & {- 6} end {matriz} derecha] nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {7} )

Volvamos al problema presentado al comienzo de esta sección. Tenemos la siguiente tabla que representa las necesidades de equipamiento de dos equipos de fútbol.

Gatos monteses

Gatos de barro

Metas

6

10

Pelotas

30

24

Camisetas

14

20

También se nos dan los precios del equipo, como se muestra a continuación.

Meta

$300

Pelota

$10

Jersey

$30

Solución

Convertiremos los datos a matrices. Por lo tanto, la matriz de necesidades del equipo se escribe como

[E = left [ begin {array} {r} 6 & 10 30 & 24 14 & 20 end {array} right] nonumber ]

La matriz de costos se escribe como

[C = left [ begin {array} {r} 300 & 10 & 30 end {array} right] nonumber ]

Realizamos multiplicación de matrices para obtener costos del equipo.

[ begin {align *} CE & = left [ begin {array} {c} 300 & 10 & 30 end {array} right] cdot left [ begin {array} {r} 6 & 10 30 & 24 14 y 20 end {matriz} right] & = left [ begin {matriz} {c} {300 (6) + 10 (30) + 30 (14)} & {300 (10) + 10 (24 ) + 30 (20)} end {matriz} right] & = left [ begin {matriz} {c} {2,520} & {3,840} end {matriz} right] end {align * } sin número ]

El costo total del equipo para los Wildcats es de $ 2,520 y el costo total del equipo para los Mud Cats es de $ 3,840.

El cálculo en el último ejemplo podría calcularse fácilmente usando una calculadora y una computadora, que también manejaría fácilmente una versión del problema con docenas de equipos y cientos de gastos. Representar el problema como operaciones matriciales nos permite utilizar tecnología para ayudar a resolver este tipo de problema.

Temas importantes de esta sección

Tamaño de una matriz

Suma y diferencia de matrices

Múltiplo escalar de una matriz

Producto de matrices


2.3: Operaciones con matrices - Matemáticas

Dos equipos de fútbol de clubes, los Wildcats y los Mud Cats, esperan obtener nuevos equipos para la próxima temporada. La tabla muestra las necesidades de ambos equipos.

Gatos monteses Gatos de barro
Metas 6 10
Pelotas 30 24
Camisetas 14 20

Dos equipos que compiten en un partido de fútbol. (crédito: & # 8220SD Dirk, & # 8221 Flickr)

Un gol cuesta $ 300, una pelota cuesta $ 10 y una camiseta cuesta $ 30. ¿Cómo podemos encontrar el costo total del equipo necesario para cada equipo? En esta sección, descubrimos un método en el que los datos de la tabla del equipo de fútbol se pueden mostrar y utilizar para calcular otra información. Entonces, podremos calcular el costo del equipo.


MATH0007: Álgebra para estudiantes de honores conjuntos

A sistema de ecuaciones lineales en las variables (x_1, ldots, x_m ) hay una lista de ecuaciones simultáneas [ begin etiqueta <2.1> a_ <11> x_1 + a_ <12> x_2 + cdots + a_ <1m> x_m & amp = b_1 a_ <21> x_1 + a_ <22> x_2 + cdots + a_ <2m> x_m & amp = b_2 vdots \ & amp vdots a_x_1 + a_ x_2 + cdots + a_x_m & amp = b_n end] donde (a_) y (b_i ) son números.

Si dejamos A ser la matriz ((a_) ), ( mathbf) el vector de columna ( begin b_1 vdots b_n end) y ( mathbf) el vector de columna ( begin x_1 vdots x_m end) entonces podemos expresar (2.1) diciendo

A solución de este sistema es una lista de valores para (x_i ) s tal que cuando los sustituimos en (2.2), la ecuación se cumple. Un sistema de ecuaciones lineales es consistente si tiene una solución, de lo contrario es inconsistente.

Cuando queremos encontrar soluciones a un sistema de ecuaciones lineales, generalmente lo hacemos sumando o restando múltiplos de una ecuación de otra para eliminar las variables una por una. Estas operaciones sobre ecuaciones corresponden a operaciones de fila en la forma matricial (2.2) de las ecuaciones.

Definición 2.8 A operación de fila, u row op, es uno de los siguientes procedimientos que podemos aplicar a una matriz.

  • multiplica cada entrada en fila I por el número ( lambda neq 0 ), escrito (r_i mapsto lambda r_i ).
  • intercambiar filas I y j, escrito (r_i leftrightarrow r_j )
  • agregar ( lambda ) veces la fila I remar j, donde (i neq j ), escrito (r_j mapsto r_j + lambda r_i ).

A veces estos se llaman operaciones de fila elementales, pero las llamaremos operaciones de fila. Si r es una operación de fila y A una matriz que escribimos real academia de bellas artes) por el resultado de aplicar r para A.

El objetivo de introducir la matriz aumentada es que hacer una operación de fila a la matriz aumentada de un sistema corresponde a manipular el sistema de ecuaciones lineales (A mathbf = mathbf) de una manera que no cambie las soluciones.

A menudo, la gente escribe ((A | mathbf) ) o coloque una línea de puntos antes de la última columna de una matriz aumentada para enfatizar de dónde proviene.

Supongamos que tenemos una ecuación matricial (A mathbf= mathbf), donde ( mathbf) es una matriz de indeterminados. A solución ( mathbf) de esta ecuación matricial se define como un vector columna de números tal que (A mathbf= mathbf). Queremos mostrar que hacer operaciones de fila en una matriz aumentada deja el conjunto de soluciones sin cambios; para hacer esto, necesitamos vincular las operaciones de fila y la multiplicación de matrices.

La siguiente proposición muestra que hacer una operación de fila en una matriz tiene el mismo efecto que multiplicarla por una matriz elemental.

Mientras lee la prueba, es útil tener en mente algunos ejemplos de matrices elementales. Si r es (r_2 mapsto 3r_2 ), s es (r_2 leftrightarrow r_3 ), y t es (r_3 mapsto r_3 + 4r_2 ) entonces [ begin r (I_4) & amp = begin 1 & amp 0 & amp 0 & amp 0 0 & amp 3 & amp 0 & amp 0 0 & amp 0 & amp 1 & amp 0 0 & amp 0 & amp 0 & amp 1 end s (I_4) & amp = begin 1 & amp0 & amp0 & amp0 0 & amp0 & amp1 & amp0 0 & amp1 & amp0 & amp0 0 & amp0 & amp0 & amp1 end t (I_4) & amp = begin 1 & amp0 & amp0 & amp0 0 & amp1 & amp0 & amp0 0 & amp4 & amp1 & amp0 0 & amp0 & amp0 & amp1 end fin]

Prueba. Basta con comprobar el caso cuando (A = begin a_1 vdots a_m end) es un vector de columna porque la multiplicación de matrices funciona columna por columna. Hay tres casos según los tres tipos de operación de fila. En cada caso calcularemos (r (I_m) A ) y demostraremos que es lo mismo que (r (A) ).

Para cualquier l, la lla entrada de (r (I_m) A ) es

donde (s_) es la entrada l, k de (r (I_m) ).

  • r es (r_i mapsto lambda r_i ). Para (l neq i ), el lla fila de (r (I_m) ) es la misma que la lla fila de (I_m ), entonces (s_= 0 ) a menos que (k = l ) en cuyo caso es 1. Entonces de (2.3), el lla entrada de (r (I_m) A ) es (a_l ). Si (l = i ) entonces (s_= lambda ) si (k = l ) y 0 en caso contrario, entonces por (2.3) el Ila entrada de (r (I_m) A ) es ( lambda a_i ). Por lo tanto, (r (I_m) A ) es lo mismo que A, excepto que el Ila entrada se multiplica por ( lambda ). Esto es (r (A) ).
  • r es (r_i leftrightarrow r_j ). Hay tres casos para l.
    • (l neq i, j ). En este caso (s_= 0 ) a menos que (k = l ) en cuyo caso es 1, entonces de (2.3) la suma es igual a (a_r ).
    • (l = yo ). Dado que (r_(I_m) ) intercambia filas I y j de (yo_m ), (s_= 1 ) si (k = j ) y 0 en caso contrario. Entonces la suma es (a_j ).
    • (l = j ). Al igual que en el último caso, la suma es igual a (a_i ). Por lo tanto, (r (I_m) A ) es lo mismo que A, excepto en fila I donde aparece (a_j ) y fila j donde aparece (a_i ). Esto es (r (A) ).

    Prueba. Cada operación de fila r tiene una (r ^ <-1> ) inversa según el Lema 2.2. Luego

    por la Proposición 2.3, y esto es igual a (I_m ). De manera similar (r ^ <-1> (I_m) r (I_m) = I_m ), entonces la matriz elemental (r (I_m) ) es invertible con inversa (r ^ <-1> (I_m) ) .

    Ahora podemos demostrar que hacer operaciones de fila en una matriz aumentada no cambia el conjunto de soluciones del sistema correspondiente de ecuaciones lineales.

    Prueba. Haciendo la operación de fila r a una matriz es equivalente, por la Proposición 2.3, a multiplicar por la izquierda por una matriz invertible (Corolario 2.1) mi.

    El resultado de hacer (r ) a la matriz aumentada ((A | mathbf) ) es (E (A | mathbf) ), que es igual a ((EA | E mathbf) ) porque la multiplicación de matrices funciona en columnas. Por lo tanto (A & # 39 = EA ) y ( mathbf& # 39 = E mathbf) .

    Deje ( mathbf) ser una solución de (A mathbf= mathbf). Entonces (A mathbf = mathbf), multiplicando por la izquierda por mi da (EA mathbf = E mathbf& # 39 ), que es (A & # 39 mathbf = mathbf& # 39 ) y ( mathbf) es una solución de (A & # 39 mathbf= mathbf') .

    Deje ( mathbf) ser una solución de (A & # 39 mathbf = mathbf& # 39 ). Sabemos mi es invertible, por lo que podemos multiplicar por la izquierda (A & # 39 mathbf = mathbf& # 39 ) por la inversa de mi para obtener (E ^ <-1> A & # 39 mathbf = E ^ <-1> mathbf& # 39 ). Dado que (E ^ <-1> A & # 39 = A ) y (E ^ <-1> mathbf& # 39 = mathbf) esto dice (A mathbf= mathbf) y ( mathbf) es una solución de (A mathbf= mathbf) .

    2.3.1 Forma escalonada reducida por filas

    Porque hacer operaciones de fila en la matriz aumentada ((A | mathbf) ) no cambia las soluciones de la ecuación matricial (A mathbf= mathbf) (Proposición 2.4), podemos resolver sistemas de ecuaciones lineales haciendo operaciones de fila hasta que las ecuaciones sean tan simples que las soluciones se puedan leer fácilmente. La forma "simple" que estamos buscando se llama forma escalonada reducida por filas.

    Definición 2.11

    • A fila cero de una matriz es aquella en la que cada entrada es 0.
    • El entrada principal en una fila de una matriz que no son todos ceros es la primera entrada distinta de cero que comienza desde la izquierda.
    • Una matriz está en fila de forma escalonada reducida, o forma RRE o RREF para abreviar, si:
      • todas las entradas principales son 1,
      • cualquier entrada principal está estrictamente a la derecha de cualquier entrada principal en la fila superior,
      • si una columna contiene una entrada inicial, todas las demás entradas en esa columna son 0, y
      • cualquier fila cero está debajo de cualquier fila distinta de cero.
      • (comenzar 0 y amp 0 1 y amp 0 end) no está en formato RRE: la fila cero está en la parte superior.
      • (comenzar 2 y amp 0 0 y amp 0 end) no está en formato RRE: hay una fila en la que la entrada distinta de cero más a la izquierda no es 1.
      • (comenzar 0 y amp 1 1 y amp 0 end) no está en forma RRE: el 1 más a la izquierda en la fila 2 no está a la derecha del 1 más a la izquierda en la fila superior.
      • (comenzar 1 & amp alpha & amp beta & amp 3 0 & amp0 & amp 1 & amp -2 end) no está en RRE a menos que ( beta = 0 ): el 1 más a la izquierda en la fila 2 está en la columna 3, pero no es la única entrada distinta de cero en la columna 3 a menos que ( beta = 0 ).
      • (comenzar 1 & amp 0 & amp 0 & amp 3 0 & amp 0 & amp 1 & amp 0 0 & amp 0 & amp 0 & amp 0 end) está en formato RRE.

      Si ((A | mathbf) ) es la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales y A está en forma RRE, podemos leer fácilmente las soluciones (si las hay) del sistema. Por ejemplo, si pensamos en el cuarto ejemplo anterior con ( alpha = 1, beta = 0 ) como la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales, esas ecuaciones son

      y podemos ver que la solución general es (x_3 = -2 ), (x_2 ) puede ser cualquier cosa y (x_1 = 3-x_2 ). De manera similar, si tuviéramos un sistema cuya matriz aumentada fuera [ begin 1 & amp 0 & amp 1 0 & amp 1 & amp 5 0 & amp 0 & amp 2 end ] entonces podemos ver que el sistema no tiene soluciones, ya que la última ecuación dice (0 = 2 ) lo cual es imposible.

      Prueba. La prueba es por inducción sobre el número de columnas. Es fácil obtener una matriz de una columna en forma RRE: si todas las entradas son cero, entonces la matriz ya está en forma escalonada, si no, intercambie las filas cero para que estén en la parte inferior y luego multiplique las filas distintas de cero por el recíproco de sus entradas, luego reste la fila superior de todas las filas distintas de cero debajo de ella. La matriz se ve entonces como ( begin 1 0 vdots 0 end) que está en formato RRE.

      Ahora suponga A es una matriz con (n & gt1 ) columnas. Por inducción hay una secuencia de operaciones de fila que pone la matriz formada por la primera norte-1 columnas de A en forma RRE. Dejar B ser el resultado de hacer esas operaciones de fila para A, para que el primero norte-1 columnas de B son forma RRE, pero B en sí mismo puede no estar en forma RRE debido a su columna final.

      Suponga que la matriz RREF formada por la primera norte-1 columnas de B posee k filas de ceros en la parte inferior. Si cada uno de estos k filas tiene un 0 en su columna final, B en sí ya está en RREF.

      De lo contrario, hay al menos uno de estos k filas con una entrada distinta de cero en su columna final. Cámbielo a la parte superior de estos k filas y restar múltiplos de esta fila de las otras filas de B para eliminar todas las demás entradas distintas de cero en la columna final de B. La matriz resultante está en forma RRE.

      Aquí está el resultado clave en la forma RRE y la solución de ecuaciones lineales:

      Proposición 2.6 Sea ((A & # 39 | mathbf& # 39) ) ser el resultado de poner ((A | mathbf) ) en forma RRE. Entonces un vector ( mathbf) es una solución de (A mathbf= mathbf) si y solo si es una solución de (A & # 39 mathbf = mathbf') .

      2.3.2 Resolución de sistemas en forma RRE

      Nuestro método para resolver sistemas lineales cuya forma matricial es (A mathbf= mathbf) es entonces:

      • Forme la matriz aumentada ((A | mathbf) ), y realice operaciones de fila hasta que esté en forma escalonada ((A & # 39 | mathbf& # 39) ). Este nuevo sistema tiene las mismas soluciones que el sistema anterior, según la Proposición 2.4.
      • Lea las soluciones, si las hay.
      • Suponga que la matriz aumentada es [ begin 1 & amp 0 & amp 2 & amp 2 0 & amp 1 & amp 3 & amp -1 end. ] Esto corresponde al sistema [ begin x + 2z & amp = 2 y + 3z & amp = -1. fin] z se puede elegir libremente, y luego la solución está completamente determinada: (x = 2-2z ) y (y = -1-3z ). Podemos escribir estas soluciones en forma vectorial como [ beginx y z end= comenzar 2 -1 0 end + z begin -2 -3 1 end.]
      • Suponga que la matriz aumentada es [ begin 1 & amp0 & amp0 & ampa 0 & amp1 & amp0 & ampb 0 & amp0 & amp1 & ampc 0 & amp0 & amp0 & ampd end. ] Si (d neq 0 ) entonces la ecuación final dice (0 = d ) lo cual es falso, entonces este sistema no tiene soluciones. Por otro lado, si (d = 0 ) entonces las ecuaciones dicen (x = a, y = b, z = c ) entonces hay una solución única para este sistema.

      Podemos obtener las soluciones de un conjunto de ecuaciones cuya matriz aumentada está en forma escalonada reducida por filas de la siguiente manera. Recuerde que la columna final corresponde al término constante de las ecuaciones, y cada columna anterior corresponde a una variable.

      • Si la columna final tiene una entrada inicial, no hay soluciones.
      • De lo contrario, las variables que corresponden a columnas sin entrada inicial (si las hay) se pueden elegir libremente, y las variables restantes se determinan de forma única en términos de estas.

      El primer punto se ilustra con lo que sucede en el segundo ejemplo anterior cuando (d neq 0 ). In the first example the z column has no leading entry, so we were able to choose z freely, therefore getting infinitely many solutions. In the second, each of the X, y, z columns had leading entries, so there was no free choice and the equations had only one solution.

      Prueba. (not examinable, taken from Yuster, Mathematics Magazine 57 no.2 1984 pp.93-94). The proof is by induction on the number metro of columns of A for metro=1 the only possible RREF for A is the zero vector if A is itself zero, or (egin1 0 vdots 0end) otherwise.

      Now suppose A has (m>1) columns and that B y C are different matrices in RRE form obtained by doing row operations to A. The first metro-1 columns of B y C are RRE forms for the first metro-1 columns of A, so by the inductive hypothesis B y C can only differ in their last columns. Suppose they differ in row j.

      Let (mathbf) be any solution to (B mathbf=mathbf<0>) . By the previous proposition, (B mathbf = mathbf<0>) iff (A mathbf = mathbf<0>) iff (C mathbf = mathbf<0>) , so we have ((B-C)mathbf=mathbf<0>) . As the first (m-1) columns of B y C are the same, this last equation is equivalent to ((b_-c_)u_m = 0) for all I. As (b_ eq c_) we must have (u_m=0) .

      This means the last columns of B y C have a leading 1. Otherwise the variable (x_m) corresponding to the last column could be chosen freely when solving (B mathbf=mathbf<0>) and (C mathbf= mathbf<0>) . Ya que B y C are in RRE form, this last column has a leading 1 and all other entries are zero. But the first (m-1) columns of B y C determine where the leading 1 in column metro can go if they are to be in RRE form. Since the first (m-1) columns of B y C are equal, it follows B y C are equal, a contradiction.

      This last result means that we can talk about la row reduced echelon form of a matrix, because it tells us that given any matrix A there is one and only one matrix in RRE form that can be obtained from A by doing row operations.

      2.3.3 Invertibility and RRE form

      We want to prove that a matrix is invertible if and only if its RRE form is the identity, but we need two preliminary lemmas.

      Prueba. Suppose every column of A contains a leading entry, so there are norte leading entries. We must show that (A=I_n) .

      Since there’s at most one leading entry in a row, every row has a leading entry. Let (c_i) be the number of the column containing the leading entry of row I, so that the numbers (c_1,ldots, c_n) are the numbers 1, 2, . norte in some order. Because A is in RREF, (c_1<c_2<cdots <c_n) , and therefore (c_i=i) for all I.

      Columns of a RREF matrix which contain a leading entry have all entries zero apart from the leading entry, which is 1. Thus the Ith column of A, which contains a leading entry in row I as (c_i=i) , is ((0, 0, . 0, 1, 0, . 0)^T) where the 1 is in position I. It follows (A=I_n) .

      Prueba. Suppose the RRE form of A is (I_n) , so that there are row ops (r_1,ldots,r_m) with [ r_1(r_2(cdots (r_m (A)))cdots ) = I_n.] By Proposition 2.3, [ r_1(I_n)r_2(I_n)cdots r_m(I_n) A = I_n.] By Corollary 2.1, the (r_i(I_n)) are invertible, and multiplying the above equation on the left by the inverse of (r_1(I_n)) , then the inverse of (r_2(I_n)) , and so on, [ A = r_m(I_n)^<-1>r_(I_n)^ <-1>cdots r_1(I_n)^<-1>.] It follows that A is a product of invertible matrices, so by Lemma 2.3 A es invertible.

      Conversely suppose the RRE form A’ of A is not (I_n) , so that by Lemma 2.4 this RRE form has a column with no leading entry, say column j. The matrix equation (A'mathbf=mathbf<0>) has infinitely many solutions because we can choose the value of the variable corresponding to column j freely, and so the matrix (Amathbf = mathbf<0>) as inifnitely many solutions too (Proposition 2.6). But if A is invertible, (Amathbf=mathbf<0>) implies (mathbf=A^<-1>mathbf<0>= mathbf<0>) so there is only one solution, a contradiction.

      Si A is invertible and (mathbf_j) is the jth column of (A^<-1>) , the fact that

      and the fact that matrix multiplication works column-by-column means that (A mathbf_j=mathbf_j) , where (mathbf_j) is the jth column of (I_n) (that is, the column vector with zeroes everywhere except for a 1 in row j). This means (mathbf_j) is the solution of the equation (Amathbf= mathbf_j) . But we can solve this by putting ((A , mathbf_j)) into RRE form: we know that the RRE form of A is (I_n) , so the result will be ((I_n , mathbf_j)) .

      Rather than do this norte times to work out the norte columns of (A^<-1>) , we can simply start with the matrix ((A,,, I_n)) and put it into RRE form — the result will be ((I_n,,, A^<-1>)) .

      We can use this method as a test of the invertibility of A which produces at the same time the inverse of A, if it exists: start with ((A,,, I_n)) and put it into RRE form, getting ((C,,, D)) say. If (C eq I_n) then A isn’t invertible, by Theorem 2.2. If (C=I_n) , then A is invertible and the remaining part D of this matrix is (A^<-1>) .


      Finding Scalar Multiples of a Matrix

      Besides adding and subtracting whole matrices, there are many situations in which we need to multiply a matrix by a constant called a scalar. Recall that a scalar is a real number quantity that has magnitude, but not direction. For example, time, temperature, and distance are scalar quantities. The process of scalar multiplication involves multiplying each entry in a matrix by a scalar. A scalar multiple is any entry of a matrix that results from scalar multiplication.

      Consider a real-world scenario in which a university needs to add to its inventory of computers, computer tables, and chairs in two of the campus labs due to increased enrollment. They estimate that 15% more equipment is needed in both labs. The school’s current inventory is displayed in Table 2.

      Tabla 2
      Lab A Lab B
      Computers 15 27
      Computer Tables 16 34
      Chairs 16 34

      Converting the data to a matrix, we have

      To calculate how much computer equipment will be needed, we multiply all entries in matrix C by 0.15.

      We must round up to the next integer, so the amount of new equipment needed is

      Adding the two matrices as shown below, we see the new inventory amounts.

      Thus, Lab A will have 18 computers, 19 computer tables, and 19 chairs Lab B will have 32 computers, 40 computer tables, and 40 chairs.

      Scalar Multiplication

      Scalar multiplication involves finding the product of a constant by each entry in the matrix. Given

      the scalar multiple cA es

      Scalar multiplication is distributive. For the matrices
      A, B, y C with scalars a y B

      Example 3

      2. Given matrix B find –2B donde

      Solutions


      Basic Matrix Operations

      This example shows basic techniques and functions for working with matrices in the MATLAB® language.

      First, let's create a simple vector with 9 elements called a .

      Now let's add 2 to each element of our vector, a , and store the result in a new vector.

      Notice how MATLAB requires no special handling of vector or matrix math.

      Creating graphs in MATLAB is as easy as one command. Let's plot the result of our vector addition with grid lines.

      MATLAB can make other graph types as well, with axis labels.

      MATLAB can use symbols in plots as well. Here is an example using stars to mark the points. MATLAB offers a variety of other symbols and line types.

      One area in which MATLAB excels is matrix computation.

      Creating a matrix is as easy as making a vector, using semicolons () to separate the rows of a matrix.

      We can easily find the transpose of the matrix A .

      Now let's multiply these two matrices together.

      Note again that MATLAB doesn't require you to deal with matrices as a collection of numbers. MATLAB knows when you are dealing with matrices and adjusts your calculations accordingly.

      Instead of doing a matrix multiply, we can multiply the corresponding elements of two matrices or vectors using the .* operator.

      Let's use the matrix A to solve the equation, A*x = b. We do this by using the (backslash) operator.

      Now we can show that A*x is equal to b.

      MATLAB has functions for nearly every type of common matrix calculation.

      There are functions to obtain eigenvalues .

      . as well as the singular values.

      The "poly" function generates a vector containing the coefficients of the characteristic polynomial.

      The characteristic polynomial of a matrix A is

      We can easily find the roots of a polynomial using the roots function.

      These are actually the eigenvalues of the original matrix.

      MATLAB has many applications beyond just matrix computation.

      . or convolve again and plot the result.

      At any time, we can get a listing of the variables we have stored in memory using the who or whos command.

      You can get the value of a particular variable by typing its name.

      You can have more than one statement on a single line by separating each statement with commas or semicolons.

      If you don't assign a variable to store the result of an operation, the result is stored in a temporary variable called ans .

      As you can see, MATLAB easily deals with complex numbers in its calculations.


      Solved Examples

      Julia has two matrices (A) and (B) as below. Help her find the values of "(a)" and "(b)" if (C) is the addition of both the matrices.

      Solución

      Julia knows matrix (C) is the sum of matrices (A) and (B).

      Hence, the conclusion derived from them is,

      ( herefore) Julia found the values of a and b are 5 and 7 respectively.
      Ejemplo 2

      Oliver's teacher asked him to solve the systems of equations given below with matrices.

      Solución

      Oliver knows that the set of equations are:

      Arrange all the coefficients, variables, and constants in the matrix in such a way that whenever the product of the matrices is found, the result obtained must result in the equation.

      To solve the equations, it is required to find the matrix (X). Hence, it can be found by multiplying inverse of matrix A with B, which is given as, ( X = (A^<-1>)B).

      To find the inverse of A, we will need the determinant and adjoint of matrix A.

      To find the determinant of matrix A, we will follow the below steps:

      (ecause) (|A| eq 0), it is possible to find the inverse of matrix A.

      The adjoint of matrix A is found by finding each element in it.

      Each element in the cofactor matrix is called a minor and found by taking the determinant of the elements leaving the row and column for which the number is to found. The matrix obtained is a cofactor matrix. To find the adjoint of matrix, we take the transpose of the cofactor matrix.

      Hence, the adjoint of matrix is given as

      Each term in a cofactor matrix is obtained by (C_ = (-1)^ imes M_)

      In this case, the adjoint of the matrix A is

      To find the inverse of A, we divide the adjoint of A by determinant of A.

      Applying the same to our example we get,

      Now to find the matrix X, we'll multiply (A^<-1>) and B. We get,

      Hence, the value of matrix (X) is,

      ( herefore) The solution of equations is (x = frac<43><10>) and (y = frac<-9><10>)


      In this section will demonstrate simple matrix-matrix arithmetic, where all operations are performed element-wise between two matrices of equal size to result in a new matrix with the same size.

      Matrix Addition

      Two matrices with the same dimensions can be added together to create a new third matrix.

      The scalar elements in the resulting matrix are calculated as the addition of the elements in each of the matrices being added.

      We can implement this in python using the plus operator directly on the two NumPy arrays.

      The example first defines two 2ࡩ matrices and then adds them together.

      Running the example first prints the two parent matrices and then the result of adding them together.

      Matrix Subtraction

      Similarly, one matrix can be subtracted from another matrix with the same dimensions.

      The scalar elements in the resulting matrix are calculated as the subtraction of the elements in each of the matrices.

      We can implement this in python using the minus operator directly on the two NumPy arrays.

      The example first defines two 2ࡩ matrices and then subtracts one from the other.

      Running the example first prints the two parent matrices and then subtracts the first matrix from the second.

      Matrix Multiplication (Hadamard Product)

      Two matrices with the same size can be multiplied together, and this is often called element-wise matrix multiplication or the Hadamard product.

      It is not the typical operation meant when referring to matrix multiplication, therefore a different operator is often used, such as a circle “o”.

      As with element-wise subtraction and addition, element-wise multiplication involves the multiplication of elements from each parent matrix to calculate the values in the new matrix.

      We can implement this in python using the star operator directly on the two NumPy arrays.

      The example first defines two 2ࡩ matrices and then multiplies them together.

      Running the example first prints the two parent matrices and then the result of multiplying them together with a Hadamard Product.

      Matrix Division

      One matrix can be divided by another matrix with the same dimensions.

      The scalar elements in the resulting matrix are calculated as the division of the elements in each of the matrices.

      We can implement this in python using the division operator directly on the two NumPy arrays.

      The example first defines two 2ࡩ matrices and then divides the first from the second matrix.

      Running the example first prints the two parent matrices and then divides the first matrix by the second.


      1. Rows Matrix

      If a matrix has only one row then it is called a row matrix. For example,

      It is a row matrix of order 1 by 3.

      2. Columns Matrix

      If a matrix has only one column then it is called a column matrix. For example,

      It is column matrix of order 3 by 1.

      3. Null or Zero Matrix

      If all the entries of a matrix are zero then it is called a Null or zero matrix. For example,

      It is null matrix of order 2 by 2. A null or zero matrix is denoted by ‘O’.

      4. Square Matrix

      In a matrix, if the number of rows is equal to the number of columns, then it is called a Square Matrix. For example, if a matrix has 2 rows and 2 columns then it is called a Square Matrix as given below

      5. Rectangular Matrix

      In a matrix, if the number of rows is not equal to the number of columns, then it is called a Rectangular Matrix. For example, if a matrix has 2 rows and 3 columns then it is called a Rectangular Matrix as given below.

      6. Diagonal Matrix

      If all the elements of a square matrix are zero except those in the main diagonal, then it is called a Diagonal Matrix. However, few elements of the main diagonal can be zero but not all elements. For example,

      7. Scalar Matrix

      If all the diagonal elements of a diagonal matrix are same, then it is called a Scalar Matrix. For example,

      8. Unit or Identity Matrix

      If each diagonal element of a diagonal matrix is 1, then it is called a Unit or Identity Matrix. For example,

      9. Negative of a Matrix

      A Negative matrix is obtained by replacing the signs of its all entries. Consider a matrix A and let’s change it into negative matrix –A as,

      10. Transpose of a Matrix

      A transpose of a matrix is obtained by interchanging all of its rows into columns or columns into rows. It is denoted by or . For example,

      11. Symmetric Matrix

      A square matrix is said to be Symmetric if it is equal to its transpose. For example,

      12. Skew-Symmetric Matrix

      A square matrix is said to be Skew-Symmetric if its transpose is equal to the negative of this matrix i.e. . For example,

      Hence, Matrix A is Skew-Symmetric.


      Arrays via Named Columns

      An array in procedural programming languages has a name, and subscripts by which the array elements are referenced. The array elements are all of the same data type and the subscripts are all sequential integers. Some languages start subscripts at zero, some start at one, and some let the user set the upper and lower bounds of each subscript. Algol 60 even allowed arrays to be declared with dynamic subscripts using expressions in the declarations when program control enters a block the array is deallocated on exciting the block. Most languages are not that complex. For example, a Pascal array declaration would look like this:


      Multiple Operations

      To facilitate exposition, we have generally restricted our examples to one matrix or array operation. Sometimes we have put the result on the left and sometimes on the right. Moreover, we have used an arrow when it appeared useful and an equality sign at other times. When writing commands to be executed by a programming system, of course, rather strict rules of syntax must be followed. Generally, the result must be written first, followed by an equality sign, followed by an expresión indicating the desired computations. Such expressions can include multiple matrix and/or array operations, if desired. Por ejemplo:

      This would be perfectly legal if the dimensions of A, B y C were appropriate. The sense of the equality sign is that of assignment. Thus the statement really says: "D should be assigned the result obtained by multiplying the inverse of A times the product of B y C."

      Statements such as this, which are designed to be operated on by a programming system, are generally written without bold fonts, since such subtleties would be lost on the processor, even if they could be presented to it.


      Ver el vídeo: Multiplicación de matrices. Producto de matrices. Ejemplo 1 (Octubre 2021).