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1.5: Continuidad


A medida que hemos estudiado los límites, hemos adquirido la intuición de que los límites miden `` hacia dónde se dirige una función ''. Es decir, si

[ lim limits_ {x to 1} f (x) = 3 ]

entonces, como (x ) está cerca de 1, (f (x) ) está cerca de 3. Sin embargo, hemos visto que esto no es necesariamente un buen indicador de lo que (f (1) ) realmente es. Esto puede resultar problemático; las funciones pueden tender a un valor pero alcanzar otro. Esta sección se centra en las funciones que no hacer exhibir tal comportamiento.

Definición 3 Función continua

Sea (f ) una función definida en un intervalo abierto (I ) que contiene (c ).

  1. (f ) es continuo en (c ) si ( lim limits_ {x to c} f (x) = f (c) ).
  2. (f ) es continuo en (I ) si (f ) es continuo en (c ) para todos los valores de (c ) en (I ). Si (f ) es continua en ((- infty, infty) ), decimos que (f ) es continuo en todas partes.

Una forma útil de establecer si una función (f ) es continua en (c ) es verificar las siguientes tres cosas:

  1. ( lim limits_ {x to c} f (x) ) existe,
  2. (f (c) ) está definido, y
  3. ( lim limites_ {x to c} f (x) = f (c) ).

Ejemplo 21: Encontrar intervalos de continuidad

Sea (f ) definido como se muestra en la figura 1.25. Indique el intervalo o intervalos en los que (f ) es continua.


( text {FIGURA 1.25} ): Una gráfica de (f ) en el Ejemplo 21.

Solución

Procedemos examinando los tres criterios de continuidad.

  1. Los límites ( lim limits_ {x to c} f (x) ) existen para todo (c ) entre 0 y 3.
  2. (f (c) ) se define para todo (c ) entre 0 y 3, excepto por (c = 1 ). Sabemos de inmediato que (f ) no puede ser continuo en (x = 1 ).
  3. El límite ( lim limits_ {x to c} f (x) = f (c) ) para todo (c ) entre 0 y 3, excepto, por supuesto, para (c = 1 ) .

Concluimos que (f ) es continua en todos los puntos de ((0,3) ) excepto en (x = 1 ). Por lo tanto, (f ) es continua en ((0,1) cup (1,3) ).

Ejemplo 22: Encontrar intervalos de continuidad

La función de piso, (f (x) = lfloor x rfloor ), devuelve el entero más grande menor que la entrada (x ). (Por ejemplo, (f ( pi) = lfloor pi rfloor = 3 ).) La gráfica de (f ) en la Figura 1.26 demuestra por qué esto a menudo se llama una "función escalonada".

Indique los intervalos en los que (f ) es continua.


( text {FIGURA 1.26} ): Una gráfica de la función escalonada en el Ejemplo 22.

Solución

Examinamos los tres criterios de continuidad.

  1. Los límites ( lim limits_ {x to c} f (x) ) no existen en los saltos de un "paso" al siguiente, que ocurren en todos los valores enteros de (c ). Por lo tanto los límites existen para todo (c ) excepto cuando (c ) es un número entero.
  2. La función está definida para todos los valores de (c ).
  3. El límite ( lim limits_ {x to c} f (x) = f (c) ) para todos los valores de (c ) donde existe el límite, ya que cada paso consiste solo en una línea.

Concluimos que (f ) es continua en todas partes excepto en valores enteros de (c ). Entonces, los intervalos en los que (f ) es continuo son [ ldots, (-2, -1), (-1,0), (0,1), (1,2), ldots. ]

Nuestra definición de continuidad en un intervalo especifica que el intervalo es un intervalo abierto. Podemos extender la definición de continuidad a intervalos cerrados considerando los límites unilaterales apropiados en los puntos finales.

Definición 4: Continuidad en intervalos cerrados

Sea (f ) definido en el intervalo cerrado ([a, b] ) para algunos números reales (a, b ). (f ) es continuo en ([a, b] ) si:

  1. (f ) es continua en ((a, b) ),
  2. ( lim limits_ {x to a ^ +} f (x) = f (a) ) y
  3. ( lim limites_ {x to b ^ -} f (x) = f (b) ).

Podemos hacer los ajustes apropiados para hablar de continuidad en intervalos semiabiertos como ([a, b) ) o ((a, b] ) si es necesario.

Ejemplo 23: Determinación de intervalos en los que una función es continua

Para cada una de las siguientes funciones, proporcione el dominio de la función y los intervalos en los que es continua.

  1. (f (x) = 1 / x )
  2. (f (x) = sin x )
  3. (f (x) = sqrt {x} )
  4. (f (x) = sqrt {1-x ^ 2} )
  5. (f (x) = | x | )

Solución

Examinamos cada uno por turno.

  1. El dominio de (f (x) = 1 / x ) es ((- infty, 0) cup (0, infty) ). Como es una función racional, aplicamos el teorema 2 para reconocer que (f ) es continua en todo su dominio.
  2. El dominio de (f (x) = sin x ) son todos los números reales, o ((- infty, infty) ). La aplicación del teorema 3 muestra que ( sin x ) es continua en todas partes.
  3. El dominio de (f (x) = sqrt {x} ) es ([0, infty) ). La aplicación del teorema 3 muestra que (f (x) = sqrt {x} ) es continua en su dominio de ([0, infty) ).
  4. El dominio de (f (x) = sqrt {1-x ^ 2} ) es ([- 1,1] ). La aplicación de los teoremas 1 y 3 muestra que (f ) es continua en todo su dominio, ([- 1,1] ).
  5. El dominio de (f (x) = | x | ) es ((- infty, infty) ). Podemos definir la función de valor absoluto como (f (x) = left { begin {array} {cc} -x & x <0 x & x geq 0 end {array} right. ). Cada "pieza" de esta función definida por partes es continua en todo su dominio, dando que (f ) es continua en ((- infty, 0) ) y ([0, infty) ) . No podemos asumir que esto implica que (f ) es continuo en ((- infty, infty) ); necesitamos comprobar que ( lim limits_ {x to 0} f (x) = f (0) ), ya que (x = 0 ) es el punto donde (f ) pasa de una `` parte '' de su definición a la otra. Es fácil verificar que esto es cierto, por tanto, concluimos que (f (x) = | x | ) es continua en todas partes.

La continuidad está inherentemente ligada a las propiedades de los límites. Debido a esto, las propiedades de los límites que se encuentran en los teoremas 1 y 2 también se aplican a la continuidad. Además, ahora que conocemos la definición de continuidad, podemos releer el Teorema 3 como una lista de funciones que son continuas en sus dominios. El siguiente teorema establece cómo se pueden combinar las funciones continuas para formar otras funciones continuas, seguido de un teorema que enumera formalmente las funciones que sabemos que son continuas en sus dominios.

Teorema 8: Propiedades de funciones continuas

Sean (f ) y (g ) funciones continuas en un intervalo (I ), sea (c ) un número real y (n ) sea un entero positivo. Las siguientes funciones son continuas en (I ).

  1. Sumas / Diferencias: (f pm g )
  2. Múltiplos constantes: (c cdot f )
  3. Productos: (f cdot g )
  4. Cocientes: (f / g ) (siempre que (g neq 0 ) en (I ))
  5. Poderes: (f , ^ n )
  6. Raíces: ( sqrt [n] {f} ) (si (n ) es par entonces (f geq 0 ) en (I ); si (n ) es impar, entonces verdadero para todos los valores de (f ) en (I ).)
  7. Composiciones: Ajuste las definiciones de (f ) y (g ) a: Sea (f ) continuo en (I ), donde el rango de (f ) en (I ) es (J ), y sea (g ) continuo en (J ). Entonces (g circ f ), es decir, (g (f (x)) ), es continua en (I ).

Teorema 9: Funciones continuas

Las siguientes funciones son continuas en sus dominios.

( begin {align} & 1. , f (x) = sin x qquad qquad qquad && 2. , f (x) = cos x & 3. , f (x) = tan x && 4. , f (x) = cot x & 5. , f (x) = sec x && 6. , f (x) = csc x & 7. , f (x) = ln x && 8. , f (x) = sqrt [n] {x}, & 9. , f (x) = a ^ x (a> 0) && , , , text { (donde n es un entero positivo)} end {align} )

Aplicamos estos teoremas en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 24: Determinación de intervalos en los que una función es continua

Indique los intervalos en los que cada una de las siguientes funciones es continua.

( begin {align} & 1. , , f (x) = sqrt {x-1} + sqrt {5-x} qquad qquad qquad && 3. , , f (x) = tan x & 2. , , f (x) = x sin x && 4. , , f (x) = sqrt { ln x} end {align} )


( text {FIGURA 1.27} ): Una gráfica de (f ) en el Ejemplo 24 (a).

Solución

Examinamos cada uno por turno, aplicando los Teoremas 8 y 9 según corresponda.

  1. Los términos de raíz cuadrada son continuos en los intervalos ([1, infty) ) y ((- infty, 5] ), respectivamente. Como (f ) es continuo solo donde cada término es continuo , (f ) es continua en ([1,5] ), la intersección de estos dos intervalos.En la figura 1.27 se muestra una gráfica de (f ).
  2. Las funciones (y = x ) y (y = sin x ) son cada una continua en todas partes, por lo que su producto también lo es.
  3. El teorema 9 establece que (f (x) = tan x ) es continuo "en su dominio ''. Su dominio incluye todos los números reales excepto los múltiplos impares de ( pi / 2 ). Por lo tanto, (f (x ) = tan x ) es continuo en [ ldots left (- frac {3 pi} {2}, - frac { pi} 2 right), left (- frac { pi} 2, frac { pi} 2 right), left ( frac { pi} 2, frac {3 pi} 2 right), ldots, ] o, de manera equivalente, en (D = {x in mathbb {R} | x neq n cdot frac { pi} 2, , text {n es un número entero impar} }. )
  4. El dominio de (y = sqrt {x} ) es ([0, infty) ). El rango de (y = ln x ) es ((- infty, infty) ), pero si restringimos su dominio a ([1, infty) ) su rango es ([0 , infty) ). Entonces, restringir (y = ln x ) al dominio de ([1, infty) ) restringe su salida es ([0, infty) ), en la cual (y = sqrt {x }) se define. Por tanto, el dominio de (f (x) = sqrt { ln x} ) es ([1, infty) ).

Una forma común de pensar en una función continua es que "su gráfico se puede dibujar sin levantar el lápiz". Es decir, su gráfico forma una curva "continua", sin agujeros, roturas o saltos. Aunque más allá del alcance de este texto, esta pseudodefinición pasa por alto algunos de los puntos más sutiles de continuidad. Funciones muy extrañas son continuas que sería difícil dibujar a mano.

Esta noción intuitiva de continuidad nos ayuda a comprender otro concepto importante de la siguiente manera. Suponga que (f ) se define en ([1,2] ) y (f (1) = -10 ) y (f (2) = 5 ). Si (f ) es continua en ([1,2] ) (es decir, su gráfica se puede trazar como una curva continua desde ((1, -10) ) a ((2,5) )) entonces sabemos intuitivamente que en algún lugar de ([1,2] ) (f ) debe ser igual a (- 9 ), y (- 8 ), y (- 7, - 6, ldots, 0, 1/2, ) etc. En resumen, (f ) asume todos intermedio valores entre (- 10 ) y (5 ). Puede adquirir más valores; (f ) puede ser igual a 6 en algún momento, por ejemplo, pero tenemos garantizados todos los valores entre (- 10 ) y 5.

Si bien esta noción parece intuitiva, no es trivial de probar y su importancia es profunda. Por tanto, el concepto se expresa en forma de teorema.

Teorema 10: Teorema del valor intermedio

Sea (f ) una función continua en ([a, b] ) y, sin pérdida de generalidad, sea (f (a)

Una aplicación importante del teorema del valor intermedio es la búsqueda de raíces. Dada una función (f ), a menudo nos interesa encontrar valores de (x ) donde (f (x) = 0 ). Estas raíces pueden ser muy difíciles de encontrar exactamente. Se pueden encontrar buenas aproximaciones mediante aplicaciones sucesivas de este teorema. Suponga que a través del cálculo directo encontramos que (f (a) <0 (y (f (b)> 0 ), donde (a

Existe una técnica que produce una buena aproximación de (c ). Sea (d ) el punto medio del intervalo ([a, b] ) y considere (f (d) ). Hay tres posibilidades:

  1. (f (d) = 0 ) - tuvimos suerte y tropezamos con el valor real. Nos detenemos cuando encontramos una raíz.
  2. (f (d) <0 ) Entonces sabemos que hay una raíz de (f ) en el intervalo ([d, b] ) - hemos reducido a la mitad el tamaño de nuestro intervalo, por lo tanto estamos más cerca de una buena aproximación de la raíz.
  3. (f (d)> 0 ) Entonces sabemos que hay una raíz de (f ) en el intervalo ([a, d] ); de nuevo, hemos reducido a la mitad el tamaño de nuestro intervalo, por lo que son más cerca de una buena aproximación de la raíz.

La aplicación sucesiva de esta técnica se denomina Método de bisección del hallazgo de raíces. Continuamos hasta que el intervalo sea lo suficientemente pequeño. Demostramos esto en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 25: Uso del método de bisección

Aproxima la raíz de (f (x) = x- cos x ), con una precisión de tres lugares después del decimal.


( text {FIGURA 1.28} ): Graficar una raíz de (f (x) = x- cos x ).

Solución

Considere la gráfica de (f (x) = x- cos x ), que se muestra en la figura 1.28. Está claro que la gráfica cruza el eje (x ) - en algún lugar cerca de (x = 0.8 ). Para iniciar el método de bisección, elija un intervalo que contenga (0.8 ). Elegimos ([0.7,0.9] ). Tenga en cuenta que todo lo que nos importa son los signos de (f (x) ), no su valor real, así que esto es todo lo que mostramos.

  1. Iteración 1: (f (0,7) <0 ), (f (0,9)> 0 ) y (f (0,8)> 0 ). Así que reemplace (0.9 ) con (0.8 ) y repita.
  2. Iteración 2: (f (0.7) <0 ), (f (0.8)> 0 ), y en el punto medio, (0.75 ), tenemos (f (0.75)> 0 ). Entonces reemplace (0.8 ) con (0.75 ) y repita. Tenga en cuenta que no es necesario que sigamos comprobando los puntos finales, solo el punto medio. Por tanto, colocamos el resto de las iteraciones en la tabla 1.29.


( text {FIGURA 1.29} ): Iteraciones del método de bisección de la búsqueda de raíces

Observe que en la iteración 12 (^ text {th} ) tenemos los puntos finales del intervalo, cada uno de los cuales comienza con (0.739 ). Por lo tanto, hemos reducido el cero a una precisión de los primeros tres lugares después del decimal. Usando una computadora, tenemos

[f (0.7390) = -0.00014, quad f (0.7391) = 0.000024. ] Cualquiera de los extremos del intervalo da una buena aproximación de donde (f ) es 0. El teorema del valor intermedio establece que el cero real es todavía dentro de este intervalo. Si bien no conocemos su valor exacto, sabemos que comienza con (0,739 ).

Este tipo de ejercicio rara vez se realiza a mano. Más bien, es sencillo programar una computadora para ejecutar dicho algoritmo y detenerse cuando los puntos finales difieren en una pequeña cantidad preestablecida. Uno de los autores escribió un programa de este tipo y encontró que el cero de (f ), con una precisión de 10 lugares después del decimal, era 0,7390851332. Si bien se tardó unos minutos en escribir el programa, el programa tardó menos de una milésima de segundo en ejecutar las 35 iteraciones necesarias. En menos de 8 centésimas de segundo, el cero se calculó con 100 decimales (con menos de 200 iteraciones).

Es muy sencillo extender el método de bisección para resolver problemas similares a "Encuentra (x ), donde (f (x) = 0 )". Por ejemplo, podemos encontrar (x ), donde (f (x) = 1 ). De hecho, funciona muy bien definir una nueva función (g ) donde (g (x) = f (x) - 1 ). Luego, usa el método de bisección para resolver (g (x) = 0 ).

De manera similar, dadas dos funciones (f ) y (g ), podemos usar el método de bisección para resolver (f (x) = g (x) ). Una vez más, cree una nueva función (h ) donde (h (x) = f (x) -g (x) ) y resuelva (h (x) = 0 ).

En la Sección 4.1 se presentará otro método de resolución de ecuaciones, llamado Método de Newton. En muchos casos, el método de Newton es mucho más rápido. Sin embargo, se basa en matemáticas más avanzadas, por lo que esperaremos antes de presentarlo.

Esta sección definió formalmente lo que significa ser una función continua. "La mayoría de las funciones" con las que nos ocupamos son continuas, por lo que a menudo resulta extraño tener que definir formalmente este concepto. Independientemente, es importante y constituye la base del próximo capítulo.

En la siguiente sección examinamos un aspecto más de los límites: los límites que involucran al infinito.


Medición de continuidad y resistencia con un multímetro

INFORMACIÓN GENERAL

Este laboratorio le presentará algunos principios electrónicos básicos probándolos en acción. Aprenderá a medir voltaje, amperaje y resistencia con un multímetro. Antes de realizar esta práctica de laboratorio, debe familiarizarse con la placa de pruebas sin soldadura y hacerse un conector de alimentación.

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Tabla de contenido ( esconder)

  1. 1. Partes
  2. 2. Prueba del medidor
  3. 3. Midiendo la continuidad
  4. 4. Configuración de la placa
  5. 5. Resistencia de un componente
  6. 6. Medición de voltaje
  7. 7. Un circuito LED básico
  8. 8. Componentes en serie
  9. 9. Componentes en amperaje de medición en paralelo
  10. 10. Generación de un voltaje variable con un potenciómetro

1.5: Continuidad

Incrustada en las leyes de Gauss y Amp & # 232re hay una relación que debe existir entre la carga y las densidades de corriente. Para ver esto, primero aplique la ley de Amp & # 232re a una superficie cerrada, como se muestra en la figura 1.5.1. Si el contorno C se considera como el "cordón" y S como la "bolsa", entonces este límite es uno en el que la "cuerda" se aprieta de modo que el contorno se reduce a cero. Por tanto, las integrales de superficie abierta de (1.4.1) se cierran, mientras que la integral de contorno desaparece.

Pero ahora, en vista de la ley de Gauss, la integral de superficie del desplazamiento eléctrico puede reemplazarse por la carga total incluida. Es decir, (1.3.1) se usa para escribir (1) como

Esta es la ley de conservación de la carga. Si hay una corriente neta fuera del volumen que se muestra en la figura 1.5.2, (2) requiere que la carga neta encerrada disminuya con el tiempo.

Figura 1.5.1. Contorno C encerrar una superficie abierta se puede considerar como el cordón de una bolsa que se puede cerrar para crear una superficie cerrada. Figura 1.5.2. La densidad actual deja un volumen V y por lo tanto, la carga neta debe disminuir.

La conservación de la carga, como se expresa en (2), fue una razón de peso para que Maxwell agregara el término de desplazamiento eléctrico a la ley de Amp & # 232re. Sin la densidad de corriente de desplazamiento, la ley de Amp & # 232re sería inconsistente con la conservación de carga. Es decir, si el segundo término en (1) estaría ausente, entonces también estaría ausente el segundo término en (2). Si el término de la corriente de desplazamiento cae en la ley de Amp & # 232re, entonces la corriente neta no puede entrar ni salir de un volumen.

La conservación de la carga es consistente con la imagen intuitiva de la relación entre carga y corriente desarrollada en el ejemplo 1.2.1.

Ejemplo 1.5.1. Continuidad de la corriente de convección

La corriente de estado estable de electrones acelerada a través del vacío por un campo eléctrico uniforme se describe en el ejemplo 1.2.1 suponiendo que en cualquier plano X = constante la densidad de corriente es la misma. Que esto debe ser cierto ahora se ve formalmente aplicando el teorema de la integral de conservación de carga al volumen mostrado en la figura 1.5.3.

Figura 1.5.3. En estado estacionario, la conservación de la carga requiere que la densidad de corriente que ingresa a través del x = 0 plano sea el mismo que el que sale a travs del plano en x = x.

Aquí la superficie inferior está en el plano de inyección. x = 0, donde se sabe que la densidad de corriente es Jo. La superficie superior está en el nivel arbitrario denotado por X. Debido a que prevalece el estado estacionario, la derivada del tiempo en (2) es cero. La integral de superficie restante tiene contribuciones solo de las superficies superior e inferior. Evaluación de estos, con el reconocimiento de que el elemento de área en la superficie superior es (IX dydz) mientras es (-IX dydz) en la superficie inferior, deja claro que

Esta misma relación se usó en el ejemplo 1.2.1, (1.2.4), como base para la conversión desde el punto de vista de las partículas al que se usa aquí, donde (x, y, z) son independientes de t.

Ejemplo 1.5.2. Densidad actual y carga variable en el tiempo

Con la densidad de carga en función del tiempo con una distribución espacial simétrica axialmente, (2) se puede utilizar para deducir la densidad de corriente. En este ejemplo, la densidad de carga es

y se puede representar como se muestra en la Fig. 1.5.4. La función del tiempo o se da, como es la dimensión a.

Figura 1.5.4. Con la distribución de carga simétrica axialmente dada, positiva y decreciente con el tiempo (p / t & lt 0), la densidad de corriente radial es positiva, como se muestra.

Como primer paso para encontrar J, evaluamos la integral de volumen en (2) para un cilindro circular de radio r teniendo z como su eje y longitud l en el z dirección.

La simetría axial exige que J está en la dirección radial e independiente de y z. Por tanto, la evaluación de la integral de superficie en (2) equivale a una multiplicación de Jr por la zona 2 rl, y esa ecuación se convierte en

Finalmente, esta expresión se puede resolver para Jr.

Bajo el supuesto de que la densidad de carga es positiva y decreciente, de modo que Do / dt & lt 0, la distribución radial de Jr se muestra en un instante en la figura 1.5.4. En este caso, la densidad de corriente radial es positiva en cualquier radio r porque la carga neta dentro de ese radio, dada por (5), disminuye con el tiempo.

La forma integral de conservación de carga proporciona el vínculo entre la corriente transportada por un cable y la carga. Por lo tanto, si podemos medir una corriente, esta ley proporciona la base para medir la carga neta. La siguiente demostración ilustra su uso.

Demostración 1.5.1. Medida de carga

En la Demostración 1.3.1, la carga neta se deduce de las mediciones mecánicas y la ley de fuerza de Coulomb. Aquí esa misma carga se deduce eléctricamente. La "bola" que lleva la carga está pegada al extremo de una varilla de plástico delgada, como en la figura 1.5.5. El objetivo es medir este cargo, q, sin sacarlo de la bola.

Figura 1.5.5. Cuando una carga q se introduce en una esfera de metal esencialmente conectada a tierra, una carga -q se induce en su superficie interior. La forma integral de conservación de carga, aplicada a la superficie. S, muestra que i = dq / dt. La excursión neta de la señal integrada es entonces una medida directa de q.

Sabemos por la discusión de la ley de Gauss en la Sec. 1.3 que esta carga es la fuente de un campo eléctrico. En general, este campo termina con cargas de signo opuesto. Por lo tanto, el cargo neto que termina el campo que se origina en q es igual en magnitud y opuesto en signo a q. La medición de esta carga de "imagen" equivale a medir q.

¿Cómo podemos diseñar un electrodo metálico para tener la garantía de que todas las líneas de mi procedente de q terminará en su superficie? Parecería que el electrodo debería rodear esencialmente q. Así, en el experimento que se muestra en la figura 1.5.5, la carga se transporta al interior de una esfera de metal a través de un orificio en su parte superior. Esta esfera se basa en una resistencia R y también rodeado por un escudo conectado a tierra. Esta resistencia se hace lo suficientemente baja para que esencialmente no haya campo eléctrico en la región entre el electrodo esférico y el escudo circundante. Como resultado, hay una carga insignificante en el exterior del electrodo y la carga neta en el electrodo esférico es solo la del interior, es decir -q.

Ahora considere la aplicación de (2) a la superficie S mostrado en la Fig. 1.5.5. La superficie encierra completamente el electrodo esférico mientras excluye la carga q en su centro. En el exterior, corta el cable que conecta el electrodo a la resistencia. R. Por tanto, la integral de volumen en (2) da la carga neta -q, mientras que las contribuciones a la integral de superficie solo provienen de donde S corta el alambre. Por definición, la integral de J Da sobre la sección transversal del cable da la corriente I (amperios). Por lo tanto, (2) se convierte simplemente

Esta corriente es el resultado de haber empujado la carga a través del orificio hasta una posición en la que todas las líneas de campo terminaban en el electrodo esférico.

Aunque pequeña, la corriente a través de la resistencia da como resultado un voltaje.

El circuito integrador se introduce en el experimento de la figura 1.5.5 para que el osciloscopio muestre directamente la carga. Con este circuito va una ganancia A tal que

Entonces, el voltaje vo a la que se eleva la traza en el alcance a medida que la carga se inserta a través del orificio refleja la carga q. Esta medida de q corrobora el de la demostración 1.3.1.

En retrospectiva, porque S y V son arbitrarios en las leyes integrales, no es necesario realizar el experimento utilizando un electrodo y un escudo que sean esféricos. Estos también podrían tener la forma de cajas.

Condición de continuidad de conservación de carga

La condición de continuidad asociada con la conservación de la carga se puede derivar aplicando la ley integral al mismo volumen en forma de pastillero usado para derivar la condición de continuidad de Gauss, (1.3.17). También se puede encontrar simplemente reconociendo la similitud entre las leyes integrales de Gauss y la conservación de carga. Para aclarar esta similitud, vuelva a escribir (2) poniendo la derivada en el tiempo debajo de la integral. Al hacerlo, d / dt debe ser reemplazado nuevamente por / t, debido a que ahora opera la derivada del tiempo, una función de t y r.

La comparación de (11) con la ley integral de Gauss, (1.3.1), muestra la similitud. El rol de o mi en la ley de Gauss se juega por J, mientras que el de es tomado por - / t. Por tanto, por analogía con la condición de continuidad para la ley de Gauss, (1.3.17), la condición de continuidad para la conservación de la carga es

Implícito en esta condición está el supuesto de que J es finito. Por tanto, la condición no incluye la posibilidad de una corriente superficial.


Contenido

En los primeros años de Residente demoníaco, Capcom no tenía un plan o intención real para un universo expandido canónico y solo veía los juegos en sí como parte del canon de la serie. Como consecuencia, el material con licencia de terceros, como el S.D. Las novelas de Perry o los cómics de WildStorm fueron pensados ​​desde el principio para estar en una continuidad separada. Este concepto también se aplicó a proyectos internos que no eran videojuegos, como las obras de radio, incluso si estaban escritos por los escritores del juego utilizando las mismas notas de la historia.

En el momento de Resident Evil 4Con el lanzamiento, Capcom cambió su postura sobre la continuidad y comenzó los planes para un universo expandido canónico. Las nuevas licencias requerirían que un productor de Capcom, típicamente Hiroyuki Kobayashi, vete cualquier idea que esté en conflicto con las tramas del juego o que acorrale a los desarrolladores. Comenzando con historias internas como biohazard4 Incubar y luego Sony Resident Evil: Degeneración, este método de continuidad supervisada directamente se ha convertido en el predeterminado en la franquicia, y las licencias más antiguas no se renuevan. A partir de 2020, los únicos proyectos importantes ambientados en un universo alternativo son la película de reinicio de Constantin y la serie de Netflix, ambas derivadas de su acuerdo de 1996.

Principal

La continuidad Prime (provisional) es el canon oficial de Capcom. Abarca toda la barra de juegos de consola. Operación Raccoon City y los juegos que carecen de un modo de juego principal basado en la historia, pero también incluyen la novela PELIGRO BIOLÓGICO Malvado Mar del Norte y las películas CGI que no sean EJECUADOR BIOHAZARD 4D, que es discutible. Hay unas cincuenta entradas en la franquicia del canon, incluidas guías que contienen documentos en el universo escritos solo para esos libros.

Sidra de pera

La continuidad de Perry abarca una serie de siete novelas escritas por S.D. Sidra de pera:

    (1998)
  • Resident Evil: Caliban Cove(1998)
  • Resident Evil: Ciudad de los muertos(1999)
  • Resident Evil: Inframundo(1999)
  • Resident Evil: Nemesis(2000)
  • Resident Evil CÓDIGO: Veronica(2001)
  • Resident Evil: Hora cero(2004)

Anderson

La continuidad de Anderson abarca una serie de seis películas, en gran parte escritas y dirigidas por Paul W.S. Anderson. Ha habido discrepancias a lo largo de los años con respecto a Apocalipsis, y ahora debe considerarse que la información exclusiva de los accesorios no es canónica.

  • Residente demoníaco (2002)
  • Resident Evil: Apocalipsis (2004)
  • Resident Evil: Extinción (2007)
  • Resident Evil: Afterlife (2010)
  • Resident Evil: Retribución (2012)
  • Resident Evil: El capítulo final(2017)

Roberts

La continuidad de Roberts abarca la película de 2021 Resident Evil: Welcome to Raccoon City producida por Constantin Film.

DeCandido

La continuidad de DeCandido consta de tres novelizaciones de las películas de Anderson, con una importante inclusión de elementos originales.

Makino

La continuidad de Makino consiste en sus dos partes Crónicas de paraguas novelizaciones y sus dos novelizaciones cinematográficas CGI.

Shirley

La continuidad de Shirley consta de una sola entrada, la adaptación cinematográfica de Resident Evil: Retribución. Este universo es una fusión de los universos Anderson y DeCandido.

Carretero

La continuidad de Waggoner consta de una sola entrada, la adaptación cinematográfica de Resident Evil: El capítulo final.

WildStorm

La continuidad de WildStorm consta de cuatro series de cómics, que abarcan diecinueve números en total.

Maravilla

La continuidad de Marvel consiste en un solo cómic que precuela los eventos de Residente demoníaco.

Tierra-30847 (Marvel vs Capcom)

La continuidad de Marvel Vs Capcom, oficialmente conocida como Tierra-30847 De acuerdo con la lista de universos de Marvel, ¿es la realidad donde los personajes de Marvel coexisten con el Capcom caracteres. Como parte del Resident Evil Multiverse y al igual que otras realidades de Marvel, sus eventos son canon solo para su realidad y no tienen nada que ver con el universo primario del juego, novelas y demás.

La continuidad de Marvel vs Capcom consiste en varios juegos cruzados con personajes de Marvel Comics y Capcom.

  • El Castigador(1993)
  • X-Men: Hijos del átomo(1994)
  • Marvel superhéroes(1995)
  • X-Men contra Street Fighter(1996)
  • Marvel Super Heroes contra Street Fighter(1997)
  • Marvel vs.Capcom: Choque de superhéroes(1998) (2002) (2011) (2011)
  • Marvel vs.Capcom: Infinito(2017)

PELIGRO BIOLÓGICO 1.5

La 1.5 La continuidad cubre la idea original de Capcom para el universo "principal" antes de la participación de Noboru Sugimura y Flagship. Consiste en:

Monolith Soft (Namco ✕ Capcom X Sega)

La continuidad de Monolith Soft consta de numerosos personajes de Capcom y Namco que viven en varias dimensiones interconectadas. Consiste en:

Fuente del Rey

La continuidad de The King's Fountain consta de 60 números cómicos. Los primeros quince son adaptaciones vagas de Resident Evil 2, y la trama continúa agregando elementos de fantasía como dragones parlantes.

Tinhangse

La continuidad de Tinhangse Publishing (AKA SkyWalker Comics) consiste en una serie de cómics:

Universo expandido insignia

Después de la producción de Resident Evil 2, Noboru Sugimura colaboró ​​con varios tokusatsu escritores para crear la Biblia de la historia del Prime Universe. Las historias del universo expandido, en su mayoría dramas de audio, se crearon para explicar este universo a los fanáticos. Sin embargo, oficialmente no eran canon y, aunque perspicaces, los scripts posteriores del juego eran libres de contradecirlos.

  • Residente demoníaco (1996) (1998)
  • Resident Evil 2 (1998)
  • PELIGRO BIO El malvado Mar del Norte (1998) (1998) (1998) (1999) (1999)
  • BIOHAZARD 4D-EJECUTER (2000)

La tragedia del pueblo de Makoba

La continuidad de Makoba Village Tragedy consiste en un único álbum de drama que es el preludio de los eventos del primer Residente demoníaco juego.

Gaiden

La Gaiden la continuidad consiste en el original Residente demoníaco juego Resident Evil 2 y Resident Evil Gaiden.

Operación Raccoon City

La Operación Raccoon City la continuidad se ve comprometida Resident Evil: Operación Raccoon City solamente, que fue desarrollado por Slant Six Games antes de su cierre. Es una versión alternativa de las historias canónicas de Resident Evil 2 y Resident Evil 3, los jugadores pueden influir en el resultado al final de cada escenario, con dos opciones para cada uno. Las nuevas incorporaciones en esta realidad alternativa incluyen el equipo de Umbrella Wolfpack que interfiere y el equipo Echo Six con sede en el gobierno de EE. UU.

Rosa en blanco

Rosa en blanco fue una novela de fan fiction que ganó un concurso para ser publicada oficialmente.

PELIGRO BIOLÓGICO para la libertad

PELIGRO BIOLÓGICO para la libertad fue una novela de fan fiction que ganó un concurso para ser publicada oficialmente.

El principio

PELIGRO BIO El comienzo fue una novela con licencia lanzada en 1997 como una precuela de Residente demoníaco. Su traducción al inglés muy alterada se utilizó como base para S.D. La serie de novelas de Perry, que incluye a los personajes Billy Rabbitson, Priscilla y Becky McGee.

Informe confidencial

La Informe confidencial La continuidad consiste en el juego original de Resident Evil, Resident Evil, Resident Evil 2 y Resident Evil Confidential Report, el juego para teléfonos móviles. Este juego está clasificado como T para adolescentes.

BAKAHAZA

BAKAHAZA es un juego de parodia basado en el juego original, pero los roles son interpretados por el elenco de Bakabon.

Bioroide

Bioroid es una parodia musical de 2000 de Resident Evil.

Netflix

La continuidad de Netflix consta de una sola entrada, una adaptación de Netflix de la franquicia también titulada Residente demoníaco.


1.5: Continuidad

Para los problemas 4 a 13, utilizando solo las propiedades 1 a 9 de la sección Propiedades del límite, las propiedades del límite unilateral (si es necesario) y la definición de continuidad determinan si la función dada es continua o discontinua en los puntos indicados.

  1. ( Displaystyle f left (x right) = frac << 6 + 2x >> << 7x - 14 >> )
    1. (x = - 3 )
    2. (x = 0 )
    3. (x = 2 )
    1. (y = - 5 )
    2. (y = - 1 )
    3. (y = 3 )
    1. (z = - 1 )
    2. (z = 0 )
    3. (z = 4 )
    1. (x = - 7 )
    2. (x = 0 )
    3. (x = 1 )
    1. (z = - 6 )
    2. (z = - 1 )
    1. (x = 0 )
    2. (x = 4 )
    1. (t = 0 )
    2. (t = 5 )
    1. (z = - 4 )
    2. (z = 2 )
    1. (x = 2 )
    2. (x = 7 )
    1. (w = 0 )
    2. (w = 8 )

    Para los problemas 14 a 22, determine dónde la función dada es discontinua.

    1. ( displaystyle f left (x right) = frac << 11 - 2x >> << 2- 13x - 7 >> )
    2. ( Displaystyle Q left (z right) = frac <3> << 2+ 3z - 4 >> )
    3. ( Displaystyle h left (t right) = frac <<- 1>><<+ 6 + t >> )
    4. ( displaystyle f left (z right) = frac << 4z + 1 >> << 5 cos left (<< textstyle>> derecha) + 1 >> )
    5. ( Displaystyle h left (x right) = frac << 1 - x >> < derecha) >> )
    6. ( Displaystyle f left (x right) = frac <3> << 4 << bf>^> - 1>>)
    7. (displaystyle Rleft( w ight) = frac<<<<f>^ <+ 1>>>><<<<f>^w> - 2<<f>^<1 - w>>>>)
    8. (gleft( x ight) = cot left( <4x> ight))
    9. (fleft( t ight) = sec left( ight))

    For problems 23 – 27 use the Intermediate Value Theorem to show that the given equation has at least one solution in the indicated interval. Note that you are NOT asked to find the solution only show that at least one must exist in the indicated interval.

    1. (1 + 7 - = 0) on (left[ <4,8> ight])
    2. ( + 11z = 3) on (left[ < - 15, - 5> ight])
    3. (displaystyle frac <<+ t - 15>><> = 0) on (left[ < - 5,1> ight])
    4. (ln left( <2+ 1> ight) - ln left( <+ 4> ight) = 0) on (left[ < - 1,2> ight])
    5. (10 = + <<f>^< - w>> - 5) on (left[ <0,4> ight])

    For problems 28 – 33 assume that (fleft( x ight)) is continuous everywhere unless otherwise indicated in some way. From the given information is it possible to determine if there is a root of (fleft( x ight)) in the given interval?

    If it is possible to determine that there is a root in the given interval clearly explain how you know that a root must exist. If it is not possible to determine if there is a root in the interval sketch a graph of two functions each of which meets the given information and one will have a root in the given interval and the other will not have a root in the given interval.


    Step 2

    Test for a potential open circuit by using one multimeter lead to touch one of the prongs on the AC side of power cord. Use the other lead to touch one end of the console side of the power cord.

    If there is an adequate electrical connection, the multimeter will beep. If it does not beep the first time, try using the lead to touch the other prong.

    Repeat the above directions in step 2 for the other outlet and prong of the power cord.

    If the multimeter fails to beep on any of the occasions outlined above, your power cord is open. In other words, you will need to replace the power cable.


    Contenido

    A form of the epsilon–delta definition of continuity was first given by Bernard Bolzano in 1817. Augustin-Louis Cauchy defined continuity of y = f ( x ) as follows: an infinitely small increment α of the independent variable X always produces an infinitely small change f ( x + α ) − f ( x ) of the dependent variable y (see e.g. Cours d'Analyse, pag. 34). Cauchy defined infinitely small quantities in terms of variable quantities, and his definition of continuity closely parallels the infinitesimal definition used today (see microcontinuity). The formal definition and the distinction between pointwise continuity and uniform continuity were first given by Bolzano in the 1830s but the work wasn't published until the 1930s. Like Bolzano, [1] Karl Weierstrass [2] denied continuity of a function at a point C unless it was defined at and on both sides of C, but Édouard Goursat [3] allowed the function to be defined only at and on one side of C, and Camille Jordan [4] allowed it even if the function was defined only at C. All three of those nonequivalent definitions of pointwise continuity are still in use. [5] Eduard Heine provided the first published definition of uniform continuity in 1872, but based these ideas on lectures given by Peter Gustav Lejeune Dirichlet in 1854. [6]

    Definition Edit

    A real function, that is a function from real numbers to real numbers, can be represented by a graph in the Cartesian plane such a function is continuous if, roughly speaking, the graph is a single unbroken curve whose domain is the entire real line. A more mathematically rigorous definition is given below. [7]

    Using mathematical notation, there are several ways to define continuous functions in each of the three senses mentioned above.

    This subset D is the domain of F. Some possible choices include

    Definition in terms of limits of functions Edit

    The function F es continuous at some point C of its domain if the limit of f ( x ) , as X approaches C through the domain of F, exists and is equal to f ( c ) . [8] In mathematical notation, this is written as

    (Here, we have assumed that the domain of F does not have any isolated points.)

    Definition in terms of neighborhoods Edit

    This definition only requires that the domain and the codomain are topological spaces and is thus the most general definition. It follows from this definition that a function F is automatically continuous at every isolated point of its domain. As a specific example, every real valued function on the set of integers is continuous.

    Definition in terms of limits of sequences Edit

    Weierstrass and Jordan definitions (epsilon–delta) of continuous functions Edit

    In modern terms, this is generalized by the definition of continuity of a function with respect to a basis for the topology, here the metric topology.

    Definition in terms of control of the remainder Edit

    In proofs and numerical analysis we often need to know how fast limits are converging, or in other words, control of the remainder. We can formalise this to a definition of continuity. A function C : [ 0 , ∞ ) → [ 0 , ∞ ] is called a control function if

    This approach leads naturally to refining the notion of continuity by restricting the set of admissible control functions. For a given set of control functions C >> a function is C >> -continuous if it is C -continuous for some C ∈ C . >.> For example, the Lipschitz and Hölder continuous functions of exponent α below are defined by the set of control functions

    Definition using oscillation Edit

    This definition is useful in descriptive set theory to study the set of discontinuities and continuous points – the continuous points are the intersection of the sets where the oscillation is less than ε (hence a G δ > set) – and gives a very quick proof of one direction of the Lebesgue integrability condition. [10]

    Definition using the hyperreals Edit

    Cauchy defined continuity of a function in the following intuitive terms: an infinitesimal change in the independent variable corresponds to an infinitesimal change of the dependent variable (see Cours d'analyse, page 34). Non-standard analysis is a way of making this mathematically rigorous. The real line is augmented by the addition of infinite and infinitesimal numbers to form the hyperreal numbers. In nonstandard analysis, continuity can be defined as follows.

    A real-valued function F is continuous at X if its natural extension to the hyperreals has the property that for all infinitesimal dx, f ( x + d x ) − f ( x ) is infinitesimal [11]

    (see microcontinuity). In other words, an infinitesimal increment of the independent variable always produces to an infinitesimal change of the dependent variable, giving a modern expression to Augustin-Louis Cauchy's definition of continuity.

    Construction of continuous functions Edit

    Checking the continuity of a given function can be simplified by checking one of the above defining properties for the building blocks of the given function. It is straightforward to show that the sum of two functions, continuous on some domain, is also continuous on this domain. Given

    The same holds for the product of continuous functions,

    In the same way it can be shown that the reciprocal of a continuous function

    For example, the function (pictured)

    the sinc-function becomes a continuous function on all real numbers. El termino removable singularity is used in such cases, when (re)defining values of a function to coincide with the appropriate limits make a function continuous at specific points.

    A more involved construction of continuous functions is the function composition. Given two continuous functions

    This construction allows stating, for example, that

    Examples of discontinuous functions Edit

    An example of a discontinuous function is the Heaviside step function H , defined by

    Similarly, the signum or sign function

    is continuous everywhere apart from x = 0 .

    Besides plausible continuities and discontinuities like above, there are also functions with a behavior, often coined pathological, for example, Thomae's function,

    is continuous at all irrational numbers and discontinuous at all rational numbers. In a similar vein, Dirichlet's function, the indicator function for the set of rational numbers,

    Properties Edit

    A useful lemma Edit

    Intermediate value theorem Edit

    The intermediate value theorem is an existence theorem, based on the real number property of completeness, and states:

    For example, if a child grows from 1 m to 1.5 m between the ages of two and six years, then, at some time between two and six years of age, the child's height must have been 1.25 m.

    Extreme value theorem Edit

    Relation to differentiability and integrability Edit

    is everywhere continuous. However, it is not differentiable at x = 0 (but is so everywhere else). Weierstrass's function is also everywhere continuous but nowhere differentiable.

    Every continuous function

    Pointwise and uniform limits Edit

    Directional and semi-continuity Edit

    A right-continuous function

    A left-continuous function

    Discontinuous functions may be discontinuous in a restricted way, giving rise to the concept of directional continuity (or right and left continuous functions) and semi-continuity. Roughly speaking, a function is right-continuous if no jump occurs when the limit point is approached from the right. Formally, F is said to be right-continuous at the point C if the following holds: For any number ε > 0 however small, there exists some number δ > 0 such that for all X in the domain with c < x < c + δ , the value of f ( x ) will satisfy

    This is the same condition as for continuous functions, except that it is required to hold for X strictly larger than C only. Requiring it instead for all X with c − δ < x < c yields the notion of left-continuous functions. A function is continuous if and only if it is both right-continuous and left-continuous.

    The concept of continuous real-valued functions can be generalized to functions between metric spaces. A metric space is a set X equipped with a function (called metric) d X , ,> that can be thought of as a measurement of the distance of any two elements in X. Formally, the metric is a function

    The set of points at which a function between metric spaces is continuous is a G δ > set – this follows from the ε − δ definition of continuity.

    This notion of continuity is applied, for example, in functional analysis. A key statement in this area says that a linear operator

    Uniform, Hölder and Lipschitz continuity Edit

    A function is Hölder continuous with exponent α (a real number) if there is a constant K such that for all b , c ∈ X , the inequality

    Another, more abstract, notion of continuity is continuity of functions between topological spaces in which there generally is no formal notion of distance, as there is in the case of metric spaces. A topological space is a set X together with a topology on X, which is a set of subsets of X satisfying a few requirements with respect to their unions and intersections that generalize the properties of the open balls in metric spaces while still allowing to talk about the neighbourhoods of a given point. The elements of a topology are called open subsets of X (with respect to the topology).

    This is equivalent to the condition that the preimages of the closed sets (which are the complements of the open subsets) in Y are closed in X.

    An extreme example: if a set X is given the discrete topology (in which every subset is open), all functions

    Continuity at a point Edit

    The translation in the language of neighborhoods of the ( ε , δ ) -definition of continuity leads to the following definition of the continuity at a point:

    This definition is equivalent to the same statement with neighborhoods restricted to open neighborhoods and can be restated in several ways by using preimages rather than images.

    As an open set is a set that is a neighborhood of all its points, a function f : X → Y is continuous at every point of X if and only if it is a continuous function.

    Si X y Y are metric spaces, it is equivalent to consider the neighborhood system of open balls centered at X y F(X) instead of all neighborhoods. This gives back the above ε − δ definition of continuity in the context of metric spaces. In general topological spaces, there is no notion of nearness or distance. If however the target space is a Hausdorff space, it is still true that F is continuous at a if and only if the limit of F como X approaches a es F(a). At an isolated point, every function is continuous.

    Alternative definitions Edit

    Several equivalent definitions for a topological structure exist and thus there are several equivalent ways to define a continuous function.

    Sequences and nets Edit

    In several contexts, the topology of a space is conveniently specified in terms of limit points. In many instances, this is accomplished by specifying when a point is the limit of a sequence, but for some spaces that are too large in some sense, one specifies also when a point is the limit of more general sets of points indexed by a directed set, known as nets. A function is (Heine-)continuous only if it takes limits of sequences to limits of sequences. In the former case, preservation of limits is also sufficient in the latter, a function may preserve all limits of sequences yet still fail to be continuous, and preservation of nets is a necessary and sufficient condition.

    In detail, a function f : X → Y is sequentially continuous if whenever a sequence ( x n ) ight)> in X converges to a limit X, the sequence ( f ( ( x n ) ) ight) ight)> converges to F(X). Thus sequentially continuous functions "preserve sequential limits". Every continuous function is sequentially continuous. Si X is a first-countable space and countable choice holds, then the converse also holds: any function preserving sequential limits is continuous. In particular, if X is a metric space, sequential continuity and continuity are equivalent. For non first-countable spaces, sequential continuity might be strictly weaker than continuity. (The spaces for which the two properties are equivalent are called sequential spaces.) This motivates the consideration of nets instead of sequences in general topological spaces. Continuous functions preserve limits of nets, and in fact this property characterizes continuous functions.

    For instance, consider the case of real-valued functions of one real variable: [16]


    Enhanced Continuity Tester Circuit

    You might be thinking you are obtaining a perfect reading on the meter and afterward surprised to discover that you had been in fact looking across a coil or low resistance system? The proposed enhanced super continuity tester circuit specifically can be a time saver which handles this type of situations, and can additionally verify resistances as high as around 150k.

    How it Works

    As shown in the figure, a reference voltage (as determined by the potentiometer R1) is put on the inverting input of the IC (1/4th of an LM339 quad comparator).

    Potentiometer R1 could be a trimmer type variable resistor, in case you intend to make use of the device for continuity tests, R1 must be a multi-turn type for simplicity of adjustment. The relationship to be examined is placed across the test probes and to ground, and across the junction of R2 and R3.

    Parts R3 and D1 safeguard against unintentional application of voltage to the circuit. Considering that the non-inverting input possesses a high impedance, the intersection of R3 is almost just like the non-inverting input so far as proportions are involved.

    Once the voltage at the non-inverting input of U1 at pin 5 drops under that at the inverting input, the output becomes low. This leads to the buzzer becoming active and sounding, showing continuity. Potentiometer R1 adjusts the limit where the buzzer gets triggered and sounds. When resistance is detected across the R2 /R3 junction and ground, a voltage divider is created, and this is referenced to the voltage divider established by potentiometer R1.

    In case the resistance is very small in comparison to the R1 value adjustment, the buzzer starts making noise.

    How to Calibrate

    In order to scale and calibrate the tester, you will need a couple of resistors 100 ohms and 120 ohms. Hook up the 100 ohm resistor across the test probes and start tweaking R1 until the buzzer starts making noise.

    Next, hook up the 120 ohm resistor and ensure the buzzer remains perfetly silent. The continuity tester is at this point fixed at examine any resistance below 100 ohms. None of the components values are critical, and neither is the battery voltage because the comparator is configured for voltage ratios only and not specific values.


    1.5: Continuity

    5. Using only Properties 1- 9 from the Limit Properties section, one-sided limit properties (if needed) and the definition of continuity determine if the following function is continuous or discontinuous at (a) (x = 4), (B) (x = 6)?

    Show All Solutions Hide All Solutions

    Before starting off with the solution to this part notice that we CAN NOT do what we’ve commonly done to evaluate limits to this point. In other words, we can’t just plug in the point to evaluate the limit. Doing this implicitly assumes that the function is continuous at the point and that is what we are being asked to determine here.

    Therefore, the only way for us to compute the limit is to go back to the properties from the Limit Properties section and compute the limit as we did back in that section. We won’t be putting all the details here so if you need a little refresher on doing this you should go back to the problems from that section and work a few of them.

    For this part we can notice that because there are values of (x) on both sides of (x = 4) in the range (x < 6) we won’t need to worry about one-sided limits here. Here is the work for this part.

    [mathop limits_ gleft( x ight) = mathop limits_ left( <2x> ight) = 2mathop limits_ x = 2left( 4 ight) = gleft( 4 ight)]

    So, we can see that [mathop limits_ gleft( x ight) = gleft( 4 ight)] and so the function is continuous at (x = 4).

    For justification on why we can’t just plug in the number here check out the comment at the beginning of the solution to (a).

    For this part we have the added complication that the point we’re interested in is also the “cut-off” point of the piecewise function and so we’ll need to take a look at the two one sided limits to compute the overall limit and again because we are being asked to determine if the function is continuous at this point we’ll need to resort to basic limit properties to compute the one-sided limits and not just plug in the point (which assumes continuity again…).

    Here is the work for this part.

    [empezarmathop limits_> gleft( x ight) = mathop limits_> left( <2x> ight) = 2mathop limits_> x = 2left( 6 ight) = 12 mathop limits_> gleft( x ight) = mathop limits_> left( ight) = mathop limits_> x - mathop limits_> 1 = 6 - 1 = 5end]

    So we can see that, (mathop limits_> gleft( x ight) e mathop limits_> gleft( x ight)) and so (mathop limits_ gleft( x ight)) does not exist.

    Now, as discussed in the notes for this section, in order for a function to be continuous at a point both the function and the limit must exist. Therefore, this function is not continuous at (x = 6)because [mathop limits_ gleft( x ight)] does not exist.


    Ver el vídeo: Funciones Definidas a Trozos CONTINUAS Continuidad de una Función (Septiembre 2021).