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3.6: Números catalanes


A árbol binario enraizado es un tipo de gráfico de especial interés en algunas áreas de la informática. En la Figura ( PageIndex {1} ) se muestra un árbol binario con raíz típico. Los vértices debajo de un vértice y conectados a él por un borde son los hijos del vértice. Es un árbol binario porque todos los vértices tienen 0, 1 o 2 hijos. ¿Cuántos árboles binarios con raíces diferentes hay con (n ) vértices?

Figura ( PageIndex {1} ): Un árbol binario enraizado.

Denotemos este número por (C_n ); estos son los Números catalanes. Por conveniencia, permitimos que un árbol binario enraizado esté vacío y dejemos (C_0 = 1 ). Entonces es fácil ver que (C_1 = 1 ) y (C_2 = 2 ), y no es difícil ver que (C_3 = 5 ). Observe que cualquier árbol binario enraizado en al menos un vértice puede verse como dos árboles binarios (posiblemente vacíos) unidos en un nuevo árbol introduciendo un nuevo vértice raíz y haciendo que los hijos de esta raíz sean las dos raíces de los árboles originales; consulte la Figura ( PageIndex {1} ). (Para convertir el árbol vacío en un hijo del nuevo vértice, simplemente no haga nada, es decir, omita el hijo correspondiente).

Figura ( PageIndex {1} ): Producir un árbol nuevo a partir de árboles más pequeños.

Por lo tanto, para hacer todos los árboles binarios posibles con (n ) vértices, comenzamos con un vértice raíz, y luego, para sus dos hijos, inserte árboles binarios con raíces en los vértices (k ) y (l ), con ( k + l = n-1 ), para todas las opciones posibles de los árboles más pequeños. Ahora podemos escribir

$$ C_n = sum_ {i = 0} ^ {n-1} C_iC_ {n-i-1}. $$

Por ejemplo, como sabemos que (C_0 = C_1 = 1 ) y (C_2 = 2 ),

$$ C_3 = C_0C_2 + C_1C_1 + C_2C_0 = 1 cdot2 + 1 cdot1 + 2 cdot1 = 5, $$

como se ha mencionado más arriba. Una vez que conocemos los árboles en 0, 1 y 2 vértices, podemos combinarlos de todas las formas posibles para listar los árboles en 3 vértices, como se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ). Tenga en cuenta que los dos primeros árboles no tienen un hijo izquierdo, ya que el único árbol en 0 vértices está vacío y, de la misma forma, los dos últimos no tienen un hijo derecho.

Figura ( PageIndex {3} ):Los árboles de raíz binaria de 3 vértices.

Ahora usamos una función generadora para encontrar una fórmula para (C_n ). Sea (f = sum_ {i = 0} ^ infty C_ix ^ i ). Ahora considere (f ^ 2 ): el coeficiente del término (x ^ n ) en la expansión de (f ^ 2 ) es ( sum_ {i = 0} ^ {n} C_iC_ {ni } ), correspondiente a todas las formas posibles de multiplicar términos de (f ) para obtener un término (x ^ n ): $$ C_0 cdot C_nx ^ n + C_1x cdot C_ {n-1} x ^ {n-1} + C_2x ^ 2 cdot C_ {n-2} x ^ {n-2} + cdots + C_nx ^ n cdot C_0. $$ Ahora reconocemos esto como precisamente la suma que da (C_ {n + 1} ), entonces (f ^ 2 = sum_ {n = 0} ^ infty C_ {n + 1} x ^ n ). Si multiplicamos esto por (x ) y sumamos 1 (que es (C_0 )) obtenemos exactamente (f ) de nuevo, es decir, (xf ^ 2 + 1 = f ) o (xf ^ 2-f + 1 = 0 ); aquí 0 es la función cero, es decir, (xf ^ 2-f + 1 ) es 0 para todo x. Usando el teorema de Pitágoras,

$$ f = {1 pm sqrt {1-4x} over 2x}, $$

siempre que (x not = 0 ). No es difícil ver que cuando (x ) se acerca a 0,

$$ {1+ sqrt {1-4x} over 2x} $$

va al infinito mientras

$$ {1- sqrt {1-4x} over 2x} $$

va a 1. Como sabemos (f (0) = C_0 = 1 ), este es el (f ) que queremos.

Ahora, según el teorema del binomio de Newton, podemos expandir

$$ sqrt {1-4x} = (1 + (- 4x)) ^ {1/2} = sum_ {n = 0} ^ infty {1/2 elija n} (- 4x) ^ n. $$

Luego

$$ {1- sqrt {1-4x} over 2x} = sum_ {n = 1} ^ infty - {1 over 2} {1/2 elija n} (- 4) ^ nx ^ { n-1} = sum_ {n = 0} ^ infty - {1 over 2} {1/2 elija n + 1} (- 4) ^ {n + 1} x ^ n. $$

Expandiendo el coeficiente binomial (1/2 elija n + 1 ) y reorganizando la expresión, descubrimos que

$$ C_n = - {1 over 2} {1/2 elija n + 1} (- 4) ^ {n + 1} = {1 over n + 1} {2n elija n}. $$

En ejercicio 7 en la sección 1.2, vimos que el número de secuencias de paréntesis de longitud (2n ) correctamente emparejadas es ({2n elige n} - {2n elige n + 1} ), y lo llamamos (C_n ). No es dificil ver que

$$ {2n elija n} - {2n elija n + 1} = {1 sobre n + 1} {2n elija n}, $$

entonces las fórmulas están de acuerdo.

Dejemos temporalmente que (A_n ) sea el número de secuencias de paréntesis de longitud (2n ) correctamente emparejadas, por lo que del ejercicio sabemos (A_n = {2n elija n} - {2n elija n + 1} ). Es posible ver directamente que (A_0 = A_1 = 1 ) y que los números (A_n ) satisfacen la misma relación de recurrencia que (C_n ), lo que implica que (A_n = C_n ), sin manipular la función generadora.

Hay muchos problemas de conteo cuyas respuestas resultan ser los números catalanes. Combinatoria enumerativa: Volumen 2, de Richard Stanley, contiene una gran cantidad de ejemplos.


3.6: Números catalanes

Los números feos son números cuyos únicos factores primos son 2, 3 o 5. La secuencia 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, & # 8230 muestra los primeros 11 números feos. Por convención, se incluye 1.
Dado un número n, la tarea es encontrar n & # 8217th número feo.

Método 1 (simple)
Realice un ciclo para todos los enteros positivos hasta que el número de números feos sea menor que n, si un número entero es feo, incremente el número de números feos.
Para comprobar si un número es feo, divida el número entre las mayores potencias divisibles de 2, 3 y 5, si el número se convierte en 1, entonces es un número feo de lo contrario no.

Por ejemplo, veamos cómo comprobar si 300 es feo o no. La mayor potencia divisible de 2 es 4, después de dividir 300 entre 4 obtenemos 75. La mayor potencia divisible de 3 es 3, después de dividir 75 entre 3 obtenemos 25. La mayor potencia divisible de 5 es 25, después de dividir 25 entre 25 obtenemos 1 Dado que finalmente obtenemos 1, 300 es un número feo.


Números 4+

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Recomiendo este artículo de mi colega Nick Parlante (de cuando todavía estaba en Stanford). El conteo de árboles binarios estructuralmente diferentes (problema 12) tiene una solución recursiva simple (que en forma cerrada termina siendo la fórmula catalana que la respuesta de @ codeka ya mencionó).

No estoy seguro de cómo el número de binarios estructuralmente diferentes buscar Los árboles (BST para abreviar) diferirían de los de los árboles binarios "simples", excepto que, si por "considerar los valores del nodo del árbol", quiere decir que cada nodo puede ser, por ejemplo, cualquier número compatible con la condición BST, luego el número de diferentes (pero no todos estructuralmente diferente! -) BST es infinito. Dudo que lo digas en serio, así que, por favor aclara lo que hacer ¡Quiero decir con un ejemplo!

El número total de árboles binarios es =

La suma de i da el número total de árboles de búsqueda binarios con n nodos.

El caso base es t (0) = 1 y t (1) = 1, es decir, hay una BST vacía y una BST con un nodo.

Entonces, en general, puede calcular el número total de árboles de búsqueda binaria usando la fórmula anterior. Me hicieron una pregunta en Google entrevista relacionada con esta fórmula. La pregunta era cuántos no totales de árboles de búsqueda binaria son posibles con 6 vértices. Entonces la respuesta es t (6) = 132

Creo que te di una idea.

El número de árboles binarios se puede calcular utilizando el número catalán.

El número de árboles de búsqueda binaria puede verse como una solución recursiva. es decir, Número de árboles de búsqueda binaria = (Número de Izquierda subárboles de búsqueda binaria) * (Número de Derecha subárboles de búsqueda binaria) * (Formas de elegir la raíz)

En un BST, solo importa el orden relativo entre los elementos. Entonces, sin ninguna pérdida de generalidad, podemos asumir que los distintos elementos en el árbol son 1, 2, 3, 4,. norte. Además, permita que el número de BST esté representado por f (n) para n elementos.

Ahora tenemos los múltiples casos para elegir la raíz.

  1. elija 1 como raíz, No El elemento se puede insertar en el subárbol izquierdo. n-1 los elementos se insertarán en el subárbol derecho.
  2. Elija 2 como raíz, 1 El elemento se puede insertar en el subárbol izquierdo. n-2 los elementos se pueden insertar en el subárbol derecho.
  3. Elija 3 como raíz, 2 El elemento se puede insertar en el subárbol izquierdo. n-3 los elementos se pueden insertar en el subárbol derecho.

. Del mismo modo, para i-ésimo elemento como la raíz, i-1 los elementos pueden estar a la izquierda y n-yo a la derecha.

Estos subárboles son en sí mismos BST, por lo tanto, podemos resumir la fórmula como:

f (n) = f (0) f (n-1) + f (1) f (n-2) +. + f (n-1) f (0)

Casos base, f (0) = 1, ya que hay exactamente 1 forma de hacer una BST con 0 nodos. f (1) = 1, ya que hay exactamente 1 forma de hacer una BST con 1 nodo.


Ejercicios 1.4

Ej 1.4.1 Demuestre que si $ $ es una partición de $ <1,2, ldots, n > $, entonces hay una relación de equivalencia única $ equiv $ cuyas clases de equivalencia son $ $.

Ej 1.4.2 Supongamos que $ n $ es un número sin cuadrados, es decir, ningún número $ m ^ 2 $ divide $ n $ dicho de otra manera, los números sin cuadrados son productos de factores primos distintos, es decir, $ n = p_1p_2 cdots p_k $, donde cada $ p_i $ es primo y no hay dos factores primos iguales. Encuentre el número de factorizaciones de $ n $. Por ejemplo, $ 30 = 2 cdot 3 cdot 5 $, y las factorizaciones de 30 son 30, $ 6 cdot 5 $, $ 10 cdot 3 $, $ 2 cdot 15 $ y $ 2 cdot 3 cdot 5 $. Tenga en cuenta que solo contamos con 30 como factorización, aunque en cierto sentido es una factorización trivial.

Ej 1.4.3 El esquema de rima de una estrofa de poesía indica qué versos riman. Esto generalmente se expresa en la forma ABAB, es decir, la primera y tercera líneas de una rima de estrofa de cuatro líneas, al igual que la segunda y la cuarta, o ABCB, es decir, solo las líneas dos y cuatro riman, y así sucesivamente. Un limerick es un poema de cinco líneas con esquema de rima AABBA. ¿Cuántos esquemas de rima diferentes son posibles para una estrofa de $ n $ line? Para evitar patrones duplicados, solo permitimos una nueva letra en el patrón cuando todas las letras anteriores se hayan usado a la izquierda de la nueva. Por ejemplo, no se permite ACBA, ya que cuando C se coloca en la posición 2, B no se ha utilizado a la izquierda. Este es el mismo esquema de rima que ABCA, que está permitido.

Ej 1.4.4 Otra forma de expresar los números de Bell para $ n> 0 $ es $ B_n = sum_^ n S (n, k), $ donde $ S (n, k) $ es el número de particiones de $ <1,2, ldots, n > $ en exactamente $ k $ partes, $ 1 le k le n $. Los $ S (n, k) $ son los Números de Stirling del segundo tipo. Encuentre una relación de recurrencia para $ S (n, k) $. Su recurrencia debe permitir una construcción de triángulo bastante simple que contenga los valores $ S (n, k) $, y luego los números de Bell se pueden calcular sumando las filas de este triángulo. Muestre las primeras cinco filas del triángulo, $ n in <1,2, ldots, 5 > $.

Ej 1.4.5 Sea $ A_n $ el número de particiones de $ <1,2, ldots, n + 1 > $ en las que no hay enteros consecutivos en la misma parte de la partición. Por ejemplo, cuando $ n = 3 $ estas particiones son $ < <1 >, <2 >, <3 >, <4 > > $, $ < <1 > , <2,4 >, <3 > > $, $ < <1,3 >, <2 >, <4 > > $, $ < <1 , 3 >, <2,4 > > $, $ < <1,4 >, <2 >, <3 > > $, entonces $ A_3 = 5 $. Sea $ A (n, k) $ el número de particiones de $ <1,2, ldots, n + 1 > $ en exactamente $ k $ partes, en las que no hay enteros consecutivos en la misma parte de la dividir. Entonces $ A_n = sum_^ A (n, k). $ Encuentre una recurrencia para $ A (n, k) $ y luego muestre que $ A_n = B_n $.


Bayad, A., Kim, T .: Recurrencias más altas para los números Apostol-Bernoulli-Euler. Russ. J. Math. Phys. 19(1), 1–10 (2012)

El-Desouky, B.S., Mustafa, A .: Nuevos resultados en números y polinomios de Daehee y Bernoulli de orden superior. Adv. Diferir de. Equ. 2016(32), 21 (2016)

Jang, L.-C., Lee, J.G .: Una nota sobre los polinomios (q ) -Euler de tipo Barnes. Adv. Diferir de. Equ. 2015(250), 7 (2015)

Jeong, J., Rim, S.-H., Kim, B.M .: Sobre números y polinomios de Cauchy degenerados en tiempos finitos. Adv. Diferir de. Equ. 2015(321), 12 (2015)

Kang, D., Jeong, J., Lee, S.-J., Rim, S.-H .: Una nota sobre los polinomios de Bernoulli que surgen de una ecuación diferencial no lineal. Proc. Jangjeon Math. Soc. 16(1), 37–43 (2013)

Kim, D.S., Kim, T .: números y polinomios de Daehee. Apl. Matemáticas. Sci. (Ardid) 7(117–120), 5969–5976 (2013)

Kim, D.S., Kim, T., Lee, S.-H., Seo, J.-J .: Una nota sobre los polinomios lambda-Daehee. En t. J. Math. Anal. (Ardid) 7(61–64), 3069–3080 (2013)

Kim, T .: Una nota sobre los números catalanes asociados con (p ) -adic integral en ( mathbb_pag) . Proc. Jangjeon Math. Soc. 19(3), 493–501 (2016)

Kim, T., Kim, D.S .: Una nota sobre las ecuaciones diferenciales no lineales de Changhee. Russ. J. Math. Phys. 23(1), 88–92 (2016)

Kim, T., Kim, D.S .: Algunas identidades de polinomios eulerianos que surgen de ecuaciones diferenciales no lineales. Irán. J. Sci. Technol. Trans. Sci. 2016, 1–6 (2016)

Kim, T., Kim, D.S., Seo, J.-J .: Ecuaciones diferenciales asociadas con polinomios de Bell degenerados. Enterrar. J. Pure Appl. Matemáticas. 108(3), 551–559 (2016)

Kim, T., Kim, D.S .: Identidades simétricas para un análogo de polinomios catalanes. Jangjeon Math. Soc. 19(3), 515–521 (2016)

Kim, T., Kim, D.S., Seo, J.-J., Kwon, H.-I .: Ecuaciones diferenciales asociadas con polinomios ( lambda ) -Changhee. J. Nonlinear Sci. Apl. 9(5), 3098–3111 (2016)

Leighton, F.T., Newman, M .: Matrices definidas positivas y números catalanes. Proc. Soy. Matemáticas. Soc. 79(2), 177–181 (1980)

Moon, E.-J., Park, J.-W., Rim, S.-H .: Una nota sobre los números (q ) -Daehee generalizados de orden superior. Proc. Jangjeon Math. Soc. 17(4), 557–565 (2014)

Park, J.-W .: Sobre los polinomios ( lambda ) -Daehee con el parámetro (q ). J. Comput. Anal. Apl. 20(1), 11–20 (2016)

Park, J.-W., Rim, S.-H., Kwon, J .: Los números y polinomios hipergeométricos de Daehee. Turco J. Anal. Teoría de los números 1(1), 59–62 (2013)

Park, J.-W., Rim, S.-H., Kwon, J .: Los números y polinomios retorcidos de Daehee. Adv. Diferir de. Equ. 2014(1), 9 (2014)

Rim, S.-H., Jeong, J., Park, J.-W .: Algunas identidades que involucran polinomios de Euler que surgen de una ecuación diferencial no lineal. Kyungpook Math. J. 53(4), 553–563 (2013)

Sands, A.D .: Sobre números catalanes generalizados. Matemáticas discretas. 21(2), 219–221 (1978)

Shapiro, L.W .: Una breve prueba de la identidad de Touchard en lo que respecta a los números catalanes. J. Comb. Teoría Ser. A 20(3), 375–376 (1976)

Simsek, Y .: Apostol type Daehee números y polinomios. Adv. Semental. Desprecio. Matemáticas. 26(3), 555–566 (2016)

Simsek, Y., Rim, S.-H., Jang, L.-C., Kang, D.-J., Seo, J.-J .: Una nota sobre las sumas (q ) -Daehee. J. Anal. Computación. 1(2), 151–160 (2005)

Singmaster, D .: Evaluación elemental de los números catalanes. Soy. Matemáticas. Lun. 85(5), 366–368 (1978)


Números perfectos impares: ¿existen?

La indagación matemática a menudo puede conducir a una jungla de preguntas y problemas únicos. En el campo de la teoría de números, existe una amplia variedad de tales criaturas matemáticas. Aunque estos problemas son fáciles de plantear, pueden permanecer inactivos durante años con pocas señales de progreso. De hecho, la conjetura del número impar perfecto es uno de esos problemas que ha escapado a la prueba durante siglos.

Los números perfectos son enteros positivos que son la suma de sus divisores propios. Por ejemplo, 6 es un número perfecto, porque la suma de sus divisores propios, 1, 2 y 3 es igual a 6 (1 + 2 + 3 = 6). Euclides ideó por primera vez una forma de construir un conjunto de números incluso perfectos en el Libro IX de Los elementos. En su libro, Euclides mostró que si es primo, cuando es primo, entonces es un número perfecto. De mi última publicación sobre "La infinitud de Mersenne Primes", uno puede reconocer que si y son primos, entonces es un Mersenne Prime.

En 1638, René Descartes envió una carta a Marin Mersenne en la que le decía que creía que todo número perfecto tiene la forma de Euclides. Además, en la carta, Descartes fue el primero en razonar que un número perfecto impar puede existir o no. Desde entonces, muchos matemáticos no han podido producir una demostración. Entonces, ¿existe un número perfecto impar?

Computacionalmente, la conjetura se ha verificado en busca de números impares hasta sin éxito. Con el tiempo, los matemáticos han producido varios resultados notables. En 1888, Eugène Charles Catalan demostró que si existe un número perfecto impar y no es divisible por 3, 5 o 7, entonces tiene al menos 26 factores primos (este resultado fue ampliado más tarde a 27 factores primos por KK Norton en 1960). Otro resultado notable vino del matemático J. Touchard. En 1953, Touchard demostró que si existe un número perfecto impar debe ser de la forma o.

Los recursos y más ejemplos se pueden encontrar fácilmente en Internet. El matemático noruego Øystein Ore dijo lo siguiente sobre la conjetura y la forma de Euclides en su libro. Invitación a la teoría de números:

& # 8220Este resultado muestra que cada prima de Mersenne da lugar a un número perfecto & # 8230. ¿Existen otros tipos de números perfectos? & # 8230 Esto nos deja con la pregunta: ¿HAY ALGÚN NÚMERO PERFECTO IMPARES? Actualmente no conocemos ninguno y es uno de los enigmas sobresalientes de la teoría de números determinar si puede existir un número perfecto impar & # 8230. & # 8221

De las palabras de Ore, la conjetura es definitivamente un rompecabezas sobresaliente. La elegancia es una palabra que usan los matemáticos al describir un resultado que es parsimonioso y riguroso. Sería bueno ver una solución elegante a este viejo acertijo. Uno que exhibe robustez y genera más preguntas de igual interés y singularidad.


¿Qué tipo de números hay?

Son abundantes por encima de la perfección, sin mencionar la deficiencia. Ver números perfectos y deficientes.

Primeros diez: 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54

Hay 2487 números abundantes por debajo de 10,000.

Amistoso

Definición: El número n es amistoso si pertenece a una pareja amistosa. Dos números n y m se denominan pareja amistosa si la suma de todos los divisores positivos de n es igual a la suma de todos los divisores positivos de my ambos son iguales an + m.

Todo comenzó con números perfectos que son amigables con ellos mismos. Esos números adoptaron virtudes y cualidades sociales porque las partes de cada uno de ellos tienen el poder de generar al otro. Ver también números sociables.

Primeros diez: 220, 284, 1184, 1210, 2620, 2924, 5020, 5564, 6232, 6368

Hay 10 números amistosos por debajo de 10,000.

Poder apocalíptico

Definición:El número n se llama poder apocalíptico si 2 n contiene los dígitos consecutivos 666 (en decimal).

Primeros diez: 157, 192, 218, 220, 222, 224, 226, 243, 245, 247

Hay 6485 poderes apocalípticos por debajo de 10,000.

Ambicioso

Definición:El número n se llama ambicioso número si su secuencia de alícuotas termina en un número perfecto, y no es un número perfecto en sí mismo.

Primeros diez: 25, 95, 119, 143, 417, 445, 565, 608, 650, 652

Hay 89 aspirantes a números por debajo de 10,000.

Automórfico (curioso)

Definición:El número n se llama automórfico número si (la expansión decimal de) n 2 termina con n. Estos números también se denominan curioso.

Es curioso, cómo para un número automórfico de k dígitos n hay otro número automórfico - 10 k + 1 - n. Para que esto funcione con n = 1, debe tratar 1 como un número de cero dígitos.

Primeros diez: 1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9376, 90625, 109376.

Hay 8 números automórficos por debajo de 10,000.

Definición:El n-ésimo pastel número es el número máximo de piezas en las que se puede cortar una torta (cilíndrica) con n cortes (planos).

Desafortunadamente, no todo el mundo recibe el glaseado. Si corta pizza en lugar de pastel, obtiene números de catering perezosos.

Primeros diez: 2, 4, 8, 15, 26, 42, 64, 93, 130, 176.

Hay 38 números de pastel por debajo de 10,000.

Carmichael

Definición: El entero compuesto n es un Carmichael número si b n-1 = 1 (mod n) para cada entero b que es primo relativo con n.

Los números de Carmichael se comportan como números primos con respecto a la prueba de primalidad más útil, es decir, pretenden ser primos.

Primeros diez: 561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, 8911, 10585, 15841, 29341.

Hay 7 números de Carmichael por debajo de 10,000.

Catalán

Definición: El n-ésimo catalán número es igual a (2n elija n) / (n + 1) = (2n)! / (n! (n + 1)!).

Hay muchas formas en que se pueden interpretar los números en catalán, hay algunas imágenes interesantes aquí y el artículo de Wikipedia es muy bueno.

Primeros diez: 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796.

Hay 9 números catalanes por debajo de 10.000.

Compuesto

Definición: Un entero positivo mayor que 1 que no es primo se llama compuesto.

Los números compuestos son opuestos a los números primos.

Primeros diez: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18.

Hay 8769 números compuestos por debajo de 10,000.

Compositoria

Definición: El n-ésimo compositoria es el producto de los primeros n números compuestos.

Los números compositoriales son factoriales divididos por primarios.

Primeros diez: 4, 24, 192, 1728, 17280, 207360, 2903040, 43545600, 696729600, 12541132800, 250822656000.

Hay 4 compositorias por debajo de 10.000.

Definición: El número n es un cubo si es el cubo de un número entero.

Primeros diez: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000

Hay 21 números cúbicos por debajo de 10,000.

Deficiente

Definición: El número n es deficiente si la suma de todos sus divisores positivos excepto él mismo es menor que n.

Compare con números perfectos y abundantes.

Primeros diez: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11.

Hay 7508 números deficientes por debajo de 10,000.

Definición: Un número es incluso si es divisible por 2.

Los números que no son pares son impares. Compare con otro par: números malvados y odiosos.

Primeros diez: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20.

Hay 4999 números pares por debajo de 10,000.

Definición: El número n es maldad si tiene un número par de unos en su expansión binaria.

Primeros diez: 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 17, 18, 20.

Hay 4999 números malvados por debajo de 10,000.

Factorial

Definición: El n-ésimo factorial es el producto de los primeros n números naturales.

El factorial merecía un signo de exclamación por su notación: k! = 1 * 2 * 3 *. * k.

Primeros diez: 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800.

Hay 7 factoriales por debajo de 10,000.

Fibonacci

Definición: Fibonacci los números son números que forman la secuencia de Fibonacci. La secuencia de Fibonacci se define comenzando con 1, 1 y luego cada término siguiente es la suma de los dos precedentes.

Los números de Fibonacci son muy comunes en la naturaleza. Por ejemplo, una piña tiene 8 espirales si cuentas de una manera y 13 si cuentas de otra manera.

Primeros diez: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55.

Hay 19 números de Fibonacci diferentes por debajo de 10,000.

Google

Definición: El n-ésimo Google número es el primer número primo de n dígitos que se encuentra en la expansión decimal de e.

Se nombran Google números debido al inusual anuncio de contratación que Google Hospedarse.

Primeros diez: 2, 71, 271, 4523, 74713, 904523, 2718281, 72407663, 360287471, 7427466391.

Hay 4 números de Google por debajo de 10,000.

Contento

Definición: Se puede tomar la suma de los cuadrados de los dígitos de un número. Esos números son contento para lo cual iterar esta operación eventualmente conduce a 1.

Primeros diez: 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44.

Hay 1441 números felices por debajo de 10,000.

Hambriento

Definición: El k-ésimo hambriento número es el número más pequeño n tal que 2 ^ n contiene los primeros k dígitos de la expansión decimal de pi.

Se nombran hambriento números porque tratan de comer tanto "pi" como sea posible.

Primeros diez: 5, 17, 74, 144, 144, 2003, 2003, 37929, 82810, 161449.

Hay 5 números diferentes de hambrientos por debajo de 10,000.

Catering perezoso

Definición: El n-ésimo catering perezoso número es el número máximo de piezas en las que se puede cortar una pizza (circular) con n cortes (en línea recta).

A diferencia de la situación con el pastel, todos reciben los ingredientes.

Primeros diez: 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56.

Hay 140 números de empresas de catering perezosas por debajo de 10,000.

Afortunado

Definición: Para construir el afortunado secuencia numérica, comience con números naturales. Elimine cada segundo número, dejando 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21,. . El segundo número restante es 3, así que elimine cada tercer número, dejando 1, 3, 7, 9, 13, 15, 19, 21,. . El siguiente número restante es 7, así que elimine cada séptimo número, dejando 1, 3, 7, 9, 13, 15, 21,. . El siguiente número restante es el 9, así que elimine cada noveno número, etc.

Esos números tuvieron suerte de que no estuvieran tachados.

Primeros diez: 1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33.

Hay 1118 números de la suerte por debajo de 10,000.

Mersenne

Definición: Un número de la forma 2 p - 1 se llama Mersenne número si p es primo.

Hace muchos años se creía que todos los números de Mersenne son primos. Esto no es así, por lo que hay una entrada separada para los números primos de Mersenne.

Primeros diez: 3, 7, 31, 127, 2047, 8191, 131071, 524287, 8388607, 536870911.

Hay 6 números de Mersenne por debajo de 10,000.

Mersenne prime

Definición: Un número de Mersenne que también es primo se llama Mersenne prime.

El impulso para encontrar números primos entre los números de Mersenne proporciona a la humanidad los números primos más grandes conocidos.

Primeros diez: 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305843009213693951, 618970019642690137449562111.

Hay 5 números primos de Mersenne por debajo de 10,000.

Narcisista

Definición: Un número n de k dígitos se llama narcisista si es igual a la suma de k-ésimo potencias de sus dígitos. También se les llama Plus perfecto números.

Primeros diez: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153.

Hay 16 números narcisistas por debajo de 10,000.

Definición: Un número es impar si no es divisible por 2.

Los números que no son impares son pares. Compare con otro par: números malvados y odiosos.

Primeros diez: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19.

Hay 5000 números impares por debajo de 10.000.

Odioso

Definición: El número n es odioso si tiene un número impar de unos en su expansión binaria.

Primeros diez: 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14, 16, 19.

Hay 5000 números odiosos por debajo de 10.000.

Palíndromo

Definición: A palíndromo es un número que se lee igual hacia adelante o hacia atrás.

Primeros diez: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11.

Hay 198 números palindrómicos por debajo de 10,000.

Prima palindrómica

Definición: A prima palindrómica es un primo que es un palíndromo.

En base 2, los primos de Mersenne son primos palindrómicos.

Primeros diez: 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191.

Hay 20 números primos palindrómicos por debajo de 10.000.

Pentagonal

Definición: Pentagonal los números tienen la forma n (3n - 1) / 2.

Los números pentagonales son para pentágonos lo que los números triangulares son para triángulos y los números cuadrados son para cuadrados.

Primeros diez: 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145.

Hay 81 números pentagonales por debajo de 10,000.

Perfecto

Definición: El número n es Perfecto si la suma de todos sus divisores positivos excepto él mismo es igual an.

Los números menos que perfectos se llaman deficientes, demasiado perfectos, abundantes.

Primeros diez: 6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128, 2658455991569831744654692615953842176, 191561942608236107294793378084303638130997321548169216.

Hay 4 números perfectos por debajo de 10,000.

Poderoso

Definición: Un entero n es poderoso si por cada primo p que divide a n, p 2 también divide a n.

Cuanta potencia? Todos se pueden escribir como 2 b 3.

Primeros diez: 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49.

Hay 184 números poderosos por debajo de 10,000.

Poder de 2

Definición: Un número es un poder de 2 si es de 2 a alguna potencia.

Primeros diez: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024.

Hay 14 potencias de 2 por debajo de 10,000.

Práctico

Definición: El número n es práctico si todos los números estrictamente menores que n son sumas de divisores distintos de n.

Primeros diez: 1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24.

Hay 1455 números prácticos por debajo de 10,000.

Principal

Definición: A principal es un número entero positivo mayor que 1 que no es divisible por ningún entero positivo que no sea 1 y él mismo.

Los números primos son opuestos a los números compuestos.

Primeros diez: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Hay 1229 números primos por debajo de 10,000.

Primordial

Definición: El p-primordial es el producto de todos los números primos menores o iguales que p. A veces se denota con p #.

Primeros diez: 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230.

Hay 5 primarios por debajo de 10,000.

Pronic (heteromecic)

Definición: El número se llama pronico si es el producto de dos números consecutivos.

Son dos números triangulares.

Primeros diez: 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110.

Hay 99 números pronicos por debajo de 10,000.

Repunitar

Definición: A repuncionar es un número entero en el que cada dígito es uno.

El término repunit proviene de combinar "repetido" y "unidad".

Primeros diez: 1, 11, 111, 1111, 11111, 111111, 1111111, 11111111, 111111111, 1111111111.

Hay 4 repeticiones por debajo de 10,000.

Smith (broma)

Definición: Un número compuesto se llama Herrero número si la suma de sus dígitos es igual a la suma de todos los dígitos que aparecen en sus divisores primos (contando la multiplicidad).

En 1984, cuando Albert Wilansky llamó a su cuñado, llamado Smith, notó que el número de teléfono posee la propiedad que se describe aquí. ¿Se llaman números de broma, porque llevan el nombre de un cuñado inocente desprevenido :-)?

Primeros diez: 4, 22, 27, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265.

Hay 376 números de Smith por debajo de 10,000.

Sociable

Definición: Una secuencia de alícuotas se forma tomando un número entero, sumando todos sus divisores además de él mismo, y luego repitiendo este proceso con la suma. Los números para los que este proceso vuelve al punto de partida después de más de dos pasos se llaman sociable números.

Los 2 ciclos son los pares amistosos y los 1 ciclos son los números perfectos. Para algunos números, es muy difícil calcular la secuencia de alícuotas. El número más pequeño cuya secuencia no se ha calculado por completo es 276.

Primeros diez (conocidos): 12496, 14264, 14288, 14316, 14536, 15472, 17716, 19116, 19916, 22744.

No hay números sociables por debajo de 10,000.

Cuadrado

Definición: El número n es un cuadrado si es el cuadrado de un número entero.

Primeros diez: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.

Hay 99 cuadrados por debajo de 10,000.

Libre de cuadrados

Definición: Se dice que un número es libre de cuadrados si su descomposición prima no contiene factores repetidos.

Primeros diez: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14.

Hay 6083 números libres de cuadrados por debajo de 10,000.

Tetraédrico (piramidal)

Definición: A tetraédrico número es el número de bolas que puedes poner en una pirámide triangular.

Esta es la generalización espacial de números triangulares y cuadrados.

Primeros diez: 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220.

Hay 83 números tetraédricos por debajo de 10,000.

Triangular

Definición: Si comienza con n puntos en una línea, luego dibuja n-1 puntos arriba y entre ellos, luego n-2 arriba y entre ellos, y así sucesivamente, obtendrá un triángulo de puntos. El número de puntos en este triángulo es un triángulo número.

Primeros diez: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55.

Hay 140 números triangulares por debajo de 10,000.

Definición: Un número primo se llama mellizo primo si existe otro número primo que difiera de él en 2.

Primeros diez: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 29, 31, 41.

Hay 409 primos gemelos por debajo de 10,000.

Definición: El siguiente Ulam número es únicamente la suma de dos números Ulam distintos anteriores.

Primeros diez: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 18.

Hay 827 números de Ulam por debajo de 10,000.

Ondulante

Definición: Ondulante los números son números de la forma abababab. en base 10.

Esta propiedad es significativa a partir de números de 3 dígitos, por lo que no consideraremos números por debajo de 100.

Primeros diez: 101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191.

Hay 180 números ondulados por debajo de 10,000.

Intocable

Definición: La intocable los números son aquellos que no son la suma de los divisores propios de ningún número.

Primeros diez: 2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188.

Hay 1212 números intocables por debajo de 10,000.

Vampiro

Definición: El número n se llama vampiro número si existe una factorización de n usando n dígitos.

Primeros diez: 126, 153, 688, 1206, 1255, 1260, 1395, 1435, 1503, 1530.

Hay 15 números de vampiros por debajo de 10,000.

Extraño

Definición: El número n se llama extraño número si es abundante pero no es la suma de ningún subconjunto de sus factores propios.

Primeros diez: 70, 836, 4030, 5830, 7192, 7912, 9272, 10430, 10570, 10792.


Características

  • WYSIWYG, las notas se ingresan en una "hoja de notas virtual"
  • Número ilimitado de duelas
  • Hasta cuatro voces por pentagrama
  • Entrada de notas fácil y rápida con su teclado, mouse o teclado MIDI
  • Secuenciador integrado y sintetizador de software FluidSynth
  • Importación y exportación de MusicXML y archivos MIDI estándar
  • Traducido a 47 idiomas

3.6: Números catalanes

Si decide utilizar el paquete portátil .zip, recuerde desbloquearlo antes de la extracción.
使用 便携 版 请 记得 在 解压 前 解锁。

  • QuickLook ahora admite complementos! Vea una lista aquí.
  • Para estrenar Visor de oficina, que no requiere MS Office (como complemento).
  • Tema oscuro (sigue el esquema de colores del sistema).
  • Uso compartido cercano para Windows 10 más nuevo.
  • Mejoras de velocidad para Visor de imágenes, basado en NConvert.
  • Nuevo reproductor de video basado en LAVFilters.
  • Polish, Russian, and Vietnamese translation.

More details can be found [here].

This is a minor update from version 0.3.4 and 0.3.3.

  • TextViewer: Support more highlighting schemes.
  • Modify message text as requested for pre-installation package.

Known Issues

#94: Previewing MS Office files may crash QuickLook. Syncfusion provides a stable solution but their agreement is very unfriendly.

xupefei released this Feb 18, 2018

This is a minor update from version 0.3.3, with a fix for possible crash on few Windows OS.

This version number accompanies the Microsoft Store, who does not accept non-zero revision numbers. The version number 0.3.4 should be treated as 0.3.3.1 .

xupefei released this Feb 12, 2018

Should you decided to use the .zip portable package, remember to unlock it before extraction.
使用便携版请记得在解压前解锁。

Due to personal reasons, this version does not contain all features as planned here. The remainings will be delayed until the next release.

  • Lots of user experience, stability and CPU usage improvements: semi-transparent window, open/close animation, etc.
  • Catalan, French, German, Japanese and Norwegian translation
  • Video playback with hardware decoding and subtitle support

More details can be found [here].

Known Issues

#94: Previewing MS Office files may crash QuickLook. Syncfusion provides a stable solution but their agreement is very unfriendly (details inside).

Should you decided to use the .zip portable package, remember to unlock it before extraction.
使用便携版请记得在解压前解锁。

This is a reissue of version 0.3.2 with a fix for issue #113.

#113: video preview causes QuickLook hang-up in few circumstances.

Below attached the release note for version 0.3.2:

Improvements

  • Add Portuguese Portuguese (Brazilian), Italian and Dutch(Belgium) translations.
  • Minor adjustments to new UI design.
  • Get rid of VLC playback engine. Switch back to FFmpeg.
  • Previewing images is now significantly faster.

#78: Broken image for some compressed .gif files.
#92: File in use : .gif file handle is not closed.
#93: Incorrect preview size for low-resolution images.
#98: Switching preview resets window size.
#101: Pressing Spacebar in Listary toolbar brings up the preview.
#105: Switching preview causes 1px window movement.
#106: Previewing low-resolution image thumbnails and load the full image in the background.

Known Issues

#94: Previewing MS Office files causes crash sometimes. I have not yet figured out how to deal with it.

Improvements

  • Add Portuguese Portuguese (Brazilian), Italian and Dutch(Belgium) translations.
  • Minor adjustments to new UI design.
  • Get rid of VLC playback engine. Switch back to FFmpeg.
  • Previewing images is now significantly faster.

#78: Broken image for some compressed .gif files.
#92: File in use : .gif file handle is not closed.
#93: Incorrect preview size for low-resolution images.
#98: Switching preview resets window size.
#101: Pressing Spacebar in Listary toolbar brings up the preview.
#105: Switching preview causes 1px window movement.
#106: Previewing low-resolution image thumbnails and load the full image in the background.

Known Issues

#94: Previewing MS Office files causes crash sometimes. I have not yet figured out how to deal with it.
#113: If you experience an issue when previewing some video files which makes QuickLook stops responding, please provide your system locale in this thread. Gracias.

Should you decided to use the .zip portable package, remember to unlock it before extraction.
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Ver el vídeo: Práctica de conversación en catalán: 900 frases cortas y útiles para hablar catalán con fluidez (Septiembre 2021).