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2.4: Problemas de repaso - Matemáticas


1. Mientras realiza la eliminación gaussiana en estas matrices aumentadas, escriba el sistema completo de ecuaciones describiendo las nuevas filas en términos de las antiguas filas sobre cada símbolo de equivalencia, como en el Ejemplo 20.

[
left ( begin {array} {rr | r}
2 & 2 & 10 \
1 & 2 & 8 \
end {matriz} right)
,~
left ( begin {array} {rrr | r}
1 & 1 & 0 & 5 \
1 & 1 & -1& 11 \
-1 & 1 & 1 & -5 \
end {matriz} right)
]

2. Resuelva la ecuación vectorial aplicando matrices ERO a cada lado de la ecuación para realizar la eliminación. Muestre cada matriz explícitamente como en el Ejemplo 23.

begin {eqnarray *}
begin {pmatrix}
3 &6 &2 \ -3
5 &9 &4 \ 1
2 &4 &2 \ 0
end {pmatrix}
begin {pmatrix}
X
y
z
end {pmatrix}
=
begin {pmatrix}
-3 \
1 \
0 \
end {pmatrix}
end {eqnarray *}

3. Resuelva esta ecuación vectorial encontrando la inversa de la matriz a través de ((M | I) sim (I | M ^ {- 1}) ) y luego aplicando (M ^ {- 1} ) a ambos lados de la ecuación.

begin {eqnarray *}
begin {pmatrix}
2 &1 &1 \ 9
1 &1 &1 \ 6
1 &1 &2 \ 7
end {pmatrix}
begin {pmatrix}
X
y
z
end {pmatrix}
=
begin {pmatrix}
9 \
6 \
7 \
end {pmatrix}
end {eqnarray *}

4. Siga el método de los Ejemplos 28 y 29 para encontrar la factorización (LU ) y (LDU ) de

begin {eqnarray *}
begin {pmatrix}
3 &3 &6 \
3 &5 &2 \
6 &2 &5 \
end {pmatrix}
end {eqnarray *}

5. Se pueden resolver simultáneamente múltiples ecuaciones matriciales con la misma matriz.

a) Resuelva ambos sistemas realizando la eliminación en una sola matriz aumentada.

begin {eqnarray *}
begin {pmatrix}
2 &-1 &-1 \
-1 &1 &1 \
1 &-1 &0 \
end {pmatrix}
begin {pmatrix}
X
y
z
end {pmatrix}
=
begin {pmatrix}
0\
1 \
0 \
end {pmatrix}
,~
begin {pmatrix}
2 &-1 &-1 \
-1 &1 &1 \
1 &-1 &0 \
end {pmatrix}
begin {pmatrix}
a
B
C
end {pmatrix}
=
begin {pmatrix}
2\
1 \
1 \
end {pmatrix}
end {eqnarray *}

b) ¿Cuáles son las columnas de (M ^ {- 1} ) en ((M | I) sim (I | M ^ {- 1}) )?

6. ¿Cómo puedes convencer a tus compañeros de estudios para que nunca cometan este error?

begin {eqnarray *}
left ( begin {array} {rrr | r}
1 & 0 & 2 & 3 \
0 & 1 & 2& 3 \
2 & 0 & 1 & 4 \
end {matriz} right)
&
stackrel {R_1 '= R_1 + R_2} {
stackrel {R_2 '= R_1-R_2} {
stackrel { R_3 '= R_1 + 2R_2} { sim}}}
&
left ( begin {array} {rrr | r}
1 & 1 & 4 & 6 \
1 & -1 & 0& 0 \
1 & 2 & 6 & 9
end {matriz} right)
end {eqnarray *}

7. ¿Es la factorización (LU ) de una matriz única? Justifica tu respuesta.
( infty ). Si crea una matriz al azar seleccionando números de la nada, probablemente será difícil realizar la eliminación o la factorización; probablemente estén involucradas fracciones y números grandes. Para inventar problemas simples, es mejor comenzar con una respuesta simple:

  1. Comience con cualquier matriz aumentada en RREF. Realice ERO para hacer que la mayoría de los componentes no sean cero. Escribe el resultado en una hoja de papel aparte y dáselo a tu amigo. Pídale a ese amigo que busque el RREF de la matriz aumentada que le dio. Asegúrese de que obtengan la misma matriz aumentada con la que comenzó.
  2. Crea una matriz triangular superior (U ) y una matriz triangular inferior (L ) con solo (1 ) s en la diagonal. Dale el resultado a un amigo para que lo factorice en forma (LU ).
  3. Haz lo mismo con una factorización (LDU ).

2.4: Problemas de repaso - Matemáticas

Problema 1
¿Para qué valores de B es continua la siguiente función en x = 2?
f (x) = 3x ^ 3-x ^ 2 + Bx si x & gt1 y es Bx-2 si x & lt = 1.

Solución Presentado por
Miguel Pandolfo

Problema 2
Encuentre la ecuación de cualquier recta tangente a la curva y = (x-1) / (x + 1) que sea paralela a la recta x-2y = 2.

Solución Presentado por
Miguel Pandolfo

Problema 3
Encuentre la recta tangente a la curva definida por la ecuación ln (xy) + 2x-y + 1 = 0 en el punto (1/2, 2)

Solución Presentado por
Miguel Pandolfo

SoluciónPresentado por
Matthew Daubert

SoluciónPresentado por
Matthew Daubert

Problema 10
Un agricultor con 450 pies de cercado quiere encerrar los cuatro lados de una región rectangular y luego dividir la región en cuatro corrales con cercas paralelas a un lado del rectángulo. ¿Cuál es el área más grande posible de los cuatros corrales?

  • El dominio de la función A es [0,90] (ya que hay 5 x y solo un total de 450 pies de valla). Pero A (0) = 0 y A (90) = 0, por lo que el máximo está en A (45) = 5062.5.
  • A '(x) es positivo para x & lt45 y negativo para x & gt45 y, por tanto, A (45) debe ser el valor máximo de la función.
  • A '' (45) = - 10/2 & lt0, entonces A (x) es cóncava hacia abajo en x = 45 y por lo tanto A (x) tiene un máximo en x = 45.

Problema 7
Enuncie la definición formal de la derivada de la función f (x). Utilice la definición para calcular f '(x) para f (x) = sqrt (3-5x).

SoluciónPresentado por
Meghan Brundage

Problema 11
Una escalera de 13 pies de largo está apoyada contra una pared. Su base comienza a deslizarse por el suelo, alejándose de la pared. Cuando la base está a 12 pies de distancia de la pared, la base se mueve a una velocidad de 5 pies / seg. Entonces, ¿qué tan rápido se desliza la parte superior de la escalera por la pared? ¿Qué tan rápido cambia el área del triángulo formado por la escalera, la pared y el piso en ese momento?

SoluciónPresentado por
Matthew Daubert

Problema 12
Sea f (x) = 3x / (x ^ 2-1). Encuentre el dominio de la función, los intervalos donde f (x) aumenta o disminuye, cualquier máximo y mínimo, puntos de concavidad e inflexión y cualquier asíntota horizontal y vertical de la gráfica de f (x). Luego dibuja la gráfica de f (x).

Solución Aquí hay una pista importante: verifique su (s) respuesta (s) con una imagen producida por el Arce mando
plot (3 * x / (x ^ 2-1), x = -5..5, y = -10..10, discont = verdadero) El discont = verdadero permite Arce para omitir la conexión de los puntos cuando están muy separados. LA IMAGEN ESTÁ VINCULADA AQUÍ.

Presentado por
¡Todavía nadie!

Problema 18
Sea f (x) = 3x ^ 7 - 2x ^ 2 + x -1. Demuestre que f (x) debe tener una raíz real en [0,1].

SoluciónPresentado por
Zeeshan Farman

Problema 22
Encuentre el máximo absoluto y el mínimo absoluto de f (x) = x / (x ^ 2 + 1) en [0,2].


2.4: Problemas de repaso - Matemáticas

Los problemas con letras cuyos fondos son de este color tienen
respuestas aquí. Aquellos con fondos en este color no lo hacen.

¿Has hecho algún problema?

A B C mi F
GRAMO H I J K L
METRO norte O PAG Q
En el diario
R
S T U V
a) solo
W X

Consejo

Respuestas aportadas por sección
5678910
64122.51


A
Contribuido por Robert J. Comito de Sección 5:

Dibuje la región descrita en coordenadas esféricas por 0 & lt = phi & lt = Pi / 3 y 0 & lt = rho cos (phi) & lt = 2 y 0 & lt = & lt = 2Pi.

B
Contribuido por Chirag Walawalkar de Sección 9:

Sea f (x, y) = 1 / x + 1 / y + xy. ¿Verdadero o falso? Explicar brevemente:
a) f tiene un máximo local en (1,1).
b) f tiene un punto silla en (1, -1).

un. (1, 1) ¿es Local máximo?
Primero tomamos la primera derivada con respecto a x y luego con respecto a y:
FX(x, y) = - 1 / x ^ 2 + y fX(1,1)=0
Fy(x, y) = - 1 / y ^ 2 + x fy(1,1)=0
Por tanto (1,1) es un punto crítico.
Ahora hacemos la prueba de la segunda derivada (S.D.T)
Fxx(x, y) = 2 / x ^ 3, faa(x, y) = 2 / y ^ 3 fxy(x, y) = 1
H = fxx(1,1) faa(1,1) - [fxy(1,1)^2]
H = (2) (2) -1
H = 3
Por S.D.T desde H> 0 yfxx(1,1)> 0 f tiene un mínimo local en (1,1) por lo tanto, la respuesta es Falsa.

b) fX= -1 / x 2 + y == & gt fX(1, -1) = - 1 + -1 = -2 no cero.
no es un punto crítico, por lo tanto, el enunciado b) también es falso.

C
Contribuido por Shubha Sarode de Sección 6:

Encuentre el máximo y mínimo absolutos de f (x, y) = x 2 + 2x + 2y 2 en el círculo G (x, y) = x 2 + y 2 = 4.

Usamos multiplicadores de Lagrange para resolver la ecuación F = G:
FX= 2x + 2, GX= 2x, Fy= 4y y Gy= 2 años
2x + 2 = 2x
4y = 2y Nota: puede ser igual a 2 o y = 0
Si es igual a 2, entonces reemplazamos este valor en la ecuación 2x ​​+ 2 = 2x y obtenemos 2x + 2 = 4x. Resolviendo esta ecuación obtenemos x = 1. Si conectamos este valor en G (x, y) = 4 obtenemos y = + / - sqrt (3).
Por lo tanto, los posibles máximos / mínimos podrían ocurrir en (1, sqrt (3)) y (1, -sqrt (3)). Necesitamos evaluar estos puntos en F (x, y) para ver sus valores. Reemplazando ambos conjuntos de puntos, obtenemos el valor de 9.
Ahora necesitamos ver cuáles podrían ser los puntos posibles si y = 0. Reemplazando y = 0 en la ecuación x 2 + y 2 = 4 obtenemos los valores x de +2 y -2. Por lo tanto, los puntos posibles son (2,0) y (-2,0). Al evaluar F (x, y) en estos puntos, obtenemos 8 y 0 respectivamente.
asi que:
(1, sqrt (3)) y (1, -sqrt (3)) da F = 9, este es el máximo.
(2,0) da 8.
(-2,0) da 0. Este es el min.

b) Para encontrar el máximo y el mínimo en el disco x 2 + y 2 menores o iguales a 4, solo necesitamos comparar los valores de F en los puntos críticos dentro del disco con los valores en los puntos del límite.
Los puntos críticos son:
FX= 2x + 2 por lo tanto x = -1 Fy= 2y por lo tanto y = 0.
El valor de F (x, y) en (-1,0) es -1.

Por lo tanto, -1 será el mínimo absoluto y 9 (desde arriba) se mantendrá como el máximo absoluto.

Comentario Tenga en cuenta que en esta solución, rastrear todas las alternativas (incluido lo que sucede si alguna variable es 0) fue necesario para obtener la respuesta. No puede simplemente asumir todas o algunas de las variables relevantes y no 0.

D
Contribuido por Jennifer Ng de Sección 22 en otoño de 2008: consulte aquí.
Se encontró un error por S. Speights (11/4/2010). El jacobiano para las coordenadas esféricas debería ser & rho 2 sin (& phi), por lo que la solución debería tener otra potencia de & rho y, por tanto, la respuesta final debería ser (4/15) & Pi.

mi
Contribuido por Sonam Patel de Sección 5:

Encuentre todos los puntos críticos de F (x, y) = x ^ 2-4xy + y ^ 3-3y y describa el tipo de cada punto crítico.

Ahora, establezca ambas ecuaciones iguales a cero para encontrar los puntos críticos:
x = 2y y -4x + 3y ^ 2-3 = 0 por sustitución se obtiene, -4 (2y) + 3y ^ 2-3 = 0 que también se puede escribir como 3y ^ 2-8y-3 = 0. Cuando se factoriza, se obtiene (3y + 1) (y-3) = 0 y, por lo tanto, y = -1 / 3 o y = 3.
Cuando y = 3, x = 6. Entonces, el primer punto crítico es (6,3). Cuando y = -1 / 3, x = -2 / 3, entonces el segundo punto crítico es (-2 / 3, -1 / 3).

Para clasificarlos, tome las segundas derivadas parciales. Fxx= 2, Fxy= -4, Faa= 6 años, Fyx= -4 D = D (a, b) = Fxx(a, b) Faa(a, b) - [Fxy(a, b)] 2 = 12y-16 entonces D (6,3) = 20 y FX(6,3) = 2. Cuando D (a, b)> 0 y FX(a, b)> 0, entonces F (a, b) es un mínimo local. Por lo tanto (6,3) es un mínimo local de F.
D (-2 / 3, -1 / 3) = - 20. D (-2 / 3, -1 / 3) Sonam Patel llegado a Sáb, 1 de Abril de 2006 15:24:14. Una solución similar con las mismas respuestas por Demetri Koloseus-Gagnon llegado a Sáb, 1 de Abril de 2006 15:34:33. ¡La competencia se está calentando! Gracias a estas dos personas.

F
Contribuido por Adam Skrzypczak de Sección 10:

Encuentre los valores máximo y mínimo de x-4y + 2z sujeto a la restricción de que (x, y, z) se encuentra en el elipsoide x 2 + y 2 + 5z 2 = 1.

F (x, y, z) = x-4y + 2z y G (x, y, z) = x 2 + y 2 + 5z 2 = 1 F = G (para la función diferencial x, y, z) entonces obtén 4 ecuaciones:
1. 1 = (2x)
2. -4 = (2 años)
3. 2 = (10z)
4. x 2 + y 2 + 5z 2 = 1
no puede ser 0 porque la primera ecuación sería entonces 1 = 0.
Resuelva para cada una de las variables e insértelas en la ecuación de restricción para obtener:
1 / (4 2) + 4 / (2) + 1 / (5 2) = 1 entonces = raíz cuadrada (89/20).
Luego, vuelva a conectar las ecuaciones 1 a 3 y encuentre los valores para x, y, z:
x = (+/-) 1 / [2sqrt (89/20)] y y = (+/-) - 2 / sqrt (89/20) yz = (+/-) 1 / [5sqrt (89/20) )]
lo que te da dos puntos:
(1 / 2sqrt (89/20), - 2 / sqrt (89/20), 1 / 5sqrt (89/20)) Y (-1 / 2sqrt (89/20), 2 / sqrt (89/20), -1 / 5sqrt (89/20)) Luego vuelva a conectarlo a F (x, y, z) y encontrará su máximo y mínimo Max ocurre en (1 / 2sqrt (89/20), - 2 / sqrt (89/20), 1 / 5sqrt (89/20)) y es sqrt (89/20) ([1/2] +8+ [ 2/5]).
Min ocurre en (-1 / 2sqrt (89/20), 2 / sqrt (89/20), - 1 / 5sqrt (89/20)) y es -sqrt (89/20) ([1/2] +8 + [2/5]).

GRAMO
Contribuido por Demetri Koloseus-Gagnon de Sección 6:

Cambiar el orden de integración en 1 2 0 ln y f (x, y) dx dy.

Comentario Ciertamente la respuesta es correcta. Sin embargo, observo que una respuesta por sí sola puede no recibir el crédito completo. En este caso, se necesita alguna explicación. Probablemente lo mejor sea una imagen junto con algo de álgebra. Por ejemplo, una curva límite del enunciado del problema es x = ln (y) que se convierte en y = e x. La imagen a la derecha de la región de integración debe mostrar lo suficiente como para que el lector de la solución del problema esté convencido de que el estudiante comprende el problema.

H
Contribuido por Robert J. Comito de Sección 5: Cambiar la integral 0 3 0 sqrt (9-y 2) raíz cuadrada (x 2 + y 2) sqrt (18-x 2 -y 2) (x 2 + y 2 + z 2) dz dx dy a coordenadas esféricas. NO EVALÚE EL INTEGRAL.


Comentario Esto ha sido corregido hoy (4/5/2006) como resultado del correo electrónico de Karin Jensen de la Sección 6. Uno de los límites anteriores era incorrecto. Este "sólido" solo está en el primer octante, sobre un cuarto de círculo (¡cuarto de disco!) En el primer cuadrante del plano xy. ¡Agradezco a la Sra. Jensen por su lectura cuidadosa!
También hay un error en el integrando, ya que Michael Boxer de los avisos de la sección 6. Dado que rho 2 = xs 2 + y 2 + z 2, el integrando debe ser rho 4. Lo siento y agradezco al Sr. Boxer.

I
Contribuido por Robert J. Comito de Sección 5:

a) Calcular 2 3 1 / x x 2 x 2 y-2x dy dx.
b) Escriba esta integral iterada en orden `` dx dy ''. Es posible que desee comenzar dibujando el área sobre la que se evalúa la integral doble. Eres no pidió evaluar el resultado dx dy, que puede ser una o más integrales iteradas.


Comentario Respuesta muy ordenada. Gracias.
Por supuesto, podemos calcular la versión dx dy y ver si la respuesta es la misma que la respuesta a a), o podemos escribir y leer.
> int (int (x ^ 2 * y-2 * x, x = 1 / y..3), y = 1 / 3..1 / 2) + int (int (x ^ 2 * y-2 * x , x = 2..3), y = 1 / 2..4) + int (int (x ^ 2 * y-2 * x, x = sqrt (y) .. 3), y = 4..9 )

K
Contribuido por Sejalkumari Patel de Sección 7:

Calcular Dy dA donde D está acotado por y = x-1 e y 2 = 2x + 6.

La línea y = x-1 interseca la curva y 2 = 2x + 6 en dos lugares, por lo que podemos dos puntos (-1, -2) y (5,4). Puede encontrar estos dos puntos insertando el valor de x = y + 1 en la fórmula y 2 = 2x + 6. Esto se convierte en y 2 = 2 (y + 1) + 6 = 2y + 8, entonces y 2 -2y-2 = 0 y (y + 2) (y-4) = 0.

Los límites de xey son:
(y 2-6) / 2 & lt = x & lt = y + 1 y -2 & lt = y & lt = 4.
La integral doble se convierte en la integral iterada:
-2 4 (y 2-6) / 2 y + 1 y dx dy =-2 4 xy ] (y 2-6) / 2 y + 1.
Después de algo de álgebra, esto es -2 4-2 (y 2 -y 3/2 + 4y) dy = -2 (y 3/3-y 4/8 + 2y 2) ] -2 4 =18.

Comentario No por incredulidad, sino simplemente porque todos deberían usar ambas cosas tirantes y un cinturón, les presento:

L
Contribuido por Qi Wen de Sección 6:

Dejar F(x, y) = e 2y I+ (1 + 2xe 2y j. Encuentre una función f (x, y) tal que f =F y utilícelo para evaluar CF y middotDr donde r(t) = raíz cuadrada (t)I+ (1 + t 3)jy 0 = & ltt & lt = 1.

FX= e 2y
FXdx = e 2y dx = xe 2y + g (y)
[xe 2y + g (y)] / y = 2x e 2y + g & # 180 (y).
La función original para el j componente es 1 + 2x e 2y, por lo tanto, g '(y) es 1, entonces g (y) = y.
f (x, y) = xe 2y + y

Porque r(t) = raíz cuadrada (t)I+ (1 + t 3)j y 0 & lt = t & lt = 1. Por lo tanto, los puntos inicial y final son (0,1) y (1,2).
CF y middotDr= f (x2, y2) -f (x1, y1) yf (x2, y2) -f (x1, y1) = f (1,2) -f (0,1) yf (1,2) -f (0,1) = e 4 +1.

O
Contribuido por Steve Swern de Sección 8:

En este problema, H es la mitad superior de la esfera unitaria en R 3: aquellos (x, y, z) con x 2 + y 2 + z 2 & lt = 1 y z & gt = 0. Hay un cono circular recto cuyo vértice es (0,0,0) y cuyo eje de simetría es el eje z positivo que divide el volumen de H en dos partes iguales. Encuentra el ángulo alfa que determina este cono. El diagrama define alfa, que es el ángulo que forma el eje z positivo con una línea en el cono que pasa por el vértice.

PAG
Contribuido por Steve Swern de Sección 8:

Suponga que D es la ruta que consta de tres segmentos de línea recta, primero de (1,2) a (4, -3), luego de (4, -3) a (2,6), y luego de (2,6) a (3,4). Calcular D(2xy 3) dx + (3x 2 y 2 + 4y 3) dy.

Dado que estamos calculando una integral de línea de trabajo para un campo vectorial que es CLARAMENTE el gradiente de otra función. Podemos mirarlo y descubrir cuál era el potencial.

Usaremos el lado dy ya que es más definitorio: 3 (x 2) y 2 + 4y 3 dy == & gt un poco de antidiferenciación == & gt f (x, y) = x 2 (y 3) + y 4
esto también verifica el lado dx porque fX= 2xy 3.
que figura en la hoja de fórmulas es la siguiente:
"Para V conservador con potencial f (nos dieron V y te mostré cómo encontrar f) .. la integral para V .. blah blah blah. = F (EL FINAL) - f (EL COMIENZO)"
el inicio fue (1,2) .. que bailó alrededor de un par de puntos. y terminó en (3,4). f (3, 4) -f (1, 2) = 832-24 = 808

Comentario El enfoque bastante "despreocupado" del Sr. Swern es correcto. Puede que le preocupe que la curva se defina en varias partes, pero las cosas funcionan. Ciertamente, cada segmento de línea puede usar el potencial, por lo que la integral total es igual a esta suma:
f (3,4) -f (2,6) (del tercer segmento de línea) + f (2,6) -f (4, -3) (del segundo segmento de línea) + f (4, -3) -f (1,2) (del primer segmento de línea)
y la suma "telescopios" para dar f (3,4) -f (1,2), incluso como afirmó el Sr. Swern.

R
Contribuido por Robert J. Comito de Sección 5:

S
Contribuido por Jocelyn Alexander de Sección 5:

Sea C el segmento de línea recta de (0,1) a (4,3). Encontrar Cx 2 y ds.

Representación vectorial del segmento de línea que comienza en r0 y termina en r1:
r (t) = (1-t) r0+ t * r1
Para el segmento de línea dado, r0= (0,1) y r1= (4,3) r (t) = (1-t) & lt0,1 & gt + t & lt4,3 & gt = & lt0 + 4t, 1-t + 3t & gt = & lt4t, 1 + 2t & gt.
Representación paramétrica:
x = 4t entonces dx / dt = 4
y = 1 + 2t entonces dy / dt = 2
(0 2 + (dy / dt) 2] dt = raíz cuadrada (4 2 +2 2) dt = raíz cuadrada (16 + 4) dt = raíz cuadrada (20) dt
Cx 2 y ds =t = 0 t = 1 (4t) 2 (1 + 2t) raíz cuadrada (20) dt = raíz cuadrada (20)0 1 (16t 2 + 32t 3) dt = raíz cuadrada (20) [16t 3/3 + 8t 4 ] 0 1 = ([16/3] +8) 2 (raíz cuadrada de (5))

T
Contribuido por Chirag Walawalkar de Sección 9:

Calcular Rx dA donde R es la región a la derecha del eje y y delimitada por el círculo de radio 2 centrado en el origen, la parte positiva del eje y y la línea y = -x.

R limitado por el eje y positivo y el círculo de radio 2 centrado en el eje x positivo del origen y la línea y = -x.
1 es el ángulo entre el eje x positivo y el eje y positivo. Es Pi / 2.
2 es el ángulo entre el eje x positivo y la recta y = -x. Podemos encontrar este ángulo usando la imagen y el hecho de que la línea corta el cuarto de círculo a la mitad, por lo que theta 2 será la mitad de Pi / 2 o Pi / 4.
También podemos encontrar 2 usando el hecho de que y = -x y cuando x = 2, y debe ser igual a -2, y 2= arctan (-2/2) = - Pi / 4. El signo negativo ocurre porque el ángulo está en el cuarto cuadrante (la imagen es mejor aquí). r está simplemente entre 0 y 2.
x = r cos () y dA = r dr d por lo que la integral se convierte en -Pi / 4 Pi / 2 0 2 r cos () r drd = ( -Pi / 4 Pi / 2 cos () d )( 0 2 r 2 dr ) = ( r 3/3 ] 0 2 )( pecado() ] -Pi / 4 Pi / 2 = (8/3) (1 + raíz cuadrada (2) / 2) (

U
Contribuido por Tina Lee de Sección 6:

cambie x 2 & lty & lt1 y 0 & ltx & lt1 a 0 & lty & lt1 y 0 & ltx & ltsqrt (y).
La gráfica es una parábola: x 2 = y en el primer cuadrante, x = 0, y = 1 e y = 0 (solo las líneas). (0,0), (0,1), (1,0) y (1,1) son puntos comunes.
El área por encima de la parábola pero debajo de y = 1 es el área necesaria para integrarse (en el 'cuadrado')
dado: 0 1 x 2 1 x 3 sin (y 3 dy dx se puede cambiar a
0 1 0 raíz cuadrada (y) x 3 sin (y 3) dx dy
El interior integral: 0 raíz cuadrada (y) x 3 sin (y 3) dx = (1/4) (x 4) sin (y 3) ] 0 sqrt (y) = (1/4) (y 2 -0) sin (y 3) = (1/4) y 2 sin (y 3).
Entonces el exterior integral: 0 1 (1/4) y 2 sin (y 3) dy.
Si y 3 = u entonces 3y 2 dy = du (y 2 dy = du / 3) y 0 & lty ^ 3 & lt1 se convierte en 0 & ltu & lt1 por lo que la integral anterior es (1/4)0 1 sin (u) du / 3 = (1/12) ( -cos (u) ) ] 0 1 = -1 / 12 (cos (1) -cos (0)) = - 1/12 (cos1-1) = 1/12 (1-cos1).

V
Contribuido por Chirag Walawalkar de Sección 9: a) 0 1 0 X 0 y int (0, y) xy 2 z 3 dz dy dx
La integral más interna: xy 2 0 y z 3 dz = xy 2 z 4/4 ] 0 y = xy 4/4
Próximo: 0 x xy 6/4 dy = xy 7 / (7 y middot4) ] 0 x = x & middotx 7 / (28) = x 8/28
Por fin, 0 1 x 8/28 dx = x 9 / (28 y middot9) ] 0 1 = 1 / (28 & middot9): ¡¡no simplifiquemos !!

b) Escriba esto como una o más integrales en orden dx dy dz.

Comentario Aún no se ha recibido una solución correcta para la parte b). Quizás la siguiente imagen pueda ayudar a "resolver" b). O quizás no.
Es fácil probar las soluciones para la parte b). Por ejemplo, aquí hay un cálculo de la integral original en Arce: Entonces, cualquier solución sugerida debe ser lo suficientemente "robusta" (fuerte) para tener la respuesta calculada 1/252 con el integrando xy 2 z 3, el Sr. Walawalkar sugirió que "V es para Vendetta".


Problemas de álgebra

Problema 4: Calcula la distancia entre los puntos (-4, -5) y (-1, -1).

Problema 5: Encuentra la intersección con el eje x de la gráfica de la ecuación.

Problema 6: Evalúe f (2) - f (1)

Problema 7: Encuentre la pendiente de la línea que pasa por los puntos (-1, -1) y (2, 2).

Problema 8: Encuentra la pendiente de la recta

Problema 9: Encuentra la ecuación de la línea que pasa por los puntos (-1, -1) y (-1, 2).

Problema 10: Resuelve la ecuación

Más problemas de álgebra - Applet

  1. haga clic en el botón de arriba "haga clic aquí para comenzar" para iniciar el subprograma y MAXIMIZAR la ventana obtenida.
  2. haga clic en "iniciar" en el menú principal.
  3. responda la pregunta marcando a, b, c, do e en la parte inferior del panel del subprograma.

Puede revisar sus respuestas y cambiarlas marcando la letra deseada. Una vez que haya terminado, presione "finalizar" y obtendrá una tabla con sus respuestas y las respuestas correctas para comparar.

Para iniciar otro conjunto de problemas, presione "reiniciar".


2.4: Problemas de repaso - Matemáticas

La notación científica es la forma en que los científicos manejan fácilmente números muy grandes o números muy pequeños. Por ejemplo, en lugar de escribir 0,0000000056, escribimos 5,6 x 10 - 9. ¿Entonces, cómo funciona esto?

Podemos pensar en 5.6 x 10 - 9 como el producto de dos números: 5.6 (el término de dígitos) y 10 - 9 (el término exponencial).

A continuación se muestran algunos ejemplos de notación científica.

10000 = 1 x 10 4 24327 = 2,4327 x 10 4
1000 = 1 x 10 3 7354 = 7.354 x 10 3
100 = 1 x 10 2 482 = 4,82 x 10 2
10 = 1 x 10 1 89 = 8,9 x 10 1 (no se suele hacer)
1 = 10 0
1/10 = 0,1 = 1 x 10 - 1 0,32 = 3,2 x 10 - 1 (no se suele hacer)
1/100 = 0,01 = 1 x 10 - 2 0,053 = 5,3 x 10 - 2
1/1000 = 0,001 = 1 x 10 - 3 0,0078 = 7,8 x 10 - 3
1/10000 = 0,0001 = 1 x 10 - 4 0,00044 = 4,4 x 10 - 4

Como puede ver, el exponente de 10 es el número de lugares que debe desplazarse el punto decimal para dar el número en forma larga. Un exponente positivo muestra que el punto decimal se desplaza ese número de lugares a la derecha. Un exponente negativo muestra que el punto decimal se desplaza ese número de lugares a la izquierda.

En notación científica, el término de dígitos indica el número de cifras significativas en el número. El término exponencial solo coloca el punto decimal. Como ejemplo,
46600000 = 4,66 x 10 7 Este número solo tiene 3 cifras significativas. Los ceros no son significativos, solo tienen un lugar. Como otro ejemplo, 0.00053 = 5.3 x 10 - 4 Este número tiene 2 cifras significativas. Los ceros son solo marcadores de posición.

En tu calculadora científica:

  1. Marque el número (el número del dígito) en su calculadora.
  2. Presione el botón EE o EXP. ¡NO use el botón x (veces)!
  3. Ingrese el número de exponente. Use el botón +/- para cambiar su signo.
  4. ¡Voila! Trate este número normalmente en todos los cálculos posteriores.

Para comprobarlo, multiplique 6,0 x 10 5 por 4,0 x 10 3 en su calculadora. Tu respuesta debería ser 2,4 x 10 9.

En su calculadora barata no científica:

Deberá estar familiarizado con los exponentes ya que su calculadora no puede encargarse de ellos por usted. Para obtener una introducción a las reglas relativas a exponentes, consulte la sección sobre manipulación de exponentes.

  • Todos los números se convierten a la misma potencia de 10 y los términos de dígitos se suman o restan.
  • Ejemplo: (4.215 x 10 - 2) + (3.2 x 10 - 4) = (4.215 x 10 - 2) + (0.032 x 10 - 2) = 4.247 x 10 - 2
  • Ejemplo: (8,97 x 10 4) - (2,62 x 10 3) = (8,97 x 10 4) - (0,262 x 10 4) = 8,71 x 10 4

  • Los términos de dígitos se multiplican de la manera normal y se suman los exponentes. El resultado final se cambia para que solo haya un dígito distinto de cero a la izquierda del decimal.
  • Ejemplo: (3.4 x 10 6) (4.2 x 10 3) = (3.4) (4.2) x 10 (6 + 3) = 14.28 x 10 9 = 1.4 x 10 10
    (a 2 cifras significativas)
  • Ejemplo: (6,73 x 10 - 5) (2,91 x 10 2) = (6,73) (2,91) x 10 (- 5 + 2) = 19,58 x 10 - 3 = 1,96 x 10 - 2
    (a 3 cifras significativas)

  • Los términos de dígitos se dividen de la manera normal y los exponentes se restan. El cociente se cambia (si es necesario) de modo que solo haya un dígito distinto de cero a la izquierda del decimal.
  • Ejemplo: (6,4 x 10 6) / (8,9 x 10 2) = (6,4) / (8,9) x 10 (6-2) = 0,719 x 10 4 = 7,2 x 10 3
    (a 2 cifras significativas)
  • Ejemplo: (3,2 x 10 3) / (5,7 x 10 - 2) = (3,2) / (5,7) x 10 3 - (- 2) = 0,561 x 10 5 = 5,6 x 10 4
    (a 2 cifras significativas)

  • El término del dígito se eleva a la potencia indicada y el exponente se multiplica por el número que indica la potencia.
  • Ejemplo: (2.4 x 10 4) 3 = (2.4) 3 x 10 (4x3) = 13.824 x 10 12 = 1.4 x 10 13
    (a 2 cifras significativas)
  • Ejemplo: (6.53 x 10-3) 2 = (6.53) 2 x 10 (- 3) x2 = 42.64 x 10 - 6 = 4.26 x 10 - 5
    (a 3 cifras significativas)


2.4: Problemas de repaso - Matemáticas

Aquí hay un desglose del Examen 1 de Matemáticas 116 por tema. Cada referencia de problema es un enlace, por lo que puede hacer clic en él para ver el problema. Su navegador debería llevarlo a la página correcta del examen, pero tenga en cuenta que el problema que está buscando puede estar en la parte inferior de la página. Junto a cada problema, verá un carácter #. Si hace clic en eso, debería llevarlo a la solución.

Los problemas de exámenes antiguos no deberían ser lo único que estudie. Están diseñados para poner a prueba el conocimiento, no para enseñarlo. Y existe el peligro de que empiece a pensar que sabe exactamente lo que habrá en la prueba. Si bien hay algunos temas predecibles, indudablemente habrá preguntas en el examen de este año que son diferentes de las que han aparecido antes. Así que tenga en cuenta que se está entrenando para abordar problemas difíciles, no memorizando cómo hacer tipos particulares.

Aquí está mi sugerencia sobre cómo usar esta página:

  1. Pruebe una muestra de problemas para identificar un área en la que necesita ayuda.
  2. Vaya a su libro para leer sobre el tema.
  3. Vuelve aquí y encuentra más problemas sobre el mismo tema, para ver si lo tienes.

No estoy del todo satisfecho con los temas que se muestran a continuación. Haga sugerencias sobre cómo clasificar mejor los problemas.

Hágame saber cualquier error que encuentre y cualquier otro comentario que tenga sobre qué tan bien funciona y cómo hacerlo más útil. Los enlaces a todos los exámenes se encuentran al final de la página.


Matemáticas IM K – 12 ™ certificada por Illustrative Mathematics®

IM Math es un plan de estudios básico basado en problemas diseñado para abordar los estándares de contenido y práctica para fomentar el aprendizaje para todos. Los estudiantes aprenden haciendo matemáticas, resolviendo problemas en contextos matemáticos y del mundo real, y construyendo argumentos usando un lenguaje preciso. Los maestros pueden cambiar su instrucción y facilitar el aprendizaje de los estudiantes con rutinas de alto apalancamiento para guiar a los estudiantes a comprender y hacer conexiones entre conceptos y procedimientos.

La participación de los estudiantes se ha disparado. Hay un revuelo en nuestras aulas de matemáticas.

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Stefanie Buckner, Especialista en currículo de matemáticas, Escuelas del condado de Buncombe, Carolina del Norte

. bien diseñado ... estructura y ritmo de lecciones efectivos.

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Stephanie Marvicsin, maestra, Distrito Escolar Unificado de Newport-Mesa, CA

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Totalmente alineado con los estándares de preparación universitaria y profesional

Cumplir con los estándares para preparar a los estudiantes para el éxito con las matemáticas.

Diseñado bajo el liderazgo de William McCallum, redactor principal de Common Core, todos los planes de estudio de IM están totalmente alineados con el rigor y la coherencia de los estándares. Nuestro objetivo es proporcionar a todos los estudiantes las habilidades que necesitan para conocer, usar y disfrutar de las matemáticas.

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Currículo basado en problemas e impulsado por la investigación.

En un plan de estudios basado en problemas, los estudiantes trabajan en problemas de matemáticas cuidadosamente elaborados y secuenciados durante la mayor parte del tiempo de instrucción. Los maestros ayudan a los estudiantes a comprender los problemas y guían las discusiones para asegurarse de que las conclusiones matemáticas sean claras para todos. En el proceso, los estudiantes explican sus ideas y razonamientos y aprenden a comunicar ideas matemáticas. El objetivo es brindar a los estudiantes los antecedentes y las herramientas suficientes para resolver los problemas iniciales con éxito, y luego colocarlos en problemas cada vez más sofisticados a medida que aumenta su experiencia.

Las matemáticas no son un deporte para espectadores. El valor de un enfoque basado en problemas es que los estudiantes pasan la mayor parte de su tiempo en la clase de matemáticas haciendo matemáticas: dando sentido a los problemas, estimando, probando diferentes enfoques, seleccionando y usando herramientas apropiadas y evaluando la razonabilidad de sus respuestas. Continúan interpretando el significado de sus respuestas, notando patrones y haciendo generalizaciones, explicando su razonamiento verbalmente y por escrito, escuchando el razonamiento de los demás y construyendo su comprensión.

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Ecuaciones y problemas verbales

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(a) El índice de a 3 es norte = 3, así que me preguntan por el tercer término, que es & quot 5 & quot.

(b) El símbolo funky es la letra mayúscula griega & quotsigma & quot, que indica una serie. Eso significa que me están pidiendo aquí que agregue los términos de la secuencia. El & quotvalor & quot que me piden que encuentre es el total, la suma, de todos los términos anorte desde a 1 a a 5 en otras palabras:

Expanda la siguiente serie y encuentre la suma:

Me han dado una regla para cada término de esta serie, la regla es multiplicar el índice por dos. Entonces, para encontrar cada término, reemplazaré el valor de norte en la fórmula, es decir, tomaré el índice y lo multiplicaré por dos. Estaré comenzando con norte = 0 y termina con norte = 4. Para encontrar la suma de la serie, agregaré todos los términos, así:

Enumere los primeros cuatro términos de la secuencia anorte> = norte 2>, comenzando con norte = 1 .

Solo enchufaré norte en la fórmula y simplificar:

Mi respuesta es la forma simplificada de la secuencia:

Enumere los primeros cuatro términos de la siguiente secuencia, comenzando con norte = 0 .

Las secuencias y series son a menudo el primer lugar donde los estudiantes encuentran esta notación de signo de exclamación. La notación no indica que la serie sea & quotemphatic & quot de alguna manera, sino que es una notación matemática técnica. Indica que los términos de esta suma involucran factoriales. (Si no está familiarizado con los factoriales, repasar ahora).

Un símbolo factorial, k! , indica que necesito encontrar el producto de todos los números enteros del 1 al k . Los primeros valores factoriales son:

(Your graphing calculator can probably find factorials for you. Look for an appropriate command, probably somewhere in a "Prob" or "Probability" submenu.)

I'll use these factorial values in my computations:

So the first four terms are:

Notice how, in that last example above, raising the –1 to the power norte made the signs alternate. This alternating pattern of signs crops up a lot, especially in calculus, so try to keep this "raising –1 to the power norte " trick in mind.

Find the sum of the first six terms of Anorte , where anorte = 2anorte& ndash1 + anorte&ndash2, a 1 = 1 , and a 2 = 1 .

This formula looks much worse than it really is I just have to give myself some time, and dissect the formula carefully.

They gave me the values of the first two terms, and then they gave me a formula that says that each term (after the first two terms) is a sum formed from the previous two terms. At each stage, I'll be taking the previous term and multiplying it by two to this, I'll be adding the term before that one. For instance, the third term will be twice the second term, plus the first term.

Plugging into this formula, I get:

Now that I've found the values of the third through the sixth terms, I can find the value of the series the sum is:

Write the following series using summation notation, beginning with norte = 1 :

The first thing I have to do is figure out a relationship between norte and the terms in the summation. This series is pretty easy, though: each term anorte is twice norte , so there is clearly a " 2norte " in the formula. I also have the alternating sign.

If I multiply 2norte by (&ndash1) norte , then I'll get &ndash2, 4, &ndash6, 8, &ndash10 , which is backwards (on the signs) from what I want. But I can switch the signs by throwing in one more factor of &ndash1 :

So the formula for the norte -th term is anorte = (&ndash1) norte +1 (2norte). Ya que norte starts at 1 and there are five terms, then the summation is:

Write the following using summation notation:

The only thing that changes from one term to the next is one of the numbers in the denominator.

(Note: If I "simplify" these fractions, I'll lose this information. Any time the terms of my sequence or series look oddly lumpy, I tend not to simplify those terms: that odd lumpiness almost certainly contains a hint of the pattern I need to find.)

The changing numbers, as a list, start off with 6, 7 , and 8 . This looks like counting, but starting with 6 instead of 1 . Without any information to the contrary, I'll assume that this is the pattern.

But I need to relate these "counting" values to the counter, the index, norte . Para norte = 1 , the number is 6 , or norte + 5 . Para norte = 2 , the number is 7 , which is also norte + 5 . Checking the pattern for norte = 3, 3 + 5 = 8 , which is the third number. Then the terms seems to be in the following pattern:

But how many terms are in the summation? The ellipsis (the ". " or "dot, dot, dot" in the middle) means that terms were omitted. How many terms? Now that I have the general pattern for the series terms, I can solve for the counter (that is, for the value of norte ) for the last term:

This tells me that there are 26 terms in this summation, so the series, in summation notation, is:

If the fractional forms of the terms in the series above had been simplified, it would have been a lot harder to figure out a pattern. So it's usually best to leave the terms in the form provided, rather than reducing them, because reducing would remove the pattern that they're wanting you to see.

To be fair, though, unless the sequence is very simple or is presented in a very straightforward manner, it is entirely possible that you might find a "wrong" pattern. Don't let this bother you terribly much. The "right" pattern is just the one that the author had in mind when he wrote the exercise. Your pattern would be "wrong" only in that it is unexpected. But if you can present your work clearly and logically, you should be able to talk your way into getting at least partial credit for your answer.

Once you've learned the basic notation and terminology, you will likely quickly move on to the two common and straightforward sequence types, being arithmetic and geometric sequences.


2.4: Review Problems - Mathematics

PRECISION VERSUS ACCURACY

Accuracy refers to how closely a measured value agrees with the correct value.
Precision refers to how closely individual measurements agree with each other.

accurate
(the average is accurate)
not precise
precise
not accurate
accurate
y
precise

In any measurement, the number of significant figures is critical. The number of significant figures is the number of digits believed to be correct by the person doing the measuring. It includes one estimated digit. So, does the concept of significant figures deal with precision or accuracy? I'll answer this question after you peruse the next example.

A rule of thumb: read the volume to 1/10 or 0.1 of the smallest division. (This rule applies to any measurement.) This means that the error in reading (called the reading error) is 1/10 or 0.1 of the smallest division on the glassware. If you are less sure of yourself, you can read to 1/5 or 0.2 of the smallest division.

Beaker The smallest division is 10 mL, so we can read the volume to 1/10 of 10 mL or 1 mL. The volume we read from the beaker has a reading error of 1 mL.

The volume in this beaker is 47 1 mL. You might have read 46 mL your friend might read the volume as 48 mL. All the answers are correct within the reading error of 1 mL.

So, How many significant figures does our volume of 47 1 mL have? Answer - 2! The "4" we know for sure plus the "7" we had to estimate.

Look in the textbook for a picture of a graduated cylinder.

First, note that the surface of the liquid is curved. This is called the meniscus. This phenomenon is caused by the fact that water molecules are more attracted to glass than to each other (adhesive forces are stronger than cohesive forces). When we read the volume, we read it at the BOTTOM of the meniscus.

The smallest division of this graduated cylinder is 1 mL. Therefore, our reading error will be 0.1 mL or 1/10 of the smallest division. An appropriate reading of the volume is 36.5 0.1 mL. An equally precise value would be 36.6 mL or 36.4 mL.

How many significant figures does our answer have? 3! The "3" and the "6" we know for sure and the "5" we had to estimate a little.

Look in the textbook for a picture of a buret. Note that the numbers get bigger as you go down the buret. This is different from the beaker or the graduated cylinder. This is because the liquid leaves the buret at the bottom.

The smallest division in this buret is 0.1 mL. Therefore, our reading error is 0.01 mL. A good volume reading is 20.38 0.01 mL. An equally precise answer would be 20.39 mL or 20.37 mL.

How many significant figures does our answer have? 4! The "2", "0", and "3" we definitely know and the "8" we had to estimate.

Conclusion: The number of significant figures is directly linked to a measurement. If a person needed only a rough estimate of volume, the beaker volume is satisfactory (2 significant figures), otherwise one should use the graduated cylinder (3 significant figures) or better yet, the buret (4 significant figures).

So, does the concept of significant figures deal with precision or accuracy? Hopefully, you can see that it really deals with precision only. Consider measuring the length of a metal rod several times with a ruler. You will get essentially the same measurement over and over again with a small reading error equal to about 1/10 of the smallest division on the ruler. You have determined the length with high precision. However, you don't know if the ruler was accurate to begin with. Perhaps it was a plastic ruler left in the hot Texas sun and was stretched. You don't know the accuracy of your measuring device unless you calibrate it, i.e. compare it against a ruler you knew was accurate. Note: in the laboratory, a good analytical chemist always calibrates her volumetric glassware before using it by weighing a known volume of liquid dispensed from the glassware. By dividing the mass of the liquid by its density, she can determine the actual volume and hence the accuracy of the glassware.

    Leading zeros are never significant.
    Imbedded zeros are always significant.
    Trailing zeros are significant only if the decimal point is specified.
    Hint: Change the number to scientific notation. It is easier to see.

Ejemplo Number of
Significant Figures
Scientific Notation
0.0068236.82 x 10 - 3 Leading zeros are not significant.
1.07241.072 (x 10 0 ) Imbedded zeros are always significant.
30013 x 10 2 Trailing zeros are significant only if the decimal point is specified.
300 . 33.00 x 10 2
300 . 043.000 x 10 2

EXAMPLES

Adición Even though your calculator gives you the answer 8.0372, you must round off to 8.04. Your answer must only contain 1 doubtful number. Note that the doubtful digits are underlined.
Sustracción Subtraction is interesting when concerned with significant figures. Even though both numbers involved in the subtraction have 5 significant figures, the answer only has 3 significant figures when rounded correctly. Remember, the answer must only have 1 doubtful digit.
Multiplicación The answer must be rounded off to 2 significant figures, since 1.6 only has 2 significant figures.
División The answer must be rounded off to 3 significant figures, since 45.2 has only 3 significant figures.

  • When rounding off numbers to a certain number of significant figures, do so to the nearest value.
    • example: Round to 3 significant figures: 2.3467 x 10 4 (Answer: 2.35 x 10 4 )
    • example: Round to 2 significant figures: 1.612 x 10 3 (Answer: 1.6 x 10 3 )

    • If the number before the 5 is odd, round up.
    • If the number before the 5 is even, let it be.
      The justification for this is that in the course of a series of many calculations, any rounding errors will be averaged out.


    Ver el vídeo: Simple Interest Formula (Octubre 2021).