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5.5: Familias indexadas de conjuntos - Matemáticas


Actividad de vista previa ( PageIndex {1} ): la unión e intersección de una familia de conjuntos

En la Sección 5.3, discutimos varias propiedades de las operaciones de conjuntos. Ahora nos centraremos en las propiedades asociativas para la unión de conjuntos y la intersección de conjuntos. Observe que la definición de "unión de conjuntos" nos dice cómo formar la unión de dos conjuntos. Es la ley asociativa la que nos permite discutir la unión de tres conjuntos. Usando la ley asociada, si (A ), (B ) y (C ) son subconjuntos de algún conjunto universal, entonces podemos definir (A cup B cup C ) como ( (A taza B) taza C ) o (A taza (B taza C) ). Es decir,

(A cup B cup C = (A cup B) cup C = A cup (B cup C). )

Para esta actividad, el conjunto universal es N y usaremos los siguientes cuatro conjuntos:

(A = ) {1, 2, 3, 4, 5}

(B = ) {2, 3, 4, 5, 6}

(C = ) {3, 4, 5, 6, 7}

(D = ) {4, 5, 6, 7, 8}

  1. Usa el método de lista para especificar los conjuntos (A cup B cup C ), (B cup C cup D ), (A cap B cap C ) y (B cap C cap D ).
  2. Utilice el método de lista para especificar cada uno de los siguientes conjuntos. En cada caso, asegúrese de seguir el orden especificado por los paréntesis.

    (a) ((A taza B taza C) taza D )
    (b) (A taza (B taza C taza D) )
    (c) (A taza (B taza C) taza D )
    (d) ((A taza B) taza (C taza D) )
    (e) ((A cap B cap C) cap D )
    (f) (A cap (B cap C cap D) )
    (g) (A cap (B cap C) cap D )
    (h) ((A cap B) cap (C cap D) )

  3. Según el trabajo de la Parte (2), ¿importa la ubicación de los paréntesis al determinar la unión (o intersección) de estos cuatro conjuntos? ¿Esto hace posible definir (A cup B cup C cup D ) y (A cap B cap C cap D )?

Ya hemos visto que los elementos de un conjunto pueden ser ellos mismos conjuntos. Por ejemplo, el conjunto de potencias de un conjunto (T ), ( mathcal {P} (T) ), es el conjunto de todos los subconjuntos de (T ). La frase "un conjunto de conjuntos" suena confusa, por lo que a menudo usamos los términos colección y familia cuando deseamos enfatizar que los elementos de un conjunto dado son en sí mismos conjuntos. Entonces diríamos que el conjunto de potencias de (T ) es la familia (o colección) de conjuntos que son subconjuntos de (T ).

Uno de los propósitos del trabajo que hemos realizado hasta ahora en esta actividad preliminar fue mostrar que es posible definir la unión e intersección de una familia de conjuntos.

Definición

Sea ( mathcal {C} ) una familia de conjuntos. La unión terminada ( mathcal {C} ) se define como el conjunto de todos los elementos que están en al menos uno de los conjuntos en ( mathcal {C} ). Nosotros escribimos

( bigcup_ {X in mathcal {C}} ^ {} X = {x in U | x in X text {para algunos} X in mathcal {C} } )

La intersección sobre ( mathcal {C} ) se define como el conjunto de todos los elementos que están en todos los conjuntos en ( mathcal {C} ). Es decir,

( bigcap_ {X in mathcal {C}} ^ {} X = {x in U | x in X text {para algunos} X in mathcal {C} } )

Por ejemplo, considere los cuatro conjuntos (A ), (B ), (C ) y (D ) utilizados anteriormente en esta actividad de vista previa y los conjuntos

(S = ) {5, 6, 7, 8, 9} y (T = ) {6, 7, 8, 9, 10}

Entonces podemos considerar las siguientes familias de conjuntos: ( mathcal {A} = {A, B, C, D } ) y ( mathcal {B} = {A, B, C, D, S T})

  1. Explicar por qué

    ( bigcup_ {X in mathcal {A}} ^ {} X = A cup B cup C cup D ) y ( bigcap_ {X in mathcal {A}} ^ {} X = A cap B cap C cap D )

    y use su trabajo en (1), (2) y (3) para determinar ( bigcup_ {X in mathcal {A}} ^ {} X ) y ( bigcap_ {X in mathcal {A}} ^ {} X ).

  2. Utilice el método de lista para especificar ( bigcup_ {X in mathcal {B}} ^ {} X ) y ( bigcap_ {X in mathcal {B}} ^ {} X )

6. Utilice el método de lista para especificar los conjuntos (( bigcup_ {X in mathcal {A}} ^ {} X) ^ c ) y ( bigcap_ {X in mathcal {A}} ^ {} X ^ c ). Recuerde que el conjunto universal es ( mathbb {N} ).

Actividad de vista previa ( PageIndex {2} ): una familia indexada de conjuntos

A menudo usamos subíndices para identificar conjuntos. Por ejemplo, en la Actividad de vista previa ( PageIndex {1} ), en lugar de usar (A ), (B ), (C ) y (D ) como los nombres de los conjuntos, podríamos haber usado (A_1 ), (A_2 ), (A_3 ) y (A_4 ). Cuando hacemos esto, usamos el subíndice como una etiqueta de identificación, o índice, para cada conjunto. También podemos usar esta idea para especificar una familia infinita de conjuntos. Por ejemplo, para cada número natural (n ), definimos

(C_n = {n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4 }. )

Entonces, si tenemos una familia de conjuntos ( mathcal {C} = {C_1, C_2, C_3, C_4 } ), usamos la notación ( bigcup_ {j = 1} ^ {4} C_j ) significa lo mismo que ( bigcup_ {x in mathcal {C}} ^ {} X ).

  1. Determine ( bigcup_ {j = 1} ^ {4} C_j ) y ( bigcap_ {j = 1} ^ {4} C_j )

    Podemos ver que con el uso de subíndices, ni siquiera tenemos que definir la familia de conjuntos ( mathcal {A} ). Podemos trabajar con la infinita familia de conjuntos
    [ mathcal {C} ^ { ast} = {A_n | n in mathbb {N} } ]
    y use los subíndices para indicar qué conjuntos usar en una unión o una intersección.

  2. Utilice el método de lista para especificar cada uno de los siguientes pares de conjuntos. El conjunto universal es ( mathbb {N} ).

    (a) ( bigcup_ {j = 1} ^ {6} C_j ) y ( bigcap_ {j = 1} ^ {6} C_j )
    (b) ( bigcup_ {j = 1} ^ {8} C_j ) y ( bigcap_ {j = 1} ^ {8} C_j )
    (c) ( bigcup_ {j = 4} ^ {8} C_j ) y ( bigcap_ {j = 4} ^ {8} C_j )
    (d) (( bigcap_ {j = 1} ^ {4} C_j) ^ c ) y ( bigcup_ {j = 1} ^ {4} C_j ^ c )

La unión y la intersección sobre una familia indexada de conjuntos

Uno de los propósitos de las actividades de vista previa fue mostrar que a menudo encontramos situaciones en las que están involucrados más de dos conjuntos, y es posible definir la unión y la intersección de más de dos conjuntos. En Actividad de vista previa ( PageIndex {2} ), también vimos que a menudo es conveniente "indexar" los conjuntos en una familia de conjuntos. En particular, si (n ) es un número natural y ( mathcal {A} = {A_1, A_2, ..., A_n } ) es una familia de (n ) conjuntos, entonces el unión de estos (n ) conjuntos, denotado por (A_1 cup A_2 cup cdot cdot cdot cup A_n ) o ( bigcup_ {j = 1} ^ {n} A_j ), es definido como

[ bigcup_ {j = 1} ^ {n} A_j = {x in U | x in A_j, text {para algunos} j text {con} 1 le j le n } . ]

También podemos definir la intersección de estos (n ) conjuntos, denotados por (A_1 cap A_2 cap cdot cdot cdot cap A_n ) o ( bigcap_ {j = 1} ^ {n} A_j ), como

[ bigcap_ {j = 1} ^ {n} A_j = {x in U | x in A_j, text {para algunos} j text {con} 1 le j le n } . ]

También podemos ampliar esta idea para definir la unión y la intersección de una familia que consta de un número infinito de conjuntos. Entonces, si ( mathcal {B} = {B_1, B_2, ..., B_n, ... } ), entonces

( bigcup_ {j = 1} ^ { infty} B_j = {x in U | x in B_j, text {para algunos} j text {con} j ge 1 } ) , y

( bigcap_ {j = 1} ^ { infty} B_j = {x in U | x in B_j, text {para todos} j text {con} j ge 1 } ) .

Progress Check 5.26 (una familia infinita de conjuntos)

Para cada número natural (n ), sea (A_n = {1, n, n ^ 2 } ). Por ejemplo,

(A_1 = {1 } ), (A_2 = {1, 2, 4 } ), (A_3 = {1, 3, 9 } ),

y

( bigcup_ {j = 1} ^ {3} A_j = {1, 2, 3, 4, 9 } ), ( bigcap_ {j = 1} ^ {3} A_j = {1 } ).

Determine cada uno de los siguientes conjuntos:

  1. ( bigcup_ {j = 1} ^ {6} A_j )
  2. ( bigcap_ {j = 1} ^ {6} A_j )
  3. ( bigcup_ {j = 3} ^ {6} A_j )
  4. ( bigcap_ {j = 3} ^ {6} A_j )
  5. ( bigcup_ {j = 1} ^ { infty} A_j )
  6. ( bigcap_ {j = 1} ^ { infty} A_j )
Respuesta

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En todos los ejemplos que hemos estudiado hasta ahora, hemos usado ( mathbb {N} ) o un subconjunto de ( mathbb {N} ) para indexar o etiquetar los conjuntos en una familia de conjuntos. Podemos utilizar otros conjuntos para indexar o etiquetar conjuntos en una familia de conjuntos. Por ejemplo, para cada número real (x ), podemos definir (B_x ) como el intervalo cerrado [x, x + 2]. Es decir,

(B_x = {y in mathbb {R} | x le y le x + 2 } ).

Entonces hacemos la siguiente definición. En esta definición, ( wedge ) es la letra griega mayúscula lambda y ( alpha ) es la letra griega alfa minúscula.

Definición

Sea ( Lambda ) un conjunto no vacío y suponga que para cada ( alpha in wedge ), hay un conjunto correspondiente (A _ { alpha} ). La familia de conjuntos ( {A _ { alpha} | alpha in wedge } ) se llama familia indexada de conjuntos indexado por ( wedge ). Cada ( alpha in wedge ) se llama un índice y ( Lambda ) se llama conjunto de indexación.

Progress Check 5.27 (familias indexadas de conjuntos)

En cada una de las familias indexadas de conjuntos que hemos visto hasta ahora, si los índices eran diferentes, entonces los conjuntos eran diferentes. Es decir, si ( Lambda ) es una indexación para la familia de conjuntos ( mathcal {A} = {A _ { alpha} | alpha in wedge } ), entonces si ( alpha, beta in wedge ) y ( alpha ne beta ), luego (A _ { alpha} ne A _ { beta} ). (Nota: La letra ( beta ) es la beta minúscula griega.)

  1. Sea ( Lambda = {1, 2, 3, 4 } ), y para cada (n in Lambda ), sea (A_n = {2n + 6, 16 - 3n } ) y sea ( mathcal {A} = {A_1, A_2, A_3, A_4 } ). Determine (A_1 ), (A_2 ), (A_3 ) y (A_4 ).
  2. ¿Es verdadero o falso el siguiente enunciado para la familia indexada ( mathcal {A} ) en (1)?
  3. Ahora sea ( Lambda = mathbb {R} ). Para cada (x in mathbb {R} ), defina (B_x = {0, x ^ 2, x ^ 4 } ). ¿Es verdadera la siguiente afirmación para la familia indexada del conjunto ( mathcal {B} = {B_x | x in mathbb {R} } )?
    Para todo (x, y in mathbb {R} ), si (x ne y ), entonces (B_x ne B_y ).
Respuesta

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Ahora reafirmamos las definiciones de unión e intersección de una familia de conjuntos para una familia de conjuntos indexada.

Definición

Sea ( Lambda ) un conjunto de indexación no vacío y sea ( mathcal {A} = {A _ { alpha} | alpha in Lambda } ) una familia de conjuntos indexados. La unión sobre ( mathcal {A} ) se define como el conjunto de todos los elementos que están en al menos uno de los conjuntos (A _ { alpha} ), donde ( alpha in wedge ). Nosotros escribimos

( bigcup _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha} = {x in U | text {sale un} alpha in Lambda text {con} x en A _ { alpha} } ).

La intersección sobre ( mathcal {A} ) es el conjunto de todos los elementos que están en todos los conjuntos (A _ { alpha} ) para cada ( alpha in Lambda ). Es decir,

( bigcap _ { alpha in wedge} ^ {} A _ { alpha} = {x in U | text {para todos} alpha in wedge, x in A _ { alpha } } ).

Ejemplo 5.28 (una familia de conjuntos indexados por números reales positivos)

Para cada número real positivo ( alpha ), sea (A _ { alpha} ) el intervalo (-1, ( alpha )]. Es decir,

(A _ { alpha} = {x in mathbb {R} | -1

Si dejamos que ( mathbb {R} ^ {+} ) sea el conjunto de números reales positivos, entonces tenemos una familia de conjuntos indexados por ( mathbb {R} ^ {+} ). Primero determinaremos la unión de esta familia de conjuntos. Observe que para cada ( alpha en mathbb {R} ^ {+} ), ( alpha en A _ { alpha} ), y si (y ) es un número real con (- 1

( bigcup _ { alpha in mathbb {R} ^ {+}} ^ {} A _ { alpha} = (-1, infty) = {x in mathbb {R} | - 1

Para determinar la intersección de esta familia, observe que

  • si (y in mathbb {R} ) y (y <-1 ), entonces para cada ( alpha in mathbb {R} ^ {+} ), (y notin A_ {alfa});
  • si (y in mathbb {R} ) y (- 1
  • si (y in mathbb {R} ) y (y> 0 ), entonces de vamos a ( beta = dfrac {y} {2} ), (y> beta ) y (y notin A _ { beta} ).

De estas observaciones, llegamos a la conclusión de que

( bigcap _ { alpha in mathbb {R} ^ {+}} ^ {} A _ { alpha} = (-1, 0] = {x in mathbb {R} | -1

Verificación de progreso 5.29 (continuación del ejemplo 5.28)

Usando la familia de conjuntos del ejemplo 5.28, para cada ( alpha in mathbb {R} ^ {+} ), vemos que

(A _ { alpha} ^ c = (- infty, 1] cup ( alpha, infty). )

Utilice los resultados del ejemplo 5.28 para ayudar a determinar cada uno de los siguientes conjuntos. Para cada conjunto, utilice la notación de intervalo o la notación del generador de conjuntos.

  1. (( bigcup _ { alpha in mathbb {R} ^ {+}} ^ {} A _ { alpha}) ^ c )
  2. (( bigcap _ { alpha in mathbb {R} ^ {+}} ^ {} A _ { alpha}) ^ c )
  3. ( bigcap _ { alpha in mathbb {R} ^ {+}} ^ {} A _ { alpha} ^ c )
  4. ( bigcup _ { alpha in mathbb {R} ^ {+}} ^ {} A _ { alpha} ^ c )
Respuesta

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Propiedades de unión e intersección

En el teorema 5.30, probaremos algunas propiedades de las operaciones de conjuntos para familias indexadas de conjuntos. Algunas de estas propiedades son extensiones directas de propiedades correspondientes para dos conjuntos. Por ejemplo, ya hemos probado las leyes de De Morgan para dos conjuntos en el teorema 5.20. El trabajo en las actividades de vista previa y Progress Check 5.29 sugiere que deberíamos obtener resultados similares usando operaciones de conjuntos con una familia de conjuntos indexada. Por ejemplo, en Actividad de vista previa ( PageIndex {2} ), vimos que

(( bigcap_ {j = 1} ^ {4} A_j) ^ c = bigcup_ {j = 1} ^ {4} A_j ^ c. )

Teorema 5.30.

Sea ( Lambda ) un conjunto de indexación no vacío y sea ( mathcal {A} = {A _ { alpha} | alpha in wedge } ) una familia de conjuntos indexados. Luego

  1. Para cada ( beta in Lambda ), ( bigcap _ { alpha in Lambda} A _ { alpha} subseteq A _ { beta} )
  2. Para cada ( beta in Lambda ), (A _ { beta} subseteq bigcup _ { alpha in Lambda} A _ { alpha} )
  3. (( bigcap _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha}) ^ c = bigcup _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha} ^ c )
  4. (( bigcup _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha}) ^ c = bigcap _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha} ^ c )

Las partes (3) y (4) se conocen como Leyes de De Morgan.

Prueba

Demostraremos las Partes (1) y (3). Las demostraciones de las Partes (2) y (4) se incluyen en el Ejercicio (4). Así que dejamos que ( Lambda ) sea un conjunto de indexación no vacío y que (mathcal {A} = {A _ { alpha} | alpha in Lambda } ) sea una familia de conjuntos indexados. Para probar la Parte (1), dejamos ( beta en Lambda ) y notamos que si (x in bigcap _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha} ), entonces (x in A _ { alpha} ), para todos ( alpha in Lambda ). Dado que ( beta ) es un elemento en ( Lambda ), podemos concluir que (x in A _ { beta} ). Esto prueba que ( bigcap _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha} subseteq A _ { beta} ).

Para probar la Parte (3), probaremos que cada conjunto es un subconjunto del otro conjunto. Primero dejamos (x in ( bigcap _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha}) ^ c ). Esto significa que (x notin ( bigcap _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha}) ), y esto significa que

existe un ( beta en Lambda ) tal que (x notin A _ { beta} ).

Por lo tanto, (x in A _ { beta} ^ c ), lo que implica que (x in bigcup _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha} ^ c ). Por tanto, hemos probado que

[( bigcap _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha}) ^ c subseteq bigcup _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha} ^ c. ]

Ahora dejamos (y in bigcup _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha} ^ c ). Esto significa que existe un ( beta en Lambda ) tal que (y en A _ { beta} ^ c ) o (y notin A _ { beta} ). Sin embargo, dado que (y notin A _ { beta} ), podemos concluir que (y notin bigcap _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha} ) y, por tanto, (y in ( bigcap _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha}) ^ c ). Esto prueba que

[ bigcup _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha} ^ c subseteq ( bigcap _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha}) ^ c. ]

Usando los resultados en (5.5.4) y (5.5.5), hemos probado que (( bigcap _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha}) ^ c = bigcup _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha} ^ c. )

Muchas de las otras propiedades de las operaciones de conjuntos también son válidas para familias de conjuntos indexados. El teorema 5.31 establece las leyes distributivas para operaciones de conjuntos.

Teorema 5.31.

Sea ( Lambda ) un conjunto de indexación no vacío y deje que ( mathcal {A} = {A _ { alpha} | alpha in Lambda } ) sea una familia de conjuntos indexados, y sea ​​ (B ) un conjunto. Luego

  1. (B cap ( bigcup _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha}) = bigcup _ { alpha in Lambda} ^ {} (B cap A _ { alpha}) ), y
  2. (B cup ( bigcap _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha}) = bigcap _ { alpha in Lambda} ^ {} (B cup A _ { alpha}) ).
Prueba

La demostración del teorema 5.31 es el ejercicio (5).

Familias de conjuntos disjuntos por pares

En la Sección 5.2, definimos dos conjuntos (A ) y (B ) como disjuntos siempre que (A cap B = emptyset ). De manera similar, si ( Lambda ) es un conjunto de indexación no vacío y ( mathcal {A} = {A _ { alpha} | alpha in Lambda } ) es una familia indexada de conjuntos, podemos decir que esta familia indexada de conjuntos es desarticular siempre que ( bigcap _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha} = emptyset ). Sin embargo, podemos usar el concepto de dos conjuntos disjuntos para definir un tipo algo más interesante de "disjunción" para una familia de conjuntos indexados.

Definición

Sea ( Lambda ) un conjunto de indexación no vacío y ( mathcal {A} = {A _ { alpha} | alpha in Lambda } ) sea una familia de conjuntos indexados. Decimos que ( mathcal {A} ) es disjunto por pares siempre que para todo ( alpha ) y ( beta ) en ( Lambda ), si (A _ { alpha} ne A _ { beta} ), luego (A _ { alpha} cap A _ { beta} = emptyset ).

Verificación de progreso 5.32 (familias de conjuntos disjuntos)

La figura 5.7 muestra dos familias de conjuntos,

( mathcal {A} = ) { (A_1 ), (A_2 ), (A_3 ), (A_4 )} y ( mathcal {B} = ) { (B_1 ), (B_2 ), (B_3 ), (B_4 )}.

  1. ¿Es la familia de conjuntos ( mathcal {A} ) una familia de conjuntos disjuntos? ¿Una familia de conjuntos disjuntos por pares?
  2. ¿Es la familia de conjuntos ( mathcal {B} ) una familia de conjuntos disjuntos? ¿Una familia de conjuntos disjuntos por pares?

    Ahora sea el universal ( mathbb {R} ). Para cada (n in mathbb {N} ), deje (C_n = (n, infty) ) y deje ( mathcal {C} = {C_n | n in mathbb {N} } ).

  3. ¿Es la familia de conjuntos ( mathcal {C} ) una familia de conjuntos disjuntos? ¿Una familia de conjuntos disjuntos por pares?
Respuesta

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Ejercicio ( PageIndex {1} )

  1. Para cada número natural (n ), sea (A_n = {n, n + 1, n + 2, n + 3 } ). Utilice el método de lista para especificar cada uno de los siguientes conjuntos:

    (a) ( bigcap_ {j = 1} ^ {3} A_j )
    (b) ( bigcup_ {j = 1} ^ {3} A_j )
    (c) ( bigcap_ {j = 3} ^ {7} A_j )
    (d) ( bigcup_ {j = 3} ^ {7} A_j )
    (e) (A_9 cap ( bigcup_ {j = 3} ^ {7} A_j) )
    (f) ( bigcup_ {j = 3} ^ {7} (A_9 cap A_j) )

  2. Para cada número natural (n ), sea (A_n = {k in mathbb {N} | k ge n } ). Utilice el método de lista o la notación del constructor de conjuntos para especificar cada uno de los siguientes conjuntos:

    (a) ( bigcap_ {j = 1} ^ {5} A_j )
    (b) (( bigcap_ {j = 1} ^ {5} A_j) ^ c )
    (c) ( bigcap_ {j = 1} ^ {5} A_j ^ c )
    (d) ( bigcup_ {j = 1} ^ {5} A_j ^ c )
    (e) ( bigcup_ {j = 1} ^ {5} A_j )
    (f) (( bigcup_ {j = 1} ^ {5} A_j) ^ c )
    (g) ( bigcap_ {j in mathbb {N} ^ {} A_j )
    (h) ( bigcup_ {j in mathbb {N} ^ {} A_j )

  3. Para cada número real positivo (r ), defina (T_r ) como el intervalo cerrado ([- r ^ 2, r ^ 2] ). Es decir
    [T_r = {x in mathbb {R} | -r ^ 2 le x le r ^ 2 }. ]
    Sea ( wedge = {m in mathbb {N} | 1 le m le 10 } ). Utilice la notación de intervalo o la notación del constructor de conjuntos para especificar cada uno de los siguientes conjuntos:

    (a) ( bigcup_ {k in wedge} ^ {} T_k )
    (b) ( bigcap_ {k in wedge} ^ {} T_k )
    (c) ( bigcup_ {r in mathbb {R} ^ +} ^ {} T_k )
    (d) ( bigcap_ {r in mathbb {R} ^ +} ^ {} T_k )
    (e) ( bigcup_ {r in mathbb {N}} ^ {} T_k )
    (f) ( bigcap_ {r in mathbb {N}} ^ {} T_k )

  4. Demuestre las partes (2) y (4) del teorema 5.30. Sea ( Lambda ) un conjunto de indexación no vacío y sea ( mathcal {A} = {A _ { alpha} | alpha in Lambda } ) una familia de conjuntos indexados.

    (a) Para cada ( beta in Lambda ), (A _ { beta} subseteq bigcup _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha} ).
    (b) (( bigcup _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha}) ^ c = bigcap _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha} ^ c )

  5. Demuestre el teorema 5.31. Sea ( Lambda ) un conjunto de indexación no vacío, deje ( mathcal {A} = {A _ { alpha} | alpha in Lambda } ) sea una familia de conjuntos indexados, y sea ​​ (B ) un conjunto. Luego

    (a) (B cap ( bigcup _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha}) = bigcup _ { alpha in Lambda} ^ {} (B cap A _ { alpha })), y
    (b) (B cup ( bigcap _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha}) = bigcap _ { alpha in Lambda} ^ {} (B cup A _ { alpha }) ).

  6. Sea ( Lambda ) y ( Gamma ) conjuntos de indexación no vacíos y sea ( mathcal {A} = {A _ { alpha} | alpha in Lambda } ) y ( mathcal {B} = {B _ { beta} | beta in Gamma } ) ser familias de conjuntos indexadas. Utilice las leyes distributivas del ejercicio (5) para:

    (a) Escriba (( bigcup _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha}) cap ( bigcup _ { beta in Gamma} ^ {} B _ { beta}) como unión de intersecciones de dos conjuntos.
    (b) Escriba (( bigcap _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha}) cup ( bigcap _ { beta in Gamma} ^ {} B _ { beta}) como unión de intersecciones de dos conjuntos.

  7. Sea ( Lambda ) un conjunto de indexación no vacío y sea ( mathcal {A} = {A _ { alpha} | alpha in Lambda } ) una familia de conjuntos indexados. Además, suponga que ( Gamma subseteq Lambda ) y ( Gamma ne emptyset ). (Nota: La letra ( Gamma ) es la letra griega mayúscula gamma.) Demuestre que

    (a) ( bigcup _ { alpha in Gamma} ^ {} A _ { alpha} subseteq bigcup _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha} )
    (b) ( bigcap _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha} subseteq bigcap _ { alpha in Gamma} ^ {} A _ { alpha} )

  8. Sea ( Lambda ) un conjunto de indexación no vacío y deje que ( mathcal {A} = {A _ { alpha} | alpha in Lambda } ) sea una familia de conjuntos indexados.

    (a) Demuestre que si (B ) es un conjunto tal que (B subseteq A _ { alpha} ) para cada ( alpha en Lambda ), entonces (B subseteq bigcap_ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha} ).
    (b) Demuestre que si (C ) es un conjunto tal que (A _ { alpha} subseteq C ) para cada ( alpha en Lambda ), entonces ( bigcap _ { alpha en Lambda} ^ {} A _ { alpha} subseteq C ).

  9. Para cada número natural (n ), sea (A_n = {x in mathbb {R} | n - 1
  10. Para cada número natural (n ), sea (A_n = {k in mathbb {N} | k ge n } ). Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica cada conclusión.

    (a) Para todo (j, k in mathbb {N} ), si (j ne k ), entonces (A_j cap A_k ne emptyset ).
    (b) ( bigcap_ {k in mathbb {N}} ^ {} A_k = emptyset ).

  11. Dé un ejemplo de una familia indexada de conjuntos ( {A_n | n in mathbb {N} } ) de modo que las tres condiciones siguientes sean verdaderas:

    (i) Para cada (m in mathbb {N} ), (A_m subseteq (0,1) );
    (ii) Para cada (j, k in mathbb {N} ), si (j ne k ), entonces (A_j cap A_k ne emptyset ); y
    (iii) ( bigcap_ {k in mathbb {N}} ^ {} A_k = conjunto vacío ).

  12. Sea ( Lambda ) un conjunto de indexación no vacío, deje ( mathcal {A} = {A _ { alpha} | alpha in Lambda } ) sea una familia de conjuntos indexados, y sea ​​ (B ) un conjunto. Utilice los resultados del teorema 5.30 y el teorema 5.31 para probar cada uno de los siguientes:

    (a) (( bigcup _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha}) - B = bigcup _ { alpha in Lambda} ^ {} (A _ { alpha} - B) )
    (b) (( bigcap _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha}) - B = bigcap _ { alpha in Lambda} ^ {} (A _ { alpha} - B) )
    (c) (B - ( bigcup _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha}) = bigcap _ { alpha in Lambda} ^ {} B - (A _ { alpha}) )
    (d) (B - ( bigcap _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha}) = bigcup _ { alpha in Lambda} ^ {} B - (A _ { alpha}) )

    Exploraciones y actividades

  13. Una familia indexada de subconjuntos del plano cartesiano. Sea ( mathbb {R} ^ { ast} ) el conjunto de números reales no negativos, y para cada (r in mathbb {R} ^ { ast} ), sea
    [ begin {array} {rcl} {C_r} & = & { {(x, y) in mathbb {R} times mathbb {R} | x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 }} {D_r} & = & { {(x, y) in mathbb {R} times mathbb {R} | x ^ 2 + y ^ 2 le r ^ 2 }} {T_r} & = & { {(x, y) in mathbb {R} times mathbb {R} | x ^ 2 + y ^ 2> r ^ 2 } = D_r ^ c.} End {matriz} ]

    Si (r> 0 ), entonces el conjunto (C_r ) es el círculo de radio (r ) con el centro en el origen como se muestra en la Figura 5.8, y el conjunto (D_r ) es el disco sombreado (incluido el límite) que se muestra en la Figura 5.8.

    (a) Determine ( bigcup_ {r in mathbb {R} ^ { ast}} ^ {} C_r ) y ( bigcap_ {r in mathbb {R} ^ { ast}} ^ {} C_r )
    (b) Determine ( bigcup_ {r in mathbb {R} ^ { ast}} ^ {} D_r ) y ( bigcap_ {r in mathbb {R} ^ { ast}} ^ {} Dr)
    (c) Determine ( bigcup_ {r in mathbb {R} ^ { ast}} ^ {} T_r ) y ( bigcap_ {r in mathbb {R} ^ { ast}} ^ {} T_r )
    (d) Sea ( mathcal {C} = {C_r | r in mathbb {R} ^ { ast} } ), ( mathcal {D} = {D_r | r in mathbb {R} ^ { ast} } ) y ( mathcal {T} = {T_r | r in mathbb {R} ^ { ast} } ) . ¿Alguna de estas familias indexadas de conjuntos son disjuntos por pares? Explicar.

    Ahora sea (I ) el intervalo cerrado [0, 2] y sea (J ) el intervalo cerrado [1, 2].
    (e) Determine ( bigcup_ {r in I} ^ {} C_r ), ( bigcap_ {r in I} ^ {} C_r ), ( bigcup_ {r in J} ^ { } C_r ) y ( bigcap_ {r en J} ^ {} C_r )
    (f) Determine ( bigcup_ {r in I} ^ {} D_r ), ( bigcap_ {r in I} ^ {} D_r ), ( bigcup_ {r in J} ^ { } D_r ) y ( bigcap_ {r in J} ^ {} D_r )
    (g) Determine (( bigcup_ {r in I} ^ {} D_r) ^ c ), (( bigcap_ {r in I} ^ {} D_r) ^ c ), (( bigcup_ {r in J} ^ {} D_r) ^ c ) y ((bigcap_ {r in J} ^ {} D_r) ^ c )
    (h) Determine ( bigcup_ {r in I} ^ {} T_r ), ( bigcap_ {r in I} ^ {} T_r ), ( bigcup_ {r in J} ^ { } T_r ) y ( bigcap_ {r in J} ^ {} T_r )
    (i) Utilice las Leyes de De Morgan para explicar la relación entre sus respuestas en las Partes (13g) y (13h).

Respuesta

Agrega textos aquí. No elimine este texto primero.


La suma y la resta son operaciones inversas. Si agrega un número, luego resta el mismo número, se cancelan entre sí y no hay efecto en la expresión.

A continuación se encuentran las operaciones de suma y resta relacionadas usando los números 2 y 3:

Los mismos hechos relacionados se pueden escribir para cualquier problema de suma o resta. Si se nos da una de las operaciones, podemos escribir otras tres operaciones usando los mismos tres números y sumas o restas. Cada uno de los conjuntos de expresiones (ej. 2 + 3 = 5 3 + 2 = 5) se conoce como una familia de operaciones.


5.5: Familias indexadas de conjuntos - Matemáticas

2. Compré las tarjetas familiares de operaciones triangulares en una tienda para maestros. La suma está en la parte superior y los sumandos están en las esquinas inferiores. Jugamos en todo el mundo. Empezamos con dos personas. La primera persona que termine una oración numérica tiene la oportunidad de terminar el resto de la familia de operaciones. Si tienen éxito, pasan a enfrentarse a otro retador. Si no puede nombrar las 4 oraciones numéricas, la otra persona obtiene un.

2. Pídales que hagan dibujos que acompañen a las familias de operaciones.

3. Dé a los niños cubos u otros contadores y pídales que muestren cómo moverlos para mostrar las diferentes oraciones numéricas que se usan para hacer una familia de operaciones.

4. Haga tarjetas de números y operaciones (+, -, =) y entréguelas a los niños. Llame a un grupo de niños para que formen una oración numérica en la familia de operaciones y luego guíe al resto para hacer las oraciones numéricas restantes.

Materiales: para una página del folleto

Corté con anticipación círculos (de cualquier color) con un diámetro de 3 pulgadas, lo suficiente como para que cada estudiante tenga tres círculos, un triángulo blanco de 6 pulgadas. X 6 pulg. X 9 pulgadas, una por alumno y la mitad de una cartulina normal (de cualquier color).
También necesitará dos dados por alumno.

Deberá multiplicar los materiales según la cantidad de páginas que tenga en el folleto.

Haga que el alumno lance los dados. Coloque uno de los números en un círculo, coloque el otro número en un segundo círculo y la suma en un tercer círculo. Estos círculos luego se pegan a los puntos del triángulo. En el interior del triángulo, los estudiantes escriben.

Les presento a las familias de hecho que usan una casa. Los números de la familia de hechos, como 3, 4 y 7, van en la parte del techo de la casa. Los hechos son las vigas de soporte de la casa. Utilizo un triángulo para el techo y 4 rectángulos largos y delgados para las vigas de soporte. A los niños les encanta. De hecho, le doy a cada niño un conjunto diferente de números que escribo en el triángulo y ellos crean la familia de operaciones que lo acompaña. Los colgamos por la habitación. Todos los días después de eso, doy 3 números como calentamiento y les pido que creen una familia de hechos para mí como clase. El estudiante del día realmente hace la casa y la cuelga para nosotros. Cuando obtengo demasiados, los pongo en un centro.

Tal vez pueda usar esta hoja de trabajo familiar de datos: alguien de Proteacher la compartió durante el verano. Me encanta usarlo con mis alumnos de segundo grado. :)

Aquí está la casa para dobles. :s)

Esto integra lectura, escritura y matemáticas. Los estudiantes definitivamente entendieron el concepto.

Tengo un juego que obtuve de alguien a través de Internet, así que lo compartiré. Este juego se juega con un compañero. Ponga un cuenco de varias fichas de dominó, al menos 10, entre los dos socios. En "Go", cada uno toma un dominó y escribe los 4 datos que van con ese dominó. Cuando han hecho eso, obtienen otro dominó y hacen lo mismo, y continúan haciéndolo hasta que hayan completado 5 dominó. El primero que se hace es el ganador, siempre que estén todos correctos. Esto puede volverse competitivo. Podrías hacer que los ganadores jueguen con los ganadores, etc. He descubierto que este es un buen juego, pero si un niño no tiene familias de hecho, a veces dejará que la otra persona gane. Sería una buena práctica incluso si no fuera una competencia.

Todos por la mañana durante los negocios de la mañana, puse la fecha actual en la pizarra, es decir. 6. Los niños crean oraciones matemáticas usando ese número. Comenzamos con solo usar números hasta = 6. Ahora también hacen familias de operaciones. Escribo todas sus respuestas en la pizarra. Les encanta. Ahora me están dando frases como 108-102 = 6.

Por supuesto, todavía están usando esos malditos dedos, pero al menos algunos de ellos están memorizando los hechos.

O puede recortar formas (como corazones o tréboles de tres hojas para marzo) y escribir los tres números en las "esquinas". Haga que los estudiantes cubran una esquina a la vez y los estudiantes deben averiguar qué número hay debajo. Luego, pueden escribir los FF y comprobarlos en la parte de atrás.

Juego un juego con mis alumnos llamado "encuentra a tu familia". Discutimos antes de jugar el juego, que debe haber cuatro miembros en su familia (a menos que sea un hecho doble), y que cada miembro debe compartir los mismos tres números. A cada estudiante se le entrega una ficha con un dato. (nadie más lo ve). Toco música, y cuando la música se detiene, digo "encuentra a tu familia". Una vez que los estudiantes han encontrado a todos los miembros de su familia, se sientan. A los niños les encanta jugar a este juego y les ayuda a recordar lo que debe incluirse en cada familia de operaciones. :)

familias de hechos de maíz dulce. Esto todavía estaría relacionado con el Día de Acción de Gracias. Haces un patrón naranja grande (de aproximadamente 10 pulgadas de alto) para el maíz dulce. Escriba ligeramente en el medio:

_____+_______=
_____+_______=
_____-_______=
_____-_______=

Luego les di 3 números para su familia de operaciones. (6, 7, 13, etc. - Traté de darles a todos una familia de hechos diferente) Ellos los escribieron en las líneas que les proporcioné. Luego agregaron papel amarillo en la parte superior e inferior y colocaron los dos números más pequeños en las dos esquinas superiores y el número grande en la "punta" del maíz dulce.

Compré el gráfico de bolsillo de la familia fact de Lakeshore y lo usamos durante el calendario, hacemos una familia a la semana cuando comenzamos y luego, a medida que lo aprenden, sacamos las familias antiguas y las revisamos. También tengo algunas hojas de trabajo de la casa de la familia de hechos que lleno con los tres números y ellos pueden completar. Pongo algunos protectores de página para el tiempo de trabajo en el que pueden practicar. También se lo explico a los padres y lo incluyo en mi boletín semanal para que los padres puedan brindar ayuda adicional si es necesario.

Lo explico de esta manera: hay tres miembros en cada familia. El número más grande es el papá, el número del medio es la mamá y el número más pequeño es el bebé. En una familia de operaciones, siempre hay cuatro oraciones numéricas, dos sumas y dos restas. Al hacer la suma de oraciones numéricas NUNCA comienzas con papá (él siempre es la respuesta). Si decidiste comenzar con mamá primero, entonces la siguiente oración numérica agregada debe ser el flip flopper. Al hacer las oraciones numéricas de resta, SIEMPRE comienzas con papá y puedes restar primero a mamá o bebé.

Siempre recomiendo mucho los manipuladores. Encuentro que los niños necesitan hacer los cálculos, no solo hacer la respuesta correcta.

Me gustan los bloques de base diez. Para una familia de operaciones de 7, saque 7 bloques. Divida los bloques en familias de operaciones y escríbalos.

Las tarjetas de felicitación familiares de hechos son muy divertidas. En el frente, escriba el número de la suma. Inside, paste beans to show a fact from the family. Put one addend on one side of the card and the other addend on the other side. The kids can write all kinds of fun messages to the family.

Breaking kids into fact families while they act out a story is helpful. They get up and moving, and I like to keep kids active at some point in a lesson to get blood into the brain if for no other reason. 10 kids stand up. They are building a fort. One kid goes home to get a hammer. When he.

Last year I made these little story boards out of construction paper and die cuts for teaching fact families. For example, one of the boards was a pond with a frog family. I cut out blue paper for the pond, drew small waves, some cattails, trees, and rocks around it. Each frog had a number on its belly (the mom had #2, the dad had #5, and the baby had # 7). The kids had fun making up a story about the frogs jumping in the pond. Then we wrote number sentences to go along with the frog family. Other story boards that I made were: snowmen on a hill, sailboats on the lake, fish in a fish bowl, people in a house, and so on. The kids enjoy it because it is hands on, they get to create their own story, and the numbers are on pictures/characters rather than on a.

Lets see if I can get this out right..lol.

In a house. no "strangers" (other numbers) are allowed in the house.

"Big Daddy" = big number (5)
Mommy = middle number (3)
baby = small number (2)

Big Daddy is always first or last, because he is protecting his family.

Sometimes Daddy goes to work leaving Mommy and baby home together. 2+3=5

Baby is the most important person in Mommy life so she always puts him first, except on Mommy's Birthday 3+2=5

Sometimes Mommy goes to get her nails done and leaves baby with Daddy. 5-2=3

Sometimes Mommy and Daddy go to see a movie and leave baby with a sitter 5-3=2


A teacher at my school did this and I thought it was really cute. She drew a house and all and had the.


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Succeed

Eureka Math Succeed enables students to work individually toward mastery. Teachers and tutors can use Succeed books from prior grade levels as curriculum-consistent tools for filling gaps in foundational knowledge. Students will thrive and progress more quickly, as familiar models facilitate connections to their current, grade-level content.

Additional Problem Sets: Ideal for Homework or extra practice, these additional problem sets align lesson-by-lesson with what is happening in the classroom. These problems are sequenced from simple-to-complex to naturally scaffold student practice. They align with Eureka Math and use the curriculum’s mathematical models and language, ensuring that students feel the connections and relevance to their daily instruction, whether they are working on foundational skills or getting extra practice on the current topic.

Homework Helpers: Each problem set is accompanied by a Homework Helper, a set of worked examples that illustrate how similar problems are solved. The examples, viewed side by side with the homework, support students as they reinforce the day’s learning. Homework Helpers are also a great way to keep parents informed about math class.


Set Theory: Union Of Sets

In these lessons, we will learn the union of sets and the complement of the union of sets. For more lessons, see our collection of lessons on sets.

Union Of Sets

La Unión of two sets A and B is the set of elements, which are in A o in B o in both. It is denoted by A ∪ B and is read ‘A union B’.

The following table gives some properties of Union of Sets: Commutative, Associative, Identity and Distributive. Scroll down the page for more examples.

Ejemplo:
Given U = <1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10>
X = <1, 2, 6, 7>and Y = <1, 3, 4, 5, 8>
Find X ∪ Y and draw a Venn diagram to illustrate X ∪ Y.

Solution:
X ∪ Y = <1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8>← 1 is written only once.

Si X ⊂ Y luego X ∪ Y = Y.
We will illustrate this relationship in the following example.

Ejemplo:
Given U = <1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10>
X = <1, 6, 9>and Y = <1, 3, 5, 6, 8, 9>
Find X ∪ Y and draw a Venn diagram to illustrate X ∪ Y.

Complement Of The Union Of Sets

La complement of the set X ∪ Y is the set of elements that are members of the universal set U but are not in X ∪Y. It is denoted by (X ∪ Y)’

Ejemplo:
Given: U = <1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9>
X = <1, 2, 6, 7>and Y = <1, 3, 4, 5, 8>
a) Draw a Venn diagram to illustrate ( X ∪ Y ) ’
b) Find ( X ∪ Y ) ’

Solution:
a) First, fill in the elements for X ∩ Y = <1>
Fill in the other elements for X and Y and for U
Shade the region outside X ∪ Y to indicate (X ∪ Y)’

b) We can see from the Venn diagram that
(X ∪ Y)’ = <9>
Or we find that X ∪ Y = <1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8>and so
(X ∪ Y)’ = <9>

Ejemplo:
Given U = , A = The set of odd numbers, B = The set of factors of 24 and C = <3, 10>.
a) Draw a Venn diagram to show the relationship.
b) Using the Venn diagram or otherwise, find:
i) (A ∪ B ) ’ ii) (A ∪ C ) ’ iii) (A ∪ B ∪ C ) ’

Solution:
A = <1, 3, 5, 7, 9>, B = <1, 2, 3, 4, 6, 8>and C = <3, 10>
a) First, fill in the elements for A ∩ B ∩C = <3>, A ∩ B <1, 3>,
A ∩ C = <3>, B ∩ C = <3>and then the other elements.

b) We can see from the Venn diagram that
i) (A ∪ B ) ’ = <10>
ii) (A ∪ C ) ’ = <2, 4, 6, 8>
iii) (A ∪ B ∪ C ) ’ = < >

Sets: Union And Intersection

∪ is the union symbol and can be read as &ldquoor&rdquo. The union of two sets are all the elements form both sets.

∩ is the intersection symbol and can be read as &ldquoand&rdquo. The intersection of two sets are those elements that belong to both sets.

La intersección of two sets are those elements that belong to both sets.

La Unión of two sets are all the elements from both sets.

A Mathematics Lesson On Set Operation Of Union

Examples To Illustrate The Union Of Sets

How To Describe The Union And Intersection Of Sets Using Venn Diagrams?

Union, Intersection And Complement

Ejemplo:
If D = <1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10>with subsets A, B and C where A = <4, 6, 8>and B = <6, 7, 8, 9>and C = <1, 2, 3, 4>, find the following:
A ∩ B
B ∩ C
A ∪ B
B ∪ C
(A ∪ B ∪ C)'

Venn Diagrams: Shading Regions

This video shows how to shade the union, intersection and complement of two sets.

Ejemplo:
Shade the indicated region
(1) A ∪ B'
(2) A' ∩ B'
(3) (A ∪ B)'

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The Empty Set And Set Equality

In these lessons, we will learn how to define sets, the empty set, equal sets, subset, superset, proper subset and proper superset.

How To Define Sets And Elements?

A set is composed of elements or members. A set is denoted by capital letters.
A = , a ∈ A, a belongs to A
B = , a ∉ B

A set can be defined in the following ways:

This video introduces the concept of a set and various methods for defining sets.

The Null Set Or Empty Set

There are some sets that do not contain any element at all. For example, the set of months with 32 days. We call a set with no elements the null or empty set. It is represented by the symbol < >or Ø.

Some examples of null sets are:
The set of dogs with six legs.
The set of squares with 5 sides.
The set of cars with 200 doors.
The set of integers which are both even and odd.

Set Equality

What Are Equal Sets?

Since P and Q contain exactly the same number of members and the members are the same, we say that P is equal to Q, and we write P = Q. The order in which the members appear in the set is not important.

Since R and S do not contain exactly the same members, we say that R is not equal to S and we write R ≠ S.

See the following lesson about equal sets

How Sets Can Be Related To Each Other In Different Ways?

This video describes the set relations of equality, subset, superset, proper subset, and proper superset.

How To Use Venn Diagrams To Show Relationship Between Sets And Set Operations?

A Venn diagram is a visual diagram that shows the relationship of sets with one another. The set of all elements being considered is called the universal set (U) and is represented by a rectangle. Subsets of the universal set are represented by ovals within the rectangle.

The complement of A, A', is the set of elements in U that is not in A.

Sets are disjoint if they do not share any elements.

The intersection of A and B is the set of elements in both set A and set B.

The union of A and B is the set of elements in either set A or set B or both.

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If addition is the direct relationship among these family members, then subtraction is the family cousin through the inverse property. Simply put, subtraction is the opposite of addition, but it's still related. The problems still only use the three members of the family.

Once your child knows the relationships of the fact family members, it's easy to see who is missing at a quick glance. Solving addition and subtraction problems is then much easier and starts to become automatic. Take, for example, this problem:

Your child should quickly be able to recognize 4 as the missing family member.


5.5: Indexed Families of Sets - Mathematics

We strongly recommend to refer below article as a prerequisite of this.

In this post, Game of Nim is discussed. The Game of Nim is described by the following rules-

Given a number of piles in which each pile contains some numbers of stones/coins. In each turn, a player can choose only one pile and remove any number of stones (at least one) from that pile. The player who cannot move is considered to lose the game (i.e., one who take the last stone is the winner).

For example, consider that there are two players- A y B, and initially there are three piles of coins initially having 3, 4, 5 coins in each of them as shown below. We assume that first move is made by A. See the below figure for clear understanding of the whole game play.


A Won the match (Note: A made the first move)

So was A having a strong expertise in this game ? or he/she was having some edge over B by starting first ?

Let us now play again, with the same configuration of the piles as above but this time B starting first instead of A.


B Won the match (Note: B made the first move)

By the above figure, it must be clear that the game depends on one important factor – Who starts the game first ?

So does the player who starts first will win everytime ?
Let us again play the game, starting from A , and this time with a different initial configuration of piles. The piles have 1, 4, 5 coins initially.

Voluntad A win again as he has started first ? Dejanos ver.

A made the first move, but lost the Game.

So, the result is clear. A has lost. ¿Pero cómo? We know that this game depends heavily on which player starts first. Thus, there must be another factor which dominates the result of this simple-yet-interesting game. That factor is the initial configuration of the heaps/piles. This time the initial configuration was different from the previous one.

In fact, we can predict the winner of the game before even playing the game !

Nim-Sum : The cumulative XOR value of the number of coins/stones in each piles/heaps at any point of the game is called Nim-Sum at that point.

“If both A y B play optimally (i.e- they don’t make any mistakes), then the player starting first is guaranteed to win if the Nim-Sum at the beginning of the game is non-zero. Otherwise, if the Nim-Sum evaluates to zero, then player A will lose definitely.”

Optimal Strategy :

    Couple of deductions about bitwise XOR necessary for understanding the Optimal Strategy:

Initially two cases could exist.

Case 1: Initial Nim Sum is zero
As we know, in this case if played optimally B wins, which means B would always prefer to have Nim sum of zero for A‘s turn.
So, as the Nim Sum is initially zero, whatever number of items A removes the new Nim Sum would be non-zero (as mentioned above). Also, as B would prefer Nim sum of zero for A‘s turn, he would then play a move so as to make the Nim Sum zero again (which is always possible, as mentioned above).
The game will run as long as there are items in any of the piles and in each of their respective turns A would make Nim sum non-zero and B would make it zero again and eventually there will be no elements left and B being the one to pick the last wins the game.

It is evident by above explanation that the optimal strategy for each player is to make the Nim Sum for his opponent zero in each of their turn, which will not be possible if it’s already zero.

Case 2: Initial Nim Sum is non-zero
Now going by the optimal approach A would make the Nim Sum to be zero now (which is possible as the initial Nim sum is non-zero, as mentioned above). Now, in B‘s turn as the nim sum is already zero whatever number B picks, the nim sum would be non-zero and A can pick a number to make the nim sum zero again. This will go as long as there are items available in any pile.
Y A will be the one to pick the last item.

So, as discussed in the above cases, it should be obvious now that Optimal strategy for any player is to make the nim sum zero if it’s non-zero and if it is already zero then whatever moves the player makes now, it can be countered.

Let us apply the above theorem in the games played above. In the first game A started first and the Nim-Sum at the beginning of the game was, 3 XOR 4 XOR 5 = 2, which is a non-zero value, and hence A won. Whereas in the second game-play, when the initial configuration of the piles were 1, 4, and 5 and A started first, then A was destined to lose as the Nim-Sum at the beginning of the game was 1 XOR 4 XOR 5 = 0 .

Implementation:

In the program below, we play the Nim-Game between computer and human(user)
The below program uses two functions
knowWinnerBeforePlaying() : : Tells the result before playing.
playGame() : plays the full game and finally declare the winner. The function playGame() doesn’t takes input from the human(user), instead it uses a rand() function to randomly pick up a pile and randomly remove any number of stones from the picked pile.

The below program can be modified to take input from the user by removing the rand() function and inserting cin or scanf() functions.


The life and numbers of Fibonacci

Fibonacci is one of the most famous names in mathematics. This would come as a surprise to Leonardo Pisano, the mathematician we now know by that name. And he might have been equally surprised that he has been immortalised in the famous sequence – 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . – rather than for what is considered his far greater mathematical achievement – helping to popularise our modern number system in the Latin-speaking world.

The Roman Empire left Europe with the Roman numeral system which we still see, amongst other places, in the copyright notices after films and TV programmes (2013 is MMXIII). The Roman numerals were not displaced until the mid 13th Century AD, and Leonardo Pisano's book, Liber Abaci (which means "The Book of Calculations"), was one of the first Western books to describe their eventual replacement.

Fibonacci (as we'll carry on calling him) spent his childhood in North Africa where his father was a customs officer. He was educated by the Moors and travelled widely in Barbary (Algeria), and was later sent on business trips to Egypt, Syria, Greece, Sicily and Provence. In 1200 he returned to Pisa and used the knowledge he had gained on his travels to write Liber Abaci (published in 1202) in which he introduced the Latin-speaking world to the decimal number system. The first chapter of Part 1 begins:

"These are the nine figures of the Indians: 9 8 7 6 5 4 3 2 1. With these nine figures, and with this sign 0 which in Arabic is called zephirum, any number can be written, as will be demonstrated."

Italy at the time was made up of small independent towns and regions and this led to use of many kinds of weights and money systems. Merchants had to convert from one to another whenever they traded between these systems. Fibonacci wrote Liber Abaci for these merchants, filled with practical problems and worked examples demonstrating how simply commercial and mathematical calculations could be done with this new number system compared to the unwieldy Roman numerals. The impact of Fibonacci's book as the beginning of the spread of decimal numbers was his greatest mathematical achievement. However, Fibonacci is better remembered for a certain sequence of numbers that appeared as an example in Liber Abaci.

A page of Fibonacci's Liber Abaci from the Biblioteca Nazionale di Firenze showing the Fibonacci sequence (in the box on the right)."

The problem with rabbits

One of the mathematical problems Fibonacci investigated in Liber Abaci was about how fast rabbits could breed in ideal circumstances. Suppose a newly-born pair of rabbits, one male, one female, are put in a field. Rabbits are able to mate at the age of one month so that at the end of its second month a female can produce another pair of rabbits. Suppose that our rabbits never die and that the female always produces one new pair (one male, one female) every month from the second month on. The puzzle that Fibonacci posed was. How many pairs will there be in one year?

  • At the end of the first month, they mate, but there is still only 1 pair.
  • At the end of the second month the female produces a new pair, so now there are 2 pairs of rabbits.
  • At the end of the third month, the original female produces a second pair, making 3 pairs in all.
  • At the end of the fourth month, the original female has produced yet another new pair, the female born two months ago produced her first pair also, making 5 pairs.

Bees are better

The rabbit problem is obviously very contrived, but the Fibonacci sequence does occur in real populations. Honeybees provide an example. In a colony of honeybees there is one special female called the queen. The other females are worker bees who, unlike the queen bee, produce no eggs. The male bees do no work and are called drone bees.

Males are produced by the queen's unfertilised eggs, so male bees only have a mother but no father. All the females are produced when the queen has mated with a male and so have two parents. Females usually end up as worker bees but some are fed with a special substance called royal jelly which makes them grow into queens ready to go off to start a new colony when the bees form a swarm and leave their home (a hive) in search of a place to build a new nest. So female bees have two parents, a male and a female whereas male bees have just one parent, a female.

Número depadresabuelosestupendo-
abuelos
bien bien-
abuelos
genial-genial-genial-
abuelos
of a MALE bee12358
of a FEMALE bee235813

Spirals and shells

The amazing thing is that a single fixed angle of rotation can produce the optimal design no matter how big the plant grows. The principle that a single angle produces uniform packings no matter how much growth appears was suspected as early as last century but only proved mathematically in 1993 by Stéphane Douady and Yves Couder, two French mathematicians. Making 0.618 of a turn before producing a new seed (or leaf, petal, etc) produces the optimal packing of seeds no matter the size of the seed head. But where does this magic number 0.618 come from?

The golden ratio

If we take the ratio of two successive numbers in Fibonacci's series, dividing each by the number before it, we will find the following series of numbers:

1/1 = 1, 2/1 = 2, 3/2 = 1.5, 5/3 = 1.666. 8/5 = 1.6, 13/8 = 1.625, 21/13 = 1.61538.

If you plot a graph of these values you'll see that they seem to be tending to a limit, which we call the golden ratio (también conocido como el golden number y golden section).

Something similar happens for any other simple fraction of a turn: seeds grow in spiral arms that leave a lot of space between them (the number of arms is the denominator of the fraction). So the best value for the turns between seeds will be an irrational number. But not just any irrational number will do. For example, the seed head created with pi turns per seed seems to have seven spiralling arms of seeds. This is because 22/7 is a very good rational approximation of pi.

What is needed in order not to waste space is an irrational number that is not well approximated by a rational number. And it turns out that Phi (1.618034. ) and its decimal part phi (0.618034. ) are the "most irrational" of all irrational numbers. (You can find out why in Chaos in number land: the secret life of continued fractions.) This is why a turn of Phi gives the optimal packing of seeds and leaves in plants. It also explains why the Fibonacci numbers appear in the leaf arrangements and as the number of spirals in seedheads. Adjacent Fibonacci numbers give the best approximations of the golden ratio. They take turns at being the denominator of the approximations and define the number or spirals as the seed heads increase in size.

How did so many plants discover this beautiful and useful number, Phi? Obviously not from solving the maths as Fibonacci did. Instead we assume that, just as the ratio of successive Fibonacci numbers eventually settles on the golden ratio, evolution gradually settled on the right number too. The legacy of Leonardo Pisano, aka Fibonacci, lies in the heart of every flower, as well as in the heart of our number system.

Further Reading

If you have enjoyed this article you might like to visit Fibonacci Numbers and the Golden Section.

Acerca de este articulo

Dr R. Knott, who was previously a lecturer in the Department of Computing Studies at the University of Surrey. Knott started the website on Fibonacci Numbers and the Golden Section back in 1996 as an experiment at using the web to inspire and encourage more maths investigations both inside and outside of school time. It has since grown and now covers many other subjects, all with interactive elements and online calculators. Although now retired, Knott still maintains and extends the web pages. He is currently a Visiting Fellow at the University of Surrey and gives talks all over the country to schools, universities, conferences and maths societies. He also likes walking, mathematical recreations, growing things to eat and cooking them.


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