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3: Funciones de generación


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3: Funciones de generación

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Editor de expresiones matemáticas

Utilizamos funciones generadoras exponenciales

Recuerde el problema de encontrar el número de permutaciones de las letras en la palabra MISSISSIPPI. La respuesta fue. Modifiquemos la pregunta ligeramente. Encuentra el número de permutaciones de 9 de las letras en la palabra MISSISSIPPI.

La respuesta es la suma del número de permutaciones de cada una de las posibles combinaciones de 9 de las letras.

En otras palabras, primero debemos seleccionar 9 de las 11 letras, luego debemos contar el número de permutaciones de estas 9 letras. Después de hacer esto para cada selección posible de 9 de las 11 letras, sumamos estas respuestas. Hay 9 combinaciones diferentes de 9 de las 11 letras:

SSISSIPPI, ISISSIPPI, ISSISSIPI, MSSSSIPPI, MSISSIPPI, MSSISSIPI, MIISSIPPI, MISISSIPI y MISSISSII.

Por lo tanto, el número total de formas de permutar 9 de las 11 letras de la palabra MISSISSIPPI es

Nos gustaría ver esta respuesta como un coeficiente en alguna función generadora. Para la letra M, considere la función. Para la letra yo, considero. Para la letra S, considere, y para la letra P, considere. El producto de estas funciones es Tenga en cuenta que esta función es un polinomio de grado. Dado que estamos considerando las permutaciones de 9 de las 11 letras de la palabra, inspeccionemos el coeficiente de. Notamos que casi coincide con la solución a nuestro problema. Por lo tanto, la respuesta a nuestro problema puede considerarse el coeficiente no de, sino de. Esta discusión motiva la siguiente definición de funciones generadoras exponenciales y verifica la proposición que sigue.


Ahora definimos (g (t) ) para (X ) por la fórmula [ begin g (t) & amp = & amp sum_^ infty frac < mu_k t ^ k> = sum_^ infty frac & amp = & amp E (e ^) = int _ <- infty> ^ <+ infty> e ^ f_X (x) , dx , end] siempre que esta serie converja. Entonces, como antes, tenemos [ mu_n = g ^ <(n)> (0) . ]

[examen 10.3.1] Sea (X ) una variable aleatoria continua con rango ([0,1] ) y función de densidad (f_X (x) = 1 ) para (0 leq x leq 1 ) (densidad uniforme). Entonces [ mu_n = int_0 ^ 1 x ^ n , dx = frac1, ] y [ begin g (t) & amp = & amp sum_^ infty frac<(k + 1)!> & amp = & amp fract . end] Aquí la serie converge para todo (t ). Alternativamente, tenemos [ begin g (t) & amp = & amp int _ <- infty> ^ <+ infty> e ^ f_X (x) , dx & amp = & amp int_0 ^ 1 e ^, dx = fract . end] Entonces (según la regla L & rsquoH & ocircpital & rsquos) [ begin mu_0 & amp = & amp g (0) = lim_ fract = 1 , mu_1 & amp = & amp g '(0) = lim_ frac = frac12 , mu_2 & amp = & amp g '' (0) = lim_ frac = frac13 . end] En particular, verificamos que ( mu = g '(0) = 1/2 ) y [ sigma ^ 2 = g' '(0) - (g' (0)) ^ 2 = frac13 - frac14 = frac1 <12> ] como antes (ver Ejemplo [examen 6.18.5]).

[examen 10.3.2] Sea (X ) el rango ([, 0, infty) ) y la función de densidad (f_X (x) = lambda e ^ <- lambda x> ) (exponencial densidad con el parámetro ( lambda )). En este caso [ begin mu_n & amp = & amp int_0 ^ infty x ^ n lambda e ^ <- lambda x> , dx = lambda (-1) ^ n frac int_0 ^ infty e ^ <- lambda x> , dx & amp = & amp lambda (-1) ^ n frac [ frac1 lambda] = frac < lambda ^ n> , end] y [ begin g (t) & amp = & amp sum_^ infty frac < mu_k t ^ k> & amp = & amp sum_^ infty [ frac t lambda] ^ k = frac lambda < lambda - t> . end] Aquí la serie converge solo para (| t | & lt lambda ). Alternativamente, tenemos [ begin g (t) & amp = & amp int_0 ^ infty e ^ lambda e ^ <- lambda x> , dx & amp = & amp left. frac < lambda e ^ <(t - lambda) x >> right | _0 ^ infty = frac lambda < lambda - t> . end]

[examen 10.3.3] Sea (X ) el rango ((- infty, + infty) ) y la función de densidad [f_X (x) = frac1 < sqrt <2 pi >> e ^ <-x ^ 2/2> ] (densidad normal). En este caso tenemos [ begin mu_n & amp = & amp frac1 < sqrt <2 pi >> int _ <- infty> ^ <+ infty> x ^ ne ^ <- x ^ 2/2> , dx & amp = & amp izquierda < begin frac <(2m)!> <2 ^m!>, & amp mbox cr 0, & amp mboxfinal right. end] (Estos momentos se calculan integrando una vez por partes para mostrar que ( mu_n = (n - 1) mu_), y observando que ( mu_0 = 1 ) y ( mu_1 = 0 )). Por lo tanto, [ begin g (t) & amp = & amp sum_^ infty frac < mu_n t ^ n> & amp = & amp sum_^ infty frac> <2^m!> = e ^ .fin] Esta serie converge para todos los valores de (t ). Nuevamente podemos verificar que (g ^ <(n)> (0) = mu_n ).

Sea (X ) una variable aleatoria normal con los parámetros ( mu ) y ( sigma ). Es fácil demostrar que la función generadora de momentos de (X ) está dada por [e ^. ] Ahora suponga que (X ) e (Y ) son dos variables aleatorias normales independientes con parámetros ( mu_1 ), ( sigma_1 ) y ( mu_2 ), ( sigma_2 ), respectivamente. Entonces, el producto de las funciones generadoras de momento de (X ) y (Y ) es [e ^. ] Esta es la función generadora de momentos para una variable aleatoria normal con media ( mu_1 + mu_2 ) y varianza ( sigma_1 ^ 2 + sigma_2 ^ 2 ). Por tanto, la suma de dos variables aleatorias normales independientes vuelve a ser normal. (Esto se demostró para el caso especial de que ambos sumandos son normales estándar en el ejemplo [examen 7.8]).

En general, la serie que define (g (t) ) no convergerá para todo (t ). Pero en el caso especial importante donde (X ) está acotado (es decir, donde el rango de (X ) está contenido en un intervalo finito), podemos demostrar que la serie converge para todo (t ).

[thm 10.4] Suponga que (X ) es una variable aleatoria continua con rango contenido en el intervalo ([- M, M] ). Entonces la serie [g (t) = sum_^ infty frac < mu_k t ^ k>] converge para todo (t ) a una función infinitamente diferenciable (g (t) ), y (g ^ <(n)> (0) = mu_n ). Tenemos [ mu_k = int_ <-M> ^ <+ M> x ^ k f_X (x) , dx , ] entonces [ begin | mu_k | & amp leq & amp int_ <-M> ^ <+ M> | x | ^ k f_X (x) , dx & amp leq & amp M ^ k int_ <-M> ^ <+ M> f_X (x) , dx = M ^ k . end] Por lo tanto, para todo (N ) tenemos [ sum_^ N left | frac < mu_k t ^ k> right | leq sum_^ N frac <(M | t |) ^ k> leq e ^, ] que muestra que la serie de potencias converge para todo (t ). Sabemos que la suma de una serie de potencias convergentes siempre es diferenciable.


Contenido

La función generadora de momentos se llama así porque se puede usar para encontrar los momentos de la distribución. [2] La expansión en serie de e t X < displaystyle e ^> es

dado que la transformada de Laplace de dos caras del PDF se da como

y la definición de la función generadora de momentos se expande (por la ley del estadístico inconsciente) a

A continuación se muestran algunos ejemplos de la función generadora de momentos y la función característica para comparar. Puede verse que la función característica es una rotación de mecha de la función generadora de momento M X (t) < displaystyle M_(t)> cuando este último existe.

La función generadora de momentos es la expectativa de una función de la variable aleatoria, se puede escribir como:

Transformaciones lineales de variables aleatorias Editar

Combinación lineal de variables aleatorias independientes Editar

Variables aleatorias con valores vectoriales Editar

Para variables aleatorias con valores vectoriales X < displaystyle mathbf > con componentes reales, la función generadora de momentos viene dada por

Las funciones generadoras de momentos son positivas y log-convexas, con METRO(0) = 1.

Una propiedad importante de la función generadora de momentos es que determina de forma única la distribución. En otras palabras, si X < displaystyle X> e Y < displaystyle Y> son dos variables aleatorias y para todos los valores de t,

para todos los valores de X (o equivalente X y Y tienen la misma distribución). Esta afirmación no es equivalente a la afirmación "si dos distribuciones tienen los mismos momentos, entonces son idénticas en todos los puntos". Esto se debe a que, en algunos casos, los momentos existen y, sin embargo, la función generadora de momentos no, porque el límite

puede no existir. La distribución logarítmica normal es un ejemplo de cuándo ocurre esto.

Cálculos de momentos Editar

La función generadora de momentos se llama así porque si existe en un intervalo abierto alrededor t = 0, entonces es la función generadora exponencial de los momentos de la distribución de probabilidad:

Es decir, con norte siendo un entero no negativo, el norteEl momento alrededor de 0 es el nortederivada de la función generadora de momentos, evaluada en t = 0.

La desigualdad de Jensen proporciona un límite inferior simple en la función generadora de momentos:

El límite superior de la función generadora de momentos se puede utilizar junto con la desigualdad de Markov para limitar la cola superior de una variable aleatoria real X. Esta declaración también se denomina límite de Chernoff. Dado que x ↦ e x t < displaystyle x mapsto e ^> aumenta monótonamente para t & gt 0 < displaystyle t & gt0>, tenemos

Varios lemas, como el lema de Hoeffding o la desigualdad de Bennett, proporcionan límites a la función generadora de momentos en el caso de una variable aleatoria acotada de media cero.

En relación con la función generadora de momentos hay una serie de otras transformadas que son comunes en la teoría de la probabilidad:


Fazlee Hossain 1 , Sabuj Das 2 , Haradhan Kumar Mohajan 3 ,

1 Departamento de Matemáticas, Universidad de Chittagong, Bangladesh

2 Departamento de Matemáticas, Raozan University College, Bangladesh

3 Universidad Premier, Chittagong, Bangladesh

Resumen

En 1894, Rogers encontró las dos identidades por primera vez. En 1913, Ramanujan encontró las dos identidades más tarde y luego las dos identidades se conocen como The Rogers-Ramanujan Identities. En 1982, Baxter utilizó las dos identidades para resolver el modelo de hexágono duro en mecánica estadística. En 1829, Jacobi demostró su triple identidad de producto; se utiliza para demostrar las identidades de Rogers-Ramanujan. En 1921, Ramanujan utilizó la identidad de producto triple de Jacobi para demostrar sus famosas congruencias de partición. Este artículo muestra cómo generar la función generadora para C '(n), C 1' (n), C '' (n) y C 1 '' (n), y muestra cómo probar los Corolarios 1 y 2 con la ayuda de la triple identidad de producto de Jacobi. Este artículo muestra cómo probar la observación 3 con la ayuda de varias funciones auxiliares y muestra cómo probar las identidades de Rogers-Ramanujan con la ayuda del dispositivo de Ramanujan de la introducción de un segundo parámetro a.

Palabras clave: como máximo, función auxiliar, conveniente, expansión, diferencia mínima, operador, dispositivo de Ramanujan

Revista turca de análisis y teoría de números, 2015 3 (2), págs. 37-42.
DOI: 10.12691 / tjant-3-2-1

Recibido el 12 de febrero de 2015 Revisado el 28 de marzo de 2015 Aceptado el 1 de abril de 2015

Derechos de autor © 2015 Publicaciones de ciencia y educación. Reservados todos los derechos.

Cite este artículo:

  • Hossain, Fazlee, Sabuj Das y Haradhan Kumar Mohajan. "Las identidades Rogers-Ramanujan". Revista turca de análisis y teoría de números 3.2 (2015): 37-42.
  • Hossain, F., Das, S. y Mohajan, H. K. (2015). Las identidades de Rogers-Ramanujan. Revista turca de análisis y teoría de números, 3(2), 37-42.
  • Hossain, Fazlee, Sabuj Das y Haradhan Kumar Mohajan. "Las identidades Rogers-Ramanujan". Revista turca de análisis y teoría de números 3, no. 2 (2015): 37-42.

1. Introducción

En este artículo, damos algunas definiciones relacionadas de,,, y. Describimos las funciones generadoras para,,, y, y establecemos las Observaciones 1 y 2 con ejemplos numéricos y también probamos los Corolarios 1 y 2 con la ayuda de la triple identidad de producto de Jacobi [3]. Transferimos la función auxiliar a otra función auxiliar con la ayuda del dispositivo de Ramanujan de la introducción de un segundo parámetro a [5] ,

dónde k = 1, y a = X, se utiliza para probar la identidad de Rogers-Ramanujan 1. Demostramos las identidades de Rogers-Ramanujan con la ayuda de funciones auxiliares.

2. Algunas definiciones relacionadas

[7]: el número de particiones de norte como: 4, 3 + 1, 2 + 2, 2 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1 PAG (4)=5.

[6]: el número de particiones de norte en partes, cada una de las cuales es de una de las formas 5metro + 1 y.

: El número de particiones de en metro partes como máximo.

: El número de particiones de norte en partes de las formas 5metro + 2 y 5metro + 3.

: El número de particiones de norte en partes sin repeticiones o partes cuya diferencia mínima es 2.

: El número de particiones de en metro partes como máximo.

: El número de particiones de norte en partes no menos de 2 y con una diferencia mínima 2.

3. Funciones de generación para C '(n) y C' '(n)

En esta sección describimos las funciones generadoras para y respectivamente. La función generadora de es de la forma [5]

donde el coeficiente de es el número de particiones de norte en partes, cada una de las cuales es de una de estas formas 5metro + 1 y 5metro + 4.

Ahora consideramos una función especial, que se da a continuación:

Es conveniente definir. El coeficiente de en la expansión anterior es el número de particiones de en metro partes como máximo. Otra función especial, que se define como

donde el coeficiente es el número de particiones de norte en partes sin repeticiones o partes, cuya diferencia mínima es 2.

A partir de (1) y (2) podemos establecer la siguiente Observación:

es decir, el número de particiones de norte con diferencia mínima 2 es igual al número de particiones de norte en partes de las formas 5metro + 1 y 5metro + 4.

Ejemplo 1: Para norte = 11, hay 7 particiones de 11 que se enumeran mediante la declaración anterior, que se dan a continuación [6]:

Hay 7 particiones de 11 enumeradas por la declaración anterior, que se dan a continuación:

que se probará más tarde como identidad 1, se conoce como La identidad de Rogers-Ramanujan 1.

La función generadora de es de la forma [1]

donde el coeficiente es el número de particiones de norte en partes de las formas 5metro + 2 y.

Ahora consideramos una función especial, que tiene la forma [1]

donde el coeficiente de en la expansión anterior es el número de particiones de en metro partes como máximo.

Otra función especial, que se define como

donde el coeficiente es el número de particiones de norte en partes no menos de 2 y con una diferencia mínima 2.

A partir de (4) y (5) podemos establecer la siguiente Observación:

es decir, el número de particiones de norte en partes no menos de 2 y con una diferencia mínima 2 es igual al número de particiones de norte en partes de las formas 5metro + 2 y 5metro + 3.

Ejemplo 2: Si norte = 11, las cuatro particiones de 11 en partes no menos de 2 y con una diferencia mínima de 2 se dan a continuación:

Nuevamente las cuatro particiones de 11 en partes del formulario 5metro + 2 y 5metro + 3 se dan como

que se probará más adelante como identidad 2, se conoce como La identidad de Rogers-Ramanujan 2.

Ahora damos dos corolarios, que están relacionados con la triple identidad de producto de Jacobi [3].

Prueba: Del teorema de Jacobi [2] tenemos

para todos z excepto z = 0, si.

Si escribimos para X, por z y reemplazar norte por norte + 1 en el lado izquierdo obtenemos

Prueba: Del teorema de Jacobi tenemos

para todos z excepto z = 0, cuando.

Si escribimos para X, por z y reemplazar norte por norte + 1 en el lado izquierdo obtenemos

4. Las identidades de Rogers-Ramanujan

Primero transferimos la siguiente función auxiliar a otra función auxiliar. Consideremos la función auxiliar [1, 2] con y.

se conoce como el dispositivo de Ramanujan de la introducción de un segundo parámetro a, dónde k es 0, 1 o 2 y,

que es otra función auxiliar, y se utiliza para probar las Identidades de Rogers-Ramanujan [1].

Pero a partir de (7) podemos verificar fácilmente que con k = 1, 2 y a = X.

(9)
(10)

De (8) también podemos encontrar que, si k = 1 y a = X, luego

Otra vez para k = 2 y a = X, obtenemos

Ahora podemos considerar la siguiente Observación [2].

Observación 3: , donde el operador & # 951 está definido por & # 951 F(a) = F(hacha), y k = 1 o 2.

Prueba: De (8) tenemos

Es conveniente definir,. Tenemos

En la segunda suma en el lado derecho de la Identidad cambiamos norte en norte + 1. Por lo tanto,

Las identidades de Rogers-Ramanujan

Prueba: De (8) tenemos

Desde arriba Observación tenemos

donde el operador & # 951 está definido por & # 951 F(a) = F(hacha), y k = 1 o 2. En particular

(14)

donde los coeficientes dependen de X solamente. Sustituyendo esto en (15), obtenemos

Por lo tanto, igualando los coeficientes de varias potencias de a de ambos lados obtenemos

De (13) y (16), tenemos para k = 2

De nuevo de (13), (14) y (16) tenemos con k = 1,

Si a = X, entonces nosotros tenemos

5. Conclusión

En este estudio, hemos mostrado con la ayuda de un ejemplo numérico cuando norte= 11, y también se han mostrado con la ayuda de un ejemplo numérico cuando norte = 11. Hemos transferido la función auxiliar a otra función auxiliar con la ayuda del dispositivo de Ramanujan de la introducción de un segundo parámetro a,

dónde k = 2, y a = X, se utiliza para probar la identidad de Rogers-Ramanujan 2. Finalmente, hemos probado las identidades de Roger-Ramanujan con la ayuda de la función auxiliar,


Palabras clave

Investigación parcialmente apoyada por las Becas INCITE09-207-064-PR de la Xunta de Galicia , ECO2008-03484-C02-02 / ECON del Ministerio de Ciencia e Innovación y Fondo Europeo de Desarrollo Regional, y MTM 2011-27731-C03-03.

Investigación parcialmente financiada por la Beca SGR 2009-1029 de Generalitat de Catalunya .

Investigación parcialmente financiada por las Becas MTM 2009-08037 y MTM 2012-34426 del Ministerio de Economía y Competitividad de España.

Investigación parcialmente financiada por la Beca SGR 2009-1137 de Generalitat de Catalunya .


Funciones de generación de Fungsi Pembangkit Fungsi pembangkit digunakan untuk

Fungsi pembangkit digunakan untuk merepresentasikan barisan secara efisien dengan mengkodekan unsur barisan sebagai koefisien dalam deret pangkat suatu variabel x. Fungsi pembangkit dapat digunakan untuk: ¡memecahkan berbagai masalah contando, ¡memecahkan relasi recurrencia, dan ¡membuktikan identitas kombinatorik.

Definisi dan contoh Definisi. Fungsi pembangkit (función generadora) untuk barisan bilangan real: a 0, a 1,…, ak,… adalah deret pangkat tak hingga: Contoh 1. a. Hongos pembangkit dari barisan dengan ak = 5 adalah b. Hongos pembangkit dari barisan dengan ak = k + 3 adalah c. Hongos pembangkit dari barisan dengan ak = 3 k adalah

Contoh 2 Tentukan fungsi pembangkit dari barisan 1, 1, 1, 1 Solusi. Hongos pembangkit dari barisan 1, 1, 1, 1 adalah: 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5

Contoh 3. Fungsi pembangkit dari barisan 1, 1,… adalah 1 + x 2 + x 3 +… Contoh 4. Fungsi pembangkit dari barisan 1, a, a 2, a 3,… adalah 1 + ax + a 2 x 2 + a 3 x 3 +…

Teorema 1 Contoh 5. Misal f (x) = 1 / (1 -x) 2. Tentukan koefisien a 0, a 1,… dalam ekspansi f (x) = akxk. Solusi. Jadi, ak = k + 1.

Koefisien Binomial Diperluas Misalkan u bilangan real dan k bilangan bulat tak negatif. Maka koefisien binomial diperluas didefinisikan sebagai: Contoh 6. Tentukan nilai dari: a. B.

Teorema Binomial Diperluas Teorema 2. Misal x bilangan real dengan | x | & lt 1 dan u bilangan real. Maka, Catatan. Jika u bilangan bulat positif maka Teorema Binomial Diperluas menjadi Teorema Binomial.

Contoh 7 Tentukan fungsi pembangkit untuk (1 + x) -n dan (1 -x) -n, dengan n bilangan bulat positif. Solusi.

Soal 1 Tentukan koefisien x 10 dalam deret pangkat fungsi-fungsi berikut ini: a. 1 / (1 + x) 2 b. 1 / (1-2 veces) c. x 4 / (1-3 x) 3

Masalah Contando dan Fungsi Pembangkit Contoh 8. Tentukan banyaknya solusi dari n 1 + n 2 + n 3 = 17, bila n 1, n 2 dan n 3 bilangan bulat taknegatif dengan 2 n 1 5, 3 n 2 6 dan 4 n 3 7 . Solusi. Banyaknya solusi dinyatakan oleh koefisien x 17 dalam ekspansi: (x 2 + x 3 + x 4 + x 5) (x 3 + x 4 + x 5 + x 6) (x 4 + x 5 + x 6 + x 7). Setiap bentuk x 17 dalam perkalian ini didapat dengan mengalikan xn 1 pada faktor pertama dengan xn 2 pd faktor kedua dan xn 3 pada faktor ketiga yang memenuhi: n 1 + n 2 + n 3 = 17. Bila dihitung, didapat koefisien x 17 adalah 3 Jadi, ada tepat 3 solusi.

Contoh 9 Ada berapa cara untuk membagikan 8 kue yang identik kepada 3 anak jika setiap anak menerima sedikitnya 2 kue dan tidak lebih dari 4 kue? Solusi. Misalkan cn: banyaknya cara membagikan n kue. Karena setiap anak menerima sedikitnya 2 kue dan tidak lebih dari 4 kue, maka untuk setiap anak ada suatu faktor yang berbentuk: (x 2 + x 3 + x 4) dalam fungsi pembangkit barisan . Karena ada 3 anak maka fungsi pembangkitnya adalah: (x 2 + x 3 + x 4) 3. Cara untuk membagikan 8 kue adalah koefisien dari x 8, yakni 6. Jadi, ada 6 cara untuk membagikan 8 kue kepada 3 anak tadi.

Soal 2 Gunakan fungsi pembangkit untuk menentukan banyaknya cara mendistribusikan 25 donat identik kepada 4 polisi sehingga setiap polisi mendapatkan sedikitnya 3 dan tidak lebih dari 7 donat.

Contoh 10 Gunakan fungsi pembangkit untuk menentukan banyaknya cara memilih pecahan mata uang bernilai Rp. 100, Rp. 500 dan Rp. 1000 jika kita ingin membayar suatu barang yang bernilai Rp. r, apabila: a. urutan pemilihan diperhatikan atau b. tidak diperhatikan. Contoh. Untuk membayar Rp. 600, ada 2 cara bila urutan tidak diperhatikan, yaitu (100 rupias, 100 rupias) atau (100 rupias, 500 rupias) dan ada 3 cara bila urutan diperhatikan, yaitu (100 rupias, 100 rupias), ( 100 rupias, 500 rupias), atau (500 rupias, 100 rupias)

Contoh 10… b. Jika urutan pemilihan tidak diperhatikan. Karena masing-masing pecahan dapat dipergunakan berkali-kali, maka • faktor yang merepresentasikan penggunaan Rp. 100 adalah 1 + x 2 + x 3 +…, • faktor yang merepresentasikan penggunaan Rp. 500 adalah 1 + x 5 + x 10 +…, • faktor yang merepresentasikan penggunaan Rp. 1000 adalah 1 + x 10 + x 20 +… Jadi, banyaknya cara pemilihan pecahan mata uang untuk membayar seharga Rp. r adalah koefisien dari xr / 100 dalam fungsi pembangkit (1 + x 2 + x 3 +…) (1 + x 5 + x 10 +…) (1 + x 10 + x 20 +…)

Contoh 10… a. Jika urutan pemilihan diperhatikan. Banyaknya cara untuk menggunakan tepat n pecahan untuk membayar seharga Rp. r adalah koefisien xr / 100 dalam (x + x 5 + x 10) n Karena kita dapat menggunakan berapa pun jumlah pecahan, maka banyaknya cara pemilihan pecahan mata uang untuk membayar seharga Rp. r adalah koefisien dari xr / 100 dalam 1 + (x + x 5 + x 10) 2 +…

Soal 3 Gunakan fungsi pembangkit untuk menentukan banyaknya cara untuk menukar uang $ 100 dengan menggunakan pecahan: a) $ 10, $ 20 dan $ 50 b) $ 5, $ 10, $ 20 dan $ 50 c) $ 5, $ 10, $ 20 dan $ 50 bila setiap pecahan digunak sedikali. d) $ 5, $ 10 dan $ 20 bila setiap pecahan digunakan sedikitnya sekali tapi tidak lebih dari 4 kali.

Contoh 11 Gunakan fungsi pembangkit untuk menghitung banyaknya cara memilih r obyek dari n jenis benda berbeda jika kita harus memilih sedikitnya satu obyek dari setiap jenisnya. Solusi. Misalkan ar: banyaknya cara memilih r obyek dari n jenis benda bila dari setiap jenis terpilih sedikitnya satu objek. Karena kita perlu memilih sedikitnya satu obyek dari setiap jenis, maka setiap jenis menyumbangkan faktor (x + x 2 + x 3 +…) pada fungsi pembangkit. Akibatnya, fungsi pembangkit G (x) dari barisan adalah G (x) = (x + x 2 + x 3 +…) n = xn (1 + x + x 2 + x 3 +…) n = xn / (1 -x) n.

Contoh 11… Dengan menggunakan Teorema Binomial Diperluas: Jadi, ada C (r-1, r-n) cara memilih.

Fungsi Pembangkit dan Solusi Relasi Recurrencia Contoh 12. Cari solusi relasi recurrencia ak = 3 ak-1 untuk k = 1, 2, 3,… dengan kondisi awal a 0 = 2. Solusi. Misal G (x): fungsi pembangkit untuk barisan , Maka,

Fungsi Pembangkit dan Pembuktian Identitas Contoh 13. Gunakan fungsi pembangkit untuk membuktikan: Solusi. C (2 n, n) adalah koefisien xn dlm ekspansi (1 + x) 2 n. Akan tetapi, (1 + x) 2 n = [(1 + x) n] 2. = [C (n, 0) + C (n, 1) x +… + C (n, n) xn] 2. Koefisien dari xn dlm ekspansi ini: C (n, 0) C (n, n) + C (n, 1) C (n, n-1) +… + C (n, n) C (n, 0). Ini sama dgn C (n, k) 2, krn C (n, n-k) = C (n, k). Karena C (2 n, n) dan C (n, k) 2 menyatakan koefisien xn dlm (1 + x) 2 n maka haruslah


Capítulo 1: Análisis de algoritmos 3

1.1 ¿Por qué analizar un algoritmo? 3

1.2 Teoría de algoritmos 6

1.3 Análisis de algoritmos 13

1.4 Análisis de casos promedio 16

1.5 Ejemplo: Análisis de Quicksort 18

1.6 Aproximaciones asintóticas 27

1.8 Algoritmos aleatorios 33

Capítulo 2: Relaciones de recurrencia 41

2.2 Recurrencias de primer orden 48

2.3 Recurrencias de primer orden no lineales 52

2.4 Recurrencias de orden superior 55

2.5 Métodos para resolver recurrencias 61

2.6 Recurrencias binarias de divide y vencerás y números binarios 70

2.7 Recurrencias generales de divide y vencerás 80

Capítulo 3: Funciones de generación 91

3.1 Funciones generadoras ordinarias 92

3.2 Funciones generadoras exponenciales 97

3.3 Solución de funciones generadoras de recurrencias 101

3.4 Ampliación de funciones generadoras 111

3.5 Transformaciones con funciones generadoras 114

3.6 Ecuaciones funcionales sobre funciones generadoras 117

3.7 Resolución de la recurrencia de la mediana de tres de Quicksort con OGF 120

3.8 Contar con funciones generadoras 123

3.9 Funciones generadoras de probabilidad 129

3.10 Funciones generadoras bivariadas 132

3.11 Funciones especiales 140

Capítulo 4: Aproximaciones asintóticas 151

4.1 Notación para aproximaciones asintóticas 153

4.2 Expansiones asintóticas 160

4.3 Manipulación de expansiones asintóticas 169

4.4 Aproximaciones asintóticas de sumas finitas 176

4.5 Suma de Euler-Maclaurin 179

4.6 Asintóticos bivariados 187

4.8 & ldquoNormal & rdquo Ejemplos del análisis de algoritmos 207

4.9 & ldquoPoisson & rdquo Ejemplos del análisis de algoritmos 211

Capítulo 5: Combinatoria analítica 219

5.2 Método simbólico para clases no etiquetadas 221

5.3 Método simbólico para clases etiquetadas 229

5.4 Método simbólico para parámetros 241

5.5 Generación de asintóticos de coeficientes de función 247

6.3 Equivalencias combinatorias de árboles y árboles binarios 264

6.4 Propiedades de los árboles 272

6.5 Ejemplos de algoritmos de árbol 277

6.6 Árboles de búsqueda binaria 281

6.7 Longitud media del camino en árboles catalanes 287

6.8 Longitud de ruta en árboles de búsqueda binaria 293

6.9 Parámetros aditivos de árboles aleatorios 297

6.11 Resumen de resultados de casos promedio sobre las propiedades de los árboles 310

6.12 Inversión de Lagrange 312

6.13 Árboles desordenados enraizados 315

6.15 Otros tipos de árboles 331

Capítulo 7: Permutaciones 345

7.1 Propiedades básicas de las permutaciones 347

7.2 Algoritmos de permutaciones 355

7.3 Representaciones de permutaciones 358

7.4 Problemas de enumeración 366

7.5 Análisis de las propiedades de las permutaciones con CGF 372

7.6 Inversiones y ordenaciones de inserción 384

7.7 Orden de selección y mínimos de izquierda a derecha 393

7.8 Ciclos y permutación in situ 401

7.9 Parámetros extremos 406

Capítulo 8: Cuerdas y intentos 415

8.2 Propiedades combinatorias de cadenas de bits 420

8.3 Expresiones regulares 432

8.4 Autómatas de estado finito y el algoritmo de Knuth-Morris-Pratt 437

8.5 Gramáticas libres de contexto 441

8.8 Propiedades combinatorias de los intentos 459

Capítulo 9: Palabras y asignaciones 473

9.1 Hash con encadenamiento independiente 474

9.2 El modelo de bolas y urnas y propiedades de las palabras 476

9.3 Paradoja del cumpleaños y problema del colector de cupones 485

9.4 Restricciones de ocupación y parámetros extremos 495

9.5 Distribuciones de ocupación 501

9.6 Hash de direccionamiento abierto 509

9.8 Factorización y mapeo de enteros 532


La presente investigación se completó durante la visita del segundo autor nombrado al Instituto de Matemáticas (Academia Sinica) en Taipei en julio de 1993. Un informe preliminar sobre este documento se incluyó en una conferencia pronunciada por el segundo autor nombrado en el All -Taller de Taiwán sobre análisis no lineal, que se llevó a cabo en Chi-Tou del 19 al 22 de julio de 1993. Este trabajo fue apoyado, en parte, por el Consejo Nacional de Ciencias de la República de China con la concesión NSC-82-0208-M- 1-145 y, en parte, por el Consejo de Investigación de Ciencias Naturales e Ingeniería de Canadá bajo la subvención OGP0007353.

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