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1.2: Volúmenes de sólidos de revolución - carcasas cilíndricas


En esta sección, examinamos el método de las carcasas cilíndricas, el método final para encontrar el volumen de un sólido de revolución. Con el método de conchas cilíndricas, integramos a lo largo de la coordenada eje perpendicular al eje de revolución. En la última parte de esta sección, revisamos todos los métodos para encontrar el volumen que hemos estudiado y presentamos algunas pautas para ayudarlo a determinar qué método usar en una situación determinada.

El método de las carcasas cilíndricas

Nuevamente, estamos trabajando con un sólido de revolución. Como antes, definimos una región (R ), delimitada arriba por la gráfica de una función (y = f (x) ), abajo por la eje x, ya la izquierda y derecha por las líneas (x = a ) y (x = b ), respectivamente, como se muestra en la Figura ( PageIndex {1a} ). Luego giramos esta región alrededor del y-eje, como se muestra en la Figura ( PageIndex {1b} ). Tenga en cuenta que esto es diferente de lo que hemos hecho antes. Anteriormente, las regiones definidas en términos de funciones de (x ) giraban en torno al eje x o una línea paralela a ella.

Como hemos hecho muchas veces antes, particione el intervalo ([a, b] ) usando una partición regular, (P = {x_0, x_1,…, x_n} ) y, para (i = 1,2 ,…, N ), elija un punto (x ^ ∗ _ i∈ [x_ {i − 1}, x_i] ). Luego, construya un rectángulo sobre el intervalo ([x_ {i − 1}, x_i] ) de altura (f (x ^ ∗ _ i) ) y ancho (Δx ). Un rectángulo representativo se muestra en la Figura ( PageIndex {2a} ). Cuando ese rectángulo gira alrededor del y-eje, en lugar de un disco o una arandela, obtenemos una carcasa cilíndrica, como se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ).

Para calcular el volumen de este caparazón, considere la Figura ( PageIndex {3} ).

La carcasa es un cilindro, por lo que su volumen es el área de la sección transversal multiplicada por la altura del cilindro. Las secciones transversales son anillos (regiones en forma de anillo, esencialmente círculos con un agujero en el centro), con un radio exterior (x_i ) y un radio interior (x_ {i − 1} ). Por lo tanto, el área de la sección transversal es (πx ^ 2_i − πx ^ 2_ {i − 1} ). La altura del cilindro es (f (x ^ ∗ _ i). ) Entonces el volumen de la cáscara es

[ begin {align *} V_ {shell} & = f (x ^ ∗ _ i) (πx ^ 2_ {i} −πx ^ 2_ {i − 1}) [5pt] & = πf (x ^ ∗ _i) (x ^ 2_i − x ^ 2_ {i − 1}) [5pt] & = πf (x ^ ∗ _ i) (x_i + x_ {i − 1}) (x_i − x_ {i − 1}) [5pt] & = 2πf (x ^ ∗ _ i) ( dfrac {x_i + x_ {i − 1}} {2}) (x_i − x_ {i − 1}). end {alinear *} ]

Tenga en cuenta que (x_i − x_ {i − 1} = Δx, ) entonces tenemos

[V_ {caparazón} = 2πf (x ^ ∗ _ i) ( dfrac {x_i + x_ {i − 1}} {2}) Δx. ]

Además, ( dfrac {x_i + x_ {i − 1}} {2} ) es tanto el punto medio del intervalo ([x_ {i − 1}, x_i] ) como el radio promedio del caparazón, y podemos aproximar esto por (x ^ ∗ _ i ). Entonces tenemos

[V_ {caparazón} ≈2πf (x ^ ∗ _ i) x ^ ∗ _ iΔx. ]

Otra forma de pensar en esto es pensar en hacer un corte vertical en el caparazón y luego abrirlo para formar una placa plana (Figura ( PageIndex {4} )).

En realidad, el radio exterior de la carcasa es mayor que el radio interior y, por tanto, el borde trasero de la placa sería ligeramente más largo que el borde delantero de la placa. Sin embargo, podemos aproximar el caparazón aplanado por una placa plana de altura (f (x ^ ∗ _ i) ), ancho (2πx ^ ∗ _ i ) y espesor (Δx ) (Figura). El volumen de la cáscara, entonces, es aproximadamente el volumen de la placa plana. Multiplicando la altura, el ancho y la profundidad de la placa, obtenemos

[V_ {caparazón} ≈f (x ^ ∗ _ i) (2πx ^ ∗ _ i) Δx, ]

que es la misma fórmula que teníamos antes.

Para calcular el volumen de todo el sólido, luego sumamos los volúmenes de todas las conchas y obtenemos

[V≈ sum_ {i = 1} ^ n (2πx ^ ∗ _ if (x ^ ∗ _ i) Δx). ]

Aquí tenemos otra suma de Riemann, esta vez para la función (2πxf (x). ) Tomando el límite como (n → ∞ ) nos da

[V = lim_ {n → ∞} sum_ {i = 1} ^ n (2πx ^ ∗ _ if (x ^ ∗ _ i) Δx) = int ^ b_a (2πxf (x)) dx. ]

Esto conduce a la siguiente regla para el método de conchas cilíndricas.

Regla: el método de las carcasas cilíndricas

Sea (f (x) ) continua y no negativa. Defina (R ) como la región acotada arriba por la gráfica de (f (x) ), abajo por la eje x, a la izquierda por la línea (x = a ) y a la derecha por la línea (x = b ). Entonces, el volumen del sólido de revolución formado al girar (R ) alrededor de la y-eje está dado por

[V = int ^ b_a (2πxf (x)) dx. ]

Ahora consideremos un ejemplo.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): El método de conchas cilíndricas I

Defina (R ) como la región acotada arriba por la gráfica de (f (x) = 1 / x ) y abajo por la eje x sobre el intervalo ([1,3] ). Encuentre el volumen del sólido de revolución formado al girar (R ) alrededor del (eje y ).

Solución

Primero debemos graficar la región (R ) y el sólido de revolución asociado, como se muestra en la Figura ( PageIndex {5} ).

Entonces el volumen del sólido viene dado por

[ begin {align *} V & = int ^ b_a (2πxf (x)) dx & = int ^ 3_1 (2πx ( dfrac {1} {x})) dx & = int ^ 3_12π , dx & = 2πx | ^ 3_1 = 4π , unidades ^ 3. end {alinear *} ]

Figura ( PageIndex {5} ): (c) El diagrama interactivo usando CalcPlot3D

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Defina R como la región acotada arriba por la gráfica de (f (x) = x ^ 2 ) y abajo por el eje x sobre el intervalo ([1,2] ). Encuentre el volumen del sólido de revolución formado al girar (R ) alrededor del (eje y. )

Pista

Utilice el procedimiento del Ejemplo ( PageIndex {1} ).

Respuesta

[ dfrac {15π} {2} unidades ^ 3 nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {2} ): El método de conchas cilíndricas II

Defina (R ) como la región acotada arriba por la gráfica de (f (x) = 2x − x ^ 2 ) y abajo por el eje x sobre el intervalo ([0,2] ). Encuentre el volumen del sólido de revolución formado al girar (R ) alrededor de la eje y.

Solución

Primero grafique la región (R ) y el sólido de revolución asociado, como se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ).

Entonces el volumen del sólido viene dado por

[ begin {align *} V & = int ^ b_a (2πxf (x)) dx & = int ^ 2_0 (2πx (2x − x ^ 2)) dx & = 2π int ^ 2_0 (2x ^ 2 − x ^ 3) dx & = 2π left. left [ dfrac {2x ^ 3} {3} - dfrac {x ^ 4} {4} right] right | ^ 2_0 & = dfrac {8π} {3} unidades ^ 3 end { alinear*}]

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Defina (R ) como la región acotada arriba por la gráfica de (f (x) = 3x − x ^ 2 ) y abajo por el (eje x ) sobre el intervalo ([0,2] ). Encuentre el volumen del sólido de revolución formado al girar (R ) alrededor del (eje y ).

Pista

Utilice el proceso del Ejemplo ( PageIndex {2} ).

Respuesta

(8π ) unidades

Al igual que con el método de disco y el método de arandela, podemos usar el método de carcasas cilíndricas con sólidos de revolución, que giran alrededor del (eje x, ) cuando queremos integrar con respecto a (y ). Aquí se da la regla análoga para este tipo de sólidos.

Regla: El método de las carcasas cilíndricas para sólidos de revolución alrededor del eje x

Sea (g (y) ) continuo y no negativo. Defina (Q ) como la región delimitada a la derecha por la gráfica de (g (y) ), a la izquierda por el (eje y ), abajo por la línea (y = c ) , y arriba por la línea (y = d ). Entonces, el volumen del sólido de revolución formado al girar (Q ) alrededor del (eje x ) está dado por

[V = int ^ d_c (2πyg (y)) dy. ]

Ejemplo ( PageIndex {3} ): El método de conchas cilíndricas para un sólido que gira alrededor del eje x

Defina (Q ) como la región delimitada a la derecha por la gráfica de (g (y) = 2 sqrt {y} ) y a la izquierda por el (eje y ) para (y∈ [0,4] ). Encuentre el volumen del sólido de revolución formado al girar (Q ) alrededor del (eje x ).

Solución

Primero, necesitamos graficar la región (Q ) y el sólido de revolución asociado, como se muestra en la Figura ( PageIndex {7} ).

Rotula la región sombreada (Q ). Entonces el volumen del sólido viene dado por

[ begin {align *} V & = int ^ d_c (2πyg (y)) dy & = int ^ 4_0 (2πy (2 sqrt {y})) dy & = 4π int ^ 4_0y ^ {3/2} dy & = 4π [ dfrac {2y ^ {5/2}} {5}] ∣ ^ 4_0 & = dfrac {256π} {5} , unidades ^ 3 fin {alinear *} ]

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Defina (Q ) como la región limitada a la derecha por la gráfica de (g (y) = 3 / y ) y a la izquierda por el (eje y ) para (y∈ [1, 3] ). Encuentre el volumen del sólido de revolución formado al girar (Q ) alrededor del (eje x ).

Pista

Utilice el proceso del Ejemplo ( PageIndex {3} ).

Respuesta

(12π ) unidades

Para el siguiente ejemplo, miramos un sólido de revolución para el cual la gráfica de una función gira alrededor de una línea que no sea uno de los dos ejes de coordenadas. Para configurar esto, necesitamos revisar el desarrollo del método de las carcasas cilíndricas. Recuerde que encontramos que el volumen de una de las conchas viene dado por

[ begin {align *} V_ {shell} & = f (x ^ ∗ _ i) (πx ^ 2_i − πx ^ 2_ {i − 1}) [5pt] & = πf (x ^ ∗ _ i) ( x ^ 2_i − x ^ 2_ {i − 1}) [5pt] & = πf (x ^ ∗ _ i) (x_i + x_ {i − 1}) (x_i − x_ {i − 1}) [ 5pt] & = 2πf (x ^ ∗ _ i) ( dfrac {x_i + x_ {i − 1}} {2}) (x_i − x_ {i − 1}). End {align *} ]

Esto se basó en un caparazón con un radio exterior de (x_i ) y un radio interior de (x_ {i − 1} ). Sin embargo, si giramos la región alrededor de una línea que no sea (eje y ), tenemos un radio externo e interno diferente. Supongamos, por ejemplo, que rotamos la región alrededor de la línea (x = −k, ) donde (k ) es una constante positiva. Entonces, el radio exterior del caparazón es (x_i + k ) y el radio interno del caparazón es (x_ {i − 1} + k ). Sustituyendo estos términos en la expresión de volumen, vemos que cuando una región plana gira alrededor de la línea (x = −k, ) el volumen de una capa está dado por

[ begin {align *} V_ {shell} & = 2πf (x ^ ∗ _ i) ( dfrac {(x_i + k) + (x_ {i − 1} + k)} {2}) ((x_i + k) - (x_ {i − 1} + k)) [5pt] & = 2πf (x ∗ ^ i) (( dfrac {x_i + x_ {i − 2}} {2}) + k) Δx . end {align *} ]

Como antes, notamos que ( dfrac {x_i + x_ {i − 1}} {2} ) es el punto medio del intervalo ([x_ {i − 1}, x_i] ) y puede ser aproximado por (x ^ ∗ _ i ). Entonces, el volumen aproximado de la cáscara es

[V_ {caparazón} ≈2π (x ^ ∗ _ i + k) f (x ^ ∗ _ i) Δx. ]

El resto del desarrollo procede como antes, y vemos que

[V = int ^ b_a (2π (x + k) f (x)) dx. ]

También podríamos rotar la región alrededor de otras líneas horizontales o verticales, como una línea vertical en el semiplano derecho. En cada caso, la fórmula de volumen debe ajustarse en consecuencia. Específicamente, el (término-x ) en la integral debe reemplazarse con una expresión que represente el radio de una capa. Para ver cómo funciona esto, considere el siguiente ejemplo.

Ejemplo ( PageIndex {4} ): una región de revolución que gira alrededor de una línea

Defina (R ) como la región acotada arriba por la gráfica de (f (x) = x ) y abajo por el (eje x ) sobre el intervalo ([1,2] ). Encuentra el volumen del sólido de revolución formado al girar (R ) alrededor de la línea (x = −1. )

Solución

Primero, grafique la región (R ) y el sólido de revolución asociado, como se muestra en la Figura ( PageIndex {8} ).

Tenga en cuenta que el radio de un caparazón viene dado por (x + 1 ). Entonces el volumen del sólido viene dado por

[ begin {align *} V & = int ^ 2_1 2π (x + 1) f (x) , dx & = int ^ 2_1 2π (x + 1) x , dx = 2π int ^ 2_1 x ^ 2 + x , dx & = 2π left [ dfrac {x ^ 3} {3} + dfrac {x ^ 2} {2} right] | ^ 2_1 & = dfrac {23π} {3} , text {unidades} ^ 3 end {align *} ]

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Defina (R ) como la región acotada arriba por la gráfica de (f (x) = x ^ 2 ) y abajo por el (eje x ) sobre el intervalo ([0,1] ) . Encuentra el volumen del sólido de revolución formado al girar (R ) alrededor de la línea (x = −2 ).

Pista

Utilice el proceso del Ejemplo ( PageIndex {4} ).

Respuesta

( dfrac {11π} {6} ) unidades3

Para nuestro ejemplo final en esta sección, veamos el volumen de un sólido de revolución para el cual la región de revolución está limitada por las gráficas de dos funciones.

Ejemplo ( PageIndex {5} ): una región de revolución limitada por las gráficas de dos funciones

Defina (R ) como la región acotada arriba por la gráfica de la función (f (x) = sqrt {x} ) y abajo por la gráfica de la función (g (x) = 1 / x ) sobre el intervalo ([1,4] ). Encuentre el volumen del sólido de revolución generado al girar (R ) alrededor del (eje y. )

Solución

Primero, grafique la región (R ) y el sólido de revolución asociado, como se muestra en la Figura ( PageIndex {9} ).

Tenga en cuenta que el eje de revolución es el (eje y ), por lo que el radio de un caparazón viene dado simplemente por (x ). No necesitamos hacer ningún ajuste en el término x de nuestro integrando. Sin embargo, la altura de un caparazón viene dada por (f (x) −g (x) ), por lo que en este caso necesitamos ajustar el término (f (x) ) del integrando. Entonces el volumen del sólido viene dado por

[ begin {align *} V & = int ^ 4_1 (2πx (f (x) −g (x))) dx [5pt] & = int ^ 4_1 (2πx ( sqrt {x} - dfrac {1} {x})) dx = 2π int ^ 4_1 (x ^ {3/2} −1) dx [5pt] & = 2π [ dfrac {2x ^ {5/2}} { 5} −x] ∣ ^ 4_1 = dfrac {94π} {5} , text {unidades} ^ 3. end {alinear *} ]

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Defina (R ) como la región acotada arriba por la gráfica de (f (x) = x ) y abajo por la gráfica de (g (x) = x ^ 2 ) sobre el intervalo ([0 , 1] ). Encuentre el volumen del sólido de revolución formado al girar (R ) alrededor del (eje y ).

Pista

Sugerencia: utilice el proceso del Ejemplo ( PageIndex {5} ).

Respuesta

( dfrac {π} {6} ) unidades3

¿Qué método debemos utilizar?

Hemos estudiado varios métodos para encontrar el volumen de un sólido de revolución, pero ¿cómo sabemos qué método usar? A menudo se reduce a elegir qué integral es más fácil de evaluar. La figura ( PageIndex {10} ) describe los diferentes enfoques para sólidos de revolución alrededor del (eje x. ) Depende de usted desarrollar la tabla análoga para sólidos de revolución alrededor del (eje y. )

Echemos un vistazo a un par de problemas adicionales y decidamos cuál es el mejor enfoque para resolverlos.

Ejemplo ( PageIndex {6} ): seleccionar el mejor método

Para cada uno de los siguientes problemas, seleccione el mejor método para encontrar el volumen de un sólido de revolución generado al girar la región dada alrededor del (eje x, ) y configure la integral para encontrar el volumen (no evalúe el integral).

  1. La región delimitada por las gráficas de (y = x, y = 2 − x, ) y el (eje x. )
  2. La región delimitada por las gráficas de (y = 4x − x ^ 2 ) y el (eje x. )

Solución:

un.

Primero, dibuje la región y el sólido de revolución como se muestra.

Mirando la región, si queremos integrar con respecto a (x ), tendríamos que dividir la integral en dos partes, porque tenemos diferentes funciones que delimitan la región sobre ([0,1] ) y ([1,2] ). En este caso, usando el método del disco, tendríamos

[V = int ^ 1_0 (πx ^ 2) dx + int ^ 2_1 (π (2 − x) ^ 2) dx. sin número]

Si usáramos el método de la capa en su lugar, usaríamos funciones de y para representar las curvas, produciendo

[V = int ^ 1_0 (2πy [(2 − y) −y]) dy = int ^ 1_0 (2πy [2−2y]) dy. sin número]

Ninguna de estas integrales es particularmente onerosa, pero como el método de caparazón requiere solo una integral y el integrando requiere menos simplificación, probablemente deberíamos usar el método de caparazón en este caso.

B.

Primero, dibuje la región y el sólido de revolución como se muestra.

Mirando la región, sería problemático definir un rectángulo horizontal; la región está limitada a la izquierda y a la derecha por la misma función. Por tanto, podemos descartar el método de las conchas. El sólido no tiene cavidad en el medio, por lo que podemos usar el método de los discos. Luego

[V = int ^ 4_0π (4x − x ^ 2) ^ 2dx nonumber ]

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Seleccione el mejor método para encontrar el volumen de un sólido de revolución generado al girar la región dada alrededor del (eje x ), y configure la integral para encontrar el volumen (no evalúe la integral): la región delimitada por las gráficas de (y = 2 − x ^ 2 ) y (y = x ^ 2 ).

Pista

Dibuje la región y use la Figura ( PageIndex {12} ) para decidir qué integral es más fácil de evaluar.

Respuesta

Utilice el método de las arandelas; [V = int ^ 1 _ {- 1} π [(2 − x ^ 2) ^ 2− (x ^ 2) ^ 2] dx nonumber ]

Conceptos clave

  • El método de las carcasas cilíndricas es otro método para usar una integral definida para calcular el volumen de un sólido de revolución. Este método es a veces preferible al método de los discos o al método de las lavadoras porque lo integramos con respecto a la otra variable. En algunos casos, una integral es sustancialmente más complicada que la otra.
  • La geometría de las funciones y la dificultad de la integración son los principales factores a la hora de decidir qué método de integración utilizar.

Ecuaciones clave

  • Método de conchas cilíndricas

(V = int ^ b_a (2πxf (x)) dx )

Glosario

método de conchas cilíndricas
un método para calcular el volumen de un sólido de revolución dividiendo el sólido en capas cilíndricas anidadas; este método se diferencia de los métodos de discos o arandelas en que integramos con respecto a la variable opuesta

Colaboradores

  • Gilbert Strang (MIT) y Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) con muchos autores contribuyentes. Este contenido de OpenStax tiene una licencia CC-BY-SA-NC 4.0. Descárguelo gratis en http://cnx.org.


Cálculo temprano trascendental: cálculo integral y multivariable para ciencias sociales

En la sección anterior, calculamos el volumen de un sólido de revolución en un intervalo cerrado ([a, b] ) sumando las áreas de la sección transversal, que obtuvimos al cortar el sólido con planos perpendiculares al eje de rotación sobre ([a, b] text <.> ) Hay otro método, que en lugar de crear rodajas de disco creará rodajas de cáscara cilíndricas. Estas láminas de concha cilíndricas se crean cortando el sólido con cilindros que se envuelven simétricamente alrededor del eje de rotación como se muestra en la Figura 3.15. Esto es similar a apilar rollos de toallas de papel de radios crecientes entre sí.

Así como pudimos sumar discos, también podemos sumar y, por lo tanto, este método de integración para calcular el volumen de un sólido de revolución se denomina. Comenzamos investigando tales capas cuando rotamos el área de una región acotada alrededor del eje (y ).

Subsección 3.4.1 Método Shell: Integración w.r.t. (X)

Suponga que la región delimitada por (f (x) = sqrt+2 ) con (x in [1,5] ) se gira alrededor del eje (y ) - como se muestra a continuación a la derecha. Es posible, pero inconveniente, calcular el volumen del sólido resultante mediante el método de lavado que hemos utilizado hasta ahora. El problema es que hay dos "tipos" de arandelas típicas: las que van desde la curva (f ) a la línea (x = 5 ) y las que se encuentran entre las líneas (x = 1 ) y (x = 5 ) como se muestra a continuación a la izquierda.

Para calcular el volumen usando este enfoque, necesitamos dividir el problema en dos partes y calcular dos integrales:

Si, en cambio, cortamos el sólido de revolución paralelo al eje de rotación usando carcasas cilíndricas con radios crecientes en el intervalo ([1,5] ) a lo largo del eje (x ) -, entonces cualquiera de las carcasas cilíndricas tiene altura (f ) como se muestra a continuación.

Tenga en cuenta que las "arandelas" están relacionadas con el área de un círculo, ( pi r ^ 2 text <,> ) mientras que las "conchas" están relacionadas con el área de la superficie de un cilindro abierto, (2 pi rh text <.> ) Si sumamos el volumen de conchas tan delgadas obtendremos una aproximación al volumen real. ¿Cuál es el volumen de tal caparazón? Considere el caparazón en ( ds x_i text <.> ) Imagine que cortamos el caparazón verticalmente en un lugar y “desenrollamos” la superficie del caparazón cilíndrico en una hoja delgada y plana, como se muestra a continuación.

Esta hoja será casi un prisma rectangular que es ( Delta x ) de espesor, (h ) alto y ( ds 2 pi r ) de ancho (la circunferencia de la carcasa cilíndrica). En términos de (x_i text <,> ) observe que (h ) es la altura de (f text <,> ) y que el radio (r ) es precisamente (x_i text <.> ) El volumen de una concha cilíndrica será aproximadamente el volumen de un prisma rectangular con estas dimensiones: ( ds 2 pi x_i f (x_i) Delta x text <.> ) Si sumamos estos arriba y tomamos el límite como de costumbre, obtenemos la integral

Ahora usa la sustitución para evaluar la integral:

Esto logra la tarea con una sola integral. Se puede argumentar que, al final, tuvimos que hacer la misma cantidad de trabajo. Sin embargo, a menudo hay situaciones en las que uno de los dos métodos, arandela o cáscara, es más fácil que el otro. Por lo tanto, vale la pena investigar esta técnica al calcular volúmenes de sólidos de revolución. Capturamos nuestros resultados en el siguiente teorema.

Teorema 3.32. Método de caparazón: Área bajo la curva - Integración w.r.t. (X).

Suponga que (f ) no es negativo y es continuo en el intervalo ([a, b] text <.> ) Entonces, el volumen (V ) formado al rotar el área bajo la curva de (f ) sobre el eje (y ) - es

(x_i ) es la ubicación de la carcasa cilíndrica y su radio,

(f (x_i) ) es la altura de la carcasa cilíndrica, y

( Delta x ) es el grosor de la carcasa cilíndrica como se muestra a continuación.

A continuación, proporcionamos un ejemplo del método Shell.

Ejemplo 3.33. Método Shell - Integración w.r.t. (X).

Suponga que el área debajo de la curva (f (x) = x + 1 ) para todo (x ) en ([0,3] ) se gira alrededor del eje (y ) -. Encuentre el volumen usando el Método Shell.

Comenzamos graficando (f ) en el intervalo ([0,3] ) e identificamos un cascarón cilíndrico arbitrario como se muestra a continuación.

Entonces el volumen viene dado por

Una vez más, podemos rotar el área de cualquier región alrededor de un eje de rotación, incluyendo el área de una región limitada arriba por una función (y = f (x) ) y abajo por una función (y = g (x ) ) en un intervalo (x en [a, b] ) como investigaremos a continuación.

El eje de rotación puede ser cualquier eje paralelo al eje (y ) - para que este método funcione. Considere nuevamente la región limitada por la función (f (x) = sqrt+2 ) con (x in [1,5] text <,> ) pero también incluiremos un segundo límite, a saber, la función (g (x) = frac <1> <4> (x -1) ^ 2 text <.> ) El álgebra nos muestra que (f & gt g ) en (x in [1,5] text <.> ) Queremos calcular el volumen del sólido obtenido al rotar la región acotada alrededor del eje (y ) -. Comenzamos graficando la región y recordamos que la región dada es la diferencia de dos regiones como se muestra a continuación:

Capturamos nuestro resultado en el siguiente teorema.

Teorema 3.34. Método Shell: Área entre curvas - Integración w.r.t. (X).

Suponga que (f ) y (g ) son no negativos y continuos en el intervalo ([a, b] ) con (f geq g ) para todo (x ) en ([ a, b] text <.> ) Sea (R ) el área acotada arriba por (f ) y abajo por (g ) así como las líneas (x = a ) y (x = b text <.> ) Entonces el volumen (V ) formado al rotar (R ) sobre el eje (y ) - es

(x_i ) es la ubicación de la carcasa cilíndrica y su radio,

(f (x_i) -g (x_i) ) es la altura de la carcasa cilíndrica, y

( Delta x ) es el grosor de la carcasa cilíndrica como se muestra a continuación.

Ahora proporcionamos un ejemplo más de una región delimitada por debajo y por encima de dos funciones (f ) y (g ) respectivamente.

Ejemplo 3.35. Método Shell - Integración w.r.t (x ).

Suponga que la región entre (f (x) = x + 1 ) y (g (x) = (x-1) ^ 2 ) gira alrededor del eje (y ) -. Encuentre el volumen usando el Método Shell.

Comenzamos por encontrar los puntos de intersección de las dos funciones (f ) y (g text <:> )

y entonces (x = 0 ) y (x = 3 ) son los puntos de intersección. Ahora usamos esta información para graficar (f ) y (g ) en el intervalo ([0,3] ) e identificar una capa cilíndrica arbitraria como se muestra a continuación.

Luego, el volumen se calcula de la siguiente manera:

Subsección 3.4.2 Método Shell: Integración w.r.t. (y )

Hasta ahora, hemos discutido tres formas principales de generar un sólido de revolución y cómo calcular su volumen, que se enumeran a continuación. Recuerde que el método de arandela se reemplaza por el método de disco cuando la curva inferior o izquierda está descrita por el eje (x ) - o el eje (y ) - respectivamente.

Rotar un área que está delimitada por encima y por debajo de las funciones de (x ) así como las líneas (x = a ) y (x = b ) alrededor del eje (x ) - y luego usar el Método de lavado para el cálculo del volumen.

Rotar un área delimitada a derecha e izquierda por las funciones de (y ) así como por las líneas (y = c ) y (y = d ) alrededor del eje (y ) - y luego usar el Método de lavado para el cálculo del volumen.

Rotar un área que está delimitada arriba y abajo por las funciones de (x ) así como las líneas (x = a ) y (x = b ) alrededor del eje (y ) -, y luego usar el Método Shell para el cálculo de volumen.

Solo queda un caso:

Rotar un área delimitada a derecha e izquierda por las funciones de (y ) así como por las líneas (y = c ) y (y = d ) alrededor del eje (y ) - y luego usar el Método Shell para el cálculo de volumen.

Estamos fácilmente convencidos de que el volumen de un sólido de revolución de este tipo se puede calcular utilizando un método de Shell similar al que se discutió anteriormente, que se resume en el siguiente teorema.

Teorema 3.36. Método Shell: Área entre curvas - Integración w.r.t. (y ).

Suponga que (f ) y (g ) son no negativos y continuos en el intervalo ([c, d] ) con (f geq g ) para todo (y ) en ([ c, d] text <.> ) Sea (R ) el área delimitada a la derecha por (f ) y a la izquierda por (g ), así como las líneas (y = c ) y (y = d text <.> ) Entonces el volumen (V ) formado al rotar (R ) sobre el eje (x ) - es

(y_i ) es la ubicación de la carcasa cilíndrica y su radio,

(f (y_i) -g (y_i) ) es la altura de la carcasa cilíndrica, y

( Delta y ) es el grosor de la carcasa cilíndrica como se muestra a continuación.

También proporcionamos un ejemplo para ejemplificar este método.

Ejemplo 3.37. Comparación de métodos.

Suponga que el área debajo de ( ds y = -x ^ 2 + 1 ) se gira alrededor del eje (x ) -. Encuentra el volumen del sólido de rotación usando

Comenzamos graficando el área e indicamos un disco arbitrario:

Nuevamente comenzamos graficando el área e indicamos una concha cilíndrica arbitraria:

Por lo tanto, el volumen se calcula con

Subsección 3.4.3 Resumen

Hay muchos escenarios diferentes en los que se puede emplear el método Shell, que no se tratan aquí, sin embargo, proporcionamos una guía general.

Directriz para el método Shell.

Los siguientes pasos describen cómo emplear el método Shell.

Construya una carcasa cilíndrica arbitraria paralela al eje de rotación.

Identifique el radio y la altura de la carcasa cilíndrica.

Determine el grosor de la carcasa cilíndrica.

Configure la integral definida asegurándose de que está calculando el volumen de la carcasa cilíndrica construida.

Ejercicios para la sección 3.4.
Ejercicio 3.4.1.

Utilice el método Shell para encontrar los volúmenes de los sólidos generados al girar la región sombreada sobre el eje indicado.


2.3 Volúmenes de revolución: cáscaras cilíndricas

En esta sección, examinamos el método de conchas cilíndricas, el método final para encontrar el volumen de un sólido de revolución. Podemos usar este método en los mismos tipos de sólidos que el método de disco o el método de arandela, sin embargo, con los métodos de disco y arandela, integramos a lo largo del eje de coordenadas paralelo al eje de revolución. Con el método de carcasas cilíndricas, integramos a lo largo del eje de coordenadas perpendicular al eje de revolución. La capacidad de elegir qué variable de integración queremos usar puede ser una ventaja significativa con funciones más complicadas. Además, la geometría específica del sólido a veces hace que el método de usar carcasas cilíndricas sea más atractivo que el método de arandela. En la última parte de esta sección, revisamos todos los métodos para encontrar el volumen que hemos estudiado y presentamos algunas pautas para ayudarlo a determinar qué método usar en una situación determinada.

El método de las carcasas cilíndricas

Nuevamente, estamos trabajando con un sólido de revolución. Como antes, definimos una región R, R, delimitada arriba por la gráfica de una función y = f (x), y = f (x), abajo por el eje x, eje x, y a la izquierda y a la derecha por las líneas x = ax = ay x = b, x = b, respectivamente, como se muestra en la figura 2.25 (a). Luego giramos esta región alrededor del y-eje, como se muestra en la Figura 2.25 (b). Tenga en cuenta que esto es diferente de lo que hemos hecho antes. Anteriormente, las regiones definidas en términos de funciones de x x giraban alrededor del eje x eje x o una línea paralela a él.

Para calcular el volumen de esta capa, considere la Figura 2.27.

La carcasa es un cilindro, por lo que su volumen es el área de la sección transversal multiplicada por la altura del cilindro. Las secciones transversales son anillos (regiones en forma de anillo, esencialmente círculos con un agujero en el centro), con radio exterior x i x i y radio interior x i - 1. x i - 1. Por lo tanto, el área de la sección transversal es π x i 2 - π x i - 1 2. π x yo 2 - π x yo - 1 2. La altura del cilindro es f (x i *). f (x i *). Entonces el volumen de la cáscara es

Tenga en cuenta que x i - x i - 1 = Δ x, x i - x i - 1 = Δ x, por lo que tenemos

Otra forma de pensar en esto es pensar en hacer un corte vertical en el caparazón y luego abrirlo para formar una placa plana (Figura 2.28).

En realidad, el radio exterior de la carcasa es mayor que el radio interior y, por tanto, el borde trasero de la placa sería ligeramente más largo que el borde delantero de la placa. Sin embargo, podemos aproximar el caparazón aplanado por una placa plana de altura f (x i *), f (x i *), ancho 2 π x i *, 2 π x i * y espesor Δ x Δ x (Figura 2.28). El volumen de la cáscara, entonces, es aproximadamente el volumen de la placa plana. Multiplicando la altura, el ancho y la profundidad de la placa, obtenemos

que es la misma fórmula que teníamos antes.

Para calcular el volumen de todo el sólido, luego sumamos los volúmenes de todas las conchas y obtenemos

Aquí tenemos otra suma de Riemann, esta vez para la función 2 π x f (x). 2 π x f (x). Tomando el límite como n → ∞ n → ∞ nos da


¿Qué método debemos utilizar?

Hemos estudiado varios métodos para encontrar el volumen de un sólido de revolución, pero ¿cómo sabemos qué método usar? A menudo se reduce a elegir qué integral es más fácil de evaluar. La figura ( PageIndex <10> ) describe los diferentes enfoques para sólidos de revolución alrededor del eje (x ). Depende de usted desarrollar la tabla análoga para sólidos de revolución alrededor del eje (y ).

Figura ( PageIndex <10> )

Dejemos que & rsquos eche un vistazo a un par de problemas adicionales y decidamos cuál es el mejor enfoque para resolverlos.

Ejemplo ( PageIndex <6> ): Seleccionar el mejor método

Para cada uno de los siguientes problemas, seleccione el mejor método para encontrar el volumen de un sólido de revolución generado al girar la región dada alrededor del eje (x ) - y configure la integral para encontrar el volumen (no evalúe el integral).

  1. La región delimitada por las gráficas de (y = x, y = 2 & minusx, ) y el eje (x ) -.
  2. La región delimitada por las gráficas de (y = 4x & minusx ^ 2 ) y el eje (x ) -.

Primero, dibuje la región y el sólido de revolución como se muestra.

Figura ( PageIndex <11> ): (a) La región (R ) delimitada por dos líneas y el eje (x ). (b) El sólido de revolución generado al girar (R ) alrededor del eje (x ) -.

Mirando la región, si queremos integrar con respecto a (x ), tendríamos que dividir la integral en dos partes, porque tenemos diferentes funciones que delimitan la región sobre ([0,1] ) y ([1,2] ). En este caso, usando el método del disco, tendríamos

Si usáramos el método de capa en su lugar, usaríamos funciones de y para representar las curvas, produciendo

Ninguna de estas integrales es particularmente onerosa, pero dado que el método de caparazón requiere solo una integral, y el integrando requiere menos simplificación, probablemente deberíamos utilizar el método de caparazón en este caso.

Primero, dibuje la región y el sólido de revolución como se muestra.

Figura ( PageIndex <12> ): (a) La región (R ) entre la curva y el eje (x ). (b) El sólido de revolución generado al girar (R ) alrededor del eje (x ) -.

Mirando la región, sería problemático definir un rectángulo horizontal, la región está delimitada a la izquierda y a la derecha por la misma función. Por tanto, podemos descartar el método de las conchas. El sólido no tiene cavidad en el medio, por lo que podemos usar el método de los discos. Luego

[V = int ^ 4_0 & pi left (4x & minusx ^ 2 right) ^ 2 , dx nonumber ]

Seleccione el mejor método para encontrar el volumen de un sólido de revolución generado al girar la región dada alrededor del eje (x ) - y configure la integral para encontrar el volumen (no evalúe la integral): la región delimitada por las gráficas de (y = 2 & minusx ^ 2 ) y (y = x ^ 2 ).

Dibuje la región y use la Figura ( PageIndex <12> ) para decidir qué integral es más fácil de evaluar.

Use the method of washers [V=int ^1_<&minus1>&pileft[left(2&minusx^2 ight)^2&minusleft(x^2 ight)^2 ight],dx onumber]


6.3 Volumes of Revolution: Cylindrical Shells

In this section, we examine the method of cylindrical shells, the final method for finding the volume of a solid of revolution. We can use this method on the same kinds of solids as the disk method or the washer method however, with the disk and washer methods, we integrate along the coordinate axis parallel to the axis of revolution. With the method of cylindrical shells, we integrate along the coordinate axis perpendicular to the axis of revolution. The ability to choose which variable of integration we want to use can be a significant advantage with more complicated functions. Also, the specific geometry of the solid sometimes makes the method of using cylindrical shells more appealing than using the washer method. In the last part of this section, we review all the methods for finding volume that we have studied and lay out some guidelines to help you determine which method to use in a given situation.

The Method of Cylindrical Shells

Again, we are working with a solid of revolution. As before, we define a region R , R , bounded above by the graph of a function y = f ( x ) , y = f ( x ) , below by the x -axis, x -axis, and on the left and right by the lines x = a x = a and x = b , x = b , respectively, as shown in Figure 6.25(a). We then revolve this region around the y-axis, as shown in Figure 6.25(b). Note that this is different from what we have done before. Previously, regions defined in terms of functions of x x were revolved around the x -axis x -axis or a line parallel to it.

To calculate the volume of this shell, consider Figure 6.27.

The shell is a cylinder, so its volume is the cross-sectional area multiplied by the height of the cylinder. The cross-sections are annuli (ring-shaped regions—essentially, circles with a hole in the center), with outer radius x i x i and inner radius x i − 1 . x i − 1 . Thus, the cross-sectional area is π x i 2 − π x i − 1 2 . π x i 2 − π x i − 1 2 . The height of the cylinder is f ( x i * ) . f ( x i * ) . Then the volume of the shell is

Note that x i − x i − 1 = Δ x , x i − x i − 1 = Δ x , so we have

Another way to think of this is to think of making a vertical cut in the shell and then opening it up to form a flat plate (Figure 6.28).

In reality, the outer radius of the shell is greater than the inner radius, and hence the back edge of the plate would be slightly longer than the front edge of the plate. However, we can approximate the flattened shell by a flat plate of height f ( x i * ) , f ( x i * ) , width 2 π x i * , 2 π x i * , and thickness Δ x Δ x (Figure 6.28). The volume of the shell, then, is approximately the volume of the flat plate. Multiplying the height, width, and depth of the plate, we get

which is the same formula we had before.

To calculate the volume of the entire solid, we then add the volumes of all the shells and obtain

Here we have another Riemann sum, this time for the function 2 π x f ( x ) . 2 π x f ( x ) . Taking the limit as n → ∞ n → ∞ gives us


The Method of Cylindrical Shells

Again, we are working with a solid of revolution. As before, we define a region bounded above by the graph of a function below by the and on the left and right by the lines y respectively, as shown in (Figure)(a). We then revolve this region around the -axis, as shown in (Figure)(b). Note that this is different from what we have done before. Previously, regions defined in terms of functions of were revolved around the or a line parallel to it.

Figure 1. (a) A region bounded by the graph of a function of (b) The solid of revolution formed when the region is revolved around the

As we have done many times before, partition the interval using a regular partition, and, for choose a point Then, construct a rectangle over the interval of height and width A representative rectangle is shown in (Figure)(a). When that rectangle is revolved around the -axis, instead of a disk or a washer, we get a cylindrical shell, as shown in the following figure.

Figure 2. (a) A representative rectangle. (b) When this rectangle is revolved around the the result is a cylindrical shell. (c) When we put all the shells together, we get an approximation of the original solid.

To calculate the volume of this shell, consider (Figure).

Figure 3. Calculating the volume of the shell.

The shell is a cylinder, so its volume is the cross-sectional area multiplied by the height of the cylinder. The cross-sections are annuli (ring-shaped regions—essentially, circles with a hole in the center), with outer radius and inner radius Thus, the cross-sectional area is The height of the cylinder is Then the volume of the shell is

Tenga en cuenta que so we have

Furthermore, is both the midpoint of the interval and the average radius of the shell, and we can approximate this by Entonces tenemos

Another way to think of this is to think of making a vertical cut in the shell and then opening it up to form a flat plate ((Figure)).

Figure 4. (a) Make a vertical cut in a representative shell. (b) Open the shell up to form a flat plate.

In reality, the outer radius of the shell is greater than the inner radius, and hence the back edge of the plate would be slightly longer than the front edge of the plate. However, we can approximate the flattened shell by a flat plate of height ancho and thickness ((Figura)). The volume of the shell, then, is approximately the volume of the flat plate. Multiplying the height, width, and depth of the plate, we get

which is the same formula we had before.

To calculate the volume of the entire solid, we then add the volumes of all the shells and obtain

Here we have another Riemann sum, this time for the function Taking the limit as gives us

This leads to the following rule for the method of cylindrical shells.

Rule: The Method of Cylindrical Shells

Dejar be continuous and nonnegative. Definir as the region bounded above by the graph of below by the on the left by the line and on the right by the line Then the volume of the solid of revolution formed by revolving alrededor de -eje está dado por

Now let’s consider an example.

The Method of Cylindrical Shells 1

Definir as the region bounded above by the graph of and below by the durante el intervalo Find the volume of the solid of revolution formed by revolving alrededor de

Solution

First we must graph the region and the associated solid of revolution, as shown in the following figure.

Figure 5. (a) The region under the graph of durante el intervalo (b) The solid of revolution generated by revolving acerca de

Then the volume of the solid is given by

Definir R as the region bounded above by the graph of and below by the -axis over the interval Find the volume of the solid of revolution formed by revolving alrededor de

units 3

The Method of Cylindrical Shells 2

Definir R as the region bounded above by the graph of and below by the durante el intervalo Find the volume of the solid of revolution formed by revolving alrededor de

Solution

First graph the region and the associated solid of revolution, as shown in the following figure.

Figure 6. (a) The region under the graph of durante el intervalo (b) The volume of revolution obtained by revolving acerca de

Then the volume of the solid is given by

Definir as the region bounded above by the graph of and below by the durante el intervalo Find the volume of the solid of revolution formed by revolving alrededor de

Solution

units 3

As with the disk method and the washer method, we can use the method of cylindrical shells with solids of revolution, revolved around the when we want to integrate with respect to The analogous rule for this type of solid is given here.

Rule: The Method of Cylindrical Shells for Solids of Revolution around the -axis

Dejar be continuous and nonnegative. Definir as the region bounded on the right by the graph of on the left by the below by the line and above by the line Then, the volume of the solid of revolution formed by revolving alrededor de es dado por

The Method of Cylindrical Shells for a Solid Revolved around the -axis

Definir as the region bounded on the right by the graph of and on the left by the por Find the volume of the solid of revolution formed by revolving alrededor de -eje.

Solution

First, we need to graph the region and the associated solid of revolution, as shown in the following figure.

Figure 7. (a) The region to the left of the function durante el intervalo (b) The solid of revolution generated by revolving alrededor de

Label the shaded region Then the volume of the solid is given by

Definir as the region bounded on the right by the graph of and on the left by the por Find the volume of the solid of revolution formed by revolving alrededor de

Solution

units 3

For the next example, we look at a solid of revolution for which the graph of a function is revolved around a line other than one of the two coordinate axes. To set this up, we need to revisit the development of the method of cylindrical shells. Recall that we found the volume of one of the shells to be given by

This was based on a shell with an outer radius of and an inner radius of If, however, we rotate the region around a line other than the we have a different outer and inner radius. Suppose, for example, that we rotate the region around the line donde is some positive constant. Then, the outer radius of the shell is and the inner radius of the shell is Substituting these terms into the expression for volume, we see that when a plane region is rotated around the line the volume of a shell is given by

As before, we notice that is the midpoint of the interval and can be approximated by Then, the approximate volume of the shell is

The remainder of the development proceeds as before, and we see that

We could also rotate the region around other horizontal or vertical lines, such as a vertical line in the right half plane. In each case, the volume formula must be adjusted accordingly. Specifically, the in the integral must be replaced with an expression representing the radius of a shell. To see how this works, consider the following example.

A Region of Revolution Revolved around a Line

Definir as the region bounded above by the graph of and below by the durante el intervalo Find the volume of the solid of revolution formed by revolving around the line

Solution

First, graph the region and the associated solid of revolution, as shown in the following figure.

Figure 8. (a) The region between the graph of y el durante el intervalo (b) The solid of revolution generated by revolving around the line Then the volume of the solid is given by

Definir as the region bounded above by the graph of and below by the durante el intervalo Find the volume of the solid of revolution formed by revolving around the line

Solution

units 3

For our final example in this section, let’s look at the volume of a solid of revolution for which the region of revolution is bounded by the graphs of two functions.

A Region of Revolution Bounded by the Graphs of Two Functions

Definir as the region bounded above by the graph of the function and below by the graph of the function durante el intervalo Find the volume of the solid of revolution generated by revolving alrededor de

Solution

First, graph the region and the associated solid of revolution, as shown in the following figure.

[caption align="aligncenter"] Figure 9. (a) The region between the graph of and the graph of durante el intervalo (b) The solid of revolution generated by revolving alrededor de

Note that the axis of revolution is the so the radius of a shell is given simply by We don’t need to make any adjustments to the -term of our integrand. The height of a shell, though, is given by so in this case we need to adjust the term of the integrand. Then the volume of the solid is given by

Definir as the region bounded above by the graph of and below by the graph of durante el intervalo Find the volume of the solid of revolution formed by revolving alrededor de

Solution

units 3


Volume of Solids by Cylindrical Shells

Another method of finding the volume of a solid of revolution is by summing up cylindrical shells that are parallel to the axis of rotation. The reason behind multiple methods is because often one method gives elegant solutions to problems which would be challenging to solve by another.

There are two methods of using cylindrical shells:

  1. The first principle method where the volume of the solid of revolution is found by summing up thin cylindrical shells.
  2. Treating the cylindrical shell as a rectangular prism by rolling out the cylinder.

Both methods are acceptable by the syllabus but the second method tends to be easier, thus it will be used more often.

The following examples demonstrate how we can use the method of cylindrical shell to find the volume of the solid of revolution.

Ejemplo 7

Use the method of cylindrical shells to find the volume of the solid formed when the shaded region bounded by

is rotated about the -axis.

Solution 7

Consider a thin cylindrical shell parallel to axis of rotation. Since the shell has very small width, its volume can be approximated as a rectangular prism. For any arbitrary point (x,y) on the curve, the resulting prism will have:

Ejemplo 8

The diagram shows the region enclosed by the curves and .

The region is rotated about the-axis.

Use the method of cylindrical shells to find the volume of the solid formed.

Solution 8

(We will use first principles method here)

Consider a very thin cylindrical shell,

where is the coordinate of the parabola, and is the coordinate for the straight line.

Because is so small, and taking its square makes it even smaller, we approximate .

Ejemplo 9

A solid is formed by rotating the region bounded by the curve and the line about the -axis. Use the method of cylindrical shells to find the volume of this solid.

Solution 9

Ejemplo 10

The shaded region between the curve , the -axis, and the lines and, where , is rotated about the -axis to form a solid of revolution.

(i) Use the method of cylindrical shells to find the volume of this solid in terms of .

(ii) What is the limiting value of this volume as ?

Solution 10

Ejemplo 11

The diagram shows the graph of for .

The area bounded by , the line and the -axis is rotated about the line to form a solid.

Use the method of cylindrical shells to find the volume of the solid.

Solution 11

Ejemplo 12

The region bounded by the curve and the and -axes is rotated about the line . Find the volume of the solid of revolution.

Solution 12


Volumes of Revolution: Cylindrical Shells

In this section, we examine the method of cylindrical shells, the final method for finding the volume of a solid of revolution. We can use this method on the same kinds of solids as the disk method or the washer method however, with the disk and washer methods, we integrate along the coordinate axis parallel to the axis of revolution. With the method of cylindrical shells, we integrate along the coordinate axis perpendicular to the axis of revolution. The ability to choose which variable of integration we want to use can be a significant advantage with more complicated functions. Also, the specific geometry of the solid sometimes makes the method of using cylindrical shells more appealing than using the washer method. In the last part of this section, we review all the methods for finding volume that we have studied and lay out some guidelines to help you determine which method to use in a given situation.

The Method of Cylindrical Shells

Again, we are working with a solid of revolution. As before, we define a region R ,

bounded above by the graph of a function y = f ( x ) ,

and on the left and right by the lines x = a

respectively, as shown in [link](a). We then revolve this region around the y-axis, as shown in [link](b). Note that this is different from what we have done before. Previously, regions defined in terms of functions of x

were revolved around the x -axis

As we have done many times before, partition the interval [ a , b ]

using a regular partition, P =

choose a point x i * ∈ [ x i − 1 , x i ] .

Then, construct a rectangle over the interval [ x i − 1 , x i ]

A representative rectangle is shown in [link](a). When that rectangle is revolved around the y-axis, instead of a disk or a washer, we get a cylindrical shell, as shown in the following figure.

To calculate the volume of this shell, consider [link].

The shell is a cylinder, so its volume is the cross-sectional area multiplied by the height of the cylinder. The cross-sections are annuli (ring-shaped regions—essentially, circles with a hole in the center), with outer radius x i

Thus, the cross-sectional area is π x i 2 − π x i − 1 2 .

The height of the cylinder is f ( x i * ) .

Then the volume of the shell is

Note that x i − x i − 1 = Δ x ,

Furthermore, x i + x i − 1 2

is both the midpoint of the interval [ x i − 1 , x i ]

and the average radius of the shell, and we can approximate this by x i * .

Another way to think of this is to think of making a vertical cut in the shell and then opening it up to form a flat plate ([link]).

In reality, the outer radius of the shell is greater than the inner radius, and hence the back edge of the plate would be slightly longer than the front edge of the plate. However, we can approximate the flattened shell by a flat plate of height f ( x i * ) ,

([link]). The volume of the shell, then, is approximately the volume of the flat plate. Multiplying the height, width, and depth of the plate, we get

which is the same formula we had before.

To calculate the volume of the entire solid, we then add the volumes of all the shells and obtain

Here we have another Riemann sum, this time for the function 2 π x f ( x ) .

This leads to the following rule for the method of cylindrical shells.

be continuous and nonnegative. Define R

as the region bounded above by the graph of f ( x ) ,

on the left by the line x = a ,

and on the right by the line x = b .

Then the volume of the solid of revolution formed by revolving R

alrededor de y-eje está dado por

Now let’s consider an example.

as the region bounded above by the graph of f ( x ) = 1 / x

Find the volume of the solid of revolution formed by revolving R

First we must graph the region R

and the associated solid of revolution, as shown in the following figure.

Then the volume of the solid is given by

Definir R as the region bounded above by the graph of f ( x ) = x 2


1.2: Volumes of solids of revolution - cylindrical shells

In the previous section we started looking at finding volumes of solids of revolution. In that section we took cross sections that were rings or disks, found the cross-sectional area and then used the following formulas to find the volume of the solid.

In the previous section we only used cross sections that were in the shape of a disk or a ring. This however does not always need to be the case. We can use any shape for the cross sections as long as it can be expanded or contracted to completely cover the solid we’re looking at. This is a good thing because as our first example will show us we can’t always use rings/disks.

As we did in the previous section, let’s first graph the bounded region and solid. Note that the bounded region here is the shaded portion shown. The curve is extended out a little past this for the purposes of illustrating what the curve looks like.

So, we’ve basically got something that’s roughly doughnut shaped. If we were to use rings on this solid here is what a typical ring would look like.

This leads to several problems. First, both the inner and outer radius are defined by the same function. This, in itself, can be dealt with on occasion as we saw in a example in the Area Between Curves section. However, this usually means more work than other methods so it’s often not the best approach.

This leads to the second problem we got here. In order to use rings we would need to put this function into the form (x = fleft( y ight)). That is NOT easy in general for a cubic polynomial and in other cases may not even be possible to do. Even when it is possible to do this the resulting equation is often significantly messier than the original which can also cause problems.

The last problem with rings in this case is not so much a problem as it’s just added work. If we were to use rings the limit would be (y) limits and this means that we will need to know how high the graph goes. To this point the limits of integration have always been intersection points that were fairly easy to find. However, in this case the highest point is not an intersection point, but instead a relative maximum. We spent several sections in the Applications of Derivatives chapter talking about how to find maximum values of functions. However, finding them can, on occasion, take some work.

So, we’ve seen three problems with rings in this case that will either increase our work load or outright prevent us from using rings.

What we need to do is to find a different way to cut the solid that will give us a cross-sectional area that we can work with. One way to do this is to think of our solid as a lump of cookie dough and instead of cutting it perpendicular to the axis of rotation we could instead center a cylindrical cookie cutter on the axis of rotation and push this down into the solid. Doing this would give the following picture,

Doing this gives us a cylinder or shell in the object and we can easily find its surface area. The surface area of this cylinder is,

Notice as well that as we increase the radius of the cylinder we will completely cover the solid and so we can use this in our formula to find the volume of this solid. All we need are limits of integration. The first cylinder will cut into the solid at (x = 1) and as we increase (x) to (x = 3) we will completely cover both sides of the solid since expanding the cylinder in one direction will automatically expand it in the other direction as well.

The volume of this solid is then,

The method used in the last example is called the method of cylinders o method of shells. The formula for the area in all cases will be,

There are a couple of important differences between this method and the method of rings/disks that we should note before moving on. First, rotation about a vertical axis will give an area that is a function of (x) and rotation about a horizontal axis will give an area that is a function of (y). This is exactly opposite of the method of rings/disks.

Second, we don’t take the complete range of (x) or (y) for the limits of integration as we did in the previous section. Instead we take a range of (x) or (y) that will cover one side of the solid. As we noted in the first example if we expand out the radius to cover one side we will automatically expand in the other direction as well to cover the other side.

Veamos otro ejemplo.

First let’s get a graph of the bounded region and the solid.

Okay, we are rotating about a horizontal axis. This means that the area will be a function of (y) and so our equation will also need to be written in (x = fleft( y ight)) form.

As we did in the ring/disk section let’s take a couple of looks at a typical cylinder. The sketch on the left shows a typical cylinder with the back half of the object also in the sketch to give the right sketch some context. The sketch on the right contains a typical cylinder and only the curves that define the edge of the solid.

In this case the width of the cylinder is not the function value as it was in the previous example. In this case the function value is the distance between the edge of the cylinder and the (y)-axis. The distance from the edge out to the line is (x = 8) and so the width is then (8 - ). The cross-sectional area in this case is,

The first cylinder will cut into the solid at (y = 0) and the final cylinder will cut in at (y = 2) and so these are our limits of integration.

The volume of this solid is,

The remaining examples in this section will have axis of rotation about axis other than the (x) and (y)-axis. As with the method of rings/disks we will need to be a little careful with these.

Here’s a graph of the bounded region and solid.

Here are our sketches of a typical cylinder. Again, the sketch on the left is here to provide some context for the sketch on the right.

Okay, there is a lot going on in the sketch to the left. First notice that the radius is not just an (x) or (y) as it was in the previous two cases. In this case (x) is the distance from the y‑axis to the edge of the cylinder and we need the distance from the axis of rotation to the edge of the cylinder. That means that the radius of this cylinder is (6 - x).

Secondly, the height of the cylinder is the difference of the two functions in this case.

The cross-sectional area is then,

Now the first cylinder will cut into the solid at (x = 1) and the final cylinder will cut into the solid at (x = 5) so there are our limits.

The integration of the last term is a little tricky so let’s do that here. It will use the substitution,

We saw one of these kinds of substitutions back in the substitution section.

We should first get the intersection points there.

So, the two curves will intersect at (y = 1) and (y = 4). Here is a sketch of the bounded region and the solid.

Here are our sketches of a typical cylinder. The sketch on the left is here to provide some context for the sketch on the right.

Here’s the cross-sectional area for this cylinder.

The first cylinder will cut into the solid at (y = 1) and the final cylinder will cut in at (y = 4). The volume is then,


Examples with Detailed Solutions

Ejemplo 1

Use the method of cylindrical shells to find the volume of the solid generated by revolving the shaded (red) region (triangle) about the y axis.

Figure 2. volume of a solid of revolution generated by a triangle around y axis

Solution to Example 1

Example 2

Solution to Example 2

The graphs of y = - x 3 + 2 x 2 - x + 2 and y = -x + 1 are shown below. Both graphs have x intercepts calculated by solving the equations y = 0.
x intercept of y = - x 3 + 2 x 2 - x + 2
- x 3 + 2 x 2 - x + 2 = 0
Factor.
x 2 (- x + 2) +(- x + 2) = 0
(- x + 2) (1 + x 2 ) = 0
- x + 2 = 0 gives the x intercept at x = 2 as shown in the graph above. (1 + x 2 = 0 has no real solutions)
x intercept of y = - x + 1
- x + 1 = 0 gives x = 1 a shown in the graph above.

Figure 3. volume of a solid of revolution generated by a cubic curve around y axis Note that from x = 0 to x = 1, the upper part of the region is limited by y = f(x) = - x 3 + 2 x 2 - x + 2 and the lower part is limited by y = h(x) = - x + 1, hence the volume V1 es dado por

Example 3

Solución al ejemplo 3

Figure 4. volume of a solid of revolution generated by a sine curve around y axis The volume of the solid of revolution described in this example is given by

Example 4

Solution to Example 4

We first solve for x to find the equation of the curve (x/a) 2 + (y/b) 2 = 1 in the first quadrant (x > 0 and y > 0)
x = a √(1 - (y/b) 2 )
The rotation is around the x axis therefore the cylindrical shells are parallel to the x axis and the volume V is given by

Figure 5. volume of a solid of revolution generated by a quarter of an ellipse around x axis


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