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3.7: Unicidad y existencia de ecuaciones diferenciales de segundo orden


Recuerde que para una ecuación diferencial lineal de primer orden

[y '+ p (t) y = g (t) ; ; ; y (t_0) = y_0 nonumber ]

si (p (t) ) y (g (t) ) son continuas en ([a, b] ), entonces existe una solución única en el intervalo ([a, b] ).

Podemos hacer las mismas preguntas de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. Primero debemos hacer algunos comentarios. La primera es que para una ecuación diferencial de segundo orden, no es suficiente indicar la posición inicial. Una forma de convencerse a sí mismo es que, dado que necesitamos revertir dos derivados, dos Se introducirán constantes de integración, por lo tanto dos Se deben encontrar piezas de información para determinar las constantes.

Un segundo comentario es el de la notación. Dejar

[y '' + p (t) y '+ q (t) y = g (t) nonumber ]

ser una ecuación diferencial lineal de segundo orden. Entonces llamamos al operador

[L (y) = y '' + p (t) y '+ q (t) y nonumber ]

la correspondiente operador lineal. Por tanto, queremos encontrar soluciones a la ecuación

[L (y) = g (t), ; ; ; y (t_0) = y_0, y '(t_0) = y'_0. sin número ]

Enunciaremos el siguiente teorema sin demostración. La prueba está muy por encima del nivel de este curso.

Teorema: existencia y unicidad

Sea (p (t) ), (q (t) ) y (g (t) ) continuas en ([a, b] ), entonces la ecuación diferencial

[y '' + p (t) y '+ q (t) y = g (t), ; ; ; y (t_0) = y_0, ; ; ; y '(t_0) = y'_0 label {EE} ]

tiene una solución única definida para todo (t ) en ([a, b] ).

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Encuentre el intervalo más grande donde

[(t ^ 2 -1) y '' + 3ty '+ cos t y = e ^ t, ; ; ; y (0) = 4, ; ; ; y '(0) = 5 nonumber ]

está garantizado tener una solución única.

Solución

Primero lo ponemos en forma estándar

[y '' + frac {3t} {t ^ 2 - 1} y '+ frac { cos t} {t ^ 2 -1} y = frac {e ^ t} {t ^ 2 -1 }, ; ; ; y (0) = 4, ; ; ; y '(0) = 5. nonumber ]

(p ), (q ) y (g ) son todos continuos excepto en (t = -1 ) y (t = 1 ). El teorema de existencia y unicidad (ecuación red {EE}) nos dice que hay una solución única en ([- 1,1] ).

Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden

A continuación, investigaremos soluciones a ecuaciones diferenciales homogéneas. Considere la ecuación diferencial lineal homogénea

[L (y) = 0. nonumber ]

Tenemos el siguiente teorema

Teorema

Sea (L (y) = 0 ) una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden y sean (y_1 ) y (y_2 ) dos soluciones. Entonces (c_1y_1 + c_2y_2 ) también es una solución para cualquier par o constantes (c_1 ) y (c_2 ).

Usando la terminología del álgebra lineal, sabemos que (L ) es una transformación lineal del espacio vectorial de funciones diferenciables en sí mismo. El teorema nos recuerda que el núcleo de una transformación lineal es un subespacio vectorial.

Prueba: el Wronskiano

[ begin {align *} L (c_1y_1 + C_2y_2) & = (c_1y_1 + c_2y_2) '' + p (t) (c_1y_1 + c_2y_2) '+ q (t) (c_1y_1 + c_2y_2) [4pt] & = c_1y '' _ 1 + c_2y '' _ 2 + p (t) c_1y'_1 + p (t) c_2y'_2 + q (t) c_1y_1 + q (t) c_2y_2 [4pt] & = c_1y '' _ 1 + p (t) c_1y'_1 + q (t) c_1y_1 + q (t) c_2y '' _ 2 + p (t) c_2y'_2 + q (t) c_2y_2 [4pt] & = c_1 (y '' _ 1 + p (t) y'_1 + q (t) y_1) + c_2 (y '' _ 2 + p (t) y'_2 + q (t) y_2) [4pt] & = c_1L (y_1) + c_2L ( y_2) [4pt] & = 0 + 0 = 0. end {align *} nonumber ]

A continuación, investigamos las condiciones iniciales. Si encontramos una solución general al sistema homogéneo, ¿podemos elegir constantes tales que la solución satisfaga las condiciones iniciales? Es decir, ¿podemos encontrar (c_1 ) y (c_2 ) tales que

[c_1y_1 (t_0) + c_2y_2 (t_0) = y_0 nonumber ]

[c_1y'_1 (t_0) + c_2y'_2 (t_0) = y'_0. sin número ]

Podemos poner esto en una ecuación matricial

[{ begin {pmatrix} y_1 (t_0) y_2 (t_0) y'_1 (t_0) y'_2 (t_0) end {pmatrix} begin {pmatrix} c_1 c_2 end {pmatrix} = begin {pmatrix} y_0 y'_0 end {pmatrix}} label {Wronskian} nonumber ]

Esto tiene una solución única si y solo si el determinante de la matriz no es cero; este determinante se llama Wronskian.

Esto prueba el siguiente teorema:

Teorema

Dejar

[L (y) = 0 ; ; ; y (t_0) = y_0 ; ; ; y '(t_0) = y'_0 nonumber ]

ser una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden y sean (y_1 ) y (y_2 ) dos soluciones generales (sin valor inicial). Entonces, si el Wronskiano

[y_1y'_2 - y'_1y_2 nonumber ]

es distinto de cero, existe una solución al problema del valor inicial de la forma

[y = c_1y_1 + c_2y_2. sin número ]

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Considere la ecuación diferencial

[y '' + 2y '- 8y = 0 nonumber ]

Es fácil comprobar que la solución general viene dada por

[y = c_1e ^ {2t} + c_2e ^ {- 4t}. sin número ]

El Wronskiano de

[y_1 = e ^ {2t}, ; ; ; y_2 = e ^ {- 4t} nonumber ]

es dado por

[e ^ {2t} (- 4e ^ {- 4t}) - (2e ^ {2t}) e ^ {- 4t} = -4e ^ {- 2t} - 2e ^ {- 2t} = -6e ^ { -2t}. sin número ]

Que nunca es cero. Podemos concluir que cualquier problema de valor inicial tendrá una solución única de la forma

[y = c_1e ^ {2t} + c_2e ^ {- 4t}. sin número ]


En los últimos años, la definición de cálculo fraccional ha sido más adecuada para describir procesos de dependencia histórica que las definiciones de límites locales de ecuaciones diferenciales ordinarias enteras o ecuaciones diferenciales parciales, y ha recibido cada vez más atención en muchos campos. Las ecuaciones diferenciales de orden fraccionario son más precisas que las ecuaciones diferenciales de orden integral para describir las leyes objetivas y la naturaleza de las cosas. En 1695, Leibnitz descubrió las derivadas fraccionarias, y después de eso, más y más estudiosos se han dedicado al estudio del cálculo fraccional. La definición de cálculo de Riemann-Liouville, la definición de diferencial de Caputo y la definición de diferencial de Grunwald-Letnikov son las definiciones de cálculo fraccional más comúnmente utilizadas en la investigación matemática básica y la investigación de aplicaciones de ingeniería [15]. En 2011, Katugampola propuso una nueva integración fraccional, que generalizó la integral de Riemann-Liouville y Hadamard en una sola forma. Cuando un parámetro se fijó en diferentes valores, produjo las integrales anteriores como casos especiales [13]. En 2014, Katugampola presentó la representación del derivado generalizado denominado derivado de Katugampola [14]. Además, Oliveira propuso un nuevo derivado fraccional, es decir, el derivado fraccional de Hilfer-Katugampola [18].

Recientemente, se han propuesto análisis difusos y ecuaciones diferenciales difusas para resolver la incertidumbre causada por información incompleta en algunos modelos matemáticos o informáticos que determinan fenómenos del mundo real [2, 4–8, 10, 17, 19–21]. En [3] y [1], se ideó el concepto de diferenciabilidad de Riemann-Liouville de tipo difuso basado en la diferenciabilidad de Hukuhara y, utilizando la medida de no compactación de Hausdorff, los autores estudiaron la existencia de solución para algunas ecuaciones integrales difusas. En [7], basándose en la diferenciabilidad de Hukuhara o la diferenciabilidad generalizada de Hukuhara, Bede y Stefanini introdujeron y estudiaron nuevos conceptos de diferenciabilidad generalizada para funciones con valores difusos.

En [11], Hoa, Lupulescu y O’Regan consideraron la siguiente ecuación diferencial fraccional difusa con orden ( alpha in (0,1) ):

donde (f: [a, b] times E rightarrow E ) es una función difusa y (x_ <0> in E ) es una constante difusa no trivial. El artículo presentó algunas observaciones sobre las soluciones de la ecuación diferencial difusa fraccional y demostró que una ecuación diferencial difusa fraccionaria y una ecuación integral difusa fraccionaria no son equivalentes en general. Se dio una condición apropiada para que esta equivalencia sea válida.

En [12], Hoa, Vu y Duc consideraron el conjunto difuso de las ecuaciones diferenciales fraccionarias de Caputo-Katugampola (CK) con la condición inicial:

donde (0 & lt a & lt t leq b ), (<> ^ D_^ < alpha, rho> ) es el derivado difuso de Hukuhara fraccional generalizado de CK, (f: [a, b] times E rightarrow E ) es una función difusa. Se utilizó una idea de aproximaciones sucesivas bajo la condición de Lipschitz generalizada para probar la existencia y unicidad de la solución.

En [9], Hoa estudió los resultados de existencia de soluciones extremas de ecuaciones integro-diferenciales funcionales fraccionarias de intervalo utilizando la técnica iterativa monótona combinada con el método de soluciones superior e inferior.

Inspirándonos en la discusión anterior, en este artículo iniciamos el estudio de la existencia y unicidad de la solución para la ecuación diferencial fraccional difusa con la derivada fraccionaria de Hilfer-Katugampola y la condición no local de la siguiente manera:

donde (x in mathbb), (0 & lt alpha & lt1 ), (0 leq beta leq 1 ), ( gamma = alpha + beta (1- alpha) ) y ( rho & gt0 ), (f: [a, b] times E to E ) es una función difusa. Además, (<> ^ < rho> I_^ <1- gamma> ), (<> ^ < rho> D_^ < alpha, beta> ) son la integral y la derivada fraccionarias de Hilfer – Katugampola, que se darán en la siguiente sección. (t_) ( (i = 1, ldots, m )) satisface (a & lt t_ <1> leq t_ <2> leq cdots leq t_& lt b ) y (c_) es un número real, (x_ <0> in mathbb). Aquí las condiciones no locales son más efectivas que las condiciones iniciales ((<> ^ < rho> I_^ <1- gamma> x) (0) = x_ <0> ) en términos de problemas físicos. X se dice que es una solución de (1.1).

El resto del artículo está organizado de la siguiente manera. En la Secta. 2, damos algunos datos preliminares que necesitamos a continuación. En la Secta. 3, presentamos nuestros principales resultados sobre la existencia y unicidad de la solución utilizando el método de aproximación sucesiva. Se da un ejemplo ilustrativo para mostrar la utilidad práctica de los resultados analíticos. La conclusión se da en la Secta. 4.


Las soluciones para el examen parcial 1 están aquí. Las puntuaciones se publican en SmartSite.

  • 1.1 & # 150 1.3: Modelado por EDO. Clasificación de las EDO. Campos de dirección y curvas integrales de EDO de primer orden.
  • 2.1: Solución de EDO lineales de primer orden mediante el método de factores integradores.
  • 2.2: Solución de ecuaciones separables de primer orden.
  • 2.3: Modelado por EDO de primer orden.
  • 2.4: Teoremas de existencia-unicidad para EDO de primer orden lineales y no lineales. Principio de superposición para EDO lineales.
  • 2.5: EDO autónomas de primer orden. Líneas de fase, equilibrios y estabilidad.

Aquí hay dos exámenes parciales de muestra:

Las soluciones para los exámenes parciales de muestra están aquí. I fuertemente Le recomendamos que pruebe los problemas usted mismo antes de consultar las soluciones.


Una solución única del problema de valor de frontera iterativo para una ecuación diferencial de segundo orden enfocada por resultados de punto fijo ☆

El análisis de ecuaciones diferenciales iterativas a menudo se relaciona con las diversas aplicaciones del cálculo, que son compatibles con todas las ciencias matemáticas. Estas ecuaciones son fundamentales a la hora de interpretar los modelos de infección. Además, la inclusión del automapeo aumenta la complejidad de determinar la existencia de soluciones para las ecuaciones diferenciales iterativas. Este artículo considera un tipo particular de ecuaciones diferenciales iterativas de segundo orden y utiliza el teorema del punto fijo de Banach para encontrar la existencia y unicidad de la solución de la ecuación diferencial propuesta. Discutimos la estabilidad de tipo Hyers-Ulam y Hyers-Ulam-Rassias de una solución al problema iterativo de valor en la frontera propuesto y presentamos tres ejemplos ilustrativos para respaldar nuestros principales resultados.


2. La formulación del modelo

En esta sección se describe el modelo básico que vamos a analizar en este artículo. La población se divide en tres subclases: susceptible, infectada y recuperada. Donde denotan las funciones de densidad asociadas con estas respectivas clases epidemiológicas estructuradas por edad. Sea la mortalidad específica por edad de los individuos susceptibles, infecciosos y recuperados en el momento, respectivamente. Suponemos que la enfermedad afecta la tasa de mortalidad, por lo que tenemos, y. Suponemos que todos los recién nacidos son susceptibles cuyo proceso de nacimiento es descrito por

dónde está la tasa de natalidad. También suponemos que las distribuciones de edad iniciales están dadas por, y. Y la tasa de recuperación específica por edad, es independiente del tiempo. Entonces, la dinámica conjunta del modelo epidemiológico estructurado por edad para la transmisión de SIR se puede escribir como

Suponemos y pertenecemos. Entonces, y como. Es lógico satisfacer el significado biológico. La transmisión horizontal de la enfermedad se produce de acuerdo con la siguiente ley:

¿Dónde es la velocidad a la que un individuo infectado mayor de edad entra en contacto con una enfermedad transmisora ​​de un individuo mayor de edad susceptible? Sumando las ecuaciones de (2.2), obtenemos el siguiente problema para la densidad de población.

En este artículo, probamos la existencia y unicidad de una solución no negativa del modelo (2.2) en cualquier intervalo de tiempo finito. Nuestros resultados se basan en un proceso del problema dependiente de la edad para los susceptibles, los infectados y los eliminados, y luego un método de punto fijo. Para estudiar la existencia y unicidad de una solución para un modelo epidémico con diferentes tasas de mortalidad, necesitamos las siguientes hipótesis. Dado, denotamos y suponemos que

(H1) para, es una función medible no negativa tal que el mapeo pertenece a casi todos. Además, existe una constante tal que para todos,

Con la notación`` existe otra constante, tal que

(H2) es una función medible no negativa que tiene un soporte compacto en la variable y tal que para todos,

donde es otra constante que depende solo de. Además, existe una constante tal que para todos

(H3) tiene un soporte compacto.

(H4) tiene soporte compacto y es una función no negativa. Nosotros fijamos.

(H5) tiene un soporte compacto y es una función no negativa. Tenemos.


Existencia y singularidad, Sección 1.2

La función es una solución para IVP1, mientras que es una solución para IVP2. Pero, ¿cómo sabemos si estos son los solo soluciones a estos IVP? Podemos usar el Teorema de existencia y unicidad (página 11 de su libro) para mostrar que la solución a IVP1 es realmente única. Sin embargo, el teorema no se aplica a IVP2. De cara, utilizando la separación de variables, pudimos encontrar otra solución al IVP2: de hecho, hay infinitamente muchos soluciones a IVP2. Consulte Proyecto grupal G en la página 85 de su libro para obtener más detalles.

Hay tres mensajes para llevar a casa del teorema de existencia y unicidad.

  1. Con un simple cálculo, podemos probar que una solución dada a un problema de valor inicial es único.
  2. Solo porque la solución exista, no se nos garantiza que la solución estará bien definida para todos los valores de. El & # 8220dominio de definición& # 8221 solo se puede determinar encontrando una solución explícita.
  3. El teorema de existencia y unicidad tiene una interpretación geométrica cuando trazamos soluciones. Al trazar soluciones para múltiples PVI derivados de la misma ecuación diferencial, las soluciones no pueden tocarse.

Problemas asignados para esta sección.

Problema adicional. Suponga que satisface el problema del valor inicial,
, .
Utilice el teorema de existencia y unicidad para demostrarlo para todos.


Preliminares

Comenzamos esta sección con algunas definiciones básicas de cálculo fraccional [2]. Posteriormente probamos un lema auxiliar, que juega un papel clave en la definición de un problema de punto fijo asociado con el problema dado.

Definición 1

La integral fraccionaria de Riemann-Liouville de orden ( alpha & gt0 ) para una función (f: [0, + infty) rightarrow R ) se define como

siempre que el lado derecho de la integral esté definido puntualmente en ((0, + infty) ) y Γ es la función gamma.

Definición 2

El Caputo derivada de orden ( alpha & gt0 ) para una función (f: [0, + infty) rightarrow R ) se escribe como

donde (n = [ alpha] +1 ), ([ alpha] ) es una parte integral de α.

Lema 1

Dejar ( alpha & gt0 ). Entonces la ecuación diferencial (D_ <0 +> ^ < alpha> f (t) = 0 ) tiene soluciones

dónde (C_ in mathbb) y (i = 1,2, ldots ), (n = [ alpha] +1 ).

Sea (C ([0, T] mathbb ) ) denotan el espacio de Banach de todas las funciones continuas desde ([0, T] ) a ( mathbb) equipado con la norma sup ( Vert x Vert _ < infty> = sup < vert x (t) vert: 0 leq t leq T > ). Por conveniencia computacional, en lo que sigue usamos las siguientes notaciones:

Lema 2

Dejar ( rho, gamma _ <1>, gamma _ <2> in C ([0, T] mathbb ) ) . Entonces el siguiente problema de valor límite

es equivalente a la ecuación integral fraccionaria

Prueba

Aplicando (I ^ < alpha -1> ) a ambos lados de (2.2) y usando (2.1), obtenemos

Resolvemos la ecuación diferencial ordinaria lineal anterior:

La primera condición de frontera implica que

La segunda condición de frontera con (2.5) implica que

Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior para (c_ <0> ) y (c_ <1> ), obtenemos

Insertando (c_ <0> ) y (c_ <1> ) en (2.4), obtenemos la fórmula deseada (2.3).

Por el contrario, suponga que tu satisface (2.3). Por cálculo directo, se deduce que la solución dada por (2.3) satisface (2.2). □

Lema 3

Para cualquier (g, h en C ([0, T] mathbb ) ), ( gamma & gt0 ), tenemos

Prueba


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Ejemplo

Ejemplo 4.1

Considere el siguiente problema de valor límite para la ecuación diferencial fraccionaria tipo Hilfer-Hadamard:

Aquí, ( alpha = 3/2 ), ( beta = 1/2 ), ( gamma = 7/4 ), ( nu _ <1> = 1/2 ), ( nu _ <2> = -3 / 4 ), ( sigma _ <1> = 2/3 ), ( sigma _ <2> = 4/3 ), ( zeta _ <1> = 3/2 ), ( zeta _ <2> = 7/4 ), ( epsilon = 0.3 ), (1+ epsilon = 1.3 ) y

Por lo tanto, ( (Q_ <1> )) se satisface con (C = frac <3> <64e> ). Podemos demostrar que

Por lo tanto, según el teorema 3.2, el problema del valor en la frontera (4.1) tiene una solución única en J.

Ejemplo 4.2

Considere el siguiente problema de valor límite para la ecuación diferencial fraccionaria tipo Hilfer-Hadamard:

Aquí, ( alpha = 3/2 ), ( beta = 2/3 ), ( gamma = 11/6 ), ( nu _ <1> = 2 ), ( nu _ <2> = -1 / 2 ), ( nu _ <3> = 5/3 ), ( sigma _ <1> = -1 ), ( sigma _ <2 > = 3 ), ( sigma _ <3> = -11 / 3 ), ( zeta _ <1> = 4/3 ), ( zeta _ <2> = 2 ), ( zeta _ <2> = 9/7 ), ( epsilon = 0.5 ), (1+ epsilon = 1.5 ) y

Elegimos (q (t) = 1 + log t ) y ( vartheta (| x |) = (| x (t) | +1) / 12 ). Entonces, podemos mostrar que

Por lo tanto, (L & gt1.320578171 ). Por lo tanto, según el teorema 3.5, el problema del valor en la frontera (4.2) tiene al menos una solución en J.


Ejemplo 1

Usando el teorema 1, determine el intervalo más grande que contiene una solución única al problema con valor inicial $ t (t - 4) frac

+ y = 0 $ con la condición inicial $ y (2) = 1 $.

Primero reescribimos nuestra ecuación diferencial dividiendo por $ t (t-4) $ para obtener:

Entonces tenemos ese $ frac

= f (t, y) = - frac <1>PS Esta función es continua para $ t neq 0 $ y $ t neq 4 $. Además, $ frac < partial f> < partial y> = 0 $ que es continuo en todas partes. Por lo tanto, los intervalos posibles para la solución única $ phi (t) $ al problema de valor inicial dado son $ (- infty, 0) $, $ (0, 4) $ o $ (4, infty) $.

La condición inicial $ y (2) = 1 $ especie que $ 2 $ debe estar contenida en el intervalo, por lo que $ (0, 4) $ es el intervalo más grande que contiene la solución única a este problema de valor inicial.


Ver el vídeo: EDO 2do orden lineal 02 Teorema de existencia y unicidad (Septiembre 2021).