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5.3: Deleción-contracción y el polinomio cromático


Ejercicio 243.

En el Capítulo 2 presentamos la recurrencia de eliminación-contracción para contar árboles de expansión de un gráfico. Averigüe cómo se relaciona el polinomio cromático de un gráfico con los que resultan de la eliminación de un borde e y de la contracción de ese mismo borde e. Trate de encontrar una recurrencia como la de contar árboles de expansión que exprese el polinomio cromático de una gráfica en términos de los polinomios cromáticos de (G - e ) y (G / e ) para una arista arbitraria e. Usa esta repetición para dar otra prueba de que la cantidad de formas de colorear una gráfica con x colores es una función polinomial de (x ). Sugerencia en línea.

Ejercicio 244

Utilice la recurrencia de deleción-contracción para reducir el cálculo del polinomio cromático del gráfico de la figura 5.1 al cálculo de polinomios cromáticos que puede calcular fácilmente. (Puede simplificar sus cálculos pensando en el efecto sobre el polinomio cromático de eliminar un borde que es un bucle o eliminar uno de varios bordes entre los mismos dos vértices).

Figura 5.1: Un gráfico.

Ejercicio

  1. ¿De cuántas formas puedes colorear correctamente los vértices de una ruta en n vértices con x colores? Describe cualquier dependencia del polinomio cromático de un camino con el número de vértices.
  2. ∗ (No es tremendamente difícil). ¿De cuántas formas puedes colorear correctamente los vértices de un ciclo en n vértices con (x ) colores? Describe cualquier dependencia del polinomio cromático de un ciclo con el número de vértices. Sugerencia en línea.

Ejercicio 246

¿De cuántas formas puedes colorear correctamente los vértices de un árbol en n vértices con (x ) colores?

Ejercicio 247

¿Qué observa acerca de los signos de los coeficientes del polinomio cromático del gráfico de la figura 5.1? ¿Qué pasa con los signos de los coeficientes del polinomio cromático de un camino? ¿De un ciclo? ¿De un árbol? Haz una conjetura sobre los signos de los coeficientes de un polinomio cromático y pruébalo.


¿Cómo obtener el polinomio cromático de $ C_5 $?

He estado leyendo algunos libros sobre polinomios cromáticos, estoy un poco confundido con el procedimiento que se necesita para obtenerlo. Leí en un libro que el polinomio cromático se obtiene dividiendo $ V $ en conjuntos independientes, si tenemos $ f (r) $ formas de hacer esta partición, entonces tenemos en general:

porque si contraemos cada independencia en un vértice único, obtendremos una camarilla $ K_r $.

No está muy claro qué debo hacer. En el caso de $ C_5 $, supongo que debería dividirlo en todos los conjuntos independientes posibles, pero no está realmente claro cómo debería obtener $ f (r) $.


Función simétrica cromática de gráficas de álgebras de Borcherds

La identidad del denominador de Weyl tiene propiedades combinatorias interesantes para varias clases de álgebras de Lie. En este sentido, probamos que dado un gráfico finito GRAMO, la función simétrica cromática X G se puede recuperar de la identidad del denominador de Weyl de un álgebra g de Borcherds-Kac-Moody Lie cuya gráfica asociada es GRAMO. Esto da una conexión entre (a) los coeficientes que aparecen cuando la función simétrica cromática X G se expresa en términos de funciones simétricas de suma de potencia, y (b) las multiplicidades de raíz del álgebra g de Borcherds. A partir de este resultado, deducimos una demostración teórica de Lie de varias expresiones alternativas de la función simétrica cromática obtenida por Stanley. Se proporcionan ejemplos que utilizan álgebras de Lie de rango pequeño para ilustrar nuestros resultados.

El valor absoluto del coeficiente lineal del polinomio cromático de GRAMO es conocido como el discriminante cromático de GRAMO. Como aplicación de nuestro teorema principal, identificamos un coeficiente que aparece en X G, que es igual al discriminante cromático. También encontramos una conexión entre el denominador de Weyl y el GRAMO-funciones simétricas elementales. Usando esta conexión, damos una prueba teórica de Lie de la no negatividad de los coeficientes de GRAMO-suma de potencias funciones simétricas.


Ver el vídeo: Número Cromático - Polinomio Cromático Coloración de un Grafo (Septiembre 2021).