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11.12: Teorema de Taylor - Matemáticas


Uno de los usos más importantes de las series infinitas es la posibilidad de utilizar una parte inicial de la serie para que (f ) se aproxime a (f ). Hemos visto, por ejemplo, que cuando sumamos los primeros (n ) términos de una serie alterna con términos decrecientes, la diferencia entre este y el valor verdadero es como máximo el tamaño del siguiente término. Un resultado similar es cierto para muchas series de Taylor.

Teorema 11.11.1: Teorema de Taylor

Suponga que (f ) se define en algún intervalo abierto (I ) alrededor de (a ) y suponga que $$ f ^ {(N + 1)} (x) $$ existe en este intervalo. Entonces, para cada (x not = a ) en (I ) hay un valor (z ) entre (x ) y (a ) de modo que $$ f (x) = sum_ {n = 0} ^ N {f ^ {(n)} (a) sobre n!} , (xa) ^ n + {f ^ {(N + 1)} (z) sobre (N + 1) )!} (xa) ^ {N + 1}. ]

Prueba

La prueba requiere cierta astucia para configurarla, pero los detalles son bastante elementales. Queremos definir una función (F (t) ). Comience con la ecuación $$ F (t) = sum_ {n = 0} ^ N {f ^ {(n)} (t) over n!} , (Xt) ^ n + B (xt) ^ { N + 1}. $$ Aquí hemos reemplazado (a ) por (t ) en los primeros (N + 1 ) términos de la serie de Taylor, y agregamos un término cuidadosamente elegido al final, con (B ) por determinar. Tenga en cuenta que estamos manteniendo (x ) fijo temporalmente, por lo que la única variable en esta ecuación es (t ), y solo nos interesará (t ) entre (a ) y (x ). Ahora sustituya (t = a ): $$ F (a) = sum_ {n = 0} ^ N {f ^ {(n)} (a) over n!} , (Xa) ^ n + B (xa) ^ {N + 1}. $$ Iguala esto a (f (x) ): $$ f (x) = sum_ {n = 0} ^ N {f ^ {(n)} (a) over n!} , (xa) ^ n + B (xa) ^ {N + 1}. $$ Como (x not = a ), podemos resolver esto para (B ) , que es una "constante" --- depende de (x ) y (a ) pero están temporalmente fijas.

Ahora hemos definido una función (F (t) ) con la propiedad de que (F (a) = f (x) ). Considere también (F (x) ): todos los términos con una potencia positiva de ((xt) ) se vuelven cero cuando sustituimos (x ) por (t ), por lo que nos queda $$ F (x) = f ^ {(0)} (x) / 0! = f (x). $$ Entonces (F (t) ) es una función con el mismo valor en los extremos del intervalo ([ hacha]). Por el teorema de Rolle (6.5.1), sabemos que hay un valor (z in (a, x) ) tal que (F '(z) = 0 ). Veamos (F '(t) ). Cada término en (F (t) ), excepto el primer término y el término adicional que involucra a (B ), es un producto, entonces para tomar la derivada usamos la regla del producto en cada uno de estos términos.

Será útil escribir los primeros términos de la definición: $$ eqalign {F (t) = f (t) & + {f ^ {(1)} (t) over 1!} (Xt) ^ 1+ {f ^ {(2)} (t) over 2!} (Xt) ^ 2 + {f ^ {(3)} (t) over 3!} (Xt) ^ 3 + cdots cr & + {f ^ {(N)} (t) over N!} (xt) ^ N + B (xt) ^ {N + 1}. cr} $$ Ahora tome la derivada: $$ eqalign {F '(t) = f' (t) & + left ({f ^ {(1)} (t) over 1!} (xt) ^ 0 (-1) + {f ^ {(2)} ( t) over 1!} (xt) ^ 1 right) cr & + left ({f ^ {(2)} (t) over 1!} (xt) ^ 1 (-1) + {f ^ {(3)} (t) over 2!} (Xt) ^ 2 right) cr & + left ({f ^ {(3)} (t) over 2!} (Xt) ^ 2 (-1) + {f ^ {(4)} (t) over 3!} (Xt) ^ 3 right) +… + cr & + left ({f ^ {(N)} (t) over (N-1)!} (xt) ^ {N-1} (- 1) + {f ^ {(N + 1)} (t) over N!} (xt) ^ N right) cr & + B (N + 1) (xt) ^ N (-1). cr} $$ Ahora la mayoría de los términos en esta expresión se cancelan, dejando solo $$ F '(t) = {f ^ {( N + 1)} (t) over N!} (Xt) ^ N + B (N + 1) (xt) ^ N (-1). $$ En algunos (z ), (F '( z) = 0 ) entonces $$ eqalign {0 & = {f ^ {(N + 1)} (z) over N!} (xz) ^ N + B (N + 1) (xz) ^ N ( -1) cr B (N + 1) (xz) ^ N & = {f ^ {(N + 1)} (z) over N!} (Xz) ^ N cr B & = {f ^ {(N +1)} (z) over (N + 1)!}. Cr} $$ Ahora podemos escribir $$ F (t) = sum_ {n = 0} ^ N {f ^ {(n)} (t) ov er n!} , (x-t) ^ n + {f ^ {(N + 1)} (z) over (N + 1)!} (x-t) ^ {N + 1}. $$ Recordando que (F (a) = f (x) ) obtenemos $$ f (x) = sum_ {n = 0} ^ N {f ^ {(n)} (a) over n! } , (xa) ^ n + {f ^ {(N + 1)} (z) over (N + 1)!} (xa) ^ {N + 1}, $$ que es lo que queríamos mostrar .

(cuadrado)

Puede que no sea obvio de inmediato que esto sea particularmente útil; veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 11.11.1

Encuentre una aproximación polinomial para ( sin x ) con precisión de ( pm 0.005 ).

Solución

Del teorema de Taylor: $$ sin x = sum_ {n = 0} ^ N {f ^ {(n)} (a) over n!} , (Xa) ^ n + {f ^ {(N + 1)} (z) over (N + 1)!} (Xa) ^ {N + 1}. $$ ¿Qué podemos decir sobre el tamaño del término $$ {f ^ {(N + 1)} (z) over (N + 1)!} (Xa) ^ {N + 1}? $$ Todas las derivadas de ( sin x ) es ( pm sin x ) o ( pm cos x ), entonces (| f ^ {(N + 1)} (z) | le 1 ). El factor ((x-a) ^ {N + 1} ) es un poco más difícil, ya que (x-a ) podría ser bastante grande. Escojamos (a = 0 ) y (| x | le pi / 2 ); si podemos calcular ( sin x ) para (x in [- pi / 2, pi / 2] ), por supuesto podemos calcular ( sin x ) para todo (x ).

Necesitamos elegir (N ) para que $$ left | {x ^ {N + 1} over (N + 1)!} Right | <0.005. $$ Como tenemos (x ) limitado a ([- pi / 2, pi / 2] ), $$ left | {x ^ {N + 1} over (N + 1)!} Right | <{2 ^ {N + 1} over (N + 1)!}. $$ La cantidad de la derecha disminuye al aumentar (N ), así que todo lo que tenemos que hacer es encontrar una (N ) entonces que $$ {2 ^ {N + 1} over (N + 1)!} <0.005. $$ Un poco de prueba y error muestra que (N = 8 ) funciona, y de hecho (2 ^ {9 } / 9! <0.0015 ), entonces

[ eqalign { sin x & = sum_ {n = 0} ^ 8 {f ^ {(n)} (0) over n!} , x ^ n pm 0.0015 cr & = x- { x ^ 3 over 6} + {x ^ 5 over 120} - {x ^ 7 over 5040} pm 0.0015. cr} ]

La figura 11.11.1 muestra las gráficas de ( sin x ) y la aproximación de ([0,3 pi / 2] ). A medida que (x ) se hace más grande, la aproximación se dirige al infinito negativo muy rápidamente, ya que esencialmente actúa como (-x ^ 7 ).

Ejemplo 11.11.2

Figura 11.11.1. ( sin x ) y una aproximación polinomial.

Solución

Podemos extraer un poco más de información de este ejemplo. Si no limitamos el valor de (x ), todavía tenemos $$ left | {f ^ {(N + 1)} (z) over (N + 1)!} X ^ {N + 1 } right | le left | {x ^ {N + 1} over (N + 1)!} right | $$ para que ( sin x ) esté representado por

[ sum_ {n = 0} ^ N {f ^ {(n)} (0) over n!} , x ^ n pm left | {x ^ {N + 1} over (N + 1)!} Derecha |. ]

Si podemos demostrar que $$ lim_ {N to infty} left | {x ^ {N + 1} over (N + 1)!} Right | = 0 $$ para cada x entonces

[ sin x = sum_ {n = 0} ^ infty {f ^ {(n)} (0) over n!} , x ^ n = sum_ {n = 0} ^ infty (- 1) ^ n {x ^ {2n + 1} over (2n + 1)!}, ]

es decir, la función seno es en realidad igual a su serie de Maclaurin para todo x. ¿Cómo podemos demostrar que el límite es cero? Suponga que N es mayor que (| x | ), y sea M el entero más grande menor que (| x | ) (si (M = 0 ) lo siguiente es aún más fácil). Luego

[ eqalign {{| x ^ {N + 1} | over (N + 1)!} & = {| x | over N + 1} {| x | over N} {| x | over N-1} cdots {| x | over M + 1} {| x | over M} {| x | over M-1} cdots {| x | over 2} {| x | over 1} cr & le {| x | over N + 1} cdot 1 cdot 1 cdots 1 cdot {| x | over M} {| x | over M-1} cdots {| x | over 2} {| x | over 1} cr & = {| x | over N + 1} {| x | ^ M over M!}. } ]

La cantidad (| x | ^ M / M! ) Es una constante, entonces $$ lim_ {N to infty} {| x | over N + 1} {| x | ^ M over M! } = 0 $$ y por Teorema del emparedado (11.1.3)

[ lim_ {N to infty} left | {x ^ {N + 1} over (N + 1)!} right | = 0 $$ como desee. Básicamente, el mismo argumento funciona para ( cos x ) y (e ^ x ); desafortunadamente, es más difícil demostrar que la mayoría de las funciones son iguales a su serie Maclaurin.

Ejemplo 11.11.3

Encuentra una aproximación polinomial para (e ^ x ) cercana a (x = 2 ) con una precisión de ( pm 0.005 ).

Solución

Del teorema de Taylor: $$ e ^ x = sum_ {n = 0} ^ N {e ^ 2 over n!} , (X-2) ^ n + {e ^ z over (N + 1)! } (x-2) ^ {N + 1}, $$ ya que (f ^ {(n)} (x) = e ^ x ) para todos los n. Estamos interesados ​​en x cerca de 2, y necesitamos mantener (| (x-2) ^ {N + 1} | ) bajo control, por lo que también podemos especificar que (| x-2 | le 1 ), entonces (x en [1,3] ). También $$ left | {e ^ z over (N + 1)!} Right | le {e ^ 3 over (N + 1)!}, $$ así que necesitamos encontrar una N que haga (e ^ 3 / (N + 1)! le 0.005 ). Esta vez (N = 5 ) hace (e ^ 3 / (N + 1)! <0.0015 ), por lo que el polinomio aproximado es $$ e ^ x = e ^ 2 + e ^ 2 (x-2) + {e ^ 2 over2} (x-2) ^ 2 + {e ^ 2 over6} (x-2) ^ 3 + {e ^ 2 over24} (x-2) ^ 4 + {e ^ 2 over120} (x-2) ^ 5 pm 0.0015. $$ Esto presenta un problema adicional para la aproximación, ya que también necesitamos aproximar (e ^ 2 ), y cualquier aproximación que usemos aumentará el error, pero no buscaremos esta complicación.

Tenga en cuenta que en estos ejemplos encontramos polinomios de cierta precisión solo en un intervalo pequeño, aunque las series para ( sin x ) y (e ^ x ) convergen para todo (x ); esto es típico. Para obtener la misma precisión en un intervalo mayor, se necesitarían más términos.


Serie Taylor

La serie de Taylor es uno de los resultados más útiles de todas las matemáticas. El método en toda su generalidad fue presentado por primera vez por Brook Taylor. Para ver una solicitud para la serie de Taylor, consulte la fórmula de Euler.

La prueba de la serie de Taylor depende del cálculo básico.

Para cualquiera que no se sienta cómodo con la notación f (x) o el concepto de función matemática, comience aquí.

Para cualquiera que no sepa sobre derivadas o sobre la notación f '(x), f' '(x) o f n (x), comience aquí.

Teorema: Serie de Taylor
Si
(a) f es una función con derivadas de todos los órdenes
(b) (lim n & # 8594 inf) [f (n + 1) (z)] / (n + 1)! (x-a) n + 1 = 0
luego:
f (x) = f (a) + f '(a) (x-a) + [f' '(a) / 2!] (x-a) 2 +. + [f (n) (a) / n!] (x-a) n +.

(1) Sea n un entero positivo arbitrario.

PAG norte (x) = f (a) + f '(a) (x-a) + f' '(a) [(x-a) 2] / 2! +. + f (n) [(x-a) n] / n!

donde z está entre ay x.

(3) A partir del supuesto b, vemos que:
lim (n & # 8594 inf) R norte (x) = 0.

(4) Luego se deduce que:
f (x) = lim (n & # 8594 inf) P norte (x) =


11.12: Teorema de Taylor - Matemáticas

Teorema de Taylor & # 8217s se utiliza para la expansión de series infinitas como, por ejemplo, etc. para que podamos aproximar los valores de estas funciones o polinomios. El teorema de Taylor & # 8217s se usa para la aproximación de la función diferenciable en el tiempo k

Declaración:
Sea la (n-1) ésima derivada de es decir. ser continuo en la enésima derivada existe en y ser un entero positivo dado. Entonces existe al menos un número que se encuentra entre 0 y 1 tal que:
…..

dónde y
Poniendo x = a + ho h = x-a escribimos la ecuación como:
…..

Residuos de Taylor Rnorte después de n términos debido a:
1. Cauchy: simplemente ponemos p = 1 en el teorema de Taylor para obtener
2. Lagrange: p = n da

Fórmula de Taylor:
Usando el resto de Lagrange obtenemos la fórmula de Taylor:
…..
dónde
Como n & # 8594 & infin si R & # 85940 entonces el último término de la fórmula se convierte en

Por lo tanto, la fórmula de Taylor se reduce aún más a

Esta fórmula se usa ahora para dar la expansión en serie infinita de f (x) con respecto al punto a.

Ejemplo:
Obtenga la expansión de la serie de Taylor de

sobre el punto x = -1.

Explicación:
De acuerdo con la fórmula tenemos a = -1 aquí y se nos proporciona f (x). En primer lugar, necesitamos calcular f (a) y luego calculamos las derivadas de f (x) en un punto dado hasta que se convierta en cero.






Ahora nos detenemos aquí ya que la siguiente derivada será cero. f ^ n (x)

Por tanto, la expansión de la serie de Taylor de f (x) sobre x = -1 es:
…..

Sustituyendo los valores calculados por nosotros obtenemos

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El caso cuadrático

Una fórmula para $ P _ ( bfh) $.

Según la definición que hemos dado, el polinomio de Taylor de segundo orden $ P _ < bfa, 2> ( bfh) $ de $ f $ en $ bfa $ es el polinomio cuadrático tal que $ f ( bfa) = P_ < bfa, 2> (< bf 0>) $, y tal que todas las derivadas parciales primera y segunda de $ P _ < bfa, 2> ( bfh) $ en $ bf h = 0 $ coincidan con la primera y segundas derivadas parciales de $ f $ a $ bfa $.

Proposición 2. empezar P _ < bfa, 2> ( bfh) & amp = f ( bfa) + sum_^ n h_i parcial_i f ( bfa) + frac 12 sum_^ n h_i h_j parcial_i parcial_j f ( bfa) nonumber & amp = f ( bfa) + nabla f ( bfa) cdot bfh + frac 12 (H ( bfa) bfh) cdot bfh label final donde $ H ( bfa) $ denota la matriz de segundas derivadas de $ f $ en $ bfa $: $ H ( bfa): = n times n mbox (i, j) mbox < la entrada es> partial_i partial_j f ( bfa). PS

La prueba es un ejercicio, haga clic aquí para ver cómo empezar.

Esto se puede demostrar considerando un polinomio cuadrático general $ q $ en la variable $ bfh $. Esto siempre se puede escribir en la forma, luego $ q $ se puede escribir en la forma $ q ( bfh) = frac 12 (A bfh) cdot bfh + bfb cdot bfh + c, $ donde $ A $ es una matriz $ n times n $ simétrica con entradas $ (a_) $, $ bfb in R ^ n $ y $ c in R $. Entonces se puede diferenciar $ q $ y ver qué condiciones deben satisfacer los coeficientes $ A, bfb, c $ para que todas las derivadas de orden hasta $ 2 $ a $ bfh = bf 0 $ estén de acuerdo con las derivadas correspondientes de $ f $ en $ bfa $. (Ver ejercicios).

En vista de su importancia, reafirmamos el teorema de Taylor en el caso $ k = 2 $ (incluyendo algunos detalles adicionales que no mencionamos en el caso general).

Teorema 3. El caso cuadrático del Teorema de Taylor. Suponga que $ S subset R ^ n $ es un conjunto abierto y que $ f: S to R $ es una función de la clase $ C ^ 2 $ en $ S $.
Entonces, para $ bfa in S $ y $ bfh in R ^ n $ tal que el segmento de línea que conecta $ bfa $ y $ bfa + bfh $ esté contenido en $ S $, existe $ theta en (0,1) $ tal que beginetiqueta f ( bfa + bfh) = f ( bfa) + nabla f ( bfa) cdot bfh + frac 12 (H ( bfa + theta bfh) bfh) cdot bfh. final Como resultado (ver ejercicios), beginetiqueta lim _ < bfh to < bf 0 >> frac( bfh)> <| bfh | ^ 2> = 0, quad mbox R _ < bfa, 2> ( bfh) = f ( bfa + bfh) - P _ < bfa, 2> ( bfh) end donde la fórmula para $ P _ < bfa, 2> ( bfh) $ se da en eqref.

La idea de la prueba es esta:

Primero, defina $ phi (s) = f ( bfa + s bfh) = f ( bfg (s)) $ para $ bfg (s) = bfa + s bfh $. Por supuesto, el dominio de $ phi $ es un conjunto abierto que contiene el intervalo $ [0,1] $. Nuestras suposiciones y la regla de la cadena también implican que $ phi $ es una función de la clase $ C ^ 2 $.

Por lo tanto, podemos aplicar la Proposición 1 a $ phi $ (con $ a = 0 $ y $ h = 1 $) para encontrar que existe algo $ theta en (0,1) $ tal que beginetiqueta phi (1) = phi (0) + phi & # 39 (0) + frac 12 phi & # 39 & # 39 ( theta). final

Sabemos que $ phi (1) = f ( bfa + bfh) $ y $ phi (0) = f ( bfa) $. Además, sabemos por la regla de la cadena que $ phi & # 39 (0) = bfh cdot nabla f ( bfa) $. Podemos verificar usando la regla de la cadena que beginetiqueta phi & # 39 & # 39 ( theta) = (H ( bfa + theta bfh) bfh) cdot bfh. final (ver ejercicios). Se obtiene eqref usando estos para reescribir eqref.

Vea los ejercicios para más detalles.


11.12: Teorema de Taylor - Matemáticas

Horas de oficina: MW 2: 30-3: 30

Oficina: APM 5256, tel. 534-2734

Libro de texto: Análisis elemental, por Ken Ross. Capítulos 4, 5 y 6

Asistente de enseñanza: Qingyuan Chen, correo electrónico: [email protected] horas de oficina: M: 6-8 https://ucsd.zoom.us/j/97108359812

Enlace a la discusión A01: https://ucsd.zoom.us/j/98918026102

Cálculo de la calificación: La calificación se calcula a partir de sus puntajes en la tarea (25%), dos exámenes parciales (25% cada uno) y la parte final A y la parte B (25% para cada parte). El lector ávido habrá notado que esto suma un 125%: elegiremos las tres mejores puntuaciones de sus exámenes parciales y finales, parte A y B.

Eliminaremos los dos peores puntajes de sus tareas asignadas.

Exámenes: Los exámenes también se darán en GradeScope. No habrá exámenes de recuperación. Los exámenes parciales se impartirán en clase. Para conocer las horas y fechas precisas, consulte el plan de estudios a continuación.

Asignaciones de tarea La tarea debe entregarse a través de GradeScope Grade Scope para HW este trimestre. Debería haber recibido un mensaje de correo electrónico notificándole ahora de su inscripción en el ámbito de calificaciones y proporcionando un enlace para configurar su cuenta personal. Aunque las tareas cuentan comparativamente poco para la calificación general, es extremadamente importante que las hagas o, al menos, que trates seriamente de hacerlas. La mayoría de los problemas del examen serán similares a los problemas de la tarea o del examen de práctica.

Puede ver este video que explica cómo escanear y enviar HW en línea.

para 1/13: Capítulo 23: 1, 4, 5, 7, 9, Capítulo 24: 2, 9, 10

para 1/20: Capítulo 24:13, 14, 17, Capítulo 25: 2, 4, 5, 9, 15 (a)

para 1/27: (no es necesario entregarlo, pero es relevante para miderm) Capítulo 26: 3, 4, 5, 6, 7

para 2/3: Capítulo 28: 3 (a), 4, 7, 8 Capítulo 29: 2 (puede suponer que la derivada de sen x es -cos x) F, 5, 7 (a), 14

para 2/10: Capítulo 30: 1, 4, 6 Capítulo 31: 1, 5, 6

para 2/18: Capítulo 32: 1, 2, 5, 6, 7 (puede usar el Teorema 33.3 (ii)), 8

para 3/3: Capítulo 33: 3 (a), 4, 7, 8, 9, 13

para 3/10: Capítulo 34: 2, 3, 5, 10, 11, 12

Problemas de práctica adicionales para la final

relevante para la mitad del período Desplácese hacia abajo para obtener información después de la información para la primera mitad del período

Información sobre la primera mitad del período

CONTENIDO: El parcial será un examen de 50 minutos, similar en naturaleza a los exámenes de práctica, ver más abajo. Tendrá 10 minutos adicionales para escanear y cargar el examen (consulte los detalles a continuación). Es su responsabilidad cargar su examen a tiempo (¡10 minutos es mucho tiempo!). Si no lo hace a tiempo, terminará con una multa grave incluso si nos lo envía por correo electrónico poco después de la hora. .

REGLAS: Será un examen de libro abierto: se le permitirá consultar el libro de texto, sus propias notas o tareas previas, y las notas publicadas en Canvas o en mi página web por mí o por los TA, pero no se pueden utilizar otros recursos. En particular, no puede utilizar ningún recurso en línea, ningún otro material impreso (como manuales de soluciones) o cualquier forma de calculadora (¡toda la aritmética en el examen será fácil!) Y no debe comunicarse de ninguna manera con nadie más durante el examen. Se le pedirá que escriba, firme y envíe con su trabajo una declaración que certifique que ha cumplido con las regulaciones. Las infracciones de las reglas se informarán a la oficina de Integridad Académica.

INFORMACIÓN TÉCNICA: El examen se presentará a través de Gradescope en una forma similar a una tarea asignada, excepto que será cronometrada. Cuando inicie sesión en Gradescope, podrá ver (y / o descargar) una copia en pdf del examen. Debe escribir sus respuestas en su propio papel, escanearlas y cargarlas en Gradescope en 60 minutos; eso es 50 minutos de tiempo de examen oficial, más 10 minutos de tiempo de carga. (Asigne las páginas correspondientes a las preguntas, tal como lo hace con la tarea).

FECHA Y HORA: El examen se llevará a cabo durante el horario normal de clases: 1-1.50 pm miércoles 27 de enero PT. Los estudiantes que actualmente viven en diferentes zonas horarias para quienes el horario sería muy inconveniente deben comunicarse conmigo sobre la posibilidad de tomar el examen en otro momento antes del domingo 24 de enero. Si lo hace, indique dónde vive actualmente. Solo los estudiantes que hayan sido aprobados antes del examen pueden realizarlo en otro momento.

Información sobre la segunda mitad del período

REGLAS E INFORMACIÓN TÉCNICA: Se aplican las mismas reglas que para el primer parcial. Lea la información publicada arriba.

FECHA Y HORA: El examen se llevará a cabo durante el horario normal de clases: 1-1.50 pm miércoles 24 de febrero PT. Los estudiantes que actualmente viven en diferentes zonas horarias para quienes el horario sería muy inconveniente deben comunicarse conmigo sobre la posibilidad de tomar el examen en otro momento antes del lunes 22 de febrero. Si lo hace, indique dónde vive actualmente. Solo los estudiantes que hayan sido aprobados antes del examen pueden realizarlo en otro momento.

Por favor ignore cualquier cosa debajo de estas líneas

Información sobre el semestre:

Información sobre la segunda mitad del período:

Final Se aplican las mismas reglas para la final que para los exámenes parciales: sin hojas de trucos, sin notas, sin calculadoras. El material recorre todos los apartados cubiertos en clase, hasta incluir el apartado 9.5. No es necesario que estudie las pruebas siempre que pueda resolver todos los problemas de tarea asignados y los problemas de práctica. También debe repasar los viejos problemas de mitad de período. Asegúrese de comprender las soluciones.

Horas especiales de oficina: Domingo, 3/13: 2-4pm Traiga su identificación de estudiante para que pueda ingresar al edificio APM.


Fórmula de Taylor

En el blog de hoy, repasaré la Fórmula de Taylor. Este es un teorema que se puede utilizar para establecer la serie de Taylor y la serie de MacLaurin que utilizo en mi prueba de la identidad de Euler.

Si no está familiarizado con funciones continuas o intervalos cerrados, comience aquí.

Si desea una revisión de los derivados, comience aquí.

Sea f (x) una función continua sobre el intervalo cerrado [a, b] que tiene una derivada (n + 1) a la que hace referencia f (n + 1) (x) donde n es un número entero positivo.

f (b) = f (a) + f '(a) (b-a) +. + [f (n) (a) / n!] (b-a) n + [f (n + 1) (z) / (n + 1)!] (b-a) n + 1)

para algún número z que se encuentra entre ay b.

(1) Sea H = f (b) - f (a) - f '(a) (b-a) - [f' '(a) / 2!] (B-a) 2 -. - [f (n) (a) / n!] (b-a) n

(3) Sea g (x) una función tal que:
g (x) = f (segundo) - f (x) - f '(x) (segundo-x) - [f' '(x) / 2!] (segundo-x) 2 -. - [f (n) (x) / n!] (segundo-x) norte - K (segundo-x) norte + 1

(4) Podemos ver que g (x) es una función continua ya que:

(a) f (x) es continua sobre [a, b] por lo dado.

(b) f (n) es una función continua ya que por lo dado sabemos que f (x) tiene una derivada (n + 1) y como f (x) es derivable en x, entonces es continua en x (ver aquí )

(c) (b-x) n es continua sobre [a, b] ya que f (x) es continua ya que:

h (x) es continua, ya que es la suma de dos funciones continuas i (x) = by j (x) = - x [Ver aquí la prueba de la ley de la adición]

(b-x) n es continua por la ley de multiplicación [ver aquí la prueba de la ley de multiplicación]

(segundo-x) norte = (segundo - x) * (segundo-x) *. ya que n es un número entero positivo.

(d) f (b) es continua ya que es una constante. (Mira aquí)

(e) Cada f (n) (x) / n! es continua ya que (-1 / n!) se puede pensar como una función constante h (x) = (- 1 / n!) y la multiplicación de dos funciones continuas es en sí misma continua (ver aquí)

(f) Finalmente, g (x) es continua porque la suma de un conjunto de funciones continuas es en sí misma continua (ver aquí)

(5) Podemos ver que g (a) = 0 ya que:

sol (a) = H - H / (b-a) n + 1 * (b-a) n + 1 = H - H = 0

(6) También podemos ver que g (b) = 0 ya que:

g (segundo) = f (segundo) - f (segundo) - f '(segundo) (segundo-segundo) - [f' '(segundo) / 2!] (segundo-segundo) 2 -. - [f (n) (segundo) / n!] (segundo-segundo) norte - K (segundo-segundo) n + 1

(7) Por el teorema de Rolle, dado que g (x) es continua en [a, b], sabemos que existe un valor z tal que z & # 8712 [a, b] y g '(z) = 0. [Vea aquí el teorema de Rolle]

(8) Si diferenciamos en g (x), obtenemos:
g '(x) = -f' (x) + f '(x) -f (2) (x) (segundo) + f (2) (x) (segundo) - (1/2!) f (3 ) (x) (segundo) 2 + (1/2!) f (3) (x) (segundo) 2 - (1/3!) f (4) (x) (segundo) 3 +. + [1 / (n-1)!] F (n) (x) (bx) n-1 - (1 / n!) F (n + 1) (x) (bx) n + (n + 1) K (bx) n ya que:

(a) sol (x) = f (b) - f (x) - f '(x) (b-x) - [f' '(x) / 2!] (b-x) 2 -. - [f (n) (x) / n!] (segundo-x) norte - K (segundo-x) norte + 1

(b) Por el Lema 3 aquí, podemos diferenciar cada producto individual en la suma.

(c) f (b) es una constante por lo que d / dx (f (b)) = 0 [Ver aquí la regla de la constante]

(d) d / dx (-f (x)) = -f '(x) [Vea aquí para más detalles]

(e) d / dx [-f '(x) (bx)] = -f' '(x) (bx) - f' (x) (- 1) = f '(x) -f' '(x ) (bx) [Consulte aquí la regla del producto]

(f) d / dx [(- f '' (x) / 2!) (bx) 2] = (-f (3) (x) / 2!) (bx) 2 + [-f '' (x ) / 2!] (2) (bx) (- 1)] =
= (-f (3) / 2!) (b-x) 2 + f '' (x) (b-x) [Ver aquí la regla de potencia generalizada]

(g) d / dx ([- f (n) (x) / n!] (bx) n) = (-f (n + 1) (x) / n!) (bx) n + [-f ( n) (n) / n!] (n) (segundo) n-1 * (- 1) =
= (-f (n + 1) (x) / n!) (b-x) n + [f (n) / (n-1)!] (b-x) n-1

(h) Dado que K es una constante
d / dx (-K (segundo-x) norte + 1) = (norte + 1) (- K) (segundo-x) norte (-1) = (norte + 1) K (segundo-x) norte

(9) Vemos que la mayoría de los términos se cancelan y obtenemos:
g '(x) = (norte + 1) K (segundo-x) norte - (1 / norte!) f (norte + 1) (x) (segundo-x) norte

(10) Aplicando el hecho de que g '(z) = 0 del paso # 7 nos da:
g '(z) = (n + 1) K (segundo-z) norte - (1 / norte!) f (norte + 1) (z) (segundo-z) norte = 0

(11) Podemos dividir ambos lados por (b-z) n para obtener:
(n + 1) K - (1 / n!) f (n + 1) (z) = 0

(12) Ahora podemos reorganizar (# 11) para obtener:
K = [(1 / n!) F (n + 1) (z)] / (n + 1) = [f (n + 1) (z)] / (n + 1)!

(13) Ahora, usando (# 12) y (# 3) con x = a, obtenemos:
g (a) = 0 = f (b) - f (a) - f '(a) (b-a) - [f' '(a) / 2!] (b-a) 2 -. - [f (n) (a) / n!] (b-a) n - [(b-a) n + 1] [f (n + 1) (z) / (n + 1)!]

(14) Ahora, si nos movemos sobre todos los elementos después de f (b), obtenemos:
f (segundo) = f (a) + f '(a) (b-a) + [f' '(a) / 2!] (b-a) 2 +. + [f (n) (a) / n!] (b-a) n + [(b-a) n + 1] [f (n + 1) (z) / (n + 1)!]


11.12: Teorema de Taylor - Matemáticas

Sabemos que la fórmula para la expansión de la serie de Taylor se escribe como:

Ahora, si ponemos a = 0 en esta fórmula, obtendremos la fórmula para la expansión de la serie de Maclaurin. T
La expansión de la serie hus Maclaurin puede estar dada por la fórmula & # 8211

  1. Funcion exponencial :

    Diferenciando n veces,
    Entonces obtenemos
    Por lo tanto
  2. f (x) = cos x
    …..
  3. f (x) = sen x
  4. f (x) = (ax + b) ^ m
  5. f (x) = ln (1 + x)
  6. f (x) = ln (1-x)

Ejemplo 1:
Encuentre los primeros siete términos de f (x) = ln (sec x).

Explicacion:


Diferenciando w.r.t. X,







Así obtenemos la serie Maclaurin como & # 8211


Ejemplo 2:
Evalúe la serie de Maclaurin para tan x.

Explicacion:






Así obtenemos la serie Maclaurin como & # 8211

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149. Aplicaciones del teorema de Taylor a máximos y mínimos

A. Máximos y mínimos. El teorema de Taylor se puede aplicar para dar mayor completitud teórica a las pruebas del cap. VI, §§ 122-123, aunque los resultados no tienen mucha importancia práctica. Se recordará que, asumiendo que ( phi (x) ) tiene derivadas de los dos primeros órdenes, declaramos que las siguientes condiciones son suficientes para un máximo o mínimo de ( phi (x) ) en (x = xi ): por un máximo, ( phi '( xi) = 0 ), ( phi & # 8221 ( xi) & lt 0 ) por un mínimo, ( phi '( xi) = 0 ), ( phi & # 8221 ( xi) & gt 0 ). Es evidente que estas pruebas fallan si ( phi & # 8221 ( xi) ) y ( phi '( xi) ) es cero.

Supongamos que las primeras (n ) derivadas [ phi '(x), quad phi & # 8221 (x), dots, quad phi ^ <(n)> (x) ] son continuos, y que todos excepto el último se desvanecen cuando (x = xi ). Entonces, para valores suficientemente pequeños de (h ), [ phi ( xi + h) & # 8211 phi ( xi) = frac<>> phi ^ <(n)> ( xi + theta_ h). ] Para que haya un máximo o un mínimo, esta expresión debe ser de signo constante para todos los valores suficientemente pequeños de (h ), positivos o negativos. Evidentemente, esto requiere que (n ) sea par. Y si (n ) es par, habrá un máximo o un mínimo según ( phi ^ <(n)> ( xi) ) sea negativo o positivo.

Así obtenemos la prueba: si ha de haber un máximo o un mínimo, la primera derivada que no se desvanece debe ser una derivada par, y habrá un máximo si es negativo, un mínimo si es positivo.

1. Verifique el resultado cuando ( phi (x) = (x & # 8211 a) ^), (m ) es un número entero positivo y ( xi = a ).

2. Pruebe la función ((x & # 8211 a) ^ (x & # 8211 b) ^), donde (m ) y (n ) son números enteros positivos, para máximos y mínimos en los puntos (x = a ), (x = b ). Dibujar gráficas de las diferentes formas posibles de la curva (y = (x & # 8211 a) ^ (x & # 8211 b) ^) .

3. Pruebe las funciones ( sin x & # 8211 x ), ( sin x & # 8211 x + dfrac> <6> ), ( sin x & # 8211 x + dfrac> <6> & # 8211 dfrac> <120> ),…, ( cos x & # 8211 1 ), ( cos x & # 8211 1 + dfrac> <2> ), ( cos x & # 8211 1 + dfrac> <2> & # 8211 dfrac> <24> ),… para máximos o mínimos en (x = 0 ).


Álgebra 21/11/12

Necesitará papel cuadriculado para completar este proyecto.
Para ver cómo graficar líneas, consulte la publicación de Álgebra del 19/11/12

Geometría 21/11/12

  • El nombre de cada pirata se corresponde con una letra en el mapa A = Alph onse, B = Beumont, etc.
  • Tenga en cuenta que el norte está directamente hacia arriba, el sur hacia abajo, el este a la derecha y el oeste a la izquierda.
  • Para medir un ángulo --- Si Alphonse está midiendo el ángulo, entonces A es el vértice
  • Mire lo que se dio en el problema y decida si puede crear un triángulo congruente usando SSS, SAS, ASA o SAA (recuerde, ASS NO funciona !!)
  • Si ninguno de los teoremas / postulados de congruencia funciona, marque DOS lugares donde podría estar el tesoro (muestre los dos triángulos que pueden formarse con la información dada)

Ingeniería Matemáticas I Notas y solución para el primer año de BTech

Este es un tema en línea sobre soluciones inteligentes y notas sobre ingeniería matemática para estudiantes de primer año de BTech.

I: Ecuaciones diferenciales ordinarias:

Conceptos básicos y definiciones de ecuaciones diferenciales de primer orden Formación de ecuaciones diferenciales solución de
ecuaciones diferenciales: variable separable, homogénea, ecuaciones reducibles a forma homogénea, ecuación diferencial exacta, ecuaciones reducibles a forma exacta, ecuación diferencial lineal, ecuaciones reducibles a forma lineal (ecuación de Bernoulli) trayectorias ortogonales, aplicaciones de ecuaciones diferenciales.

II: Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden y de orden superior

Ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes operadores diferenciales solución de ecuaciones homogéneas Ecuación de Euler-Cauchy dependencia e independencia lineal Wronskian Solución de ecuaciones no homogéneas: solución general, función complementaria, solución integral particular por variación de parámetros coeficientes indeterminados aplicaciones de ecuaciones lineales homogéneas de orden superior .

III: Cálculo diferencial (dos y tres variables)

Teorema de Taylor, máximos y mínimos, multiplicadores de Lagrange

IV: Matrices, determinantes, sistema lineal de ecuaciones

Conceptos básicos de un álgebra de matrices tipos de matrices Espacio vectorial, subespacio, base y dimensión, lineal el sistema de ecuaciones consistencia de sistemas lineales el rango de una matriz eliminación de Gauss la inversa de una matriz por el método de Gauss Jordan dependencia lineal y independencia, transformación lineal transformación inversa aplicaciones de matrices determinantes regla de Cramer.

V: Problemas de valores de matriz-Eigen

Autovalores, autovectores, teorema de Cayley Hamilton, base, matrices complejas forma cuadrática Hermitian, SkewHermitian formas matrices similares diagonalización de matrices transformación de formas a eje principal (sección cónica).


Ver el vídeo: Taylor Theorem Proof (Septiembre 2021).