Artículos

4.5E: Ecuaciones lineales no homogéneas (ejercicios)


Q4.5.1

En Ejercicios 4.5.1-4.5.12 encontrar una solución particular. Luego, encuentre la solución general y, donde se indique, resuelva el problema del valor inicial y grafique la solución.

1. (y '' + 5y'-6y = 22 + 18x-18x ^ 2 )

2. (y '' - 4y '+ 5y = 1 + 5x )

3. (y '' + 8y '+ 7y = -8-x + 24x ^ 2 + 7x ^ 3 )

4. (y '' - 4y '+ 4y = 2 + 8x-4x ^ 2 )

5. (y '' + 2y '+ 10y = 4 + 26x + 6x ^ 2 + 10x ^ 3, quad y (0) = 2, quad y' (0) = 9 )

6. (y '' + 6y '+ 10y = 22 + 20x, quad y (0) = 2, ; y' (0) = - 2 )

7. (y '' + 5y'-6y = 6e ^ {3x} )

8. (y '' - 4y '+ 5y = e ^ {2x} )

9. (y '' + 8y '+ 7y = 10e ^ {- 2x}, quad y (0) = - 2, ; y' (0) = 10 )

10. (y '' - 4y '+ 4y = e ^ {x}, quad y (0) = 2, quad y' (0) = 0 )

11. (y '' + 2y '+ 10y = e ^ {x / 2} )

12. (y '' + 6y '+ 10y = e ^ {- 3x} )

Q4.5.2

13. Demuestre que [y '' + y '= 1 + 2x + x ^ 2; tag {A} ] no producirá una solución particular de la forma (y_p = A + Bx + Cx ^ 2 ), donde (A ), (B ) y (C ) son constantes.

14. Demuestre que [y '' - 7y '+ 12y = 5e ^ {4x}; tag {A} ] no producirá una solución particular de la forma (y_p = Ae ^ {4x} ).

15. Demuestre: Si ( alpha ) y (M ) son constantes y (M ne0 ) entonces la ecuación de coeficiente constante

[ay '' + por '+ cy = M e ^ { alpha x} ]

tiene una solución particular (y_p = Ae ^ { alpha x} ) ( (A = ) constante) si y solo si (e ^ { alpha x} ) no es una solución de la ecuación complementaria .

Q4.5.3

En Ejercicios 4.5.16-4.5.21 encontrar una solución particular. Luego, encuentre la solución general y, donde se indique, resuelva el problema del valor inicial y grafique la solución.

16. (y '' - 8y '+ 16y = 23 cos x-7 sin x )

17. (y '' + y '= - 8 cos2x + 6 sin2x )

18. (y '' - 2y '+ 3y = -6 cos3x + 6 sin3x )

19. (y '' + 6y '+ 13y = 18 cos x + 6 sin x )

20. (y '' + 7y '+ 12y = -2 cos2x + 36 sin2x, quad y (0) = - 3, quad y' (0) = 3 )

21. (y '' - 6y '+ 9y = 18 cos3x + 18 sin3x, quad y (0) = 2, quad y' (0) = 2 )

Q4.5.4

En Ejercicios 4.5.22-5.3.27 use el principio de superposición para encontrar una solución particular. Luego encuentra la solución general.

22. (y '' + 5y'-6y = 22 + 18x-18x ^ 2 + 6e ^ {3x} )

23. (y '' - 4y '+ 5y = 1 + 5x + e ^ {2x} )

24. (y '' + 8y '+ 7y = -8-x + 24x ^ 2 + 7x ^ 3 + 10e ^ {- 2x} )

25. (y '' - 4y '+ 4y = 2 + 8x-4x ^ 2 + e ^ {x} )

26. (y '' + 2y '+ 10y = 4 + 26x + 6x ^ 2 + 10x ^ 3 + e ^ {x / 2} )

27. (y '' + 6y '+ 10y = 22 + 20x + e ^ {- 3x} )

Q4.5.5

18. Demuestre: Si (y_ {p_1} ) es una solución particular de

[P_0 (x) y '' + P_1 (x) y '+ P_2 (x) y = F_1 (x) ]

en ((a, b) ) y (y_ {p_2} ) es una solución particular de

[P_0 (x) y '' + P_1 (x) y '+ P_2 (x) y = F_2 (x) ]

en ((a, b) ), entonces (y_p = y_ {p_1} + y_ {p_2} ) es una solución de

[P_0 (x) y '' + P_1 (x) y '+ P_2 (x) y = F_1 (x) + F_2 (x) ]

en ((a, b) ).

29. Suponga que (p ), (q ) y (f ) son continuas en ((a, b) ). Sea (y_1 ), (y_2 ) y (y_p ) dos veces diferenciables en ((a, b) ), de modo que (y = c_1y_1 + c_2y_2 + y_p ) es una solución de

[y '' + p (x) y '+ q (x) y = f ]

en ((a, b) ) para cada elección de las constantes (c_1, c_2 ). Demuestre que (y_1 ) y (y_2 ) son soluciones de la ecuación complementaria en ((a, b) ).


4.5E: Ecuaciones lineales no homogéneas (ejercicios)

Resuelve las ecuaciones lineales y verifica la solución:

Resuelve las ecuaciones lineales y verifica la solución:

Resuelve las ecuaciones lineales con valor absoluto y verifica la solución:

Resuelva las ecuaciones lineales con variables en numerador y denominador, verifique la solución y determine las condiciones de solubilidad:

Resolver las ecuaciones lineales con un parámetro aR :

Resuelve las desigualdades lineales:

Resuelve las desigualdades lineales con valor absoluto:


Ejercicio 1.5: Matriz: método de eliminación gaussiana

1. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de eliminación de Gauss:

(i) 2X - 2 y + 3z = 2, X + 2 y - z = 3, 3X - y + 2z = 1

(ii) 2X + 4 y + 6z = 22, 3X + 8 y + 5z = 27, - X + y + 2z = 2



2. Si hacha 2 + bx + C está dividido por X + 3, X - 5, y X -1, los restos son 21, 61 y 9 respectivamente. Encontrar a, B y C. (Utilice el método de eliminación gaussiano).



3. Se invierte una cantidad de 65.000 rupias en tres bonos a tipos del 6%, 8% y 10% anual, respectivamente. El ingreso anual total es de ₹ 4,800. Los ingresos del tercer bono son ₹ 600 más que los del segundo bono. Determina el precio de cada bono. (Utilice el método de eliminación gaussiano).



4. Un niño camina por el sendero. y = hacha 2 + bx + C a través de los puntos (-6, 8), (-2, -12) y (3,8). Quiere encontrarse con su amigo en PAG(7, 60). ¿Se encontrará con su amigo? (Utilice el método de eliminación gaussiano).


7.2 Ecuaciones lineales no homogéneas

En esta sección, examinamos cómo resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas. La terminología y los métodos son diferentes de los que usamos para las ecuaciones homogéneas, así que comencemos por definir algunos términos nuevos.

Solución general de una ecuación lineal no homogénea

Considere la ecuación diferencial lineal no homogénea

La ecuación homogénea asociada

se llama ecuación complementaria. Veremos que resolver la ecuación complementaria es un paso importante para resolver una ecuación diferencial no homogénea.

Definición

Solución general de una ecuación no homogénea

Prueba

Por tanto, vemos que z (x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) + y p (x). z (x) = do 1 y 1 (x) + do 2 y 2 (x) + y p (x).

Ejemplo 7.11

Verificación de la solución general

Solución

Para verificar que se trata de una solución, sustitúyala en la ecuación diferencial. Tenemos

Punto de control 7.10

Coeficientes indeterminados

Ejemplo 7.12

Coeficientes indeterminados cuando r (x) r (x) es un polinomio

Encuentre la solución general de y ″ + 4 y ′ + 3 y = 3 x. y ″ + 4 y ′ + 3 y = 3 x.

Solución

Al igualar los coeficientes de términos semejantes, tenemos

Ejemplo 7.13

Coeficientes indeterminados cuando r (x) r (x) es exponencial

Encuentre la solución general de y ″ - y ′ - 2 y = 2 e 3 x. y ″ - y ′ - 2 y = 2 e 3 x.

Solución

Encuentre la solución general de y ″ - 4 y ′ + 4 y = 7 sin t - cos t. y ″ - 4 y ′ + 4 y = 7 sen t - cos t.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia de resolución de problemas: método de coeficientes indeterminados

  1. Resuelve la ecuación complementaria y escribe la solución general.
  2. Con base en la forma de r (x), r (x), haga una estimación inicial para y p (x). y p (x).
  3. Compruebe si algún término en la estimación de y p (x) y p (x) es una solución de la ecuación complementaria. Si es así, multiplique la suposición por x. X . Repita este paso hasta que no haya términos en y p (x) y p (x) que resuelvan la ecuación complementaria.
  4. Sustituya y p (x) y p (x) en la ecuación diferencial y equipare los términos semejantes para encontrar los valores de los coeficientes desconocidos en y p (x). y p (x).
  5. Suma la solución general a la ecuación complementaria y la solución particular que acabas de encontrar para obtener la solución general de la ecuación no homogénea.

Ejemplo 7.14

Resolver ecuaciones no homogéneas

Encuentre las soluciones generales de las siguientes ecuaciones diferenciales.

Solución

Encuentre la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales.

Variación de parámetros

Para simplificar un poco nuestros cálculos, vamos a dividir la ecuación diferencial entre a, a, por lo que tenemos un coeficiente principal de 1. Entonces la ecuación diferencial tiene la forma

Sustituyendo en la ecuación diferencial, obtenemos

Regla: regla de Cramer

tiene una solución única si y solo si el determinante de los coeficientes no es cero. En este caso, la solución viene dada por

Ejemplo 7.15

Usando la regla de Cramer

Usa la regla de Cramer para resolver el siguiente sistema de ecuaciones.

Solución

Usa la regla de Cramer para resolver el siguiente sistema de ecuaciones.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia de resolución de problemas: método de variación de parámetros

Ejemplo 7.16

Usando el método de variación de parámetros

Encuentre la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales.

Solución

Encuentre la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales.

Sección 7.2 Ejercicios

Resuelve las siguientes ecuaciones usando el método de coeficientes indeterminados.

y ″ - 4 y ′ + 4 y = 8 x 2 + 4 x y ″ - 4 y ′ + 4 y = 8 x 2 + 4 x

y ″ + 2 y ′ + y = sin x + cos x y ″ + 2 y ′ + y = sin x + cos x

y ″ + y = 3 sin 2 x + x cos 2 x y ″ + y = 3 sin 2 x + x cos 2 x

y ″ + 10 y ′ + 25 y = x e −5 x + 4 y ″ + 10 y ′ + 25 y = x e −5 x + 4

En cada uno de los siguientes problemas,

2 y ″ - y ′ + y = (x 2 - 5 x) e - x 2 y ″ - y ′ + y = (x 2 - 5 x) e - x

4 y ″ + 5 y ′ - 2 y = e 2 x + x sin x 4 y ″ + 5 y ′ - 2 y = e 2 x + x sin x

y ″ - y ′ - 2 y = x 2 e x sin x y ″ - y ′ - 2 y = x 2 e x sin x

Resuelva la ecuación diferencial utilizando el método de coeficientes indeterminados o la variación de parámetros.

Resuelva la ecuación diferencial utilizando el método de variación de parámetros.

y ″ + 4 y = 3 csc 2 x, 0 & lt x & lt π / 2 y ″ + 4 y = 3 csc 2 x, 0 & lt x & lt π / 2

Encuentre la solución única que satisfaga la ecuación diferencial y las condiciones iniciales dadas, donde y p (x) y p (x) es la solución particular.

Como Asociado de Amazon, ganamos con las compras que califican.

¿Quiere citar, compartir o modificar este libro? Este libro es Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License 4.0 y debe atribuir OpenStax.

    Si está redistribuyendo todo o parte de este libro en formato impreso, debe incluir en cada página física la siguiente atribución:

  • Utilice la siguiente información para generar una cita. Recomendamos utilizar una herramienta de citas como esta.
    • Autores: Gilbert Strang, Edwin “Jed” Herman
    • Editor / sitio web: OpenStax
    • Título del libro: Cálculo Volumen 3
    • Fecha de publicación: 30 de marzo de 2016
    • Ubicación: Houston, Texas
    • URL del libro: https://openstax.org/books/calculus-volume-3/pages/1-introduction
    • URL de la sección: https://openstax.org/books/calculus-volume-3/pages/7-2-nonhomogeneous-linear-equations

    © 21 de diciembre de 2020 OpenStax. El contenido de un libro de texto producido por OpenStax tiene una licencia Creative Commons Reconocimiento-No comercial-Compartir igual que la licencia 4.0. El nombre OpenStax, el logotipo de OpenStax, las portadas de libros de OpenStax, el nombre de OpenStax CNX y el logotipo de OpenStax CNX no están sujetos a la licencia Creative Commons y no pueden reproducirse sin el consentimiento previo y expreso por escrito de Rice University.


    Notas sobre Diffy Qs: ecuaciones diferenciales para ingenieros

    Hemos resuelto ecuaciones homogéneas de coeficiente constante lineal. ¿Qué pasa con las EDO lineales no homogéneas? Por ejemplo, las ecuaciones para vibraciones mecánicas forzadas. Es decir, suponga que tenemos una ecuación como

    Escribiremos (Ly = 2x + 1 ) cuando la forma exacta del operador no sea importante. Resolvemos (2.6) de la siguiente manera. Primero, encontramos la solución general (y_c ) a la ecuación homogénea asociada

    Llamamos (y_c ) el solución complementaria. A continuación, encontramos un solo solución particular (y_p ) a (2.6) de alguna manera. Luego

    es la solución general de (2.6). Tenemos (L y_c = 0 ) y (L y_p = 2x + 1 text <.> ) Como (L ) es un operador lineal verificamos que (y ) es una solución, (L y = L (y_c + y_p) = L y_c + L y_p = 0 + (2x + 1) text <.> ) Veamos por qué obtenemos la general solución.

    Deje (y_p ) y ( tilde_p ) ser dos soluciones particulares diferentes de (2.6). Escriba la diferencia como (w = y_p - tilde_p text <.> ) Luego, inserta (w ) en el lado izquierdo de la ecuación para obtener

    Usando la notación de operador, el cálculo se vuelve más simple. Como (L ) es un operador lineal, escribimos

    Entonces (w = y_p - tilde_p ) es una solución de (2.7), es decir (Lw = 0 text <.> ) Dos soluciones cualesquiera de (2.6) difieren en una solución de la ecuación homogénea (2.7). La solución (y = y_c + y_p ) incluye todos soluciones de (2.6), ya que (y_c ) es la solución general de la ecuación homogénea asociada.

    Teorema 2.5.1.

    Sea (Ly = f (x) ) una EDO lineal (no necesariamente un coeficiente constante). Sea (y_c ) la solución complementaria (la solución general de la ecuación homogénea asociada (Ly = 0 )) y sea (y_p ) cualquier solución particular de (Ly = f (x) text < .> ) Entonces la solución general de (Ly = f (x) ) es

    La moraleja de la historia es que podemos encontrar la solución particular de cualquier manera. Si encontramos una solución particular diferente (por un método diferente, o simplemente adivinando), entonces todavía obtenemos la misma solución general. La fórmula puede parecer diferente y las constantes que tenemos que elegir para satisfacer las condiciones iniciales pueden ser diferentes, pero es la misma solución.

    Subsección 2.5.2 Coeficientes indeterminados

    El truco consiste en adivinar de alguna manera, de manera inteligente, una solución particular para (2.6). Tenga en cuenta que (2x + 1 ) es un polinomio, y el lado izquierdo de la ecuación será un polinomio si dejamos que (y ) sea un polinomio del mismo grado. Vamos a intentar

    Conectamos (y_p ) en el lado izquierdo para obtener

    Entonces (6Ax + (5A + 6B) = 2x + 1 text <.> ) Por lo tanto, (A = nicefrac <1> <3> ) y (B = nicefrac <-1> <9> text <.> ) Eso significa (y_p = frac <1> <3> , x - frac <1> <9> = frac <3x-1> <9> text <.> ) Resolviendo el problema complementario (¡ejercicio!) Obtenemos

    Por tanto, la solución general de (2.6) es

    Supongamos ahora que se nos dan algunas condiciones iniciales. Por ejemplo, (y (0) = 0 ) y (y '(0) = nicefrac <1> <3> text <.> ) Primero encuentra (y' = - 2C_1 e ^ <- 2x> - 3C_2 e ^ <-3x> + nicefrac <1> <3> text <.> ) Entonces

    Resolvemos para obtener (C_1 = nicefrac <1> <3> ) y (C_2 = nicefrac <-2> <9> text <.> ) La solución particular que queremos es

    Ejercicio 2.5.1.

    Compruebe que (y ) realmente resuelve la ecuación (2.6) y las condiciones iniciales dadas.

    Nota: Un error común es resolver las constantes usando las condiciones iniciales con (y_c ) y solo agregar la solución particular (y_p ) después de eso. Esa voluntad no trabajo. Primero necesitas calcular (y = y_c + y_p ) y sólo entonces resolver las constantes usando las condiciones iniciales.

    Un lado derecho que consta de exponenciales, senos y cosenos se puede manejar de manera similar. Por ejemplo,

    Encontremos algo de (y_p text <.> ) Comenzamos adivinando que la solución incluye algún múltiplo de ( cos (2x) text <.> ) Es posible que también tengamos que sumar un múltiplo de ( sin (2x) ) a nuestra suposición ya que las derivadas del coseno son senos. Intentamos

    Conectamos (y_p ) en la ecuación y obtenemos

    El lado izquierdo debe ser igual al lado derecho. Es decir, (- 4A + 4B + 2A = 1 ) y (- 4B - 4A + 2B = 0 text <.> ) Entonces (- 2A + 4B = 1 ) y (2A + B = 0 ) y por lo tanto (A = nicefrac <-1> <10> ) y (B = nicefrac <1> <5> text <.> ) Entonces

    De manera similar, si el lado derecho contiene exponenciales, probamos exponenciales. Si

    intentamos (y = A e ^ <3x> ) como nuestra suposición y tratamos de resolver para (A text <.> )

    Cuando el lado derecho es un múltiplo de senos, cosenos, exponenciales y polinomios, podemos usar la regla del producto para la diferenciación para llegar a una suposición. Necesitamos adivinar una forma para (y_p ) tal que (Ly_p ) sea de la misma forma y tenga todos los términos necesarios para el lado derecho. Por ejemplo,

    Para esta ecuación, suponemos

    Conectamos y, con suerte, obtendremos ecuaciones que podamos resolver para (A text <,> ) (B text <,> ) (C text <,> ) (D text <, > ) (E text <,> ) y (F text <.> ) Como puede ver, esto puede hacer un cálculo muy largo y tedioso muy rápidamente. ¡Así es la vida!

    Hay un contratiempo en todo esto. Podría ser que nuestra suposición realmente resuelva la ecuación homogénea asociada. Es decir, supongamos que tenemos

    Nos encantaría adivinar (y = Ae ^ <3x> text <,> ) pero si conectamos esto en el lado izquierdo de la ecuación obtenemos

    No hay forma de que podamos elegir (A ) para hacer que el lado izquierdo sea (e ^ <3x> text <.> ) El truco en este caso es multiplicar nuestra suposición por (x ) para deshacerse de la duplicación con la solución complementaria. Es decir, primero calculamos (y_c ) (solución a (Ly = 0 ))

    y notamos que el término (e ^ <3x> ) es un duplicado de nuestra suposición deseada. Modificamos nuestra suposición a (y = Ax ^ <3x> ) para que ya no haya duplicaciones. Probemos: (y '= Ae ^ <3x> + 3Axe ^ <3x> ) y (y' '= 6Ae ^ <3x> + 9Axe ^ <3x> text <,> ) entonces

    Por lo tanto, se supone que (6Ae ^ <3x> ) es igual a (e ^ <3x> text <.> ) Por lo tanto, (6A = 1 ) y entonces (A = nicefrac <1> <6 > text <.> ) Ahora podemos escribir la solución general como

    Es posible que multiplicar por (x ) no elimine todas las duplicaciones. Por ejemplo,

    La solución complementaria es (y_c = C_1 e ^ <3x> + C_2 x e ^ <3x> text <.> ) Adivinar (y = A xe ^ <3x> ) no nos llevaría a ninguna parte. En este caso, queremos adivinar (y_p = Ax ^ 2e ^ <3x> text <.> ) Básicamente, queremos multiplicar nuestra suposición por (x ) hasta que desaparezcan todas las duplicaciones. ¡Pero no más! Multiplicar demasiadas veces no funcionará.

    Finalmente, ¿qué pasa si el lado derecho tiene varios términos, como

    En este caso encontramos (u ) que resuelve (Lu = e ^ <2x> ) y (v ) que resuelve (Lv = cos x ) (es decir, cada término por separado). Luego observe que si (y = u + v text <,> ) entonces (Ly = e ^ <2x> + cos x text <.> ) Esto se debe a que (L ) es lineal, tenemos (Ly = L (u + v) = Lu + Lv = e ^ <2x> + cos x text <.> )

    Subsección 2.5.3 Variación de parámetros

    El método de coeficientes indeterminados funciona para muchos problemas básicos que surgen. Pero no funciona todo el tiempo. Solo funciona cuando el lado derecho de la ecuación (Ly = f (x) ) tiene un número finito de derivadas linealmente independientes, de modo que podemos escribir una suposición que consta de todas ellas. Algunas ecuaciones son un poco más difíciles. Considerar

    Cada nueva derivada de ( tan x ) se ve completamente diferente y no se puede escribir como una combinación lineal de las derivadas anteriores. Si comenzamos a diferenciar ( tan x text <,> ) obtenemos:

    Esta ecuación requiere un método diferente. Presentamos el método de variación de parámetros, que maneja cualquier ecuación de la forma (Ly = f (x) text <,> ) siempre que podamos resolver ciertas integrales. Por simplicidad, nos limitamos a ecuaciones de coeficiente constante de segundo orden, pero el método también funciona para ecuaciones de orden superior (los cálculos se vuelven más tediosos). El método también funciona para ecuaciones con coeficientes no constantes, siempre que podamos resolver la ecuación homogénea asociada.

    Quizás sea mejor explicar este método con un ejemplo. Intentemos resolver la ecuación

    Primero encontramos la solución complementaria (solución a (Ly_c = 0 )). Obtenemos (y_c = C_1 y_1 + C_2 y_2 text <,> ) donde (y_1 = cos x ) y (y_2 = sin x text <.> ) Para encontrar una solución particular al ecuación no homogénea que intentamos

    donde (u_1 ) y (u_2 ) son funciones y no constantes. Estamos tratando de satisfacer (Ly = tan x text <.> ) Eso nos da una condición en las funciones (u_1 ) y (u_2 text <.> ) Calcular (¡observe la regla del producto! )

    Aún podemos imponer una condición más a nuestra discreción para simplificar los cálculos (tenemos dos funciones desconocidas, por lo que se nos deben permitir dos condiciones). Requerimos que ((u_1 'y_1 + u_2' y_2) = 0 text <.> ) Esto facilita el cálculo de la segunda derivada.

    Dado que (y_1 ) y (y_2 ) son soluciones de (y '' + y = 0 text <,> ) encontramos (y_1 '' = - y_1 ) y (y_2 '' = - y_2 text <.> ) (Si la ecuación fuera más general (y '' + p (x) y '+ q (x) y = 0 text <,> ) tendríamos (y_i '' = -p (x) y_i '-q (x) y_i text <.> )) Entonces

    Tenemos ((u_1 y_1 + u_2 y_2) = y ) y entonces

    Para que (y ) satisfaga (Ly = f (x) ) debemos tener (f (x) = u_1 'y_1' + u_2 'y_2' text <.> )

    Lo que necesitamos resolver son las dos ecuaciones (condiciones) que impusimos en (u_1 ) y (u_2 text <:> )

    comenzar & amp u_1 'y_1 + u_2' y_2 = 0, & amp u_1 'y_1' + u_2 'y_2' = f (x). fin

    Resolvemos (u_1 ') y (u_2' ) en términos de (f (x) text <,> ) (y_1 ) y (y_2 text <.> ) Siempre obtenga estas fórmulas para cualquier (Ly = f (x) text <,> ) donde (Ly = y '' + p (x) y '+ q (x) y text <.> ) Hay una fórmula general para la solución que podríamos simplemente conectar, pero en lugar de memorizar eso, es mejor y más fácil simplemente repetir lo que hacemos a continuación. En nuestro caso, las dos ecuaciones son

    Integramos (u_1 ') y (u_2' ) para obtener (u_1 ) y (u_2 text <.> )

    Entonces nuestra solución particular es

    La solución general de (y '' + y = tan x ) es, por lo tanto,

    Subsección 2.5.4 Ejercicios

    Ejercicio 2.5.2.

    Encuentra una solución particular de (y '' - y '-6y = e ^ <2x> text <.> )

    Ejercicio 2.5.3.

    Encuentra una solución particular de (y '' - 4y '+ 4y = e ^ <2x> text <.> )

    Ejercicio 2.5.4.

    Resuelve el problema del valor inicial (y '' + 9y = cos (3x) + sin (3x) ) para (y (0) = 2 text <,> ) (y '(0) = 1 texto <.> )

    Ejercicio 2.5.5.

    Configure la forma de la solución particular pero no resuelva los coeficientes para (y ^ <(4)> - 2y '' '+ y' '= e ^ x text <.> )

    Ejercicio 2.5.6.

    Configure la forma de la solución particular pero no resuelva los coeficientes para (y ^ <(4)> - 2y '' '+ y' '= e ^ x + x + sin x text <.> )

    Ejercicio 2.5.7.

    Usando la variación de parámetros, encuentre una solución particular de (y '' - 2y '+ y = e ^ x text <.> )

    Encuentre una solución particular usando coeficientes indeterminados.

    ¿Las dos soluciones que encontraste son iguales? Consulte también el ejercicio 2.5.10.

    Ejercicio 2.5.8.

    Encuentre una solución particular de (y '' - 2y '+ y = sin (x ^ 2) text <.> ) Está bien dejar la respuesta como una integral definida.

    Ejercicio 2.5.9.

    Para una constante arbitraria (c ) encuentre una solución particular a (y '' - y = e ^ text <.> ) Sugerencia: asegúrese de manejar todos los (c text <.> ) reales posibles

    Ejercicio 2.5.10.

    Usando la variación de parámetros, encuentre una solución particular de (y '' - y = e ^ x text <.> )

    Encuentre una solución particular usando coeficientes indeterminados.

    ¿Las dos soluciones que encontraste son iguales? ¿Qué está pasando?

    Ejercicio 2.5.11.

    Encuentra un polinomio (P (x) text <,> ) de modo que (y = 2 x ^ 2 + 3 x + 4 ) resuelva (y '' + 5 y '+ y = P (x) text <.> )


    4.5E: Ecuaciones lineales no homogéneas (ejercicios)

    ¡Es un milagro! Parece que va a funcionar. ¡Estoy tan cerca de resolver casi todos los problemas y este programa ha respondido a mis oraciones!
    Tommy Hobroken, WY

    Algebrator es una herramienta maravillosa para el maestro de álgebra que quiere crear lecciones de matemáticas fácilmente. A los estudiantes les encantará su solución paso a paso de su tarea de álgebra. Las explicaciones dadas por el tutor de matemáticas son excelentes.
    Marsha Stonewich, Estados Unidos

    La última versión de su software es tremenda. Además de la GUI, me gustaron especialmente los "asistentes" que facilitan mucho la introducción de problemas de tipo de geometría. Todavía no he usado las características más avanzadas (operaciones de funciones, etc.), pero esto será útil una vez que entre en Álgebra universitaria.
    Warren Mills, CA

    Estaba bastante frustrado con el manejo de números complejos. Después de usar este software, me siento bastante cómodo con él. Los números complejos ya no son "COMPLEJOS" para mí.
    Lori Barker


    4.5E: Ecuaciones lineales no homogéneas (ejercicios)

    Estas a punto de borra tu trabajo en esta actividad. ¿Seguro que quieres hacer esto?

    Versión actualizada disponible

    Hay un Versión actualizada de esta actividad. Si actualiza a la versión más reciente de esta actividad, se borrará su progreso actual en esta actividad. Independientemente, se mantendrá su registro de finalización. ¿Cómo te gustaría proceder?

    Editor de expresiones matemáticas

    Estudiamos sistemas no homogéneos de coeficiente constante, haciendo uso de la variación de parámetros para encontrar una solución particular.

    Variación de parámetros para sistemas lineales no homogéneos

    Ahora consideramos el sistema lineal no homogéneo donde es una función matricial y es una función forzadora de vectores. Asociado con este sistema está el sistema complementario .

    El siguiente teorema es análogo a los teoremas thmtype: 5.3.2 y thmtype: 9.1.5. Muestra cómo encontrar la solución general de si conocemos una solución particular de y un conjunto fundamental de soluciones del sistema complementario. Dejamos la prueba al lector.

    Encontrar una solución particular de un sistema no homogéneo

    Ahora discutimos una extensión del método de variación de parámetros a sistemas lineales no homogéneos. Este método producirá una solución particular de un sistema no homogéneo siempre que conozcamos una matriz fundamental para el sistema complementario. Para derivar el método, supongamos que es una matriz fundamental para el sistema complementario, es decir, donde se encuentra un conjunto fundamental de soluciones del sistema complementario. En Trench 10.3 lo vimos. Buscamos una solución particular de

    de la forma en que se va a determinar. Diferenciar (ecuación: 10.7.2) rendimientos

    Este método es análogo al método de variación de parámetros discutido en las trincheras 5.7 y 9.4 para ecuaciones lineales escalares.

    elemento: 10.7.1b Del teorema thmtype: 10.7.1, la solución general de (ecuación: 10.7.3) es

    que también se puede escribir como where es un vector constante arbitrario.

    Escribir (ecuación: 10.7.5) en términos de coordenadas produce

    Si no es una matriz constante, generalmente es difícil encontrar un conjunto fundamental de soluciones para el sistema. Está más allá del alcance de este texto discutir métodos para hacer esto. Por lo tanto, en los siguientes ejemplos y en los ejercicios que involucran sistemas con matrices de coeficientes variables, brindaremos matrices fundamentales para los sistemas complementarios sin explicar cómo se obtuvieron.

    item: 10.7.4b Del teorema thmtype: 10.7.1 la solución general de (ecuación: 10.7.8) es que se puede escribir como donde es un vector constante arbitrario.

    Fuente de texto

    Trench, William F., "Ecuaciones diferenciales elementales" (2013). Libros y CDs editados y escritos por profesores. 8. (CC-BY-NC-SA)


    Entorno de ejercicio MATH246 (beta)

    Suponga que el operador diferencial ( Lop ) tiene coeficientes constantes, digamos [ Lop y = D ^ ny + a_1D ^y + a_2D ^y + cdots + a_D ^ 2y + a_D y + a_ny text <,> ] donde todos los (a_i ) son números reales. Sea (g (x) ) la función de Green para este operador, como se define en la sección anterior (es decir, una solución al problema del valor inicial ( Lop g = 0 ), (g (0) = 0 ), (g & # 39 (0) = 1 )). Sea (G (x, s) ) la función de Green como se define en esta sección. Demuestre que (G (x, s) = g (x-s) ).

    Para los números 16–17, encuentre una solución general a la ecuación diferencial usando la variación de parámetros.

    Ejercicio 16

    Ejercicio 17

    (Las soluciones homogéneas son (1 ), (x ) y (x ^ 3 ).)

    Para los números 18–19, encuentre una solución general a la ecuación diferencial integrando contra una función de Green.

    Ejercicio 18

    Ejercicio 19

    (Las soluciones homogéneas son (1 ), (t ^ 3 ), ( log (t) ). Encuentra una solución en ((0, infty) ).)

    Ejercicio 20

    Esta es una buena revisión de las técnicas de resolución discutidas hasta ahora para ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden.

    a) Encuentre una solución general para la siguiente ecuación: [w & # 39 & # 39 + 9w = 0. ]

    b) ¿Puedes pensar en varias formas de resolver la siguiente ecuación diferencial (w & # 39 & # 39 + 9w = e ^ x? )

    c) ¿Puedes pensar en varias formas de resolver la siguiente ecuación diferencial (w & # 39 & # 39 + 9w = sec (3x)? )

    ( bf) Debe haber al menos 3 formas de abordar la parte c) :).

    Ejercicio 21

    Las funciones (v ^ 2 ) y (v ) son soluciones a la siguiente ecuación homogénea

    [v ^ 2 w & # 39 & # 39 - 2v w & # 39 + 2 w = 0, ] para (v & gt 0 ). (¡No es necesario comprobar que (v ^ 2 ) y (v ) son realmente soluciones!)

    a) Calcule el Wronskiano de las dos funciones y evalúelo en (v = 5 ).

    b) Resuelva el problema del valor inicial [v ^ 2 w & # 39 & # 39 - 2v w & # 39 + 2 w = v ^ 3 e ^ v,

    0, ] usando ambas técnicas de resolución discutidas en esta sección. Debería poder evaluar todas las integrales definidas.

    Ejercicio 22

    Escriba una solución general para la ecuación lineal de segundo orden no homogénea (x & # 39 & # 39 + x = sec (t) ), para (t in (- frac < pi> <2> , frac < pi> <2>) ), usando los dos métodos discutidos en esta sección. ¿Con cuál es más largo / más fácil de resolver?

    Ejercicio 23

    Aquí ilustraremos cómo la no homogeneidad en un problema de valor inicial se puede separar en dos problemas de valor inicial.

    Demuestre que la solución de la ecuación diferencial ( Lop [v] = v & # 39 & # 39 + p (x) v & # 39 + q (x) v = f (x), v (x_0) = v_0, v & # 39 (x_0) = v & # 39_0 ) se puede escribir como (v (x) = y (x) + w (x) ), donde (y ) y (w ) son soluciones a lo siguiente problemas de valor inicial: [ Lop [y] = 0,

    ( bf) Si se conoce un conjunto de soluciones fundamentales para la ecuación diferencial ( Lop [y] = 0 ), entonces (y (x) ) puede ser relativamente fácil de encontrar. Además, la búsqueda de (w (x) ) podría realizarse mediante el método de variación de parámetros o el método de función de Green.

    Ejercicio 24

    El método de reducción de orden también se puede utilizar con ecuaciones diferenciales lineales de coeficiente no constante no homogéneo. Específicamente, considere la siguiente ecuación (w & # 39 & # 39 + p (u) w & # 39 + q (u) w = g (u) ), y suponga que se conoce una solución a la ecuación homogénea asociada, ( w_1 (u) ). Ahora sea (w (u) = v (u) w_1 (u) ) y demuestre que si (w (u) ) es una solución a (w & # 39 & # 39 + p (u) w & # 39 + q (u) w = g (u) ), entonces (v (u) ) debe ser una solución a (w_1 (u) v & # 39 & # 39 + [2w & # 39_1 (u) + p ( u) w_1 (u)] v & # 39 = g (u) ).

    ( bf) La ecuación (w_1 (u) v & # 39 & # 39 + [2w & # 39_1 (u) + p (u) w_1 (u)] v & # 39 = g (u) ) es una ecuación lineal de primer orden en (v & # 39 ). Después de resolver esta ecuación, integrando el resultado para obtener (v (u) ) y multiplicando eso por (w_1 (u) ), obtenemos la solución general (w (u) = v (u) w_1 (u ) ) a la ecuación diferencial original (w & # 39 & # 39 + p (u) w & # 39 + q (u) w = g (u) ).

    Ejercicio 25

    y_2 (x) = xe ^ x, ) y (y_3 (x) = e ^ <-x> ) son soluciones a la ecuación homogénea asociada con (y & # 39 & # 39 & # 39 - y & # 39 & # 39 - y & # 39 + y = f (x) ), determine una solución particular a la ecuación diferencial en términos de las integrales definidas. ¿Puede escribir también la solución general?

    Ejercicio 26

    Encuentre una fórmula que involucre integrales para una solución particular de la ecuación integral [w & # 39 & # 39 & # 39 - w & # 39 & # 39 + w & # 39 - w = f (u). ]


    4.5E: Ecuaciones lineales no homogéneas (ejercicios)

    Para este primer grupo de problemas: (a) Muestre que (Y_P ) dada es una solución de la ecuación no homogénea (b) Encuentre una solución general para la ecuación.

    Ejercicio 1

    ( ddot-punto-2w = 2e ^ u ) con (W_P (u) = -e ^ u ).

    Solución

    (a) ( ddot = punto= W_P = -e ^ u ), y (- e ^ u - (-e ^ u) - (-2e ^ u) = 2e ^ u ), entonces (W_P ) es una solución.

    (b) La solución general es (w (u) = c_1e ^ <2u> + c_2e ^ <-u> - e ^ u ) ya que las raíces del polinomio característico son 2 y -1.

    Ejercicio 2

    Solución

    (a) (Y_P = -Y_P & # 39 & # 39 ) así que desde (- sin (t) / 3 + 4 sin (t) / 3 = sin (t) ) sabemos (Y_P ) es una solución.

    (b) La solución general es (y (t) = c_1 cos (2t) + c_2 sin (2t) + frac <1> <3> sin (t) ).

    Ejercicio 3

    Solución

    (a) (W_P & # 39 = sin (x) + x cos (x) ) y (W_P & # 39 & # 39 = 2 cos (x) - x sin (x) ), entonces (W_P & # 39 & # 39 + W_P = 2 cos (x) ).

    (b) La solución general es (w (x) = c_1 sin (x) + c_2 cos (x) + x sin (x) ).

    Ejercicio 4

    Solución

    (b) La solución general es (y (t) = (c_1 + c_2t) e ^ <-t>+frac<1> <3> e ^ <2t>. )

    Ejercicio 5

    Solución

    (b) La solución general es (x (t) = c_1e ^ <-x> sin (x) + c_2e ^ <-x> cos (x) + e ^ <-x> )

    Ejercicio 6

    Solución

    (a) (Y_P & # 39 = (3t ^ 2 + 2t) e ^ <3t> ) y (Y_P & # 39 & # 39 = (9t ^ 2 + 12t + 2) e ^ <3t> ), entonces (Y_P & # 39 & # 39 - 6Y_P & # 39 + 9 Y_P = (9t ^ 2 + 12t + 2-18t ^ 2-12t + 9t ^ 2) e ^ <3t> = 2e ^ <3t>. )

    (b) La solución general es (y (t) = (c_1 + c_2t + t ^ 2) e ^ <3t> ).

    Ejercicio 7

    ( ddot - 2 punto + w = ​​-e ^ z / z ^ 2 ) con (W_P (z) = e ^ z log (z). )

    Solución

    (un punto= frac + e ^ z log (z) ) y ( ddot = frac <-e ^ z> + frac <2e ^ z> + e ^ z log (z) ), conectar (W_P ) en la ecuación funciona.

    (b) La solución general es (w (z) = (c_1 + c_2z + log (z)) e ^ z )

    Ejercicio 8

    (t ^ 2y & # 39 & # 39 - (t ^ 2 + 2t) y & # 39 + (t + 2) y = 2t ^ 3 ) con (Y_P (t) = -2t ^ 2 ) (Para la parte (b) observe que (y_1 (t) = t ) y (y_2 (t) = te ^ t ) son ambas soluciones de la ecuación homogénea).

    Solución

    (a) (Y_P & # 39 = -4t ) y (Y_P & # 39 & # 39 = -4 ) así que conectando tenemos (- 4t ^ 2 + 4t ^ 3 + 8t ^ 2-2t ^ 3- 4t ^ 2 = 2t ^ 3 ), entonces (Y_P ) es una solución no homogénea.

    (b) Con la sugerencia dada, tenemos (y (t) = c_1t + c_2te ^ t-2t ^ 2 ) es la solución general. Podemos comprobar que (y_1 ) y (y_2 ) son soluciones de la ecuación homogénea correspondiente, y que estas soluciones tienen un Wronskiano distinto de cero.

    En el siguiente grupo de problemas, muestre que la solución dada es una solución a la ecuación y luego úsela para encontrar la solución al problema de valor inicial dado.

    Ejercicio 9

    Solución

    Podemos comprobar que (e ^ x ) es de hecho una solución, y luego la solución general es (y (x) = (c_1 + c_2x) e ^ <-2x> + e ^ x ), entonces ( y & # 39 (x) = (c_2 - 2c_1 - 2c_2x) e ^ <-2x> + e ^ x ). Entonces (3 = c_1 + 1 ) y (4 = c_2 - 2c_1 + 1 ). Entonces (c_1 = 2 ) y (c_2 = 7 ). Entonces, la solución al problema del valor inicial es (y (x) = (2 + 7x) e ^ <-2x> + e ^ x ).

    Ejercicio 10

    Solución

    Podemos comprobar que (e ^ <3t> ) es de hecho una solución, y luego la solución general es (y (t) = c_1e ^ <2t> + c_2e ^ <-2t> + e ^ <3t> ) entonces (y & # 39 (t) = 2c_1e ^ <2t> -2c_2e ^ <-2t> + 3e ^ <3t> ). Luego, conectando las condiciones iniciales, tenemos (3 = c_1 + c_2 + 1 ) y (0 = 2c_1-2c_2 + 3 ). Resolviendo obtenemos (c_1 = 1/4 ) y (c_2 = 7/4 ) entonces la solución es [y (t) = frac+ 7e ^ <-2t> + 4e ^ <3t>> <4>. ]

    Ejercicio 11

    Solución

    Podemos comprobar que (e ^ <3u> - e ^ <2u> ) es de hecho una solución, y luego la solución general es (w (u) = c_1e ^ <-u> + c_2e ^ <3u> + e ^ <3u> - e ^ <2u> ). Podemos cambiar (c_2 ) en 1 y reescribir esta forma general como (w (u) = c_1e ^ <-u> + c_2e ^ <3u> -e ^ <2u> ). Entonces (w & # 39 (u) = -c_1e ^ <-u> + 3c_2e ^ <3u> - 2e ^ <2u> ). Entonces, conectando las condiciones iniciales tenemos (2 = c_1 + c_2 - 1 ) y (1 = -c_1 + 3c_2 - 2 ), entonces (c_1 = 3/2 ) y (c_2 = 3 / 2 ). Entonces la solución es [w (u) = frac <3e ^ <-u> + 3e ^ <3u> -2e ^ <2u>> <2>. ] También habrías obtenido esto si no hubieras cambiado (c_2 ).

    Ejercicio 12

    Solución

    Podemos comprobar que (2 sin (t) -5 cos (t) ) es una solución. Entonces la solución general es (y (t) = e ^(c_1 cos ( sqrt <5> t) + c_2 sin ( sqrt <5> t)) +2 sin (t) -5 cos (t) ). Conectando la condición inicial obtenemos (c_1-5 = 1 ) y ( sqrt <5> c_2 + 2 = 2 ), entonces (c_1 = 6 ) y (c_2 = 0 ). La solución es entonces [y (t) = 6e ^ t cos ( sqrt <5> t) + 2 sin (t) -5 cos (t). ]

    Ejercicio 13

    (z & # 39 & # 39-z = 4we ^ w ) con (Z_P (w) = w ^ 2e ^ w-we ^ w ) donde (z (0) = 2 ) y (z & # 39 (0) = -1 ).

    Solución

    Podemos comprobar que (w ^ 2e ^ w-we ^ w ) es una solución. Entonces, una solución general es (z (w) = c_1e ^ <-w> + c_2e ^ w + w ^ 2e ^ w - we ^ w ). Entonces (z & # 39 (w) = -c_1e ^ <-w> + c_2e ^ w + (w ^ 2 + w-1) e ^ w ). Conectando las condiciones iniciales tenemos (c_1 + c_2 = 2 ) y (- c_1 + c_2-1 = -1 ) entonces (c_1 = c_2 = 1 ). Entonces la solución es [z (w) = e ^ <-w> + (w ^ 2 - w + 1) e ^ w. ]

    Ejercicio 14

    Solución

    Podemos comprobar que (- t / 2 ) es una solución. Entonces la solución general es [y (t) = c_1 cos (t) + c_2 sin (t) + c_3e ^ <2t> + c_4e ^ <-2t> - t / 2. ] Conectando las condiciones iniciales obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

    [comenzar c_1 + c_3 + c_4 & amp = 10 c_2 + 2c_3-2c_4 -1/2 & amp = 3/2 -c_1 + 4c_3 + 4c_4 & amp = 0 -c_2 + 8c_3-8c_4 & amp = -2 end]

    La solución es [y (t) = 8 cos (t) +2 sin (t) + e ^ <2t> + e ^ <-2t> -t / 2. ]

    Ejercicio 15

    Solución

    Podemos comprobar que (e ^ <2u> ) es una solución. Entonces la solución general es (x (u) = c_1e ^ <-u> + (c_2 + c_3u) e ^ u + e ^ <2u> ). Conectando las condiciones iniciales obtenemos el sistema de ecuaciones: [ begin c_1 + c_2 + 1 & amp = 1 -c_1 + c_2 + c_3 + 2 & amp = 2 c_1 + c_2 + 2c_3 + 4 & amp = 4. fin] La solución es (x (u) = e ^ <2u> ) (también podría haber notado que la solución no homogénea dada también satisfacía las condiciones iniciales).

    Ejercicio 16

    (t ^ 2y & # 39 & # 39-ty & # 39 + y = t ^ 2 ) con (Y_P (t) = t ^ 2 ) y (y_1 (t) = t ) es una solución al homogeneous equation, and where (y(1) = 1) and (y'(1) = 0) (Note: you will have to first find a second independent solution to the homogeneous equation).

    Solución

    We can check that (t^2) is a solution. Then we use reduction of order to find a second solution to the corresponding homogeneous solution. We get that (y_2(t) = tlog(t)) is an independent solution. The general solution for the non-homogeneous solution is then [y(t) = c_1t+c_2tlog(t) + t^2.] Plugging in the initial conditions we get (c_1+1 = 1) and (c_1+c_2 +2 = 0) . So (c_1 = 0) and (c_2 = -2) . The solution is [y(t) = t^2 - 2tlog(t).]

    Use reduction of order to find general solutions to the following non-homgeneous equations. That is given a solution (y_1) to the corresponding homogeneous equation set (y_2 = y_1v) , and reduce the second order non-homogeneous equations to a first order equation.

    Ejercicio 17

    Solución

    Using reduction of order we let (w = zv) so (w' = v+zv') and (w''= 2v' + zv'') . So plugging in we have (2z^2v'+z^3v'' - 2z^2v' - 2zv + 2zv = 4z^2) . So (z^3v''=4z^2) . Then (v''= 4/z) , so ( v' = 4log(z)+C) and (v = 4zlog(z)-(4-C)z+D) . So the general solution is [w(z)=4z^2log(z) + c_1z^2 + c_2z.] Notice both (z) and (z^2) are homogeneous solutions and (4z^2log(z)) is a non-homogeneous solution.

    Ejercicio 18

    (x^2ddot+7xdot+5w = x) where (w_1(x) = frac<1>) .

    Solución

    Using reduction of order we let (w=v/x) . Then (dot = dot/x - v/x^2) and (ddot = dot/x - 2dot/x^2+2v/x^3) . Plugging in we have [xddot - 2dot + 2v/x +7dot-7v/x + 5v/x = x.] This simplifies to [xddot+5dot = x ext < so >ddot + 5dot/x = 1.] The integrating factor is (x^5) so we have (dotx^5 = int x^5dt) and we get (dot = frac<6>+c_1x^<-5>) . Integrating again we have (v = frac <12>+ c_1x^ <-4>+ c_2) . The general solution is then [w(x) = c_1x^ <-5>+ c_2x^ <-1>+ frac<12>.] Notice that (1/x) and (1/x^5) are both homogeneous solutions, and (x/12) is a non-homogeneous solution.

    In the following please justify your responses

    Exercise 19

    The recipe for finding a general solution to a non-homogeneous equation is to first find a single solution to the non-homogeneous equation (Y_P) and then add it to the general solution for the corresponding homogeneous equation (Y_H) .

    (a) Justify why (Y_P(t) + Y_H(t)) will be a solution for any homogeneous solution (Y_H) .

    (b) Suppose that we also have an initial condition. Can we solve the initial value problem by adding a solution to the non-homogeneous equation and adding it to the solution to the corresponding homogeneous initial value problem? ¿Por qué o por qué no?

    Solución

    (a) Let (L(t)) be the linear operator corresponding to the equation so that (L(t)(y) =g(t)) is the non-homgenous equation for some non-zero function (g(t)) . Then we are given that (L(t)Y_H(t) = 0) and (L(t)Y_P(t) = g(t)) . Then since (L(t)) is linear we know [L(t)(Y_P(t) + Y_H(t)) = L(t)Y_P(t) + L(t)Y_H(t) = g(t) + 0 = g(t).] So (Y_P(t) + Y_H(t)) will be a solution for any homogeneous solution (Y_H) .

    (b) The answer is no, since the non-homogeneous will likely contribute a non-zero term at the initial conditions. In particular for the equation (y'' = e^t) with initial conditions the initial coniditions (y(0)=y'(0)=0) the corresponing homogeneous solution is (y(t) =0) but (y(t) = 0 + e^t) doesn’t satisfy the initial conditions. To solve this we would have (c_1 + c_2t +e^t) and plugging in the initial conditions we would have (y(t)= -1-t+e^t) .

    Exercise 20

    This problem touches on the method of annihilators. The next section depends on having the non-homogeneous part be a solution to some homogeneous equation. It gives us a way to find a non-homogeneous solution when the non-homogeneous part has the special property that it is annihilated by a differential operator.

    (a) Suppose that (y''-y = g(t)) is such that (g(t)) is a solution to the homogeneous equation (y'' -y = 0) . Justify why a solution to (y''-y = g(t)) is also a solution to the homogeneous equation (y^ <(4)>- 2y'' + y=0) .

    (b) More generally suppose that (Lop_1) and (Lop_2) are differential operators such that (Lop_1Y_P = g) and (Lop_2g = 0) . Justify why (Y_P) is a solution to (Lop_2 Lop_1 y=0) .

    (c) If (Y) is the general solution to (Lop_2 Lop_1 y=0) , and (z) is the general solution to (Lop_1 y=0) , and (g) is a solution to (Lop_2 y=0) , justify why we can find coefficients such that (Y-z) is a solution to (Lop_1 y=g) .

    Solución

    (a) The point is that the operator (Dop^2-1) makes (g(t)) vanish. So we have that if (y) is a solution to the original non-homgeneous equation ((Dop^2-1)[y] = g(t)) then applying the operator (Dop^2-1) to both sides we have ((Dop^2-1)^2[y] = (Dop^2-1)[g(t)] = 0) . So (y) must be a solution to the homogeneous equation ((Dop^2-1)^2[y]=0) (i.e. (y^ <(4)>- 2y'' + y=0) ).

    (b) (Lop_2 Lop_1 Y_P = Lop_2(Lop_1 Y_P) = Lop_2g = 0) so (Y_P) is a solution to (Lop_2 Lop_1 y=0) .

    (c) This is a direct application of (a) and (b).

    Exercise 21

    This is a two-part problem.

    a) What should (h(x)) be so that (y(x)) is a solution to [y'' - 2y' + y = h(x),] when (i) y(x) = cos(2x)?) (ii) y(x) = sin(2x)?)

    b) Using the results obtained from (a)) , find a particular solution (y_p(x)) and a general soluton to each of the following equations: (i) y'' - 2 y' + y = cos(2x)) (ii) y'' - 2 y' + y = sin(2x)) .

    ( (f) Here you will have to make an educated guess for a particular solution. Think about a linear combination of solutions from i) and ii) and solve for the unknown coefficients of that linear combination.)

    (f) This foreshadows the appearance of the method of “Undetermined Coefficients” from Chapter 6.

    Solución

    a) i) Plugging in (y(x) = cos(2x)) into the differential equation yields (h(x) = -3 cos(2x) + 4 sin(2x)) .

    ii) Plugging in (y(x) = sin(2x)) into the differential equation yields (h(x) = - 3 sin(2x) - 4cos(2x)) .

    b) The characteristic equation for the second-order, linear constant coefficient homogeneous equation in the problem ( ( y'' - 2y' + 1 =0) ) is ( r^2 - 2r + 1 = 0,) which yields (r =1 ) as its root with multiplicity (2) . A general solution to the differential equation would thus look like (y(x) = c_1 e^t + c_2 t e^t + y_p(x)) , where (y_p(x)) is still to be determined. The lesson we learn from point a) above and from the hint indicates that a particular solution to our nonhomogeneous equation might look like (y_p(x) = a cos(2x) + bsin(2x)) , where (a, b) are real scalars which we compute below.

    i) Plugging in (y_p(x) = acos(2x) + bsin(2x)) into (y'' - 2 y' + y = cos(2x)) and identifying corresponding terms yields a system of equations with 2 equations, and two unknowns (a, b) . Solving for (a) and (b) yields ( a = - frac<3><25>) and (b = - frac<4><25>) . Thus, (y_p(x)= -frac<3> <25>cos(2x) - frac<4> <25>sin(2x)) and the general solution to the equation is (y(x) = c_1 e^t + c_2 t e^t -frac<3><25>cos(2x) - frac<4><25>sin(2x)) .

    ii) Plugging in (y_p(x) = acos(2x) + bsin(2x)) into (y'' - 2 y' + y = sin (2x)) and identifying corresponding terms yields a system of equations with 2 equations, and two unknowns (a, b) . Solving for (a) and (b) yields ( a = frac<4><25>) and (b = - frac<3><25>) . Thus, (y_p(x)= frac<4><25>cos(2x) - frac<3><25>sin(2x)) and the general solution to the equation is (y(x) = c_1 e^t + c_2 t e^t + frac<4><25>cos(2x) -frac<3><25>sin(2x)) .


    4.5E: Nonhomgeneous Linear Equations (Exercises)

    Which of the following equations are linear? For the ones that aren’t, explain where the problem lies. For the ones that are, put them in linear normal form if they aren’t already.

    For #2–#5, find a general solution for the following homogeneous differential equations.

    Exercise 2

    Exercise 3

    Exercise 4

    Exercise 5

    For #6 – #11, find a general solution for the following nonhomogeneous differential equations.

    Ejercicio 6

    Ejercicio 7

    Exercise 8

    Exercise 9

    Exercise 10

    Exercise 11

    For #12 – #18, Solve the following initial value problems. What is the largest interval containing the initial conditions on which your solution is defined?

    Exercise 12

    Ejercicio 13

    Ejercicio 14

    Ejercicio 15

    Exercise 16

    (displaystyle heta' + frac<1>, heta = frac<1>) , ( heta(sqrt<5>) = 2)

    Ejercicio 17

    Ejercicio 18

    Exercise 19

    Exercise 20

    This exercise is a check that the recipe given does indeed give solutions to first order linear differential equations. The equation we want to verify is [y'(t) + a(t)y(t) = b(t) ext<,>] and the solution the recipe gives us, for an arbitary constant (c) , is [y(t) = e^ <-int a(t),dt>int b(t) e^< int a(t),dt>,dt + ce^<-int a(t),dt>, ext<.>] [Hint. If you’re a go-getter, it is possible to check this by computing (y') and (ay) , then adding them to see that everything cancels except (b) . It might be less onerous if you define [mu(t) = e^< int a(t),dt> ext<,>] which makes the solution look a little bit less daunting: [y(t) = frac<1> int b(t)mu(t) ,dt + frac ext<.>] Figure out what (mu'(t)) is as a first step.]

    Exercise 21

    Suppose that (y_1(t)) is a solution to the differential equation (y' + a(t)y = 0) and that (y_2(t)) is a solution to (y' + a(t)y = b(t)) . Check that (y_1(t) + y_2(t)) is also a solution to (y' + a(t)y = b(t)) . This is an important feature of linear equations: solutions can be built up from smaller pieces in some circumstances.

    Exercise 22

    As noted, the previous problem heavily relies on the fact that the differential equation (y' + a(t)y = b(t)) is a linear equation. Consider the differential equation [(y(t))^2 cdot y''(t) + (y'(t))^3 = 0 ext<.>] Show that both (y_1(t) = 1) and (y_2(t) = e^<-t>) are solutions, but nonetheless (1 + e^<-t>) is not a solution. (Of course, this equation is wildly nonlinear.)

    Exercise 23

    The recipe given for first-order differential equations doesn’t really require us to find antiderivatives at all the intermediate steps, which is good news because there are not many functions (f(t)) for which (int expigl(int f(t),dtigr) ,dt) can be calculated. Find a general solution to the differential equation [e^t ,y'(t) - 5t^2 ,y(t) = log(t+3) ext<.>] Your answer will involve indefinite integrals that you shouldn’t be able to evaluate.

    Exercise 24

    Some higher-order differential equations are actually first-order linear if you look at them in the right way. Use the substitutions suggested to solve the following equations. (The solution to the linear equation will be an explicit equation which then can be solved. You will have multiple constants.)

    (y''' + frac<2> y'' = 6) use (v = y') and (w = v') and rewrite in terms of (w)

    Exercise 25

    Answer the following for the above differential equation:

    For what values of (alpha) does a solution exist?

    For what values of (alpha) will the solution tend to infinity as (t ightarrowinfty) ?

    If (alpha=1) why do we not get (y=4t) ?

    Exercise 26

    What is [x(t)=frac<-1><3>+3e^<3t>] a solution to? What is the integrating factor?


    Solving the GPS Equations

    Introducción

    The global positioning system or GPS is a constellation of satellites that are used to approximate the location of a GPS reciever on Earth. GPS uses 4 satellites that are in view of the reciever to solve 4 equations for the ((x,y,z)) coordinates of the reciever and a value (d) which is the difference in time between the reciever's clock and the satellites' clocks. The difference in time is important because the location is approximated using the travel time of a signal from the satellite to the reciever, and this happens in much less than a second. The difference in time can cause error because the satellites' clocks are accurate to (10^<-8>) of a second while the reciever's clock is much less accurate.

    The equations that are solved to approximate a reciever's location using GPS are: egin (x-A_1)^2+(y-B_1)^2+(z-C_1)^2-(c(t_1-d))^2&=0 (x-A_2)^2+(y-B_2)^2+(z-C_2)^2-(c(t_2-d))^2&=0 (x-A_3)^2+(y-B_3)^2+(z-C_3)^2-(c(t_3-d))^2&=0 (x-A_4)^2+(y-B_4)^2+(z-C_4)^2-(c(t_4-d))^2&=0 end where (x, y, ext < and >z ) are the rectangular coordinates of the reciever, (A, B, ext < and >C ) are the coordinates of the satellites, (d) is the difference in time between the reciever and the satellite's clocks, and (t) is the travel time for the signal from the satellite to the reciever. We will demonstrate the approximation of a reciever's location by solving the system of equations for specific satellite coordinates using the quadratic equation and Newton's method. We will then demonstrate sources for error in the approximation by choosing different satellite positions and amounts.

    Parte 1

    Using the equations listed in the introduction, we will approximate the location of a reciever. In order to use the equations to determine the location of the reciever, an equation solving method is needed. In this case, we will use the multivariate Newton's method.

    The multivariate Newton's method iterates through successive guesses until one of the guesses is close enough to the correct answer to be a good approximate guess. To find each guess, the multivariate Newton's method solves the linear system [ Dg=-F ] where (F) is the vector of the function at the current guess, (D) is the Jacobian matrix of the function at the current guess, and (g) is the vector of unknown variables which will be the next guess. This method ususlly converges for the GPS equations to 7 correct digits in less than 20 iterations. Our code for the multivariate Newton's method used to solve the GPS equations can be found in the file MVNewtonsInputs. Our Newton's method program also uses the functions FCreator and DCreator to create the function and its Jacobian at the current guess.

    Given the satellite coordinates ( (15600,7540,20140),(18760,2750,18610),(17610,14630,13480),(19170,610,18390) ), the time intervals ( (0.07074,0.07220,0.07690,0.07242) ) and using the initial guess ((0,0,6370,0)), we use the multivariate Newton's method to approximate the position of the reciever of the GPS signals. In this case the approximate coordinates of the reciever are [ (x,y,z,d)=(-41.772709, -16.789194, 6370.059559, -0.003201) ] where (x,y,z) are the coordinates and (d) is the difference in time between the reciever and the satellite's clocks.

    There is a second solution to the GPS equations for the same inputs as above, but the second solution is a solution where to coordinates are off of Earth. Using the same inpus as above, the second solution to the GPS equations is [ (x,y,z,d) = (-39.747837, -134.274144, -9413.624553, 0.0185173). ] The second solution exists because there are two solutions for the equation of 4 intersecting spheres.

    Parte 2

    As an alternative to using the multivariate Newton's method in the first step, the quadratic formula can be used to solve the system after careful algebraic manipulation of the equations listed in 4.38 of the reality check (also copied below). The steps can be found here and the corresponding code is available here . To begin, the second, third, and fourth equations are subtracted from the first equation to cancel all the quadratic terms. Then the equation is rewritten so the right side is 0. After doing this, the equations are reordered to the following form:

    Ux x + Uy y + Uz z + Ud d + W = 0

    where the vectors Ux, Uy, Uz, Ud, and W are the coefficients of the linear system. After writing this as a collection of linear equations, a careful determinant was used to simply x, y, and z to be represented as a function of d. Finally, with x, y, and z being functions of d, they are substituted into one of the equations below. The equation then reads F(d)=0 where F(d) is a messy quadratic polynomial. Lastly, the quadratic formula was applied to find the two possible roots of F(d).

    Part 4

    Now set up a test of the conditioning of the GPS problem. Define satellite positions (AI, BI, CI) from spherical coordinates (ρI, φI, θI) as

    where ρ = 26750 km is fixed, while 0 &le φI &le π/2 and 0 &le θI &le 2π for I = 1. 4 are chosen arbitrarily. The φ coordinate is restricted so that the four satellites are in the supper hemisphere. Colocar X = 0, y = 0, z = 6370, D = 0.0001, and calculate the corresponding satellite range and travel times.

    In our code, we use the following spherical coordinates: (26750, 0, 0), (26750, π/6, 2π/3), (26750, π/3, 4π/3), (26750, π/2, 2π).

    We will define an error magnification factor specially tailored to the situation. The atomic clocks aboard the satellites are correct up to about 10 nanoseconds, or 10 -8 seconds. Therefore, it is important to study the effect of changes in the transmission time of this magnitude. Let the backward, or input error be the input change in meters. At the speed of light, 10 -8 seconds corresponds to roughly 3 meters. Let the forward, or output error be the change in position, caused by such a change in tI, also in meters. Then we can define the dimensionless

    and the condition number of the problem to be the maximum error magnification factor for all small ΔtI.(say, 10 -8 or less).

    Change each tI defined in the foregoing by ΔtI = +10 -8 or -10 -8 , not all the same. Denote the new solution of the equation by (x',y',z',d'), and compute the difference in position, on the basis of the error magnification factor.

    With our given coordinates and guess solution, we found the following:

    new solution(x',y',z',d') = (0.002832566559, 0.002026503684, 6370.004664877504, 0.000100015560)

    error magnification factor = 3.112072412093021

    Part 5

    Now repeat Step 4 with a more tightly grouped set of satellites. Choose all φI within 5 percent of one another and all θI within 5 percent of one another. Solve with and without the same input error as in Step 4. Find the maximum position error and error magnification factor. Compare the conditioning of the GPS problem when the satellites are tightly or loosely bunched.

    Code can be found here. All we had to do was to change two lines of code.

    In our code, we use the following spherical coordinates: (26750, 0, 0), (26750, π/40, 21π/40), (26750, π/20, 11π/20), (26750, 3π/40, 23π/40).

    With our given coordinates and guess solution, we found the following:

    new solution(x',y',z',d') = (-12.239979683903, 2.026503684, 6357.394422009528, 0.000102764332)

    error magnification factor = 5619.463355189746

    As seen by the significantly larger error magnification factor, satellites bunched closely together are more likely to have errors in positioning than satellites that are more loosely distributed.

    Part 6

    In parts 4 and 5 it was demonstrated that changes in time can increase the error of the approximate location calculated using the GPS equations. It is also possible for the error to be affected by the amount of satellites sending data to the reciever.

    To determine the effect the amount of satellites has on the condition number and forward error of the GPS approximated location, we wrote programs to find the condition number and forward error for all amounts of satellites from 4 to 32. The first program written to find the data iterates through all satellite amounts 4 to 32. In the iteration, a program is used to find the condition number for each satellite amount by running a function that calculates the error magnification factor and forward error of a satellite amount 100 times. The function that finds the EMF and forward error does this by following the methods used in step 4 and 5. The computer programs used in this part are BestSatelliteNumber, SatelliteConditionNumber, SatelliteEMF, and the Newton's method equation from Part 1.

    The same Newton's method used in part 1 is sufficient for the Gauss Newton method needed to find the coordinates from more than 4 satellites because the "backslash" command in Matlab uses the normal equations if the system has more functions than unknown values. In the Gauss Newton method, the normal equations iterated through to determine each new guess are [ D^TDg=-D^TF ] where (F) is the vector of the function at the current guess, (D) is the Jacobian matrix of the function at the current guess, and (g) is the vector of unknown variables which will be the next guess.


    Ver el vídeo: Análisis de Regresión Lineal Simple en Excel (Octubre 2021).