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5.5: Otras opciones para encontrar derivadas algebraicas - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

En esta sección, nos esforzamos por comprender las ideas generadas por las siguientes preguntas importantes:

  • ¿Cómo permite el método de las fracciones parciales antidiferenciar cualquier función racional?
  • ¿Qué papel han jugado históricamente las tablas de integrales en el estudio del cálculo y cómo se puede usar una tabla para evaluar integrales como R √ a 2 + u 2 du?
  • ¿Qué papel puede desempeñar un sistema de álgebra computacional en el proceso de encontrar antiderivadas?

En las secciones anteriores, hemos aprendido dos técnicas de antidiferenciación muy específicas: sustitución en U e integración por partes. El primero se utiliza para revertir la regla de la cadena, mientras que el segundo para revertir la regla del producto. Pero hemos visto que cada uno solo funciona en circunstancias muy especializadas. Por ejemplo, mientras que R xex 2 dx puede evaluarse por sustitución de u y R xex dx por integración por partes, ninguno de los métodos proporciona una ruta para evaluar R e x 2 dx. Ese hecho no es un defecto particular de estas dos técnicas de antidiferenciación, ya que resulta que no existe una antiderivada algebraica elemental para e x 2. Dicho de otra manera, no importa qué métodos de antidiferenciación podamos desarrollar y aprender a ejecutar, ninguno de ellos podrá proporcionarnos una fórmula simple que no involucre integrales para una función F (x) que satisfaga F 0 (x) = ex 2. En esta sección del texto, nuestros principales objetivos son comprender mejor algunas clases de funciones que siempre pueden ser antidiferenciadas, así como aprender algunas opciones para hacerlo. Al mismo tiempo, queremos reconocer que hay muchas funciones para las que no existe una fórmula algebraica para una antiderivada, y también apreciar el papel que puede jugar la tecnología informática para ayudarnos a encontrar antiderivadas de otras funciones complicadas. En todo momento, es útil recordar lo que hemos aprendido hasta ahora: cómo revertir la regla de la cadena mediante la sustitución en U, cómo revertir la regla del producto mediante la integración por partes y que, en general, hay problemas sutiles y desafiantes que abordar al intentar para encontrar antiderivadas.

Actividad de vista previa ( PageIndex {1} ):

Para cada una de las integrales indefinidas a continuación, la pregunta principal es decidir si la integral se puede evaluar usando sustitución u, integración por partes, una combinación de las dos o ninguna. Para las integrales para las que su respuesta es afirmativa, indique las sustituciones que usaría. No es necesario evaluar realmente ninguna de las integrales por completo, a menos que la integral pueda evaluarse inmediatamente usando una antiderivada básica familiar.

  1. Z x 2 sin (x 3) dx, Z x 2 sin (x) dx, Z sin (x 3) dx, Z x 5 sin (x 3) dx
  2. Z 1 1 + x 2 dx, Z x 1 + x 2 dx, Z 2x + 3 1 + x 2 dx, Z e x 1 + (e x) 2 dx,
  3. Z x ln (x) dx, Z ln (x) x dx, Z ln (1 + x 2) dx, Z x ln (1 + x 2) dx,
  4. Z x √ 1 - x 2 dx, Z 1 √ 1 - x 2 dx, Z x √ 1 - x 2 dx, Z 1 x √ 1 - x 2 dx, ./

El método de las fracciones parciales

El método de fracciones parciales se utiliza para integrar funciones racionales y, esencialmente, implica invertir el proceso de encontrar un denominador común. Por ejemplo, supongamos que tenemos la función R (x) = 5x x 2 − x − 2 y queremos evaluar Z 5x x 2 - x - 2 dx. Pensando algebraicamente, si factorizamos el denominador, podemos ver cómo R podría provenir de la suma de dos fracciones de la forma A x − 2 + B x + 1. En particular, suponga que 5x (x - 2) (x + 1) = A x - 2 + B x + 1. Multiplicando ambos lados de esta última ecuación por (x - 2) (x + 1), encontramos que 5x = A (x + 1) + B (x - 2). Dado que queremos que esta ecuación sea válida para cada valor de x, podemos usar opciones perspicaces de valores x específicos para ayudarnos a encontrar A y B. Tomando x = −1, tenemos 5 (−1) = A (0) + B (−3), y por tanto B = 5 3. Al elegir x = 2, sigue 5 (2) = A (3) + B (0), entonces A = 10 3. Por lo tanto, ahora sabemos que Z 5x x 2 - x - 2 dx = Z 10/3 x - 2 + 5/3 x + 1 dx.

Esta expresión integral equivalente es sencilla de evaluar y, por lo tanto, encontramos que Z 5x x 2 - x - 2 dx = 10 3 ln | x - 2 | + 5 3 ln | x + 1 | + C. Resulta que para cualquier función racional R (x) = P (x) Q (x) donde el grado del polinomio P es menor que 7 el grado del polinomio Q, el método de fracciones parciales se puede utilizar para reescriba la función racional como una suma de funciones racionales más simples de una de las siguientes formas: A x - c, A (x - c) n, o Ax + B x 2 + k donde A, B y c son números reales, y k es un número real positivo. Debido a que cada una de estas formas básicas es una que podemos antidiferenciar, las fracciones parciales nos permiten antidiferenciar cualquier función racional. Se puede usar un sistema de álgebra computarizado como Maple, Mathematica o WolframAlpha para encontrar la descomposición de fracciones parciales de cualquier función racional. En WolframAlpha, ingresar la fracción parcial 5x / (xˆ2-x-2) da como resultado la salida 5x x 2 - x - 2 = 10 3 (x - 2) + 5 3 (x + 1). Utilizaremos principalmente tecnología para generar descomposiciones de fracciones parciales de funciones racionales, y luego trabajaremos desde allí para evaluar las integrales de interés usando métodos establecidos.

Actividad ( PageIndex {2} ):

Para cada uno de los siguientes problemas, evalúe la integral utilizando la descomposición de fracciones parciales proporcionada.

  1. Z 1 x 2 - 2x - 3 dx, dado que 1 x 2−2x − 3 = 1/4 x − 3-1 / 4 x + 1
  2. Z x 2 + 1 x 3 - x 2 dx, dado que x 2 + 1 x 3 − x 2 = - 1 x - 1 x 2 + 2 x − 1
  3. Z x - 2 x 4 + x 2 dx, dado que x − 2 x 4 + x 2 = 1 x - 2 x 2 + −x + 2 1 + x 2 C

Si el grado de P es mayor o igual que el grado de Q, se puede usar la división larga para escribir R como la suma de un polinomio más una función racional donde el grado del numerador es menor que el del denominador.

Usando una tabla integral

El cálculo tiene una larga historia, con ideas clave que se remontan a los matemáticos griegos en 400-300 a. C. Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz investigaron y entendieron sus fundamentos principales por primera vez de forma independiente a fines del siglo XVII, lo que hace que las ideas modernas del cálculo tengan más de 300 años. Es instructivo darse cuenta de que hasta finales de la década de 1980, la computadora personal esencialmente no existía, por lo que el cálculo (y otras matemáticas) tuvo que hacerse a mano durante aproximadamente 300 años. Sin embargo, durante los últimos 30 años, las computadoras han revolucionado muchos aspectos del mundo en el que vivimos, incluidas las matemáticas. En esta sección hacemos un breve recorrido histórico para preceder a la siguiente discusión sobre el papel que pueden desempeñar los sistemas de álgebra computacional en la evaluación de integrales indefinidas. En particular, consideramos una clase de integrales que involucran ciertas expresiones radicales que, hasta el advenimiento de los sistemas de álgebra computacional, a menudo se evaluaban usando una tabla de integrales. Como se ve en la tabla corta de integrales que se encuentra en el Apéndice A, también hay muchas formas de integrales que involucran √ a 2 ± w2 y √ w2 - a 2. Estas reglas integrales se pueden desarrollar usando una técnica conocida como sustitución trigonométrica que elegimos omitir; en su lugar, simplemente aceptaremos los resultados presentados en la tabla. Para ver cómo se necesitan y se usan estas reglas, considere las diferencias entre Z 1 √ 1 - x 2 dx, Z x √ 1 - x 2 dx y Z √ 1 - x 2 dx. La primera integral es una básica conocida y da como resultado arcsin (x) + C. La segunda integral se puede evaluar usando una sustitución estándar de u con u = 1 - x 2. El tercero, sin embargo, no es familiar y no se presta a la sustitución de u. En el Apéndice A, encontramos la regla (8) Z √ a 2 - u 2 du = u 2 √ a 2 - u 2 + a 2 2 arcsin ua + C. Usando las sustituciones a = 1 y u = x (de modo que du = dx), se deduce que Z √ 1 - x 2 dx = x 2 √ 1 - x 2 - 1 2 arcsin x + C.Un punto importante a tener en cuenta es que siempre que aplicamos una regla en la tabla, estamos haciendo una sustitución en U Esto es especialmente clave cuando la situación es más complicada que permitir u = x como en el último ejemplo. Por ejemplo, digamos que deseamos evaluar la integral Z √ 9 + 64x 2 dx. Una vez más, queremos usar la Regla (3) de la tabla, pero ahora lo hacemos con a = 3 yu = 8x; también elegimos la opción “+” en la regla. Con esta sustitución, se deduce que du = 8dx, entonces dx = 1 du. Aplicando esta sustitución, Z √ 9 + 64x 2 dx = Z √ 9 + u 2 · 1 8 du = 1 8 Z √ 9 + u 2 du. Por la regla (3), ahora encontramos que Z √ 9 + 64x 2 dx = 1 8 u 2 √ u 2 + 9 + 9 2 ln | u + √ u 2 + 9 | + C = 1 8 8x 2 √ 64x 2 + 9 + 9 2 ln | 8x + √ 64x 2 + 9 | + C. En problemas como este, es fundamental que no olvidemos tener en cuenta el factor de 1 8 que debe estar presente en la evaluación.

Actividad ( PageIndex {3} ):

Para cada una de las siguientes integrales, evalúe la integral usando sustitución de u y / o una entrada de la tabla que se encuentra en el Apéndice A.

  1. Z √ x 2 + 4 dx
  2. Z x √ x 2 + 4 dx
  3. Z 2 √ 16 + 25x 2 dx
  4. Z 1 x 2 √ 49 - 36x 2 dx C

Uso de sistemas informáticos de álgebra

Un sistema de álgebra por computadora (CAS) es un programa de computadora que es capaz de ejecutar matemáticas simbólicas. Para un ejemplo simple, si le pedimos a un CAS que resuelva la ecuación ax2 + bx + c = 0 para la variable x, donde a, byc son constantes arbitrarias, el programa devolverá x = −b ± √ b 2− 4ac 2a. Si bien la investigación para desarrollar el primer CAS data de la década de 1960, estos programas se volvieron más comunes y disponibles públicamente a principios de la década de 1990. Dos ejemplos tempranos prominentes son los programas Maple y Mathematica, que estuvieron entre los primeros sistemas de álgebra computacional en ofrecer una interfaz gráfica de usuario. Hoy en día, Maple y Mathematica son paquetes de software profesional excepcionalmente poderosos que son capaces de ejecutar una asombrosa variedad de sofisticados cálculos matemáticos. También son muy costosos, ya que cada uno es un programa propietario. CAS SAGE es una alternativa gratuita de código abierto a Maple y Mathematica.

Para los propósitos de este texto, cuando necesitemos usar un CAS, vamos a recurrir a una herramienta computacional similar, pero algo diferente, el “motor de conocimiento computacional” basado en la web llamado WolframAlpha. Hay dos características de WolframAlpha que lo distinguen de las opciones de CAS mencionadas anteriormente: (1) a diferencia de Maple y Mathematica, WolframAlpha es gratis (siempre que estemos dispuestos a sufrir por alguna publicidad emergente); y (2) a diferencia de cualquiera de los tres, la sintaxis en WolframAlpha es flexible. Piense en WolframAlpha como si fuera un poco como hacer una búsqueda en Google: el programa interpretará lo que se ingresa y luego proporcionará un resumen de las opciones. Si queremos que WolframAlpha evalúe una integral por nosotros, podemos proporcionarle una sintaxis como integrar xˆ2 dx a lo que el programa responde con Z x 2 dx = x 3 3 + constante. Si bien hay mucho de qué entusiasmarse con respecto a los programas CAS como WolframAlpha, hay varias cosas sobre las que debemos tener cuidado:

  1. un CAS solo responde exactamente a lo que se ingresa;
  2. un CAS puede responder utilizando potentes funciones de matemáticas muy avanzadas; y
  3. hay problemas que incluso un CAS no puede resolver sin una visión humana adicional.

Aunque (1) probablemente no hace falta decirlo, debemos tener cuidado con nuestra entrada: si ingresamos una sintaxis que define una función distinta al problema de interés, el CAS funcionará precisamente con la función que definamos. Por ejemplo, si nos interesa evaluar la integral

[Z 1 16 - 5x 2 dx, ]

e ingresamos por error integrar 1/16 - 5xˆ2 dx, un CAS responderá (correctamente) con 1 16 x - 5 3 x 3. Es esencial que estemos lo suficientemente versados ​​en antidiferenciación para reconocer que esta función no puede ser la que buscamos: integrando una función racional como 1 16−5x 2, esperamos que la función logaritmo esté presente en el resultado. Con respecto a (2), incluso para una integral relativamente simple como R 1 16−5x 2 dx, algunos CAS invocarán funciones avanzadas en lugar de simples. Por ejemplo, si usamos Maple para ejecutar el comando int (1 / (16-5 * xˆ2), x); el programa responde con Z 1 16 - 5x 2 dx = √ 5 20 arctanh (√ 5 4 x). Si bien esto es correcto (salvo por la constante arbitraria faltante, que Maple nunca informa), la función tangente hiperbólica inversa no es común ni familiar; Se puede encontrar una forma más sencilla de expresar esta función utilizando el método de fracciones parciales, y resulta ser el resultado informado por WolframAlpha:

[Z 1 16 - 5x 2 dx = 1 8 √ 5 log (4 √ 5 + 5 √ x) - log (4 √ 5-5 √ x) + constante. ]

El uso de funciones sofisticadas de matemáticas más avanzadas es a veces la forma en que un CAS le dice al usuario: "No sé cómo resolver este problema". Por ejemplo, si queremos evaluar Z e −x 2 dx, y le pedimos a WolframAlpha que lo haga, la entrada integra exp (-xˆ2) dx da como resultado la salida

[Z e −x 2 dx = √ π 2 erf (x) + constante. ]

La función "erf (x)" es la función de error, que en realidad está definida por una integral:

[erf (x) = 2 √ π Z x 0 e −t 2 dt. ]

Entonces, al producir un resultado que involucra una integral, el CAS básicamente nos ha informado la misma pregunta que hicimos. Finalmente, como se señaló en (3) arriba, hay ocasiones en las que un CAS fallará sin alguna percepción humana adicional. Si consideramos la integral

[Z (1 + x) e x √ 1 + x 2e 2x dx ]

y pedirle a WolframAlpha que evalúe

[int (1 + x) * exp (x) * sqrt (1 + xˆ2 * exp (2x)) dx, ]

el programa piensa por un momento y luego informa (no se encontró ningún resultado en términos de funciones matemáticas estándar). Pero, de hecho, esta integral no es tan difícil de evaluar. Si dejamos u = xex, entonces du = (1 + x) ex dx, lo que significa que la integral anterior tiene la forma Z (1 + x) ex √ 1 + x 2e 2x dx = Z √ 1 + u 2 du, que es sencillo de evaluar para cualquier CAS. Entonces, las observaciones anteriores con respecto a los sistemas de álgebra computarizada nos llevan a proceder con cierta cautela: mientras que cualquier CAS es capaz de evaluar una amplia gama de integrales (tanto definidas como indefinidas), hay ocasiones en las que el resultado puede inducirnos a error. Debemos pensar cuidadosamente sobre el significado de la salida, si es consistente con lo que esperamos y si tiene sentido o no continuar.

Resumen

En esta sección, encontramos las siguientes ideas importantes:

  • El método de fracciones parciales permite antidiferenciar cualquier función racional, porque cualquier función polinomial puede factorizarse en un producto de términos cuadráticos lineales e irreducibles. Esto permite que cualquier función racional se escriba como la suma de un polinomio más términos racionales de la forma A (x − c) n (donde n es un número natural) y Bx + C x 2 + k (donde k es un número real positivo número).
  • Hasta el desarrollo de los sistemas informáticos de álgebra, las tablas de integrales permitieron a los estudiantes de cálculo evaluar más fácilmente integrales como R √ a 2 + u 2 du, donde a es un número real positivo. En el Apéndice A se puede encontrar una breve tabla de integrales.
  • Los sistemas de álgebra computarizada pueden desempeñar un papel importante en la búsqueda de antiderivadas, aunque debemos tener cuidado de usar la entrada correcta, estar atentos a funciones avanzadas inusuales o desconocidas que el CAS pueda citar en su resultado y considerar la posibilidad de que un CAS pueda necesitar más asistencia o conocimiento de nuestra parte para responder a una pregunta en particular.

Matemáticas: análisis y enfoques de amplificación

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Sí, la suavidad es equivalente a que el gradiente sea distinto de cero por cada $ x in overline < mathbb F> _q ^ n setminus <0 > $.

Definiría la suavidad de la hipersuperficie definida por $ Q_d $ como la condición de que para cada $ x $, el gradiente o el valor de $ Q_d $ en $ x $ sea distinto de cero, pero como puede observar, por la homogeneidad y el hecho que $ d $ es primo de $ p $, si el valor es distinto de cero, entonces el gradiente es distinto de cero.

Verificar $ overline < mathbb F> _q $ y no $ mathbb F_q $ es realmente necesario.

Por ejemplo, fije una base para la extensión del campo $ mathbb F_$, dando una biyección entre $ mathbb F_$ y $ mathbb F_q $. El mapa de normas que envía cada elemento de $ mathbb F_$ al determinante sobre $ mathbb F_q $ de su acción de multiplicación en $ mathbb F_$ se puede expresar como un polinomio de grado $ n $ en las coordenadas $ n $. Establezca $ d = n $ y $ Q_ = Q_d = $ este polinomio. Entonces, debido a que la norma es un homomorfismo sobreyectivo de grupos multiplicativos, hay $ frac$ elementos de la norma $ a $ para cada $ a in mathbb F_q ^ times $, entonces $ sum_ psi (Q (x)) = sum_> psi ( nombre de operador(x)) = 1 + frac suma_ psi (x) = 1 - frac $ que no satisface el límite de Deligne para $ n & gt2 $ y $ q $ large.

Sin embargo, $ Q_d $ nunca desaparece en ningún $ x in mathbb F_q ^ n $ y, por lo tanto, tampoco su gradiente. ¡Así que comprobar el cierre algebraico es realmente necesario!

Puede evitar trabajar sobre el cierre algebraico solo mediante el uso de definiciones que impliquen la verificación punto por punto. Por ejemplo, la suavidad es equivalente a la afirmación de que el ideal generado por $ Q_d $ y $ frac < partial Q_d> < partial x_i> $ para todo $ i $ contiene $ x_1 ^ N, dots, x_n ^ N $ por unos $ N $.

Tiene razón en que no queremos pasar al conjunto de fuga de $ Q_d $ y luego al ideal; solo queremos ver $ Q_d $ en sí mismo y si satisface la condición de gradiente. La desaparición esquema de $ Q_d $ es sensible a tomar poderes en este sentido, por lo que esto se conoce como una condición de suavidad en la hipersuperficie en lugar de una condición de suavidad en $ Q_d $. Si lo desea, esto equivale a la suavidad del conjunto que se desvanece más el hecho de que $ Q_d $ no es divisible por el cuadrado de un polinomio no trivial.

De hecho, es cierto que si el gradiente de $ Q_d $ no desaparece en ninguna parte sobre $ mathbb C ^ n setminus <0 > $, entonces no desaparece en ninguna parte en $ overline < mathbb F> _p ^ n setminus <0 > $ para todos menos para un número finito de $ p $. Lo mismo es cierto para cualquier campo algebraicamente cerrado de característica cero.

La prueba en realidad no requiere un esquema allí. Aquí hay dos enfoques:

(1) Por el Nullstellensatz, esto implica que el ideal generado $ frac < parcial Q_d> < parcial x_1>, puntos, frac < parcial Q_d> < parcial x_n> $ contiene una potencia del ideal $ (x_1, dots, x_n) $ y en particular contiene $ x_1 ^ N, dots, x_n ^ N $ por unos $ N $. Entonces, alguna combinación $ mathbb C [x_1, dots, x_n] $ -linear de esas derivadas es igual a $ x_1 ^ N $, alguna combinación lineal es $ x_2 ^ N $, etc.

Podemos elegir un mapa lineal $ mathbb C to mathbb Q $ cuya composición con $ mathbb Q to mathbb C $ es la identidad. (De hecho, solo necesitamos hacer esto para el subconjunto de dimensión finita de $ mathbb C $ generado por los coeficientes de la combinación lineal). Reemplazar los coeficientes de todos los polinomios en $ mathbb C [x_1, dots, x_n ] $ en este mapa, vemos que alguna combinación $ mathbb Q [x_1, dots, x_n] $ -linear de esas derivadas es igual a $ x_1 ^ N $, y así sucesivamente.

Borrando denominadores, vemos que hay un número natural $ M $ tal que alguna combinación $ mathbb Z [x_1, dots, x_n] $ -lineal de esas derivadas es igual a $ M x_1 ^ N $, $ mathbb Z [x_1, dots, x_n] $ -la combinación lineal de esas derivadas es igual a $ M x_2 ^ N $, y así sucesivamente.

Se sigue para todos los $ p $ que no dividen $ M $ que, si $ x_1, dots, x_n in overline < mathbb F> _p $ no son todos cero, entonces una de estas derivadas no se desvanece, como se desea.

(2) Existe un polinomio universal, el discriminante, en los coeficientes de un polinomio homogéneo $ f $ de grado $ d $, que desaparece si y solo si las derivadas de $ f $ desaparecen todas en algún punto distinto de cero sobre un punto algebraicamente cerrado campo de característica que no divide $ d $. Esto se puede obtener como la resultante de Macauley de las derivadas parciales de $ f $.

Si la condición de no extinción se mantiene por encima de $ mathbb C $, entonces el discriminante es distinto de cero, por lo que es un mod $ p $ distinto de cero para todos menos para un número finito de $ p $, por lo que la condición de no extinción es válida para todos menos para un número finito de $ p $.


5.5: Otras opciones para encontrar derivadas algebraicas - Matemáticas

En un modelo de Simulink & # x00AE, un bucle algebraico ocurre cuando existe un bucle de señal con solo bloques de alimentación directa dentro del bucle. Alimentación directa significa que Simulink necesita el valor de la señal de entrada del bloque para calcular su salida en el intervalo de tiempo actual. Dicho bucle de señal crea una dependencia circular de las salidas y entradas del bloque en el mismo intervalo de tiempo. Esto da como resultado una ecuación algebraica que debe resolverse en cada paso de tiempo, lo que agrega un costo computacional a la simulación.

Algunos ejemplos de bloques con entradas de alimentación directa son:

State-Space, cuando el coeficiente de la matriz D es distinto de cero

Transferir Fcn, cuando el numerador y el denominador son del mismo orden

Polo cero, cuando el bloque tiene tantos ceros como polos

Alimentación directa no directa los bloques mantienen una variable de estado. Dos ejemplos son Integrator y Unit Delay.

Para determinar si un bloque tiene alimentación directa, lea el Caracteristicas sección de la página de referencia del bloque.

La figura muestra un ejemplo de un ciclo algebraico. El bloque Sum es una variable algebraica Xa que está restringido a ser igual a la primera entrada tu menos Xa (por ejemplo, Xa = tuXa ).

La solución de este simple bucle es Xa = tu/2 .

Interpretación Matemática

Simulink contiene un conjunto de solucionadores numéricos para simular ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), que son sistemas de ecuaciones que puede escribir como

dónde X es el vector de estado y t es la variable de tiempo independiente.

Algunos sistemas de ecuaciones contienen restricciones adicionales que involucran la variable independiente y el vector de estado, pero no la derivada del vector de estado. Tales sistemas se llaman ecuaciones algebraicas diferenciales (DAE),

El termino algebraico se refiere a ecuaciones que no involucran derivadas. Puede expresar DAE que surgen en ingeniería en forma semi-explícita

x ˙ = f (x, x a, t) 0 = g (x, x a, t),

F y gramo pueden ser funciones vectoriales.

La primera ecuación es la ecuación diferencial.

La segunda ecuación es la ecuación algebraica.

El vector de variables diferenciales es X.

El vector de variables algebraicas es Xa.

En los modelos de Simulink, los bucles algebraicos son restricciones algebraicas. Los modelos con bucles algebraicos definen un sistema de ecuaciones algebraicas diferenciales. Simulink resuelve las ecuaciones algebraicas (el ciclo algebraico) numéricamente para Xa en cada paso del solucionador de ODE.

El modelo de la figura es equivalente a este sistema de ecuaciones en forma semi-explícita:

x ˙ = f (x, x a, t) = x a 0 = g (x, x a, t) = - x + u - 2 x a.

En cada paso del solucionador de ODE, el solucionador de bucles algebraicos debe resolver la restricción algebraica para Xa antes de calcular la derivada x ˙.

Interpretación física

Ocurren al modelar sistemas físicos, a menudo debido a leyes de conservación, como la conservación de masa y energía.

Ocurre cuando elige un sistema de coordenadas particular para un modelo

Ayude a imponer restricciones de diseño en las respuestas del sistema en un sistema dinámico

Utilice Simscape & # x2122 para modelar sistemas que abarcan dominios mecánicos, eléctricos, hidráulicos y otros dominios físicos como redes físicas. Simscape construye los DAE que caracterizan el comportamiento de un modelo. El software integra estas ecuaciones con el resto del modelo y luego resuelve los DAE directamente. Simulink resuelve las variables para los componentes en los diferentes dominios físicos simultáneamente, evitando problemas con los bucles algebraicos.

Bucles algebraicos artificiales

Un bucle algebraico artificial ocurre cuando un subsistema atómico o un bloque de modelo hace que Simulink detecte un bucle algebraico, aunque el contenido del subsistema no contenga un paso directo de la entrada a la salida. Cuando crea un subsistema atómico, todos los bloques de Inport son de paso directo, lo que da como resultado un bucle algebraico.

Comience con el modelo incluido, que representa un simple control proporcional de la planta descrito por

que se puede reescribir en forma de espacio de estado como

El sistema no tiene variables algebraicas ni alimentación directa y no contiene un ciclo algebraico.

Modifique el modelo como se describe en los siguientes pasos:

Incluya los bloques Controlador y Planta en un subsistema.

En el cuadro de diálogo del subsistema, seleccione Tratar como unidad atómica para hacer que el subsistema sea atómico.

En el Diagnósticos panel de los Parámetros de configuración del modelo, establezca el Bucle algebraico parámetro al error.

Al simular este modelo, se produce un bucle algebraico porque el subsistema es de paso directo, aunque la ruta dentro del subsistema atómico no es de paso directo. La simulación se detiene con un error de bucle algebraico.

Cómo funciona el solucionador de bucles algebraicos

Cuando un modelo contiene un ciclo algebraico, Simulink usa un solucionador no lineal en cada paso de tiempo para resolver el ciclo algebraico. El solucionador realiza iteraciones para determinar la solución a la restricción algebraica, si la hay. Como resultado, los modelos con bucles algebraicos pueden funcionar más lentamente que los modelos sin bucles algebraicos.

Simulink utiliza un algoritmo de región de confianza dogleg para resolver bucles algebraicos. La tolerancia utilizada es menor que la del solucionador de ODE Reltol y Abstol. Esto se debe a que Simulink utiliza el "método ODE explícito" para resolver ecuaciones algebraicas diferenciales (DAE) del índice 1.

Para que funcione el solucionador de bucles algebraicos,

Debe haber un bloque donde el solucionador de bucles pueda romper el bucle e intentar resolver el bucle.

El modelo debería tener señales dobles reales.

La restricción algebraica subyacente debe ser una función suave

Por ejemplo, suponga que su modelo tiene un bloque Suma con dos entradas: una aditiva y la otra sustractiva. Si alimenta la salida del bloque Sum a una de las entradas, crea un bucle algebraico donde todos los bloques incluyen alimentación directa.

El bloque Sum no puede calcular la salida sin conocer la entrada. Simulink detecta el bucle algebraico y el solucionador de bucle algebraico resuelve el bucle mediante un bucle iterativo. En el ejemplo del bloque Sum, el software calcula el resultado correcto de esta manera:

Xa(t) = tu(t) / 2.(1)

El solucionador de bucles algebraicos utiliza un método de búsqueda basado en gradientes, que requiere primeras derivadas continuas de la restricción algebraica que corresponden al bucle algebraico. Como resultado, si el ciclo algebraico contiene discontinuidades, el solucionador de ciclos algebraicos puede fallar.

Algoritmos de búsqueda de línea y región de confianza en el solucionador de bucles algebraicos

El solucionador de bucles algebraicos de Simulink utiliza uno de dos algoritmos para resolver bucles algebraicos:

De forma predeterminada, Simulink elige el mejor solucionador de bucles algebraicos y puede cambiar entre los dos métodos durante la simulación. Para habilitar explícitamente la selección automática del solucionador de bucles algebraicos para su modelo, en la línea de comando MATLAB & # x00AE, ingrese:

Para cambiar al algoritmo de la región de confianza, en la línea de comando de MATLAB, ingrese:

Si el solucionador de bucles algebraicos no puede resolver el bucle algebraico con el algoritmo de la región de confianza, intente simular el modelo utilizando el algoritmo de búsqueda de líneas.

Para cambiar al algoritmo de búsqueda de línea, en la línea de comando de MATLAB, ingrese:

El programa HYBRD1 de Fortran en la Guía del usuario de MINPACK-1 [2]

Powell "Una subrutina de Fortran para resolver sistemas en ecuaciones no lineales", en Métodos numéricos para ecuaciones algebraicas no lineales [ 3 ]

Limitaciones del solucionador de bucles algebraicos

La resolución de bucles algebraicos es un proceso iterativo. El solucionador de bucles algebraicos de Simulink solo tiene éxito si el bucle algebraico converge a una respuesta definida. Cuando el bucle no converge o converge demasiado lentamente, la simulación sale con un error.

El solucionador de bucles algebraicos no puede resolver bucles algebraicos que contengan cualquiera de los siguientes elementos:

Bloques con salidas de valor discreto

Bloques con salidas no dobles o complejas

Implicaciones de los bucles algebraicos en un modelo

Si su modelo contiene un ciclo algebraico:

No puede generar código para el modelo.

Es posible que el solucionador de bucles algebraicos de Simulink no pueda resolver el bucle algebraico.

Mientras Simulink intenta resolver el ciclo algebraico, la simulación puede ejecutarse lentamente.

Para la mayoría de los modelos, el solucionador de bucles algebraico es computacionalmente costoso por primera vez. Simulink resuelve los pasos de tiempo subsiguientes rápidamente porque es un buen punto de partida para Xa está disponible en el paso de tiempo anterior.


Resolver ecuaciones exponenciales con las diferentes bases - Concepto

Carl enseñó matemáticas de nivel superior en varias escuelas y actualmente dirige su propia empresa de tutoría. ¡Apuesta a que nadie puede vencer su amor por las actividades intensivas al aire libre!

A veces se nos dan ecuaciones exponenciales con diferentes bases en los términos. Para resolver estas ecuaciones debemos conocer los logaritmos y cómo usarlos con exponenciación. Podemos acceder a las variables dentro de un exponente en ecuaciones exponenciales con diferentes bases usando logaritmos y la regla de potencia de los logaritmos para deshacerse de la base y tener solo el exponente.

Ahora vamos a hablar sobre cómo resolver ecuaciones exponenciales cuando nuestras bases son diferentes. De acuerdo, aquí tengo una ecuación exponencial y lo que estamos tratando de hacer es resolver x, ¿de acuerdo? Para este problema en particular, sabemos que 8 y 16 comparten la base 2, por lo que podemos reescribir ambos como potencias de 2, por lo que esto se convierte en 2 al cubo a 2x y 16 es 2 a la cuarta a x + 4. Usando las potencias de los logaritmos, multiplica las potencias 2 a 6x es igual a 2 a 4x + 16, nuestras bases son las mismas y entonces podemos establecer nuestros exponentes iguales 6x es igual a 4x + 16, 2x es igual a 16, x es igual a 8. Entonces, cuando nuestras bases tienen al menos una potencia en común, estas son bastante fáciles de resolver, obtienes su base es la misma, por lo que sus exponentes son iguales.
La vida no siempre es tan fácil, ¿de acuerdo? Así que vamos a hablar ahora es cuando tenemos bases que no comparten un poder, ¿de acuerdo? Aquí tenemos 7 y 12, hay 2 formas diferentes de hacerlo bien. La primera forma es con la que quiero que nos sintamos cómodos y es básicamente encontrar una forma de reducir de alguna manera este exponente, ¿de acuerdo? Lo que vamos a utilizar es la regla de potencia de los logaritmos, ¿de acuerdo? Podemos tomar el registro de ambos lados, no importa qué registro hagamos, ya que el tiempo es el mismo, por lo que para este usaré el registro natural, si desea usar el registro base 10, funcionaría bien, así que si toma el registro natural de ambos lados, ¿de acuerdo? Una vez que tenemos un, tomar el registro natural es solo una operación. Puedo sumar 4 a ambos lados que está bien, puedo dividir por 2 en ambos lados que está bien siempre que tomemos el registro natural de ambos lados como cualquier otra cosa, ¿está bien? Entonces, una vez que tenemos el logaritmo natural al frente, podemos llevar este exponente al frente para que lo que realmente tenemos aquí sea x logaritmo natural de 7 es igual al logaritmo natural de 12. Logaritmo natural de 7 es solo un número está bien, es un número feo, es uno que no conocemos, podemos conectarlo a nuestra calculadora y averiguarlo, pero es solo un número, así que podemos dividirlo por eso, ¿de acuerdo? Y lo que terminamos es que x es igual al logaritmo natural de 12 sobre el logaritmo natural de 7, ¿de acuerdo? Esto es lo que simplemente se llama forma preparada para la calculadora porque el registro natural es un registro que podemos poner en nuestra calculadora, por lo que podemos conectar con bastante facilidad el registro natural de 12 sobre el registro natural de 7 para averiguar qué x está bien.
Ir al otro lado, que es una forma en que algunos de ustedes pueden querer, comienza a hacer esto, pero eventualmente vamos a querer hacerlo porque no siempre va a funcionar, ¿está bien? Así que tengo exactamente el mismo problema aquí, ¿de acuerdo? 7x is 7 to the x is equal to 12, if you remember this is called exponential form okay we have 7 to a power is equal to 12 we could fairly easily put this in to logarithmic form by bringing the 7 down around and what we would end up with is x is equal to log base 7 of 12 okay? So now we have log base 7 of 12 we don't know how to evaluate that because log base 7 isn't on our calculator. So what we can do is use the change of base formula in order to put this in our calculator, remember the change of base formula we drop down the base and make its own log so this would end up being x is equal to, could choose our base I'm going to do log base 10 in this case the common log, log base 12 over log base 7, you could do natural log if you wanted to but using our logarithmic form, we were able to get the same exact answer as we did over here just a slightly different form remember the change of base says that these two things are equal, so whenever we're solving exponential equations where our bases aren't the same or we can get them to be the same we have to use logarithms in order to solve them.


Algebra II B

Part A: Which answer choice correctly explains approximately how much Lynton should charge per bike rental to maximize his profit?

Part B: How much will Lynton earn per day if he maximizes his profit?

Part A: What are the zeros to the nearest hundredth?

Part B: What is the solution set for the inequality?

Part A: Will the object reach a height of 20 feet? Why or why not?

Part B: After how many seconds will the object reach the ground?

Which rational equation correctly describes the event in which the Iguanas win y of the remaining games and reach the same winning percentage as the Scorpions?

The second box has a width that is 10 inches narrower than its length, and its height is 4 times longer than its width.

The first box can fit 1500 cubic inches of material inside of it, and twice as much material can fit in the second box.

Janice is keeping track of the height of a bougainvillea bush over time. She tracks its growth for 4 years, at which point the bush has grown 30 feet tall. Janice finds that the height of the bush, h, can be determined using the function h(t)=15t, where t is the time in years since the bush was planted.

Part A: What is the independent variable?

Part B: What is the dependent variable?

Graph of function S of t, which is a cosine function above the x-axis and fluctuates between about 1.3 and 7.2. The x-axis is labeled
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Use the graph to answer the following questions.

Part A: What is the fluctuation of interference, in decibel levels, throughout the morning?

Graph of function A of e, which starts at point (0,10) and decreases as it moves in the positive direction of the x-axis.
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Use the graph to answer the following questions.

Part A: At what point did the metal have the most surface area?

Part A: Which quantity is the independent variable?

Part B: Which quantity is the dependent variable?

Part C: Which graph is scaled appropriately for this situation?

Two squares located back-to-back with the area measurements described in the question.
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The area of the larger building is 10y square feet. The area of the smaller building is 5x square feet. Momoko decides to install a path that runs a length of 140 feet along the perimeter of the complex.

A: Which equation represents the amount of money Rada is spending on candy?

B: Which equation represents the total weight of candy that Rada is buying?

A graph of a parabola opening downward and passing through the points (0, 12), (1, 20.04), (2.55, 24.76), (4, 20.64), (5, 13), and (6.1, 0).
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What is the maximum height reached by the rocket?

After how many seconds does the rocket reach that height?

The system potentially has _blank 1_ solution(s) because _blank 2_.

Use substitution to find the solution.

Which statements correctly describe the system?

Use substitution to find the solution.

Use substitution to find the solution.

A graph of the system given in the problem.
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Which statements correctly describe the system?

A graph of the system given in the problem. The graph of the function negative 9 x to the 5th, minus 5x y to the third equals 27 is represented by two curves. The first goes down to negative infinity as x approaches negative infinity and goes up to infinity as x approaches zero. The second curve goes down to negative infinity as x approaches zero from the right, comes up to approximately negative two when x is 1, and goes back down to negative infinity as x approaches infinity. The other equation in the system, negative 2 y to the fourth, plus 7 x squared equals 3, is also represented by two curves that appear as parabolas flattened at the vertices. One is open to the left with a vertex at approximately (negative 0.7, 0). The other is open to the right with a vertex at approximately (0.7, 0).
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Part A: What is (are) the solution(s) of the system?

Part B: The graph of the system of equations shows only a portion of the graph of the system. Are there other real solutions for this system that are not pictured? Why or why not?

Melinda, Vincent, Paige, and Vivica each reach a different conclusion about the system of equations.


Great Job! This concludes our lesson on quadratic functions.

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How to Find the Slope of an Equation

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There are 8 references cited in this article, which can be found at the bottom of the page.

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The slope of a line is a measure of how fast it is changing. This can be for a straight line -- where the slope tells you exactly how far up (positive slope) or down (negative slope) a line goes while it goes how far across. Slope can also be used for a line tangent to a curve. Or, it can be for a curved line when doing Calculus, where slope is also known as the "derivative" of a function. Either way, think of slope simply as the "rate of change" of a graph: if you make the variable "x" bigger, at what rate does "y" change? That is a way to see slope as a cause and an effect event.


5.5: Other Options for Finding Algebraic Derivatives - Mathematics

COVID-19 has impacted many institutions and organizations around the world, disrupting the progress of research. Through this difficult time APS and the Physical Review editorial office are fully equipped and actively working to support researchers by continuing to carry out all editorial and peer-review functions and publish research in the journals as well as minimizing disruption to journal access.

We appreciate your continued effort and commitment to helping advance science, and allowing us to publish the best physics journals in the world. And we hope you, and your loved ones, are staying safe and healthy.

Many researchers now find themselves working away from their institutions and, thus, may have trouble accessing the Physical Review journals. To address this, we have been improving access via several different mechanisms. See Off-Campus Access to Physical Review for further instructions.


AP Calculus BC Flashcards

For those who want to challenge themselves mathematically, the Advanced Placement Calculus BC course is an option. The College Board notes that while the Advanced Placement (AP) Calculus AB and AP Calculus BC courses are similar and cover topics in calculus, the AP Calculus BC differs in the scope of the course. That is, it includes topics that the Calculus AB course does not. The level of difficulty is not the difference, but the information that students learn and are tested on is the difference.

The College Board recommends that high school students who are interested in taking AP Calculus BC have already taken algebra, geometry, trigonometry, analytic geometry, and elementary functions. This course covers roughly two semesters of college-level calculus, whereas the other AP Calculus course only covers the first semester.

If you&rsquore looking for flashcards for AP Calculus BC, look no further than the set of free online flashcards offered through Varsity Tutors&rsquo Learning Tools. There are hundreds of these flashcards in the set, covering topics that go beyond derivatives, integrals, functions, graphs, and limits. Those topics include polynomial approximations and series, Taylor series, and geometric series flashcards.

These AP Calculus BC study flashcards are a unique option when you&rsquore looking for something to help you study. Because they are available online, you can use them anytime you have an internet connection and a chunk of time to study and prepare for your AP Calculus BC test. Each flash card features a problem to solve and multiple options for answers.

You&rsquoll know instantly if you chose the correct answer, and if not, you&rsquoll also find out what makes the correct answer the right one, because each of these flashcards explains the theory or work behind the answer. You can choose a specific area of AP Calculus to study with this Learning Tool, or you can choose the overall AP Calculus BC link and review a variety of subject areas even more useful, as you move through the flashcards, you can pick and choose the cards you deal with &ndash you can go backward from an answer and return to the previous question, or, you can skip through flashcards without giving any answer at all.

Questions on these AP Calculus BC study flashcards are similar to what you&rsquoll find when you sit down to take your AP exam. They won&rsquot be the exact questions, but they&rsquoll be similar. The exam has two parts: multiple-choice questions and free response questions.

When you create an account with Varsity Tutors, you can personalize your flashcards with the flashcards creator, which comes in handy if you&rsquore not finding what you need in the pre-made set. You can also track your progress through the online flashcards and track how well you&rsquore doing with the other Learning Tools that you might access.

There are several other study aids available through Varsity Tutors&rsquo Learning Tools. When it comes to this particular subject, you can also access Full-Length Practice Tests, many Practice Tests on specific concepts, a Question of the Day option that allows deeper exploration of a specific topic every day, and an interactive syllabus tool called Learn by Concept.