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8.4: Vectores - Matemáticas


Una mujer sale de casa, camina 3 millas al norte, luego 2 millas al sureste. ¿Qué tan lejos está de casa y en qué dirección tendría que caminar para regresar a casa? ¿Qué tan lejos ha caminado cuando llega a casa?

Esta pregunta puede parecer familiar; de hecho, hicimos un problema similar con un barco en la primera sección de este capítulo. En esa sección, resolvimos el problema usando triángulos. En esta sección, investigaremos otra forma de abordar el problema utilizando vectores, una entidad geométrica que indica tanto una distancia como una dirección. Comenzaremos nuestra investigación utilizando una vista puramente geométrica de vectores.

Una vista geométrica de vectores

Definición: VECTOR

A vector es un objeto que tiene una longitud y una dirección.

Geométricamente, un vector se puede representar mediante una flecha que tiene una longitud fija y

indica una dirección. Si, comenzando en el punto (A ), un vector, que significa "portador" en latín, se mueve hacia el punto (B ), escribimos ( overrightarrow {AB} ) para representar el vector.

Un vector también se puede indicar usando una sola letra en negrita, como tu, o tapando la letra que representa el vector con una flecha, como ( vec {u} ).

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Dibuja un vector que represente el movimiento desde el punto (P ) (-1, 2) al punto (Q ) (3, 3)

Solución

Dibujando una flecha desde el primer punto al segundo, podemos construir un vector ( overrightarrow {PQ} ).

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Dibuja un vector, ( vec {v} ), que viaja desde el origen hasta el punto (3, 5).

Respuesta

Usando esta representación geométrica de vectores, podemos visualizar la suma y escala de vectores.

Para sumar vectores, imaginamos una suma de dos movimientos. Para encontrar ( vec {u} + vec {v} ), primero dibujamos el vector ( vec {u} ), luego desde el final de ( vec {u} ) dibujamos el vector ( vec {v} ). Esto corresponde a la noción de que primero nos movemos a lo largo del primer vector, y luego desde esa posición final nos movemos a lo largo del segundo vector. La suma ( vec {u} + vec {v} ) es el nuevo vector que viaja directamente desde el principio de ( vec {u} ) hasta el final de ( vec {v} ) en un camino recto.

AÑADIR VECTORES GEOMETRICAMENTE

Para sumar vectores geométricamente, dibuja ( vec {v} ) comenzando desde el final de ( vec {u} ). La suma ( vec {u} + vec {v} ) es el vector desde el principioing de ( vec {u} ) hasta el final de ( vec {v} ).

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Dados los dos vectores que se muestran a continuación, dibuja ( vec {u} + vec {v} )

Solución

Dibujamos ( vec {v} ) comenzando desde el final de ( vec {u} ), luego dibujamos la suma ( vec {u} + vec {v} ) desde el comienzo de ( vec {u} ) hasta el final de ( vec {v} ).

Observe que el camino de la mujer que camina desde el principio de la sección podría visualizarse como la suma de dos vectores. El vector de suma resultante indicaría su posición final en relación con el hogar.

Aunque los vectores pueden existir en cualquier parte del plano, si ponemos el punto de partida en el origen es fácil comprender su tamaño y dirección en relación con otros vectores.

Para escalar vectores por una constante, como (3 vec {u} ), podemos imaginarnos agregando ( vec {u} + vec {u} + vec {u} ). El resultado será un vector tres veces más largo en la misma dirección que el vector original. Si tuviéramos que escalar un vector por un número negativo, como (- vec {u} ), podemos imaginarlo como el opuesto de ( vec {u} ); el vector para que ( vec {u} + (- vec {u} ) nos devuelva al punto de partida. Este vector (- vec {u} ) apuntaría en la dirección opuesta a ( vec {u} ) pero tienen la misma longitud.

Otra forma de pensar acerca de escalar un vector es mantener su dirección y multiplicar su longitud por una constante, de modo que (3 vec {u} ) apunte en la misma dirección pero sea 3 veces más largo.

ESCALANDO GEOMETRICAMENTE UN VECTOR

A escalar geométricamente un vector por una constante, escale la longitud del vector por la constante.

Escalar un vector mediante una constante negativa invertirá la dirección del vector.

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Dado el vector que se muestra, dibuja (3 vec {u} ), (- vec {u} ) y (- 2 vec {u} ).

Solución

El vector (3 vec {u} ) será tres veces más largo. El vector (- vec {u} ) tendrá la misma longitud pero apuntará en la dirección opuesta. El vector (- 2 vec {u} ) apuntará en la dirección opuesta y tendrá el doble de longitud.

Combinando escala y suma, también podemos encontrar la diferencia entre vectores geométricamente, ya que ( vec {u} - vec {v} = vec {u} + (- vec {v}) ).

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Dados los vectores que se muestran, dibuja ( vec {u} - vec {v} )

Solución

Desde el final de ( vec {u} ) dibujamos (- vec {v} ), luego dibujamos el resultado.

Observa que la suma y la diferencia de dos vectores son las dos diagonales de un paralelogramo con los vectores ( vec {u} ) y ( vec {v} ) como edges.

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Usando el vector ( vec {v} ) del ejercicio anterior, dibuje (- 2 vec {v} ).

Respuesta

Forma componente de vectores

Si bien la interpretación geométrica de los vectores nos da una comprensión intuitiva de los vectores, no nos proporciona una forma conveniente de hacer cacálculos. Para eso, necesitamos una forma práctica de representar vectores. Dado que un vector implica una longitud y una dirección, sería lógico querer representar un vector usando una longitud y un ángulo ( theta ), generalmente medidos desde la posición estándar.

Definición: MAGNITUD Y DIRECCIÓN DE UN VECTOR

Un vector ( vec {u} ) se puede describir por su magnitud o longitud, (| vec {u} | ), y un ángulo ( theta ).

Un vector con longitud 1 se llama vector unitario.

Si bien esto es muy razonable y una forma común de describir vectores, a menudo es más conveniente para los cálculos representar un vector por componentes horizontales y verticales.

FORMA COMPONENTE DE UN VECTOR

La forma componente de un vector representa el vector usando dos componentes. ( vec {u} = langle x, y rangle ) indica que el vector representa un desplazamiento de (x ) unidades horizontalmente y (y ) unidades verticalmente.

Observe cómo podemos ver la magnitud del vector como la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, o en forma polar como el radio, (r ).

NOTACIÓN ALTERNATIVA PARA COMPONENTES VECTORIALES

A veces puedes ver vectores escritos como la combinación de vectores unitarios ( vec {i} ) y ( vec {j} ), donde ( vec {i} ) apunta a la derecha y ( vec {j} ) apunta hacia arriba. En otras palabras, ( vec {i} = langle 1, 0 rangle ) y ( vec {j} = langle theta, 1 rangle ).

En esta notación, el vector ( vec {u} = langle 3, -4 rangle ) se escribiría como ( vec {u} = 3 vec {i} - 4 vec {j} ) ya que ambos indican un desplazamiento de 3 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo.

Si bien puede ser conveniente pensar en el vector ( vec {u} = langle x, y rangle ) como una flecha desde el origen hasta el punto ( (x ), (y )), asegúrese de recordar que la mayoría de los vectores pueden estar situados en cualquier lugar del plano y simplemente indicar un desplazamiento (cambio de posición) en lugar de una posición.
Es común tener que convertir de una magnitud y un ángulo a la forma componente del vector y viceversa. Afortunadamente, este proceso es idéntico a la conversión de coordenadas polares a coordenadas cartesianas, o de la forma polar de números complejos a la forma (a + bi ).

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Encuentre la forma componente de un vecor con longitud 7 en un ángulo de 135 grados.

Solución

Usando las fórmulas de conversión (x = r cos ( theta) ) y (y = r sin ( theta) ), podemos encontrar los componentes

[x = 7 cos (135 ^ { circ}) = - dfrac {7 sqrt {2}} {2} nonumber ]
[y = 7 sin (135 ^ { circ}) = dfrac {7 sqrt {2}} {2} nonumber ]

El vector se puede escribir en forma de componente como ( langle - dfrac {7 sqrt {2}} {2}, dfrac {7 sqrt {2}} {2} rangle )

Ejemplo ( PageIndex {6} )

Encuentra la magnitud y el ángulo ( theta ) que representan el vector ( vec {u} = langle 3, -2 rangle ).

Solución

Primero podemos encontrar la magnitud recordando la relación entre (x ), (y ) y (r ):

[r ^ 2 = 3 ^ 2 + (-2) ^ 2 = 13 nonumber ]
[r = sqrt {13} nonumber ]

En segundo lugar, podemos encontrar el ángulo. Usando la tangente,

[ tan ( theta) = dfrac {-2} {3} nonumber ]
[ theta = tan ^ {- 1} (- dfrac {2} {3}) approx -33.69 ^ { circ} nonumber ] o escrito como un ángulo positivo coterminal, (326.31 ^ { circ} ). Este ángulo está en el cuadrante (4 ^ { text {th}} ) como se desee.

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Usando el vector ( vec {v} ) del primer ejercicio, el vector que viaja desde el origen hasta el punto (3, 5), encuentre las componentes, la magnitud y el ángulo ( theta ) que representan este vector.

Respuesta

[ vec {v} = langle 3, 5 rangle nonumber ]
[ text {magnitud} = sqrt {34} nonumber ]
[ theta = tan ^ {- 1} ( dfrac {5} {3}) = 59.04 ^ { circ} nonumber ]

Además de representar los movimientos de distancia, los vectores se utilizan comúnmente en física e ingeniería para representar cualquier cantidad que tenga dirección y magnitud, incluidas velocidades y fuerzas.

Ejemplo ( PageIndex {7} )

Se lanza un objeto con una velocidad inicial de 200 metros por segundo en un ángulo de 30 grados. Encuentre las velocidades inicial horizontal y vertical.

Solución

Al ver la velocidad inicial como un vector, podemos resolver el vector en componentes horizontal y vertical.

[x = 200 cos (30 ^ { circ} = 200 cdot dfrac { sqrt {3}} {2} approx 173.205 text {m / seg} nonumber ]
[y = 200 sin (30 ^ { circ} = 200 cdot dfrac {1} {2} = 100 text {m / seg} nonumber ]

Esto nos dice que, en ausencia de resistencia al viento, el objeto viajará horizontalmente a unos 173 metros por segundo. La gravedad hará que la velocidad vertical cambie con el tiempo; dejaremos una discusión sobre eso para las clases de física o cálculo.

Agregar y escalar vectores en forma de componente

Para agregar vectores en forma de componentes, simplemente podemos agregar los componentes correspondientes. Para escalar un vector por una constante, escalamos cada componente por esa constante.

COMBINACIÓN DE VECTORES EN FORMA COMPONENTE

A sumar, restar o escalar vectores en forma de componente

Si ( vec {u} = langle u_1, u_2 rangle ), ( vec {v} = langle v_1, v_2 rangle ) y (c ) es cualquier constante, entonces

[ vec {u} + vec {v} = langle u_1 + v_1, u_2 + v_2 rangle ]
[ vec {u} - vec {v} = langle u_1 - v_1, u_2 - v_2 rangle ]
[c vec {u} = langle cu_1, cu_2 rangle ]

Ejemplo ( PageIndex {8} )

Dado ( vec {u} = langle 3, -2 rangle ) y ( vec {v} = langle -1, 4 rangle ), encuentra un nuevo vector ( vec {w} = 3 vec {u} - 2 vec {v} )

Solución

Usando los vectores dados,

[ begin {array} {rcl} { vec {w}} & = & {3 vec {u} - 2 vec {v}} {} & = & {3 langle 3, -2 rangle - 2 langle -1, 4 rangle text {Escala cada vector}} {} & = & { langle 9, -6 rangle - langle -2, 8 rangle text {Restar los componentes correspondientes}} { } & = & { langle 11, -14 rangle} end {matriz} nonumber ]

Al representar vectores en forma de componentes, podemos encontrar el vector de desplazamiento resultante después de una multitud de movimientos sin necesidad de dibujar muchos triángulos no rectángulos complicados. Para un ejemplo simple, revisamos el problema de la apertura de la sección. El procedimiento general que seguiremos es:

1) Convertir vectores a forma de componentes
2) Suma los componentes de los vectores
3) Convierta nuevamente a longitud y dirección si es necesario para adaptarse al contexto de la pregunta

Ejemplo ( PageIndex {9} )

Una mujer sale de casa, camina 3 millas al norte, luego 2 millas al sureste. ¿Qué tan lejos está de casa y en qué dirección tendría que caminar para regresar a casa? ¿Qué tan lejos ha caminado cuando llega a casa?

Solución

Comencemos por comprender la pregunta con un poco más de profundidad. Cuando usamos vectores para describir una dirección de viaje, a menudo colocamos delgadasgs de modo que el norte apunta hacia arriba, el este apunta a la derecha, y así sucesivamente, como se muestra aquí.

En consecuencia, viajar NW, SW, NE o SE, significa que estamos viajando a través del cuadrante bordeado por las direcciones dadas en un ángulo de 45 grados.

Con esto en mente, comenzamos por convertir cada vector en componentes.

Una caminata de 3 millas al norte sería, en componentes, ( langle 0, 3 rangle ).

Una caminata de 2 millas al sureste estaría en un ángulo de (45 ^ { circ} ) al sur del este. Midiendo desde la posición estándar, el ángulo sería (315 ^ { circ} ).

Al convertir a componentes, optamos por utilizar el ángulo de posición estándar para no tener que preocuparnos por si los signos son negativos o positivos; se resolverán automáticamente.

[ langle 2 cos (315 ^ { circ}), : 2 sin (315 ^ { circ}) rangle = langle 2 cdot frac { sqrt {2}} {2}, : 2 cdot frac {- sqrt {2}} {2} rangle approx langle 1.414, -1.414 rangle nonumber ]

La suma de estos vectores da la suma de los movimientos en forma de componentes

[ langle 0, 3 rangle + langle 1.414, -1.414 rangle = langle 1.414 1.586 rangle nonumber ]

Para encontrar qué tan lejos está de casa y la dirección en la que tendría que caminar para regresar a casa, podríamos encontrar la magnitud y el ángulo de este vector.

[ text {Longitud} = sqrt {1.414 ^ 2 + 1.586 ^ 2} = 2.125 nonumber ]

Para encontrar el ángulo, podemos usar la tangente

[ tan ( theta) = dfrac {1.586} {1.414} nonumber ]
[ theta = tan ^ {- 1} ( dfrac {1.586} {1.414}) = 48.273 ^ { circ} text {norte del este} nonumber ]

Por supuesto, este es el ángulo desde su punto de partida hasta su punto final. Para regresar a casa, tendría que ir en la dirección opuesta, que podríamos describir como (180 ^ { circ} + 48.273 ^ { circ} = 228.273 ^ { circ} ) medida en posición estándar, o como (48.273 ^ { circ} ) al sur del oeste (o (41.727 ^ { circ} ) al oeste del sur).

Ha caminado una distancia total de 3 + 2 + 2.125 = 7.125 millas.

Tenga en cuenta que la distancia total recorrida no es la misma que la longitud del vector de desplazamiento resultante o el vector de "retorno".

Ejercicio ( PageIndex {4} )

En una búsqueda del tesoro, se dan instrucciones para encontrar un tesoro enterrado. Desde un punto de partida en un asta de bandera, debe caminar 30 pies al este, girar 30 grados al norte y viajar 50 pies, y luego girar hacia el sur y viajar 75 pies. Dibuje una imagen de estos vectores, encuentre sus componentes y calcule qué tan lejos y en qué dirección debe viajar para ir directamente al tesoro desde el asta de la bandera sin seguir el mapa.

Respuesta

[ vec {v} _1 = langle 30, 0 rangle quad vec {v} _2 = langle 50 cos (30 ^ { circ}), 50 sin (30 ^ {circ}) rangle quad vec {v} _3 = langle 0, -75 rangle nonumber ]
[ vec {v} _f = langle 30 + 50 cos (30 ^ { circ}), 50 sin (30 ^ { circ}) - 75 rangle = langle 73.301, -50 rangle sin número]
Magnitud = 88,73 pies en un ángulo de (34,3 ^ { circ} ) al sur del este.

Si bien usar vectores no es mucho más rápido que usar la ley de los cosenos con solo dos movimientos, cuando se combinan tres o más movimientos, fuerzas u otras cantidades vectoriales, usar vectores rápidamente se vuelve mucho más eficiente que tratar de usar triángulos.

Ejemplo ( PageIndex {10} )

Tres fuerzas actúan sobre un objeto como se muestra a continuación, cada una medida en Newtons (N). ¿Qué fuerza se debe ejercer para mantener el objeto en equilibrio (donde la suma de las fuerzas es cero)?

Solución

Comenzamos resolviendo cada vector en componentes.

El primer vector con magnitud 6 Newtons en un ángulo de 30 grados tendrá componentes

[ langle 6 cos (30 ^ { circ}). 6 sin (30 ^ { circ}) rangle = langle 6 cdot dfrac { sqrt {3}} {2}, 6 cdot dfrac {1} {2} rangle = langle 3 sqrt {3} 3 rangle nonumber ]

El segundo vector está solo en la dirección horizontal, por lo que se puede escribir como ( langle -7, 0 rangle ).

El tercer vector con magnitud 4 Newtons en un ángulo de 300 grados tendrá componentes

[ langle 4 cos (300 ^ { circ}), 4 sin (300 ^ { circ}) rangle = langle 4 cdot dfrac {1} {2}, 4 cdot dfrac { - sqrt {3}} {2} rangle = langle 2, -2 sqrt {3} rangle nonumber ]

Para mantener el objeto en equilibrio, necesitamos encontrar un vector de fuerza (x ), (y ) de modo que la suma de los cuatro vectores sea el vector cero, ( langle 0, 0 rangle ).

[ langle 3 sqrt {3}, 3 rangle + langle -7, 0 rangle + langle 2, -2 sqrt {3} rangle + langle x, y rangle = langle 0, 0 rangle nonumber ] Agregar componentes
[ langle 3 sqrt {3} - 7 + 2, 3 + 0 - 2 sqrt {3} rangle + langle x, y rangle = langle 0, 0 rangle nonumber ] Simplificar
[ langle 3 sqrt {3} - 5, 3 - 2 sqrt {3} rangle + langle x, y rangle = langle 0, 0 rangle nonumber ] Resolver
[ langle x, y rangle = langle 0, 0 rangle - langle 3 sqrt {3} - 5, 3 - 2 sqrt {3} rangle nonumber ]
[ langle x, y rangle = langle -3 sqrt {3} + 5, -3 + 2 sqrt {3} rangle approx langle -0.196, 0.464 rangle nonumber ]

Este vector da en componentes la fuerza que se necesitaría aplicar para mantener el objeto en equilibrio. Si lo desea, podríamos encontrar la magnitud de esta fuerza y ​​la dirección en la que debería aplicarse.

[ text {Magnitud} = sqrt {(- 0.196) ^ 2 + 0.464 ^ 2} = 0.504 text {N} nonumber ]

Ángulo:

[ tan ( theta) = dfrac {0.464} {- 0.196} nonumber ]
[ theta = tan ^ {- 1} ( dfrac {0.464} {- 0.196} = -67.089 ^ { circ} nonumber ]

Esto está en el cuadrante incorrecto, por lo que ajustamos encontrando el siguiente ángulo con el mismo valor de tangente agregando un período completo de tangente:

[ theta = -67.089 ^ { circ} + 180 ^ { circ} = 112. 911 ^ {circ} nonumber ]

Para mantener el objeto en equilibrio, se necesitaría aplicar una fuerza de 0.504 Newtons en un ángulo de (112.911 ^ { circ} )

Temas importantes de esta sección

  • Vectores, magnitud (longitud) y dirección Suma de vectores
  • Escala de vectores
  • Componentes de vectores
  • Vectores como velocidad
  • Vectores como fuerzas
  • Sumar y escalar vectores en forma de componentes Distancia total recorrida frente a desplazamiento total


Ver el vídeo: Tema - Ecuaciones paramétricas de la recta - Mates 4º ESO (Octubre 2021).