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3.3: La regla del producto - Matemáticas


Considere el producto de dos funciones simples, digamos (f (x) = (x ^ 2 + 1) (x ^ 3-3x) ). Una suposición obvia para la derivada de (f ) es el producto de las derivadas de las funciones constituyentes: ((2x) (3x ^ 2-3) = 6x ^ 3-6x ).

¿Es esto correcto? Podemos verificar fácilmente, reescribiendo (f ) y haciendo el cálculo de una manera que se sepa que funciona. Primero, (f (x) = x ^ 5-3x ^ 3 + x ^ 3-3x = x ^ 5-2x ^ 3-3x ), y luego (f '(x) = 5x ^ 4-6x ^ 2-3 ). ¡Ni siquiera cerca! ¿Qué salió "mal"? Bueno, nada en realidad, excepto que la suposición estaba mal.

Entonces, la derivada de (f (x) g (x) ) NO es tan simple como (f '(x) g' (x) ). ¿Seguramente hay alguna regla para tal situación? La hay, y es instructivo "descubrirla" tratando de hacer el cálculo general incluso sin conocer la respuesta de antemano.

[ eqalign {{d over dx} (& f (x) g (x)) = lim _ { Delta x to0} {f (x + Delta x) g (x + Delta x) - f (x ) g (x) sobre Delta x} cr & = lim _ { Delta x to0} {f (x + Delta x) g (x + Delta x) -f (x + Delta x) g (x) + f (x + Delta x) g (x) - f (x) g (x) over Delta x} cr & = lim _ { Delta x to0} {f (x + Delta x) g ( x + Delta x) -f (x + Delta x) g (x) over Delta x} + lim _ { Delta x to0} {f (x + Delta x) g (x) - f (x) g (x) sobre Delta x} cr & = lim _ { Delta x to0} f (x + Delta x) {g (x + Delta x) -g (x) sobre Delta x} + lim _ { Delta x to0} {f (x + Delta x) - f (x) over Delta x} g (x) cr & = f (x) g '(x) + f' (x ) g (x) cr} ]

Un par de puntos aquí necesitan discusión. Primero, usamos un truco estándar, "suma y resta lo mismo", para transformar lo que teníamos en una forma más útil. Después de reescribir un poco, nos damos cuenta de que tenemos dos límites que producen (f '(x) ) y (g '(x) ). Por supuesto, (f' (x) ) y (g '(x) ) deben existir realmente para que esto tenga sentido. También reemplazamos ( lim_ { Delta x to0} f (x + Delta x) ) con (f (x) ) --- ¿por qué se justifica esto?

Lo que realmente necesitamos saber aquí es que ( lim _ { Delta x to 0} f (x + Delta x) = f (x) ), o en el lenguaje de la sección 2.5, que (f ) es continua en (x ). Ya sabemos que (f '(x) ) existe (o todo el enfoque, escribir la derivada de (fg ) en términos de (f' ) y (g '), no hace sentido). Esto implica que (f ) también es continuo. Este es el por qué:

[ eqalign { lim _ { Delta x to 0} f (x + Delta x) & = lim _ { Delta x to 0} (f (x + Delta x) -f (x) + f ( x)) cr & = lim _ { Delta x to 0} {f (x + Delta x) -f (x) over Delta x} Delta x + lim _ { Delta x to 0} f (x) cr & = f '(x) cdot 0 + f (x) = f (x) cr} ]

Para resumir: la regla del producto dice que

[{d over dx} (f (x) g (x)) = f (x) g '(x) + f' (x) g (x). ]

Volviendo al ejemplo con el que comenzamos, dejemos

[f (x) = (x ^ 2 + 1) (x ^ 3-3x). ]

Luego

[f '(x) = (x ^ 2 + 1) (3x ^ 2-3) + (2x) (x ^ 3-3x) = 3x ^ 4-3x ^ 2 + 3x ^ 2-3 + 2x ^ 4-6x ^ 2 = 5x ^ 4-6x ^ 2-3, ]

como antes. En este caso, probablemente sea más sencillo multiplicar (f (x) ) primero y luego calcular la derivada; aquí hay un ejemplo para el que realmente necesitamos la regla del producto.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Calcule la derivada de (f (x) = x ^ 2 sqrt {625-x ^ 2} ).

Solución

Ya hemos calculado

[{d over dx} sqrt {625-x ^ 2} = {- x over sqrt {625-x ^ 2}}. nonumber ]

Ahora

[ begin {align *} f '(x) & = x ^ 2 {-x over sqrt {625-x ^ 2}} + 2x sqrt {625-x ^ 2} [4pt] & = {-x ^ 3 + 2x (625-x ^ 2) over sqrt {625-x ^ 2}} [4pt] & = {-3x ^ 3 + 1250x over sqrt {625-x ^ 2}}. end {alinear *} ]


Cálculo diferencial: la regla del producto

La regla del producto nos da la derivada de la producto de dos (o más) funciones. Sabemos que podemos encontrar el diferencial de una función polinomial sumando los diferenciales de los términos individuales del polinomio, cada uno de los cuales puede considerarse una función por derecho propio. Por lo tanto, podría tener la tentación de asumir que, para una función que es el producto de dos funciones (es decir, dos funciones multiplicadas juntas), podemos simplemente multiplicar juntas las derivadas de cada función. Desafortunadamente, no es tan simple. Un ejemplo debería servir para ilustrar este punto. Suponga que necesitamos encontrar la derivada de la función ƒ (X) = X(X 2 + 1). Esta función es el producto de dos funciones, ƒ (X) = X y ƒ (X) = X 2 + 1. Comenzaremos por encontrar la derivada de cada función por separado:

Obviamente, si multiplicamos estas dos derivadas juntas, el resultado será X . Sin embargo, multiplicando los corchetes en nuestra función original, obtenemos:

Tomando la derivada de X 3 + X , obtenemos:

Obviamente, esto es muy diferente del resultado que obtuvimos simplemente multiplicando las derivadas de las funciones ƒ (x) = x y ƒ (X) = X 2 + 1. En este caso, multiplicar las dos funciones fue un ejercicio relativamente trivial, y pudimos encontrar la derivada de la función ƒ (X) = X(X 2 + 1) sin dificultad. Sin embargo, habrá ocasiones en las que esto será mucho más difícil o imposible de hacer. Afortunadamente, existe una fórmula simple (la regla del producto) que podemos usar para encontrar la derivada del producto de dos funciones.

Esencialmente, la regla establece que para encontrar la derivada del producto de dos funciones, tomamos la primera función multiplicada por la derivada de la segunda función y la sumamos a la segunda función multiplicada por la derivada de la primera función. Digámoslo de manera más formal. Supongamos que tenemos dos funciones tu y v . La derivada del producto de estas dos funciones uv es dado por:

Probemos la fórmula aplicándola a la función ƒ (X) = X(X 2 + 1), para lo cual ya hemos obtenido las derivadas de las funciones individuales y su producto:

D(X(X 2 + 1)) = (X)(X) + (X 2 + 1)(1) = 2X 2 + 1
DX

Este es el resultado que obtuvimos anteriormente, como era de esperar. Probemos con otro ejemplo. Suponiendo que queremos encontrar la derivada de y = (X 2 - 4X)(3 - 2X 3). Asignaremos estas funciones de la siguiente manera:

Ahora encontramos el diferencial para cada una de estas funciones:

Dtu = 2X - 4
DX
Dv = -6X 2
DX

D(uv) = tuDv + vDtu = (X 2 - 4X)(-6X 2 ) + (3 - 2X 3 )(2X - 4)
DXDXDX

Multiplicando los corchetes obtenemos:

D(uv) = (-6X 4 + 24X 3 ) + (6X - 12 - 4X 4 + 8X 3 )
DX
D(uv) = -10X 4 + 32X 3 + 6X - 12
DX

D(uv) = 2(-5X 4 + 16X 3 + 3X - 6)
DX

Podemos usar una forma general de la regla del producto para encontrar la derivada del producto de más de dos funciones. Por ejemplo, el producto de las tres funciones tu , v y w se puede encontrar usando la siguiente fórmula:

D(uvw) = Dtuvw + Dvuw + Dwuv
DXDXDXDX

Por el producto de norte funciones ƒ1,. . . ƒnorte , podemos utilizar la siguiente generalización:

No se preocupe si esto parece un poco aterrador. Es solo una forma formal de decir cómo, para una colección de norte funciones, podemos encontrar la derivada de la producto de esas funciones. La primera parte de la fórmula comienza diciéndonos que estamos mirando el derivado de algo, usando la notación con la que estamos familiarizados. La letra griega mayúscula Pi (& Pi) se usa para indicar que es la derivada de un producto - en este caso, el producto de las funciones ƒ1 (X) hasta ƒnorte(X). En la segunda parte de la fórmula, se usa la letra griega mayúscula Sigma (& Sigma) para indicar que la derivada del producto de estas funciones es igual a la suma de algo. Debemos tomar el derivado de cada función a su vez, y multiplíquelo por el producto de todas las demás funciones. Entonces nosotros suma (sume) los resultados.

Realmente solo debes preocuparte por recordar esta fórmula si estás estudiando matemáticas a un nivel bastante avanzado. Todo lo que realmente necesita saber aquí es que, para encontrar la derivada del producto de dos o más funciones, necesitamos tomar la derivada de cada función y multiplicarla por el producto de todas las demás funciones. Luego, sumamos los resultados. En algunos casos, puede ser más fácil simplemente multiplicar las funciones y diferenciar el resultado de la forma habitual. En otros casos, esta no es una opción y necesitaremos usar la regla del producto. Tendrá que juzgar cada caso por sus méritos.


3.3: La regla del producto - Matemáticas

En el apartado anterior señalamos que teníamos que tener cuidado a la hora de diferenciar productos o cocientes. Ahora es el momento de analizar los productos y los cocientes y ver por qué.

Primero, echemos un vistazo a por qué debemos tener cuidado con los productos y los cocientes. Supongamos que tenemos las dos funciones (f left (x right) = ) y (g left (x right) = ). Comencemos por calcular la derivada del producto de estas dos funciones. Esto es bastante fácil de hacer directamente.

Recuerde que en ocasiones soltaremos la parte ( left (x right) ) en las funciones para simplificar un poco la notación. Lo hemos hecho en el trabajo anterior.

Ahora, intentemos lo siguiente.

[f ' left (x right) g' left (x right) = left (<3> derecha) izquierda (<6> derecha) = 18]

Entonces, podemos ver eso muy rápidamente.

En otras palabras, la derivada de un producto no es el producto de las derivadas.

Usando las mismas funciones podemos hacer lo mismo con los cocientes.

Para diferenciar productos y cocientes tenemos la Regla del producto y el Regla del cociente.

Regla del producto

Si las dos funciones (f left (x right) ) y (g left (x right) ) son diferenciables (es decir. la derivada existe), entonces el producto es diferenciable y,

La prueba de la regla del producto se muestra en la sección Prueba de varias fórmulas derivadas del capítulo Extras.

Regla del cociente

Si las dos funciones (f left (x right) ) y (g left (x right) ) son diferenciables (es decir. la derivada existe) entonces el cociente es diferenciable y,

Tenga en cuenta que el numerador de la regla del cociente es muy similar a la regla del producto, ¡así que tenga cuidado de no mezclar las dos!

La prueba de la regla del cociente se muestra en la sección Prueba de varias fórmulas derivadas del capítulo Extras.

Hagamos un par de ejemplos de la regla del producto.

En este punto, realmente no hay muchas razones para usar la regla del producto. Como señalamos en la sección anterior, todo lo que tendríamos que hacer para cualquiera de estos es simplemente multiplicar el producto y luego diferenciarlo.

Dicho esto, usaremos la regla del producto en estos para que podamos ver uno o dos ejemplos. A medida que agreguemos más funciones a nuestro repertorio y las funciones se vuelvan más complicadas, la regla del producto se volverá más útil y, en muchos casos, necesaria.

a (y = sqrt [3] <<>> izquierda (<2x - > right) ) Mostrar solución

Tenga en cuenta que tomamos la derivada de esta función en la sección anterior y no usamos la regla del producto en ese momento. Sin embargo, deberíamos obtener aquí el mismo resultado que obtuvimos entonces.

Ahora solucionemos el problema aquí. Realmente no hay mucho que hacer aquí aparte de usar la regla del producto. Sin embargo, antes de hacer eso, debemos convertir el radical a un exponente fraccionario como siempre.

Ahora tomemos la derivada. Entonces, tomamos la derivada de la primera función multiplicada por la segunda y luego le sumamos la primera función multiplicada por la derivada de la segunda función.

Esto NO es lo que obtuvimos en la sección anterior para este derivado. Sin embargo, con cierta simplificación podemos llegar a la misma respuesta.

Esto es lo que obtuvimos como respuesta en la sección anterior, por lo que es una buena verificación de la regla del producto.

Este es en realidad más fácil que el anterior. Analicemos la regla del producto.

Como era fácil de hacer, seguimos adelante y simplificamos un poco los resultados.

Trabajemos ahora con un ejemplo o dos con la regla del cociente. En este caso, a diferencia de los ejemplos de reglas del producto, un par de estas funciones requerirán la regla del cociente para obtener la derivada. Los dos últimos, sin embargo, podemos evitar la regla del cociente si queremos, como veremos.

  1. ( Displaystyle W left (z right) = frac << 3z + 9 >> << 2 - z >> )
  2. ( Displaystyle h left (x right) = frac << 4 sqrt x >> <<- 2>>)
  3. ( Displaystyle f left (x right) = frac <4> <<>>)
  4. ( Displaystyle y = frac <<>><5>)

No hay mucho que hacer aquí aparte de usar la regla del cociente. Aquí está el trabajo para esta función.

Nuevamente, no hay mucho que hacer aquí aparte de usar la regla del cociente. No olvide convertir la raíz cuadrada en un exponente fraccionario.

Parece extraño tener este aquí en lugar de ser la primera parte de este ejemplo dado que definitivamente parece ser más fácil que cualquiera de los dos anteriores. De hecho, es más fácil. Tiene sentido hacerlo aquí en lugar de primero. En este caso, hay dos formas de calcular esta derivada. Hay una forma fácil y una forma difícil y en este caso la forma difícil es la regla del cociente. Ese es el objetivo de este ejemplo.

Hagamos la regla del cociente y veamos qué obtenemos.

Ahora, esa era la forma "difícil". Entonces, ¿qué fue tan difícil? Bueno, en realidad no fue tan difícil, solo hay una manera más fácil de hacerlo, eso es todo. Sin embargo, habiendo dicho eso, un error común aquí es hacer la derivada del numerador (una constante) incorrectamente. ¡Por alguna razón, muchas personas darán la derivada del numerador en este tipo de problemas como 1 en lugar de 0! Además, hay algo de simplificación que debe hacerse en este tipo de problemas si aplica la regla del cociente.

La forma más fácil es hacer lo que hicimos en la sección anterior.

De cualquier manera funcionará, pero preferiría tomar la ruta más fácil si tuviera la opción.

Este problema también parece un poco fuera de lugar. Sin embargo, está aquí nuevamente para hacer un punto. No confunda esto con un problema de regla del cociente. Si bien puede hacer la regla del cociente en esta función, no hay razón para usar la regla del cociente en esto. Simplemente reescribe la función como

y diferenciar como siempre.

Por último, no nos olvidemos de nuestras aplicaciones de derivados.

Determine si el globo se está llenando de aire o si se está drenando el aire en (t = 8 ).

Si el globo se llena de aire, el volumen aumenta y si se drena el aire, el volumen disminuye. En otras palabras, necesitamos obtener la derivada para poder determinar la tasa de cambio del volumen en (t = 8 ).

Esto requerirá la regla del cociente.

Tenga en cuenta que aquí simplificamos el numerador más de lo habitual. Esto solo se hizo para facilitar la evaluación de la derivada.

La tasa de cambio del volumen en (t = 8 ) es entonces,

Entonces, la tasa de cambio del volumen en (t = 8 ) es negativa y, por lo tanto, el volumen debe estar disminuyendo. Por lo tanto, el aire sale del globo en (t = 8 ).

Como tema final, observemos que la regla del producto se puede extender a más de dos funciones, por ejemplo.

Derivar estos productos de más de dos funciones es bastante simple. Por ejemplo, echemos un vistazo a la regla del producto de tres funciones.

Primero, no pensamos en ello como un producto de tres funciones, sino en lugar de la regla del producto de las dos funciones (f , g ) y (h ) que luego podemos usar la regla del producto de dos funciones . Hacer esto da,

Tenga en cuenta que ponemos corchetes en la parte (f , g ) para dejar en claro que estamos pensando en ese término como una función única. Ahora todo lo que tenemos que hacer es usar la regla del producto de dos funciones en (< left [ right] ^ prime> ) término y luego simplifica un poco.

Cualquier regla de producto con más funciones se puede derivar de manera similar.

Con esta sección y la sección anterior ahora podemos diferenciar potencias de (x ) así como sumas, diferencias, productos y cocientes de este tipo de funciones. Sin embargo, hay muchas más funciones en el mundo que no están en esta forma. Las siguientes secciones dan muchas de estas funciones y sus derivadas.


Clave de respuestas detallada

v & # xa0 = & # xa0 x 3 - log x y v '= 3x 2 - (1 / x) & # xa0

= & # xa0 x 2 (x 2) + 2x 2-1 (x 2) - 1 (2)

determine el valor de & # xa0 (fg) ′ (2).

g '(x) & # xa0 = & # xa0 f (x) d (senx) + & # xa0 senx f '(x)

g '(x) & # xa0 = & # xa0 f (x) cosx + & # xa0 senx f '(x)

gramo'( π / 4 ) & # xa0 = & # xa0 f ( π / 4 ) porque π / 4 & # xa0 + & # xa0 pecado π / 4 & # xa0f '( π / 4 )

= & # xa0 -4 (1 / √2) + (1/ √2)2

Al aplicar los valores en (1), obtenemos

= & # xa0 x e x cosx + x e x senx + 1 e x (senx)

= & # xa0 e x & # xa0 (x cosx + x & # xa0 senx + senx)

Si & # xa0 f (x) = (x 2-10) (x 2-6x + 2) & # xa0 cuál es el valor de f ′ (6)

f '(x) = (x 2-10) d (x 2-6x + 2) + & # xa0 (x 2-6x + 2) d (x 2-10)

Usando la regla del producto, obtenemos

sin 2x (-3 sin 3x) + cos 3x (sin 2x)

sinx2x (- 3 sin 3x) + & # xa0 & # xa0 cos 3x (sin 2x)

Entonces, la diferenciación de la función dada es & # xa0

-3 (- 3 sin 3x) + & # xa0 & # xa0 cos 3x (sin 2x)

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3.3: La regla del producto - Matemáticas

Considere el producto [látex]^ <3> cdot ^ <4> [/ látex]. Ambos términos tienen la misma base, X, pero se elevan a diferentes exponentes. Expanda cada expresión y luego vuelva a escribir la expresión resultante.

Observa que el exponente del producto es la suma de los exponentes de los términos. En otras palabras, al multiplicar expresiones exponenciales con la misma base, escribimos el resultado con la base común y sumamos los exponentes. Este es el regla del producto de exponentes.

Ahora considere un ejemplo con números reales.

Siempre podemos comprobar que esto es cierto simplificando cada expresión exponencial. Encontramos que [látex] <2> ^ <3> [/ látex] es 8, [látex] <2> ^ <4> [/ látex] es 16 y [látex] <2> ^ <7> [/ latex] es 128. El producto [latex] 8 cdot 16 [/ latex] es igual a 128, por lo que la relación es verdadera. Podemos usar la regla del producto de los exponentes para simplificar expresiones que son producto de dos números o expresiones con la misma base pero con diferentes exponentes.

Una nota general: la regla del producto de los exponentes

Para cualquier número real [látex] a [/ látex] y números naturales [látex] m [/ látex] y [látex] n [/ látex], la regla del producto de exponentes establece que

Ejemplo 1: uso de la regla del producto

Escribe cada uno de los siguientes productos con una sola base. No simplifique más.

Solución

Usa la regla del producto para simplificar cada expresión.

Al principio, puede parecer que no podemos simplificar un producto de tres factores. Sin embargo, usando la propiedad asociativa de la multiplicación, comience simplificando las dos primeras.

Observe que obtenemos el mismo resultado sumando los tres exponentes en un paso.

Pruébelo 1

Escribe cada uno de los siguientes productos con una sola base. No simplifique más.


Contenido

El descubrimiento de esta regla se le atribuye a Gottfried Leibniz, quien lo demostró utilizando diferenciales. [2] (Sin embargo, J. M. Child, un traductor de los artículos de Leibniz, [3] argumenta que se debe a Isaac Barrow.) Aquí está el argumento de Leibniz: tu(X) y v(X) ser dos funciones diferenciables de X. Entonces el diferencial de uv es

Dado que el término du·dv es "insignificante" (en comparación con du y dv), Leibniz concluyó que

y esta es de hecho la forma diferencial de la regla del producto. Si dividimos por el diferencial dx, obtenemos

que también se puede escribir en la notación de Lagrange como

  • Supongamos que queremos diferenciar F(X) = X 2 pecadoX). Al usar la regla del producto, se obtiene la derivada f ′ (X) = 2X pecado(X) + X 2 cos (X) (ya que la derivada de X 2 es 2X y la derivada de la función seno es la función coseno).
  • Un caso especial de la regla del producto es la regla del múltiplo constante, que establece: si C es un número y F(X) es una función diferenciable, entonces cf(X) también es diferenciable, y su derivada es (cf) ′ (X) = c f ′ (X). Esto se sigue de la regla del producto, ya que la derivada de cualquier constante es cero. Esto, combinado con la regla de la suma para las derivadas, muestra que la diferenciación es lineal.
  • La regla para la integración por partes se deriva de la regla del producto, al igual que (una versión débil de) la regla del cociente. (Es una versión "débil" en el sentido de que no prueba que el cociente sea diferenciable, sino que solo dice cuál es su derivada Si es diferenciable.)

Prueba por factorización (desde los primeros principios) Editar

Dejar h(X) = F(X)gramo(X) y suponga que fyg son diferenciables en x. Queremos demostrar que h es diferenciable en x y que su derivada, h ′ (X) , es dado por f ′ (X)gramo(X) + F(X)g ′ (X). Para hacer esto, f (x) g (x + Δ x) - f (x) g (x + Δ x) < displaystyle f (x) g (x + Delta x) -f (x) g (x + Delta x)> (que es cero, y por lo tanto no cambia el valor) se agrega al numerador para permitir su factorización, y luego se usan las propiedades de los límites.

h ′ (x) = lim Δ x → 0 h (x + Δ x) - h (x) Δ x = lim Δ x → 0 f (x + Δ x) g (x + Δ x) - f (x) g (x) Δ x = lim Δ x → 0 f (x + Δ x) g (x + Δ x) - f (x) g (x + Δ x) + f (x) g (x + Δ x) - f (x) g (x) Δ x = lim Δ x → 0 [f (x + Δ x) - f (x)] ⋅ g (x + Δ x) + f (x) ⋅ [g (x + Δ x) - g (x)] Δ x = lim Δ x → 0 f (x + Δ x) - f (x) Δ x ⋅ lim Δ x → 0 g (x + Δ x) ⏟ Consulte la nota a continuación. + lim Δ x → 0 f (x) ⋅ lim Δ x → 0 g (x + Δ x) - g (x) Δ x = f ′ (x) g (x) + f (x) g ′ (x) . < Displaystyle < beginh '(x) & amp = lim _ < Delta x to 0> < frac < Delta x >> [5pt] & amp = lim _ < Delta x to 0> < frac < Delta x >> [5pt] & amp = lim _ < Delta x to 0> < frac < Delta x >> [5pt] & amp = lim _ < Delta x to 0> < frac << big [> f (x + Delta x) -f (x) < big]> cdot g (x + Delta x) + f (x) cdot < big [> g (x + Delta x) -g (x) < big] >> < Delta x >> [5pt] & amp = lim _ < Delta x to 0> < frac < Delta x >> cdot underbrace < lim _ < Delta x to 0> g (x + Delta x)> _ < text> + lim _ < Delta x to 0> f (x) cdot lim _ < Delta x to 0> < frac < Delta x >> [5pt] & amp = f '(x) g (x) + f (x) g' (x). End>>

se deduce de un teorema que establece que las funciones diferenciables son continuas.

Prueba breve Editar

tal que lim h → 0 ψ 1 (h) h = lim h → 0 ψ 2 (h) h = 0, < displaystyle lim _(h)>> = lim _(h)>> = 0,> también escrito ψ 1, ψ 2 ∼ o (h) < displaystyle psi _ <1>, psi _ <2> sim o (h)>. Luego:

fg (x + h) - fg (x) = (f (x) + f ′ (x) h + ψ 1 (h)) (g (x) + g ′ (x) h + ψ 2 (h)) - fg (x) = f (x) g (x) + f ′ (x) g (x) h + f (x) g ′ (x) h - fg (x) + otros términos = f ′ (x) g (x) h + f (x) g ′ (x) h + o (h) < Displaystyle < beginfg (x + h) -fg (x) & amp = (f (x) + f '(x) h + psi _ <1> (h)) (g (x) + g' (x) h + psi _ <2> (h)) - fg (x) & amp = f (x) g (x) + f '(x) g (x) h + f (x) g' (x) h-fg (x ) + < texto> & amp = f '(x) g (x) h + f (x) g' (x) h + o (h) [12pt] end>>

Cuadrados de un cuarto Editar

Hay una prueba que usa la multiplicación de un cuarto de cuadrado que se basa en la regla de la cadena y en las propiedades de la función de un cuarto de cuadrado (que se muestra aquí como q, es decir, con q (x) = x 2 4 < displaystyle q (x) = < tfrac ><4>>> ):

Diferenciando ambos lados:

Regla de cadena Editar

La regla del producto puede considerarse un caso especial de la regla de la cadena para varias variables.

Análisis no estándar Editar

Dejar tu y v ser funciones continuas en X, y deja dx, du y dv ser infinitesimales dentro del marco de análisis no estándar, específicamente los números hiperrealistas. Usando st para denotar la función de parte estándar que asocia a un número hiperreal finito el real infinitamente cercano a él, esto da

Esta fue esencialmente la prueba de Leibniz que explota la ley trascendental de la homogeneidad (en lugar de la parte estándar anterior).

Análisis infinitesimal suave Editar

En el contexto de la aproximación de Lawvere a los infinitesimales, dx ser un infinitesimal nilcuadrado. Luego du = tudx y dv = vdx, así que eso

Producto de más de dos factores Editar

La regla del producto se puede generalizar a productos de más de dos factores. Por ejemplo, para tres factores tenemos

Para una colección de funciones f 1,…, f k < displaystyle f_ <1>, dots, f_>, tenemos

La derivada logarítmica proporciona una expresión más simple de la última forma, así como una prueba directa que no implica ninguna recursividad. La derivada logarítmica de una función f, denotada aquí Logder (F), es la derivada del logaritmo de la función. Resulta que

Usando que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores, la regla de la suma para las derivadas da inmediatamente

La última expresión anterior de la derivada de un producto se obtiene multiplicando ambos miembros de esta ecuación por el producto de f i. < Displaystyle f_.>

Derivadas superiores Editar

También se puede generalizar a la regla general de Leibniz para el nortela derivada de un producto de dos factores, mediante la expansión simbólica de acuerdo con el teorema del binomio:

Aplicado en un punto específico X, la fórmula anterior da:

Además, para el norteth derivada de un número arbitrario de factores:

Derivadas parciales superiores Editar

donde el índice S atraviesa los 2 norte subconjuntos de <1,. norte> y | S | es la cardinalidad de S. Por ejemplo, cuando norte = 3 ,

Espacio Banach Editar

Suponer X, Y, y Z son espacios de Banach (que incluye el espacio euclidiano) y B : X × YZ es un operador bilineal continuo. Luego B es diferenciable, y su derivada en el punto (X,y) en X × Y es el mapa lineal D(X,y)B : X × YZ dada por

Derivaciones en álgebra abstracta Editar

En álgebra abstracta, la regla del producto se usa para definir lo que se llama derivación, no al revés.

En cálculo vectorial Editar

La regla del producto se extiende a la multiplicación escalar, productos escalares y productos cruzados de funciones vectoriales, como sigue. [5]

También hay análogos para otros análogos de la derivada: si F y gramo son campos escalares, entonces hay una regla de producto con el gradiente:

Entre las aplicaciones de la regla del producto se encuentra una prueba de que

Cuándo norte es un número entero positivo (esta regla es cierta incluso si norte no es positivo o no es un número entero, pero la prueba de ello debe basarse en otros métodos). La prueba es por inducción matemática sobre el exponente. norte. Si norte = 0 entonces X norte es constante y nx norte - 1 = 0. La regla se cumple en ese caso porque la derivada de una función constante es 0. Si la regla se cumple para cualquier exponente en particular norte, luego para el siguiente valor, norte + 1, tenemos

Por tanto, si la proposición es verdadera para norte, es cierto también para norte + 1, y por lo tanto para todo natural norte.


Regla del producto

La regla del producto se vuelve un poco más complicado, pero después de un tiempo, lo estará haciendo mientras duerme. Conviértelo en una pequeña canción y se vuelve mucho más fácil. Y observe que normalmente tiene que usar las reglas de potencia y constante para las expresiones individuales cuando usa la regla del producto.

Solo use la regla del producto si hay algún tipo de variable en ambas expresiones que está multiplicando. Por ejemplo, utilícelo cuando tenga algo como (<^ <2>> left ( right) ), pero no algo como ( left (<5 <^ <2> >> right) left (2 right) ) convierte esto en (10 ​​<^<2>>).

Además, si puede, puede convertir los exponentes en la parte inferior a exponentes negativos por ejemplo, ( displaystyle frac <5> <<<^<2>>>>=5<^<<-2>>>) .

Intentar simplificar tu función primero.

Y tenga en cuenta que cuando tiene el producto de dos expresiones con variables, la derivada no es solo el producto de sus derivadas.

Así es como me gusta recordarlo: Primero multiplicado por la derivada del segundo MÁS segundo multiplicado por el derivado del primero. (Sí, eso es un PLUS en el medio).

Así es como se ve en forma de teorema:

El producto de dos funciones diferenciables es diferenciable y es:

Tenga en cuenta que hay otras formas de escribir esto, como:

Tenga en cuenta que si tiene un coeficiente delante de dos factores, puede agrupar el coeficiente con uno de los factores (como el primero) o sacarlo y multiplicar la derivada completa más tarde. Por ejemplo, para (y = 5x << left ( right)> ^ <3>> ), la derivada se puede obtener de esta manera:

Tenga en cuenta cómo sacamos un factor común máximo (GCF) después de tomar la derivada, para simplificar la expresión.


¿Cómo se diferencia #f (x) = (3x + 1) ^ 4 (2x-3) ^ 3 # usando la regla del producto?

Este problema en realidad involucra dos reglas: la regla del producto y la regla de la cadena. Pero primero, centrémonos en la regla del producto. La ecuación general para esto es:

Ahora, simplemente conectamos todo:

El problema surge del hecho de que sus dos funciones son en realidad composiciones de funciones. Por ejemplo, # (3x + 1) ^ 4 # es realmente la composición de las dos funciones # x ^ 4 # y # 3x + 1 #. Por lo tanto, necesitaremos usar la regla de la cadena para evaluar estas derivadas. Analicemos cada uno de ellos:

Entonces, primero, hacemos la derivada de la función más externa (en este caso # x ^ 4 #), luego multiplicamos por la derivada de la función interna (# 3x + 1 #). Entonces, esto nos da:

Nuevamente, el mismo proceso. Derivada del exterior, luego multiplicar por la derivada del interior:

¡Terminamos! Ahora, simplemente continuamos y conectamos estos a la ecuación de la regla del producto que obtuvimos para nuestra respuesta final:

Podrías frustrar algunas cosas aquí, pero en mi opinión, en realidad es más trabajo. Es más fácil dejarlo como está.


3.3: La regla del producto - Matemáticas

La derivada es la tasa de cambio de una función con respecto a una variable. Las derivadas tienen muchas reglas, como la regla de la potencia, la regla del cociente, la regla del producto y más. También son útiles para resolver problemas muy complicados. Las derivadas y la diferenciación también vienen en estudios superiores con conceptos avanzados.

Aquí veremos qué es la regla del producto y cómo se usa con la ayuda de una fórmula.

¿Qué es la regla del producto?

Cuando se toma la derivada de dos o más funciones, se aplica la regla del producto. Ayuda a diferenciar entre dos o más funciones en una función establecida.

Notación derivada de Leibniz

La derivada f se expresa como d / dx * f (x). Entonces, cuando la ecuación es y = f (x), la derivada se denomina dy / dx. Entonces aquí, d / dx expresa la diferenciación con respecto a x. También indica la derivada de cualquier función dada sin usar una variable dependiente como y² se puede denotar como d / dx * y². Esta es la notación derivada más utilizada en comparación con la notación de Newton y LaGrange & # 8217s.

Derivación de la fórmula

Tomemos dos funciones a (x) y b (x). Entonces, la regla del producto llega cuando multiplica la primera función a (x) con la derivada de la segunda función b (x) más la derivada de la primera función a (x) multiplicada por la segunda función b (x). Entonces,

Podemos probar la regla del producto derivado usando la definición básica de derivada. Podemos encontrar el aumento en la función ab tomando que el cambio de argumento es Δx:

Δ (ab) = a (x + Δx) b (x + Δx) & # 8211 a (x) b (x)

Tomando en consideración

a (x + Δx) = a (x) + Δa, b (x + Δx) = b (x) + Δb,

Δa y Δb son los incrementos en la función ay b. Despreciando la brevedad del argumento de x de la función by a, podemos escribir el incremento Δ (ab) en la forma:

Δ (ab) = (a + Δa) (b + Δb) - ab = ab + aΔb + bΔa + ΔaΔb - ab

= aΔb + bΔa + ΔaΔb.



Al usar las propiedades del límite podemos encontrar la derivada del producto

(ab) `= limΔx → 0 Δ (ab) / Δx

= limΔx → 0 (aΔb + bΔa + ΔbΔa) / Δx

= limx → 0 aΔb / Δx + limΔx → 0 bΔa / Δx + limx → 0⁡ Δa / Δx. limΔx → 0⁡ Δb.

La función a no depende del aumento de Δx. Por lo tanto, se toma fuera del signo de límite. Lo mismo se aplica a la b. podemos calcular el límite limΔx → 0 Δb por separado

Por tanto, la derivada del producto viene dada por:

(ab) ′ = limΔx → 0 aΔb / Δx + lim limx → 0 (bΔa) / Δx + limΔx → 0 Δa / Δx ⋅ limΔx → 0⁡ Δb



= a limΔx → 0 Δb / Δx + b limΔx → 0⁡ Δa / Δx + limx → 0 Δa / Δx⋅ limx → 0 Δb

= ab ′ + ba ′ + a′⋅0 = a′b + ab ′.

De la fórmula anterior, se puede concluir fácilmente que la derivación de z f (x), donde z es una constante:

Derivar productos de dos funciones

Aquí tomaremos un ejemplo para comprender cómo se aplica la regla del producto para derivar el producto de dos funciones.

Derivada de (x 2 + x) (3x + 5) =?

Entonces, usando la fórmula de la regla del producto, f ′ (x) = X (x) * Y ′ (x) + Y (x) * X ′ (x), pondremos los valores requeridos.

Entonces, aquí, nuestra primera función X sería (x 2 + x) mientras que la segunda función Y sería (3x + 5)

Entonces, multiplique la derivada de la primera función por la segunda derivada y agréguela a la primera sección & # 8217s derivada multiplicada por la segunda función.

(x 2 + x) '(3x + 5) + (x 2 + x) (3x + 5) & # 8217,

= (2x + 1) (3x + 5) + (x 2 + x) (3),

Ahora multiplica todo

= 6x 2 + 10x + 3x + 5 + 3x 2 + 3x

Entonces, ahora el resultado final es

= 9x 2 + 16x + 5

A veces, los estudiantes se confunden al calcular la regla del producto. Lo malinterpretan calculando el producto de las derivadas. Pero así la respuesta no sería correcta. Permítanos hacerle entender con el mismo ejemplo.

Suponga que calcula el producto de las derivadas de una función dada


= d / dx (x 2 + x) d / dx (3x + 5)

= (2x + 1) * (3)

= 6x + 3

Entonces, aquí la respuesta es 6x + 3 que no es lo mismo que 9x 2 + 16x + 5

Ejemplos de problemas en la regla del producto

Problema 1: Sea y = cos 2 x. Diferenciar esta función utilizando el regla del producto.

Podemos representar la función como

y (x) = cosxcosx.

Al usar la regla del producto,

y ′ (x) = (cosx cosx) ′ = (cosx) ′ cosx + cosx (cosx) ′.

Como (cosx) ′ = -sinx, obtenemos

y ′ (x) = -sinxcosx + cosx (-sinx) = -2sinxcosx = -sin2x

Problema 2: Encuentre la derivada de la función y = e x sinx

Aplicando la regla del producto

y ′ (x) = (e x sinx) ′ = (e x) ′ sinx + e x (sinx) ′

= e x senx + e x (cosx)

= e x (senx + cosx).

Problema 3: Encuentre la derivada de la función y = xsinx.

Por la regla del producto obtenemos:

y ′ (x) = (x sinx) ′ = (x) ′ sinx + x (sinx) ′

= senx + x cosx

Problema 4: Encuentre la derivada de la función y = x (1 + x).

Aplicando la regla del producto:

y '(x) = & # 8217 = x '(1 + x) + x (1 + x) & # 8217

= (1 + x) + x (0 + 1)

= 1 + 2x

Aplicaciones en el mundo real

Las derivadas y la diferenciación ayudan a resolver muchos problemas de la vida real proporcionando soluciones fáciles. Para alcanzar los valores máximos y mínimos de ganancia, pérdida, población, costo de material, etc. se puede determinar con la fórmula de la regla del producto.


Permutaciones

A permutación de un conjunto (S ) es una secuencia que contiene cada elemento de (S ) exactamente una vez. Por ejemplo, aquí están todas las permutaciones del conjunto ():

[empezar (a, b, c) quad (a, c, b) quad (b, a, c) (b, c, a) quad (c, a, b) quad (c, b, a) fin]

¿Cuántas permutaciones de un (n ) - conjunto de elementos hay? Bueno, hay (n ) opciones para el primer elemento. Para cada uno de estos, hay (n - 1 ) opciones restantes para el segundo elemento. Para cada combinación de los dos primeros elementos, hay (n - 2 ) formas de elegir el tercer elemento, y así sucesivamente. Thus, there are a total of

[ onumber n cdot (n-1) cdot (n-2) cdots 3 cdot 2 cdot 1 = n!]

permutations of an (n)-element set. In particular, this formula says that there are (3! = 6) permutations of the 3-element set (), which is the number we found above.

Permutations will come up again in this course approximately 1.6 bazillion times. In fact, permutations are the reason why factorial comes up so often and why we taught you Stirling&rsquos approximation:


Ver el vídeo: Part 37: Tangent Line Problem Using The Product Rule. Applied Calculus (Septiembre 2021).