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2.7: Teoremas y conjeturas que involucran números primos - Matemáticas


Hemos demostrado que hay infinitos números primos. La pregunta que surge naturalmente aquí es la siguiente: ¿Podemos estimar cuántos primos hay menos que un número dado? El teorema que responde a esta pregunta es el teorema de los números primos. Denotamos por ( pi (x) ) el número de primos menores que un número positivo dado (x ). Muchos matemáticos trabajaron en este teorema y conjeturaron muchas estimaciones antes de que Chebyshev finalmente declarara que la estimación es (x / log x ). El teorema de los números primos fue finalmente probado en 1896 cuando Hadamard y Poussin produjeron demostraciones independientes. Antes de enunciar el teorema de los números primos, establecemos y probamos un lema que incluye primos que se utilizará en los próximos capítulos.

Lema

Sea (p ) un primo y sea (m in mathbb {Z ^ +} ). Entonces, la potencia más alta de (p ) dividir (m! ) Es [ sum_ {i = 1} ^ infty left [ frac {m} {p ^ i} right] ]

Entre todos los enteros desde 1 hasta (m ), hay exactamente ( left [ frac {m} {p} right] ) que son divisibles por (p ). Estos son (p, 2p, ..., left [ frac {m} {p} right] p ). De manera similar, vemos que hay ( left [ frac {m} {p ^ i} right] ) números enteros que son divisibles por (p ^ i ). Como resultado, la potencia más alta de (p ) dividiendo (m! ) Es

[ sum_ {i geq 1} i left { left [ frac {m} {p ^ i} right] - left [ frac {m} {p ^ {i + 1}} derecha] derecha } = sum_ {i geq 1} izquierda [ frac {m} {p ^ i} derecha] ]

El teorema de los números primos

Deje (x> 0 ) luego [ pi (x) sim x / log x ]

Entonces este teorema dice que no necesitas encontrar todos los primos menores que (x ) para encontrar su número, será suficiente evaluar (x / log x ) para que (x ) grande para encontrar una estimación del número de primos. Observe que mencioné que (x ) tiene que ser lo suficientemente grande para poder usar esta estimación.

Se probaron varios otros teoremas relacionados con los números primos. muchos grandes matemáticos abordaron problemas relacionados con los números primos. Aún quedan muchos problemas abiertos de los que mencionaremos algunos.

Conjetura de Twin Prime

Hay infinitos pares de números primos (p ) y (p + 2 ).

Conjetura de Goldbach

Todo entero positivo par mayor que 2 se puede escribir como la suma de dos números primos.

La conjetura (n ^ 2 + 1 )

Hay infinitos números primos de la forma (n ^ 2 + 1 ), donde (n ) es un número entero positivo.

Conjetura de Polignac

Para cada número par (2n ) hay infinitos pares de primos consecutivos que difieren en (2n ).

Conjetura de Opperman

¿Siempre hay un primo entre (n ^ 2 ) y ((n + 1) ^ 2 )?


Lista de conjeturas primarias

No hay revisiones aprobadas de esta página, por lo que puede no han sido revisados.


Esta página fue creada para organizar todas las conjeturas y problemas no resueltos que involucran números primos, enumerados de mayor a menor importancia. Si se hacen conjeturas nuevas y relevantes, se pueden agregar a esta página. Si la comunidad matemática resuelve y acepta uno de los problemas, es posible que se eliminen.

[R] Bernhard Riemann, "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse", (1859) Monatsberichte der Berliner Akademie.
[T] E.C. Titchmarsh, "La teoría de la función zeta de Riemann", Oxford. Prensa Univ
[P] G. Polya, "Bemerkung ueber die Integraldarstellung der Riemannsche zeta-Funktion", Acta Math. 48 (1926), 305-317.
[B] D. Bump, K.K. Choi, P. Kurlberg, J. Vaaler, "Una hipótesis local de Riemann, Matemáticas. Zeit. 233 (2000) págs. 1-19.
[H] H. Hamburger, "Ueber die Riemannsche Funktionalgleichung der zeta-Funktion", Math. Zeit. 10 (1921), 240-254.
[V] A. Karatsuba, Voronin S., "La función Riemann Zeta, De Gruyter Exposition of Mathematics, Transl. Neil Koeblitz (1975) p212.
[F] J. Faraut, A. Koranyi, "Espacios funcionales y reproducción de núcleos en dominios simétricos delimitados, J. Funct. Un. 88 (1990) págs. 64-89.

Números primos: las cifras más misteriosas de las matemáticas, John Wiley & amp Sons, Inc., 2005, p. 13.

Westzynthius, E. (1931), "Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind", Commentationes Physico-Mathematicae Helingsfors 5: 1-37
Shanks, Daniel (1964), "On Maximal Gaps between Successive Primes", Mathematics of Computation (American Mathematical Society) 18 (88): 646–651
Granville, Andrew (1995), "Harald Cramér y la distribución de números primos"
Muy bien, Thomas R. (1999), "Nuevos espacios primos máximos y primeras apariciones", Mathematics of Computation 68 (227): 1311-1315

Thomas R. Muy bien. "La prueba de primalidad Baillie-PSW".
R. K. Guy. "Pseudoprimes. Euler Pseudoprimes. Strong Pseudoprimes". §A12 en "Problemas no resueltos en teoría de números", 2ª ed. Nueva York: Springer-Verlag, págs. 27-30, 1994.


Contenido

Dejar π(X) ser la función de conteo de primos que da el número de primos menores o iguales ax, para cualquier número real x. Por ejemplo, π(10) = 4 porque hay cuatro números primos (2, 3, 5 y 7) menores o iguales que 10. El teorema de los números primos establece que X / Iniciar sesión X es una buena aproximación a π(X) (donde log aquí significa el logaritmo natural), en el sentido de que el límite del cociente de las dos funciones π(X) y X / Iniciar sesión X a medida que x aumenta sin límite es 1:

conocido como el ley asintótica de distribución de números primos. Usando la notación asintótica, este resultado se puede reformular como

Esta notación (y el teorema) no no decir algo sobre el límite de la diferencia de las dos funciones a medida que x aumenta sin límite. En cambio, el teorema establece que X / Iniciar sesión X aproxima π(X) en el sentido de que el error relativo de esta aproximación se acerca a 0 cuando x aumenta sin límite.

El teorema de los números primos es equivalente a la afirmación de que el n-ésimo número primo pnorte satisface

la notación asintótica significa, de nuevo, que el error relativo de esta aproximación se acerca a 0 cuando n aumenta sin límite. Por ejemplo, 2 × 10 17 ° número primo es 8512677386048191063, [2] y (2 × 10 17) log (2 × 10 17) se redondea a 7967418752291744388, un error relativo de aproximadamente 6,4%.

Como se describe a continuación, el teorema de los números primos también es equivalente a

Basado en las tablas de Anton Felkel y Jurij Vega, Adrien-Marie Legendre conjeturó en 1797 o 1798 que π(a) es aproximado por la función a / (A Iniciar sesión a + B), donde A y B son constantes no especificadas. En la segunda edición de su libro sobre teoría de números (1808) luego hizo una conjetura más precisa, con A = 1 y B = −1,08366. Carl Friedrich Gauss consideró la misma cuestión a los 15 o 16 años "en el año 1792 o 1793", según su propio recuerdo en 1849. [3] En 1838, Peter Gustav Lejeune Dirichlet ideó su propia función aproximada, la integral logarítmica li (X) (bajo la forma ligeramente diferente de una serie, que le comunicó a Gauss). Tanto la fórmula de Legendre como la de Dirichlet implican la misma equivalencia asintótica conjeturada de π(X) y X / Iniciar sesión(X) mencionado anteriormente, aunque resultó que la aproximación de Dirichlet es considerablemente mejor si se consideran las diferencias en lugar de los cocientes.

En dos artículos de 1848 y 1850, el matemático ruso Pafnuty Chebyshev intentó demostrar la ley asintótica de distribución de números primos. Su trabajo destaca por el uso de la función zeta ζ(s), para valores reales del argumento "s", como en las obras de Leonhard Euler, ya en 1737. Los artículos de Chebyshev son anteriores a las célebres memorias de Riemann de 1859, y logró demostrar una forma ligeramente más débil de la ley asintótica, a saber, que si el límite cuando x llega al infinito de π(X) / (X / Iniciar sesión(X)) existe en absoluto, entonces es necesariamente igual a uno. [4] Pudo demostrar incondicionalmente que esta relación está limitada por arriba y por abajo por dos constantes dadas explícitamente cerca de 1, para todo x suficientemente grande. [5] Aunque el artículo de Chebyshev no probó el Teorema de los números primos, sus estimaciones de π(X) eran lo suficientemente fuertes para que él probara el postulado de Bertrand de que existe un número primo entre norte y 2norte para cualquier entero norte ≥ 2 .

Un artículo importante sobre la distribución de números primos fue el libro de memorias de 1859 de Riemann "Sobre el número de primos menores que una magnitud dada", el único artículo que escribió sobre el tema. Riemann introdujo nuevas ideas en el tema, principalmente que la distribución de números primos está íntimamente relacionada con los ceros de la función zeta de Riemann ampliada analíticamente de una variable compleja. En particular, es en este trabajo donde la idea de aplicar métodos de análisis complejo al estudio de la función real π(X) se origina. Ampliando las ideas de Riemann, Jacques Hadamard y Charles Jean de la Vallée Poussin encontraron de forma independiente dos pruebas de la ley asintótica de la distribución de números primos y aparecieron en el mismo año (1896). Ambas pruebas utilizaron métodos de análisis complejo, estableciendo como paso principal de la prueba que la función zeta de Riemann ζ(s) es distinto de cero para todos los valores complejos de la variable s que tienen la forma s = 1 + eso con t & gt 0. [6]

Durante el siglo XX, el teorema de Hadamard y de la Vallée Poussin también se conoció como el Teorema de los números primos. Se encontraron varias pruebas diferentes, incluidas las pruebas "elementales" de Atle Selberg y Paul Erdős (1949). Las demostraciones originales de Hadamard y de la Vallée Poussin son largas y elaboradas. Las demostraciones posteriores introdujeron varias simplificaciones mediante el uso de teoremas de Tauberian, pero siguieron siendo difíciles de digerir. Una prueba breve fue descubierta en 1980 por el matemático estadounidense Donald J. Newman. [7] [8] La demostración de Newman es posiblemente la prueba más simple conocida del teorema, aunque no es elemental en el sentido de que utiliza el teorema integral de Cauchy del análisis complejo.

Aquí hay un bosquejo de la prueba a la que se hace referencia en una de las conferencias de Terence Tao. [9] Como la mayoría de las pruebas del PNT, comienza reformulando el problema en términos de una función de conteo de primos menos intuitiva, pero de mejor comportamiento. La idea es contar los primos (o un conjunto relacionado como el conjunto de poderes primos) con pesos para llegar a una función con un comportamiento asintótico más suave. La función de conteo generalizada más común es la función de Chebyshev ψ(X) , definido por

Esto a veces se escribe como

dónde Λ(norte) es la función de von Mangoldt, a saber

Ahora es relativamente fácil comprobar que el PNT es equivalente a la afirmación de que

De hecho, esto se desprende de las estimaciones fáciles

y (usando la notación O grande) para cualquier ε & gt 0,

El siguiente paso es encontrar una representación útil para ψ(X). Dejar ζ(s) sea la función zeta de Riemann. Se puede demostrar que ζ(s) está relacionado con la función de von Mangoldt Λ(norte), y por tanto a ψ(X), a través de la relación

Un análisis delicado de esta ecuación y las propiedades relacionadas de la función zeta, utilizando la transformada de Mellin y la fórmula de Perron, muestra que para un número no entero x la ecuación

se mantiene, donde la suma está sobre todos los ceros (trivial y no trivial) de la función zeta. Esta sorprendente fórmula es una de las llamadas fórmulas explícitas de la teoría de números, y ya sugiere el resultado que deseamos probar, ya que el término x (se afirma que es el orden asintótico correcto de ψ(X)) aparece en el lado derecho, seguido de (presumiblemente) términos asintóticos de orden inferior.

El siguiente paso en la demostración implica un estudio de los ceros de la función zeta. Los ceros triviales −2, −4, −6, −8,. se puede manejar por separado:

que se desvanece para una x grande. Los ceros no triviales, es decir, los de la franja crítica 0 ≤ Re (s) ≤ 1, puede ser potencialmente de un orden asintótico comparable al término principal x si Re (ρ) = 1, por lo que debemos mostrar que todos los ceros tienen una parte real estrictamente menor que 1.

No desaparece en Re (s) = 1 Editar

Para hacer esto, damos por sentado que ζ(s) es meromórfico en el semiplano Re (s) & gt 0, y es analítico allí excepto por un polo simple en s = 1, y que hay una fórmula de producto

para Re (s) & gt 1. La fórmula de este producto se deriva de la existencia de factorización prima única de números enteros y muestra que ζ(s) nunca es cero en esta región, por lo que su logaritmo se define allí y

Escribir s = X + iy luego

para todos X & gt 1. Supongamos ahora que ζ(1 + iy) = 0. Ciertamente y no es cero, ya que ζ(s) tiene un poste simple en s = 1. Suponer que X & gt 1 y deje que x tienda a 1 desde arriba. Dado que ζ (s) < displaystyle zeta (s)> tiene un polo simple en s = 1 y ζ(X + 2iy) permanece analítico, el lado izquierdo en la desigualdad anterior tiende a 0, una contradicción.

Finalmente, podemos concluir que el PNT es heurísticamente verdadero. Para completar rigurosamente la demostración aún quedan serios tecnicismos por superar, debido al hecho de que la suma sobre ceros zeta en la fórmula explícita para ψ(X) no converge de forma absoluta, sino sólo condicionalmente y en un sentido de "valor principal". Hay varias formas de solucionar este problema, pero muchas de ellas requieren estimaciones analíticas complejas bastante delicadas. El libro de Edwards [10] proporciona los detalles. Otro método es utilizar el teorema de Tauberian de Ikehara, aunque este teorema es en sí mismo bastante difícil de probar. D. J. Newman observó que no se necesita toda la fuerza del teorema de Ikehara para el teorema de los números primos, y uno puede salirse con la suya en un caso especial que es mucho más fácil de demostrar.

D. J. Newman da una prueba rápida del teorema de los números primos (PNT). La demostración es "no elemental" en virtud de basarse en análisis complejo, pero la estimación crítica utiliza sólo técnicas elementales de un primer curso en la asignatura: fórmula integral de Cauchy, teorema integral de Cauchy y estimaciones de integrales complejas. Aquí hay un breve bosquejo de esta prueba:


Este tipo dice que resolvió el problema abierto más controvertido de las matemáticas

Tiene la prueba (de 600 páginas). Pero otros matemáticos tienen sus horquillas.

  • Una revista de matemáticas revisada por pares finalmente publicará una prueba controvertida de una idea matemática importante. (Pero es el diario del propio matemático).
  • Las pruebas matemáticas pueden pasar por muchas iteraciones e intentos antes de que sean correctas.
  • La conjetura abc data de la década de 1980 y es una extensión del último teorema de Fermat.

¿Se ha resuelto finalmente uno de los principales problemas pendientes de la teoría de números? O es la prueba de 600 páginas ¿Falta una pieza clave? El veredicto no ha llegado todavía, pero la prueba, al menos, finalmente aparecer en una revista revisada por pares.

Sin embargo, solo hay un problema: el matemático mismo, Shinichi Mochizuki, es uno de los editores más veteranos de la revista.

Para aquellos fuera de las matemáticas académicas, es difícil explicar cuán extrañamente dramática ha sido esta situación y cuán enorme una prueba exitosa de la conjetura abc sería. Naturaleza lo compara con la prueba de 1994 de Último teorema de Fermat & rsquos, que fue un hito gigantesco en matemáticas y mdas y, a los 26 años, el más reciente en el mismo nivel de logro.

Ambas pruebas también involucran una categoría algebraica única conocida como problemas diofánticos. Estas son ecuaciones para las que la gente busca encontrar soluciones enteras, como los casos especiales del teorema de Pitágoras llamado Triples pitagóricos. Cuando usted & rsquore estudiando una ecuación y usted & rsquore solo interesado en soluciones que son números enteros, este es un problema diofántico.

La conjetura abc tiene algunos puntos en común con el teorema de Pitágoras y otros problemas diofánticos, que implican una relación entre un a y B sumados a un resultado C. ¿Se pueden llevar estos números a exponentes altos y aún tener una relación demostrable? Esto es lo que los matemáticos han estado tratando de demostrar desde que los matemáticos lo observaron por primera vez a mediados de la década de 1980. Y, de hecho, la conjetura es una extensión del último teorema de Fermat & rsquos.

Mochizuki publicó por primera vez una prueba de la conjetura abc de la longitud de una novela de Michener en 2012, cuando arrojó sin ceremonias 500 páginas en línea y dijo que lo había probado. Pero este no es el primer rodeo de nadie. Se ha demostrado que los intentos públicos anteriores de probar la conjetura tienen errores. Eso no es inusual en el proceso de probar ideas complejas e históricas, donde diferentes científicos a menudo repiten un nuevo paso a la vez en función de lo que están haciendo sus colegas.

Cuando apareció por primera vez la prueba de Mochizuki & rsquos, otros matemáticos se tambalearon ante la idea de una prueba de la conjetura abc y la desconcertante oscuridad de la obra misma. Mochizuki había inventado un andamio fantasma de nociones abstractas que ensombrecen las ideas matemáticas reales y la notación para colgar su muy larga prueba en ese andamio. En cierto modo, intentar descifrar la prueba primero requería aprender un sistema y una notación completamente nuevos.

Hasta la fecha, nadie ha entendido completamente esta prueba lo suficiente como para validarla y comunicar su estructura y flujo lógico a otros. El mismo Mochizuki es solitario y realmente no ha ayudado a iluminar sus oscuros mecanismos.

Hace unos años, los matemáticos estaban molestos al saber que la prueba se iba a publicar en una revista revisada por pares, y en 2018, dos destacados compañeros matemáticos dijo que estaban seguros la prueba estaba equivocada.

Los rumores de publicación eran falsos entonces, o tal vez se anularon después del clamor de los matemáticos. Pero ahora, la prueba aparecerá en algún tipo de número especial de Publicaciones del Instituto de Investigación en Ciencias Matemáticas (RIMS), siguiendo lo que dicen es la misma revisión rigurosa por pares que harían para cualquiera. No es sólo la prueba escandalosa en cuestión aquí, sino también el hecho de que Mochizuki es LLANTASeditor jefe de & rsquos.

Quizás tener impreso el gigante de 500 páginas revivirá el debate y sacará a la superficie cualquier defecto, de manera concluyente, de una vez por todas. Es difícil decir con certeza cuándo las ideas matemáticas en sí están tan lejos de la norma como para parecer matemáticas de forastero. Cualquiera que haya enviado presentaciones para publicación técnica o matemática ha recibido documentos gigantescos y complicados cuyos autores insisten en que han probado algo enorme.


MAT 112 Matemáticas antiguas y contemporáneas

Fue relativamente fácil probar que hay infinitos números primos (Teorema 10.4.1). Para llegar a un nuevo resultado matemático, a menudo se requiere una gran cantidad de estudio, investigación y comprensión. Surgen ideas, se toman pasos hacia una prueba y, a veces, esas ideas deben modificarse. En este proceso, es posible desarrollar una declaración que se cree que es cierta pero que no ha sido probada formalmente. Tal declaración se llama conjetura y a menudo se conoce en matemáticas como un problema abierto. Concluimos esta sección presentando una conjetura importante que involucra números primos. Si bien el enunciado de la conjetura es fácil de entender y los experimentos por computadora no han dado con un contraejemplo, no sabemos si es cierto.

En el video de la Figura 10.5.1 ofrecemos una descripción general de la conjetura de los primos gemelos.

Comenzamos con la definición de primos gemelos.

Definición 10.5.2.
Ejemplo 10.5.3. Primos gemelos.

Los primeros cuatro pares primos gemelos son

Problema 10.5.4. Reconoce los primos gemelos.

Determina si (89 ) es parte de un par primo gemelo.

Problema 10.5.5. Reconoce los primos gemelos.

Determina si (137 ) es parte de un par primo gemelo.

La conjetura de los primos gemelos es la afirmación de que hay infinitos pares primos gemelos.

Conjetura 10.5.6. Conjetura de Twin Prime.

Hay infinitos números primos (p ) tales que (p + 2 ) también es primo.

Esta es la primera (y única) conjetura que encontrará en este curso. Es importante distinguir entre conjeturas y teoremas. Tanto las conjeturas como los teoremas son enunciados. Si bien los teoremas son enunciados verdaderos, para una conjetura nadie ha determinado aún si es verdadera o falsa. Tan pronto como se determina mediante una prueba que una conjetura es verdadera, se convierte en un teorema. Consulte también el tratamiento de este tema en el prefacio de la Subsección 4.

Punto de control 10.5.7. ¿Son estas conjeturas, definiciones o teoremas?

Está fuera del alcance de este curso tratar de probar la conjetura de los primos gemelos. Sin embargo, es interesante ver si existen primos gemelos (si no, la conjetura sería falsa y no tendría mucho interés).

Problema 10.5.8. Cuente los pares primos gemelos.

¿Cuántos pares primos gemelos hay hasta (100 )?

Con la tabla 10.2.4 obtenemos que los pares primos gemelos hasta (100 ) son:

Parece que hay menos primos gemelos que primos. En el punto de control 10.5.9, cuente el número de primos y primos gemelos hasta un número natural dado.

Punto de control 10.5.9. Cuenta primos y pares primos gemelos.

Recientemente se ha avanzado hacia la demostración de la conjetura de los primos gemelos (Conjetura 10.5.6). En 2013, Yitang Zhang [10] logró un gran avance al demostrar que hay infinitos números primos (p ) y (q ) tales que (p-q le 70,000,000 text <.> )

Poco después esto se mejoró considerablemente, de modo que ahora se sabe que hay infinitos números primos (p ) y (q ) tales que (pq le 246 text <.> ) Cuando se prueba que hay infinitos números primos (p ) y (q ) tales que (pq le 2 text <,> ) se prueba la conjetura de los primos gemelos.

Terminamos esta sección con una canción sobre la conjetura de los primos gemelos de la figura 10.5.10.


Los matemáticos nunca dejarán de probar el teorema del número primo

La cantidad de números primos, que se ven como puntos amarillos en esta espiral hexagonal de enteros positivos, disminuye a medida que los números crecen, una relación descrita por el teorema de los números primos y demostrada muchas veces.

Susan D & # x27Agostino

"No tienes que creer en Dios, pero tienes que creer en El libro”, Dijo una vez el matemático húngaro Paul Erdős. El libro, que solo existe en teoría, contiene las demostraciones más elegantes de los teoremas más importantes. El mandato de Erdős insinúa los motivos de los matemáticos que continúan buscando nuevas pruebas de teoremas ya probados. Uno de los favoritos es el teorema de los números primos, un enunciado que describe la distribución de los números primos, aquellos cuyos únicos divisores son 1 y ellos mismos. Si bien los matemáticos nunca saben si una prueba ameritaría ser incluida en El libro, dos fuertes contendientes son las primeras demostraciones independientes del teorema de los números primos en 1896 por Jacques Hadamard y Charles-Jean de la Vallée Poussin.

Entonces, ¿qué dice realmente este teorema?

El teorema de los números primos proporciona una forma de aproximar el número de primos menores o iguales a un número dado. norte. Este valor se llama π (norte), donde π es la "función de conteo principal". Por ejemplo, π (10) = 4 ya que hay cuatro primos menores o iguales que 10 (2, 3, 5 y 7). De manera similar, π (100) = 25, ya que 25 de los primeros 100 números enteros son primos. Entre los primeros 1,000 enteros, hay 168 primos, entonces π (1,000) = 168, y así sucesivamente. Tenga en cuenta que como consideramos los primeros 10, 100 y 1000 enteros, el porcentaje de números primos pasó del 40% al 25% al ​​16,8%. Estos ejemplos sugieren, y el teorema de los números primos lo confirma, que la densidad de los números primos en un número dado o por debajo de él disminuye a medida que aumenta el número.

Pero incluso si tuviera una lista ordenada de enteros positivos hasta, digamos, 1 billón, ¿quién querría determinar π (1,000,000,000,000) mediante un conteo manual? El teorema de los números primos ofrece un atajo.

El teorema nos dice que π (norte) es "asintóticamente igual" a $ latex frac< ln (n)> $, donde en es el logaritmo natural. (Puede pensar en una igualdad asintótica como una igualdad aproximada, aunque técnicamente es más que eso). Como ejemplo, estimemos el número de números primos hasta 1 billón. En lugar de contar números primos individuales para determinar π (1,000,000,000,000), podrías usar este teorema para saber que hay aproximadamente $ látex frac <1,000,000,000,000> < ln (1,000,000,000,000)> $ de ellos, lo que es igual. 36,191,206,825 cuando se redondea a un número entero. Esta cantidad es solo un 4% menos de la respuesta real, 37,607,912,018.

Con igualdad asintótica, la precisión mejora a medida que inserta números más grandes en la fórmula. Básicamente, a medida que te diriges hacia el infinito, que no es en sí mismo un número, sino algo más grande que cualquier número, la igualdad aproximada en el teorema se aproxima a una igualdad real. Esto es a pesar del hecho de que el número real de primos siempre será igual a un número entero, mientras que en el otro lado de la igualdad asintótica, la fracción que involucra la función de logaritmo natural podría ser igual a cualquier valor en la recta numérica real. Esta conexión entre enteros y números reales es, en el mejor de los casos, contradictoria.

Es algo alucinante, incluso entre matemáticos. Enloquecedor, el enunciado del teorema de los números primos no insinúa por qué algo de esto es cierto.

“El teorema nunca fue sobre el teorema. Siempre se trató de la prueba ”, dijo Michael Bode, profesor de matemáticas en la Universidad Tecnológica de Queensland en Australia.

A pesar de lo elegantes que eran, las demostraciones originales de Hadamard y de la Vallée Poussin se basaban en un análisis complejo, el estudio de funciones con números imaginarios, que algunos encontraron insatisfactorio ya que el enunciado de este teorema no involucra números complejos. Sin embargo, G.H. Hardy, en 1921, calificó la perspectiva de una prueba no analítica - conocida como prueba elemental - del teorema de los números primos como "extraordinariamente improbable" y afirmó que si alguien encontraba una, sería necesario "reescribir la teoría".

Atle Selberg y el propio Erdős aceptaron el desafío y, en 1948, cada uno de ellos publicó nuevas pruebas elementales independientes del teorema de los números primos utilizando propiedades de los logaritmos. Estas pruebas incitaron a otros matemáticos a considerar métodos similares para conjeturas de la teoría de números que antes se consideraban demasiado profundas para métodos tan aparentemente simples. Siguieron muchos resultados emocionantes, incluida la prueba elemental de Helmut Maier de 1985 que muestra irregularidades inesperadas en la distribución de los números primos.

“Tantas preguntas abiertas se basan en el teorema de los números primos”, dijo Florian Richter, matemático de la Universidad Northwestern, quien recientemente publicó una nueva prueba elemental de esta célebre declaración. Richter encontró su demostración al intentar demostrar una extensión de gran alcance del teorema de los números primos.

Con el tiempo, los teóricos de los números ayudaron a establecer una cultura en la que los matemáticos trabajaron en probar y volver a probar teoremas no solo para verificar enunciados, sino también para mejorar sus habilidades para probar teoremas y su comprensión de las matemáticas involucradas.

Esto va más allá del teorema de los números primos. Paulo Ribenboim catalogó al menos 7 pruebas de la infinitud de los números primos. Steven Kifowit y Terra Stamps identificaron 20 pruebas que demuestran que la serie armónica, 1+ $ látex frac <1> <2> $ + $ látex frac <1> <3> $ + $ látex frac <1> <4> $ + $ látex frac <1> <5> $ + $ látex frac <1> <6> $ + $ látex frac <1> <7> $ +…, no es igual a un número finito, y Kifowit más tarde siguió con 28 más. Bruce Ratner cita más de 371 pruebas diferentes del teorema de Pitágoras, incluidas algunas gemas proporcionadas por Euclid, Leonardo da Vinci y el presidente de los Estados Unidos, James Garfield, quien era miembro del Congreso de Ohio en ese momento.

Este hábito de volver a probar las cosas está ahora tan arraigado que los matemáticos literalmente pueden contar con él. Tom Edgar y Yajun An notaron que ha habido 246 pruebas de un enunciado conocido como la ley de reciprocidad cuadrática siguiendo la prueba original de Gauss en 1796. Al trazar el número de pruebas a lo largo del tiempo, extrapolaron que podríamos esperar la prueba número 300 de este teorema alrededor de el año 2050.

“Me encantan las nuevas pruebas de los viejos teoremas por la misma razón que me encantan las nuevas carreteras y los atajos a lugares en los que ya he estado”, dijo Sophia Restad, estudiante de posgrado de la Kansas State University. Estos nuevos caminos proporcionan a los matemáticos un sentido figurado de lugar para la actividad intelectual.

Es posible que los matemáticos nunca dejen de buscar caminos nuevos y más esclarecedores hacia el teorema de los números primos y otros
amados teoremas. Con suerte, algunos de ellos incluso merecerán
inclusión en El libro.


Conjeturas principales y preguntas abiertas

Conjetura de Goldbach: cada par norte & gt 2 es la suma de dos números primos. Goldbach escribió una carta a Euler en 1742 sugiriendo que cada entero n & gt 5 es la suma de tres primos. Euler respondió que esto es equivalente a todo par n & gt 2 es la suma de dos primos- esto ahora se conoce como la conjetura de Goldbach. Schnizel demostró que la conjetura de Goldbach es equivalente a cada entero n & gt 17 es la suma de tres distinto primos.
Se ha demostrado que todo entero par es la suma de como máximo seis números primos [Ramar & eacute95] (la conjetura de Goldbach sugiere dos) y en 1966 Chen demostró que todo entero par suficientemente grande es la suma de un número primo más un número con no más de dos números primos. factores (a P2). En 1993 Sinisalo verificó la conjetura de Goldbach para todos los números enteros menores de 4. 10 11 [Sinisalo93]. Más recientemente, Jean-Marc Deshouillers, Yannick Saouter y Herman te Riele lo han verificado hasta 10 14 con la ayuda de un Cray C90 y varias estaciones de trabajo. En julio de 1998, Joerg Richstein completó una verificación a 4. 10 14 y colocó una lista de campeones en línea. Un trabajo más reciente de Oliveira e Silva ha extendido esto a al menos 4. 10 17. Consulte [Ribenboim95] y [Wang84] para obtener más información.

El extraño problema de Goldbach: todos los norte & gt 5 es la suma de tres números primos. Ha habido un progreso sustancial en esto, el caso más fácil de la conjetura de Goldbach. En 1937 Vinogradov demostró que esto es cierto para enteros impares suficientemente grandes norte. En 1956 Borodzkin mostró norte & gt 3 14348907 es suficiente (el exponente es 3 15). En 1989, Chen y Wang redujeron este límite a 10 43000. El exponente aún debe reducirse drásticamente antes de que podamos usar computadoras para ocuparnos de todos los casos pequeños.

Cada número par es la diferencia de dos primos. El trabajo de Chen mencionado en la discusión de la conjetura de Goldbach también mostró que todo número par es la diferencia entre un primo y un P2.

Por cada número par 2norte ¿Hay infinitos pares de consecutivo primos que difieren en 2norte. Conjeturado por Polignac 1849. Cuando norte= 1 esta es la conjetura de los primos gemelos. Es fácil demostrar que para cada entero positivo metro hay un número par 2norte tal que hay mas de metro pares de primos consecutivos con diferencia 2norte.

Conjetura de los primos gemelos: Hay infinitos números primos gemelos. En 1919, Brun demostró que la suma de los recíprocos de los primos gemelos converge, por lo que la suma B = (1/3 + 1/5) + (1/5 + 1/7) + (1/11 + 1/13 ) + (1/17 + 1/19) +. es Constante de Brun. B = 1,902160577783278. Consulte la entrada del Glosario principal sobre la conjetura de los primos gemelos.

¿Hay infinitos números primos de la forma norte 2 +1? Hay infinitas formas norte 2 +metro 2 y norte 2 +metro 2 +1. Una forma más general de esta conjetura es si a, b, c son primos relativos, a es positivo, a + b y c no son pares y b 2 -4ac no es un cuadrado perfecto, entonces hay infinitos números primos an 2 + bn + c [HW79, p19].

El número de números primos de Fermat es finito. Hardy y Wright dan un argumento para esta conjetura en su conocida nota a pie de página [HW79, p15] que es aproximadamente como sigue. Según el teorema de los números primos, la probabilidad de que un número aleatorio norte es primo es como máximo a/Iniciar sesión(norte) para alguna elección de a. Entonces, el número esperado de números primos de Fermat es como máximo la suma de a/ log () & lt a/2 norte , pero esta suma es a. Sin embargo, como señalan Hardy y Wright, los números de Fermat no se comportan "aleatoriamente" en el sentido de que son primos relativos por pares.

¿Siempre hay un primo entre norte 2 y (norte+1) 2 ? En 1882 Opperman declaró pi (norte 2 +norte) & gt pi (norte 2) & gt pi (norte 2 -norte) (norte& gt1), que también parece muy probable, pero no ha sido probado [Ribenboim95, p248]. Ambas conjeturas se seguirían si pudiéramos probar la conjetura de que la brecha prima que sigue a una prima pag está limitado por tiempos constantes (log pag) 2 .


Goldbach & # 8217s Conjetura

Aquí & # 8217s un famoso problema sin resolver: ¿es cada número par mayor que 2 la suma de 2 primos?

La Conjetura de Goldbach, que data de 1742, dice que la respuesta es sí.

Algunos ejemplos sencillos:
4=2+2, 6=3+3, 8=3+5, 10=3+7, …, 100=53+47, …

Lo que se sabe hasta ahora:
Schnirelmann(1930): There is some N such that every number from some point onwards can be written as the sum of at most N primes.
Vinogradov(1937): Every odd number from some point onwards can be written as the sum of 3 primes.
Chen(1966): Every sufficiently large even integer is the sum of a prime and an “almost prime” (a number with at most 2 prime factors).

See the reference for more details.

Presentation Suggestions:
Have students suggest answers for the first few even numbers.

The Math Behind the Fact:
This conjecture has been numerically verified for all even numbers up to several million. But that doesn’t make it true for all N… see Large Counterexample for an example of a conjecture whose first counterexample occurs for very large N.

How to Cite this Page:
Su, Francis E., et al. “Goldbach’s Conjecture.” Math Fun Facts. <https://www.math.hmc.edu/funfacts>.

Referencias:
Paulo Ribenboim, The Little Book of Big Primes, Springer-Verlag, 1991, pp.154-155.


Nature of Mathematics

Let us begin with a few facts about the prime numbers.

There are an infinite number of prime numbers. Remember we saw a proof of this by Euclid.

Every positive integer can be factored (uniquely) into a product of prime numbers. Here are some examples

5601319004198125000 = 2³ x 5^7 x 13^5 x 17^6

Euler’s theorem: If you have had some calculus before you can prove that 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 +…. = ∞. Euler showed that 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17+… (the sum of the reciprocals of the primes) is also equal to ∞.

Mersenne primes : Numbers of the form M_p = 2^p – 1 are called Mersenne numbers. Not all of them are prime. However, if M_p is prime then p must be prime. The converse is not true. Can you find a counterexample? However, Mersenne primes are good candidates for large prime numbers. For example, 2^(43112609) – 1 is prime (and has 12978189 digits). Mersenne primes even have their own homepage. In fact, when you click on that page, you can participate in the great Mersenne prime search (GIMPS). More often than not, when you hear in the popular press that mathematicians have discovered a new largest prime, it is usually a Mersenne prime.

Fermat primes : Numbers of the form F_n = 2^(2^n) + 1 are called Fermat numbers. Darse cuenta de

and these numbers are prime! However, not every Fermat number is prime. Por ejemplo

F_5 = 4294967297 = 641 x 6700417

F_6 = 18446744073709551617 = 274177 x 67280421310721

One can prove that if F^k + 1 is prime then k = 2^n.

Open question: Are F_0, F_1, F_2. F_3. F_4 the solo Fermat primes? If you are thinking of getting out your computer and checking to see if F_7, F_8, F_9, etc are prime, don’t bother. As far as any computer can compute, these numbers are all not prime. But you never know, there might be some very very very large n out there such that F_n is a new Fermat prime. If you discover, such an n, you will definitely be famous.

Open question: Are there an infinite number of Fermat primes? Answer this question and you will be really really famous.

Why are the Fermat primes important? Well, they bring us back to straightedge and compass constructions we talked about earlier.

Theorem (Gauss, Wantzel): A regular n-gon is constructible using only a straightedge and compass if and only if n = 2^k (p_1 p_2….p_s), where p_1, p_2,…are distinct Fermat primes.

For example: A regular 17-gon is constructible (since 17 is a Fermat prime) as is a regular 34-gon (since 34 = 2 x 17). However a regular 18-gon is not constructible.

So, those are a few facts about primes. There are many many interesting others. The focus here is the prime number theorem. A question that has been around for many years is “How many primes are less than or equal to x?”. Let us denote π(x) to be the number of primes less than or equal to x.

π(2) = 1 (since 2 is the only prime less than or equal to 2)

π(3) = 2 (since both 2 and 3 are primes less than or equal to 2)

Here is a plot of the first several values of π(x)

Notice how the graph is constant and jumps up when you reach a new prime number (Why?)

There is no precise formula for π(x). We can only understand it through its behavior as x goes to infinity. Gauss made large tables of π(x) and had the idea to compare it to x/ln(x), where ln(x) is the natural log function. Here are some graphs of π(x) and x/ln(x) on the same axis.

From looking at these graphs, one might conjecture, as Gauss did, that π(x)/(x ln(x)) goes to one as x goes to infinity. Here are a few graphs of π(x)/(x ln(x))

So it certainly seems like π(x)/(x ln(x)) goes to one as x goes to infinity. Maybe it is better to say π(x)

Theorem (The prime number theorem): π(x)

This theorem took a long time to prove and was done in several steps which are too technical to get into here. The final result was proved independently by J. Hadamard and C. de la Valle Poussin in 1896. Their proofs were long but fortunately others after them were able to come up with shorter proofs.

A little more history here. Actually, Gauss used the Li(x) function which is the integral from 2 to x of 1/ln(x) as an estimator of x/ln(x).

In this case the prime number theorem becomes

Various mathematicians came up with estimates towards the prime number theorem. A nice link for this is from the Wolfram page.

Here is a nice consequence of the prime number theorem.

Corollary: If p_n in the n-th prime number, then p_n

n ln(n), i.e., p_n/(n ln(n)) goes to one as n goes to infinity.

We will give a proof of this in class. Let’s try this out. Here is a graph of p_n/(n ln(n))

Notice how this graph approaches one as n gets bigger and bigger.

G. H. Hardy (we will read about his life later) was able to improve this estimate.

Theorem (Hardy) : p_n

Here is a graph of p_n/(n ln(n) + n ln(ln(n)) – n) below. Notice how this graph approaches one faster than the previous graph.

Final comment about the prime number theorem:

You will notice that the graph of li(x) lies on top of π(x). In other words li(x) > π – at least for the values we can see (in this case up to x equal to one million). We know that π(x)

x/ln(x) so these graphs get closer and closer but do we always have li(x) > π(x)? La respuesta es no. What is amazing is that the graphs of π(x) and li(x) do indeed switch places infinitely often but only after some really BIG number called Skewes number.

We can’t leave our study of the prime number theorem without mentioning that there is a closely related problem which poses to get a finer estimate on π(x). It is called the Riemann Hypothesis and is considered one of the most difficult and important unsolved problems in mathematics. In fact, it is so important to solve that the Clay Mathematics Institute has put up the money for a one million dollar prize for the person who can solve this problem. We won’t get into an explanation of the Riemann hypothesis now since it is a bit technical for an introductory course. But as you learn more mathematics, do look this problem up. It is definitely important and related to a lot of different types of mathematics. In fact many things are logically equivalent to the Riemann Hypothesis. So solve the Riemann Hypothesis and you solve a bunch of other problems too!


First proof that prime numbers pair up into infinity

Mathematician announces breakthrough towards solving centuries-old problem.

It is a result only a mathematician could love. Researchers hoping to get ‘2’ as the answer to a long-sought proof involving pairs of prime numbers are celebrating the fact that a mathematician has wrestled the value down from infinity to 70 million.

“That’s only 35 million away” from the target, quips Dan Goldston, an analytical number theorist at San Jose State University in California who was not involved in the work. A factor of 35 million, that is. “Every step down is a step towards the ultimate answer,” he adds.

That goal is the proof of a conjecture concerning prime numbers: whole numbers that are divisible only by one and by themselves. Primes abound among smaller numbers, but become less and less frequent as numbers grow larger. In fact, on average, the gap between each prime number and the next becomes larger and larger. But there are exceptions: the ‘twin primes’, which are pairs of prime numbers that differ in value by just 2. Examples of known twin primes are 3 and 5, 17 and 19, and 2,003,663,613 × 2 195,000 − 1 and 2,003,663,613 × 2 195,000 + 1.

The 'twin prime conjecture' holds that there is an infinite number of such twin pairs. Some attribute the conjecture to the Greek mathematician Euclid of Alexandria if true that would make it one of the oldest open problems in mathematics.

So far, the problem has eluded all attempts to find a solution. A major milestone was reached in 2005, when Goldston and two colleagues showed that there is an infinite number of prime pairs that differ by no more than 16 (ref. 1). But there was a catch. “They were assuming a conjecture that no one knows how to prove,” says Dorian Goldfeld, a number theorist at Columbia University in New York.

The new result, from Yitang Zhang at the University of New Hampshire in Durham, finds that there are an infinite number of pairs of primes that are less than 70 million units apart without relying on unproven conjectures. And although 70 million might seem like a very large number, the existence of any finite boundary, no matter how large, means that that the gaps between consecutive numbers don’t keep growing forever. The jump from 2 to 70 million is nothing compared with the jump from 70 million to infinity. “If this is right, I’m absolutely astounded,” says Goldfeld.

Zhang presented his research on 13 May to an audience of a few dozen at Harvard University in Cambridge, Massachusetts, and the fact that the work seems to use standard mathematical techniques led some to question whether Zhang could really have succeeded where others have failed.

But a referee report from the Annals of Mathematics, to which Zhang submitted his paper, suggests he has. “The main results are of the first rank,” states the report, a copy of which Zhang provided to Naturaleza. “The author has succeeded to prove a landmark theorem in the distribution of prime numbers … we are very happy to strongly recommend acceptance of the paper for publication in the Annals.”

Goldston, who was sent a copy of the paper, says that he and the other researchers who have seen it “are feeling pretty good” about it. “Nothing is obviously wrong,” he says.

For his part, Zhang, who has been working on the paper since a key moment of insight last July, expects that the paper’s mathematical machinery will allow for the value of 70 million to be pushed downwards. “We may reduce it,” he says.

Goldston does not think the value can be reduced all the way to 2 to prove the twin prime conjecture. But he says the very fact that there is a number at all is a huge breakthrough. “I was doubtful I would ever live to see this result,” he says.

Zhang will resubmit the paper, with a few minor tweaks, this week.


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