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5.3: Divisibilidad


En esta sección, estudiaremos el concepto de divisibilidad. Sean (a ) y (b ) dos enteros tales que (a neq 0 ). Las siguientes declaraciones son equivalentes:

  • (a) divide (B),
  • (a ) es un divisor de B),
  • (a ) es un factor de B),
  • (b ) es un múltiple de (a ), y
  • (b ) es Divisible por (a).

Todos ellos significan

Existe un entero (q ) tal que (b = aq )

En términos de división, decimos que (a ) divide (b ) si y solo si el resto es cero cuando (b ) se divide por (a ). Adoptamos la notación [a mid b qquad mbox {[pronunciada como " (a ) divide (b ) '']} ] No use una barra diagonal (/ ) o una barra diagonal ( barra diagonal inversa ) en la notación. Para decir que (a ) no divide (b ), agregamos una barra diagonal a lo largo de la barra vertical, como en

[a nmid b qquad mbox {[pronunciado como "$ a $ no divide $ b $ '']} ] No confunda la notación (a mid b ) con ( frac {a } {b} ). La notación ( frac {a} {b} ) representa una fracción. También se escribe como (a / b ) con una barra inclinada (hacia adelante). Utiliza el punto flotante ( es decir, división real o decimal). Por ejemplo, ( frac {11} {4} = 2.75 ).

La definición de divisibilidad es muy importante. Muchos estudiantes no terminan pruebas muy simples porque no pueden recordar la definición. Aquí vamos de nuevo:

(a mid b ; Leftrightarrow ; b = aq ) para algún entero (q ).

Ambos números enteros (a ) y (b ) pueden ser positivos o negativos, y (b ) incluso podrían ser 0. La única restricción es (a neq0 ). Además, (q ) debe ser un número entero. Por ejemplo, (3 = 2 cdot frac {3} {2} ), pero ciertamente es absurdo decir que 2 divide a 3.

Ejemplo ( PageIndex {1} label {por ejemplo: divide-01} )

Dado que (14 = (- 2) cdot (-7) ), está claro que (- 2 mid 14 ).

ejercicio práctico ( PageIndex {1} label {he: divide-01} )

Verifica que [5 mid 35, quad 8 nmid 35, quad 25 nmid 35, quad 7 mid 14, quad 2 mid -14, quad mbox {y} quad 14 mid 14, ] encontrando el cociente (q ) y el resto (r ) tal que (b = aq + r ), y (r = 0 ) si (a mid b ) .

Ejemplo ( PageIndex {2} label {por ejemplo: divide-02} )

Un entero es incluso si y solo si es divisible por 2, y es impar si y solo si no es divisible por 2.

ejercicio práctico ( PageIndex {2} label {he: divide-02} )

¿Cuál es el resto cuando un número entero impar se divide por 2? Completar las siguientes oraciones:

  • Si (n ) es par, entonces (n = bline {0.5in} ) para algún número entero.

  • Si (n ) es impar, entonces (n = bline {0.5in} ) para.

Memorícelos bien, ya que los usará con frecuencia en este curso.

ejercicio práctico ( PageIndex {3} label {he: divide-03} )

Completa la siguiente frase:

  • Si (n ) no es divisible por 3, entonces (n = bline {0.5in} , ), o (n = bline {0.5in} , ), para algún número entero.

Compare esto con las operaciones ( bdiv ) y ( bmod ). ¿Cuáles son los posibles valores de (n bmod3 )?

Ejemplo ( PageIndex {3} label {por ejemplo: divide-03} )

Dado cualquier número entero (a neq 0 ), siempre tenemos (a mid 0 ) porque (0 = a cdot 0 ). En particular, 0 es divisible por 2, por lo tanto, se considera un número entero par.

Ejemplo ( PageIndex {4} label {por ejemplo: divide-04} )

De manera similar, ( pm1 ) y ( pm b ) dividen (b ) para cualquier número entero distinto de cero (b ). Se llaman los divisores triviales de (a ). Un divisor de (b ) que no es un divisor trivial se llama divisor no trivial de B).

Por ejemplo, el entero 15 tiene ocho divisores: ( pm1, pm3, pm5, pm15 ). Sus divisores triviales son ( pm1 ) y ( pm15 ), y los divisores no triviales son ( pm3 ) y ( pm5 ).

Definición

Un entero positivo (a ) es un divisor adecuado de (b ) si (a mid b ) y (a <| b | ). Si (a ) es un divisor propio de (b ), decimos que (a ) divide (b ) correctamente.

Observación

Algunos teóricos de los números incluyen números negativos como divisores propios. En esta convención, (a ) es un divisor propio de (b ) si (a mid b ) y (| a | <| b | ). Para aumentar la confusión, algunos teóricos de números excluyen ( pm1 ) como divisores propios. Tenga cuidado cuando encuentre estos términos.

Ejemplo ( PageIndex {5} label {por ejemplo: divide-05} )

Está claro que 12 divide a 132 correctamente y 2 divide (- 14 ) correctamente también. El número entero 11 no tiene divisor propio.

ejercicio práctico ( PageIndex {4} label {he: divide-04} )

¿Cuáles son los divisores propios de 132?

Definición

Un entero (p> 1 ) es un principal si sus divisores positivos son 1 y (p ) mismo. Cualquier número entero mayor que 1 que no sea primo se llama compuesto.

Observación

Un entero positivo (n ) es compuesto si tiene un divisor (d ) que satisface (1

Ejemplo ( PageIndex {6} label {por ejemplo: divide-06} )

Los enteros (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ldots , ) son primos.

ejercicio práctico ( PageIndex {5} label {he: divide-07} )

¿Cuáles son los siguientes cinco números primos después de 23?

Teorema ( PageIndex {1} )

Hay infinitos números primos.

Prueba

Posponemos su demostración para una sección posterior, después de que demostremos un resultado fundamental en la teoría de números.

Teorema ( PageIndex {2} )

Para todos los enteros (a ), (b ) y (c ) donde (a neq 0 ), tenemos

  1. Si (a mid b ), entonces (a mid xb ) para cualquier número entero (x ).

  2. Si (a mid b ) y (b mid c ), entonces (a mid c ). (Esto se llama propiedad transitiva de divisibilidad.)

  3. Si (a mid b ) y (a mid c ), entonces (a mid (sb + tc) ) para cualquier número entero (x ) y (y ). (La expresión (sb + tc ) se llama combinación lineal de (b ) y (c ).)

  4. Si (b neq 0 ) y (a mid b ) y (b mid a ), entonces (a = pm b ).

  5. Si (a mid b ) y (a, b> 0 ), entonces (a leq b ).

Prueba

Solo probaremos (1), (4) y (5), y dejaremos las demostraciones de (2) y (3) como ejercicios.

Prueba de (1)

Suponga (a mid b ), entonces existe un entero (q ) tal que (b = aq ). Para cualquier número entero (x ), tenemos [xb = x cdot aq = a cdot xq, ] donde (xq ) es un número entero. Por tanto, (a mid xb ).

Prueba de (4)

Suponga (a mid b ) y (b mid a ). Entonces existen números enteros (q ) y (q ') tales que (b = aq ), y (a = bq' ). De ello se deduce que [a = bq '= aq cdot q'. ] Esto implica que (qq '= 1 ). Tanto (q ) como (q ') son números enteros. Por lo tanto, cada uno de ellos debe ser 1 o (- 1 ), lo que hace que (b = pm a ).

Prueba de (5)

Suponga (a mid b ) y (a, b> 0 ). Entonces (b = aq ) para algún número entero (q ). Como (a, b> 0 ), también tenemos (q> 0 ). Al ser un número entero, debemos tener (q geq1 ). Entonces (b = aq geq a cdot 1 = a ).

Ejemplo ( PageIndex {7} label {por ejemplo: divide-07} )

Usa la definición de divisibilidad para demostrar que dados los números enteros (a ), (b ) y (c ), donde (a neq0 ), if (a mid b ) y (a mid c ), luego (a mid (sb ^ 2 + tc ^ 2) ) para cualquier número entero (s ) y (t ).

Solución

Intentamos demostrarlo desde los primeros principios, es decir, utilizando solo la definición de divisibilidad. Aquí está la prueba completa.

Suponga (a mid b ) y (a mid c ). Existen enteros (x ) y (y )
tal que (b = ax ) y (c = ay ). Luego
[sb ^ 2 + tc ^ 2 = s (ax) ^ 2 + t (ay) ^ 2 = a (sax ^ 2 + tay ^ 2), ]
donde (sax ^ 2 + tay ^ 2 ) es un número entero. Por tanto, (a mid (sb ^ 2 + tc ^ 2) ).

El paso clave es sustituir (b = ax ) y (c = ay ) en la expresión (sb ^ 2 + tc ^ 2 ). Puede preguntar, ¿cómo podemos saber que esto es lo correcto?

He aquí la razón. Queremos mostrar que (a mid (sb ^ 2 + tc ^ 2) ). Esto significa que necesitamos encontrar un número entero que, cuando se multiplica por (a ), da como resultado (sb ^ 2 + tc ^ 2 ). Esto requiere escribir (sb ^ 2 + tc ^ 2 ) como un producto de (a ) y otro número entero que aún no se ha determinado. Dado que (s ) y (t ) no tienen relación con (a ), nuestra única esperanza está en (b ) y (c ). Sabemos que (b = ax ) y (c = ay ), por lo tanto, debemos sustituirlos en (sb ^ 2 + tc ^ 2 ).

ejercicio práctico ( PageIndex {6} label {he: divide-06} )

Sean (a ), (b ) y (c ) enteros tales que (a neq 0 ). Demuestre que si (a mid b ) o (a mid c ), entonces (a mid bc ).

  • Un número entero (b ) es divisible por un número entero distinto de cero (a ) si y solo si existe un número entero (q ) tal que (b = aq ).
  • Se dice que un entero (n> 1 ) es primo si sus únicos divisores son ( pm1 ) y ( pm n ); de lo contrario, decimos que (n ) es compuesto.
  • Si un entero positivo (n ) es compuesto, tiene un divisor propio (d ) que satisface la desigualdad (1

Ejercicio ( PageIndex {1} label {ex: divides-01} )

Sean (a ), (b ) y (c ) enteros tales que (a neq0 ). Usa la definición de divisibilidad para demostrar que si (a mid b ) y (c mid (-a) ), entonces ((- c) mid b ). Utilice solo la definición de divisibilidad para probar estas implicaciones.

Ejercicio ( PageIndex {2} label {ex: divides-02} )

Sean (a ), (b ), (c ) y (d ) enteros con (a, c neq0 ). Pruebalo

  • Si (a mid b ) y (c mid d ), entonces (ac mid bd ).
  • Si (ac mid bc ), entonces (a mid b ).

Ejercicio ( PageIndex {3} label {ex: divides-03} )

Sean (a ), (b ) y (c ) enteros tales que (a, b neq0 ). Demuestre que si (a mid b ) y (b mid c ), entonces (a mid c ).

Ejercicio ( PageIndex {4} label {ex: divides-04} )

Sean (a ), (b ) y (c ) enteros tales que (a neq0 ). Demuestre que si (a mid b ) y (a mid c ), entonces (a mid (sb + tc) ) para cualquier número entero (s ) y (t ).

Ejercicio ( PageIndex {5} label {ex: divides-05} )

Demuestre que si (n ) es un número entero impar, entonces (n ^ 2-1 ) es divisible por 4.

Ejercicio ( PageIndex {6} label {ex: divides-06} )

Utilice el resultado del problema [ej: divide-05] para demostrar que ninguno de los números 11, 111, 1111 y 11111 es un cuadrado perfecto. Generaliza y prueba tu conjetura.

Insinuación

Sea (x ) uno de estos números. Suponga que (x ) es un cuadrado perfecto, entonces (x = n ^ 2 ) para algún número entero (n ). ¿Cómo se puede aplicar el resultado del problema [ex: divide-05]?

Ejercicio ( PageIndex {7} label {ex: divides-07} )

Demuestre que el cuadrado de cualquier número entero tiene la forma (3k ) o (3k + 1 ).

Ejercicio ( PageIndex {8} label {ex: divide-08} )

Utilice el problema [ej: divide-07] para demostrar que (3m ^ 2-1 ) no es un cuadrado perfecto para cualquier número entero (m ).

Ejercicio ( PageIndex {9} label {ex: divides-09} )

Usa la inducción para demostrar que (3 mid (2 ^ {2n} -1) ) para todos los enteros (n geq1 ).

Ejercicio ( PageIndex {10} label {ex: divides-10} )

Usa la inducción para demostrar que (8 mid (5 ^ {2n} +7) ) para todos los enteros (n geq1 ).

Ejercicio ( PageIndex {11} label {ex: divides-11} )

Usa la inducción para demostrar que (5 mid (n ^ 5-n) ) para todos los enteros (n geq1 ).

Ejercicio ( PageIndex {11} label {ex: divides-12} )

Usa la inducción para demostrar que (5 mid (3 ^ {3n + 1} + 2 ^ {n + 1}) ) para todos los enteros (n geq1 ).


Regla de divisibilidad

A regla de divisibilidad es una forma abreviada y útil de determinar si un entero dado es divisible por un divisor fijo sin realizar la división, generalmente examinando sus dígitos. Aunque existen pruebas de divisibilidad para números en cualquier raíz o base, y todos son diferentes, este artículo presenta reglas y ejemplos solo para números decimales o base 10. Martin Gardner explicó y popularizó estas reglas en su columna "Juegos matemáticos" de septiembre de 1962 en Científico americano. [1]


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Las pruebas de divisibilidad ayudan a los estudiantes a verificar si un número es divisible por otro número sin el método real de división. Si un número es completamente divisible por otro número, el cociente será un número entero y el resto será cero.

Como cada número no es enteramente divisible por todos los demás números, estos números dejan un resto distinto de cero. Estas reglas son específicas que les ayudan a determinar el divisor real de un número simplemente asumiendo los dígitos del número.

Las reglas de división del 1 al 13 se explican en detalle con varios ejemplos resueltos por los mejores expertos en matemáticas. Los estudiantes también aprenderán los métodos abreviados para dividir los números fácilmente.

Regla de divisibilidad para 2: el último dígito / unidad del número dado debe ser un número par o los múltiplos de 2. es decir, 0, 2, 4, 6 y 8

Regla de divisibilidad para 5: el dígito unitario del número dado debe ser 0 o 5.


5.3: Divisibilidad

Aquí le mostraremos cómo calcular 18 dividido por 5/3. Le daremos la respuesta en forma de fracción y en forma decimal.

Aquí hay 18 dividido por 5/3 mostrado matemáticamente en colores:

18 ÷ 5 3

Los números en 18 divididos por 5/3 están etiquetados a continuación:

18 = número entero
5 = numerador
3 = denominador

Para que sea una respuesta en forma de fracción, multiplica el número entero por el denominador y convierte el resultado en el nuevo numerador. El antiguo numerador se convierte en el nuevo denominador:

18 x 3 5 =54 5

Por lo tanto, la respuesta a 18 dividida por 5/3 en forma de fracción es:

54 5

Para hacer la respuesta a 18 dividida por 5/3 en forma decimal, simplemente divide el numerador por el denominador de la respuesta de fracción anterior:

La respuesta se redondea a los dos puntos decimales más cercanos si es necesario.

54/5 es una fracción impropia y debe escribirse como 10 4/5.


Calculadora de números enteros divididos por fracciones
Ingrese otro número entero y fracción para dividir:


¿Cuanto es 18 dividido por 5/4?
¿Te gustó nuestra explicación y solución a 18 dividido por 5/3? Si es así, intente con el siguiente problema de nuestra lista aquí.


5.3: Divisibilidad

Supongamos que un niño tiene 537 bombones y tiene que distribuirlos entre sus 9 amigos. ¿Cómo puede hacerlo? Dividiendo 537 entre 9, le quedan algunos chocolates (resto) que significan que 537 no es exactamente divisible por 9. Dividir es simple para verificar que el número está dividido exactamente por el divisor, es decir, el resto es 0 o no cuando uno tiene números de 2 o 3 dígitos. Si el número es demasiado grande y lleva mucho tiempo realizar la división real. ¿Cómo podemos saber si un número es divisible por un divisor en particular o no? Aquí viene el concepto de reglas de divisibilidad: la forma más rápida, fácil y sencilla de averiguar la divisibilidad de un número por un divisor en particular.

Regla de divisibilidad para 2

Un número es divisible por 2 si el último dígito del número es cualquiera de los siguientes dígitos 0, 2, 4, 6, 8.

Los números con los últimos dígitos 0, 2, 4, 6, 8 se denominan números pares, p.ej. 2580, 4564, 90032, etc.son divisibles por 2.

Reglas de divisibilidad para 3 y 9

Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es divisible por 3.

p.ej. 90453 (9 + 0 + 4 +5 + 3 = 21) 21 es divisible por 3. 21 = 3 × 7. Por lo tanto, 90453 también es divisible por 3.


La misma regla también es aplicable para probar si el número es divisible por 9 o no, pero la suma de los dígitos del número debería ser divisible por 9 en el ejemplo anterior 90453 cuando sumamos los dígitos obtenemos el resultado como 21, que no es divisible. por 9.

p.ej. 909, 5085, 8199, 9369, etc. son divisibles por 9. Considere 909 (9 + 0 + 9 = 18). 18 es divisible por 9 (18 = 9 × 2). Por lo tanto, 909 también es divisible por 9.

Un número que es divisible por 9 también es divisible por 3 pero un número que es divisible por 3 no tiene certeza de que sea divisible por 9.

p.ej. 18 es divisible tanto por 3 como por 9, pero 51 es divisible solo por 3, no puede & # 8217t ser divisible por 9.

Reglas de divisibilidad para 5 y 10

Un número es divisible por 5 si el último dígito de ese número es 0 o 5.

p.ej. 500985, 3456780, 9005643210, 12345678905, etc.

Nota: Un número es divisible por 10 si solo tiene 0 como último dígito. Por ejemplo: 89540, 3456780, 934260 etc. Un número que es divisible por 10 es divisible por 5 pero un número que es divisible por 5 puede o no ser divisible por 10.10 es divisible por 5 y 10 pero 55 es divisible solo por 5 no por 10.

Reglas de divisibilidad para 4, 6 y 8

Un número es divisible por 4 si los dos últimos dígitos son divisibles por 4.

p.ej.: 456832960, aquí los dos últimos dígitos son 60 que son divisibles por 4, es decir, 15 × 4 = 60. Por lo tanto, el número total es divisible por 4.

Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y 3.

p.ej.: 10008, tiene 8 en un lugar de & # 8217 por lo que es divisible por 2 y la suma de 1, 0, 0, 0 y 8 da el total 9 que es divisible por 3. Por lo tanto, 10008 es divisible por 6.

  • Considerando el mismo ejemplo, verifiquemos la regla de divisibilidad para 8. Si un número es divisible por 8, sus últimos tres dígitos deben ser divisibles por 8, es decir, 008 que es divisible por 8, por lo tanto, el número total es divisible por 8.

Regla de divisibilidad para 11 y 7

Considere un número para probar la divisibilidad con 4 y 8

456832960 marca los valores posicionales pares y los valores posicionales impares. Sume los dígitos en valores posicionales pares y sume los dígitos en valores posicionales impares.

Ahora sume los dígitos en valores posicionales pares, es decir, 0 + 2 + 4 + 6 + 8 = 4 + 6 + 3 + 9 + 0 = 22

Para sumar los dígitos en valores posicionales impares, es decir,

1+ 3 + 5 + 7 = 5 + 8 + 2 + 6 = 21

Ahora calcule la diferencia entre la suma de dígitos en valores posicionales pares y la suma de dígitos en valores posicionales impares si la diferencia es divisible por 11, el número completo, es decir, 456832960 es divisible por 11

Aquí la diferencia es 1, (22-21) es divisible por 11. Por lo tanto, 456832960 es divisible por 11.

Considere el número 5497555 para probar si es divisible por 7 o no.

Suma los dos últimos dígitos al doble del número restante repite el mismo proceso hasta que se reduzca a un número de dos dígitos si el resultado obtenido es divisible por 7 el número es divisible por 7.

55 + 2(54975) = 109950 + 55 = 110005

05 + 2(1100) = 2200 + 05 = 2205

Reducido al número 49 de dos dígitos que es divisible por 7, es decir, 49 = 7 × 7

Algunas reglas más de divisibilidad

Los coprimos son el par de números que tienen 1 como factor común. Si el número es divisible por tales coprimos, el número también es un subproducto divisible de los coprimos. Por ejemplo: 80 es divisible por 4 y 5, son coprimos que tienen solo 1 como factor común, por lo que el número también es divisible por 20, el producto de 4 y 5.

Si un número es divisible por algunos números, diga X, ese número también es divisible por factores de x.

p.ej.: si un número es divisible por 40, entonces es divisible por sus factores Ie: 5, 10, 2, 4, 8, 20.

Regla de divisibilidad para 13

Si un número es divisible por 13, agregue 4 veces el último dígito del número al resto del número, repita este proceso hasta que el número se convierta en dos dígitos si el resultado es divisible por 13, entonces el número original es divisible por 13.

p.ej.: 333957

(4 × 7) + 33395 = 33423

(4 × 3) + 3342 = 3354

(4 × 4) + 335 = 351

(1 × 4) + 35 = 39

(1 × 4) + 35 = 39

Reducido a dos dígitos, el número 39 es divisible por 13. Por lo tanto, 33957 es divisible por 13.

Problemas de muestra

Problema 1: Determine el número divisible por 718531.

Dado que el número dado contiene 1 en el lugar uno & # 8217s, está claro que debe ser divisible entre 3, 7, 9 u 11.

Primero agregue todos los dígitos del número dado, 7 + 1 + 8 + 5 + 3 + 1 = 25 que no es divisible por 3 o 9, por lo que 718531 tampoco es divisible por 3 o 9.

Resumamos todos los dígitos pares, 3 + 8 + 7 = 18

y ahora sume todos los dígitos de los lugares impares, 1 + 5 + 1 = 7

Ahora réstalos como:

18-7=11

Por lo tanto, el número dado 718531 es divisible por 11.

Problema 2: Usa las reglas de divisibilidad para verificar si 572 es divisible entre 4 y 8.

Divisibilidad por 4 y # 8211 Los dos últimos dígitos de 572 son 72 (es decir, 4 x 18) es divisible por 4.

Por lo tanto, el número dado 572 es divisible por 4.

Divisibilidad por 8 y # 8211 Los últimos tres dígitos de 572 son,

572 = 2 × 2 × 11 × 13

Esto implica que, el número dado no contiene 8 como su factor, por lo que 572 no es divisible por 8.

Problema 3: compruebe si el número 21084 es divisible por 8 o no. Si no es así, averigüe cuál es ese número.

Los últimos tres dígitos del número dado 21084 son,

084 o 84 = 2 × 2 × 3 × 7

Esto implica que, el número dado no contiene 8 como su factor, por lo que 21084 no es divisible por 8.

Dado que el dígito de posición uno & # 8217 de 21084 es 4, por lo tanto, está claro que 21084 es divisible por 2.

Ahora, para verificar la divisibilidad entre 4, considere sus últimos dos dígitos: 84, es decir, 4 × 21.



Esto implica que 21084 es divisible por 4.

Por eso, 21084 es divisible por 2 y 4.

Problema 4: Pruebe 224 para determinar la divisibilidad entre 7.

Primero duplique el último número, es decir, 4 del número dado (224) ⇒ 2 × 4 = 8.

Reste este número del resto de los dígitos ⇒ 22 & # 8211 8 = 14.

Esto implica que, el número obtenido es divisible por 7, por lo tanto el número dado 224 es divisible por 7.


PREGUNTAS COGNIZANTES DE DIVISIBILIDAD CON SOLUCIONES

A): 47
B): 60
C): 72
D): Ninguno de estos
Respuesta correcta: D
Explicación: La ecuación se puede facorizar como 3 * 5 * 3 * 2 * 2 * 2 * 7 * 2 * 5 * 2 * 5 * 5 * 5 o 2 ^ 5 * 3 ^ 2 * 5 ^ 5 * 7 ^ 1 total no de factor primo = (5 + 1) * (5 + 1) * (2 + 1) * (1 + 1) = 216

A): 1
B): 2
C): 3
D): 4
Respuesta correcta: C
Explicación: La prueba de divisibilidad entre 8 es que los últimos 3 dígitos del número en cuestión deben ser divisibles por 8.
Entonces, 6 * 2 tiene que ser divisible entre 8.
Sé que 512 es divisible por 8.
Además, 592 es divisible por 8.
Entonces, 632 es divisible por 8.
Entonces * es 3.

A): 251664
B): 231564
C): 246016
D): 346016
Respuesta correcta: C
Explicación:
7936 = & gt 2 ^ 2 * 2 ^ 2 * 2 ^ 2 * 2 ^ 2 * 31 ^ 1
Para convertirlo en un cuadrado perfecto, tenemos que multiplicar 7936 por 31 & # 8230
De ahí el reqd no. es 7936 * 31 = 246016

  1. En un problema de división, el divisor es veinte veces el cociente y cinco veces el resto. Si el resto es 16, el número será:

A): 3360
B): 336
C): 1616
D): 20516
Respuesta correcta: B
Explicación:
Divisor = (5 x 46) = 230

10 x Cociente = 230 = 230 23
10

Dividendo = (Divisor x Cociente) + Resto
= (230 x 23) + 46
= 5290 + 46
= 5336.

  1. Si un número es exactamente divisible por 85, ¿cuál será el resto cuando el mismo número se divida entre 17?

A): 3
B): 1
C): 4
D): 0
Respuesta correcta: D
Explicación: número = divisor * cociente + resto
entonces 17 * 5 + 0
el resto es 0
divisor es 17
el cociente es 5

A): 8100
B): 17600
C): 44100
D): Ninguno de estos
Respuesta correcta: C

A): para todos los valores de n
B): solo para valores pares de n
C): solo para valores impares de n
D): para ningún valor de n
Respuesta correcta: D
Explicación: para ningún valor de n

  1. P es un número entero. P es mayor que 883 Si P -7 es múltiplo de 11, entonces el número más grande que siempre dividirá (P + 4) (P + 15) es

A) 242
B) 343
C) 321
D) ninguno
Respuesta: A
Explicación: p-7 = 11 * a (ya que es múltiplo de 11)
p = 11 * (a + 7)
entonces (p + 4) (p + 15) = (11a + 7 + 4) (11a + 7 + 15)
= (11a + 11) (11a + 22)
= 11 * 11 (a + 1) (a + 2)
=121*2
=242

  1. El mayor número que dividirá 63, 138 y 228 para dejar el mismo resto en cada caso:

A): 15
B): 20
C): 35
D): 40
Respuesta correcta: A
Explicación: El mayor número = H.C.F de (138-63), (228-138), (228-63)
H.C.F de 75, 90, 165 = 15.
15 es el mayor número.

  1. Encuentre el número más grande, más pequeño que el número más pequeño de cuatro dígitos, que cuando se divide entre 4, 5, 6 y 7 deja un resto 2 en cada caso:

A): 422
B): 842
C): 12723
D): Ninguno de estos
Respuesta correcta: B
Explicación: Tome el MCM de 4, 5, 6, 7. Es 420
Pero el no debe dejar el resto 2 en cada caso, por lo que el no es de la forma: 420k + 2.
El número más pequeño de 4 dígitos es 1000. Entonces, manteniendo k = 0,1,2,3 & # 8230.
Obtenemos que el número más grande no más pequeño que el más pequeño de 4 dígitos es 842

A): 3 pero no por 9
B): 9
C): 6
D): 27
Respuesta correcta: B
Explicación: Si a - b es divisible por 3, entonces a - b = 3k, para algún número entero k
(a - b) ² = (3k) ²
a² - 2ab + b² = 9k²
a³ - b³ = (a − b) (a² + ab + b²)
= (a − b) (a² - 2ab + b² + 3ab)
= 3k (9k + 3ab)
= 3k * 3 (3k + ab)
= 9 k (3 k + ab)
Dado que k (3k + ab) es un número entero, entonces 9k (3k + ab) es divisible por 9

A): 5
B): 6
C): 7
D): 8
Respuesta correcta: C
Explicación: La pregunta es, ¡cuántas potencias de 5 hay en los factores de 30! (eso & # 8217s 30factorial, para los de arriba) & # 8230
Solo los números 5, 10, 15, 20, 25 y 30 tienen divisores de 5. Y 25 es divisible por 5 ^ 2.
Entonces la respuesta es 5 * 5 * 5 * 5 * (5 ^ 2) * 5 = 5 ^ 7.

  1. ¿Cuál es el número más pequeño de cuatro dígitos que cuando se divide por 6 deja un resto de 5 y cuando se divide por 5 deja un resto de 3?

A): 1043
B): 1073
C): 1103
D): Ninguno de estos
Respuesta correcta: D
Explicación: resto cuando m se divide por 5 = 2
El m más pequeño es 2.
Por tanto, N = 1001 + 6 * 2 = 1013.

  1. P es un número entero. P & gt883. Si P-7 es múltiplo de 11, entonces el número más grande que siempre dividirá (P + 4) (P + 15) es:

A): 11
B): 121
C): 242
D): Ninguno de estos
Respuesta correcta: C
Explicación: Dado P es un número entero & gt883.
P-7 es un múltiplo de 11 = & gt existe un entero positivo a tal que
P-7 = 11 a = & gtP = 11 a + 7
(P + 4) (P + 15) = (11 a + 7 + 4) (11 a + 7 + 15)
= (11 a + 11) (11 a + 22)
= 121 (a + 1) (a + 2)
Como a es un número entero positivo, por lo tanto (a + 1) (a + 2) es divisible por 2, por lo tanto (P + 4) (P + 15) es divisible por 121 * 2 = 242

  1. Sea C un entero positivo tal que C + 7 sea divisible por 5. El menor entero positivo n (& gt2) tal que C + n2 sea divisible por 5 es:

A): 4
B): 5
C): 3
D): no existe
Respuesta correcta: D
Explicación: c + n ^ 2 es divisible por 5 si y solo si c y n ^ 2 son ambos divisibles por 5.
Pero, si c es divisible entre 5, entonces c + 5 no será divisible entre 5.
Entonces, la opción (d) es correcta.

    Cuatro campanas comienzan a doblar juntas y luego cada una a intervalos de 6 s, 7 s, 8 sy 9 s respectivamente.

A): 14 veces
B): 15 veces
C): 13 veces
D): 11 veces
Respuesta correcta: A
Explicación: primero debemos encontrar el L.C.M. de 6, 7, 8 y 9.
Factorización prima de 6 = 2 * 3
Factorización prima de 7 = 7
Factorización prima de 8 = 2 * 2 * 2
Factorización prima de 9 = 3 * 3
L.C.M. = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 7
= 504
El L.C.M. de 6 segundos, 7 segundos, 8 segundos y 9 segundos es 504
segundos.
Ahora, 1 hora = 3600 segundos
Entonces, 2 horas = 3600 * 2 = 7200 segundos
La cantidad de veces que las cuatro campanas sonarán juntas en las próximas 2 horas.
= 7200/504
= 14,28 o 14 veces
Peajearán juntos 14 veces en las próximas 2 horas.

A): 364724
B): 365387
C): 365737
D): 366757
Respuesta correcta: C
Explicación: Número (Dividendo) = Divisor * cociente + resto.
Número = 999 * 377 + 105 = 3767

  1. Si 522x es un número de tres dígitos con un dígito x. Si el número es divisible por 6, ¿cuál es el valor del dígito x?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
e) 6
Respuesta: e
Explicación: si un número es divisible por 6, debe ser divisible por 2 y 3
En 522x, para que este número sea divisible por 2, el valor de x debe ser par. Entonces puede ser 2,4 o 6 de las opciones dadas.
552x es divisible por 3, si la suma de sus dígitos es múltiplo de 3.
5 + 5 + 2 + x = 12 + x,
Si pone x = 2, 12 + 2 = 14 no es múltiplo de 3
Si pone x = 4, 12 + 6 = 18 es un múltiplo de 3
Si pone x = 6, 12 + 2 = 14 no es múltiplo de 3
El valor de x es 6.
Pregunta de muestra del sistema numérico con soluciones

  1. P es un número entero. P es mayor que 883 Si P -7 es múltiplo de 11, entonces el número más grande que siempre dividirá (P + 4) (P + 15) es

A) 242
B) 340
C) 245
D) 178
Respuesta: A
Explicación: p-7 = 11 * a (ya que es múltiplo de 11)
p = 11 * (a + 7)
entonces (p + 4) (p + 15) = (11a + 7 + 4) (11a + 7 + 15)
= (11a + 11) (11a + 22)
= 11 * 11 (a + 1) (a + 2)
=121*2
=242


El resto de la división debe ser 0 si son divisibles.

El Divisor dado = 53 y Dividendo = 74210

1400
5374210
53
212
212
1
0
10
00
10

El cociente es 1400 y el resto es 10

El resto de la división es 10.

El numero dado 74210 no es divisible por 53.

Preguntas frecuentes sobre la divisibilidad de 74210 por 53

1. ¿Es 74210 divisible por 53?

Ahora, 74210 no es divisible por 53.

2. ¿Cómo se hace la prueba de divisibilidad de 74210 entre 53?

Sepa que el resto de la división es 0 o no para verificar que el número 74210 sea divisible por 53 o no.

3. ¿Cómo encontrar qué regla de divisibilidad se ajusta a 74210/53?


Métodos de divisibilidad de la teoría de números

Para verificar la divisibilidad por cualquier número 'primo / impar' excepto por los factores de 5 ', tiene el concepto de número base.

Número. Sumar el número base Restar el número base

3: 1 2
7: 5 2
9: 1 8
11: 10 1
13: 4 9
17: 12 5
19: 2 17
21: 19 2
23: 7 ?
27: ? 8
29: 3 ?
.
.
Y así. Un método para obtener estos se describe a continuación

Ahora, para verificar la divisibilidad, agregue el último dígito x agregue el número base al número "formado al eliminar el último dígito" o puede restar el último dígito x restar el número base del "formado al eliminar el último dígito"

por ejemplo, para verificar 51/17, ya sea 5- 1 * 5 = 0 o 5 + 1 * 12 = 17, por lo tanto, divisible.
para comprobar 312/13 podemos 31 + 2 * 4 = 39 por lo tanto visible o podemos 31-2 * 9 = 13 ence divisible.
para comprobar 61731/19 = 6173 + 1 * 2 = 6175 = 617 + 5 * 2 = 627 = 62 + 7 * 2 = 76 por lo tanto divisible.
para comprobar 357976/29 = 35797 + 6 * 3 = 35815 = 3581 + 5 * 3 = 3596 = 359 + 6 * 3 = 377 = 37 + 7 * 3 = 58 por lo tanto divisible ...
para comprobar 382294/11 = 38229-4 * 1 = 38225 = 3822-5 = 3817 = 381 - 7 = 374 = 37 -4 = 33 Por tanto, divisible ...


El SubractbaseNumber de un número se puede obtener como <(el menor múltiplo de un número que termina en uno) -1> / 10
es decir, para 3 o 7 es (21-1) / 10 = 2
para 13 es 91-1 / 10 = 9.


El AddbaseNumber para un número se puede obtener como el <(mínimo múltiplo de un número que termina en nueve) +1> / 10
es decir, para 13 es (39 + 1) / 10 = 4.
para 7 es 49 + 1/10 = 5

Prueba:
Para SubtactBaseNumber, diga el número abcde.
Quiero verificar la divisibilidad entre 17 donde restar el número de base es 5.

Siempre puedo escribir abcde. como 10X + Y (donde Y es el último dígito y X es el número formado al eliminar el último dígito)

Ahora X-Y * 5 = (10X -50Y) / 10 = (10X + Y -51Y) / 10 = (Número original - 51 Y) / 10

El número '51 Y 'es un múltiplo de 17, por lo que si "OriginalNumber" es divisible por 17, "OriginalNumber - 51 * Y" debe ser ... es decir, "10X - 50Y"
como 10 y 17 son coprimos si "10X- 50Y" es divisible, el "X-5Y" debe serlo.

La misma teoría es válida también para addbasenumbers.


Esto también define por qué es tan fácil verificar la divisibilidad entre 3 o 9, simplemente siga agregando los dígitos.

Y puede verificar la divisibilidad por 11 simplemente manteniendo los dígitos de subvaloración del número anterior ... (que es lo mismo que tomar la suma de la ubicación par / impar por separado ...)

Divisibilidad por 7
Solo para aquellos interesados ​​en la teoría de números (no es un atajo de gato)


digamos que el número es:
38,391,787

Separe en pares de dígitos
38 39 17 87

Considere la diferencia entre cada par de dígitos y el múltiplo de siete más cercano, comenzando por el primer par a la derecha, inferior (superior) para el primero, superior (inferior) para el segundo y así sucesivamente, alternando para cada nuevo par.

4 -----4 (21-17)
38 39 17 87
---4 ------3 (87-84)

Los dígitos resultantes, leídos desde la derecha son 3444 (que también es un número múltiplo de 7).
Proceda de la misma forma con 3.444

La pareja final 21 es un múltiplo de siete, también lo es el número original 38.391.787.

OTRO EJEMPLO
Mira lo rápido que es este método.
Considere el número de 15 dígitos 531,898,839,909,822
2 ----2--- 3 ----0
5 31 89 88 39 90 98 22
---3 ---4 ----6 ----1


Ahora tenemos 10,634,232
4 -----0
10 63 42 32
----0 ----4

Lo que da 42, un múltiplo de 7.
Solo necesitamos tres pasos para un número de 15 dígitos.

Esto se llama método de divisibilidad de TOJA. Por cierto, esto también funciona para 11 y 13. Solo se requiere un poco de manipulación (en caso de que obtenga un resto de más de 9)


Sea A = 5,962
7
59 62 à 77 que es múltiplo de 1
--7

EJEMPLO 2
Sea A = 5, 971,845

6---- 4
5 97 18 45 à
--9 ----1

8
14 96 - & gt 88 - & gtdivisible
----8


EJEMPLO 3
Sea A = 80,714,546

8 ----10
80 71 45 46
----5 ------- 2

Los números resultantes (2 10 5 8) no forman un número decimal, así que proceda de esta manera: coloque el número excedente 1 entre 10, debajo del 2 y sume.

2 0 5 8 - & gt 3 0 5 8
1


EL MÉTODO TOJA & # 8217S PARA LA DIVISIBILIDAD POR 13

8 (78 – 70)
70 46 à 78 que es múltiplo de 13
---7 (46 – 39)

----10 ----10
95 81 68 16 29
4-------3 ------3


Preguntas CAT sobre reglas de divisibilidad, conjunto 2

Preguntas CAT sobre reglas de divisibilidad:

Las propiedades de divisibilidad de los números son muy importantes en el examen CAT. Si aún no conoce las reglas de divisibilidad, puede descargar el PDF de todas las fórmulas de los sistemas numéricos y revisarlo.

Pregunta 1: ¿Cuántos números de tres dígitos son divisibles entre 5 o 9?

Pregunta 2: Si 8A5146B es divisible por 88, ¿cuál es el valor de AxB?

Pregunta 3: ¿Cuál es el número de factores pares de 36000 que son divisibles por 9 pero no por 36?

Pregunta 4: El número A39K2 es completamente divisible por 8 y 11. Aquí tanto A como K son números naturales de un solo dígito.
¿Cuál de los siguientes es un valor posible de A + K?

Un número positivo se divide por 100 para obtener un resto tres veces como cociente. Si el número es divisible por 11, ¿cuántos de esos números son posibles que sean menores que 100000?

Solución:
Sea N el número y k el cociente dividido por 100. Entonces el resto es 3k. 3k y lt 100
N = 100k + 3k = 103k,
Además, N es divisible por 11.
= & gt k = 11p, donde p es un número entero.
= & gt N = 103 * 11p = 1133p
Como N & lt 100000, implica que p puede oscilar entre 1 y [100000/1133], es decir, entre 1 y 88
= & gt Entonces, p puede oscilar entre 1 y 88.
También 3k & lt 100 = & gt 3 * 11p & lt 100 = & gt p & lt 4
Por tanto, p puede tomar valores 1,2,3

Soluciones: (1 a 4)

Números de tres dígitos divisibles por 5 o 9 = números de tres dígitos divisibles por 5 + números de tres dígitos divisibles por 9 & # 8211 números de tres dígitos divisibles por 5 y 9.
Los números de tres dígitos divisibles por 5 = 100, 105, 110 & # 8230.995
La secuencia dada está en A.P con diferencia común 5. Sea 995 el enésimo término de A.P, entonces
995 = 100 + (n & # 8211 1) 5 = 100 + 5n & # 8211 5
Por lo tanto, n = 180 & # 8211 (1)
Los números de tres dígitos divisibles por 9 = 108, 118, & # 8230999
La secuencia dada está en A.P con diferencia común 9. Sea 999 el p-ésimo término de A.P, entonces
999 = 108 + (p & # 8211 1) 9 = 108 + 9p & # 8211 9
Por lo tanto, p = 100 & # 8211 (2)
Los números de tres dígitos divisibles por 45 = 135, 180, & # 8230990
La secuencia dada está en A.P con diferencia común de 45. Sea 990 el q-ésimo término de A.P, entonces
990 = 135 + (q & # 8211 1) 45 = 135 + 45q & # 8211 45
Thus, q = 20 – (3)
Thus, from (1), (2) and (3) the three digit numbers divisible by 5 or 9 = 180 + 100 – 20 = 260

Since, the given number is divisible by 8, the last three digits should also be divisible by 8. Only when B = 4, 46B is a multiple of 8. Thus, B = 4.
As the given number is divisible by 11, the difference between the sum of its odd digits and even digits must be a multiple of 11.
Thus, (8 + 5 + 4 + 4) – (A + 1 + 6) = 14 – A should be divisible by 11. Only when A = 3, 14-A is divisible by 11.
Thus, the value of AxB = 4ࡩ = 12.

Since we are talking of even factors, there must be at least one 2 in the required factors.
Since the number is divisible by 9, we must have both the threes.
We cannot have more than 1 two as it will make the number divisible by 36.
So we have 1 way of choosing 2, 1 way of choosing 3, 4 ways of choosing 5.
Thus the required number of factors are
1*1*4 = 4

4) Answer (b)
The number is divisible by 11, so the difference between the sum of the digits at the odd places and the digits at the even places is either 0 or a multiple of 11.
Let the difference be a 0, so
11 + A = 3 + K
=> K – A = 8, the only possible value is 9,1
Now we have to check if it satisfies the divisibility by 8 test.
K= 9 makes the last 3 digits 992. This is divisible by 8.
Let’s check for other cases when the difference is 11
11 + A – 3 – K = 11 => A – K = 3
The possible values in this case are (9,6), ( 8,5), (7,4), (6,3), (5,2), (4,1)
Among these cases only (8,5) and (4,1) will be divisible by 8. So the possible values of sum are
13, 5 and 10
Now difference between the sum of odd and even places cannot be 22
11 + A – 3 – K = 22 => A – K = 14
Since both A and K are single digit natural numbers, this is not possible.
Thus the only possible values of sum are 5, 10 and 13.
In the given options only 10 is there. So it is the correct choice.

Hope this Divisibility questions and answers for CAT will be useful to use you.


Combining Methods

This is done by testing a number's divisibility of 2 or more numbers if the divisor is a composite number that is not a square, cubic, quadratic number, etc.

Suppose that d = mn dónde metro y norte están relatively prime . When the above statement is true, the number a is divisible by D if and only if D is divisible by metro y D is divisible by norte. For example, a number is divisible by 63 if and only if 63 is divisible by both 7 and 9.


Ver el vídeo: Divisibility Rules Introduction of Exercise (Octubre 2021).