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4.1: Secuencias de números reales - Matemáticas


Habilidades para desarrollar

  • Explica las secuencias de números reales.

En el Capítulo 2, desarrollamos la ecuación (1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + cdots = frac {1} {1-x} ), y mencionamos que había limitaciones para esta representación de series de potencias. Por ejemplo, sustituir (x = 1 ) y (x = -1 ) en esta expresión conduce a

[1 + 1 + 1 + cdots = frac {1} {0} ; ; text {y} 1 - 1 + 1 - 1 + cdots = frac {1} {2} ]

que son bastante difíciles de aceptar. Por otro lado, si sustituimos (x = frac {1} {2} ) en la expresión obtenemos (1 + left ( frac {1} {2} right) + left ( frac {1} {2} right) ^ 2 + left ( frac {1} {2} right) ^ 3 + cdots = 2 ) que parece más agradable hasta que lo pensamos. Podemos sumar dos números mediante el método que todos aprendimos en la escuela primaria. ¿Pero infinitos? ¿Y eso que significa? Antes de que podamos sumar un número infinito de números, debemos encontrar una manera de darle significado a la idea.

Para hacer esto, examinamos una suma infinita pensando en ella como una secuencia de sumas parciales finitas. En nuestro ejemplo, tendríamos la siguiente secuencia de sumas parciales.

[ left (1, 1 + frac {1} {2}, 1 + frac {1} {2} + left ( frac {1} {2} right) ^ 2, 1 + frac {1} {2} + left ( frac {1} {2} right) ^ 3, cdots, sum_ {j = 0} ^ {n} left ( frac {1} {2} derecha) ^ j derecha) ]

Podemos trazar estas sumas en una recta numérica para ver hacia dónde tienden a medida que (n ) aumenta.

Figura ( PageIndex {1} ): Gráfico de recta numérica.

Dado que cada suma parcial está ubicada en el punto medio entre la suma parcial anterior y (2 ), es razonable suponer que estas sumas tienden al número (2 ). De hecho, probablemente hayas visto una expresión como ( lim_ {n to infty} left ( sum_ {j = 0} ^ {n} left ( frac {1} {2} right) ^ j right) = 2 ) justificado por un argumento similar. Por supuesto, la confianza en tales imágenes y palabras es buena si estamos satisfechos con la intuición. Sin embargo, debemos ser capaces de hacer que estas intuiciones sean rigurosas sin depender de imágenes o palabras nebulosas como “enfoques.”

Sin duda te estás preguntando "¿Qué tiene de malo la palabra "enfoques"? Me parece bastante claro.”Este es a menudo un punto de fricción. Pero si pensamos detenidamente en lo que queremos decir con la palabra "Acercarse"Vemos que hay una suposición implícita que nos causará algunas dificultades más adelante si no la exponemos.

Para ver esto, considere la secuencia ( left (1, frac {1} {2}, frac {1} {3}, frac {1} {4}, cdots right) ). Claramente es "enfoques”Cero, ¿verdad? Pero, ¿no es así también "Acercarse” (- 1 )? Lo hace, en el sentido de que cada término se acerca más a (- 1 ) que al anterior. Pero también "enfoques” (- 2 ), (- 3 ), o incluso (- 1000 ) en el mismo sentido. Ese es el problema con la palabra "enfoques. " Solo dice que nos estamos acercando a algo más que en el paso anterior. No nos dice que realmente nos estamos acercando. Dado que la luna se mueve en una órbita elíptica alrededor de la tierra durante parte de cada mes, es "que se acerca" la tierra. La luna se acerca a la tierra pero, afortunadamente, no se acerca a la tierra. La suposición implícita a la que aludimos anteriormente es la siguiente: cuando decimos que la secuencia ( left ( frac {1} {n} right) _ {n = 1} ^ infty ) “enfoques”Cero queremos decir que se está acercando, no más cerca. Por lo general, este tipo de vaguedad en nuestro idioma es bastante inofensivo. Cuando decimos "enfoques"En una conversación casual, por lo general, podemos decir por el contexto de la conversación si queremos decir"acercándose a" o "acercándose a.“Pero cuando hablamos matemáticamente debemos ser más cuidadosos, más explícitos, en el lenguaje que usamos.

Entonces, ¿cómo podemos cambiar el lenguaje que usamos para eliminar esta ambigüedad? Comencemos reconociendo, rigurosamente, lo que queremos decir cuando decimos que una secuencia converge a cero. Por ejemplo, probablemente quieras decir que la secuencia ( left (1, frac {1} {2}, frac {1} {3}, frac {1} {4}, cdots right ) = left ( frac {1} {n} right) _ {n = 1} ^ infty ) converge a cero. ¿Hay alguna forma de dar este significado sin depender de imágenes o intuición?

Una forma sería decir que podemos hacer ( frac {1} {n} ) tan cerca de cero como queramos, siempre que hagamos (n ) lo suficientemente grande. Pero incluso esto debe hacerse más específico. Por ejemplo, podemos obtener ( frac {1} {n} ) dentro de una distancia de (0.1 ) de (0 ) siempre que hagamos (n> 10 ), podemos obtener ( frac {1} {n} ) a una distancia de (0.01 ) de (0 ) siempre que hagamos (n> 100 ), etc. Después de algunos ejemplos de este tipo, es evidente que dado cualquier distancia arbitraria (ε> 0 ), podemos obtener ( frac {1} {n} ) dentro de (ε ) de (0 ) siempre que hagamos (n> frac {1} { varepsilon} ). Esto conduce a la siguiente definición.

Definición ( PageIndex {1} )

Sea ((s_n) = (s_1, s_2, s_3, ...) ) ser una secuencia de números reales. Decimos que ((s_n) ) converge a (0 ) y escribimos ( lim_ {n to infty} s_n = 0 ) proporcionado para cualquier (ε> 0 ), hay una número (N ) tal que si (n> N ), entonces (| s_n | <ε ).

Notas sobre la definición ( PageIndex {1} ):

  1. Esta definición es la versión formal de la idea de la que acabamos de hablar; es decir, dada una distancia arbitraria (ε ), debemos ser capaces de encontrar un número específico (N ) tal que (s_n ) esté dentro de (ε ) de (0 ), siempre que (n> N ). (N ) es la respuesta a la pregunta de qué tan grande es "lo suficientemente grande”Para poner (s_n ) así de cerca de (0 ).
  2. Aunque no lo necesitamos en el ejemplo ( left ( frac {1} {n} right) ), el valor absoluto aparece en la de fi nición porque necesitamos hacer la distancia desde (s_n ) a (0 ) menor que (ε ). Sin el valor absoluto en la definición, podríamos "probar"Declaraciones tan extravagantes como ( lim_ {n to infty} -n = 0 ), que obviamente no queremos.
  3. La instrucción (| sn | <ε ) también se puede escribir como (- ε
  4. Siempre que se pueda encontrar un (N ) que funcione para un (ε ) en particular, cualquier número (M> N ) también funcionará para ese (ε ), ya que si (n> M ) luego (n> N ).

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Sean (a ) y (b ) números reales con (b> 0 ). Demuestre (| a |

Para ilustrar cómo esta definición hace que las ideas anteriores sean rigurosas, usémosla para demostrar que ( lim_ {n to infty} left ( frac {1} {n} right) = 0 ).

prueba:

Sea (ε> 0 ). Sea (N = frac {1} { varepsilon} ). Si (n> N ), entonces (n> frac {1} { varepsilon} ) y entonces ( left | frac {1} {n} right | = frac {1} { n} < varepsilon ). Por tanto, por definición, ( lim_ {n to infty} frac {1} {n} = 0 ).

Tenga en cuenta que esta prueba es rigurosa y no hace referencia a nociones vagas como "achicándose" o "acercándose al infinito.”Tiene tres componentes:

  1. proporcionar el desafío de una distancia (ε> 0 )
  2. identificar un número real (N )
  3. muestre que este (N ) funciona para este (ε ) dado.

Tampoco hay una explicación sobre el origen de (N ). Si bien es cierto que esta elección de (N ) no es sorprendente a la luz de la "chatarra“Lo hicimos antes de la definición, la motivación de cómo lo obtuvimos no está en la prueba formal ni es requerida. De hecho, este tipo de desguace no suele incluirse en una prueba formal. Por ejemplo, considere lo siguiente.

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

Utilice la definición de convergencia a cero para demostrar ( lim_ {n to infty} frac { sin} {n} = 0 ).

Prueba:

Sea (ε> 0 ). Si (n> N ), entonces (n> frac {1} { varepsilon} ) y ( frac {1} {n} < varepsilon ). Por lo tanto, ( left | frac { sin n} {n} right | leq frac {1} {n} < varepsilon ). Por tanto, por definición, ( lim_ {n to infty} frac { sin} {n} = 0 ).

Observe que (N ) salió de la nada, pero probablemente pueda ver el proceso de pensamiento que entró en esta elección: necesitábamos usar la desigualdad (| sin n | ≤ 1 ). Nuevamente, este trabajo de desguace no es parte de la prueba formal, pero normalmente es necesario para encontrar lo que debería ser (N ). Es posible que pueda resolver el siguiente problema sin hacer ningún trabajo de desguace primero, pero no dude en hacerlo si lo necesita.

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Utilice la definición de convergencia a cero para demostrar lo siguiente.

  1. ( lim_ {n to infty} frac {1} {n ^ 2} = 0 )
  2. ( lim_ {n to infty} frac {1} { sqrt {n}} = 0 )

A medida que las secuencias se vuelven más complicadas, será más necesario hacer el trabajo de desguace con anticipación.

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

Utilice la definición de convergencia a cero para demostrar ( lim_ {n to infty} frac {n + 4} {n ^ 2 + 1} = 0 ).

Trabajo de desguace:

Dado un (ε> 0 ), necesitamos ver qué tan grande hacer (n ) para garantizar que ( left | frac {n + 4} {n ^ 2 + 1} right | < varepsilon ). Primero, observe que (( frac {n + 4} {n ^ 2 + 1} < frac {n + 4} {n ^ 2} ). Además, observe que si (n> 4 ), entonces (n + 4 4 ), tenemos ( frac {n + 4} {n ^ 2 + 1} < frac {n + 4} {n ^ 2} < frac {2n} {n ^ 2} < frac {2} {n} ). Podemos hacer esto menor que (ε ) si hacemos (n> frac {2} { varepsilon} ). Esto significa que necesitamos hacer (n> 4 ) y (n> frac {2} { varepsilon} ), simultáneamente. Esto se puede hacer si dejamos (N ) sea el máximo de estos dos números. Este tipo de cosas surgen con regularidad, por lo que se desarrolló la notación (N = max left (4, frac {2} { varepsilon} right) ) significa el máximo de estos dos números. Observa que si (N = max left (4, frac {2} { varepsilon} right) ) entonces (N ≥ 4 ) y (N geq frac {2} { varepsilon} ). Ahora estamos listos para la prueba formal.

Prueba:

Sea (ε> 0 ). Sea (N = max left (4, frac {2} { varepsilon} right) ). Si (n> N ), entonces (n> 4 ) y (n> frac {2} { varepsilon} ). Así tenemos (n> 4 ) y ( frac {2} {n} < varepsilon ). Por lo tanto

[ left | frac {n + 4} {n ^ 2 + 1} right | = frac {n + 4} {n ^ 2 + 1} < frac {n + 4} {n ^ 2} < frac {2n} {n ^ 2} = frac {2} {n} < varepsilon ]

Por tanto, por definición, ( lim_ {n to infty} frac {n + 4} {n ^ 2 + 1} = 0 ).

Nuevamente enfatizamos que el trabajo de chatarra NO parte de la prueba formal y el lector no la verá. Sin embargo, si observa con atención, puede ver el trabajo de desguace en la prueba formal.

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Utilice la definición de convergencia a cero para demostrar ( lim_ {n to infty} frac {n ^ 2 + 4n + 1} {n ^ 3} = 0 ).

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Sea b un número real distinto de cero con (| b | <1 ) y sea (ε> 0 ).

  1. Resuelve la desigualdad (| b | ^ n <ε ) para (n ).
  2. Utilice el inciso a) para demostrar ( lim_ {n to infty} b ^ n = 0 ).

Podemos negar esta definición para demostrar que una secuencia particular no converge a cero.

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

Utilice la definición para demostrar que la secuencia ((1 + (-1) ^ n) _ {n = 0} ^ { infty} = (2,0,2,0,2, cdots) ) no convergen a cero.

Antes de proporcionar esta prueba, analicemos qué significa que una secuencia ((s_n) ) no converja a cero. La convergencia a cero significa que cada vez que se da una distancia (ε> 0 ), debemos poder responder con un número (N ) tal que (| s_n | <ε ) para cada (n> NORTE). Para que esto no suceda, debemos ser capaces de encontrar algo de (ε> 0 ) tal que ninguna opción de (N ) funcione. Por supuesto, si encontramos un (ε ), entonces uno más pequeño no tendrá tal (N ), pero solo necesitamos uno para estropearnos. Si observa el ejemplo el tiempo suficiente, verá que cualquier (ε ) con (0 <ε ≤ 2 ) causará problemas. Para nuestros propósitos, dejaremos (ε = 2 ).

Prueba:

Sea (ε = 2 ) y sea (N ∈ mathbb {N} ) cualquier número entero. Si dejamos que (k ) sea cualquier número entero no negativo con (k> frac {N} {2} ), entonces (n = 2k> N ), pero (| 1 + (-1) ^ n | = 2 ). Por tanto, ninguna elección de (N ) satisfará las condiciones de la definición para este (ε ), (es decir, que (| 1 + (-1) ^ n | <2 ) para todo (n> N )) y entonces ( lim_ {n to infty} (1 + (-1) ^ n) neq 0 ).

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Niegue la definición de ( lim_ {n to infty} s_n = 0 ) para proporcionar una definición formal de ( lim_ {n to infty} s_n neq 0 ).

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Utilice la definición para demostrar ( lim_ {n to infty} frac {n} {n + 100} neq 0 ).

Ahora que sabemos cómo demostrar rigurosamente que una secuencia converge a cero, generalicemos esto a una definición formal de una secuencia que converge a otra cosa. Básicamente, queremos decir que una secuencia ((s_n) ) converge a un número real (s ), siempre que la diferencia ((s_n - s) ) converja a cero. Esto conduce a la siguiente definición:

Definición ( PageIndex {2} )

Sea ((s_n) = (s_1, s_2, s_3, ...) ) una secuencia de números reales y sea (s ) un número real. Decimos que ((s_n) ) converge a (s ) y escribimos ( lim_ {n to infty} s_n = s ) proporcionado para cualquier (ε> 0 ), hay una número (N ) tal que si (n> N ), entonces (| s_n - s | <ε ).

Notas sobre DEfinition ( PageIndex {2} )

  1. Claramente ( lim_ {n to infty} s_n = s ) si y solo si ( lim_ {n to infty} (s_n - s) = 0 ).
  2. Una vez más, observe que esto dice que podemos hacer que (s_n ) esté tan cerca de (s ) como queramos (dentro de (ε )) haciendo que (n ) sea lo suficientemente grande ( (> N )) . Como antes, esta definición hace que estas nociones sean muy específicas.
  3. Observe que (| s_n - s | <ε ) se puede escribir en las siguientes formas equivalentes
    1. (| s_n - s | <ε )
    2. (- ε
    3. (s - ε
    4. (s_n ∈ (s - ε, s + ε) )

y somos libres de usar cualquiera de estos que sea conveniente en ese momento.

Como ejemplo, usemos esta definición para demostrar que la secuencia en el Problema ( PageIndex {6} ), de hecho, converge a (1 ).

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

Demuestre ( lim_ {n to infty} frac {n} {n + 100} = 1 ).

Trabajo de desguace:

Dado un (ε> 0 ), necesitamos obtener ( left | frac {n} {n + 100} - 1 right | < varepsilon ). Esto nos impulsa a hacer algo de álgebra.

[ left | frac {n} {n + 100} - 1 right | = izquierda | frac {n- (n + 100)} {n + 100} - 1 derecha | leq frac {100} {n} ]

Esto, a su vez, parece sugerir que (N = frac {100} { varepsilon} ) debería funcionar.

Prueba:

Sea (ε> 0 ). Sea (N = frac {100} { varepsilon} ). Si (n> N ), entonces (n> frac {100} { varepsilon} ) y entonces ( frac {100} {n} < varepsilon ). Por eso

[ left | frac {n} {n + 100} - 1 right | = izquierda | frac {n- (n + 100)} {n + 100} - 1 derecha | = frac {100} {n + 100} < frac {100} {n} < varepsilon ]

Por lo tanto, por definición ( lim_ {n to infty} frac {n} {n + 100} = 1 )

Observe nuevamente que el trabajo de desguace no es parte de la prueba formal y el autor de una prueba no está obligado a decir de dónde vino la elección de (N ) (aunque el proceso de pensamiento generalmente se puede ver en la prueba formal). La prueba formal contiene solo las tres partes necesarias: proporcionar el desafío de una (ε> 0 ) arbitraria, proporcionar una (N ) específica y demostrar que esta (N ) funciona para la (ε dada. ).

Observe también que dada una secuencia específica como ( frac {n} {n + 100} ), la definición no indica cuál sería el límite si, de hecho, existe. Una vez que se hace una conjetura sobre cuál debería ser el límite, la definición solo verifica que esta intuición sea correcta.

Esto lleva a la siguiente pregunta: si se necesita intuición para determinar cuál debería ser el límite de una secuencia, ¿cuál es el propósito de esta definición complicada y relativamente no intuitiva?

Recuerde que cuando se desarrollaron estas formulaciones rigurosas, las nociones intuitivas de convergencia ya estaban en vigor y se habían utilizado con gran éxito. Esta definición se desarrolló para abordar los problemas fundamentales. ¿Podrían verificarse nuestras intuiciones de una manera concreta que fuera irreprochable? Este fue el propósito de esta definición no intuitiva. Debía usarse para verificar que nuestra intuición era, de hecho, correcta y hacerlo de una manera muy prescrita. Por ejemplo, si (b> 0 ) es un número fijo, entonces probablemente diría que cuando (n ) se acerca al infinito, (b ^ {( frac {1} {n})} ) se acerca a (b ^ 0 = 1 ). Después de todo, ya probamos que ( lim_ {n to infty} frac {1} {n} = 0 ). Deberíamos poder respaldar esta intuición con nuestra rigurosa definición.

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Sea (b> 0 ). Utilice la definición para demostrar ( lim_ {n to infty} b ^ {( frac {1} {n})} = 1 ). [Pista: Probablemente necesitará separar esto en dos casos: (0

Ejercicio ( PageIndex {8} )

  1. Proporcione una definición rigurosa de ( lim_ {n to infty} s_n neq s ).
  2. Usa tu de fi nición para mostrar que para cualquier número real (a ), ( lim_ {n to infty} ((- 1) ^ n) neq a ). [Pista: Elija (ε = 1 ) y use el hecho de que ( left | a - (-1) ^ n right | <1 ) es equivalente a ((- 1) ^ n - 1

Contribuyente


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Mi nombre es Andrew Chambers y actualmente trabajo en British International School Phuket. Dirijo mi sitio como el sitio web de recursos matemáticos de la escuela # 8217 para nuestros estudiantes y estudiantes de todo el mundo.

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¿Cuáles son algunos ejemplos de secuencias geométricas de la vida real?

Hay muchos usos de las secuencias geométricas en la vida cotidiana, pero uno de los más comunes es calcular el interés ganado. Los matemáticos calculan un término en la serie multiplicando el valor inicial en la secuencia por la tasa elevada a la potencia de uno menos que el número del término. La secuencia le permite al prestatario conocer la cantidad que su banco espera que pague utilizando un interés simple.

En una secuencia geométrica, un término se determina multiplicando el término anterior por la tasa, explica a MathIsFun.com. Un ejemplo de una serie geométrica, donde r = 2 es 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256. Si la tasa es menor que 1, pero mayor que cero, el número se reduce con cada término, como en 1 , 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32… donde r = 1/2. La única limitación de r es que no puede ser igual a cero.

Dada la tasa de viaje, es posible aplicar esta fórmula para determinar la cantidad de millas que recorre un vehículo en un período de tiempo determinado y calcular la distancia en cualquier momento del viaje.

Los físicos usan progresiones geométricas para calcular la cantidad de material radiactivo que queda después de un número determinado de vidas medias del material. Durante cada vida media, el material se descompone en un 50 por ciento.


Secuencias: Nueva colección de currículo de matemáticas de secundaria 8

Cada quince días, reuniré una selección de recursos diseñados para ayudar a cubrir los objetivos del nuevo plan de estudios de matemáticas de 2014 para escuelas secundarias (etapa clave 3). Todos estos están disponibles gratuitamente en el sitio web de TES.

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4.1: Secuencias de números reales - Matemáticas

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Preguntas y respuestas amp

Pregunta: 15,12, 9, 6 ¿cuál es el enésimo término?

Respuesta: Esta secuencia desciende en 3 & aposs, así que compárala con las multiplicaciones negativas de 3 (-3, -6, -9, -12).

Deberá sumar 18 a cada uno de estos números para obtener los números en la secuencia.

Entonces, el enésimo término de esta secuencia es -3n + 18.

Pregunta: 156, 148, 140, 132 ¿Qué término será el primero en ser negativo?

Respuesta: Probablemente sea más fácil continuar la secuencia hasta llegar a los números negativos.

La secuencia disminuye en 8 cada vez.

156, 148, 140, 132, 124, 116, 108, 100, 92, 84, 76, 68, 60, 52, 44, 36, 28, 20, 12, 4, -4 .

Así que este será el vigésimo primer término de la secuencia.

Pregunta: Encuentra el noveno término de la secuencia. 3 & # x200B, 1 & # x200B, -3 & # x200B, -9 & # x200B, -17 & # x200B?

Respuesta: Las primeras diferencias son -2, -4, -6, -8 y la segunda diferencia son -2.

Por lo tanto, dado que la mitad de -2 es -1, el primer término será -n ^ 2.

Restar -n ^ 2 de la secuencia da 4, 5, 6, 7, 8 que tiene n-ésimo término n + 3.

Entonces, la respuesta final es -n ^ 2 + n + 3.

Pregunta: ¿Cómo se calcula la segunda diferencia de una secuencia cuadrática sin el primer término?

Respuesta: El primer término no tiene que ser dado, todo lo que se requiere para calcular la segunda diferencia es que hay tres términos consecutivos.

Pregunta: Encuentra el noveno término de la secuencia. 27, 25, 23, 21, 19?

Respuesta: Las primeras diferencias son -2, así que compara la secuencia con los múltiplos de -2 (-2, -4, -6, -8, -10)

Deberá sumar 29 a estos múltiplos para obtener los números en la secuencia.

Entonces, el enésimo término es -2n + 29.

Pregunta: ¿Cuál es el enésimo término de la secuencia <-1, 1, -1, 1, -1>?

Pregunta: ¿Cuál es el enésimo término para 20,17,14,11?

Respuesta: -3n + 23 es la respuesta.

Pregunta: Si el enésimo término de una secuencia es 45 - 9n, ¿cuál es el octavo término?

Respuesta: Primero multiplica 9 por 8 para dar 72.

A continuación, trabaje de 45 a 72 para dar -27.

Pregunta: -1,1, -1,1, -1 enésimo término. ¿Cómo puedo solucionar esto?

Pregunta: 3/8 del número es 12, ¿cuál es el número?

Respuesta: 12 dividido por 3 es 4 y 4 por 8 es 32.


Análisis real interactivo

Ahora queremos describir cuál es el comportamiento o patrón a largo plazo de una secuencia, si es que lo hay.

Definición 3.1.2: Convergencia
Se dice que una secuencia de números reales (o complejos) converge en un número real (o complejo) C si por cada & gt 0 hay un entero N & gt 0 tal que si j & gt N luego
  • Considere la secuencia. Converge a cero. Pruébalo.
  • La secuencia no converge. Pruébalo.
  • La secuencia converge a cero Pruébelo.

Vamos a establecer varias propiedades de las secuencias convergentes, la mayoría de las cuales probablemente le resulten familiares. Muchas pruebas usarán un 'argumento' como en la prueba del siguiente resultado. No es fácil acostumbrarse a este tipo de argumento, pero aparecerá una y otra vez, por lo que debes intentar familiarizarte lo más posible con él.

  • Los números de Fibonacci se definen recursivamente como x 1 = 1, x 2 = 1y para todos n & gt 2 nosotros fijamos x norte = x norte - 1 + x norte - 2 . Demuestre que la secuencia de números de Fibonacci no converge.
  1. Su suma es convergente a a + b, y las secuencias se pueden agregar término por término.
  2. Su producto es convergente a a * b, y las secuencias se pueden multiplicar término por término.
  3. Su cociente es convergente a a / b, puesto que b # 0, y las secuencias se pueden dividir término por término (si los denominadores no son cero).
  4. Si a n b n para todos norte, luego a b

Este teorema establece exactamente lo que esperaría que fuera cierto. La prueba emplea el truco estándar de 'sumar cero' y usar la desigualdad del triángulo. Intente probarlo usted mismo antes de buscarlo.

Tenga en cuenta que la cuarta afirmación ya no es cierta para las desigualdades estrictas. En otras palabras, hay secuencias convergentes con a n & lt b n para todos norte, pero la desigualdad estricta ya no es válida para sus límites. ¿Puedes encontrar un ejemplo?

Si bien ahora sabemos cómo tratar con secuencias convergentes, todavía necesitamos un criterio sencillo que nos diga si una secuencia converge. La siguiente proposición proporciona condiciones fáciles razonables, pero no nos dirá el límite real de la secuencia convergente.

Primero, recuerde las siguientes definiciones:

  • Aumento monótono:
    1. una j + 1 una j
    2. una j + 1 - una j 0
    3. una j + 1 / una j 1, Si a j & gt 0
  • Disminución monótona:
    1. una j + 1 una j
    2. una j + 1 - una j 0
    3. una j + 1 / una j 1, Si a j & gt 0
  • ¿La secuencia monótona aumenta o disminuye?
  • ¿La secuencia monótona aumenta o disminuye?
  • ¿Es cierto que converge una secuencia acotada? ¿Qué hay de las secuencias crecientes monótonas?

    Si una secuencia está acotada arriba, entonces c = sup (x k) es finito. Además, dado cualquier & gt 0, existe al menos un número entero k tal que x k & gt c - , como se ilustra en la imagen.

Proposición 3.1.9: Secuencias monótonas
Si es una secuencia creciente monótona que está acotada arriba, entonces la secuencia debe converger.

Si es una secuencia decreciente monótona que está limitada por debajo, entonces la secuencia debe converger.

Con este resultado, a menudo es fácil probar la convergencia de una secuencia simplemente mostrando que es acotada y monótona. La desventaja es que este método no revelará el límite real, solo demuestre que hay es uno.


¿CUÁL ES EL SIGNIFICADO DE 4444?

En la numerología 4444 es un presagio muy poderoso.

¡Se le ha encomendado el trabajo vital de incorporar el nuevo paradigma y construirlo desde cero!

ERES ARQUITECTO DEL NUEVO MUNDO.

Pero para cumplir este papel, debes co-crear con la Tierra, así que pasa tiempo con ella. Obsérvala. Apreciela.

Esta potente secuencia numérica es una señal de que hay muchos detalles a los que debes prestar atención, así que sé diligente. Pero no se preocupe por la responsabilidad que se le otorga, el ángel número 4444 es un potente signo de fuerza y ​​apoyo ilimitados. Confía en el desarrollo del mundo que te rodea. Tiene todos los recursos que necesita y todo lo demás que necesita se le proporcionará a su debido tiempo.

Con el ángel número 4444 se te recuerda la santidad del plano terrestre y tu lugar dentro de él. En numerología, el número 4444 se reduce a 7 (4 + 4 + 4 + 4 = 16 y 1 + 6 = 7), que es un número muy místico e intuitivo. Es el número del buscador, de alguien que tiene la sabiduría interior pero busca reforzarla a través de la experiencia. El número 7 también es el número de sacrificio, así que considere si resuena con este concepto en este momento de su vida. Para permanecer en el camino correcto (como sus ángeles y guías espirituales lo alientan a hacer), ¿hay algo de lo que deba dejar ir y sacrificar para elevarse a un nivel superior de conciencia?

¿NECESITA SABER MÁS SOBRE EL NÚMERO 7? LEE: SIGNIFICADO, MISTERIO Y MAGIA DEL NÚMERO 7

El ángel número 4444 es un inmenso signo de significado amplificado. Estás en verdadera alineación con el Universo. Tus ángeles de la guarda quieren que sepas que estás recibiendo apoyo divino. Es una señal hermosa y poderosa.

Ahora es el momento de conectarse con ellos en un nivel más profundo & # 8211 ¿estás dispuesto a hacer esto?

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La serie de Fibonacci: cuando las matemáticas se vuelven doradas

La Serie Fibonacci, un conjunto de números que aumenta rápidamente, comenzó como una broma matemática medieval sobre la rapidez con la que se reproducen los conejos. Pero se convirtió en una fuente de información sobre el arte, la arquitectura, la naturaleza y la eficiencia. Este juego matemático explica las estructuras de las hojas y los pulmones, se reproduce en pinturas y fotografías, y aparece como la base de las pirámides, el Partenón y la eficiencia del empaque. Descubra de dónde proviene la secuencia de Fibonacci y por qué sigue apareciendo de manera inquietante.

El origen de la serie:

La Serie Fibonacci recibe su nombre de Leonardo Fibonacci, quien vivió en el siglo XII. Quería calcular la expansión ideal de parejas de conejos durante un año. Supuso que cada par produciría otro par tan pronto como maduraran al mes. En enero, nacería una nueva pareja de conejos (1) que alcanzarían la madurez en febrero (1) y se reproducirían, produciendo una nueva pareja en marzo (2). Luego volverían a reproducirse y producirían una nueva pareja en abril (3) y otra pareja en mayo. Mientras tanto, los conejos nacidos en marzo llegarían a la madurez en abril, por lo que en mayo se producirían dos nuevas parejas de conejitos, lo que la llevaría a un total de 5 parejas. Ahora, los conejos nacidos en enero, marzo y abril agregarían nuevos pares, con lo que el total de junio & # x27 sería de 8 pares.

La expansión continuaría, con cada nuevo par llegando a la madurez y comenzando su propia pequeña Serie Fibonacci para agregarse al conjunto. Over the months, with no deaths, the rabbit pair expansion would look like this:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . . . .

Anyone can see that by December the poor owner would be inundated with rabbits. Sharp-eyed readers can also see that each new number in the sequence is the combination of the two numbers before it. Five plus eight makes thirteen. Eight plus thirteen makes twenty-one, and so on.

Fibonacci Goes Gold in Art and Architecture:

Many would respond to this with a shrug and a mental note to not let Fibonacci near any of their rabbits. It turns out, though, that he was really on to something. Mathematicians and artists took this sequence of number and coated it in gold. The first step was taking each number in the series and dividing it by the previous number. At first the results don't look special. One divided by one is one. Two divided by one is two. Three divided by two is 1.5. Riveting stuff. But as the sequence increases something strange begins to happen. Five divided by three is 1.666. Eight divided by five is 1.6. Thirteen divided by eight is 1.625. Twenty-one divided by thirteen is 1.615.

As the series goes on, the ratio of the latest number to the last number zeroes in on 1.618. It approaches 1.618, getting increasingly accurate, but never quite reaching that ratio. This was called The Golden Mean, or The Divine Proportion, and it seems to be everywhere in art and architecture.

The Greeks used the 1.618 proportion to construct The Golden Rectangle. It was a rectangle with sides measuring one and 1.618 (or with side measuring to consecutive Fibonacci Numbers). This was considered the most mathematically beautiful structure, and frequently used in architecture. The Parthenon incorporates a number of Golden Rectangles into its structure and decoration. What's more, the Pyramids have their own Divine Proportions. If the base of the Pyramids is considered one unit, the sloping sides are 1.618 units, and the height is the square root of 1.618 units high.

Today, many photographs and paintings use golden proportions. Take a Golden Rectangle, or a rectangle in which the two sides are Fibonacci Numbers. That rectangle can be chopped up into smaller rectangles and squares that all also have Fibonacci proportions. Many works of art contain objects that fit within these proportions.

But what about curves? That's where the Fibonacci sequence really shines. Draw an arc from one corner of those nested squares to the opposite corner. Do it enough, with increasingly nested squares, and it makes a Golden Spiral. The spiral is used in art, but it's seen even more often outside of a gallery.

Fibonacci Spirals in Nature:

So far, the Fibonacci Series has been popping up solely as a result of humans going crazy for a certain series of numbers. Although the original problem was illustrated with rabbits, anyone knows that population doesn't actually expand that way. Rabbits don't always get born in pairs, and even though they're famous for their fertility, they don't conceive every time they try.

In fact, the best examples of real world Fibonacci Series are found in the plant kingdom. Many plants that branch outwards towards the sun do so in branches equal to Fibonacci numbers. The original sprig comes up from the earth. For the first period of time, it just sprouts upwards. Then it develops meristem points - points from which new branches can form - and those sprout into two separate branches. Those branches push upwards for another period of time, and then develop two points of their own. The overall number of sprouting points develops in a Fibonacci Series.

The most celebrated example of the Fibonacci Series is the spirals it creates. Florets on a cauliflowers, fruitlets on a pineapple, seeds on a sunflower, they all spiral outwards. And each of those spirals contains a number of seeds, florets, bumps, leaves or tubercles that are equal to a Fibonacci number. Some might say that humans pick and choose, deciding to ignore the flowers that do not spin out their seeds in a Fibonacci series, but it turns out there's a reason for the repeated Fibonacci numbers on different species of spiraling plant - it's the perfect way to pack.

As a sunflower bulb develops seeds, it has to give each of its potential offspring equal space to do flourish. They need to be packed as evenly and equally as possible. But spirals aren't the best way to fit seeds into a space, so why do plants do it? Because they don't build a space and then pack it full of seeds like humans do a warehouse. They make seeds as the bulb that those seeds mature in expands.

Plants make these spiralling seedpods by maturing seeds at the center and the stretching the space the seeds inhabit outwards. If they deposited the seeds one directly beneath another, the seeds would be squished on top and bottom and have space to the sides - the flower pod would become an elongated seed holder and would strain its stem. And so the flower matures seeds in a circular pattern, setting the growing seeds at an angle to each other and letting them expand outwards. But what's the most efficient way to do that? If the flower made four seeds for every completely circular 'turn', the fourth seed would be deposited right underneath the first seed - making four rows of seeds that push outwards. That's better than a line, but still not an efficient use of space. It turns out that the best number of seeds to deposit per turn is around 1.618. Since flowers can only make whole numbers of seeds, this means that no seed is lodged directly under its predecessor. Instead, the seeds spiral outwards from the center.


Angel Numbers

We'll work our way through single angel numbers first, and then move on to especially powerful patterns.

For each number, it's important to not only read the documented meaning but also to intuit any extra meaning that the number may have in your life right now. For example, look for clues about your current context. Then, reflect on how the number's meaning may extend to tell you something about that particular scenario.

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Angel Number 1

When you see 1, you need to work on trusting yourself and believing in your ability to succeed. You'll frequently see angel number 1 when it's the right time in your life to begin a new venture or shift to a new career. Stay positive, and forge ahead with bravery!

Angel Number 2

When sending signs, angels present you with the number 2 to tell you that this is a time for self-reflection. Pause, reconsider what you want from life, and carefully set yourself goals.

2 also indicates that you may under pressure from other people, but that you should trust your own view above that of others.

Angel Number 3

Repeatedly seeing the number 3 tells you that you're holding back something that needs to be let out. Sometimes this might be a truth you should tell someone. In other cases, it might be a project you are hesitating to take on. In either case, the number 3 signals the time to embrace it.

Angel Number 4

The number 4 reminds you that it's vital to take care of the foundational things in your life.

Are you practicing enough self-care, and nurturing your body? Are you making enough time to sustain relationships? If you keep seeing angel signs related to 4, chances are that one of these things needs tending.

Angel Number 5

Seeing the number 5 is all about the need for change. Therefore, it's common to see this number when you're stuck in a rut or feeling stagnant. There are many reasons why we struggle to do new things. However, if you encounter 5s then angels are indicating an upcoming chance for positive change.

Angel Number 6

6 relates to balance (especially the tricky issue of work-life balance). So, give some thought to how you're spending your time.

You'll likely find that some things are being ignored at the expense of others and that you could do with adjusting the investment you place in different things in your life.

Angel Number 7

Guides to the major signs of angels link the number 7 with a time for quiet and rest. If you have a chance to take a trip away or spend time enjoying your own company, do it. You'll feel restored, and your boosted vibration will realign you with your life purpose.

Angel Number 8

The meaning of number 8 is tied to themes of challenge and difficulty. When you see 8, the angels are reassuring you that you can tackle this period of hardship and that you'll likely even benefit from doing so.

Try to see the silver lining in what you're experiencing, and know better times are coming.

Angel Number 9

9 is a number, and sign, of compassion. This can apply to yourself and others. Are you judging yourself too harshly, or are you failing to extend an appropriate empathy to loved ones?

Kindness can be life-changing, wherever it is directed. Repeatedly seeing the number 9 tells you that compassion is urgently needed.

Angel Number 0

The final entry on the angel number list, 0 represents infinity. It will sometimes be seen when you're being most authentic or living a deeply spiritual life.

Essentially, you can take it as a sign that you should keep doing what you're doing, and that more joy and success will follow.

Now that you have a sense of angel number meanings, let’s consider what some particularly powerful angel number sequences mean.

As it turns out, angel signs often come in the form of sequences. In fact, many of the most importantly angelic communications will come to you in this way.

You can begin to interpret sequences just by looking at how the meanings of single numbers might fit together. However, sometimes the meaning of angel numbers sequences is more complicated than merely considering the conjunction of numbers.

Here are ten significant sequences and a guide to how you can apply them to your life.

Angel Numbers 11, 111 & 1111

What does 11 mean in angel numbers, and how does it differ from angel numbers 1111 and 11?

In short, the number of ones that you see typically corresponds with the strength of the message you are receiving. Multiple 1s tell you that your intuition is functioning at maximum capacity and that you have a deep well of inspiration to draw on. People often see 11, 111, or 1111 when there is an opportunity to share their gifts creatively, or through teaching.

You are tapped into the truth of the universe right now and your gut feelings are extremely reliable. So, look for ways that you and others can benefit from this.

Angel Numbers 22, 222 & 2222

Angel numbers 222, 2222, and 22 are all connected to turning your ideas into reality. So, if you've been putting together a plan or sorting through various possibilities for a while, this angelic number sequence gives you a useful indication that now is the time to make those dreams more concrete. These dreams may be related to your work or personal life or may be more related to personal growth projects.

In addition, multiple 2’s remind you not to give up on something you've wanted, telling you that your patience and persistence are about to be rewarded by profound positive change.

Angel Numbers 33, 333 & 3333

In terms of meaning, number 333 (along with 33 and 3333) link up to themes about sharing and communication. These number sequences sometimes serve as a warning that you need to open up to a particular person in your life.

However, at other times this type of angelic sequence has more to do with spreading an important message throughout society. To figure out what seeing sequences of 3’s means for you, take a critical look at how you tend to share with others. Then, ask yourself who could benefit the most from increased communication. In addition, think about what might be holding you back.

Angel Numbers 44, 444 & 4444

Angel signs and symbols that involve angel numbers 444, 4444, or 44 are indications that you are being tested by the universe. You are being called to show and use your strength, and to persist regardless of roadblocks that may come up.

Often, angels send you multiple 4s to let you know that challenges are coming. This may be a sign that you should prepare and think about what you need to do to fortify yourself. However, 44, 444 and 4444 can also crop up when you are already in the middle of a test and need to be reminded that this test has meaning.

Angel Numbers 55, 555 & 5555

Angel numbers 555, 55 and 5555 are liable to crop up when you need to change your circumstances in order to move past something negative. For example, you may see this type of number sequence when you're in a toxic relationship or friendship, when you have grown to dislike your current job, or when it's time to consider moving to a new place.

Regardless of your current circumstances, the angels are communicating that although change is scary, cutting ties with the negative opens you up to limitless amounts of positivity and possibility.

Angel Numbers 66, 666 & 6666

When you see 66, 666 or 666, you are in need of a self-esteem boost. It's likely that you've recently been knocked down in some way, or that you have a general tendency to put the needs of others before the needs of yourself.

Angel sequences involving repetitions of 6 are communications telling you that you are beautiful and that your value does not depend on what you can do for other people. Examine the boundaries in your life. Plus, think about how you use more of your time and energy to invest in the things you truly love.

Angel Numbers 77, 777 & 7777

Repeating numbers 777, 77 and 7777 challenge you to reexamine what you really want. Often, we simply assume that certain aspects of our lives are still right for us, when really we may have outgrown them.

Is this happening in your life?

Perhaps the status quo is holding you back from a happier, more exciting way of living. Sequences of multiple 7’s are particularly related to life choices that promote or inhibit spiritual growth, so they also let you know that you may currently be vibrating on a low frequency. Ask yourself what would boost that vibration, and make a plan.

Angel Numbers 88, 888 & 8888

When you see angel numbers 88, 888, or 8888, stop and consider how much responsibility you're dealing with right now. It's likely that you're shouldering other people's burdens, or that you're stretched too thin to do your best work in any area of your life.

To address this issue, think about absolutely all of your commitments. Then, ask yourself which can be put aside, which can be delegated and which can be delayed. If you're not sure, consider which responsibilities feel like they're truly tied to your life's purpose and which merely feel like burdens that you don't really benefit from carrying.

Angel Numbers 99, 999 & 9999

Angel numbers 99, 999, and 9999 are all sequences that relate to an ending.

This is sometimes a loss, but at other times it simply represents just moving into a new phase of being. These angelic sequences gently remind you that it's important to let go of the past, especially if it comes with sadness, resentment, or anger. Ask yourself what you'd need to do in order to let go of any resentments that you're holding on to. Plus, consider how you might be able to make a clean break with people in your life that have caused you pain.

Angel Numbers 00, 000 & 0000

Last, in the series of symmetrical sequences, angel numbers 000, 00, and 0000 are powerful and important. These numbers are likely to appear when something in your life has come full circle, bringing you to a point at which a new beginning is both likely and beneficial.

As with a single 0, there is also a connection to your spiritual health here. Multiple 0’s tell you that you are spiritually aware, and are particularly attuned to signs from the universe right now. As such, it's vital to trust your intuitions, even when you can't initially make logical sense of them.


Ver el vídeo: Διάταξη Πραγματικών Αριθμών Παπούλας Νίκος (Septiembre 2021).