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3.2: Pruebas directas - Matemáticas


Para demostrar que una declaración (q ) es verdadera, siga estos pasos:

  • Encuentre un resultado que indique (p Rightarrow q ) o pruebe que (p Rightarrow q ) es verdadero.
  • Muestre o verifique que (p ) sea verdadero.
  • Concluya que (q ) debe ser verdadera.

La lógica es válida porque si (p Rightarrow q ) es verdadero y (p ) es verdadero, entonces (q ) debe ser verdadero. Simbólicamente, estamos diciendo que la fórmula lógica [[(p Rightarrow q) wedge p] Rightarrow q ] es una tautología (podemos verificar esto fácilmente con una tabla de verdad). Simbólicamente, presentamos el argumento como [ begin {array} {cl} & p Rightarrow q & p hline por lo tanto & q end {array} ] Este argumento se llama modus ponens o el ley del desprendimiento.

Ejemplo ( PageIndex {1} label {por ejemplo: directpf-01} )

El argumento

(b ^ 2> 4ac Rightarrow ax ^ 2 + bx + c = 0 ) tiene dos soluciones reales.
(x ^ 2-5x + 6 ) satisface (b ^ 2> 4ac ).
(por lo tanto) (x ^ 2-5x + 6 = 0 ) tiene dos soluciones reales.

es un ejemplo de modus ponens.

Está claro que las implicaciones juegan un papel importante en las demostraciones matemáticas. Si tenemos una secuencia de implicaciones, podríamos unirlas “de la cabeza a la cola” para formar otra implicación: [ begin {array} {cl} & p Rightarrow q & q Rightarrow r hline por lo tanto & p Rightarrow r end {array} ] Esto se llama ley del silogismo.

.

Ejemplo ( PageIndex {2} label {por ejemplo: directpf-02} )

El argumento

Los pastores alemanes son perros.
Los perros son mamíferos.
Los mamíferos son vertebrados.
(por lo tanto)Los pastores alemanes son vertebrados.

es válido debido a la ley del silogismo.

La gran pregunta es, ¿cómo podemos probar una implicación? El enfoque más básico es el prueba directa:

Suponga que (p ) es cierto.

Deduzca de (p ) que (q ) es verdadero.

Lo importante que debe recordar es: use la información derivada de (p ) para demostrar que (q ) es verdadera. Así es como puede verse una prueba directa típica:

Prueba: Suponga que ) p ) es cierto. Luego . .

Debido a (p ), encontramos. .

. Por lo tanto, (q ) es cierto.

Ejemplo ( PageIndex {3} label {por ejemplo: directpf-03} )

Demuestre que si un tablero de ajedrez (m times n ) puede cubrirse completamente con fichas de dominó que no se superponen, entonces (mn ) debe ser par.

Solución

Suponga que el tablero de ajedrez puede cubrirse con fichas de dominó que no se superpongan, y sea (t ) el número de fichas de dominó que cubren el tablero de ajedrez. Entonces el tablero de ajedrez debe contener (2t ) cuadrados. Por tanto, (mn = 2t ), lo que significa que (mn ) debe ser un número par.

Antes de continuar con más ejemplos, nos gustaría presentar la definición formal de números enteros pares e impares.

Definición

Un entero es incluso si se puede escribir como (2q ) para algún entero (q ), y impar si se puede escribir como (2q + 1 ) para algún número entero (q ).

No tenemos que usar (q ) para denotar el número entero que, cuando se multiplica por 2, produce un número entero par. Cualquier letra funcionará, siempre que mencionemos que es un número entero. Por ejemplo, si (n ) es un número entero par, entonces podemos escribir (n = 2t ) para algún número entero (t ). La noción de números enteros pares se puede generalizar aún más.

Definición

Sea (m ) un número entero distinto de cero. Se dice que un entero es un múltiple de (m ) si se puede escribir como (mq ) para algún entero (q ).

Ahora estamos listos para estudiar más ejemplos.

Ejemplo ( PageIndex {4} label {por ejemplo: directpf-04} )

Demuestre que el cuadrado de un número entero impar es impar.

Solución

Sea (n ) un número entero impar. Entonces (n = 2t + 1 ) para algún número entero (t ), y [n ^ 2 = (2t + 1) ^ 2 = 4t ^ 2 + 4t + 1 = 2 (2t ^ 2 + 2t) +1, ] donde (2t ^ 2 + 2t ) es un número entero. Por tanto, (n ^ 2 ) es impar.

ejercicio práctico ( PageIndex {1} label {he: directpf-01} )

Sea (n ) un número entero. Demuestre que si (n ) es impar, entonces (n ^ 3 ) es impar.

Ejemplo ( PageIndex {5} label {por ejemplo: directpf-05} )

Demuestre que el producto de dos números enteros impares es impar.

Solución

Sean (x ) y (y ) dos enteros impares. Queremos demostrar que (xy ) es impar. Entonces (x = 2s + 1 ) y (y = 2t + 1 ) para algunos enteros (s ) y (t ), y [xy = (2s + 1) (2t + 1) = 4st + 2s + 2t + 1 = 2 (2st + s + t) +1, ] donde (2st + s + t ) es un número entero. Por lo tanto, (xy ) es impar.

En esta demostración, necesitamos usar dos cantidades diferentes (s ) y (t ) para describir (x ) y (y ) porque no es necesario que sean iguales. Si escribimos (x = 2s + 1 ) y (y = 2s + 1 ), de hecho estamos diciendo que (x = y ). Tenemos que enfatizar que (s ) y (t ) son números enteros, porque decir simplemente (x = 2s + 1 ) y (y = 2t + 1 ) no garantiza (x ) y (y ) son impares. Por ejemplo, el número par 4 se puede escribir como (2 cdot frac {3} {2} +1 ), que tiene la forma (2s + 1 ). Es obvio que 4 no es extraño. Aunque podemos escribir un número en la forma (2s + 1 ), no significa necesariamente que el número deba ser impar, a no ser que sabemos con certeza que (s ) es un número entero. Este ejemplo ilustra la importancia de prestar atención a los detalles de nuestra escritura.

.

Ejemplo ( PageIndex {6} label {directpf-06} )

Demuestre que si (x ^ 3-7x ^ 2 + x-7 = 0 ), entonces (x = 7 ).

Solución

Suponga (x ^ 3-7x ^ 2 + x-7 = 0 ). Dado que [x ^ 3-7x ^ 2 + x-7 = x ^ 2 (x-7) + (x-7) = (x ^ 2 + 1) (x-7), ] si es igual a cero, necesitamos (x ^ 2 + 1 = 0 ) o (x-7 = 0 ). Dado que (x ^ 2 + 1 ) nunca puede ser cero, debemos tener (x-7 = 0 ); así (x = 7 ).

ejercicio práctico ( PageIndex {2} label {he: directpf-02} )

Muestre que si (x ^ 3 + 6x ^ 2 + 12x + 8 = 0 ), entonces (x = -2 ).

El último ejemplo demuestra una técnica llamada prueba por casos. Hay dos posibilidades, a saber, (i) (x ^ 2 + 1 = 0 ) o (ii) (x-7 = 0 ). La conclusión final se extrae después de estudiar estos dos casos por separado.

Ejemplo ( PageIndex {7} label {por ejemplo: directpf-07} )

Demuestre que si un número entero (n ) no es divisible por 3, entonces (n ^ 2-1 ) debe ser múltiplo de 3.

Observación

La letra (n ) se ha utilizado para identificar el número entero que nos interesa, y aparece en la hipótesis de la implicación que queremos probar. No obstante, muchos autores comenzarían sus pruebas con la frase familiar "Sea (n ) ...".

Respuesta

Sea (n ) un número entero que no es divisible por 3. Cuando se divide por 3, el resto es 1 o 2. Por lo tanto, (n = 3q + 1 ) o (n = 3q + 2 ) para algún entero (q ).

Caso 1: Si (n = 3q + 1 ) para algún número entero (q ), entonces [n ^ 2-1 = 9q ^ 2 + 6q = 3 (3q ^ 2 + 2q), ] donde (3q ^ 2 + 2q ) es un número entero.

Caso 2: Si (n = 3q + 2 ) para algún número entero (q ), entonces [n ^ 2-1 = 9q ^ 2 + 12q + 3 = 3 (3q ^ 2 + 4q + 1), ] donde (3q ^ 2 + 4q + 1 ) es un número entero.

En ambos casos, hemos demostrado que (n ^ 2-1 ) es un múltiplo de 3.

ejercicio práctico ( PageIndex {3} label {he: directpf-03} )

Muestre que (n ^ 3 + n ) es par para todos (n in mathbb {N} ).

ejercicio práctico ( PageIndex {4} label {he: directpf-04} )

Muestre que (n (n + 1) (2n + 1) ) es divisible por 6 para todo (n in mathbb {N} ).

Insinuación

Uno de los dos enteros (n ) y (n + 1 ) debe ser par, por lo que ya sabemos que el producto (n (n + 1) (2n + 1) ) es un múltiplo de 2. Por tanto, queda por demostrar que también es un múltiplo de 3. Considere tres casos: (n = 3q ), (n = 3q + 1 ) o (n = 3q + 2 ), donde (q ) es un número entero.

Cerramos nuestra discusión con dos falacias comunes (errores lógicos). El primero es el falacia de lo inverso o el negación del antecedente: [ begin {array} {cl} & p Rightarrow q & overline {p} hline por lo tanto & overline {q} end {array} ] Esto en efecto prueba lo inverso ( overline {p} Rightarrow overline {q} ), que sabemos que es no lógicamente equivalente a la implicación original. Por lo tanto, este es un método incorrecto para probar una implicación.

.

Ejemplo ( PageIndex {8} label {por ejemplo: directpf-08} )

Es el siguiente argumento

Los diccionarios son valiosos.
Este libro no es un diccionario.
(por lo tanto)Este libro no es valioso.

¿válido? ¿Por qué?

Otro error común se conoce como falacia de lo contrario o el afirmación de la consecuencia: [ begin {array} {cl} & p Rightarrow q & q hline then & p end {array} ] Esto solo prueba lo contrario (q Rightarrow p ). Dado que lo contrario es no lógicamente equivalente a la implicación original, esta es una forma incorrecta de probar una implicación.

.

Ejemplo ( PageIndex {9} label {por ejemplo: directpf-09} )

Es este argumento

Ningún medicamento sabe bien.
Esta bebida tiene mal sabor.
(por lo tanto)Esto debe ser medicina.

un argumento válido? ¿Por qué?

  • Para probar una implicación (p Rightarrow q ), comience asumiendo que (p ) es verdadera. Utilice la información de esta suposición, junto con cualquier otro resultado conocido, para demostrar que (q ) también debe ser verdadera.
  • Si es necesario, puede dividir (p ) en varios casos (p_1, p_2, ldots , ) y probar cada implicación (p_i Rightarrow q ) (por separado, una a la vez) como se indicó anteriormente .
  • Asegúrese de escribir las expresiones matemáticas con claridad. Utilice diferentes variables si las cantidades involucradas pueden no ser las mismas.
  • Para comenzar, escriba la información proporcionada, la suposición y lo que desea demostrar.
  • En el siguiente paso, use la definición si es necesario y vuelva a escribir la información en notaciones matemáticas. El punto es tratar de obtener algunas ecuaciones matemáticas o enunciados lógicos que podamos manipular.

.

Ejercicio ( PageIndex {1} label {ex: directpf-01} )

Demuestre o refute: (2 ^ n + 1 ) es primo para todo entero no negativo (n ).

Ejercicio ( PageIndex {2} label {ex: directpf-02} )

Muestre que para cualquier número entero (n geq5 ), los números enteros (n ), (n + 2 ) y (n + 4 ) no pueden ser todos primos.

Insinuación

Si (n ) es un múltiplo de 3, entonces (n ) en sí mismo es compuesto y la demostración estará completa. Entonces, podemos suponer que (n ) no es divisible por 3. Entonces, ¿cómo se vería (n ) y qué puedes decir acerca de (n + 2 ) y (n + 4 )?

Ejercicio ( PageIndex {3} label {ex: directpf-03} )

Sea (n ) un número entero.

  1. Demuestre que si (n ) es impar, entonces (n ^ 2 ) también es impar.
  2. Demuestre que si (n ) es impar, entonces (n ^ 4 ) también es impar.
  3. A corolario es un resultado que se puede derivar fácilmente de otro resultado. Derive (b) como corolario de (a).
  4. Demuestre que si (m ) y (n ) son impares, entonces también lo es (mn ).
  5. Demuestre que si (m ) es par y (n ) es impar, entonces (mn ) es par.

Ejercicio ( PageIndex {4} label {ex: directpf-04} )

Demuestre que, para cualquier entero impar (n ), el número (2n ^ 2 + 5n + 4 ) debe ser impar.

Ejercicio ( PageIndex {5} label {ex: directpf-05} )

Sea (n ) un número entero.

  1. Demuestra que si (n ) es múltiplo de 3, entonces (n ^ 2 ) también es múltiplo de 3.
  2. Demuestra que si (n ) es múltiplo de 7, entonces (n ^ 3 ) también es múltiplo de 7.

Ejercicio ( PageIndex {6} label {ex: directpf-06} )

Demuestra que si (n ) no es múltiplo de 3, entonces (n ^ 2 ) tampoco es múltiplo de 3.

Insinuación

Si (n ) no es múltiplo de 3, entonces (n = 3q + 1 ) o (n = 3q + 2 ) para algunos entero (q ).

Ejercicio ( PageIndex {7} label {ex: directpf-07} )

Usa los hechos que

( sqrt {2} ) es irracional y

si (x ) es irracional, entonces ( sqrt {x} ) también es irracional,

para demostrar que ( sqrt [8] {2} ) es irracional.

Ejercicio ( PageIndex {8} label {ex: directpf-08} )

Recuerde que podemos usar un contraejemplo para refutar una implicación. Muestre que las siguientes afirmaciones son falsas:

  1. Si (x ) y (y ) son números enteros tales que (x ^ 2> y ^ 2 ), entonces (x> y ).
  2. Si (n ) es un número entero positivo, entonces (n ^ 2 + n + 41 ) es primo.

Ejercicio ( PageIndex {9} label {ex: directpf-09} )

Explique por qué los siguientes argumentos no son válidos:

  1. Sea (n ) un número entero. Si (n ^ 2 ) es impar, entonces (n ) es impar. Por lo tanto, (n ) debe ser impar.
  2. Sea (n ) un número entero. Si (n ) es par, entonces (n ^ 2 ) también es par. Como número entero, (n ^ 2 ) podría ser impar. Por tanto, (n ) no puede ser par. Por lo tanto, (n ) debe ser impar.

Ejercicio ( PageIndex {10} label {ex: directpf-10} )

Analiza el siguiente razonamiento:

  1. Sea (S ) un conjunto de números reales. Si (x ) está en (S ), entonces (x ^ 2 ) está en (S ). Pero (x ) no está en (S ), por lo tanto, (x ^ 2 ) no está en (S ).
  2. Sea (S ) un conjunto de números reales. Por lo tanto, si (x ^ 2 ) está en (S ), entonces (x ) está en (S ).

Para manipular expresiones, podemos considerar el uso de la Ley de los índices. Estas leyes solo se aplican a expresiones con la misma base, por ejemplo, 3 4 y 3 2 pueden manipularse usando la Ley de los Índices, pero no podemos usar la Ley de los Índices para manipular las expresiones 3 5 y 5 7 ya que su base es diferente (sus bases son 3 y 5, respectivamente).

Regla 1:

Cualquier número, excepto 0, cuyo índice sea 0 siempre es igual a 1, independientemente del valor de la base.

Regla 2:

Regla 3:

Para multiplicar expresiones con la misma base, copie la base y agregue los índices.

Simplificar : (Nota: 5 = 5 1 )

Regla 4:

Para dividir expresiones con la misma base, copie la base y reste los índices.

Simplificar :

Regla 5:

Para elevar una expresión al n-ésimo índice, copie la base y multiplique los índices.

Regla 6:

¡Ahora ha aprendido las reglas importantes de la Ley de los índices y está listo para probar algunos ejemplos!

Vaya a la página siguiente para ver la primera de muchas preguntas y encontrar soluciones completas para que las practique.


3.2: Pruebas directas - Matemáticas

La semana pasada, encontramos una forma eficiente de calcular D (n), el número de divisores de n. Esta semana, pasamos al problema de encontrar una mejor manera de calcular la suma S (n) de todos los divisores de n.

Por ejemplo, suponga que queremos encontrar la suma de los divisores de n = 144.

Como hicimos la semana pasada, comenzamos formando la factorización prima de 144:

Cualquier divisor de 144 debe ser un producto de un número de 2 (entre 0 y 4) y un número de 3 (entre 0 y 2). Así que aquí hay una tabla de posibilidades:

Observe en la tabla que la suma de la primera columna es 1 + 3 + 9 = 13. Y las sumas de las otras columnas son 13. 2, luego 13. 4 y así sucesivamente.

Entonces, el total es el producto de 1 + 3 + 9 = 13 con 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31.

Observe que podríamos escribir la ecuación verdadera que:

S (144) = S (2 4. 3 2) = S (2 4). S (3 2).

En general, si tienes la factorización prima del número n, entonces para calcular la suma de sus divisores, tomas cada factor primo diferente y sumas todas sus potencias hasta la que aparece en la factorización prima, y ​​luego multiplicas todas estas sumas juntas!

Ejemplo: Determine S (1800).

Solución: La factorización prima de 1800 es 2 3. 3 2. 5 2. Y

S (2 3) = 1 + 2 + 4 + 8 = 15
S (3 2) = 1 + 3 + 9 = 13
S (5 2) = 1 + 5 + 25 = 31


3.2: Pruebas directas - Matemáticas

Ejemplos de prueba por contradicción

Ejemplo 1: Demuestre la siguiente afirmación por contradicción.

No existe el mayor número entero par.

Supongamos que no. [Tomamos la negación del teorema y suponemos que es cierto.] Supongamos que existe el mayor número entero par N. [Debemos deducir una contradicción.] Entonces

Para cada entero par n, N & # 8805 n.

Ahora suponga que M = N + 2. Entonces, M es un número entero par. [Porque es una suma de enteros pares]. Además, M & gt N [ya que M = N + 2]. Por lo tanto, M es un número entero mayor que el mayor número entero. Esto contradice la suposición de que N & # 8805 n para cada entero par n. [Por lo tanto, la suposición es falsa y la declaración es verdadera].

Y esto completa la prueba.

Ejemplo 2: Demuestre la siguiente afirmación por contradicción.

La diferencia de cualquier número racional y cualquier número irracional es irracional.

Supongamos que no. [Tomamos la negación del teorema y suponemos que es cierto.] Suponga & # 8707 un número racional xy un número irracional y tal que (x & # 8722 y) es racional. [Debemos derivar una contradicción.] Por definición de racional, tenemos

x = a / b para algunos enteros ayb con b & # 8800 0.

y x & # 8722 y = c / d para algunos enteros cyd con d & # 8800 0.

Pero (ad & # 8722 bc) son enteros [porque a, b, c, d son todos enteros y productos y las diferencias de enteros son enteros], y bd & # 8800 0 [por propiedad de producto cero]. Por lo tanto, por definición de racional, y es racional. Esto contradice la suposición de que y es racional. [Por tanto, la suposición es falsa y el teorema es verdadero.]

Y esto completa la prueba.

Ejemplo 3: Demuestre el siguiente enunciado por contradicción:

Lo negativo de cualquier número irracional es irracional.

Primero, traduzca la declaración dada del lenguaje informal al formal:

& # 8704 números reales x, si x es irracional, entonces & # 8722x es irracional.

Supongamos que no. [tomamos la negación del enunciado dado y suponemos que es cierto.] Supongamos, por el contrario, que

& # 8707 número irracional x tal que & # 8722x es racional.

[Debemos deducir la contradicción.] Por definición de racional, tenemos

& # 8722x = a / b para algunos enteros ayb con b & # 8800 0.

Multiplica ambos lados por & # 87221, da

Pero & # 8722a yb son enteros [ya que ayb son números enteros] yb & # 8800 0 [por propiedad del producto cero]. Por lo tanto, x es una razón de los dos enteros & # 8722a yb con b & # 8800 0 Por tanto, por definición, la ración x es racional, lo cual es una contradicción. [Esta contradicción muestra que la suposición es falsa y, por lo tanto, la declaración dada es verdadera].

Ejemplo 4: Demuestre el siguiente enunciado por contradicción:

Para todos los enteros n, si n 2 es impar, entonces n es impar.

Supongamos que no. [Tomamos la negación del enunciado dado y suponemos que es cierto.] Supongamos, por el contrario, que & # 8707 un número entero n tal que n 2 es impar y n es par. [Debemos deducir la contradicción.] Por definición de par, tenemos

Entonces, por sustitución tenemos

Ahora (2.k.k) es un número entero porque los productos de los números enteros son números enteros y 2 y k son números enteros. Por eso,

y así, por definición de n 2 par, es par.

Entonces, la conclusión es que, dado que n es par, n 2, que es el producto de n consigo mismo, también es par. Esto contradice la suposición de que n 2 es impar. [Por tanto, la suposición es falsa y la proposición es verdadera].


El proyecto Stacks

En esta sección probamos el hecho fundamental de que las imágenes directas superiores de una gavilla coherente bajo un morfismo adecuado son coherentes.

Proposición 30.19.1. Sea $ S $ un esquema local noetheriano. Sea $ f: X a S $ un morfismo propio. Sea $ mathcal$ ser un $ mathcal coherente_ X $ -módulo. Entonces $ R ^ if _ * mathcal$ es un $ mathcal coherente_ Módulo S $ para todos los $ i geq 0 $.

Prueba. Dado que el problema es local en $ S $, podemos suponer que $ S $ es un esquema noetheriano. Dado que un morfismo propio es de tipo finito, vemos que en este caso $ X $ es también un esquema noetheriano. Considere la propiedad $ mathcal

$ de gavillas coherentes en $ X $ definidas por la regla

Usaremos el resultado del Lema 30.12.6 para demostrar que $ mathcal

$ se mantiene para cada gavilla coherente en $ X $.

ser una breve secuencia exacta de gavillas coherentes en $ X $. Considere la larga secuencia exacta de imágenes directas superiores

[R ^

f _ * mathcal_3 a R ^ pf _ * mathcal_1 a R ^ pf _ * mathcal_2 a R ^ pf _ * mathcal_3 a R ^

f _ * mathcal_1 ]

Entonces está claro que si 2 de 3 de las poleas $ mathcal_ yo $ tengo propiedad $ mathcal

$, entonces las imágenes directas superiores de la tercera se intercalan en este complejo exacto entre dos haces coherentes. Por lo tanto, estas imágenes directas superiores también son coherentes con los lemas 30.9.2 y 30.9.3. Por lo tanto, propiedad $ mathcal

$ se mantiene también para el tercero.

Sea $ Z subconjunto X $ un subesquema integral cerrado. Tenemos que encontrar una gavilla coherente $ mathcal$ en $ X $ cuyo soporte está contenido en $ Z $, cuyo tallo en el punto genérico $ xi $ de $ Z $ es un espacio vectorial de $ 1 $ -dimensional sobre $ kappa ( xi) $ tal que $ mathcal

$ se mantiene para $ mathcalPS Denote $ g = f | _ Z: Z a S $ la restricción de $ f $. Supongamos que podemos encontrar una gavilla coherente $ mathcal$ en $ Z $ tal que (a) $ mathcal_ xi $ es un espacio vectorial dimensional de $ 1 $ sobre $ kappa ( xi) $, (b) $ R ^ pg _ * mathcal = 0 $ para $ p> 0 $, y (c) $ g _ * mathcal$ es coherente. Entonces podemos considerar $ mathcal = (Z a X) _ * mathcalPS Como $ Z to X $ es una inmersión cerrada, vemos que $ (Z to X) _ * mathcal$ es coherente en $ X $ y $ R ^ p (Z to X) _ * mathcal = 0 $ para $ p> 0 $ (Lema 30.9.9). Por lo tanto, por la secuencia espectral relativa de Leray (Cohomología, Lema 20.13.8) tendremos $ R ^ pf _ * mathcal = R ^ pg _ * mathcal = 0 $ para $ p> 0 $ y $ f _ * mathcal = g _ * mathcal$ es coherente. Finalmente $ mathcal_ xi = ((Z a X) _ * mathcal) _ xi = mathcal_ xi $ que verifica la condición del tallo en $ xi $. Por tanto, todo depende de encontrar un haz coherente $ mathcal$ en $ Z $ que tiene las propiedades (a), (b) y (c).

Podemos aplicar el lema 30.18.1 de Chow al morfismo $ Z a S $. Así obtenemos un diagrama

como en el enunciado del lema de Chow. Además, sea $ U subconjunto Z $ el subesquema abierto denso tal que $ pi ^ <-1> (U) a U $ es un isomorfismo. Por la discusión en la Observación 30.18.2 vemos que $ i '= (i, pi): Z' to mathbf

^ n_ Z $ es una inmersión cerrada. Por eso

es $ g '$ - relativamente amplio y $ pi $ - relativamente amplio (por ejemplo, por Morfismos, Lema 29.39.7). Por lo tanto, según el Lema 30.16.2, existe un $ n geq 0 $ tal que $ R ^ p pi _ * mathcal^ < otimes n> = 0 $ para todos los $ p> 0 $ y $ R ^ p (g ') _ * mathcal^ < otimes n> = 0 $ para todos los $ p> 0 $. Establecer $ mathcal = pi _ * mathcal^ < otimes n> $. La propiedad (a) se cumple porque $ pi _ * mathcal^ < otimes> | _ U $ es una gavilla invertible (como $ pi ^ <-1> (U) to U $ es un isomorfismo). Las propiedades (b) y (c) son válidas porque por la secuencia espectral relativa de Leray (Cohomología, Lema 20.13.8) tenemos

y por elección de $ n $ los únicos términos distintos de cero en $ E_2 ^$ son aquellos con $ q = 0 $ y los únicos términos distintos de cero de $ R ^

(g ') _ * mathcal^ < a veces n> $ son aquellos con $ p = q = 0 $. Esto implica que $ R ^ pg _ * mathcal = 0 $ para $ p> 0 $ y que $ g _ * mathcal = (g ') _ * mathcal^ < otimes n> $. Finalmente, aplicando el Lema 30.16.3 anterior vemos que $ g _ * mathcal = (g ') _ * mathcal^ < otimes n> $ es coherente como se desee. $ cuadrado $

Lema 30.19.2. Sea $ S = mathop < mathrm> (A) $ con $ A $ un anillo noetheriano. Sea $ f: X a S $ un morfismo propio. Sea $ mathcal$ ser un $ mathcal coherente_ X $ -módulo. Entonces $ H ^ i (X, mathcal) $ es un módulo $ A $ finito para todo $ i geq 0 $.

Prueba. Este es solo el caso afín de la Proposición 30.19.1. Es decir, por los Lemas 30.4.5 y 30.4.6 sabemos que $ R ^ si _ * mathcal$ es la gavilla casi coherente asociada al módulo $ A $ $ H ^ i (X, mathcal) $ y por el Lema 30.9.1 esta es una gavilla coherente si y solo si $ H ^ i (X, mathcal) $ es un módulo $ A $ de tipo finito. $ cuadrado $

Lema 30.19.3. Sea $ A $ un anillo noetheriano. Sea $ B $ un álgebra $ A $ graduada generada de forma finita. Sea $ f: X to mathop < mathrm> (A) $ sea un morfismo adecuado. Establecer $ mathcal = f ^ * widetilde B $. Sea $ mathcal$ ser un $ mathcal calificado casi coherente$ -módulo de tipo finito.

Por cada $ p geq 0 $, el módulo $ B $ calificado $ H ^ p (X, mathcal) $ es un módulo $ B $ finito.

Si $ mathcal$ es un amplio $ mathcal invertible_ X $ -module, entonces existe un entero $ d_0 $ tal que $ H ^ p (X, mathcal otimes mathcal^ < otimes d>) = 0 $ para todos los $ p> 0 $ y $ d geq d_0 $.

Prueba. Para probar esto, consideramos el diagrama de productos de fibra.

Tenga en cuenta que $ f '$ es un morfismo adecuado, consulte Morfismos, Lema 29.41.5. Además, $ B $ es un $ A $ -álgebra finitamente generado, y por lo tanto noetheriano (Álgebra, Lema 10.31.1). Esto implica que $ X '$ es un esquema noetheriano (Morfismos, Lema 29.15.6). Tenga en cuenta que $ X '$ es el espectro relativo del $ mathcal cuasi coherente_ X $ -álgebra $ mathcal$ por construcciones, lema 27.4.6. Desde $ mathcal$ es un $ mathcal casi coherente$ -module vemos que hay un $ mathcal único cuasi coherente_$ -módulo $ mathcal'$ tal que $ pi _ * mathcal'= mathcal$, ver Morfismos, Lema 29.11.6 Dado que $ mathcal$ es de tipo finito como $ mathcal$ -module llegamos a la conclusión de que $ mathcal'$ es un tipo finito $ mathcal_$ -module (detalles omitidos). En otras palabras, $ mathcal'$ es un $ mathcal coherente_$ -módulo (Lema 30.9.1). Dado que el morfismo $ pi: X ' a X $ es afín, tenemos

por Lema 30.2.4. Así (1) se sigue del Lema 30.19.2. Dado $ mathcal$ como en (2) establecemos $ mathcal'= pi ^ * mathcalPS Tenga en cuenta que $ mathcal'$ es amplio en $ X' $ por Morfismos, Lema 29.37.7. Por la fórmula de proyección (Cohomología, Lema 20.50.2) tenemos $ pi _ * ( mathcal' otimes mathcal') = mathcal otimes mathcalPS Así, la parte (2) sigue el mismo razonamiento que el anterior del Lema 30.16.2. $ cuadrado $


Ángulos de dirección de los vectores

La figura 1 muestra un vector unitario u que forma un ángulo & # 952 con el eje x positivo. El ángulo & # 952 se llama ángulo direccional del vector u.

El punto terminal del vector u se encuentra en un círculo unitario y, por lo tanto, tu se puede denotar por:

Cualquier vector que forme un ángulo & # 952 con el eje x positivo se puede escribir como el vector unitario multiplicado por la magnitud del vector.

Por lo tanto, el ángulo de dirección de & # 952 de cualquier vector se puede calcular de la siguiente manera:

Veamos algunos ejemplos.

Paso 1: Identifique los valores de ayby ​​calcule & # 952.

Paso 2: Determine el cuadrante en el que se encuentra el vector.

Debido a que el término del vector es (-2, 9), caerá en el cuadrante II y también lo hará & # 952.

Paso 3: Realice los ajustes necesarios para encontrar el ángulo direccional & # 952 desde el eje x positivo.

Dado que el ángulo de referencia es 78 & # 176, el ángulo direccional desde el eje x positivo es 180 & # 176 - 78 & # 176 = 102 & # 176.

Paso 1: Simplifique el vector v usando la multiplicación escalar.

k v = k v 1, v 2 = k v 1, k v 2 & # x2192 S c a l a r & # x00A0 M u l t i p l i c a t i o n

v = 3 (cos 60 & # x00B0 i + sen 60 & # x00B0 j)

v = 3 & # 183 cos 60 & # x00B0 i + 3 & # x00A0 & # 183 sin 60 & # x00B0 j

Paso 2: Identifique los valores de ayby ​​calcule & # 952.

bronceado & # x03B8 = b a = 3 3 2 3 2 = 3 3 2 & # x00A0 & # 183 2 3 = 3

Paso 3: Determine el cuadrante en el que se encuentra el vector.

Como el término del vector es (3 2, & # x00A0 3 3 2) = (1.5, 2.6) y ambos componentes son positivos, el vector caerá en el cuadrante I y también lo hará & # 952.

Paso 4: Realice los ajustes necesarios para encontrar el ángulo direccional & # 952 desde el eje x positivo.

Dado que el ángulo de referencia es 60 & # 176, el ángulo direccional desde el eje x positivo es 60 & # 176 - 0 & # 176 = 60 & # 176.

Para vincular a esto Ángulos de dirección de los vectores página, copie el siguiente código en su sitio:


3.2: Pruebas directas - Matemáticas

La prueba de cada uno de ellos se deriva de las definiciones de las funciones trigonométricas, Tema 15.

Prueba de las relaciones recíprocas

Por lo tanto, sin & theta es el recíproco de csc & theta:

donde 1 sobre cualquier cantidad es el símbolo de su recíproca Lección 5 de Álgebra. Lo mismo ocurre con las funciones restantes.

Prueba de las identidades tangente y cotangente

tan & theta = pecado y theta
cos & theta
y cuna y theta = cos y theta
pecado y theta
.

Por lo tanto, al dividir tanto el numerador como el denominador por r,

bronceado y theta = año / r
x / r
= pecado y theta
cos & theta
.
cuna y theta = 1
bronceado y theta
= cos & theta
pecado y theta
.

Esas son las dos identidades.

Prueba de las identidades pitagóricas

a) pecado 2 y theta + cos 2 y theta = 1
B) 1 + tan 2 y theta = sec 2 y theta
C) 1 + cuna 2 y theta = csc 2 y theta

Prueba 1. Según el teorema de Pitágoras,

Por lo tanto, al dividir ambos lados por r 2,

x 2
r 2
+ y 2
r 2
= r 2
r 2
= 1.

Aparte del orden de los términos, esta es la primera identidad pitagórica, a).

Para derivar b), divida la línea (1) por x 2 para obtener c), divida por y 2.

O podemos derivar tanto b) como c) de a) dividiéndolo primero entre cos 2 y theta y luego entre sin 2 y theta. Al dividir la línea 2) entre cos 2 y theta, tenemos


Prueba por contradicción

A veces es difícil (o imposible) probar que una conjetura es cierta usando métodos directos. Por ejemplo, para demostrar que la raíz cuadrada de dos es irracional, no podemos probar y rechazar directamente el número infinito de números racionales cuyo cuadrado podría ser dos. En cambio, mostramos que la suposición de que la raíz dos es racional conduce a una contradicción. Los pasos dados para una prueba por contradicción (también llamado prueba indirecta) están:

  1. Suponga lo contrario de su conclusión.
    1. Para & # 147 los números primos son infinitos en número, & # 148 suponga que los números primos son un conjunto finito de tamaño norte.
    2. Para probar el enunciado: si un triángulo es escaleno, entonces no hay dos de sus ángulos congruentes, y suponga que al menos dos ángulos son congruentes.
    1. que existe un primo no contado en el conjunto inicial de norte primos.
    2. que el triángulo no puede ser escaleno.

    ¿Por qué tiene sentido este método? Una forma de entenderlo es tener en cuenta que está creando una prueba directa de la contraposición de su declaración original (está probando Si no B, luego no A). Como los enunciados contrapositivos son siempre lógicamente equivalentes, sigue el original.

    Tenga en cuenta que la contradicción nos obliga a rechazar nuestra suposición porque nuestros otros pasos basados ​​en esa suposición son lógicos y están justificados. El único & # 147 error & # 148 que pudimos haber cometido fue la suposición misma. Una prueba indirecta establece que la conclusión contraria no es consistente con la premisa y que, por lo tanto, la conclusión original debe ser verdadera.

    Opuestos

    Con los republicanos en el poder, es hombre come hombre. Con los demócratas, es todo lo contrario. & # 151 Pegatina para el parachoques.

    A veces, puede ser un desafío determinar qué es lo opuesto a una conclusión. Lo contrario de & # 147all X están Y& # 148 no es & # 147todo X no son Y, & # 148 pero & # 147 al menos uno X no es Y. & # 148 De manera similar, cuando tenemos una conclusión compuesta, debemos tener cuidado. Considere estos dos ejemplos:

    La conjetura original Lo contrario de la conclusión
    Si metro y norte son enteros y Minnesota es extraño, entonces metro es impar y norte es impar. metro incluso o norte incluso
    Si metro + norte es irracional, entonces metro es irracional o norte es irracional. metro es racional y norte es racional

    Recursos

    Vea Triángulo con suma de ángulos restringidos para un problema de práctica y Actividad de clase Prueba por contradicción para un plan de lección que presenta prueba por contradicción.

    Tex4ht creó traducciones de fórmulas matemáticas para visualización web.


    3.2: Pruebas directas - Matemáticas

    Este ensayo se inspiró en una clase que estoy tomando este trimestre. La clase es Historia de las Matemáticas. En esta clase, estamos aprendiendo cómo incluir la historia de las matemáticas en la enseñanza de las matemáticas. Una forma de incluir la historia de las matemáticas en su salón de clases es incorporar problemas antiguos de matemáticas en su instrucción. Otra forma es presentar un tema nuevo con algo de historia del tema. Con suerte, este ensayo le dará algunas ideas sobre cómo incluir la historia del Teorema de Pitágoras en la enseñanza y el aprendizaje del mismo.

    Hemos estado discutiendo diferentes temas que se desarrollaron en civilizaciones antiguas. El Teorema de Pitágoras es uno de estos temas. Este teorema es uno de los primeros teoremas conocidos de las civilizaciones antiguas. Lleva el nombre de Pitágoras, un matemático y filósofo griego. El teorema lleva su nombre aunque tenemos evidencia de que los babilonios conocían esta relación unos 1000 años antes. Plimpton 322, una tablilla matemática babilónica que data de 1900 a. C., contiene una tabla de triples pitagóricas. El Chou-pei, un antiguo texto chino, también nos da evidencia de que los chinos conocían el teorema de Pitágoras muchos años antes de que Pitágoras o uno de sus colegas de la sociedad pitagórica lo descubrieran y probaran. Ésta es la razón por la que el teorema lleva el nombre de Pitágoras.

    Pitágoras vivió en el siglo VI o V a.C. Fundó la Escuela de Pitágoras en Crotona. Esta escuela era una academia para el estudio de las matemáticas, la filosofía y las ciencias naturales. La escuela pitagórica era más que una escuela, era una hermandad estrechamente unida con ritos y observancias secretas ”(Eves 75). Debido a esto, la escuela fue destruida por las fuerzas democráticas de Italia. Aunque la hermandad se dispersó, continuó existiendo durante dos siglos más. A Pitágoras y sus colegas se les atribuyen muchas contribuciones a las matemáticas.

    La siguiente es una investigación de cómo se ha demostrado el teorema de Pitágoras a lo largo de los años.

    "El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos" (Evas 80-81).


    Este teorema se refiere al área de los cuadrados que se construyen a cada lado del triángulo rectángulo.

    En consecuencia, obtenemos las siguientes áreas para los cuadrados, donde los cuadrados verde y azul están en los catetos del triángulo rectángulo y el cuadrado rojo está en la hipotenusa.

    el área del cuadrado verde es
    el área del cuadrado azul es
    el área del cuadrado rojo es

    De nuestro teorema, tenemos la siguiente relación:

    área del cuadrado verde + área del cuadrado azul = área del cuadrado rojo o

    Como dije anteriormente, este teorema recibió el nombre de Pitágoras porque fue el primero en demostrarlo. Probablemente usó un tipo de prueba de disección similar a la siguiente para demostrar este teorema.

    & quot; Supongamos que a, b, c denotan los catetos y la hipotenusa del triángulo rectángulo dado, y consideremos los dos cuadrados de la figura adjunta, cada uno de los cuales tiene a + b como lado. The first square is dissected into six pieces-namely, the two squares on the legs and four right triangles congruent to the given triangle. The second square is dissected into five pieces-namely, the square on the hypotenuse and four right triangles congruent to the given triangle. By subtracting equals from equals, it now follows that the square on the hypotenuse is equal to the sum of the squares on the legs" (Eves 81).

    Consider the following figure.

    The area of the first square is given by (a+b)^2 or 4(1/2ab)+ a^2 + b^2.
    The area of the second square is given by (a+b)^2 or 4(1/2ab) + c^2.
    Since the squares have equal areas we can set them equal to another and subtract equals. The case (a+b)^2=(a+b)^2 is not interesting. Let's do the other case.
    4(1/2ab) + a^2 + b^2 = 4(1/2ab)+ c^2
    Subtracting equals from both sides we have

    concluding Pythagoras' proof.
    Over the years there have been many mathematicians and non-mathematicians to give various proofs of the Pythagorean Theorem. Following are proofs from Bhaskara and one of our former presidents, President James Garfield. I have chosen these proofs because any of them would be appropriate to use in any classroom.

    Bhaskara's First Proof

    Bhaskara's proof is also a dissection proof. It is similar to the proof provided by Pythagoras. Bhaskara was born in India. He was one of the most important Hindu mathematicians of the second century AD. He used the following diagrams in proving the Pythagorean Theorem.

    In the above diagrams, the blue triangles are all congruent and the yellow squares are congruent. First we need to find the area of the big square two different ways. First let's find the area using the area formula for a square.
    Thus, A=c^2.
    Now, lets find the area by finding the area of each of the components and then sum the areas.
    Area of the blue triangles = 4(1/2)ab
    Area of the yellow square = (b-a)^2
    Area of the big square = 4(1/2)ab + (b-a)^2
    = 2ab + b^2 - 2ab + a^2
    = b^2 + a^2

    Since, the square has the same area no matter how you find it
    A = c^2 = a^2 + b^2,
    concluding the proof.


    Bhaskara's Second Proof of the Pythagorean Theorem

    In this proof, Bhaskara began with a right triangle and then he drew an altitude on the hypotenuse. From here, he used the properties of similarity to prove the theorem.

    Now prove that triangles ABC and CBE are similar.
    It follows from the AA postulate that triangle ABC is similar to triangle CBE, since angle B is congruent to angle B and angle C is congruent to angle E. Thus, since internal ratios are equal s/a=a/c.
    Multiplying both sides by ac we get
    sc=a^2.

    Now show that triangles ABC and ACE are similar.
    As before, it follows from the AA postulate that these two triangles are similar. Angle A is congruent to angle A and angle C is congruent to angle E. Thus, r/b=b/c. Multiplying both sides by bc we get
    rc=b^2.

    Now when we add the two results we get
    sc + rc = a^2 + b^2.
    c(s+r) = a^2 + b^2
    c^2 = a^2 + b^2,
    concluding the proof of the Pythagorean Theorem.

    Garfield's Proof

    The twentieth president of the United States gave the following proof to the Pythagorean Theorem. He discovered this proof five years before he become President. He hit upon this proof in 1876 during a mathematics discussion with some of the members of Congress. It was later published in the New England Journal of Education .. The proof depends on calculating the area of a right trapezoid two different ways. The first way is by using the area formula of a trapezoid and the second is by summing up the areas of the three right triangles that can be constructed in the trapezoid. He used the following trapezoid in developing his proof.

    First, we need to find the area of the trapezoid by using the area formula of the trapezoid.
    A=(1/2)h(b1+b2) area of a trapezoid

    In the above diagram, h=a+b, b1=a, and b2=b.

    Now, let's find the area of the trapezoid by summing the area of the three right triangles.
    The area of the yellow triangle is
    A=1/2(ba).

    The area of the red triangle is
    A=1/2(c^2).

    The area of the blue triangle is
    A= 1/2(ab).

    The sum of the area of the triangles is
    1/2(ba) + 1/2(c^2) + 1/2(ab) = 1/2(ba + c^2 + ab) = 1/2(2ab + c^2).

    Since, this area is equal to the area of the trapezoid we have the following relation:
    (1/2)(a^2 + 2ab + b^2) = (1/2)(2ab + c^2).


    Proving A Quadrilateral is a Parallelogram

    Take a look at this quadrilateral:

    [insert drawing of quadrilateral where opposite sides are very slightly not parallel and of equal length, so it is really hard to see if it is a parallelogram]

    Is this quadrilateral a parallelogram? Can you be certain? Only by mathematically proving that the shape has the identifying properties of a parallelogram can you be sure. You can prove this with either a two-column proof or a paragraph proof.

    Six Ways

    Here are the six ways to prove a quadrilateral is a parallelogram:

    1. Prove that opposite sides are congruent
    2. Prove that opposite angles are congruent
    3. Prove that opposite sides are parallel
    4. Prove that consecutive angles are supplementary (adding to 180°)
    5. Prove that an angle is supplementary to both its consecutive angles
    6. Prove that the quadrilateral's diagonals bisect each other

    Two-Column Proof

    We can use one of these ways in a two-column proof. Bear in mind that, to challenge you, most problems involving parallelograms and proofs will no give you all the information about the presented shape. Here, for example, you are given a quadrilateral and told that its opposite sides are congruent.

    [insert drawing of quadrilateral GOAT with sides GO &cong TA and TG &cong OA]

    • GO &cong TA and TG &cong OA (Given)
    • Construct segment TO Construct a diagonal
    • TO &cong TO Reflexive Property
    • △GOT &cong △ TOA Side-Side-Side Postulate: If three sides of one △
    • are congruent to three sides of another △, then the two △ are congruent
    • &angGTO &cong &ang TOA CPCTC: Corresponding parts of congruent △ are
    • &angGOT &cong &ang OTA congruent
    • GO ∥ TA and TG ∥ OA Converse of the Alternate Interior Angles

    Theorem: If a transversal cuts across two lines and the alternate interior angles are congruent, then the lines are parallel

    ▱ GOAT Definition of a parallelogram: A quadrilateral

    with two pairs of opposite sides parallel

    The two-column proof proved the quadrilateral is a parallelogram by proving opposite sides were parallel.

    Paragraph Proof

    You can also use the paragraph proof form for any of the six ways. Paragraph proofs are harder to write because you may skip a step or leave out an explanation for one of your statements. You may wish to work very slowly to avoid problems.

    Always start by making a drawing so you know exactly what you are saying about the quadrilateral as you prove it is a parallelogram.

    Here is a proof still using opposite sides parallel, but with a different set of given facts. You are given a quadrilateral with diagonals that are identified as bisecting each other.

    [insert drawing of quadrilateral FISH with diagonals HI and FS, but make quadrilateral clearly NOT a parallelogram show congruency marks on the two diagonals showing they are bisected]

    Given a quadrilateral FISH with bisecting diagonals FS and HI, we can also say that the angles created by the intersecting diagonals are congruent. They are congruent because they are vertical angles (opposite angles sharing a vertex point).

    Notice that we have two sides and an angle of both triangles inside the quadrilateral. So, we can use the Side-Angle-Side Congruence Theorem to declare the two triangles congruent.

    Corresponding parts of congruent triangles are congruent (CPCTC), so &angIFS and &ang HSF are congruent. Those two angles are alternate interior angles, and if they are congruent, then sides FI and SH are parallel.

    You can repeat the steps to prove FH and IS parallel, which means two pairs of opposite sides are parallel. Thus, you have a parallelogram.

    In both proofs, you may say that you already were given a fact that is one of the properties of parallelograms. That is true with both proofs, but in neither case was the given information mathematically proven. You began with the given and worked through the problem, but if your proof "fell apart," then the given may have been wrong.

    Since neither our two-column proof or paragraph proof "fell apart," we know the givens were true, and we know the quadrilaterals are parallelograms.


    Ver el vídeo: MTH500 Direct Proofs (Septiembre 2021).