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14: diferenciación parcial


  • 14.1: Funciones de varias variables
    Una función f: R2 → R asigna un par de valores (x, y) a un solo número real. El sistema de coordenadas tridimensional que ya hemos utilizado es una forma conveniente de visualizar tales funciones: encima de cada punto (x, y) en el plano x - y graficamos el punto (x, y, z), donde, por supuesto, z = f (x, y).
  • 14.2: Límites y continuidad
    Para desarrollar el cálculo de funciones de una variable, necesitábamos darle sentido al concepto de límite, que necesitábamos para entender las funciones continuas y definir la derivada. Los límites que involucran funciones de dos variables pueden ser considerablemente más difíciles de manejar; afortunadamente, la mayoría de las funciones que encontramos son bastante fáciles de entender.
  • 14.3: Diferenciación parcial
    Una derivada parcial de una función de varias variables es su derivada con respecto a una de esas variables, y las demás se mantienen constantes (a diferencia de la derivada total, en la que se permite que varíen todas las variables).
  • 14.4: La regla de la cadena
    No es sorprendente que la misma regla de la cadena que se formuló para una función en una variable también funciona para funciones de más de dos variables.
  • 14.5: Derivadas direccionales
    La derivada direccional de una función diferenciable multivariante a lo largo de un vector v dado en un punto dado x representa intuitivamente la tasa instantánea de cambio de la función, moviéndose a través de x con una velocidad especificada por v. Por lo tanto, generaliza la noción de derivada parcial, en cuya tasa de cambio se toma a lo largo de una de las curvas de coordenadas curvilíneas, siendo todas las demás coordenadas constantes.
  • 14.6: Derivadas de orden superior
    En el cálculo de una sola variable vimos que la segunda derivada suele ser útil: en circunstancias apropiadas, mide la aceleración; se puede utilizar para identificar puntos máximos y mínimos; nos dice algo acerca de la curva pronunciada de una gráfica. No es sorprendente que las segundas derivadas también sean útiles en el caso de múltiples variables, pero tampoco es sorprendente que las cosas sean un poco más complicadas.
  • 14.7: Máximos y mínimos
    Los máximos y mínimos (los respectivos plurales de máximo y mínimo) de una función, conocidos colectivamente como extremos (el plural de extremos), son el valor más grande y más pequeño de la función, ya sea dentro de un rango dado (los extremos locales o relativos) o en todo el dominio de una función.
  • 14.8: Multiplicadores de Lagrange
    Muchos problemas máximos / mínimos aplicados implican encontrar un valor extremo de una función, sujeto a una restricción. A menudo, esto se puede hacer, como lo hemos hecho, combinando explícitamente las ecuaciones y luego encontrando puntos críticos. Existe otro enfoque que a menudo es conveniente, el método de los multiplicadores de Lagrange.
  • 14.E: Diferenciación parcial (ejercicios)
    Estos son ejercicios de tarea para acompañar el mapa de texto "Cálculo general" de David Guichard.

Miniatura: una gráfica de (x ^ 2 + xy + y ^ 2 = z ) y (y = 1 ). Queremos encontrar la derivada parcial que deja constante; la recta tangente correspondiente es paralela al eje-. (CC BY-SA 3.0; Indeed123).


Diferenciación parcial de un tensor

Tengo dudas en la afirmación de que la diferenciación parcial u ordinaria de tensor no es un tensor. El argumento para esto es que la diferenciación parcial del tensor implica evaluar la matriz de transformación en dos puntos vecinos (digamos $ P $ y $ Q $) en la variedad y por la definición de tensor (el conjunto de cantidades que se transforman de acuerdo con ese regla donde la matriz de transformación se evalúa en un punto $ P $) este no es el caso. Por lo tanto, la diferenciación parcial de tensor no es tensor. Ahora mi duda es: ¿qué pasa si las matrices de transformación en esos puntos son iguales?


14: diferenciación parcial

En este laboratorio nos sentiremos más cómodos usando parte del poder simbólico de Mathematica. En el proceso, exploraremos la regla de la cadena aplicada a funciones de muchas variables.

Una función es una regla que asigna un valor único a cada punto en el espacio, p. Ej. w = f (x, y) asigna el valor w a cada punto (x, y) en el espacio bidimensional. Si definimos una ruta paramétrica x = g (t), y = h (t), entonces la función w (t) = f (g (t), h (t)) es univariante a lo largo de la ruta. La derivada se puede encontrar por sustitución y diferenciación,

Escojamos una función razonablemente grotesca,

Primero, defina la función para uso posterior: ahora, busquemos la derivada de f a lo largo de la ruta elíptica,. Primero, por sustitución directa. Encuentre w (t) La derivada se puede encontrar usando ¿Cómo le hubiera gustado hacerlo a mano?

Ahora intentemos usar la regla de la cadena. Primero, defina las variables de la ruta: y ahora hagamos la regla de la cadena: observe que tiene las variables x, y y t. Eso es porque no hemos sustituido la ruta por x e y. Para hacer esto, usaremos la operación de sustitución en Mathematica, `/. - & gt '. Intente esto para encontrar la forma final de: Para ver que los dos métodos dan la misma respuesta, intente restarlos y simplificar: Si hizo todo correctamente, el resultado debería ser '0'.

Básicamente, los mismos procedimientos funcionan para la versión multivariable de la regla de la cadena. Intente encontrar y donde r y son coordenadas polares, es decir y. Primero, tome derivadas después de la sustitución directa de, luego intente usar la regla de la cadena directamente,

y luego sustituyendo, que en Mathematica se puede lograr usando la sustitución

Prueba un par de problemas con las tareas. En particular, es posible que desee dar una vuelta a algunos de los problemas de diferenciación implícitos.


14: diferenciación parcial

En esta sección vamos a echar un vistazo a las integrales de expresiones racionales de polinomios y una vez más comencemos esta sección con una integral que ya podemos hacer para poder contrastarla con las integrales que estaremos haciendo en esta sección. .

Entonces, si el numerador es la derivada del denominador (o un múltiplo constante de la derivada del denominador), hacer este tipo de integral es bastante simple. Sin embargo, a menudo el numerador no es la derivada del denominador (o un múltiplo constante). Por ejemplo, considere la siguiente integral.

En este caso, el numerador definitivamente no es la derivada del denominador ni es un múltiplo constante de la derivada del denominador. Por lo tanto, la sustitución simple que usamos anteriormente no funcionará. Sin embargo, si notamos que el integrando se puede dividir de la siguiente manera,

entonces la integral es bastante simple.

Este proceso de tomar una expresión racional y descomponerla en expresiones racionales más simples que podemos sumar o restar para obtener la expresión racional original se llama descomposición de fracción parcial. Se pueden hacer muchas integrales que involucran expresiones racionales si primero hacemos fracciones parciales en el integrando.

Entonces, hagamos una revisión rápida de las fracciones parciales. Comenzaremos con una expresión racional en la forma,

donde tanto (P left (x right) ) como (Q left (x right) ) son polinomios y el grado de (P left (x right) ) es menor que el grado de (Q left (x right) ). Recuerda que el grado de un polinomio es el mayor exponente del polinomio. Solo se pueden hacer fracciones parciales si el grado del numerador es estrictamente menor que el grado del denominador. Eso es importante de recordar.

Entonces, una vez que hemos determinado que se pueden hacer fracciones parciales, factorizamos el denominador de la manera más completa posible. Luego, para cada factor en el denominador, podemos usar la siguiente tabla para determinar el término o términos que tomamos en la descomposición de fracciones parciales.

Observe que el primer y tercer caso son casos realmente especiales del segundo y cuarto casos, respectivamente.

Hay varios métodos para determinar los coeficientes para cada término y repasaremos cada uno de ellos en los siguientes ejemplos.

Comencemos con los ejemplos haciendo la integral anterior.

El primer paso es factorizar el denominador tanto como sea posible y obtener la forma de la descomposición de la fracción parcial. Hacer esto da,

El siguiente paso es volver a agregar el lado derecho.

Ahora, debemos elegir (A ) y (B ) para que los numeradores de estos dos sean iguales para cada (x ). Para hacer esto, necesitaremos igualar los numeradores.

[3x + 11 = A left ( derecha) + B izquierda ( derecho)]

Tenga en cuenta que en la mayoría de los problemas iremos directamente de la forma general de la descomposición a este paso y no nos molestaremos en volver a agregar los términos. El único punto para sumar los términos es obtener el numerador y podemos obtenerlo sin escribir los resultados de la suma.

En este punto, tenemos una de dos formas de proceder. Una forma siempre funcionará, pero a menudo es más trabajo. El otro, aunque no siempre funciona, suele ser más rápido cuando funciona. En este caso, ambos funcionarán, por lo que usaremos la forma más rápida para este ejemplo. Veremos el otro método en un ejemplo posterior.

Lo que vamos a hacer aquí es notar que los numeradores deben ser iguales para cualquier x que elegiríamos utilizar. En particular, los numeradores deben ser iguales para (x = - 2 ) y (x = 3 ). Entonces, conectemos estos y veamos qué obtenemos.

[empezarx & = - 2: & hspace <0.5in> 5 & = A left (0 right) + B left (<- 5> right) & hspace <0.25in> & Rightarrow & hspace < 0.25in> B & = - 1 x & = 3 , , , ,: & hspace <0.5in> 20 & = A left (5 right) + B left (0 right) & hspace <0.25in> & Rightarrow & hspace <0.25in> A & = 4 end]

Entonces, al elegir cuidadosamente las (x ), obtuvimos que las constantes desconocidas desaparecieran rápidamente. Tenga en cuenta que estos son los valores que afirmamos que serían superiores.

En este punto, realmente no hay mucho que hacer más que la integral.

Recuerda que para hacer esta integral, primero la dividimos en dos integrales y luego usamos las sustituciones,

en las integrales para obtener la respuesta final.

Antes de pasar al siguiente ejemplo, conviene hacer un par de notas rápidas. Primero, muchas de las integrales en problemas de fracciones parciales se reducen al tipo de integral visto arriba. Asegúrate de poder hacer esas integrales.

También hay otra integral que a menudo aparece en este tipo de problemas, por lo que también podemos dar la fórmula aquí, ya que ya estamos en el tema.

Será un ejemplo o dos antes de que lo usemos, así que no lo olvide.

Ahora, trabajemos con algunos ejemplos más.

No pondremos tantos detalles en esta solución como hicimos en el ejemplo anterior. Lo primero es factorizar el denominador y obtener la forma de la descomposición de la fracción parcial.

El siguiente paso es igualar los numeradores. Si realmente necesita sumar el lado derecho para obtener el numerador de ese lado, entonces debe hacerlo, sin embargo, definitivamente hará que el problema sea más rápido si puede hacer la suma en su cabeza para obtener,

[ + 4 = A izquierda ( derecha) izquierda (<3x - 2> derecha) + Bx izquierda (<3x - 2> derecha) + Cx izquierda ( derecho)]

Al igual que en el ejemplo anterior, parece que podemos elegir algunos valores de (x ) y encontrar las constantes, así que hagámoslo.

[empezarx & = 0 , , , , ,: & hspace <0.5in> 4 & = A left (2 right) left (<- 2> right) & hspace <0.5in> & Flecha derecha & hspace <0.25in> A & = - 1 x & = - 2: & hspace <0.5in> 8 & = B left (<- 2> right) left (<- 8 > right) & hspace <0.25in> & Rightarrow & hspace <0.25in> B & = frac <1> <2> x & = frac <2> <3> , ,: & hspace <0.5in> frac <<40>> <9> & = C left ( <3>> right) left ( <3>> derecha) & hspace <0.25in> & Rightarrow & hspace <0.25in> C & = frac <<40>> <<16>> = frac <5> <2> end]

Tenga en cuenta que, a diferencia del primer ejemplo, la mayoría de los coeficientes aquí son fracciones. Eso no es inusual, así que no se emocione cuando suceda.

Nuevamente, como se señaló anteriormente, las integrales que generan logaritmos naturales son muy comunes en estos problemas, así que asegúrese de poder hacerlo. Además, pudiste hacer correctamente la última integral, ¿verdad? El coeficiente de ( frac <5> <6> ) es correcto. Asegúrese de realizar la sustitución requerida para el término correctamente.

Esta vez, el denominador ya está factorizado, así que saltemos directamente a la descomposición de fracciones parciales.

[ - 29x + 5 = A izquierda ( derecha) izquierda (<+ 3> derecha) + B izquierda (<+ 3> derecha) + izquierda ( right) < left ( right) ^ 2> ]

En este caso, no seremos capaces de elegir valores de (x ) que nos den todas las constantes. Por lo tanto, tendremos que trabajar esto de la segunda manera (y a menudo más). El primer paso es multiplicar el lado derecho y recopilar todos los términos semejantes. Hacer esto da,

[ - 29x + 5 = izquierda ( derecho) + izquierda (<- 4A + B - 8C + D> derecha) + izquierda (<3A + 16C - 8D> derecha) x - 12A + 3B + 16D ]

Ahora tenemos que elegir (A ), (B ), (C ) y (D ) para que estos dos sean iguales. En otras palabras, necesitaremos igualar los coeficientes de potencias similares de (x ). Esto dará un sistema de ecuaciones que se puede resolver.

[izquierda. empezar &: hspace <0.25in> & A + C & = 0 &: hspace <0.25in> & - 4A + B - 8C + D & = 1 &: hspace <0.25in> & 3A + 16C - 8D & = - 29 &: hspace <0.25in> & - 12A + 3B + 16D & = 5 end right > hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> A = 1, , B = - 5, , C = - 1, , D = 2 ]

Tenga en cuenta que usamos () para representar las constantes. También tenga en cuenta que estos sistemas a menudo pueden ser bastante grandes y requieren una buena cantidad de trabajo para resolverlos. La mejor manera de lidiar con estos es utilizar alguna forma de técnicas de resolución asistida por computadora.

Ahora, echemos un vistazo a la integral.

Para ocuparnos del tercer término, tuvimos que dividirlo en dos términos separados. Una vez que hayamos hecho esto, podemos hacer todas las integrales del problema. Los dos primeros usan la sustitución (u = x - 4 ), el tercero usa la sustitución (v = + 3 ) y el cuarto término usa la fórmula dada arriba para las tangentes inversas.

Primero obtengamos la forma general de la descomposición de fracciones parciales.

Ahora, iguale los numeradores, expanda el lado derecho y recopile términos semejantes.

Al igualar el coeficiente se obtiene el siguiente sistema.

[izquierda. empezar &: hspace <0.25in> & A + B & = 0 &: hspace <0.25in> & C - B & = 1 &: hspace <0.25in> & 8A + 4B - C + D & = 10 &: hspace <0.25in> & - 4B + 4C - D + E & = 3 &: hspace <0.25in> & 16A - 4C - E & = 36 end right > , , , , , Rightarrow , , , , , , , , A = 2, , B = - 2, , C = - 1, , D = 1, , E = 0 ]

No se emocione si algunos de los coeficientes terminan siendo cero. Ocurre de vez en cuando.

Hasta este punto, solo hemos examinado expresiones racionales en las que el grado del numerador era estrictamente menor que el grado del denominador. Por supuesto, no todas las expresiones racionales encajarán en esta forma, por lo que debemos echar un vistazo a un par de ejemplos en los que este no es el caso.

Entonces, en este caso, el grado del numerador es 4 y el grado del denominador es 3. Por lo tanto, no se pueden hacer fracciones parciales en esta expresión racional.

Para arreglar esto, tendremos que hacer una división larga en esto para obtener una forma que podamos manejar. Aquí está el trabajo para eso.

Entonces, de la división larga vemos que,

La primera integral la podemos hacer con bastante facilidad y la segunda integral está ahora en una forma que nos permite hacer fracciones parciales. Entonces, obtengamos la forma general de las fracciones parciales para el segundo integrando.

Establecer numeradores iguales nos da,

[18 = Ax left ( derecha) + B izquierda ( derecha) + C]

Ahora, hay una variación del método que usamos en los primeros ejemplos que funcionará aquí. Hay un par de valores de (x ) que nos permitirán obtener rápidamente dos de las tres constantes, pero no hay ningún valor de (x ) que nos dé la tercera.

Lo que haremos en este ejemplo es elegir (x ) para obtener las dos constantes que podemos obtener fácilmente y luego simplemente elegiremos otro valor de (x ) con el que será fácil trabajar (es decir. no dará números grandes / desordenados en ninguna parte) y luego usaremos el hecho de que también conocemos las otras dos constantes para encontrar la tercera.

[empezarx & = 0: & hspace <0.25in> 18 & = B left (<- 3> right) & hspace <0.15in> Rightarrow hspace <0.25in> B & = - 6 x & = 3: & hspace <0.25in> 18 & = C left (9 right) & hspace <0.15in> Rightarrow hspace <0.25in> C & = 2 x & = 1: & 18 & = A left (<- 2> right) + B left (<- 2> right) + C = - 2A + 14 & hspace <0.15in> Rightarrow hspace <0.25in> A & = - 2 end]

En el ejemplo anterior, en realidad había dos formas diferentes de lidiar con () en el denominador. Uno es tratarlo como un cuadrático que daría el siguiente término en la descomposición

y la otra es tratarlo como un término lineal de la siguiente manera,

que da los siguientes dos términos en la descomposición,

Usamos la segunda forma de pensarlo en nuestro ejemplo. Sin embargo, tenga en cuenta que los dos darán descomposiciones de fracciones parciales idénticas. Entonces, ¿por qué hablar de esto? Sencillo. Esto funcionará para (), pero que pasa () o ()? En estos casos, realmente necesitaremos utilizar la segunda forma de pensar sobre este tipo de términos.

Echemos un vistazo a un ejemplo más.

En este caso, el numerador y el denominador tienen el mismo grado. Al igual que con el último ejemplo, necesitaremos hacer una división larga para que esto tenga la forma correcta. Te dejaremos los detalles para que los revises.

Entonces, necesitaremos fraccionar parcialmente la segunda integral. Aquí está la descomposición.

Establecer el numerador igual da,

[1 = A left ( derecha) + B izquierda ( derecho)]

Elegir el valor de (x ) nos da los siguientes coeficientes.

[empezarx & = - 1: & hspace <0.25in> 1 & = B left (<- 2> right) & hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.5in> B & = - frac <1 > <2> x & = 1 , , , ,: & hspace <0.25in> 1 & = A left (2 right) & hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.5 en> A & = frac <1> <2> end]


Diferenciación implícita y la segunda

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14: diferenciación parcial

En Cálculo I y en la mayor parte de Cálculo II nos concentramos en funciones de una variable. En Cálculo III ampliaremos nuestro conocimiento del cálculo en funciones de dos o más variables. A pesar de que este capítulo trata sobre derivadas, comenzaremos el capítulo con una sección sobre límites de funciones de más de una variable. En el resto de este capítulo veremos las funciones de diferenciación de más de una variable. Como veremos, aunque existen diferencias con las derivadas de funciones de una variable, si puede hacer derivadas de funciones de una variable, no debería tener problemas para diferenciar funciones de más de una variable. Solo tendrá que tener en cuenta una sutileza mientras hacemos el trabajo.

Aquí hay una lista de temas en este capítulo.

Límites: en la sección, echaremos un vistazo rápido a la evaluación de los límites de funciones de varias variables. También veremos un método bastante rápido que se puede utilizar, en ocasiones, para demostrar que no existen algunos límites.

Derivadas parciales: en esta sección veremos la idea de derivadas parciales. Daremos la definición formal de la derivada parcial, así como las notaciones estándar y cómo calcularlas en la práctica (es decir, sin el uso de la definición). Como verá, si puede hacer derivadas de funciones de una variable, no tendrá muchos problemas con las derivadas parciales. Solo hay una sutileza (muy importante) que debe tener siempre en cuenta al calcular derivadas parciales.

Interpretaciones de derivadas parciales: en la sección veremos un par de interpretaciones importantes de derivadas parciales. Primero, la siempre importante tasa de cambio de la función. Aunque ahora tenemos múltiples "direcciones" en las que la función puede cambiar (a diferencia de Cálculo I). También veremos que las derivadas parciales dan la pendiente de las rectas tangentes a las trazas de la función.

Derivadas parciales de orden superior: en la sección veremos las derivadas parciales de orden superior. Sin embargo, a diferencia de Cálculo I, tendremos múltiples derivadas de segundo orden, múltiples derivadas de tercer orden, etc. porque ahora estamos trabajando con funciones de múltiples variables. También discutiremos el teorema de Clairaut para ayudar con parte del trabajo en la búsqueda de derivadas de orden superior.

Diferenciales: en esta sección ampliamos la idea de diferenciales que vimos por primera vez en Cálculo I a funciones de varias variables.

Regla de la cadena: en la sección ampliamos la idea de la regla de la cadena a funciones de varias variables. En particular, veremos que hay múltiples variantes de la regla de la cadena aquí, todas dependiendo de cuántas variables depende nuestra función y cómo cada una de esas variables puede, a su vez, escribirse en términos de diferentes variables. También le daremos un buen método para escribir la regla de la cadena para prácticamente cualquier situación en la que se pueda encontrar al tratar con funciones de múltiples variables. Además, obtendremos una forma muy rápida de hacer la diferenciación implícita para que ya no necesitemos pasar por el proceso que hicimos por primera vez en Cálculo I.

Derivadas direccionales: en la sección presentamos el concepto de derivadas direccionales. Con las derivadas direccionales, ahora podemos preguntarnos cómo está cambiando una función si permitimos que cambien todas las variables independientes en lugar de mantener constantes todas menos una, como hicimos con las derivadas parciales. Además, definiremos el vector de degradado para ayudar con algo de la notación y trabajar aquí. El vector de gradiente también será muy útil en algunas secciones posteriores. También daremos un buen dato que nos permitirá determinar la dirección en la que una función determinada está cambiando más rápidamente.


Fallo del teorema de Clairaut donde ambos parciales mixtos están definidos pero no son iguales

Es posible tener una función de dos variables y un punto en el dominio de tal que tanto las derivadas parciales mixtas de segundo orden de existir en , es decir, ambos números y existen, pero no son iguales.

Para una función de dos variables en general

Es posible tener una función de dos variables tal que tanto las derivadas parciales mixtas de segundo orden y existen en todas partes en pero no son iguales como funciones, es decir, existe un punto donde los valores de las derivadas parciales mixtas de segundo orden no son iguales.


Ejercicios 14.3

Ej 14.3.1 Encuentre $ f_x $ y $ f_y $ donde $ ds f (x, y) = cos (x ^ 2y) + y ^ 3 $. (respuesta)

Ej 14.3.2 Encuentre $ f_x $ y $ f_y $ donde $ ds f (x, y) =PS (respuesta)

Ej 14.3.3 Encuentre $ f_x $ y $ f_y $ donde $ ds f (x, y) = e ^PS (respuesta)

Ej 14.3.4 Encuentre $ f_x $ y $ f_y $ donde $ ds f (x, y) = xy ln (xy) $. (respuesta)

Ej 14.3.5 Encuentra $ f_x $ y $ f_y $ donde $ ds f (x, y) = sqrt <1-x ^ 2-y ^ 2> $. (respuesta)

Ej 14.3.6 Encuentre $ f_x $ y $ f_y $ donde $ ds f (x, y) = x tan (y) $. (respuesta)

Ej 14.3.7 Encuentre $ f_x $ y $ f_y $ donde $ ds f (x, y) = <1 over xy> $. (respuesta)

Ej 14.3.8 Encuentre una ecuación para el plano tangente a $ ds 2x ^ 2 + 3y ^ 2-z ^ 2 = 4 $ en $ (1,1, -1) $. (respuesta)

Ej 14.3.9 Encuentre una ecuación para el plano tangente a $ ds f (x, y) = sin (xy) $ en $ ( pi, 1 / 2,1) $. (respuesta)

Ej 14.3.10 Encuentre una ecuación para el plano tangente a $ ds f (x, y) = x ^ 2 + y ^ 3 $ en $ (3,1,10) $. (respuesta)

Ej 14.3.11 Encuentre una ecuación para el plano tangente a $ ds f (x, y) = x ln (xy) $ en $ (2,1 / 2,0) $. (respuesta)

Ej 14.3.12 Encuentre una ecuación para la recta normal a $ ds x ^ 2 + 4y ^ 2 = 2z $ en $ (2,1,4) $. (respuesta)

Ej 14.3.13 Demuestre que la curva $r(t) = langle ln (t), t ln (t), t rangle $ es tangente a la superficie $ xz ^ 2-yz + cos (xy) = 1 $ en el punto $ (0,0 , 1) $.

Ej 14.3.14 Explique con sus propias palabras por qué, al tomar una derivada parcial de una función de múltiples variables, podemos tratar las variables que no se diferencian como constantes.

Ej 14.3.15 Considere una función diferenciable, $ f (x, y) $. Dé interpretaciones físicas de los significados de $ f_x (a, b) $ y $ f_y (a, b) $ según se relacionen con la gráfica de $ f $.

Ej 14.3.16 De la misma manera que usamos la recta tangente para aproximar el valor de una función a partir del cálculo de una sola variable, podemos usar el plano tangente para aproximar una función a partir del cálculo multivariable. Considere el plano tangente encontrado en el ejercicio 14.3.11. Utilice este plano para aproximar $ f (1.98, 0.4) $.

Ej 14.3.17 Suponga que uno de sus colegas ha calculado las derivadas parciales de una función dada y le ha informado que $ f_x (x, y) = 2x + 3y $ y que $ f_y (x, y) = 4x + 6y $. Les crees? ¿Por qué o por qué no? Si no es así, ¿qué respuesta podría haber aceptado para $ f_y $?

Ej 14.3.18 Suponga que $ f (t) $ y $ g (t) $ son funciones diferenciables de una sola variable. Encuentre $ z parcial / parcial x $ y $ z parcial / parcial y $ para cada una de las siguientes dos funciones variables.


14: diferenciación parcial

Pregunta sobre la interfaz de usuario: (
f (x, y): = x ^ 2y + xy ^ 2
)
Cuál es la mejor manera de ingresar esta segunda derivada parcial mixta en la línea de entrada (?):

Para derivadas de orden superior, simplemente agregue más comas y variables. Para el ( frac < partial> < partial x ^ 2> ) puedes usar el atajo:

También puede mezclar y combinar los dos, como:

¿Existe una forma corta de probar un punto (1,2) en el parcial con respecto a x?

diff ((f (x, y), x) | x = 1, y = 2 no funciona.
diff ((f (x, y), x | x = 1, y = 2) no funciona.
diff (f (x, y), x) | asumir (x = 1, y = 2) no funciona.
(diff (f (x, y), x) | (asumir (x = 1, y = 2))) no funciona.
(f (x, y), x) '| x = 1, y = 2) no funciona.

Ninguno de esos funciona porque su sintaxis es ambigua. No hay forma (desde el punto de vista del software) de saber si la sustitución debe aplicarse antes de ejecutar el comando diff () o después. Si bien todos entendemos el significado que pretende, tal es la naturaleza de la función where.

En cuanto a la sintaxis, suele ser:

Parece que la función where da prioridad a la sustitución sobre la evaluación de funciones. Por otro lado, subst () tiene precedencia inversa.

¡Gracias por tu respuesta tan informativa, Han!

(Ejemplo original): (f (x, y): = x ^ 2y + xy ^ 2 )

Parece que he omitido en el grupo de cosas que intenté, que no funcionó, fue: diff (f (x, y), x) | , que es la forma que esperaba que funcionaría.

La función subst () funciona, pero de alguna manera pierde el ideal: subst (diff (f (x, y), x),) devolviendo 8. Si se trata de un medio "taquigráfico" de obtener el resultado, amplía un poco la definición de taquigrafía.

Me gustaría sugerir que los autores consideren ampliar el valor de utilidad de "|" where comando para incluir aplicaciones como: diff (f (x, y), x) | . El contexto es para que la sustitución se aplique DESPUÉS de la diferenciación, como probablemente sería obvio en la inspección en forma manuscrita.

Nuevamente, gracias, aprendo mucho de estas respuestas y espero poder compartirlas en consecuencia, a medida que pasa el tiempo.

Siempre puede crear un archivo de programa de "alias" que acorta los comandos incorporados a comandos más cortos.

EXPORTACIÓN SS (a, b): =
EMPEZAR
return subst (a, b)
FINAL

Coloque todas sus "macros" en el mismo archivo, y también aparecerán en el Toobox (en Usuario, junto al Catálogo) para que pueda llegar allí con solo unos pocos toques en la pantalla.

Al alejarse del tema para reflexionar sobre el propósito del producto previsto y los dispositivos de cálculo portátiles para el mercado del aula, ¿se puede decir que exigir que un estudiante aprenda matemáticas dependientes de la máquina cumple con el objetivo educativo de aprender matemáticas de la asignatura? No lo creo en este caso.

En un entorno de clase, los temas de matemáticas avanzan con bastante rapidez. Durante la conferencia, se da poco tiempo para una desviación de cómo se debe modificar "esto o aquello" la interfaz de la máquina para lograr el tema de la asignatura. Durante la recitación, la interposición de las demandas de la interfaz hombre-máquina (HMI) agrega una capa de confusión al objetivo central de aprender el tema. Finalmente, durante el tiempo de examen, tratar de recordar cuál de las diversas dependencias de la máquina tiene más probabilidades de alcanzar las expectativas de los problemas de examen, genera una mayor dificultad general y demandas de tiempo.

Anteriormente, la declaración "| donde" se discutió con respecto a sus limitaciones: "así es" debe ser acomodada por los usuarios de Prime. En consecuencia, existen muchos ejemplos que no funcionan con esa instalación. Sin embargo, en un entorno de clase de pizarra, esa es precisamente la forma utilizada para devolver las restricciones a la expresión principal. La sintaxis de Subst () no es parte del léxico matemático normal del profesor.

Esta discusión enfatiza que la tecnología portátil no se conecta fácilmente con el aula. El HMI, la conferencia, la recitación y el examen, serían mucho mejores si los objetivos que se enseñan se cumplieran, de la misma manera, con las herramientas que se comercializan para ellos.

Personalmente, siento que Prime falla a los educadores, estudiantes y otros, en este importante escenario particular, y necesita más trabajo.

Hola, ¿por qué no utilizas la "plantilla" que, en mi opinión, es la forma más rápida?

¿No es interesante eso? Al comienzo de mi trabajo con este tema, usé la clave de plantilla para esto.

En la primera publicación, estaba tratando de encontrar una manera de ingresar segundos parciales mixtos: ( Large frac <∂ ^ 2f (x, y)> <∂x∂y> )

Después de eso, quería encontrar formas de evaluar la expresión en un punto con respecto a x, (o y), y nos alejamos de la función de plantilla. Migró a los formularios de línea de entrada genéricos porque (en otros casos) la plantilla resultó en el formulario de línea de entrada, de todos modos: (f (x, y), x) '| , o diff (f (x, y), x) |

Esto generó las respuestas hasta ahora. Entonces, armado con "tal es la limitación del comando where", "su sintaxis es ambigua", debido a que no se sabe cuándo aplicar la evaluación de expresión (antes / después) para un punto dado, etc., ha resultado en mi, principalmente irrelevante, opinión del status quo.

Irónicamente, supongo que no había puesto la última expresión en la plantilla, como tú lo hiciste, y SUCEDE la evaluación (como lo descubriste), de la manera en que, creo, ¡debería!

Nunca se sabe (o intenta recordar) lo que obtendrá cuando la misma expresión ingresada de varias maneras produce varios resultados.

De vez en cuando, diff (f (x, y), x) | --- & gt [0 0].
La mayoría de las veces activa ["Invalid | Error: Bad Argument Value"].

En resumen, creo que esta es un área en la que se podría mejorar el software. Se lo dejo a aquellos que tienen el poder de efectuar cambios. Afortunadamente, en mi caso, tengo tiempo para probar muchas cosas y, con suerte, encontrar una solución viable.

¡Disfruto del Prime y aprendo en el camino! Ese es un largo camino para explicar el "por qué", pero eso es todo. La clave de la plantilla es normalmente mi primera opción.

Este es también mi sentimiento (y pensamientos similares en el entorno gráfico). Las capacidades del Prime son asombrosas. Parisse es un genio con XCAS y su implementación. Parrish es un período genial.

El punto de DrD sobre cuán preciso debe ser en cómo se realiza una entrada en Prime es muy importante. Para que esta increíble plataforma tenga éxito en el mercado educativo y en los mercados profesionales, es fundamental que los medios de expresión primarios matemáticamente equivalentes sean reconocidos por los modos Prime in Home, CAS y gráficos. El Prime no debería tratar de encontrar una sintaxis específica entre una variedad de entradas matemáticamente correctas y equivalentes.

Espero que a medida que el Prime madure, este problema reciba una alta prioridad. Me temo que el mercado tiene esta expectativa como punto de partida. Esto puede dificultar la reconsideración de los sistemas escolares y el mercado profesional que pueden haber rechazado el Prime por estas razones.

Estoy de acuerdo con lrdheat. El CAS principal es mucho más potente que el HP50G CAS, por ejemplo, pero por ahora el HP50G parece más homogéneo en mi opinión a pesar de las carencias de su CAS.
A continuación se explica cómo hacerlo con el 50G en RPL:

Note that the equation writer is unable to display the formula 2 and 4 on the stack in 'text book' (despite the fact that this syntax is well documented) but the way of the 50G to handle the paranthesis is more logical.

I agree with Parrise. CAS principles and limitations should be taught in math classes where CAS will be encountered. Ideally, everyone would have to be on the same CAS system. However, I strongly feel that a CAS be designed to accept primary mathematically equivalent entries such as n root, surd, and ^ to be accepted by users, especially your target market. This must also work across the entire platform. home,CAS, graphing.

That said, I'm a huge fan of Prime and it's team!

I'm not too far removed from the point of view expressed by Parisse, except that I've found that no technology (CAS or otherwise) is academically universal.

I have taken math classes where no calcs were allowed, others where computer software Mathcad, Maple, Mathematica, etc. was the recitation support tool, and one trig class (long ago) where my hp48 was coveted by the professor, as he would always ask me for hp 48 solutions to classroom examples, comparing them with his lecture notes.

The most recent class I attended, linear algebra, the prof used only a few mathcad examples, throughout the course. The material covered, if well understood, didn't require hardware. Sometimes problem sets were a little more extensive, but for those, the process of the solution was paramount, with accuracy almost a secondary concern. However, it was always stressed that subject matter was what lecture time was about, unless it was a class with a technology perspective foremost.

In my vocational life, of course, it was accuracy above all, and hp calcs of various models were always near to hand my entire career. Beginning with hp-25, I still use the hp-50g even after retirement!

Lately, I have much more "fun" with the Prime, though! Thanks to Parisse, and Han, I have learned a great deal, possibly the most important being great respect for their efforts, regardless of how fitting the results may be!


14: Partial Differentiation

when you hit enter, you can then choose MA1024 and then choose the worksheet

Remember to immediately save it in your own home directory. Once you've copied and saved the worksheet, read through the background on the internet and the background of the worksheet before starting the exercises.

The Maple commands for computing partial derivatives are D and diff . The Getting Started worksheet has examples of how to use these commands to compute partial derivatives.

at the point using the diff command and then again using the D command.

a) Plot the function and the plane on the same graph. Use intervals , , . b) Find the derivative of in the plane. Evaluate this derivative at and then find the equation of the line tangent to the two-dimensional intersection of the plane and at the point . c) Plot the tangent line and the two-dimensional intersection of the plane and on the same graph. Be sure to use and ranges that are consistent with your ranges in part a. d) Does your two-dimensional graph look like the intersection from your three-dimensional graph? Be sure to use the same ranges to properly compare and rotate the 3-D graph.


Ver el vídeo: Derivadas parciales Introducción (Septiembre 2021).