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4.4: Productos cartesianos - Matemáticas


Otra forma de obtener un nuevo conjunto a partir de dos conjuntos dados (A ) y (B ) es formar pares ordenados. Un par ordenado ((x, y) ) consta de dos valores (x ) y (y ). En general, ((a, b) = (c, d) ) si y solo si (a = c ) y (b = d ).

Definición: Producto cartesiano

El producto cartesiano de (A ) y (B ) es el conjunto

[A times B = {(a, b) mid a in A wedge b in B } nonumber ]

Así, (A times B ) (leído como " (A ) cross (B )") contiene todos los pares ordenados en los que los primeros elementos se seleccionan de (A ), y los segundos elementos se seleccionan de (B ).

Ejemplo ( PageIndex {1} label {por ejemplo: cartprod-01} )

Sea (A = { mbox {John}, mbox {Jim}, mbox {Dave} } ) y (B = { mbox {Mary}, mbox {Lucy} } ) . Determine (A times B ) y (B times A ).

Solución

Encontramos [ displaylines {A times B = {( mbox {John}, mbox {Mary}), ( mbox {John}, mbox {Lucy}), ( mbox {Jim}, mbox {Mary}), ( mbox {Jim}, mbox {Lucy}), ( mbox {Dave}, mbox {Mary}), ( mbox {Dave}, mbox {Lucy}) }, cr B times A = {( mbox {Mary}, mbox {John}), ( mbox {Mary}, mbox {Jim}), ( mbox {Mary}, mbox {Dave}) , ( mbox {Lucy}, mbox {John}), ( mbox {Lucy}, mbox {Jim}), ( mbox {Lucy}, mbox {Dave}) }. cr} nonumber ] En general, (A times B neq B times A ).

Ejemplo ( PageIndex {2} label {por ejemplo: cartprod-02} )

Determine (A times B ) y (A times A ):

  1. (A = {1,2 } ) y (B = {2,5,6 } ).
  2. (A = {5 } ) y (B = {0,7 } ).
Solución

(a) Encontramos [ begin {array} {rcl} A times B & = & {(1,2), (1,5), (1,6), (2,2), (2 , 5), (2,6) }, A times A & = & {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2) }. end {matriz} nonumber ]

(b) Las respuestas son (A times B = {(5,0), (5,7) } ) y (A times A = {(5,5) } ) .

ejercicio práctico ( PageIndex {1} label {he: cartprod-01} )

Sea (A = {a, b, c, d } ) y (B = {r, s, t } ). Encuentra (A veces B ), (B veces A ) y (B veces B ).

Ejemplo ( PageIndex {3} label {por ejemplo: cartprod-03} )

Determina ( wp ( {1,2 }) times {3,7 } ). Asegúrese de utilizar la notación correcta.

Solución

Para un problema complicado, divídalo en tareas más pequeñas y resuelva cada una por separado. Luego júntelos para formar la respuesta final. En este problema, primero evaluamos [ wp ( {1,2 }) = big { emptyset, {1 }, {2 }, {1,2 } big }. nonumber ] Esto conduce a [ begin {array} {rcl} wp ( {1,2 }) times {3,7 } & = & big { emptyset, {1 }, {2 }, {1,2 } big } times {3,7 } & = & big {( emptyset, 3), ( emptyset, 7 ), ( {1 }, 3), ( {1 }, 7), ( {2 }, 3), ( {2 }, 7), ( {1,2 } , 3), ( {1,2 }, 7) big }. end {array} nonumber ] Verifique que tengamos paréntesis izquierdo y derecho coincidentes, y llaves derecha e izquierda coincidentes.

ejercicio práctico ( PageIndex {2} label {he: cartprod-02} )

Encuentra ( {a, b, c } times wp ( {d }) ).

Ejemplo ( PageIndex {4} label {por ejemplo: cartprod-04} )

¿Cómo podríamos describir el contenido del producto cartesiano ([1,3] times {2,4 } )? Dado que ([1,3] ) es un conjunto infinito, es imposible enumerar todos los pares ordenados. Necesitamos usar la notación del generador de conjuntos: [[1,3] times {2,4 } = {(x, y) mid 1 leq x leq3, y = 2,4 } . nonumber ] También podemos escribir ([1,3] times {2,4 } = {(x, 2), (x, 4) mid 1 leq x leq3 } ) .

ejercicio práctico ( PageIndex {3} label {HE: cartprod-03} )

Describe, usando la notación del constructor de conjuntos, el producto cartesiano ([1,3] times [2,4] ).

Los productos cartesianos se pueden ampliar a más de dos conjuntos. En lugar de pares ordenados, necesitamos ordenado (n ) - tuplas. El (n ) - doblar producto cartesiano de (n ) conjuntos (A_1, A_2, ldots, A_n ) es el conjunto

[$ A_1 veces A_2 veces cdots veces A_n
= {(a_1, a_2, ldots, a_n) mid a_i in A_i mbox {para cada} i,
1 leq i leq n } nonumber ]

En particular, cuando (A_i = A ) para todo (i ), abreviamos el producto cartesiano como (A ^ n ).

Ejemplo ( PageIndex {5} label {por ejemplo: cartprod-05} )

El (n ) - espacio dimensional se denota ( mathbb {R} ^ n ). Es el producto cartesiano de (n ) - pliegue de ( mathbb {R} ). En casos especiales, ( mathbb {R} ^ 2 ) es el (xy ) - plano y ( mathbb {R} ^ 3 ) es el (xyz ) - espacio.

ejercicio práctico ( PageIndex {5} label {he: cartprod-04} )

Sea (A = {1,2 } ), (B = {a, b } ) y (C = {r, s, t } ). Encuentra (A multiplicado por B multiplicado por C ).

Ejemplo ( PageIndex {6} label {por ejemplo: cartprod-06} )

Desde un punto de vista técnico, ((A times B) times C ) es diferente de (A times B times C ). ¿Puedes explicar porque? ¿Puede discutir la diferencia, si la hay, entre ((A veces B) veces C ) y (A veces (B veces C) )? Por ejemplo, da algunos ejemplos específicos de los elementos en ((A times B) times C ) y (A times (B times C) ) para ilustrar sus diferencias.

Solución

Los elementos de ((A times B) times C ) son pares ordenados en los que las primeras coordenadas son pares ordenados. Un elemento típico en ((A times B) times C ) toma la forma de [ big ((a, b), c big). nonumber ] Los elementos en (A times B times C ) son triples ordenados de la forma [(a, b, c). nonumber ] Dado que sus elementos se ven diferentes, está claro que ((A times B) times C neq A times B times C ). Del mismo modo, un elemento típico en (A times (B times C) ) se ve como [ big (a, (b, c) big). nonumber ] Por lo tanto, ((A times B) times C neq A times (B times C) ), y (A times (B times C) neq A times B veces C ).

Teorema ( PageIndex {1} )

Para cualquier conjunto (A ), (B ) y (C ), tenemos [ begin {array} {rcl} A times (B cup C) & = & (A times B) cup (A times C), A times (B cap C) & = & (A times B) cap (A times C), A times (B - C) & = & (A times B) - (A times C). End {array} nonumber ]

Observación

¿Cómo demostraríamos que los dos conjuntos (S ) y (T ) son iguales? Necesitamos mostrar que [x in S Leftrightarrow x in T. nonumber ] La complicación en este problema es que tanto (S ) como (T ) son productos cartesianos, entonces (x ) adquiere una forma especial, a saber, la de un par ordenado. Considere la primera identidad como ejemplo; necesitamos mostrar que [(u, v) en A times (B cup C) Leftrightarrow (u, v) in (A times B) cup (A times C). nonumber ] Demostramos esto en dos pasos: primero mostrando ( Rightarrow ), luego ( Leftarrow ), que es equivalente a mostrar primero ( subseteq ), luego ( supseteq ). Alternativamente, podemos usar ( Leftrightarrow ) a lo largo del argumento.

Prueba 1

Sea ((u, v) in A times (B cup C) ). Entonces (u en A ) y (v en B cup C ). La definición de unión implica que (v in B ) o (v in C ). Hasta ahora, hemos encontrado

  1. (u en A ) y (v en B ), o
  2. (u en A ) y (v en C ).

Esto es equivalente a

  1. ((u, v) en A veces B ), o
  2. ((u, v) en A por C ).

Por lo tanto, ((u, v) in (A times B) cup (A times C) ). Esto prueba que (A times (B cup C) subseteq (A times B) cup (A times C) ).

Luego, sea ((u, v) in (A times B) cup (A times C) ). Entonces ((u, v) en A veces B ), o ((u, v) en A veces C ). Esto significa

  1. (u en A ) y (v en B ), o
  2. (u en A ) y (v en C ).

Ambas condiciones requieren (u in A ), por lo que podemos reescribirlas como

  1. (u in A ), y
  2. (v en B ) o (v en C );

que es equivalente a

  1. (u in A ), y
  2. (v en B taza C ).

Por lo tanto, ((u, v) en A times (B cup C) ). Hemos probado que ((A times B) cup (A times C) subseteq A times (B cup C) ). Junto con (A times (B cup C) subseteq (A times B) cup (A times C) ) que hemos probado anteriormente, concluimos que (A times (B cup C ) = (A times B) cup (A times C) ).

Prueba 2

Solo probaremos la primera igualdad. Desde [ begin {array} {rll} (u, v) in A times (B cup C) & Leftrightarrow u in A wedge v in (B cup C) & ( text { defn. de producto cartesiano}) & Leftrightarrow u in A wedge (v in B vee v in C) & ( text {defn. of union}) & Leftrightarrow (u in A wedge v in B) vee (u in A wedge v in C) & ( text {ley distributiva}) & Leftrightarrow (u, v) in A times B vee ( u, v) in A times C & ( text {defn. del producto cartesiano}) & Leftrightarrow (u, v) in (A times B) cup (A times C) & ( text {defn. of union}) end {array} ] concluimos que (A times (B cup C) = (A times B) cup (A times C) ).

Teorema ( PageIndex {2} label {cartprodcard} )

Si (A ) y (B ) son conjuntos finitos, con (| A | = m ) y (| B | = n ), entonces (| A times B | = mn ) .

Prueba

Los elementos de (A times B ) son pares ordenados de la forma ((a, b) ), donde (a in A ) y (b in B ). Hay (m ) opciones de (a ). Para cada (a ) fijo, podemos formar el par ordenado ((a, b) ) de (n ) formas, porque hay (n ) opciones para (b ). Juntos, los pares ordenados ((a, b) ) se pueden formar de (mn ) formas.

El argumento que usamos en la demostración se llama principio de multiplicación. Lo estudiaremos de nuevo en el capítulo 8. En resumen, dice que si un trabajo se puede completar en varios pasos, entonces el número de formas de terminar el trabajo es el producto del número de formas de terminar cada paso.

Corallary ( PageIndex {3} )

Si (A_1, A_2, ldots, A_n ) son conjuntos finitos, entonces (| A_1 times A_2 times cdots times A_n | = | A_1 | cdot | A_2 | , cdots , | A_n | ).

Corolario ( PageIndex {4} )

Si (A ) es un conjunto finito con (| A | = n ), entonces (| wp (A) | = 2 ^ n ).

Prueba

Deje que los elementos de (A ) sean (a_1, a_2, ldots, a_n ). Los elementos de ( wp (A) ) son subconjuntos de (A ). Cada subconjunto de (A ) contiene algunos elementos de (A ). Asociar a cada subconjunto (S ) de (A ) una (n ) - tupla ordenada ( big (b_1, b_2, ldots, b_n big) ) de ( {0,1 } ^ n ) tal que [b_i = cases {0 & if $ a_i notin S $, cr 1 & if $ a_i in S $. cr} nonumber ] El valor del (i ) th elemento en esta tupla (n ) ordenada indica si el subconjunto (S ) contiene el elemento (a_i ). Está claro que los subconjuntos de (A ) están en correspondencia uno a uno con las tuplas (n ). Esto significa que el conjunto de potencias ( wp (A) ) y el producto cartesiano ( {0,1 } ^ n ) tienen la misma cardinalidad. Dado que hay (2 ^ n ) ordenadas (n ) - tuplas, concluimos que también hay (2 ^ n ) subconjuntos.

Esta idea de correspondencia uno a uno es un concepto muy importante en matemáticas. Lo estudiaremos de nuevo en el capítulo 6.

Resumen y revisión

  • El producto cartesiano de dos conjuntos (A ) y (B ), denotado (A times B ), consta de pares ordenados de la forma ((a, b) ), donde (a ) proviene de (A ) y (b ) proviene de (B ).
  • Dado que están involucrados pares ordenados, (A times B ) generalmente no es igual a (B times A ).
  • La noción de pares ordenados se puede extender de manera análoga a tuplas (n ) ordenadas, lo que produce un producto cartesiano de (n ) pliegues.
  • Si (A ) y (B ) son conjuntos finitos, entonces (| A times B | = | A | cdot | B | ).

Ejercicio ( PageIndex {1} label {ex: cartprod-01} )

Sea (X = {- 2,2 } ), (Y = {0,4 } ) y (Z = {- 3,0,3 } ). Evalúe los siguientes productos cartesianos.

  1. (X veces Y )
  2. (X por Z )
  3. (Z veces Y veces Y )

Ejercicio ( PageIndex {2} label {ex: cartprod-02} )

Considere los conjuntos (X ), (Y ) y (Z ) definidos en el ejercicio anterior. Evalúe los siguientes productos cartesianos.

  1. (X veces Y veces Z )
  2. ((X veces Y) veces Z )
  3. (X veces (Y veces Z) )

Ejercicio ( PageIndex {3} label {ex: cartprod-03} )

Sin enumerar todos los elementos de (X times Y times X times Z ), donde (X ), (Y ) y (Z ) están definidos en el primer ejercicio, determine ( | X veces Y veces X veces Z | ).

Ejercicio ( PageIndex {4} label {ex: cartprod-04} )

Determine (| wp ( wp ( wp ( {1,2 }))) | ).

Ejercicio ( PageIndex {5} label {ex: cartprod-05} )

Considere el conjunto (X = {- 2,2 } ). Evalúe los siguientes productos cartesianos.

  1. (X veces wp (X) )
  2. ( wp (X) veces wp (X) )
  3. ( wp (X veces X) )

Ejercicio ( PageIndex {6} label {ex: cartprod-06} )

Sean (A ) y (B ) conjuntos arbitrarios no vacíos.

  1. ¿Bajo qué condición (A times B = B times A )?
  2. ¿Bajo qué condición está ((A times B) cap (B times A) ) vacío?

Ejercicio ( PageIndex {7} label {ex: cartprod-07} )

Sean (A ), (B ) y (C ) cualesquiera tres conjuntos. Pruebalo

  1. (A times (B cap C) = (A times B) cap (A times C) )
  2. (A veces (B - C) = (A veces B) - (A veces C) )

Ejercicio ( PageIndex {8} label {ex: cartprod-08} )

Sean (A ), (B ) y (C ) cualesquiera tres conjuntos. Demuestre que si (A subseteq B ), entonces (A times C subseteq B times C ).


Producto cartesiano

Para dos juegos A y B, el producto cartesiano de A y B se denota por A×B y definido como:

El producto cartesiano es la multiplicación de dos conjuntos para formar el conjunto de todos los pares ordenados. El primer elemento del par ordenado pertenece al primer conjunto y el segundo par pertenece al segundo conjunto. Para un ejemplo,

Aquí, establece A y B se multiplica para obtener un producto cartesiano A × B. El primer elemento de A × B es un par ordenado (carne de perro) dónde perro pertenece al conjunto A. Del mismo modo, el segundo elemento del par ordenado, carne pertenece al conjunto B. Esto es cierto para todos los elementos (par ordenado) de A × B.


Tuplas n & # 8211 ordenadas

Definición: Sean $ A_ <1>, A_ <2> $ y $ A_ <3> $ conjuntos no & # 8211 vacíos y $ a_ <1> en A_ <1>, a_ <2> en A_ <2> $ y $ a_ <3> en A_ <3> $.

Triple ordenado de los elementos $ a_ <1>, a_ <2> $ y $ a_ <3> $, denotados por $ (a_ <1>, a_ <2>, a_ <3>) $, es un conjunto

Definición: Deje $ A_ <1>, ldots, A_$ be no & # 8211 conjuntos vacíos y $ a_ <1> en A_ <1>, ldots, a_ en un_$.

Tupla ordenada n & # 8211 de elementos $ a_ <1>, ldots, a_$, denotado por $ (a_ <1>, ldots, a_) $, es un conjunto


Teoría de la homotopía real y racional

Edgar H. Brown Jr., Robert H. Szczarba, en Manual de topología algebraica, 1995

TEOREMA 4.6

Si (X, ρ) ∈ ΔTπ y × es un 0-conjunto simplicial conectado (topología discreta) entonces tiene un sistema Postnikov.

Suponer X = B × τ F es un producto cartesiano retorcido de B y F con grupo estructural GRAMO, todo en ΔTπ. Dejar B (pag) ser el pag esqueleto de B, es decir, el subespacio simple más pequeño de B conteniendo todo Bq, qpag. Filtrar C * (X METRO) π por

Las definiciones habituales ([15]) producen la secuencia espectral de Serre con su relación habitual con H * (X METRO). Dejar

donde π actúa sobre C * (F METRO) por Gu(F) = gramo(tu(gramo −1 F)). Es más, D0θ0 = θ0δ2 donde δ2 es el diferencial procedente de δ: C q (F METRO) → C q+1 (F METRO). Computar mi1 hay que demostrar que (kernel δ2) / (imagen δ2) es isomorfo a C p (B H q (F ¯ M ¯)) π. Cuándo R = Q, esto es inmediato. Cuándo R = R, las dos condiciones siguientes aseguran que esto sea cierto.


4.4: Productos cartesianos - Matemáticas

El producto cartesiano de un par de conjuntos y, denotado es el conjunto de todos los pares ordenados, con y.

Aquí se piensa que el conjunto se encuentra a lo largo del eje "horizontal" o -y el conjunto a lo largo del eje "vertical" o -a.

Si tenemos tres conjuntos, y, pensamos en los productos y como esencialmente lo mismo, entonces escribimos justo y pensamos en esto como el conjunto de todos los triples ordenados, con y.

Sin embargo, no se considera lo mismo que ni es lo mismo que.

De manera más general, para cualquiera, el producto cartesiano de una lista ordenada de conjuntos es el conjunto de todas las tuplas ordenadas,, con, para cada uno.

Si todos los conjuntos de un producto son iguales, escribimos para el producto cartesiano de-pliegue de consigo mismo (si, ponemos).

Por ejemplo, es el conjunto de todos los triples ordenados con y en.

También es posible definir el producto cartesiano de un número infinito de conjuntos, pero aquí hay que tener cuidado: resulta que no es obvio que tales productos no están vacíos, incluso si cada elemento del producto no está vacío. : de hecho, esto necesita un axioma matemático, llamado axioma de elección, que puede ser aceptable o no.
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Relación

Hemos visto que toda relación del conjunto A con el conjunto B es una conexión que en base a una regla específica los elementos del conjunto A se emparejan con elementos del conjunto B obteniendo un subconjunto G del producto cartesiano AxB.

1. El primer conjunto A, se llama dominio de la relación.

2. El segundo conjunto B se llama rango de la relación.

3. El subconjunto G del producto cartesiano AxB que contiene todos los pares ordenados (a, b) de los elementos que están emparejados según una regla específica.

Ejemplo 2: Tenemos la relación R con el dominio $ displaystyle A = left <6,5,3 right > $ y el rango $ displaystyle B = left <2,3,4 right > $ con la regla & # 8220 la a es un múltiplo de b ''.

El producto cartesiano AxB =

En esta relación, el elemento 6 ∈ A está emparejado con el elemento 2 ∈ B, también con el elemento 3 ∈ B. El elemento 5 ∈ A no está emparejado con ningún elemento del conjunto B. El elemento 3 ∈ A está emparejado con el elemento 3 ∈ B.

El subconjunto G basado en la relación que dijimos anteriormente es: $ displaystyle G = left <(6,2), (6,3), (3,3) right > $


Producto cartesiano

Juntos, los equipos trabajan las 24 horas del día para obtener un producto que promete un riesgo mucho mayor de lo que genera beneficios.

El filántropo multimillonario prueba el producto de una máquina que procesa las aguas residuales humanas en agua potable y electricidad.

Bitcoin comenzó en 2013 con un precio de $ 770 por unidad, y las empresas de derecha e izquierda se estaban convirtiendo al producto etéreo.

Y, con Coca-Cola anunciando el lanzamiento de un nuevo producto lácteo, la bebida podría volver a nuestras manos antes de que nos demos cuenta.

El producto resultante incluyó cuatro variantes de un solo barril junto con imágenes terminadas de McKidd disfrutando de una copa de The Macallan.

Es el principal producto de desecho del metabolismo y constituye aproximadamente la mitad de todos los sólidos excretados, aproximadamente 30 g.

Luego, el producto se multiplica por el número de centímetros cúbicos anulados en veinticuatro horas y se divide por 1000.

Debo juzgar que una pizca de maíz es aproximadamente el producto promedio de un día de trabajo en toda esta región.

Sospecho, por el evidente cuidado que se le ha dado, que se confía considerablemente en su producto para la alimentación.

La hoja de Virginia sigue floreciendo y hoy es el gran producto agrícola del Estado.


Descomposición hamiltoniana de productos (1978)

Conjetura / Pregunta: Si GRAMO y H son gráficos que tienen descomposiciones en ciclos de expansión, entonces el producto cartesiano de GRAMO y H también se descompone en ciclos de expansión.

Definiciones / Antecedentes / Motivación: El producto cartesiano de gráficos GRAMO y H es el gráfico con vértice establecido V (G) x V (H), con (u, v) adyacente a (u ', v') si y solo si (1) u = u ' y vv ' en E (H) o (2) v = v ' y uu ' en E (G).

Comentarios / Resultados parciales: La conjetura de Bermond [B] amplió la conjetura anterior de Kotzig [K] de que el producto de tres ciclos tiene una descomposición hamiltoniana. Por supuesto, los gráficos considerados deben ser regulares. Aubert y Schneider [AS1] probaron la afirmación en el caso en que la relación entre los grados de GRAMO y H es como máximo 2. Esto implica una serie de resultados y conjeturas anteriores, incluida la existencia de descomposiciones hamiltonianas para productos cartesianos de cualquier k ciclos. Aubert y Schneider [AS2] también demostraron el enunciado del producto cartesiano de dos gráficas completas. Stong [S] logró un progreso sustancial adicional. Suponer que 2r y 2 s son los grados de GRAMO y H, con r le s. Mostró que el producto tiene una descomposición hamiltoniana en cualquiera de las siguientes condiciones: (1) s le 3r, (2) r ge 3, (3) | V (G) | es par, o (4) | V (H) | ge 6 techo-3.

Referencias: [AS1] Aubert, Jacques Schneider, Bernadette. D composition de la somme cart sienne d'un cycle et de l'union de deux cycles hamiltoniens en cycles hamiltoniens. [Descomposición de la suma cartesiana de un ciclo y de la unión de dos ciclos hamiltonianos en ciclos hamiltonianos] Matemática discreta. 38 (1982), núm. 1, 7--16. 05C38 (05C45) 85f: 05078
[AS2] Aubert, Jacques Schneider, Bernadette. D composición de K_m + K_n en ciclos hamiltoniens. [Descomposición de K_m + K_n en ciclos hamiltonianos] Matemáticas discretas. 37 (1981), núm. 1, 19-27. 05C45 (05C70) 84k: 05061
[B] Bermond, J.-C. Descomposiciones hamiltonianas de gráficos, gráficos dirigidos e hipergráficos. Avances en la teoría de grafos (Cambridge Combinatorial Conf., Trinity College, Cambridge, 1977). Ana. Matemáticas discretas. 3 (1978), 21-28. 05C35 SEÑOR 58 # 21803
[K] Kotzig, A. Todo producto cartesiano de dos circuitos se puede descomponer en dos circuitos hamiltonianos. Rapport 233, Centre de Recherches Math 'ematiques, Montreal 1973.
[S] Stong, Richard. Descomposiciones de Hamilton de productos cartesianos de gráficos. Matemáticas discretas. 90 (1991), núm. 2, 169-190. 05C45 MR92i: 05144


El proyecto Stacks

Definición 4.4.1. Sea $ x, y in mathop < mathrm> nolimits ( mathcalPS A producto de $ x $ y $ y $ es un objeto $ x times y in mathop < mathrm> nolimits ( mathcal) $ junto con morfismos $ p in mathop < mathrm> nolimits _ < mathcal C> (x times y, x) $ y $ q en mathop < mathrm> nolimits _ < mathcal C> (x times y, y) $ tal que se cumpla la siguiente propiedad universal: para cualquier $ w in mathop < mathrm> nolimits ( mathcal) $ y morfismos $ alpha in mathop < mathrm> nolimits _ < mathcal C> (w, x) $ y $ beta en mathop < mathrm> nolimits _ mathcal (w, y) $ hay un $ gamma único en mathop < mathrm> nolimits _ < mathcal C> (w, x times y) $ haciendo el diagrama

Si existe un producto, es único hasta un isomorfismo único. Esto se sigue del lema de Yoneda ya que la definición requiere que $ x times y $ sea un objeto de $ mathcal$ tal que

funcionalmente en $ w $. En otras palabras, el producto $ x times y $ es un objeto que representa el functor $ w mapsto h_ x (w) times h_ y (w) $.

Definición 4.4.2. Decimos la categoría $ mathcal$ tiene productos de pares de objetos si existe un producto $ x times y $ para cualquier $ x, y in mathop < mathrm> nolimits ( mathcal)$.

Usamos esta terminología para distinguir esta noción de la noción de “tener productos” o “tener productos finitos” que generalmente significa algo más (en particular, siempre implica que existe un objeto final).


Productos cartesianos

Definición. Sean S y T conjuntos. El producto cartesiano de S y T es el conjunto que consta de todos los pares ordenados , dónde y .

Pares ordenados se caracterizan por la siguiente propiedad: si y solo si

Observaciones. (a) no es lo mismo que a no ser que .

(b) Puede definir un par ordenado usando conjuntos. Por ejemplo, el par ordenado se puede definir como el conjunto .

Ejemplo. Dejar y . Enumere los elementos de y dibuja el conjunto.

Observe que S y T son no subconjuntos de. Hay un subconjunto que & quot se parece a & quot S y T, por ejemplo, aquí hay un subconjunto que & quot se parece a & quot S:

Pero esto no es S: los elementos de S son a, byc, mientras que los elementos del subconjunto U son pares.

Aquí hay una foto de. Los elementos son puntos en la cuadrícula:

consta de todos los pares , dónde . Esto es lo mismo que el plano x-y:

Ejemplo. Considere el siguiente subconjunto de:

(a) Demuestre eso.

(b) Demuestre eso.

(b) Suponga . Entonces para algunos , Tengo

Al equiparar los primeros componentes, obtengo , entonces . Pero equiparando los segundos componentes, obtengo , entonces . Esto es una contradicción, entonces .

Ejemplo. es el conjunto de pares de enteros. Considere los siguientes subconjuntos de :

Pruebalo .

Dejar . B consta de pares cuyos componentes se suman a un número impar. Entonces agrego los componentes de :

Desde es impar, es impar. Esto prueba que .

Puede tomar el producto de más de 2 conjuntos, incluso un número infinito de conjuntos, aunque no consideraré productos infinitos aquí.

Por ejemplo, consiste en triples ordenados , donde a, byc son números enteros.

Ejemplo. Considere el siguiente subconjunto de:

(a) Demuestre eso.

(b) Demuestre eso.

(b) Suponga. Luego, para algunos enteros ayb, tengo

Al equiparar componentes, obtengo tres ecuaciones:

Pero sustituyendo y en da

Esta contradicción prueba que .


Ver el vídeo: Pares ordenados y plano cartesiano (Septiembre 2021).