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3.1: Integrales dobles


En el cálculo de una sola variable, la diferenciación y la integración se consideran operaciones inversas. Por ejemplo, para integrar una función (f (x) ) es necesario encontrar la antiderivada de (f ), es decir, otra función (F (x) ) cuya derivada es (f (x ) ). ¿Existe una forma similar de definir la integración de funciones de valor real de dos o más variables? La respuesta es sí, como veremos en breve. Recuerde también que la integral definida de una función no negativa (f (x) ge 0 ) representaba el área "debajo" de la curva (y = f (x) ). Como veremos ahora, la integral doble de una función de valor real no negativa (f (x, y) ge 0 ) representa el volumen "debajo" de la superficie (z = f (x, y) ).

Sea (f (x, y) ) una función continua tal que (f (x, y) ge 0 text {para todos} (x, y) ) en el rectángulo (R = {( x, y): a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} ) en ( mathbb {R} ^ 2 ). A menudo escribiremos esto como (R = [a, b] times [c, d] ). Para cualquier número (x ∗ ) en el intervalo ([a, b] ), corte la superficie (z = f (x, y) ) con el plano (x = x ∗ ) paralelo a el plano (yz ). Entonces el rastro de la superficie en ese plano es el curva (f (x ∗, y) ), donde (x ∗ ) es fijo y solo (y ) varía. El área (A ) debajo de esa curva (es decir, el área de la región entre la curva y el plano (xy )) cuando (y ) varía en el intervalo ([c, d] ) entonces depende solo del valor de (x ∗ ). Entonces, usando la variable (x ) en lugar de (x ∗ ), sea (A (x) ) esa área (vea la Figura 3.1.1).

Entonces (A (x) = int_c ^ d f (x, y) d y ) ya que estamos tratando (x ) como fijo, y solo (y ) varía. Esto tiene sentido ya que para una (x ) fija la función (f (x, y) ) es una función continua de (y ) en el intervalo ([c, d] ), entonces sabemos que el área bajo la curva es la integral definida. El área (A (x) ) es una función de (x ), por lo que por el método de "corte" o sección transversal del cálculo de una sola variable sabemos que el volumen (V ) del sólido debajo de la superficie (z = f (x, y) ) pero por encima del plano (xy ) - sobre el rectángulo (R ) está la integral sobre ([a, b] ) de esa cruz- área seccional (A (x) ):

[V = int_a ^ b A (x) dx = int_a ^ b left [ int_c ^ d f (x, y) d y right] dx label {Eq3.1} ]

Siempre nos referiremos a este volumen como "el volumen debajo de la superficie". La expresión anterior usa lo que se llama integrales iteradas. Primero, la función (f (x, y) ) se integra como una función de (y ), tratando la variable (x ) como una constante (esto se llama integrando con respecto a (y )). Eso es lo que ocurre en la integral "interna" entre los corchetes en la Ecuación ref {Eq3.1}. Esta es la primera integral iterada. Una vez que se realiza esa integración, el resultado es una expresión que involucra solo (x ), que luego puede ser integrado con respecto a (X). Eso es lo que ocurre en la integral "externa" anterior (la segunda integral iterada). El resultado final es entonces un número (el volumen). Este proceso de pasar por dos iteraciones de integrales se llama doble integración, y la última expresión de la ecuación ref {Eq3.1} se llama integral doble.

Observe que la integración de (f (x, y) ) con respecto a (y ) es la operación inversa de tomar la derivada parcial de (f (x, y) ) con respecto a (y ). Además, podríamos haber tomado con la misma facilidad el área de las secciones transversales debajo de la superficie que eran paralelas al plano (xz ), que entonces dependería solo de la variable (y ), de modo que el volumen (V ) sería

[V = int_c ^ d left [ int_a ^ b f (x, y) dx right] dy label {Eq3.2} ]

Resulta que, en general, el orden de las integrales iteradas no importa. Además, normalmente descartaremos los corchetes y simplemente escribiremos

[V = int_c ^ d int_a ^ b f (x, y) dx d y label {Eq3.3} ]

donde se entiende que el hecho de que (dx ) se escriba antes de (dy ) significa que la función (f (x, y) ) se integra primero con respecto a (x ) usando el " ”Límites de integración (a text {y} b ), y luego la función resultante se integra con respecto ay usando los límites“ externos ”de integración (c text {y} d ). Este orden de integración se puede cambiar si es más conveniente.

Ejemplo 3.1

Encuentra el volumen (V ) debajo del plano (z = 8x + 6y ) sobre el rectángulo (R = [0,1] times [0,2] ).

Solución

Vemos que (f (x, y) = 8x + 6y ge 0 text {for} 0 le x le 1 text {y} 0 le y le 2 ), entonces:

[ nonumber begin {align} V & = int_0 ^ 2 int_0 ^ 1 (8x + 6y) dx , dy [4pt] nonumber & = int_0 ^ 2 left (4x ^ 2 + 6x y big | _ {x = 0} ^ {x = 1} right) dy [4pt] nonumber & = int_0 ^ 2 (4 + 6y) dy [4pt] nonumber & = 4y + 3y ^ 2 big | _0 ^ 2 [4pt] & = 20 end {align} ]

Supongamos que cambiamos el orden de integración. Podemos verificar que todavía obtenemos la misma respuesta:

[ nonumber begin {align} V & = int_0 ^ 1 int_0 ^ 2 (8x + 6y) dy , dx [4pt] nonumber & = int_0 ^ 1 left (8x y + 3y ^ 2 big | _ {y = 0} ^ {y = 2} right) dx [4pt] nonumber & = int_0 ^ 1 (16x + 12) dx [4pt] & = 8x ^ 2 + 12x big | _0 ^ 1 [4pt] nonumber & = 20 end {align} ]

Ejemplo 3.2

Encuentra el volumen (V ) debajo de la superficie (z = e ^ {x + y} ) sobre el rectángulo (R = [2,3] times [1,2] ).

Solución

Sabemos que (f (x, y) = e ^ {x + y}> 0 text {para todos} (x, y) ), entonces

[ nonumber begin {align} V & = int_1 ^ 2 int_2 ^ 3 e ^ {x + y} dx , dy [4pt] nonumber & = int_1 ^ 2 left (e ^ { x + y} big | _ {x = 2} ^ {x = 3} right) dy [4pt] nonumber & = int_1 ^ 2 (e ^ {y + 3} -e ^ {y + 2}) dy [4pt] nonumber & = e ^ {y + 3} -e ^ {y + 2} big | _1 ^ 2 [4pt] nonumber & = e ^ 5 - e ^ 4 - (e ^ 4 - e ^ 3) = e ^ 5 −2e ^ 4 + e ^ 3 end {align} ]

Recuerde que para una función general (f (x) ), la integral ( int_a ^ bf (x) dx ) representa la diferencia del área debajo de la curva (y = f (x) ) pero arriba el eje (x ) - cuando (f (x) ge 0 ), y el área sobre la curva pero debajo del eje (x ) - cuando (f (x) le 0 ). De manera similar, la integral doble de cualquier función continua (f (x, y) ) representa la diferencia del volumen debajo de la superficie (z = f (x, y) ) pero por encima del plano (xy ) cuando (f (x, y) ge 0 ), y el volumen sobre la superficie pero debajo del plano (xy ) - cuando (f (x, y) le 0 ). Por tanto, nuestro método de integración doble mediante integrales iteradas se puede utilizar para evaluar la integral doble de alguna función continua sobre un rectángulo, independientemente de si (f (x, y) ge 0 ) o no.

Ejemplo 3.3

Evaluar ( int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ { pi} sin (x + y) dx , dy )

Solución

Tenga en cuenta que (f (x, y) = sin (x + y) ) es tanto positivo como negativo sobre el rectángulo ([0, pi] times [0,2 pi] ). Todavía podemos evaluar la integral doble:

[ nonumber begin {align} int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ { pi} sin (x + y) dx , dy & = int_0 ^ {2 pi} left (-cos ( x + y) big | _ {x = 0} ^ {x = pi} right) dy [4pt] nonumber & = int_0 ^ {2 pi} (-cos (y + pi) + cos {, y}) dy [4pt] nonumber & = - sin (y + pi) + sin {, y} big | _0 ^ {2 pi} = -sin {, 3 pi } + sin {, 2 pi} - (-sin {, pi} + sin {, 0}) [4pt] nonumber & = 0 end {align} ]


Ver el vídeo: Volumen con Integral Doble en COORDENADAS POLARES. Cilindro y Paraboloide (Septiembre 2021).