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5: Raíces primitivas y residuos cuadráticos - Matemáticas


En este capítulo, discutimos la estructura multiplicativa de los números enteros módulo (n ). Introducimos el concepto de orden de entero módulo (n ) y luego estudiamos sus propiedades. Luego definimos raíces primitivas módulo (n ) y mostramos cómo determinar si un entero es primitivo módulo (n ) o no. Más tarde encontramos todos los enteros positivos que tienen raíces primitivas y probamos resultados relacionados. Definimos el concepto de residuo cuadrático y establecemos sus propiedades básicas. A continuación, presentamos el símbolo de Legendre y también desarrollamos sus propiedades básicas. También introducimos la ley de reciprocidad cuadrática. Luego, generalizamos la noción de símbolo de Legendre al símbolo de Jacobi y discutimos la ley de reciprocidad relacionada con el símbolo de Jacobi.

  • 5.1: El orden de los números enteros y las raíces primitivas
  • 5.2: Raíces primitivas de los primos
    En esta sección, mostramos que todo entero tiene una raíz primitiva. Para hacer esto, necesitamos introducir la congruencia polinomial.
  • 5.3: La existencia de raíces primitivas
    En esta sección, demostramos qué números enteros tienen raíces primitivas. Comenzamos mostrando que cada potencia de un primo impar tiene una raíz primitiva y para hacer esto comenzamos mostrando que cada cuadrado de un primo impar tiene una raíz primitiva.
  • 5.4: Introducción a los residuos y no residuos cuadráticos
  • 5.5: Símbolo de Legendre
    En esta sección, definimos el símbolo de Legendre, que es una notación asociada a residuos cuadráticos y probamos teoremas relacionados.
  • 5.6: La ley de la reciprocidad cuadrática
    Dado que pyq son primos impares. Suponga que sabemos si q es un residuo cuadrático de p o no. La pregunta que responderá esta sección es si p será un residuo cuadrático de q o no. Antes de enunciar la ley de reciprocidad cuadrática, presentaremos un Lema de Eisenstein que se utilizará en la prueba de la ley de reciprocidad. El siguiente lema relacionará el símbolo de Legendre con los puntos de la red de conteo en el triángulo.
  • 5.7: Símbolo de Jacobi
    En esta sección, definimos el símbolo de Jacobi, que es una generalización del símbolo de Legendre. El símbolo de Legendre se definió en términos de números primos, mientras que el símbolo de Jacobi se generalizará para los números enteros impares y se dará en términos del símbolo de Legendre.

Residuo cuadrático

En teoría de números, un entero q se llama un residuo cuadrático modulo norte si es congruente con un módulo cuadrado perfecto norte es decir, si existe un entero X tal que:

De lo contrario, q se llama un no residuo cuadrático modulo norte.

Originalmente un concepto matemático abstracto de la rama de la teoría de números conocida como aritmética modular, los residuos cuadráticos ahora se utilizan en aplicaciones que van desde la ingeniería acústica hasta la criptografía y la factorización de grandes números.


Teoría de números: en contexto e interactiva

Lo que hizo que la teoría de los residuos cuadráticos / raíces cuadradas funcionara mejor al final fue un par de innovaciones clave del matemático francés Adrien-Marie Legendre Gauss, en particular, hizo un gran uso de ellas.

Observación 16.4.1.

Legendre fue el sucesor de Lagrange en París. Como muchos matemáticos del siglo XVIII, Legendre trabajó en muchas áreas, incluida la teoría de funciones y la física matemática. En particular, a medida que se produjo una mayor profesionalización de los estudios de matemáticas superiores en los estudios de ingeniería franceses posrevolucionarios (una historiadora del desarrollo de las matemáticas Judith Grabiner sostiene que llevó a la rigorización del cálculo), escribió un libro de texto de geometría ampliamente utilizado.

Si bien abordar el tema históricamente puede ser beneficioso, ya que tenemos la ventaja de haber desarrollado los conceptos básicos de grupos y raíces primitivas, podremos simplificar mucho la exposición de residuos cuadráticos utilizando (algo anacrónicamente) estos conceptos.

Subsección 16.4.1 Los residuos cuadráticos forman un grupo

Definición 16.4.2.

Considere el conjunto de todos los residuos cuadráticos distintos de cero módulo algún primo (p text <.> ) A esto lo llamamos (Q_p text <.> )

Esta terminología sugiere que tengo una prueba en mi bolsillo para el siguiente teorema.

Teorema 16.4.3.

El conjunto de residuos cuadráticos distintos de cero (Q_p ) modulo a prime (p ) realmente es un grupo, e incluso es un subgrupo del grupo de unidades (U_p text <.> )

Prueba.

Continuaremos mostrando los axiomas de grupo que se mantienen bajo multiplicación. Dado que excluimos cero y (p ) es primo, (Q_p ) es un subconjunto de (U_p ) esencialmente por definición, lo que implica que también es un subgrupo de (U_p ).

Veamos los tres axiomas principales.

Está claro que (1 in Q_p text <,> ) ya que (1 equiv 1 ^ 2 text <.> ) Entonces hay una identidad.

Luego, si (a ) y (b ) están en (Q_p ) (con (a equiv s ^ 2 ) y (b equiv t ^ 2 )), entonces ( ab ) también es un residuo cuadrático (ya que ((st) ^ 2 equiv s ^ 2 t ^ 2 equiv ab )).

Todo lo que queda es verificar que este conjunto tenga inversas bajo la multiplicación.

Para mostrar este último punto, suponga que (a equiv s ^ 2 in Q_p text <.> ) Luego observe que

Entonces por definición de inversos

lo que significa que si (a in Q_p ) entonces (a ^ <-1> in Q_p ) también.

Observación 16.4.4.

Para aquellos con algunos antecedentes algebraicos adicionales, resulta que (Q_p ) es de hecho un de (U_p ) también, pero no profundizaremos más en esto aquí.

Subsección 16.4.2 Los residuos cuadráticos se conectan a raíces primitivas

Quizás se pregunte cómo esta parte de (U_p ) se conecta con lo más importante que hemos visto hasta ahora sobre (U_p text <.> ) Recuerde que (U_p ) fue cíclico, que tenía un generador cuyas potencias nos daban todas las unidades módulo (p text <.> ) A dicho elemento lo llamamos a de (p ) (recuerde el capítulo 10).

Así que comparemos los poderes de la raíz primitiva y los residuos cuadráticos. No debería ser demasiado difícil ... si no está calculando esto con Sage, simplemente pruébelo manualmente con un módulo aún más pequeño, como siete u once.

Observe el patrón de los elementos de (U_ <19> ) (como potencias de la raíz primitiva) ¡son residuos cuadráticos! Esto ejemplifica un hecho importante.

Hecho 16.4.5.

Para módulo primo impar (p text <,> ) los residuos cuadráticos son precisamente los incluso poderes de una raíz primitiva (g text <.> )

Prueba.

Ciertamente (g ^ <2n> = left (g ^ n right) ^ 2 text <,> ) por lo que las potencias pares de (g ) son QR.

Ahora necesitamos la inclusión de otro conjunto. Suponga que (a in Q_p ) y (a = s ^ 2 text <.> ) Entonces, primero observe que (s ) y (a ) siguen siendo potencias de (g ) (por definición de (g )). Entonces, dejemos (s = g ^ n ) y (a = g ^ m ) para algunos (n, m text <.> ) Entonces tenemos la implicación

Esto solo es posible si (m ) es par ya que (p-1 ) y (2n ) son pares.

Ejemplo 16.4.6.

Esta es una declaración muy fuerte, ¡porque no depende de la raíz primitiva! Por ejemplo, si (p = 11 text <,> ) uno puede verificar que tanto (2 ) como (8 ) son raíces primitivas módulo once, entonces claramente no son residuos, y además son poderes impares entre sí :

Este hecho resultará ser fantásticamente útil. teórico forma de encontrar (Q_p text <.> ) Se mostrará en muchas configuraciones de prueba. Aquí hay un primer ejemplo, un resultado muy bueno sobre cuando un número compuesto es un QR.

Proposición 16.4.7.

Si (n = ab ) es una factorización (no necesariamente trivial) de (n text <,> ) entonces (n ) es un QR de (p ) precisamente cuando ambos (a ) y (b ) son QR de (p ) o ambos (a ) y (b ) son no QR de (p text <.> )

Prueba.

Módulo (p text <,> ) escribe (a equiv g ^ i ) y (b equiv g ^ j ) para algunos (i, j text <.> ) Entonces ( n = ab equiv g ^ text <,> ) y (i + j ) es par cuando (i ) y (j ) tienen la misma paridad. Debido al Hecho 16.4.5, esto es exactamente lo mismo que la conclusión de la proposición.

Por lo tanto, si uno de (a, b ) es un QR y el otro no lo es, tampoco lo es (n = ab text <.> )

Ejemplo 16.4.8.

Supongamos que tenemos el patrón observado en la pregunta 16.3.4 e intentemos decidir si (21 ) es un QR (mod (23 )).

Nuestro primer paso es intentar hacer (21 ) un producto de dos números de los que ya sabemos algo. Dado que (21 equiv -2 ) (mod (23 )), podemos mirar (- 1 ) y (2 ) por separado. Luego recuerde que (- 1 ) no es un QR (ya que (23 equiv 3 ) (mod (4 ))) pero (2 ) lo es, según nuestras exploraciones. Entonces, conjeturaríamos que (21 ) tampoco es un QR.

Podemos usar el mismo truco para otros números congruentes con (- 2 ) modulo (p text <.> ) Por ejemplo, puedo decidir inmediatamente que (- 2 equiv 9 ) es un QR (mod (11 )) por el hecho de que ni (- 1 ) ni (2 ) es un módulo QR (11 text <.> )

Pronto revisaremos esta idea en la Proposición 17.1.1.

Hay otra forma de ver la tensión entre raíces primitivas y residuos cuadráticos. Antes de pasar al siguiente gráfico interactivo, intente responder la siguiente pregunta.

Pregunta 16.4.9.

¿Ves por qué un residuo cuadrático automáticamente no puede ser una raíz primitiva? (Esto se desprende de los resultados anteriores en este capítulo, consulte el ejercicio 16.8.10.)

Ahora pruebe nuestro gráfico familiar de nuevo, esta vez concentrándose en qué filas corresponden a raíces primitivas y cuáles a residuos cuadráticos.

La segunda columna (etiquetada como 1) contiene todos los residuos y, por definición, los residuos cuadráticos son los colores ubicados en la tercera columna (etiquetada como 2 ya que son cuadrados). Vea cómo esa columna es simétrica con respecto a la mitad de las filas, con dos de cada uno de los colores QR que aparecen. Además, estos son los mismos colores que los que aparecen en uno sí y otro no columna en filas con una raíz primitiva (las filas con todos los colores representados) naturalmente, el orden puede ser bastante diferente. Finalmente, el color de la segunda columna en cada fila que tiene todos los colores (incluido el negro) Nunca aparece en la tercera columna (la de los cuadrados) esto corresponde al hecho de que una raíz primitiva no puede ser un residuo cuadrático.

Pruébelo de forma interactiva hasta que la conexión entre los hechos conocidos y el patrón gráfico parezca plausible.

Estas observaciones pueden no parecer tan interesantes, pero valdrán la pena en la siguiente sección obtendremos un criterio crucial para informática residuos cuadráticos observando un patrón similar!


Campos de Galois

2.8.1.2 Ejemplo: caracteres aditivos de F 3

La tabla 2.28 da todos los caracteres aditivos χy(X) del campo de Galois F 3 en términos de potencias de la raíz primitiva de unidad (de orden 3)

Cuadro 2.28. Caracteres aditivos del campo de Galois F 3 : el carácter en la intersección de la línea χy y la columna x es χ y x = e yo 2 π 3 x y = ω x y dónde ω = mi yo 2 π 3

La tabla está dispuesta en un formato que recuerda al de la tabla de las tres representaciones irreductibles del grupo cíclico. C3 isomorfo al grupo aditivo (F 3, +). Tenga en cuenta que el vector χ2 es el conjugado complejo del vector χ1.


5: Raíces primitivas y residuos cuadráticos - Matemáticas

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ISSN 1088-6842 (en línea) ISSN 0025-5718 (impreso)

No residuos cuadráticos que no son raíces primitivas


Autores: Tamiru Jarso y Tim Trudgian
Diario: Matemáticas. Comp. 88 (2019), 1251-1260
MSC (2010): Primaria 11A07 Secundaria 11N35, 11N69
DOI: https://doi.org/10.1090/mcom/3378
Publicado electrónicamente: 6 de septiembre de 2018
Revisión de MathSciNet: 3904145
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Resumen: Demostramos que cualquier primo $ p $ que satisfaga $ phi (p-1) leq (p-1) / 4 $ contiene dos no residuos cuadráticos consecutivos módulo $ p $ ninguno de los cuales es una raíz primitiva módulo $ p PS Esto mejora los resultados de Luca et al. y Gun et al.

  • Stephen D. Cohen, Tomás Oliveira e Silva y Tim Trudgian, Sobre elementos primitivos consecutivos en un campo finito, Toro. Lond. Matemáticas. Soc. 47 (2015), no. 3, 418–426. SEÑOR 3354437, DOI https://doi.org/10.1112/blms/bdv018
  • S. Gun, Florian Luca, P. Rath, B. Sahu y R. Thangadurai, Distribución de residuos módulo $ p $, Acta Arith. 129 (2007), no. 4, 325–333. SEÑOR 2346107, DOI https://doi.org/10.4064/aa129-4-3
  • S. Gun, B. Ramakrishnan, B. Sahu y R. Thangadurai, Distribución de no residuos cuadráticos que no son raíces primitivas, Matemáticas. Bohem. 130 (2005), no. 4, 387–396. SEÑOR 2182384
  • Florian Luca, Igor E. Shparlinski y R. Thangadurai, No residuos cuadráticos versus raíces primitivas módulo $ p $, J. Ramanujan Math. Soc. 23 (2008), no. 1, 97-104. SEÑOR 2410523
  • Kevin McGown, Enrique Treviño y Tim Trudgian, Resolviendo la conjetura de Grosswald sobre GRH, Funct. Aprox. Comentario. Matemáticas. 55 (2016), no. 2, 215-225. SEÑOR 3584569, DOI https://doi.org/10.7169/facm/2016.55.2.5
  • Guy Robin, Estimación de la fonction de Tchebychef $ theta $ sur le $ k $ -ième nombre premier et grandes valeurs de la fonction $ omega (n) $ nombre de diviseurs premiers de $ n $, Acta Arith. 42 (1983), no. 4, 367–389 (francés). SEÑOR 736719, DOI https://doi.org/10.4064/aa-42-4-367-389
  • J. Barkley Rosser y Lowell Schoenfeld, Fórmulas aproximadas para algunas funciones de números primos, Illinois J. Math. 6 (1962), 64–94. SEÑOR 137689
    Referencias
  • Stephen D. Cohen, Tomás Oliveira e Silva y Tim Trudgian, Sobre elementos primitivos consecutivos en un campo finito, Toro. Lond. Matemáticas. Soc. 47 (2015), no. 3, 418–426. SEÑOR 3354437, DOI https://doi.org/10.1112/blms/bdv018
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  • Guy Robin, Estimación de la fonction de Tchebychef $ theta $ sur le $ k $ -ième nombre premier et grandes valeurs de la fonction $ omega (n) $ nombre de diviseurs premiers de $ n $, Acta Arith. 42 (1983), núm. 4, 367–389 (francés). SEÑOR 736719, DOI https://doi.org/10.4064/aa-42-4-367-389
  • J. Barkley Rosser y Lowell Schoenfeld, Fórmulas aproximadas para algunas funciones de números primos, Illinois J. Math. 6 (1962), 64–94. SEÑOR 0137689

Recuperar artículos en Matemáticas de la Computación con MSC (2010): 11A07, 11N35, 11N69

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Tamiru Jarso
Afiliación: Instituto de Ciencias Matemáticas, Universidad Nacional de Australia, ACT 0200, Australia
Correo electrónico: [email protected]

Tim Trudgian
Afiliación: Facultad de Ciencias Físicas, Ambientales y Matemáticas, UNSW Canberra, Australia
MR ID de autor: 909247
Correo electrónico: [email protected]

Recibido por editor (es): 11 de octubre de 2017
Recibido por los editores en forma revisada: 8 de marzo de 2018
Publicado electrónicamente: 6 de septiembre de 2018
Notas adicionales: El segundo autor recibió el apoyo de la beca Future Fellowship FT160100094 del Australian Research Council.
Copyright del artículo: & copy Copyright 2018 American Mathematical Society


Manual de álgebra

Henk C.A. van Tilborg, en Handbook of Algebra, 1996

Definición 3.7

Dejar norte ser un primo tal que norte ≡ ± 1 (mod 8) y deje QR y NQR denotar el conjunto de residuos cuadráticos resp. módulo cuadrático de no residuos norte (2 está en QR, entonces QR y NQR se cierran al multiplicar por 2).

Entonces los códigos cíclicos binarios de longitud norte con conjunto de definición QR resp. QR ∪ <0> son ambos llamados códigos de residuos cuadráticos (para abreviar QR códigos).

donde α es un primitivo norte-ésima raíz de la unidad. Luego x n - 1 factor en (X − 1)q(X)norte(X). Claramente, la dimensión de los dos códigos QR es (norte + 1) / 2 resp. (norte - 1) / 2. Antes de dar límites a la distancia mínima, se derivará una propiedad diferente de los códigos QR. Para ello, las coordenadas del código QR serán indexadas por los elementos en GF (n) y la coordenada adicional en el código extendido por ∞. Que el código QR es invariante bajo el cambio cíclico. S: xX + 1 es obvio. Con un poco más de trabajo, también se puede demostrar que el código QR extendido es invariante bajo el mapeo T: x → −X −1. Juntas, estas dos permutaciones de coordenadas generan el grupo lineal especial proyectivo PSL(2,norte), que consta de todos los mapas X → (hacha +B)/(cx + D) con anuncioantes de Cristo = 1.


Raíces primitivas - Álgebra, CSIR-NET Ciencias matemáticas Notas de matemáticas | EduRev

Sea un entero positivo. A raíz primitiva mod n es un número entero g tal que todo entero relativamente primo an es congruente con una potencia de g mod n. Es decir, el entero g es una raíz primitiva (mod n) si para cada número un primo relativo an hay un entero z tal que a ≡ (g z (mod n)).

2 es una raíz primitiva mod 5, porque para cada número, un primo relativo a 5 hay un. 2 z ≡ a. Todos los números relativamente primos de 5 son 1, 2, 3, 4, y cada uno de estos (mod 5) es en sí mismo (por ejemplo, 2 (mod 5) = 2).

4 no es una raíz primitiva mod 5, porque para cada número primo relativo a 5 (nuevamente: 1, 2, 3, 4) no hay una potencia de 4 que sea congruente. Las potencias de 4 (mod 5) solo son congruentes con 1 o 4. No hay potencia de 4 que sea congruente con 2 o 3.

Cuando existen raíces primitivas, a menudo es muy conveniente usarlas en demostraciones y construcciones explícitas, por ejemplo, si p es un primo impar yg es una raíz primitiva mod p, los residuos cuadráticos mod p son precisamente las potencias pares de la raíz primitiva. . Las raíces primitivas también son importantes en aplicaciones criptológicas que involucran el problema del registro discreto, más notablemente el protocolo de intercambio de claves Diffie-Hellman.

Terminología y definición formal

Entonces Z *norte tiene φ (n) elementos, donde φ es la función totiente de Euler.

A raíz primitiva mod n es un elemento g ∈ Z *norte cuyos poderes generan todo Z *norte. Es decir, cada elemento b ∈ Z *norte se puede escribir como g x mod n, para algún número entero x.

Antecedentes y motivación

El conjunto tiene una propiedad importante: es cerrado bajo multiplicación mod n. Es decir, si y c es el número entero positivo menor que n que es congruente con ab mod n, entonces también. Esto se debe a que ab y n no tienen un factor común (por factorización única), por lo que c y n tampoco tienen un factor común (porque si d | c y d | n, entonces d | ab también, porque ab = c + nx algún entero x)

Esta propiedad, junto con otras propiedades básicas de la multiplicación mod n, implica que es un grupo bajo multiplicación.

Para cualquier elemento a ∈ Z *norte, considere la secuencia de sus poderes . Todos los poderes de a están en el conjunto finito , entonces la secuencia de potencias a de se repite eventualmente. De hecho, el teorema de Euler implica que se repite con un período

Entonces, otra caracterización de las raíces primitivas en términos de esta secuencia es: Las raíces primitivas son los elementos para lo cual la secuencia de poderes de a tiene mínimo período

Las potencias de 1 son 1,1,1. El orden de 1 es 1.

Las potencias de 2 son 2,4,8,7,5,1. El orden de 2 es 6.

Las potencias de 4 son 4,7,1. El orden de 4 es 3.

Las potencias de 5 son 5,7,8,4,2,1. El orden de 5 es 6.

Las potencias de 7 son 7,4,1. El orden de 7 es 3.

Las potencias de 8 son 8,1. El orden de 8 es 2.

Entonces, las raíces primitivas mod 9 son 2 y 5.

Existencia de raíces primitivas

Las raíces primitivas no existen necesariamente mod n para cualquier n. Aquí hay una clasificación completa:

Hay raíces primitivas mod n si y solo si n = 1,2,4, p k o 2p k donde p es un primo impar.

Encontrar raíces primitivas

La demostración del teorema (parte del cual se presenta a continuación) es esencialmente no constructiva: es decir, no proporciona una forma efectiva de encontrar una raíz primitiva cuando existe. Una vez que se ha encontrado una raíz primitiva g, las otras son fáciles de construir: simplemente tome las potencias g a donde a es relativamente primo a Pero encontrar una raíz primitiva de manera eficiente es un problema computacional difícil en general.

Hay algunos casos especiales en los que es más fácil encontrarlos, por ejemplo:

Suponga que p es un primo tal que 2p + 1 también es primo. (Tales p se llaman Sophie Germain primos.) Muestre que si p ≡ 1 mod 4, entonces 2 es una raíz primitiva mod 2p +1.

Solución: El punto es que la lista de posibles órdenes de elementos de es muy corto: el orden de 2 divide entonces es o No puede ser 1 o 2, por lo que solo debemos descartar P. Pero es el símbolo de Legendre, esto es según el criterio de Euler. Pero por el segundo suplemento a la reciprocidad cuadrática,

Entonces, la única posibilidad restante es que el orden de 2 mod 2p +1 sea 2p.

Por ejemplo, esto muestra que 2 es un mod 83 de raíz primitiva.

Aplicaciones

Cuando hay una raíz primitiva g mod n, los elementos de Z *norte Se puede escribir como Multiplicar dos elementos corresponde a sumar sus exponentes mod Es decir, la aritmética multiplicativa en Z *norte se reduce a aritmética aditiva en

Sea k un número entero y p un número primo impar. ¿Cuántas potencias k-ésimas distintas de cero hay mod p?

Ciertamente, la pregunta depende de la relación entre k y p. Cuando k = 2 la respuesta es p-1/2 (ver residuos cuadráticos), pero cuando k = p - 1 la respuesta es 1 (según el pequeño teorema de Fermat).

Como ilustración, tome Entonces es fácil comprobar que g = 2 es una raíz primitiva mod p. Los novenos poderes mod p son pero podemos considerar los exponentes mod 12 porque Entonces obtenemos

así que hay cuatro novena potencias mod 13. Los exponentes son múltiplos de 3, que es mcd. (9,13 -1). Hay 13 - 1/3 = 4 de estos.

En general, dado que todo elemento distinto de cero de Zpag se puede escribir como g a mod p para algún número entero x, la ecuación x k ≡ y mod p se puede reescribir mod p. Como g es una raíz primitiva, esto sucede si y solo si

Entonces la pregunta es: como rangos sobre Zp-1, ¿cuántos valores puede tomar ak mod p-1? De hecho, el algoritmo euclidiano extendido implica que es el conjunto de múltiplos de mcd

Hay exactamente

tales valores, así que esta es la respuesta.

Aquí hay otro problema en el que puede ayudar escribir los elementos de Z *pag como poderes de una raíz primitiva.

Prueba parcial del teorema

La mitad de este teorema no es difícil de probar: suponga donde ayb son primos relativos y & gt 3. Suponga que x es primo relativo de ab. Entonces desde mod a y mod b, se sigue que

Pero son pares, por lo que su mcm es estrictamente menor que su producto. Entonces el orden de x es estrictamente menor que Entonces no hay un mod ab de raíz primitivo.

Los únicos n que no se pueden escribir de esta manera son y potencias superiores de 2. Pero para cualquier x impar,

que puede ser probado por el lema LTE (o por inducción). Desde no hay un mod de raíz primitivo

Algunas de las pruebas de la otra dirección se pueden encontrar en la wiki sobre pedidos.


5: Raíces primitivas y residuos cuadráticos - Matemáticas

Si hay un entero tal que

entonces se dice que es un residuo cuadrático (mod). Si no es así, se dice que es un no residuo cuadrático (mod). Por ejemplo, entonces 6 es un residuo cuadrático (mod 10). El conjunto completo de residuos cuadráticos (mod 10) está dado por 1, 4, 5, 6 y 9, ya que

haciendo de los números 2, 3, 7 y 8 los no residuos cuadráticos (mod 10).

A continuación se proporciona una lista de residuos cuadráticos para (A046071 de Sloane), y los números que no están en la lista son no residuos cuadráticos de.

Residuos cuadráticos
1 (ninguno)
2 1
3 1
4 1
5 1, 4
6 1, 3, 4
7 1, 2, 4
8 1, 4
9 1, 4, 7
10 1, 4, 5, 6, 9
11 1, 3, 4, 5, 9
12 1, 4, 9
13 1, 3, 4, 9, 10, 12
14 1, 2, 4, 7, 8, 9, 11
15 1, 4, 6, 9, 10
16 1, 4, 9
17 1, 2, 4, 8, 9, 13, 15, 16
18 1, 4, 7, 9, 10, 13, 16
19 1, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 16, 17
20 1, 4, 5, 9, 16

Dado un primo impar y un entero, entonces el símbolo de Legendre viene dado por

entonces es un residuo cuadrático (+) o no residuo (). Esto se puede ver ya que si es un residuo cuadrático de, entonces existe un cuadrado tal que, entonces

y es congruente con 1 (mod) según el pequeño teorema de Fermat. es dado por

De manera más general, sea un módulo de residuo cuadrático un primo impar. Elija tal que el símbolo de Legendre. Luego definiendo

y una solución a la congruencia cuadrática es

La siguiente tabla muestra los Primes que tienen un número dado como residuo cuadrático.

Hallar la fracción continua de una raíz cuadrada y usar la relación

Por lo tanto, es un residuo cuadrático de. Pero dado que, es un residuo cuadrático, como debe ser. Pero dado que es un residuo cuadrático, también lo es, y vemos que todos son residuos cuadráticos de. No se garantiza que este método produzca todos los residuos cuadráticos, pero a menudo puede producir varios pequeños en el caso de los grandes, lo que permite factorizarlos.

El número de cuadrados en está relacionado con el número de residuos cuadráticos en por

Burton, D. M. Teoría de números elemental, 4ª ed. Nueva York: McGraw-Hill, pág. 201, 1997.

Courant, R. y Robbins, H. `` Residuos cuadráticos ''. & # 1672.3 en Suplemento al Cap. 1 en ¿Qué son las matemáticas ?: Un enfoque elemental de ideas y métodos, 2ª ed. Oxford, Inglaterra: Oxford University Press, págs. 38-40, 1996.

Guy, R. K. `` Residuos cuadráticos. Conjetura de Schur '' y `` Patrones de residuos cuadráticos ''. & # 167 F5 y F6 en Problemas no resueltos en teoría de números, 2a ed. Nueva York: Springer-Verlag, págs. 244-248, 1994.

Niven, I. y Zuckerman, H. Introducción a la teoría de los números, 4ª ed. Nueva York: Wiley, pág. 84, 1980.

Sloane, N. J. A. Secuencia A046071 en `` La versión en línea de la enciclopedia de secuencias de enteros ''. Http://www.research.att.com/

Stangl, W. D. `` Contando cuadrados en ''. Matemáticas. revista 69, 285-289, 1996.

Wagon, S. `` Residuos cuadráticos ''. & # 1679.2 en Mathematica en acción. Nueva York: W. H. Freeman, págs. 292-296, 1991.


2. El siguiente programa elevará al cuadrado cada número del conjunto <1,2,3 18> y reducirá el cuadrado mod 19. Esto dará como resultado una lista de los residuos cuadráticos mod 19.

para k de 1 a 18 hacer

3. Regrese a la tabla de la parte uno y encierre en un círculo las potencias de 2 que son residuos cuadráticos. ¿A qué potencias corresponden los residuos cuadráticos? ____________________

4. Teorema de Sea p un primo y (a, p) = 1. Entonces la congruencia tiene (n, p-1) o no tiene soluciones. Tiene (n, p-1) soluciones si y ninguna solución de lo contrario.

Usando este teorema, responda las siguientes preguntas. ¿Cuántas soluciones hay para? ________.

Cuales son las soluciones? ___________.

Verifique la condición de congruencia al final del teorema. Es decir, calcule (p-1) / (n, p-1) y eleve 6 a esa potencia (mod 19). _________________

5. Modifique el Programa B para encontrar todos los residuos cúbicos (potencia tres) mod 19.

Residuos cúbicos (mod 19) _______________________________

Comprueba las potencias de 2 de nuevo. ¿A qué potencias corresponden los residuos cúbicos? __________________________

8 es un residuo cúbico. Usando el teorema, ¿cuántas soluciones hay? ________ ¿Cuáles son las soluciones? ____________


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