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6.3: Soluciones en serie y convergencia


En la última sección, vimos cómo encontrar soluciones en serie para ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. En esta discusión, derivaremos un método alternativo para encontrar soluciones en serie. También aprenderemos a determinar el radio de convergencia de las soluciones con solo echar un vistazo rápido a la ecuación diferencial.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Considere la ecuación diferencial

[y '' + y '+ ty = 0. nonumber ]

Como antes buscamos una solución en serie

[y = a_0 + a_1t + a_2t ^ 2 + a_3t ^ 3 + a_4t ^ 4 + ... ;. sin número]

La teoría de la serie de Taylor establece que

[n! ; a_n = y ^ {(n)} (0). sin número ]

Tenemos

[y '' = -y '-ty. sin número ]

Conectando 0 da

[2! , A_2 = y '' (0) = -y '(0) + 0 = -a_1 nonumber ]

[a_2 = - dfrac {a_1} {2}. sin número]

Tomando la derivada de la ecuación diferencial se obtiene

[(y '' + y '+ ty)' = y '' '+ y' '+ ty' + y = 0 nonumber ]

o

[y '' '= -y' '- ty' - y. sin número]

Conectar cero da

[3! , A_3 = a_1 - a_0 nonumber ]

[a_3 = dfrac {a_1} {6} - dfrac {a_0} {6}. sin número]

Tomando otra derivada da

[(y '' '+ y' '+ ty' + y) '= y ^ {(iv)} + y' '' + ty '' + 2y '= 0 nonumber ]

o

[y ^ {(iv)} = -y '' '- ty' '- 2y'. sin número]

Conectar cero da

[4! , a_4 = -a_1 + a_0 - 2a_1 nonumber ]

[a_4 = - dfrac {49} {24} a_1 + dfrac {a_0} {24}. sin número]

Lo importante a tener en cuenta aquí es que todos los coeficientes se pueden escribir en términos de los dos primeros. Para llegar a un teorema con respecto a esto, primero necesitamos una definición.

Definición: función analítica

Una función (f (x) ) se llama analítico en (x_0 ) si (f (x) ) es igual a su serie de potencias.

Resulta que si (p (x) ) y (q (x) ) son analíticos, entonces siempre existe una solución en serie de potencias para la ecuación diferencial correspondiente. Declaramos este hecho a continuación sin pruebas. Si (x_0 ) es un punto tal que (p (x) ) y (p (x) ) son analíticos, entonces (x_0 ) se llama un punto ordinario de la ecuación diferencial.

Teorema

Sea (x_0 ) un punto ordinario de la ecuación diferencial

[L (y) = y '' + p (t) y '+ q (t) y = 0. ]

Entonces, la solución general se puede representar mediante la serie de potencias

[y = sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-x_0) ^ n = a_0 , y_1 (x) + a_1 , y_2 (x). ]

donde (a_0 ) y (a_1 ) son constantes arbitrarias y (y_1 ) y (y_2 ) son analíticas en (x_0 ). Los radios de convergencia para (y_1 ) y (y_2 ) son al menos tan grandes como los radios mínimos de convergencia para (p ) y (q ).

Observación: La forma más fácil de encontrar los radios de convergencia de la mayoría de las funciones es mediante el siguiente hecho

Si (f (x) ) es una función analítica para todo (x ), entonces el radio de convergencia para (1 / f (x) ) es la distancia desde el centro de convergencia a la raíz más cercana ( posiblemente complejo) de (f (x) ).

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Encuentre un límite inferior para el radio de convergencia de soluciones en serie sobre (x = 1 ) para la ecuación diferencial

[(x ^ 2 + 4) ; y '' + text {sin} ; (x) y '+ e ^ xy = 0. nonumber ]

Solución

Tenemos

[p (x) = dfrac { sin x} {x ^ 2 + 4} nonumber ]

[q (x) = dfrac {e ^ x} {x ^ 2 + 4}. sin número]

Ambos son cocientes de funciones analíticas. Las raíces de (x ^ 2 + 4 ) son

[2i ; ; ; text {y} ; ; ; -2i. sin número ]

La distancia de (1 ) a (2i ) es la misma que la distancia de ((1,0) ) a ((0,2) ) que es ( sqrt {5} ). Obtenemos la misma distancia de (1 ) a (- 2i ). Por tanto, los radios de convergencia de las soluciones son al menos ( sqrt {5} ).


La bioconvergencia es el futuro de la asistencia sanitaria

Vivimos en una era posgenómica, donde los datos, la ingeniería molecular y los nuevos marcos redefinen las posibilidades. Los investigadores, ingenieros y empresas de biotecnología se están moviendo más allá del paradigma "inspirado en la naturaleza". Las líneas divisorias entre biología, ingeniería, nanotecnología e TI son cada vez más difusas. Lo que estamos viendo aquí no es solo una iteración gradual. Es una revolución, una convergencia masiva de múltiples campos diferentes: la bioconvergencia.

La próxima generación de soluciones para el cuidado de la salud no solo está inspirada en la naturaleza. Incorporan de forma activa sistemas y procesos biológicos, abriendo posibilidades impensables hace apenas unos años. Pero, ¿qué es este cambio de paradigma? ¿Qué es exactamente la bioconvergencia? ¿Y qué significa para el futuro de la asistencia sanitaria?


Teoría espectral para grupos de automorfismo

8.6.4 Proposición

Sea δ un-derivación de un C ⁎ -álgebra A. Definir α t = exp ⁡ (t δ) para t en R . Luego t → α t es un grupo uniformemente continuo de un parámetro de automorfismos de A, y Sp (δ) = i Sp (α) .

Desde δ está acotado por 8.6.3, tenemos una expresión en serie convergente

Toma x, y en A. Un argumento de inducción estándar muestra que δ satisface la fórmula de Leibniz & # x27, es decir, para cada norte, tenemos

Sea A el álgebra de Banach en B (A) generada por δ y I. Entonces A también es generado por la familia <α t | t ∈ R>, y dado que Sp (α) es compacto, A es generado por la familia <α f | f ∈ L 1 (R)> también. De 8.1.10 se deduce que los tres conjuntos Sp (δ), A ˆ y Sp (α) son homeomorfos y que el mapa λ → i λ implementa el homeomorfismo entre Sp (α) y Sp (δ). □


Su equipo está haciendo una lluvia de ideas equivocada

Cuando su equipo tiene la tarea de generar ideas para resolver un problema, es una reacción natural sugerir una sesión de lluvia de ideas. Pero la investigación muestra que los grupos que utilizan enfoques tradicionales de lluvia de ideas presentan menos ideas (y menos buenas ideas) de las que habrían desarrollado los individuos si hubieran trabajado solos. En lugar de hacer que las personas en una habitación intercambien ideas, primero intente que las personas hagan una lluvia de ideas por su cuenta. Por ejemplo, puede usar una técnica llamada 6-3-5, donde tiene seis la gente se sienta alrededor de una mesa y escribe Tres ideas. Luego, pasan su pila de ideas a la persona de la derecha para que las desarrolle. Este paso esta hecho cinco veces hasta que todos hayan tenido la oportunidad de desarrollar cada una de las ideas. Posteriormente, el grupo puede reunirse para evaluar las ideas generadas. Técnicas como ésta ralentizan el proceso creativo y alertan a todos en el grupo desde el principio de que la evaluación no se realizará hasta que todos hayan generado ideas y hayan tenido la oportunidad de desarrollarlas. Como resultado, incluso las personas que están ansiosas por obtener una respuesta se ven obligadas a esperar hasta que se desarrollen las ideas.

Cuando su equipo tiene la tarea de generar ideas para resolver un problema, sugerir una sesión de lluvia de ideas es una reacción natural. ¿Pero ese enfoque realmente funciona?

Aunque el término "lluvia de ideas" ahora se usa como un término genérico para que los grupos desarrollen ideas, comenzó como el nombre de una técnica específica propuesta por el ejecutivo de publicidad Alex Osborn en la década de 1950. Codificó las reglas básicas que muchos de nosotros seguimos cuando reunimos a las personas para generar ideas: Lanzar tantas ideas como sea posible. No se preocupe si están demasiado locos. Aproveche las ideas que genera la gente. No critique inicialmente.

Estas reglas parecen tan obvias y claras que es difícil creer que no funcionen. Sin embargo, décadas de estudios demuestran que los grupos que usan las reglas de lluvia de ideas de Osborn presentan menos ideas (y menos buenas ideas) de las que los individuos hubieran desarrollado por sí solos.

Calentamiento de cerebros: porque la lluvia de ideas no funciona

Hay varias razones para esta pérdida de productividad, como la llaman los académicos. Por un lado, cuando las personas trabajan juntas, sus ideas tienden a converger. Tan pronto como una persona lanza una idea, afecta la memoria de todos en el grupo y les hace pensar un poco más de manera similar sobre el problema que antes. Por el contrario, cuando las personas trabajan solas, tienden a divergir en sus pensamientos, porque todos toman un camino ligeramente diferente para pensar en el problema.

Puede aprovechar el poder de la divergencia y la convergencia para arreglar la lluvia de ideas, y varios estudios demuestran que esto funciona de manera efectiva. Estas son algunas de las lecciones de esta investigación.

Deje que los individuos trabajen solos primero

Al principio de los actos creativos es importante divergir, es decir, pensar en lo que está haciendo de tantas formas como sea posible. Más tarde, querrá converger en una pequeña cantidad de caminos para seguir con más detalle.

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Muchas técnicas utilizan una estructura como esta. Por ejemplo, en el método 6-3-5, seis personas se sientan alrededor de una mesa y escriben tres ideas. Pasan su pila de ideas a la persona a su derecha, quien las construye. Esta aprobación se realiza cinco veces, hasta que todos hayan tenido la oportunidad de desarrollar cada una de las ideas. Posteriormente, el grupo puede reunirse para evaluar las ideas generadas.

Hay muchas variaciones de técnicas como esta. Lo que tienen en común es que permiten el trabajo individual durante las fases divergentes de la creatividad y el trabajo en grupo durante las fases convergentes.

Técnicas como esta se pueden utilizar en múltiples rondas. Por ejemplo, a menudo es importante dedicar tiempo a ponerse de acuerdo sobre el problema a resolver. Se puede realizar una ronda completa de divergencia y convergencia en el enunciado del problema antes de dar a las personas la oportunidad de sugerir soluciones.

Tome su tiempo

Otra dificultad con la lluvia de ideas es que a menudo hay algunas personas en el grupo a las que no les gusta la incertidumbre. Quieren terminar el proceso rápidamente y continuar con la implementación de la nueva solución. Estas personas tienen una alta característica de personalidad llamada necesidad de cierre.

Es importante que los grupos tengan tiempo para explorar suficientes ideas que puedan considerar más que las primeras posibilidades que las personas generan. Una de las razones por las que las técnicas como 6-3-5 tienen éxito es que ralentizan el proceso creativo. Alertan a todos en el grupo desde el principio que la evaluación no se llevará a cabo hasta que todos hayan generado ideas y hayan tenido la oportunidad de desarrollarlas. Como resultado, incluso las personas con gran necesidad de cierre se ven obligadas a esperar hasta que se desarrollen las ideas.

Deja que la gente dibuje

Muchas sesiones de lluvia de ideas involucran a personas que hablan de soluciones. Eso predispone a las personas hacia soluciones de las que es fácil hablar. También puede conducir a soluciones que son abstractas y puede que nunca funcionen en la práctica.

Como resultado, muchas técnicas (como C-Sketching) requieren que las personas hagan dibujos en lugar de escribir. Nuestros estudios sugieren que una combinación de dibujo y escritura es ideal para generar soluciones creativas a problemas.

Hay varias razones por las que dibujar es útil.

Primero, es difícil para las personas describir las relaciones espaciales, por lo que cualquier solución que requiera un diseño espacial se describe mejor con imágenes que con palabras. En segundo lugar, una gran parte del cerebro se dedica al procesamiento visual, por lo que esbozar e interpretar dibujos aumenta la participación de esas regiones del cerebro en la generación de ideas. En tercer lugar, a menudo es difícil describir los procesos únicamente con palabras, por lo que los diagramas son útiles.

Una advertencia sobre el dibujo: la gente tiende a dibujar rápidamente, de manera que sus bocetos sean difíciles de interpretar, por lo que es útil tener palabras en los diagramas para ayudar con la interpretación de estos bocetos. Pero la prisa puede no ser tan mala. Los mismos estudios a los que hice referencia anteriormente también demuestran que cuando otras personas miran bocetos dibujados de manera tosca, pueden malinterpretar elementos de los dibujos de maneras que, por casualidad, conducen a nuevas ideas.

Uno de los placeres de la sesión de lluvia de ideas es que usted, como líder del grupo, no necesita pasar tanto tiempo facilitando o preparándose. Simplemente pones a la gente en una habitación y vete. Pero si bien esto le facilita las cosas, no es bueno para el grupo. Para desarrollar ideas más sólidas, debe gestionar la conversación de modo que el equipo no converja en una solución antes de que todos escuchen lo que piensan los demás. Hasta que desarrolle cierta experiencia en ayudar a los grupos a desarrollar ideas, utilice una técnica como 6-3-5. A menudo es más fácil seguir un proceso y observar cómo se desarrolla que tratar de administrar un grupo de manera dinámica y sentir cuándo el grupo está listo para comenzar a trabajar en conjunto.


Los procedimientos paso a paso lo ayudan a resolver los problemas de convergencia de Spice

Charles Hymowitz,
Intusoft
El enfoque iterativo de Spice para llegar a respuestas a problemas no lineales no siempre converge en una solución. Pero puede utilizar las pautas que se proporcionan aquí para converger del 90 al 95% del tiempo. Las respuestas de Spice a problemas no lineales, como los de Spice dc y los análisis transitorios, provienen de soluciones iterativas. Pero, por varias razones, el enfoque iterativo no siempre converge en una solución. Afortunadamente, cuando no se produce la convergencia, puede tomar medidas para asegurarse de que sí.

Considere un problema de convergencia típico. Spice hace una suposición inicial de los voltajes de nodo de un circuito y, utilizando las conductancias del circuito, encuentra las corrientes de malla. Luego usa las corrientes para recalcular los voltajes de los nodos y comienza el ciclo nuevamente. El procedimiento continúa hasta que todos los voltajes de los nodos se estabilizan dentro de ciertos límites de tolerancia, que puede modificar con los parámetros .OPTIONS, como RELTOL, VNTOL y ABSTOL.

Sin embargo, si los voltajes de los nodos no se estabilizan dentro de un cierto número de iteraciones, entonces el análisis de cd da como resultado un mensaje de error, como "No hay convergencia en el análisis de cd", "Error PIVTOL", "Matriz singular" o "Gmin / Error en el escalonamiento de la fuente". . & quot Spice luego termina la ejecución porque tanto el análisis de CA como el transitorio requieren un punto de operación estable inicial para comenzar.

Durante el análisis transitorio, el proceso iterativo se repite para cada paso de tiempo individual. Si los voltajes de los nodos no se estabilizan, Spice reduce el paso de tiempo y vuelve a intentar determinar los voltajes de los nodos. Pero, si el paso de tiempo se reduce más allá de una cierta fracción del tiempo total de análisis, el análisis transitorio emite un mensaje de error ("Paso de tiempo demasiado pequeño") y el análisis se detiene.

Las soluciones para el análisis de cd pueden no converger debido a estimaciones incorrectas de voltaje inicial, discontinuidades del modelo, puntos de operación inestables / biestables o impedancias de circuito poco realistas. Las discontinuidades del modelo o el modelado de circuitos, fuentes o parásitos poco realistas suelen ser las causas de las fallas del análisis de transitorios. Las diversas soluciones a los problemas de convergencia se clasifican en dos tipos. Algunos son simplemente curitas: simplemente intentan solucionar el síntoma ajustando las opciones del simulador. Otras soluciones afectan realmente la causa real de los problemas de convergencia.

Las siguientes técnicas proporcionan soluciones para el 90 al 95% de todos los problemas de convergencia. Son aplicables a la mayoría de los programas de Spice, especialmente a aquellos que son compatibles con Berkeley Spice. Cubren la convergencia de cd, la convergencia de barrido de cd y la convergencia transitoria con soluciones numeradas, comenzando con 0, en cada categoría. Cuando encuentre un problema de convergencia, comience en la solución 0 y continúe con las soluciones posteriores hasta que se produzca la convergencia.

El orden numérico de las soluciones es tal que puede dejar arreglos con números más bajos en su simulación a medida que agrega más arreglos. Las correcciones con números más bajos también son las más beneficiosas. Sin embargo, tenga en cuenta que las correcciones que involucran opciones de simulación pueden simplemente enmascarar las inestabilidades subyacentes del circuito. Invariablemente, encontrará que una vez que haya modelado correctamente su circuito, ya no necesitará muchas de las correcciones de & quotoptions & quot.

Soluciones para la convergencia de CC

Las siguientes soluciones se aplican a problemas con la convergencia de CC:

  • Todas las conexiones del circuito son válidas. Compruebe la numeración de nodos incorrecta y los nodos colgantes.
  • No usó la letra & quotO & quot en lugar del número 0 (cero).
  • No cometió errores de sintaxis y utilizó las unidades de Spice correctas (por ejemplo, MEG en lugar de M para 1E6).
  • Hay una ruta de CC a tierra desde cada nodo.
  • Hay dos conexiones en cada nodo.
  • No hay bucles de inductores o fuentes de voltaje.
  • No hay condensadores en serie ni fuentes de corriente.
  • Tierra (nodo 0) está en algún lugar del circuito. Tenga cuidado al usar suelos flotantes, es posible que necesite una resistencia de gran valor conectada desde el punto flotante a tierra.
  • Los generadores de voltaje / corriente están en sus valores correctos.
  • Las ganancias de la fuente dependiente son correctas.
  • Los parámetros del modelo son realistas, especialmente si copió el modelo en la lista de conexiones a mano.
  • Todas las resistencias tienen un valor. En IsSpice 3, las resistencias sin valores tienen un valor predeterminado de & quot1KOhm & quot.

Solución 1. Aumente ITL1 a 300 en la instrucción .OPTIONS. Por ejemplo, & quot.OPTIONS ITL1 = 300 '' aumenta el número de iteraciones de cd que atraviesa el Spice de Intusoft antes de darse por vencido.

Solución 2. Establezca ITL6 = 100 en la instrucción .OPTIONS. Por ejemplo, & quot.OPTIONS ITL6 = 100 '' invoca el algoritmo de paso de fuente y utiliza 100 pasos. (Esta solución no es necesaria para los usuarios de IsSpice3. IsSpice3 invoca automáticamente el paso de fuente después de probar tanto el método predeterminado como los nuevos algoritmos de paso de Gmin). Esta es una opción no documentada en los programas de Spice 2.

Solución 3. Agregue .NODESETs. Por ejemplo, especifique & quot.NODESET V (6) = 0. & quot Verifique la tabla de voltaje de nodo en el archivo de salida. Agregue declaraciones .NODESETS a los nodos que IsSpice dice que tienen voltajes poco realistas o poco probables. Utilice un .NODESET de 0 V si no tiene una mejor estimación del voltaje de CC adecuado.

Solución 4. Agregue resistencias y use la palabra clave OFF. Por ejemplo, especifique & quotD1 1 2 DMOD OFF & quot y & quotRD1 1 2 100MEG & quot. Agregue resistencias a través de diodos para simular una fuga. Agregue resistencias a través de conexiones de drenaje a fuente MOSFET para simular impedancias de canal realistas. Agregue resistencias óhmicas (RC, RB, RE) a los transistores. Reduzca Gmin un orden de magnitud en la instrucción .OPTIONS. Agregue la palabra clave OFF a los semiconductores (especialmente diodos) que pueden estar causando problemas de convergencia. La palabra clave OFF le dice a IsSpice que primero resuelva el punto de operación con el dispositivo apagado. Luego, el dispositivo se enciende y el punto de operación encontrado anteriormente se encuentra en una condición inicial para el punto de operación final.

Solución 5. Cambie las fuentes de alimentación de CC por declaraciones PULSE. Por ejemplo, cambiar & quotVCC 1 0 15 DC & quot a & quotVCC 1 0 PULSE 0 15 '' le permite encender selectivamente ciertas fuentes de alimentación, como en la vida real. Este enfoque a veces se denomina método "pseudo-transitorio". Utilice un tiempo de subida razonable en la declaración PULSE para simular un encendido realista. Por ejemplo, "V1 1 0 PULSE 0 5 0 1U" proporciona un suministro de 5 V con un tiempo de encendido de 1 mseg. El primer valor después del valor de voltaje de 5 (en este caso, 0) es el retardo de encendido que puede usar para dejar que el circuito se estabilice antes de encender la fuente de alimentación.

Solución 6. Utilice las condiciones iniciales insertando una palabra clave UIC en la declaración TRAN. Por ejemplo, especificar & quot.TRAN .1N 100N UIC & quot hace que IsSpice omita por completo el análisis de CC. Agregue cualquier declaración de condición inicial & quot.IC & quot y & quotIC = & quot que sea aplicable para ayudar en las etapas iniciales del análisis transitorio. Esta solución no es viable para realizar un análisis de CA porque un punto operativo debe preceder al análisis de CA.

Utilice las soluciones 5 y 6 sólo como último recurso porque no producen un punto de funcionamiento de CC válido para el circuito (todas las fuentes están conectadas). Sin embargo, las soluciones 5 y 6 pueden ayudarlo a llegar al análisis transitorio, donde puede descubrir problemas ocultos que plagan el análisis de cd.

Soluciones para la convergencia de barrido de CC

Las siguientes soluciones se aplican a problemas con la convergencia de barrido de CC:

Solución 0. Verifique la topología y la conectividad del circuito (como en la solución 0 en el análisis de cd).

Solución 1. Establezca ITL2 = 100 en la instrucción .OPTIONS. Por ejemplo, & quot.OPTIONS ITL2 = 100 & quot aumenta el número de iteraciones de cd por las que pasa IsSpice antes de darse por vencida.

Solución 2. Amplíe o reduzca los pasos del barrido .DC. Por ejemplo, cambie "DC VCC 0 1 .1" por "DC VCC 0 1 .01". Las discontinuidades en los modelos Spice pueden causar problemas de convergencia. Los pasos más grandes pueden ayudar a evitar las discontinuidades. Los pasos más pequeños pueden ayudar a IsSpice a encontrar respuestas intermedias que sean útiles para encontrar el punto no convergente.

Solución 3. No utilice análisis de barrido de CC. Por ejemplo, en lugar de especificar & quot.DC VCC 0 5 .1 '' y & quotVCC 1 0, & quot; especifique & quot.TRAN .01 1 & quot y & quotVCC 1 0 PULSE 0 5 0 1. & quot; En muchos casos, es más eficaz y eficiente. utilizar el análisis de transitorios, aumentando las fuentes de tensión y corriente adecuadas, que utilizar el análisis .DC.

Soluciones para la convergencia transitoria

Las siguientes soluciones se aplican a problemas de convergencia transitoria:

Solución 0. Verifique la topología y la conectividad del circuito (como en la solución 0 en el análisis de cd).

Solución 1. Establezca RELTOL = .01 en la instrucción .OPTIONS. Por ejemplo, especifique & quot.OPTIONS RELTOL = .01 & quot; Para la mayoría de las simulaciones, la reducción de RELTOL acelera la simulación de un 10 a un 50% con solo una pequeña pérdida de precisión. Puede configurar RELTOL en .01 para las simulaciones iniciales y luego restablecerlo cuando tenga la simulación como le gusta y necesite una respuesta más precisa.

Solución 2. Establezca ITL4 = 100 en la instrucción .OPTIONS. Por ejemplo, especificar & quot.OPTIONS ITL4 = 100 '' aumenta el número de iteraciones transitorias en cada punto de tiempo que IsSpice atraviesa antes de darse por vencido.

Solución 3. Reduzca la precisión de ABSTOL y VNTOL si los niveles de corriente y voltaje lo permiten. Por ejemplo, especifique "OPCIONES ABSTOL = 1N VNTOL = 1M". Puede configurar ABSTOL y VNTOL aproximadamente ocho órdenes de magnitud por debajo del voltaje y la corriente promedio. Los valores predeterminados son & quotABSTOL = 1PA & quot y & quotVNTOL = 1UV & quot.

  • Utilice amortiguadores RC alrededor de los diodos.
  • Especifique la capacitancia para todas las uniones de semiconductores (3 pF para diodos, 5 pF para BJT si no conoce el valor específico).
  • Añade circuitos y elementos parásitos realistas.
  • Encuentre una representación de subcircuito si el modelo no se ajusta al comportamiento del dispositivo, especialmente para dispositivos de potencia y RF como RF BJT y MOSFET de potencia.

Muchos proveedores hacen trampa al intentar "ajustar a la fuerza" la declaración Spice .MODEL para representar el comportamiento de un dispositivo. Esta es una señal segura de que el proveedor ha escatimado en calidad a favor de la cantidad. No puede utilizar sentencias .MODEL primitivas para modelar la mayoría de los dispositivos por encima de 200 MHz debido a los efectos de los parásitos de paquetes, y no puede utilizar sentencias .MODEL para modelar la mayoría de los dispositivos eléctricos debido al comportamiento no lineal extremo. En particular, si su proveedor utiliza una instrucción .MODEL para modelar un MOSFET de potencia, deseche el modelo. Es casi seguro que sea inútil para el análisis transitorio.

Solución 5. Reducir los tiempos de subida y bajada de las fuentes PULSE. Por ejemplo, cambie "VCC 1 0 PULSE 0 1 0 0 0" por "VCC 1 0 PULSE 0 1 0 1U 1U". De nuevo, el objetivo es suavizar las no linealidades fuertes. Los tiempos de pulso deben ser realistas, no ideales. Si no especifica tiempos de subida o bajada o si especifica 0, los tiempos predeterminados son el valor TSTEP en la instrucción .TRAN.

Solución 6. Cambio a integración de engranajes. Por ejemplo, especifique & quot.MÉTODO DE OPCIONES = ENGRANAJE & quot. Debe acoplar la integración de engranajes con una reducción en el valor RELTOL. Esta técnica tiende a producir una solución numérica más estable, mientras que la integración trapezoidal tiende a producir una solución menos estable. La integración de engranajes a menudo produce resultados superiores para las simulaciones de circuitos de potencia debido al timbre de alta frecuencia y los largos períodos de simulación que implica la integración de engranajes. IsSpice incluye integración trapezoidal y de engranajes.

Casos especiales Puede realizar pasos adicionales en algunos casos. Con los MOSFET, verifique la conectividad que conecta dos puertas entre sí, pero nada más da como resultado un PIVTOL o un error de matriz singular. También verifique el nivel de modelo. Spice 2 no se comporta correctamente cuando los MOSFET de diferentes niveles están en la misma simulación.

Para ejecuciones transitorias largas, establezca el parámetro .OPTIONS ITL5 en 0 para especificar que la simulación se ejecute hasta su finalización, sin importar cuántas iteraciones tome. Por una buena razón, Spice 3 elimina la necesidad de las opciones ITL5 y LIMPTS.

Ayudantes de convergencia de Spice 3

Si está ejecutando una versión de Spice basada en Berkeley Spice 3, las siguientes opciones están disponibles:

Solución 0. Utilice la opción Gminsteps para la convergencia de cd. Por ejemplo, especifique & quot.OPTIONS GMINSTEPS = 200. & quot La opción Gminsteps ajusta el número de incrementos para Gmin durante el análisis de cd. El paso de Gmin ocurre automáticamente cuando hay un problema de convergencia. El paso a paso de Gmin es un nuevo algoritmo en Spice 3 que mejora en gran medida la convergencia de CC.

Solución 1. Utilice la función Where para dc y convergencia transitoria. Por ejemplo, especifique .control
dónde
.endc

El nuevo lenguaje de comandos interactivo (ICL) en IsSpice3 le permite solicitar información específica sobre dónde está ocurriendo un problema de convergencia. En algunos casos, Spice 3 no informa el nodo o dispositivo que no converge. Normalmente, agrega la función Where al bloque de control después de que falla una simulación. Cuando vuelva a ejecutar la simulación, obtendrá un informe del área del problema.

Solución 2. Utilice la función ALTINIT para la convergencia transitoria. Por ejemplo, si especifica & quot.OPTIONS ALTINIT = 1, & quot Spice omite el algoritmo predeterminado que normalmente invoca la palabra clave UIC (usar condición inicial). En cambio, utiliza un segundo algoritmo más indulgente. Normalmente, la falla del método predeterminado hace que se invoque el segundo algoritmo.

Biografia del autor

Charles Hymowitz es vicepresidente de Intusoft, San Pedro, CA, donde participa en el desarrollo de productos, soporte técnico y marketing. Tiene un título de BSEE de la Universidad de Rutgers, New Brunswick, Nueva Jersey, y ha realizado trabajos de posgrado en la Universidad de California, Los Ángeles. Es miembro de Tau Beta Pi, Eta Kappa Nu y el IEEE.

  1. Meares, L G y C E Hymowitz, "Simulating with Spice", Intusoft, San Pedro, CA, 1988.
  2. Muller, K H, "Un libro de cocina de especias", Intusoft, San Pedro, CA, 1990.
  3. Meares, L G y C E Hymowitz, Manual de aplicaciones de especias, Intusoft, San Pedro, CA, 1990.
  4. Quarles, T L, & quotAnalysis of Reference and Convergence Issues for Circuit Simulation & quot; Universidad de California, Berkeley, ERL Memo, M89 / 42.

Copyright? Revista EDN 1996. EDN es una marca registrada de Reed Properties Inc, utilizada bajo licencia.


Un teorema de convergencia dominado

En esta sección proporcionamos un teorema de convergencia dominado, que se aplicará a L-serie asociada a productos de la serie Eisenstein en el siguiente apartado. La idea es investigar sumas finitas de la forma

en el semiplano superior en detalle, donde ( alpha ge 0 ) es un número entero, ( beta ) es un norte-función periódica ( (N in mathbb _ <& gt1> )) y ( omega (z) ) es una función débil del nivel METRO con una singularidad removible en (z = 0 ). Según los teoremas 1.1, 1.2 y 1.3, la expresión (2.1) convergerá en una combinación lineal de series de Eisenstein como T tiende a infinito, si ( beta = beta _ eta ) proviene de una función débil. El propósito del teorema de convergencia dominada ahora es dar una condición que proporcione un límite superior no trivial para la suma (2.1). En general, no habrá un límite superior "pequeño" no trivial de (2.1) en términos de T, ( tau ) y ( alpha ). Sin embargo, al reemplazar T por Nuevo Testamento y ( tau ) por iy, donde (1 ge y & gt 0 ), es posible, pero bastante técnico, dar un límite superior uniforme "pequeño" en el sentido de que es independiente de la elección de T. Este límite superior tiene la forma (Cy ^) con algún número entero w. Esto se resume en el teorema 2.14.

Antes de entrar en las demostraciones, esbozamos la idea de por qué es útil la convergencia dominada de las series de Eisenstein. Cuando se considera L-funciones de formas modulares (desapareciendo en las cúspides ( tau in <0, i infty > )), primero miramos la transformada de Mellin

Si bien la convergencia de la integral y la suma no es un problema en el intervalo ([1, infty] ), la situación parece diferente para (0, 1]. A priori, solo se nos permitirá cambiar la integral y la suma en lo obvio región de convergencia absoluta. En esta "región trivial" es bien sabido que terminamos con la serie de Dirichlet ordinaria para el L-función. Pero si podemos reorganizar la serie de Fourier en una serie de tipo Lambert y dar límites superiores "pequeños" para las sumas parciales (2.1), podemos usar el teorema de convergencia dominado de Lebesgue para cambiar integral y suma también en regiones no triviales. Como resultado, obtenemos una forma generalizada de serie de Dirichlet que también converge en una región más amplia para L(F s). Todo esto se explicará en la Secta. 3.

Comenzaremos esta sección con un resultado clásico.

Teorema 2.1

(Fórmula de Faulhaber) Tenemos para todo ( alpha in mathbb _0 ) y (T in mathbb ) :

Aquí, (B_k ) denota los números de Bernoulli.

Es una observación trivial pero muy importante para nosotros que la suma de la izquierda define un polinomio único en T por interpolación, que se da en el lado derecho. No probaremos el teorema 2.1. Puede verificarse, por ejemplo, utilizando la suma de Euler-MacLaurin. Para más detalles sobre este tema, se recomienda al lector consultar [2] en la p. 21–31.

Definición 2.2

Dejar norte ser un entero positivo y ( beta: mathbb rightarrow mathbb ) Una función. Decimos que ( beta ) tiene altura D (con respecto a norte), si para todo ( alpha in mathbb _0 ) y (T in mathbb ) :

Aquí, los números complejos ( gamma _ < alpha, beta> (u) ) solo dependen de ( alpha, beta ) y tu. La altura de la función cero siempre se define como ( infty ). Denotamos por [norte, D] el espacio vectorial de funciones con altura (con respecto a norte) al menos D.

Como en el teorema 2.1, la propiedad clave de las funciones en la definición 2.2 es que el lado izquierdo define un polinomio. Vemos fácilmente que la secuencia constante ( beta (j) = 1 ) y más generalmente, ( beta (j) = j ^ d ) tendrá alturas (- 1 ) y (- d- 1 ), respectivamente, donde (d ge 0 ) es un número entero. Pero si bien aquí la altura negativa provoca un aumento en el crecimiento de las sumas consideradas, nos interesa más bien el fenómeno opuesto de una altura no negativa. En este caso obtenemos una disminución del crecimiento. Las funciones periódicas con esta característica juegan un papel clave cuando se buscan límites superiores “pequeños” de sumas parciales (2.1). Por supuesto, no todas las funciones ( beta ) tienen una altura.

Observación 2.3

Si (d_1 le d_2 ) tenemos la incrustación natural

Solo nos interesan las funciones periódicas. La siguiente proposición garantiza que tengan altura.

Proposición 2.4

Tenemos ( mathbb _N ^ < mathbb _0> subconjunto [N, -1] ).

Prueba

Dado que ( beta ) es periódico, podemos reescribir la suma sobre ( beta (j) j ^ alpha ) como

Queda claro por el teorema 2.1 que para cualquier C las expresiones

son polinomios en T con grado hasta ( alpha +1 ). Esto prueba ( mathbb _N ^ < mathbb _0> subconjunto [N, -1] ). (cuadrado )

Proposición 2.5

Sea (d ge 0 ) un número entero y ( beta: mathbb rightarrow mathbb ) ser un norte-función periódica, tal que

para todo (0 le u le d ). Entonces ( beta en [N, d] ).

Prueba

Dado que ( beta ) es norte-periódico sabemos por la Proposición 2.4 que las expresiones

definir polinomios para todos los valores enteros (0 le alpha ). Necesitamos demostrar que estos tienen un grado como máximo ( alpha - d ). Obtenemos

Dado que la suma terminó v comienza en (d + 1 ), por el teorema 2.1 esto define un polinomio de grado como máximo ( alpha - d ). Por tanto, ( beta en [N, d] ). (cuadrado )

Observación 2.6

Cada mod de personaje de Dirichlet no principal norte tiene una altura de al menos 0 con respecto a norte, ya que

y cada carácter par (no principal) tiene una altura de al menos 1, desde entonces también tenemos

Proposición 2.7

Deje ( beta: mathbb rightarrow mathbb ) estar en [norte, D] para (d ge 0 ). Entonces, para todo (u ge 0 ), hay coeficientes ( gamma _ < beta, u> ) tales que

Prueba

Para (d le u ) la proposición es clara, entonces asumimos (d ge 1 ) y (0 le u & lt d ). Sea (0 le ell le d - u - 1 ) un número entero. Dejar

Then we obtain for the value (P^<(ell )>(1)) :

since (Q_ell ) is some polynomial of degree (ell + 1 le d - u) . This proves (P(x) = (1 - x)^Q(x)) with some polynomial Q. (square )

Our investigations rest on the properties of some explicit polynomials. They are similar, but simpler as the sums in (2.1). For a fixed non-negative integer (alpha ) we define a sequence by

For example we have (p_T(0 x) = x - x^) for (T = 1, 2, ldots ) .

Lemma 2.8

The sequence ((p_T(alpha x))_>) converges to some polynomial function on the interval [0, 1) from below for all (alpha ge 0) . In particular, the terms (p_) are uniformly bounded in the sense

for some constant (C_alpha > 0) .

This uniform boundedness is a very important property as we will see later.

Prueba

It is clear that (p_T(alpha x)) is an increasing sequence in T for fixed (0< x < 1) . The power series

converges for (x in [0,1)) to a rational function (frac<(1 - x)^>) , where (Q_alpha (x)) is some polynomial which is non-negative in [0, 1]. This follows inductively by (sum _^infty x^ell = frac<1-x>) and the fact that

with polynomials (Q_) and (Q_) . Put (C_alpha = sup _ Q_alpha (x)) . (square )

Remark 2.9

In fact, one can give an explicit formula for the (Q_alpha ) in terms of Eulerian numbers, but we will not need such a precise description for our applications.

Lemma 2.10

For each fixed (T ge 1) there is some number (0< xi _ < 1) such that the function (p_T(alpha x)) is increasing in the interval ([0, xi _]) and decreasing in the interval ([xi _, 1]) , with respect to the variable X.

Prueba

Since we have (p_T(alpha x) ge 0) for (0 le x le 1) (with equality if (x = 0) or (x =1) ), it is sufficient to show that (p_T'(alpha x) = 0) has exactly one solution (0< xi _ < 1) . For values (0< x < 1) we obtain

and after further manipulations

The right hand side is greater than the left hand side for (x=1) , since

On the other hand, the left hand side is unbounded and monotonically decreasing in the interval (0, 1]. Hence, there is exactly one solution for the above equation in this area and the claim follows. (square )

Before we can go on to the next lemma of this section we recall:

Lemma 2.11

Let (a_k) be a sequence of complex numbers and (b_k) and (c_k) sequences of positive real numbers such that (0 le b_ le b_k) and (c_ ge c_k ge 0) for all k. Then we have for all (n ge 1) :

Prueba

The first statement is called Abel’s inequality, so we will only prove the second one. We set (A_n = sum _^n a_k) and obtain by partial summation

Hence the lemma is proved. (square )

Our strategy will be to expand (omega (z)) in (2.1) into a Fourier series. With this we will obtain a double series, which is on the one hand more complicated. On the other hand, this simplifies the occurring summands drastically. Partial summation and Abel’s inequalities are then the key tools when estimating sums of this type, as the next boundedness lemma shows.

Lemma 2.12

Let (M, L, T > 1) and (w ge 0) be integers, (zeta _M^j e 1) be a root of unity, (0 le X,Y le 1) be real numbers and (c_k) be a monotonically increasing (or decreasing) sequence (that may depend on X y Y), which is bounded by (0 le c_k le B) and B does not depend on X, Y, L y j. Then we have uniformly for L, X, Y, j,

where (C_w) is the constant defined in Lemma 2.8.

Prueba

Without loss of generality, we assume (c_k) to be an increasing sequence. In the case that (c_k) is decreasing the proof works similar. By Lemma 2.11 we first obtain

In the case (c_k) is decreasing we could switch 2B by B, but since (B le 2B) the estimate works in both cases. To estimate the inner sum for any value I with (1 le I le L) , we will use the fact, that the (p_) are monotonically increasing first in some interval ([0, xi _]) and then monotonically decreasing in ([xi _, 1]) , as it was shown in Lemma 2.10. For any I choose the unique (1 le I(w, T, Y) le I) such that (Y^k > xi _) for all (1 le k le I(w, T, Y)) and (Y^k le xi _) for ( I(w, T, Y) < k le I) . Note that in the case (Y = 1) the second condition is empty. Then, using the triangle inequality, we see

We apply Lemma 2.11 on the first sum to obtain

where (C_w) is the constant given in Lemma 2.8. The inner sum can be estimated again with Lemma 2.11, since (0 le X^ le X^k le 1) by

Similarly, we obtain with Lemma 2.11

This proves the lemma. (square )

The next lemma can be seen as an analogous result to the previous lemma.

Lemma 2.13

Let (M, N, L, T > 1) be integers, (0 le y le 1) any real number, (zeta _M^j e 1) a root of unity and (p(X) = sum _^d gamma (u)X^u) a polynomial of degree at most D, with coefficients independent of L, T y y. Then there is a constant (D_ > 0) only depending on j, METRO, norte y pag such that uniformly in L, T y y:

Prueba

exists and only depends on j y METRO. Put (x := yT) . We obtain with the geometric summation formula

The right hand side is obviously bounded for (0 le x le infty ) and only depends on j, METRO, norte y pag, so we have found a possible (D_). (square )

We now have all the tools to prove the main theorem of this section.

Theorem 2.14

(Dominated convergence theorem) Let (eta ) be a norte-periodic function in [norte, D], (d ge 0) , and (omega in W_M) be a weak function that has a removable singularity in (z = 0) . Then for all (alpha in mathbb _0) there is a constant (C_ <eta , omega , alpha >> 0) such that uniformly for all (T in mathbb ) and (y in [0,1])

Remark 2.15

Note that, by Theorem 2.14, in the case (alpha le d) the left hand side is bounded uniformly for values T and (y in [0, 1]) . Since the series converges absolutely and uniformly on ([1, infty ]) , we obtain dominated convergence on ([0, infty ]) .

Prueba

For (y = 0) the inequality holds since in the case (alpha le d) the left hand side is always zero (note that (omega (0)) exists) and otherwise the right hand side is (+infty ) from the right. Let (y > 0) . Entonces tenemos

In the first step we will only deal with the inner sums. We obtain with partial summation

Since (eta ) has height D, there is a polynomial (p_) with degree at most (alpha - d) such that

By Lemma 2.13 there is a constant (D_ > 0) only depending on (alpha , eta ) and (omega ) (note that norte belongs to (eta ) and METRO to (omega ) , and that (eta _omega (0) = 0) which implies (zeta _M^j e 1) ), such that

On the other hand, we have

For the right sum we obtain with Lemma 2.11 and (2.4) (note that (1-e^<-2pi k y>) is monotonous):

So we are left to give an estimate for the left sum. Here we obtain

The final estimate will be given by the sum of two separate estimates of both of these sums. Without loss of generality we assume (alpha > d) , since otherwise the left sum vanishes, which now equals to

After multiplying and dividing by (left( 1 - e^<-2pi k Ny> ight) ^) , this equals

Put (Y := e^<-2pi N y>) . There is a constant (A > 0) not depending on y y k such that (left| y(1-Y^k)^<-1> ight| le A) for (0 < y le 1) . Note that we have

is decreasing and bounded between 0 and (A^) . Also put

when putting (X := Y^u) and using Lemma 2.12.

On the other hand, when putting (Z := e^<-2pi y>) , we obtain for the right sum in (2.6)

and since (eta ) is norte-periodic this equals

Note that we always have (0 le c_(u) le c_(u) le 1) . Since (eta ) has height D, by Lemma 2.7, there are coefficients (delta _(w)) such that

The sequence (y^left( 1-Z^k ight) ^) in k is bounded by some (V^) and monotonous. Hence we obtain with Lemma 2.11 that the above estimate is smaller or equal to

and by Lemma 2.12 this is smaller or equal to

for some (F_ > 0) only depending on (alpha , eta ) and (omega ) . By considering (2.4), (2.5), (2.7) and (2.8) and using the triangle inequality in (2.3) (note that the constants do not depend on L), the theorem is proved. (square )

Since we have assumed (eta ) to be norte-periodic it might come from a weak function (eta in W_N) , i.e., (eta := eta _eta ) . The purpose of the next section will be to use the Dominated convergence theorem to improve regions of convergence of L-functions assigned to products of weak modular forms.


Convergence of Fourier Series

A function (fleft( x ight)) defined on an interval (left[ ight]) is said to be piecewise continuous if it is continuous on the interval except for a finite number of jump discontinuities (Figure (1)).

A function (fleft( x ight)) defined on an interval (left[ ight]) is said to be piecewise smooth if (fleft( x ight)) and its derivative are piecewise continuous.

Partial Sums of Fourier Series

We introduce the Fourier partial sum (left( x ight)) of the function (fleft( x ight)) defined on the interval (left[ <-pi, pi> ight]) as

In complex form, the (n)th partial sum (left( x ight)) of a function (fleft( x ight)) defined on the interval (left[ <-pi, pi> ight]) is given by

Dirichlet Kernel

is called the Dirichlet kernel . In Figure (2) we have graphed Dirichlet kernel for (n = 10.)

The Fourier partial sum of (fleft( x ight)) can be expressed through the Dirichlet kernel:

In this section, we consider three types of convergence: pointwise, uniform and ()-convergence.

Pointwise Convergence of Fourier Series

Let (fleft( x ight)) be a piecewise smooth function on the interval (left[ <-pi, pi> ight].) Then for any ( in left[ < – pi ,pi > ight])

where ( – 0> ight)>) and ( + 0> ight)>) represent the left limit and the right limit at the point (.)

Uniform Convergence of Fourier Series

A sequence of the partial sums (left< <left( x ight)> ight>) is said to be uniformly convergent to the function (fleft( x ight),) if the speed of convergence of the partial sums (<left( x ight)>) does not depend on (x) (Figure (3)).

We say that the Fourier series of a function (fleft( x ight)) converges uniformly to this function if

Teorema.

The Fourier series of a (2pi)-periodic continuous and piecewise smooth function converges uniformly.

Convergence of Fourier Series in ()-Norm

The space (left( < – pi ,pi > ight)) is formed by those functions for which

We will say that a function (fleft( x ight)) is square-integrable if it belongs to the space (.) If a function (fleft( x ight)) is square-integrable, then

that is the partial sums (left( x ight)) converge to (fleft( x ight)) in the norm (.)

The uniform convergence implies both pointwise and ()-convergence. But the opposite is not true: the ()-convergence implies neither pointwise nor uniform convergence, and the pointwise convergence implies neither uniform nor ()-convergence.

Gibbs Phenomenon

If there is a jump discontinuity, the partial sum of the Fourier series has oscillations near the jump, which might increase the maximum of the partial sum above the function itself. This phenomenon is called Gibbs phenomenon . The amplitude of the “overshoot” at any jump point of a piecewise smooth function is about (18\%) larger (as (n o infty)) than the jump in the original function (Figure (4)).


Similarities Between Convergent and Divergent Thinking

In theory, convergent and divergent thinking are two completely different aspects of thinking. However, they hold more in common than one might realize. Although they are completely different in terms of the basic meaning of the terms and how they work, the major purpose is the same. Both these thinking processes are implemented in order to explore creativity and find solutions to different problems.

These processes tend to work best when applied in conjunction. Divergent thinking takes place in a free-flowing, spontaneous manner and creates varieties of possible resolutions to another problem. If convergent thinking is applied then after, the very best answer can be picked out from the multiple solutions resulted due to divergent thinking. In this manner, they are correlated.


NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 6 Squares and Square Roots Ex 6.3

NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 6 Squares and Square Roots Exercise 6.3

Ex 6.3 Class 8 Maths Question 1.
What could be the possible ‘one’s’ digits of the square root of each of the following numbers?
(i) 9801
(ii) 99856
(iii) 998001
(iv) 657666025
Solución:
(i) One’s digit in the square root of 9801 maybe 1 or 9.
(ii) One’s digit in the square root of 99856 maybe 4 or 6.
(iii) One’s digit in the square root of 998001 maybe 1 or 9.
(iv) One’s digit in the square root of 657666025 can be 5.

Ex 6.3 Class 8 Maths Question 2.
Without doing any calculation, find the numbers which are surely not perfect squares.
(i) 153
(ii) 257
(iii) 408
(iv) 441
Solución:
We know that the numbers ending with 2, 3, 7 or 8 are not perfect squares.
(i) 153 is not a perfect square number. (ending with 3)
(ii) 257 is not a perfect square number. (ending with 7)
(iii) 408 is not a perfect square number. (ending with 8)
(iv) 441 is a perfect square number.

Ex 6.3 Class 8 Maths Question 3.
Find the square roots of 100 and 169 by the method of repeated subtraction.
Solución:
Using the method of repeated subtraction of consecutive odd numbers, we have
(i) 100 – 1 = 99, 99 – 3 = 96, 96 – 5 = 91, 91 – 7 = 84, 84 – 9 = 75, 75 – 11 = 64, 64 – 13 = 51, 51 – 15 = 36, 36 – 17 = 19, 19 – 19 = 0
(Ten times repetition)
Thus √100 = 10

(ii) 169 – 1 = 168, 168 – 3 = 165, 165 – 5 = 160, 160 – 7 = 153, 153 – 9 = 144, 144 – 11 = 133, 133 – 13 = 120, 120 – 15 = 105, 105 – 17 = 88, 88 – 19 = 69, 69 – 21 = 48, 48 – 23 = 25, 25 – 25 = 0
(Thirteen times repetition)
Thus √169 = 13

Ex 6.3 Class 8 Maths Question 4.
Find the square roots of the following numbers by the prime factorisation Method.
(i) 729
(ii) 400
(iii) 1764
(iv) 4096
(v) 7744
(vi) 9604
(vii) 5929
(viii) 9216
(ix) 529
(x) 8100
Solución:
(i) We have 729
Prime factors of 729
729 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 3 2 × 3 2 × 3 2
√729 = 3 × 3 × 3 = 27

(ii) We have 400
Prime factors of 400
400 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 = 2 2 × 2 2 × 5 2
√400 = 2 × 2 × 5 = 20

(iii) 1764
1764 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7 × 7 = 2 2 × 3 2 × 7 2
√1764 = 2 × 3 × 7 = 42

(iv) 4096
4096 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= 2 2 × 2 2 × 2 2 × 2 2 × 2 2 × 2 2
√4096 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64

(v) Prime factorisation of 7744 is
7744 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 11 × 11
= 2 2 × 2 2 × 2 2 × 11 2
√7744 = 2 × 2 × 2 × 11 = 88

(vi) Prime factorisation of 9604 is
9604 = 2 × 2 × 7 × 7 × 7 × 7 = 2 2 × 7 2 × 7 2
√9604 = 2 × 7 × 7 = 98

(vii) Prime factorisation of 5929 is
5929 = 7 × 7 × 11 × 11 = 7 2 × 11 2
√5929 = 7 × 11 = 77

(viii) Prime factorisation of 9216 is
9216 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 ×2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3
= 2 2 × 2 2 × 2 2 × 2 2 × 2 2 × 3 2
√9216 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 96

(ix) Prime factorisation of 529 is
529 = 23 × 23 = 23 2
√529 = 23

(x) Prime factorisation of 8100 is
8100 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5 = 2 2 × 3 2 × 3 2 × 5 2
√8100 = 2 × 3 × 3 × 5 = 90

Ex 6.3 Class 8 Maths Question 5.
For each of the following numbers, find the smallest whole number by which it should be multiplied so as to get a perfect square number. Also, find the square root of the square number so obtained.
(i) 252
(ii) 180
(iii) 1008
(iv) 2028
(v) 1458
(vi) 768
Solución:
(i) Prime factorisation of 252 is
252 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7
Here, the prime factorisation is not in pair. 7 has no pair.
Thus, 7 is the smallest whole number by which the given number is multiplied to get a perfect square number.
The new square number is 252 × 7 = 1764
Square root of 1764 is
√1764 = 2 × 3 × 7 = 42

(ii) Primp factorisation of 180 is
180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5
Here, 5 has no pair.
New square number = 180 × 5 = 900
The square root of 900 is
√900 = 2 × 3 × 5 = 30
Thus, 5 is the smallest whole number by which the given number is multiplied to get a square number.

(iii) Prime factorisation of 1008 is
1008 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7
Here, 7 has no pair.
New square number = 1008 × 7 = 7056
Thus, 7 is the required number.
Square root of 7056 is
√7056 = 2 × 2 × 3 × 7 = 84

(iv) Prime factorisation of 2028 is
2028 = 2 × 2 × 3 × 13 × 13
Here, 3 is not in pair.
Thus, 3 is the required smallest whole number.
New square number = 2028 × 3 = 6084
Square root of 6084 is
√6084 = 2 × 13 × 3 = 78

(v) Prime factorisation of 1458 is
1458 = 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
Here, 2 is not in pair.
Thus, 2 is the required smallest whole number.
New square number = 1458 × 2 = 2916
Square root of 1458 is
√2916 = 3 × 3 × 3 × 2 = 54

(vi) Prime factorisation of 768 is
768 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
Here, 3 is not in pair.
Thus, 3 is the required whole number.
New square number = 768 × 3 = 2304
Square root of 2304 is
√2304 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 48

Ex 6.3 Class 8 Maths Question 6.
For each of the following numbers, find the smallest whole number by which it should be divided so as to get a perfect square. Also, find the square root of the square number so obtained.
(i) 252
(ii) 2925
(iii) 396
(iv) 2645
(v) 2800
(vi) 1620
Solución:
(i) Prime factorisation of 252 is
252 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7
Here 7 has no pair.
7 is the smallest whole number by which 252 is divided to get a square number.
New square number = 252 ÷ 7 = 36
Thus, √36 = 6

(ii) Prime factorisation of 2925 is
2925 = 3 × 3 × 5 × 5 × 13
Here, 13 has no pair.
13 is the smallest whole number by which 2925 is divided to get a square number.
New square number = 2925 ÷ 13 = 225
Thus √225 = 15

(iii) Prime factorisation of 396 is
396 = 2 × 2 × 3 × 3 × 11
Here 11 is not in pair.
11 is the required smallest whole number by which 396 is divided to get a square number.
New square number = 396 ÷ 11 = 36
Thus √36 = 6

(iv) Prime factorisation of 2645 is
2645 = 5 × 23 × 23
Here, 5 is not in pair.
5 is the required smallest whole number.
By which 2645 is multiplied to get a square number
New square number = 2645 ÷ 5 = 529
Thus, √529 = 23

(v) Prime factorisation of 2800 is
2800 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 7
Here, 7 is not in pair.
7 is the required smallest number.
By which 2800 is multiplied to get a square number.
New square number = 2800 ÷ 7 = 400
Thus √400 = 20

(vi) Prime factorisation of 1620 is
1620 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5
Here, 5 is not in pair.
5 is the required smallest prime number.
By which 1620 is multiplied to get a square number = 1620 ÷ 5 = 324
Thus √324 = 18

Ex 6.3 Class 8 Maths Question 7.
The students of class VIII of a school donated ₹ 2401 in all, for Prime Minister’s National Relief Fund. Each student donated as many rupees as the number of students in the class. Find the number of students in the class.
Solución:
Total amount of money donated = ₹ 2401
Total number of students in the /> = (sqrt < < 7 >^< 2 > imes < 7 >^ < 2 >>)
= (sqrt < < 7 > imes < 7 imes 7 imes 7 >>)
= 7 × 7
= 49

Ex 6.3 Class 8 Maths Question 8.
2025 plants are to be planted in a garden in such a way that each row contains as many plants as the number of rows. Find the number of rows and the number of plants in each row.
Solución:
Total number of rows = Total number of plants in each row = √2025
= (sqrt < 3 imes 3 imes 3 imes 3 imes 5 imes 5 >)
= (sqrt < < 3 >^< 2 > imes < 3 >^< 2 > imes < 5 >^ < 2 >>)
= 3 × 3 × 5
= 45
Thus the number of rows and plants = 45

Ex 6.3 Class 8 Maths Question 9.
Find the smallest square number that is divisible by each of the numbers 4, 9 and 10.
Solución:
LCM of 4, 9, 10 = 180
The least number divisible by 4, 9 and 10 = 180
Now prime factorisation of 180 is
180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5
Here, 5 has no pair.
The required smallest square number = 180 × 5 = 900

Ex 6.3 Class 8 Maths Question 10.
Find the smallest number that is divisible by each of the numbers 8, 15 and 20.
Solución:
The smallest number divisible by 8, 15 and 20 is equal to their LCM.
LCM = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 120
Here, 2, 3 and 5 have no pair.
The required smallest square number = 120 × 2 × 3 × 5 = 120 × 30 = 3600


Sum of a Convergent Geometric Series: Example

Example problem: Find the sum of the following geometric series:

Paso 1: Identify the r-value (the number getting raised to the power). In this sample problem, the r-value is 1 ⁄5.

Paso 2: Confirm that the series actually converges. The r-value for this particular series ( 1 ⁄5) is between -1 and 1 so the series does converge.

Paso 3: Find the first term. Get the first term is obtained by plugging the bottom “n” value from the summation. The bottom n-value is 0, so the first term in the series will be ( 1 ⁄5) 0 .

Paso 4: Set up the formula to calculate the sum of the geometric series, a ⁄1-r. “a” is the first term you calculated in Step 3 and “r” is the r-value from Step 1:

The sum of this particular geometric series is 5 ⁄4
That’s it!


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