Artículos

4.3: La función de Mobius y la fórmula de inversión de Mobius - Matemáticas


Comenzamos por definir la función de Mobius que investiga los números enteros en términos de su descomposición prima. Luego determinamos la fórmula de inversión de Mobius que determina los valores de la función a (f ) en un número entero dado en términos de su función sumatoria.

( mu (n) = left { begin {array} {lcr} 1 mbox {if} n = 1; (-1) ^ t mbox {if } n = p_1p_2 ... p_t mbox {donde} p_i mbox {son números primos distintos}; 0 mbox {de lo contrario}. end {matriz} derecho .)

Tenga en cuenta que si (n ) es divisible por una potencia de un primo mayor que uno, entonces ( mu (n) = 0 ).

En relación con la definición anterior, tenemos lo siguiente

Se dice que un entero (n ) es libre de cuadrados, si ningún cuadrado lo divide, es decir, si no existe un número entero (k ) tal que (k ^ 2 mid n ).

Es inmediato (prueba como ejercicio) que la factorización de números primos de un entero libre de cuadrados contiene solo primos distintos.

Observe que ( mu (1) = 1 ), ( mu (2) = - 1 ), ( mu (3) = - 1 ) y ( mu (4) = 0 ).

Ahora probamos que ( mu (n) ) es una función multiplicativa.

La función de Mobius ( mu (n) ) es multiplicativa.

Sean (m ) y (n ) dos enteros primos relativos. Tenemos que demostrar que [ mu (mn) = mu (m) mu (n). ] Si (m = n = 1 ), entonces la igualdad se cumple. Además, sin pérdida de generalidad, si (m = 1 ), entonces la igualdad también es obvia. Ahora suponga que (m ) o (n ) es divisible por una potencia prima mayor que 1, entonces [ mu (mn) = 0 = mu (m) mu (n). ] ¿Qué Queda por demostrar que si (m ) y (n ) son enteros libres de cuadrados, digamos (m = p_1p_2 ... p_s ) donde (p_1, p_2, ..., p_s ) son primos distintos y (n = q_1q_2 ... q_t ) donde (q_1, q_2, ..., q_t ). Dado que ((m, n) = 1 ), entonces no hay números primos comunes en la descomposición de los primos entre (m ) y (n ). Entonces [ mu (m) = (- 1) ^ s, mu (n) = (- 1) ^ t mbox {y} mu (mn) = (- 1) ^ {s + t }. ]

En el siguiente teorema, probamos que la función sumatoria de la función de Mobius toma solo los valores (0 ) o (1 ).

Deje (F (n) = sum_ {d mid n} mu (d) ), entonces (F (n) ) satisface [F (n) = left { begin {array} {lcr} 1 mbox {if} n = 1; 0 mbox {if} n> 1. end {array} right. ]

Para (n = 1 ), tenemos (F (1) = mu (1) = 1 ). Busquemos ahora ( mu (p ^ k) ) para cualquier entero (k> 0 ). Observa que [F (p ^ k) = mu (1) + mu (p) + ... + mu (p ^ k) = 1 + (- 1) +0 + ... + 0 = 0 ] Por lo tanto, según el teorema 36, ​​para cualquier número entero (n = p_1 ^ {a_1} p_2 ^ {a_2} ... p_t ^ {a_t}> 1 ) tenemos, [F (n) = F (p_1 ^ {a_1}) F (p_2 ^ {a_2}) ... F (p_t ^ {a_t}) = 0 ]

Ahora definimos la fórmula de inversión de Mobius. La fórmula de inversión de Mobius expresa los valores de (f ) en términos de su función sumatoria de (f ).

Suponga que (f ) es una función aritmética y suponga que (F ) es su función sumatoria, entonces para todos los enteros positivos (n ) tenemos [f (n) = sum_ {d mid n } mu (d) F (n / d). ]

Tenemos [ begin {alineado} sum_ {d mid n} mu (d) F (n / d) & = & sum_ {d mid n} mu (d) sum_ {e mid (n / d)} f (e) & = & sum_ {d mid n} sum_ {e mid (n / d)} mu (d) f (e) & = & sum_ {e mid n} sum_ {d mid (n / e)} mu (d) f (e) & = & sum_ {e mid n} f (e) sum_ {d mid (n / d)} mu (d) end {alineado} ] Observe que ( sum_ {d mid (n / e)} mu (d) = 0 ) a menos que (n / e = 1 ) y así (e = n ). En consecuencia, obtenemos [ sum_ {e mid n} f (e) sum_ {d mid (n / d)} mu (d) = f (n) .1 = f (n). ]

Un buen ejemplo de una fórmula de inversión de Mobius sería la inversión de ( sigma (n) ) y ( tau (n) ). Estas dos funciones son las funciones sumatorias de (f (n) = n ) y (f (n) = 1 ) respectivamente. Así obtenemos [n = sum_ {d mid n} mu (n / d) sigma (d) ] y [1 = sum_ {d mid n} mu (n / d) tau (d). ]

Ejercicios

  1. Encuentra ( mu (12) ), ( mu (10!) ) Y ( mu (105) ).
  2. Encuentra el valor de ( mu (n) ) para cada entero (n ) con (100 leq n leq 110 ).
  3. Usa la fórmula de inversión de Mobius y la identidad (n = sum_ {d mid n} phi (n / d) ) para mostrar que ( phi (p ^ t) = p ^ tp ^ {t-1 } ) donde (p ) es un número primo y (t ) es un número entero positivo.

Teoría de números: en contexto e interactiva

Sin embargo, hay un lado más serio de la panoplia de nuevas funciones. Esta es nuestra clave para las funciones aritméticas. Ahora volveremos al álgebra, con el objetivo de generalizar el resultado de Moebius.

Subsección 23.4.1 El monoide de funciones aritméticas

Definición 23.4.1.

A es un conjunto con multiplicación (una operación) que tiene identidad, es asociativo y conmutativo.

Puede pensar en un monoide conmutativo como un grupo abeliano sin requerir inversas. (Eso significa que no es necesariamente un grupo, aunque podría ser ver la Definición 8.3.3).

Teorema 23.4.2.

Sea (A ) el conjunto de todas las funciones aritméticas. Entonces ( star ) convierte el conjunto (A ) en un monoide conmutativo.

Prueba.

La función (I (n) text <,> ) que es igual a cero excepto cuando (n = 1 text <,> ) juega el papel de identidad. Entonces habría que probar las siguientes tres afirmaciones.

((f estrella g) estrella h = f estrella (g estrella h) )

Incluimos una de las pruebas. Los otros son similares; consulte el ejercicio 23.5.2. Tenga en cuenta que para el segundo, se puede utilizar el hecho de que (dc = n, ab = d ) implica (abc = n text <.> )

¿Puedes pensar en otros monoides conmutativos? ¿Qué conjuntos tienen una operación y una identidad, pero no inversa?

Subsección 23.4.2 Incorporación de la estructura del grupo

Profundicemos en la estructura algebraica detrás de la operación ( star ). Recuerde, (f star g ) se define por

¡Esta estructura es tan ordenada porque en realidad nos permite generalizar la idea detrás de la función de Moebius!

Teorema 23.4.3.

Si (f ) es una función aritmética y (f (1) neq 0 text <,> ) entonces (f ) tiene una inversa en el conjunto (A ) bajo la operación ( star text <.> ) A esto lo llamamos inverso (f ^ <-1> text <.> ) Está dado por la siguiente definición recursiva:

Prueba.

Como ocurre con todos los mejores teoremas, realmente no hay nada que demostrar. Las definiciones de (n & gt1 ) son formas equivalentes de representar lo mismo. Siempre podemos obtener el siguiente valor de (f ^ <-1> (n) ) conociendo (f ^ <-1> (d) ) para (d mid n text <,> ) y eso es suficiente para una prueba de inducción, ya que tenemos una fórmula dada para (f ^ <-1> (1) text <.> ) (Ver Ejercicio 23.5.9)

Corolario 23.4.4.

Esto se puede usar inmediatamente para mostrar que la función de Moebius ( mu ) es ( mu = u ^ <-1> ) (y por lo tanto (u = mu ^ <-1> )).

Corolario 23.4.5.

Dado que ( omega (1) = 0 text <,> ) la función ( omega ) no tiene inversa.

Este es un buen momento para tratar de averiguar cuál es el inverso de (N ) o ( phi ) con papel y lapiz. Ver Ejercicios Ejercicio 23.5.4 y Ejercicio 23.5.5.

En general, también podemos decir que

También hay otra implicación, más teórica, que se remonta a la Sección 8.3.

Corolario 23.4.6.

El subconjunto de (A ) que consta de todas las funciones aritméticas con (f (1) neq 0 ) es en realidad un grupo.

Observación 23.4.7.

Gran parte de este capítulo se realiza de forma ligeramente diferente en los libros introductorios, a un nivel similar. Para un relato de alto nivel pero útil y legible de la teoría del anillo de funciones aritméticas (incluidas valoraciones y derivaciones), véase [C.2.8, Capítulos 3 y 4]. Para buenos ejercicios ver [C.4.6, Capítulo 2] o [C.2.9, Capítulo 2] por ejemplo, este último pide identificar los idempotentes de (A text <.> )

Subsección 23.4.3 Más dividendos de la estructura

Esta nueva forma de ver las cosas produce una gran cantidad de información inmediata sobre funciones aritméticas. Los siguientes resultados producirán dividendos sobre la teoría de números y el análisis / cálculo (¡no, no lo hemos olvidado!) En el próximo capítulo sobre Sumas y productos infinitos.

Hecho 23.4.8.

La fórmula de inversión de Moebius de que si (f = g star u ) entonces (g = f star mu ) se puede demostrar de manera concisa por

(No necesitamos paréntesis, ya que ( star ) es asociativo).

Hecho 23.4.9.

Por el contrario, si (g = f star mu text <,> ) entonces

entonces la fórmula de inversión es verdadera en ambas direcciones.

Proposición 23.4.10.

Si (g ) y (h ) son multiplicativos, entonces (f = g star h ) también es multiplicativo.

Prueba.

El siguiente resultado tiene una larga prueba, pero la mayor parte sigue las definiciones y realiza un seguimiento cuidadoso de los índices. Ver [C.2.1, Ejercicio 8.20] o [C.2.13, Capítulo 5.3] para enfoques similares.

Proposición 23.4.11.

Si (f ) es multiplicativo y (f (1) neq 0 text <,> ) entonces (f ^ <-1> ) también es multiplicativo.

Prueba.

Básicamente, esto se puede hacer por inducción, pero cada paso es algo complicado, por lo que dividiremos esto en varios lemas. En todo momento, recuerde que la inversa se define por

y, para (n & gt1 text <,> ) la condición

Primero, en el Lema 23.4.12 mostraremos que (f ^ <-1> (1) ) se comporta bien.

Entonces, asumiendo como hipótesis inductiva que (f ^ <-1> ) es multiplicativo para entradas menores que (mn text <,> ) con ( gcd (m, n) = 1 text <, > ) mostraremos en el Lema 23.4.13 que

Finalmente, en el Lema 23.4.14 mostraremos cómo reescribir esto como

que finaliza el argumento de inducción.

Lema 23.4.12.
Prueba.

Deje que el lector en el ejercicio 23.5.10 use todo lo que sabe sobre (f text <.> )

Lema 23.4.13.

Suponga que (f ^ <-1> ) es multiplicativo para entradas menores que (mn text <,> ) con ( gcd (m, n) = 1 text <.> ) Entonces

Prueba.

Suponga que (m, n & gt1 ) y coprime. Por la definición de inverso, tenemos

Por supuesto, cada función en esta expresión (tanto (f ) como (f ^ <-1> )) es multiplicativa en los valores en cuestión, con la posible excepción de (f ^ <-1> (mn ) texto <.> )

Podemos usar esto de manera efectiva porque cada sumando es para un divisor (x mid mn text <,> ) que podemos escribir como (xy = mn text <.> ) Dado que (m ) y (n ) son coprimos, tanto (x ) como (y ) son en sí mismos productos de divisores coprimos que dividen (m ) y (n ) respectivamente.

Entonces, dejemos (x = ab ) y (y = cd text <,> ) donde (a, c mid m ) y (b, d mid n text <.> ) Entonces , como todo es multiplicativo, (f ^ <-1> (x) f (y) = f ^ <-1> (a) f ^ <-1> (b) f (c) f (d) text <.> )

Dado que por el lema anterior (f (1) = 1 text <,> ) podemos restar la suma de ambos lados de la ecuación cuyo lado izquierdo es cero al comienzo de la prueba de este lema, obteniendo

Lema 23.4.14.

Bajo las mismas hipótesis que antes, (f ^ <-1> (mn) = f ^ <-1> (m) f ^ <-1> (n) text <.> )

Prueba.

Ahora escribimos todo esto en términos de cosas que ya podemos evaluar.

Si la suma en cuestión se sumara sobre cada (ab leq mn ) en lugar de (ab & ltmn text <,> ), se simplificaría fácilmente como un producto:

La suma en el Lema 23.4.13 solo carece del término con (a = m, b = n text <,> ) de hecho. Entonces

Ahora podemos volver a conectar esto con la caracterización anterior de (f ^ <-1> (mn) text <:> )

Dado que (m, n & gt1 text <,> ) las sumas individuales pueden reescribirse como

Eso significa que logramos el resultado deseado.

Finalmente, obtenemos el siguiente corolario prometido desde el comienzo del capítulo, Hecho 23.1.6.

Corolario 23.4.15.

La función ( mu ) es multiplicativa.

Prueba.

Esto se sigue ya que (u ) es multiplicativo (trivialmente) y ( mu = u ^ <-1> text <.> )


Fórmulas de inversión de Möbius para flujos de semigrupos aritméticos ☆

Definimos un operador similar a una convolución que transforma funciones en un espacio. X a través de funciones en un semigrupo aritmético S, cuando hay una acción o flujo de S en X. Este operador incluye las conocidas transformadas clásicas de Möbius y las fórmulas de inversión asociadas como casos especiales. Se define en un contexto suficientemente general como para enfatizar los aspectos universales y funcionales de la inversión aritmética de Möbius. Damos condiciones analíticas generales que garantizan la existencia de la transformada y la validez de las correspondientes fórmulas de inversión, en términos de operadores en determinados espacios funcionales. Se estudian varios ejemplos que ilustran las ventajas del punto de vista convolucional para obtener nuevas fórmulas de inversión.


Fórmulas de inversión de Möbius relacionadas con las expansiones de Fourier de polinomios bidimensionales Apostol-Bernoulli

Los polinomios bidimensionales (2D) Apostol – Bernoulli y Apostol – Euler se definen mediante las funciones generadoras t e x t + y t m λ e t - 1 = ∑ n = 0 ∞ B n (x, y λ) t n n! , 2 e x t + y t metro λ e t + 1 = ∑ norte = 0 ∞ E norte (x, y λ) t norte norte! . Los polinomios Apostol-Bernoulli y Apostol-Euler son esencialmente los mismos que las familias polinomiales parametrizadas, por lo que podemos restringirnos a esta última.

Los coeficientes de Fourier de x ↦ λ x B n (x, y λ) en [0, 1) satisfacen una fórmula de transformación aritmética-dinámica que hace que la serie de Fourier sea susceptible de una técnica de inversión de Möbius generalizada. Esto produce algunas identidades de suma aritmética interesantes, entre ellas versiones parametrizadas de la siguiente fórmula clásica conocida de Davenport: ∑ k = 1 ∞ μ (k) k = - sin ⁡ (2 π x) π (x ∈ R ), donde μ (n) es la función de Möbius y denota la parte fraccionaria de X. La fórmula de Davenport & # x27s es el caso límite α = 0 de - 4 π 4 π 2 - α 2 sin ⁡ (2 π x) = ∑ k = 1 ∞ μ (k) k ⋅ sin ⁡ (α k ( - 1 2)) 2 sin ⁡ (α 2 k), que es válido para - π & lt α ≤ π.


Espacios de descomposición, álgebras de incidencia e inversión de Möbius III: El espacio de descomposición de los intervalos de Möbius ☆

Los espacios de descomposición son ∞-grupoides simpliciales sujetos a una cierta condición de exactitud, necesaria para inducir una estructura de coalgebra en el espacio de las flechas. Los functores conservadores ULF (CULF) entre espacios de descomposición inducen homomorfismos de coalgebra. Condiciones de finitud agregadas adecuadas definen la noción de espacio de descomposición de Möbius, una generalización de gran alcance de la noción de categoría de Möbius de Leroux. En este artículo, mostramos que el álgebra de Lawvere-Menni Hopf de los intervalos de Möbius, que contiene la función universal de Möbius (pero no es inducida por una categoría de Möbius), se puede realizar como la cardinalidad de homotopía de un espacio de descomposición de Möbius U de todos los intervalos de Moebius, y que en cierto sentido U es universal para espacios de descomposición de Möbius y functores CULF.


Tenga en cuenta que la condición de completitud de Rezk, que (s_0: X_0 rightarrow X_1 ) induce una equivalencia en el subespacio de equivalencias, que es la condición de completitud habitual en la teoría de los espacios de Segal, implica la condición de completitud presente para el espacio de descomposición.

Aguiar, M., Bergeron, N., Sottile, F .: Álgebras de Hopf combinatorias y relaciones de Dehn-Sommerville generalizadas. Compos. Matemáticas. 142(1), 1–30 (2006)

Bergner, J.E., Osorno, A.M., Ozornova, V., Rovelli, M., Scheimbauer, C.I .: 2-Segal sets and the Waldhausen construction. Topol. Apl. 235, 445–484 (2018)

Carlier, L .: Bicomódulos de incidencia, inversión de Möbius y una fórmula de Rota para adjunciones infinitas. Algebr. Geometr. Topol. 20, 169–213 (2020)

Cartier, P. y Foata, D .: Problèmes combinatoires de commutation et réarrangements. Notas de clase en matemáticas, No. 85. Springer-Verlag, Berlín – Nueva York, (1969)

Dyckerhoff, T. y Kapranov, M .: Espacios Segal superiores I. Volumen 2244 de Notas de clase en matemáticas. Springer, (2019)

Feller, M., Garner, R., Kock, J., Proulx, M.U., Weber, M .: Cada espacio de 2-Segal es unital. Comun. Desprecio. Matemáticas. 23, 2050055 (2021)

Gálvez-Carrillo, I., Kock, J., Tonks, A .: Fórmulas de Groupoids y Faá di Bruno para funciones de Green en bialgebras de árboles. Adv. Matemáticas. 254, 79–117 (2018)

Gálvez-Carrillo, I., Kock, J., Tonks, A .: Espacios de descomposición, álgebras de incidencia e inversión de Möbius I: teoría básica. Adv. Matemáticas. 331, 952–1015 (2018)

Gálvez-Carrillo, I., Kock, J., Tonks, A .: Espacios de descomposición, álgebras de incidencia e inversión de Möbius II: completitud, filtración de longitud y finitud. Adv. Matemáticas. 333, 1242–1292 (2018)

Gálvez-Carrillo, I., Kock, J., Tonks, A .: Espacios de descomposición y especies de restricción. En t. Matemáticas. Res. No. 7558–7616, 2020 (2020)

Gálvez-Carrillo, I., Kock, J., y Tonks, A .: Espacios de descomposición en combinatoria. Preimpresión, arXiv: 1612.09225

Illusie, L .: Complexe cotangent et déformations II. Lecture Notes in Mathematics, vol. 283. Springer, Berlín (1972)

Joyal, A., Tierney, M .: Cuasi-categorías vs espacios Segal. Desprecio. Matemáticas. 431, 277–326 (2007)

Kock, J .: Categorificación de álgebras de Hopf de árboles enraizados. Eur. Central J. Math. 11(3), 401–422 (2013)

Kock, J., Weber, M .: Faá di Bruno para operadas y álgebras internas. J. Lond. Matemáticas. Soc. 99, 919–944 (2019)

Leroux, P .: Les catégories de Möbius. Cahiers de topologie et géométrie différentielle 16, 280–282 (1975)

Penney, M. D .: espacios simples, álgebras laxas y la condición 2-Segal. Preimpresión, arxiv: 1710.02742

Rota, G.-C .: Sobre los fundamentos de la teoría combinatoria I. Teoría de las funciones de Möbius. Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete 2, 340–368 (1964)

Schmitt, W.R .: Álgebras de Hopf de estructuras combinatorias. Lata. J. Math. 45, 412–428 (1993)


2 respuestas 2

Considere los conjuntos de cuádruples de enteros $ Q (n) = <(i, j, k, l): 1 leqslant i & ltj & ltk & ltl leqslant n >, Q (n, d) = <(i, j , k, l) in Q (n): gcd (i, j, k, l) = d > $ por $ 1 leqslant d leqslant n $. Claramente tenemos $ | Q (n) | = binom<4>, quad Q (n) = bigcup_^Q (n, d), quad Q (n, d) = dQ ( lfloor n / d rfloor, 1) $ (donde, para el último, $ d (i, j, k, l): = (di, dj, dk, dl) $ y $ dS: = $ se asumen).

Esto significa que si $ F (n) = | Q (n, 1) | $, entonces $ | Q (n, d) | = F ( lfloor n / d rfloor) $ y $ color< sum_^F ( lfloor n / d rfloor) = binom<4>> quad implica quad F (n) = sum_^ mu (d) binom < lfloor n / d rfloor> <4> $ por inversión de Möbius. La suma que necesitamos es $ S (n) = sum limits_^d ^ 4 F ( lpiso n / d rpiso) $. Para calcularlo, uno puede evitar el cálculo de $ mu $, usando la ecuación "azul" anterior como una recurrencia para $ F (n) $, y agrupando términos con igual $ lfloor n / d rfloor $ (aquí están mis respuestas también sugieren esto: 1, 2, 3).


Sobre una generalización de la función M & # 246bius de la teoría de números

Sea $ omega $ un número real positivo y defina: $ mathbf <1> _ < omega> left (n right) overset < textrm> <=> left (-1 right) ^ binom <- omega>= binom < omega-1 + n>$ para todos los enteros positivos $ n $, y sea: $ zeta _ < omega> left (s right) overset < textrm> <=> sum_^ < infty> frac < mathbf <1> _ < omega> left (n right)><>> $ Dado que $ mathbf <1> _ < omega> left (1 right) = omega & gt0 $, $ mathbf <1> _ < omega> $ posee una inversa con respecto a la convolución de Dirichlet, que denoto por $ mu _ < omega> $, con: $ sum_^ < infty> frac < mu _ < omega> left (n right)><>> = frac <1> < zeta _ < omega> left (s right)> $ Cuando $ omega = 1 $, $ mathbf <1> _ < omega> $ se convierte en la función constante $ 1 $ y $ mu _ < omega> $ se convierte en la función de Möbius de la teoría de números.

Para ser claros, esta es una solicitud de referencia: estoy buscando ver si se ha realizado algún trabajo con estas funciones. En particular, me interesa:

• Si existe algún & quot nombre oficial & quot para estas funciones, ¿cuál es?

• Expresiones de forma cerrada para $ mu _ < omega> left (n right) $ (análoga a cómo se puede calcular la función möbius en términos de los factores primos de sus entradas)

• Asintóticas / fórmulas para $ mu _ < omega> left (n right) $, $ sum_^ mu _ < omega> left (k right) $ y $ sum_ mu _ < omega> left (d right) $ como $ n rightarrow infty $.

Estoy haciendo un progreso tedioso al forzar las fórmulas a mano, pero dado que esto es solo tangencial a lo que realmente estoy trabajando, sería de mucha ayuda si resultara que alguien ya había hecho ese trabajo por mí. )


Aigner, M .: Teoría combinatoria. Springer, Nueva York (1997)

Andrews, G.E .: La teoría de las particiones. Addison-Wesley Publishing, Nueva York (1976)

Bender, E.A., Goldman, J.R .: Sobre las aplicaciones de la inversión de Möbius en el análisis combinatorio. Soy. Matemáticas. Lun. 82, 789–803 (1975)

Bogart, K ​​.: Introducción a la combinatoria. Prensa académica Harcourt, San Diego (2000)

Broder, A.Z .: Los números (r ) -Stirling. Discreto. Matemáticas. 49, 241–259 (1984)

Comtet, L .: Combinatoria avanzada: el arte de las expansiones finitas e infinitas. Springer, Nueva York (1974)

Doubilet, P .: Sobre los fundamentos de la teoría combinatoria VII. Funciones simétricas a través de la teoría de distribución y ocupación. Semental. Apl. Matemáticas. 51, 377–396 (1972)

Graham, R.L., Knuth, D.E., Patashnik, O .: Matemáticas concretas. Addison-Wesley, Nueva York (1994)

Kitaev, S .: Patrones en permutaciones y palabras, Monografías en informática teórica. Una serie EATCS. Springer, Heidelberg, xxii + 494 págs. (2011)

Kuba, M., Prodinger, H .: Una nota sobre la serie Stirling. Enteros 10, 393–406 (2010)

Merca, M .: Algoritmo rápido para generar composiciones ascendentes. J. Math. Modelo. Algoritmos 11, 89–104 (2012)

Merca, M .: Diagramas binarios para almacenar composiciones ascendentes. Computación. J. 56(11), 1320–1327 (2013)

Merca, M .: Una convolución para funciones simétricas elementales y completas. Aequat. Matemáticas. 86, 217–229 (2013)

Merca, M .: Una nota sobre los números (r ) -Whitney de las celosías Dowling. C. R. Math. Acad. Sci. París 351(16–17), 649–655 (2013)

Merca, M .: Una nueva conexión entre (r ) -Números de Whitney y polinomios de Bernoulli. Especificaciones de transformaciones integrales. Funct. 25(12), 937–942 (2014)

Merca, M .: Monomios aumentados en términos de sumas de potencia. SpringerPlus 4, 724 (2015)

Merca, M .: Nueva convolución para funciones simétricas completas y elementales. Especificaciones de transformaciones integrales. Funct. 27(12), 965–973 (2016)

Mező, I .: Sobre el máximo de (r ) -Stirling números. Adv. Apl. Matemáticas. 41(3), 293–306 (2008)

Mező, I .: Nuevas propiedades de la serie (r ) -Stirling. Acta Math. Colgado. 119, 341–358 (2008)

Rota, G.C .: Sobre los fundamentos de la teoría combinatoria I. Teoría de las funciones de Möbius. Z. Wahrsch. Verw. Gebiete 2, 340–368 (1964)

Stanley, R .: Combinatoria enumerativa, vol. 1. Cambridge University Press, Nueva York (2000)


Explicación de la lección: Transformaciones de Möbius Matemáticas

En este explicador, aprenderemos a interpretar la transformación de Möbius en el plano complejo.

Las transformaciones de Möbius forman una clase interesante de transformaciones del plano complejo. Tienen una serie de propiedades profundas y conexiones con otras áreas de las matemáticas, como la teoría de grupos, e incluso tienen una conexión profunda con la relatividad a través de las transformaciones de Lorentz. En este explicador, presentaremos las transformaciones de Möbius y consideraremos algunas de sus propiedades básicas, incluido el efecto que tienen en las líneas y círculos en el plano complejo.

Antes de considerar las transformaciones de Möbius, recapitularemos algunas de las transformaciones básicas del plano complejo.

Transformaciones básicas del plano complejo

representa una traslación por el vector

representa una dilatación por factor de escala

y una rotación en sentido antihorario sobre el origen por

Estas transformaciones tienen la propiedad de asignar líneas rectas a líneas rectas y círculos a círculos. En este explicador, consideraremos una clase más general de transformaciones que mapean círculos y líneas rectas a círculos y líneas rectas, posiblemente mapeando una línea recta a un círculo y viceversa.

Empezaremos considerando el efecto del mapa recíproco

Ejemplo 1: Transformación recíproca

Una transformación que mapea el

    Encuentra una ecuación para la imagen de

Respuesta

Para encontrar una ecuación que represente la imagen de una curva particular bajo la transformación

, y luego sustituir esto en las ecuaciones que definen la curva en particular, entonces podemos reorganizar para obtener la expresión.

Ahora podemos sustituir esto en la ecuación

Usando las propiedades del módulo, podemos reescribir esto como

Reordenando la ecuación, obtenemos

Esta es la ecuación de un círculo de radio

centrado en el origen. Podemos representar visualmente el efecto de esta transformación de la siguiente manera.

Usando las propiedades del argumento, podemos reescribir esto como

Esta es la media línea centrada en el origen que forma un ángulo de

con el eje real positivo. Podemos representar visualmente el efecto de esta transformación de la siguiente manera.

Para encontrar una ecuación cartesiana, comenzamos sustituyendo

en esta ecuación de la siguiente manera:

Multiplicando el numerador y el denominador por el complejo conjugado del denominador, podemos reescribir la fracción de la siguiente manera:

Ahora podemos manipular esta ecuación para ponerla en una forma estándar. Para hacer esto, primero multiplicamos por

a ambos lados y dividiendo por dos da

Ahora podemos completar el cuadrado en

Esto representa un círculo de radio

. Podemos visualizar el efecto de esta transformación en la línea.

Reescribiendo el tema del módulo como una sola fracción tenemos

fuera del denominador, tenemos

Ahora podemos usar las propiedades del módulo para reescribir esto como

Esta es la ecuación de un círculo. Sin embargo, para encontrar su ecuación cartesiana, necesitamos sustituir

en la ecuación de la siguiente manera:

Cuadrar ambos lados rinde

Ahora podemos usar la definición del módulo para reescribir esto como

Ampliando los paréntesis, obtenemos

Reuniendo nuestros términos similares, tenemos

Ahora dividimos entre 3, lo que nos da

Finalmente, podemos completar el cuadrado en

Esta es la ecuación de un círculo de radio

. Podemos representar visualmente el efecto de esta transformación en el círculo.

El ejemplo anterior mostró que la transformación

asigna algunas líneas a círculos y algunos círculos a círculos. Al observar detenidamente el ejemplo anterior, podemos reconstruir lo que está haciendo la transformación. La primera parte se generaliza para decirnos que la transformación mapea un círculo de radio

centrado en el origen a un círculo de radio

centrado en el origen. La segunda parte nos muestra que un rayo desde el origen se asigna a otro rayo que se ha reflejado en el eje real. La tercera parte nos muestra que las líneas que no pasan por el origen se asignan a círculos que pasan por el origen. Finalmente, la cuarta parte nos muestra que los círculos que no pasan por el origen se asignan a otros círculos. Al juntar estos hechos y recordar algo de geometría, podemos ver que la transformación es una combinación de inversión en el círculo unitario y reflexión en el eje real.

Ahora dirigimos nuestra atención a la definición general de las transformaciones de Möbius.

Las transformaciones de Möbius son las transformaciones que obtenemos al componer los siguientes tres tipos básicos de transformación en el plano complejo:


Ver el vídeo: Ejercicio 059 Transformación de Mobius Típica (Septiembre 2021).