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12.6: Otros sistemas de coordenadas


Los sistemas de coordenadas son herramientas que nos permiten utilizar métodos algebraicos para comprender la geometría. Mientras que la rectangular (también llamado cartesiano) las coordenadas que hemos estado discutiendo son las más comunes, algunos problemas son más fáciles de analizar en sistemas de coordenadas alternativos. Un sistema de coordenadas es un esquema que nos permite identificar cualquier punto en el plano o en el espacio tridimensional mediante un conjunto de números. En coordenadas rectangulares, estos números se interpretan, en términos generales, como las longitudes de los lados de una "caja" rectangular.

En dos dimensiones, es posible que ya esté familiarizado con una alternativa, llamada coordenadas polares. En este sistema, cada punto del plano se identifica mediante un par de números ((r, theta) ). El número ( theta ) mide el ángulo entre el eje positivo (x ) - y un vector con cola en el origen y cabeza en el punto, como se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ); el número (r ) mide la distancia desde el origen hasta el punto. Cualquiera de estos puede ser negativo; un ( theta ) negativo indica que el ángulo se mide en el sentido de las agujas del reloj desde el eje positivo (x ) - en lugar de en el sentido contrario a las agujas del reloj, y un (r ) negativo indica el punto a la distancia (| r | ) en la dirección opuesta a la dada por ( theta ). La figura ( PageIndex {1} ) también muestra el punto con coordenadas rectangulares ((1, sqrt3) ) y coordenadas polares ((2, pi / 3) ), 2 unidades desde el origen y ( pi / 3 ) radianes del eje positivo (x ) -.

Figura ( PageIndex {1} ): PAGcoordenadas olares: el caso general y el punto con coordenadas rectangulares ((1, sqrt3) ).

Podemos extender las coordenadas polares a tres dimensiones simplemente agregando una coordenada (z ); se llama coordenadas cilíndricas. Cada punto en el espacio tridimensional está representado por tres coordenadas ((r, theta, z) ) de la manera obvia: este punto está (z ) unidades por encima o por debajo del punto ((r, theta ) ) en el plano (x ) - (y ), como se muestra en la Figura ( PageIndex {5} ). El punto con coordenadas rectangulares ((1, sqrt3, 3) ) y coordenadas cilíndricas ((2, pi / 3,3) ) también se indica en la Figura ( PageIndex {2} ).

Figura ( PageIndex {2} ):Coordenadas cilíndricas: el caso general y el punto con coordenadas rectangulares ((1, sqrt3, 3) ).

Algunas figuras con ecuaciones relativamente complicadas en coordenadas rectangulares se representarán mediante ecuaciones más simples en coordenadas cilíndricas. Por ejemplo, el cilindro de la Figura ( PageIndex {3} ) tiene la ecuación (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 ) en coordenadas rectangulares, pero la ecuación (r = 2 ) en coordenadas cilíndricas.

Figura ( PageIndex {3} ): El cilindro (r = 2 ).

Dado un punto ((r, theta) ) en coordenadas polares, es fácil ver (Figura ( PageIndex {1} )) que las coordenadas rectangulares del mismo punto son ((r cos theta, r sin theta) ), por lo que el punto ((r, theta, z) ) en coordenadas cilíndricas es ((r cos theta, r sin theta, z) ) en coordenadas rectangulares. Esto significa que generalmente es fácil convertir cualquier ecuación de coordenadas rectangulares a cilíndricas: simplemente sustituya

[ eqalign {x & = r cos theta cr y & = r sin theta cr} ]

y deja (z ) solo. Por ejemplo, comenzando con (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 ) y sustituyendo (x = r cos theta ), (y = r sin theta ) da

[ eqalign {r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 sin ^ 2 theta & = 4 cr r ^ 2 ( cos ^ 2 theta + sin ^ 2 theta) & = 4 cr r ^ 2 & = 4 cr r & = 2. cr} ]

Por supuesto, es fácil ver directamente que esto define un cilindro como se mencionó anteriormente.

Las coordenadas cilíndricas son una extensión obvia de las coordenadas polares a tres dimensiones, pero el uso de la coordenada (z ) significa que no son tan análogas a las coordenadas polares como otro sistema de coordenadas estándar. En coordenadas polares, identificamos un punto por una dirección y distancia desde el origen; en tres dimensiones podemos hacer lo mismo, de diversas formas. La pregunta es: ¿cómo representamos una dirección? Una forma es dar el ángulo de rotación, ( theta ), desde el eje positivo (x ), al igual que en las coordenadas cilíndricas, y también un ángulo de rotación, ( phi ), desde el eje positivo (eje Z.

En términos generales, ( theta ) es como longitud y ( phi ) es como latitud. (La longitud de la Tierra se mide como un ángulo positivo o negativo desde el primer meridiano, y siempre está entre 0 y 180 grados, este u oeste; ( theta ) puede ser cualquier ángulo positivo o negativo, y usamos radianes excepto en La latitud de la Tierra se mide al norte o al sur desde el ecuador; ( phi ) se mide desde el polo norte hacia abajo.) Este sistema se llama coordenadas esféricas; las coordenadas se enumeran en el orden (( rho, theta, phi) ), donde ( rho ) es la distancia desde el origen, y como (r ) en coordenadas cilíndricas puede ser negativo . El caso general y un ejemplo se muestran en la Figura ( PageIndex {4} ); la longitud marcada como (r ) es la (r ) de las coordenadas cilíndricas.

Figura ( PageIndex {4} ): Coordenadas esféricas: el caso general y el punto con coordenadas rectangulares ((1, sqrt3, 3) ).

Al igual que con las coordenadas cilíndricas, podemos convertir fácilmente ecuaciones en coordenadas rectangulares al equivalente en coordenadas esféricas, aunque es un poco más difícil descubrir las sustituciones adecuadas. La figura ( PageIndex {5} ) muestra el punto típico en coordenadas esféricas de la figura ( PageIndex {4} ), visto ahora de modo que la flecha marcada (r ) en el gráfico original aparece como la horizontal " eje '' en el gráfico de la izquierda. De este diagrama es fácil ver que la coordenada (z ) es ( rho cos phi ), y que (r = rho sin phi ), como se muestra. Por lo tanto, al convertir de coordenadas rectangulares a esféricas reemplazaremos (z ) por ( rho cos phi ). Para ver las sustituciones de (x ) y (y ) ahora vemos el mismo punto desde arriba, como se muestra en el gráfico de la derecha. La hipotenusa del triángulo en el gráfico de la derecha es (r = rho sin phi ), por lo que los lados del triángulo, como se muestra , son (x = r cos theta = rho sin phi cos theta ) y (y = r sin theta = rho sin phi sin theta ). El resultado es que para convertir de coordenadas rectangulares a esféricas, hacemos estas sustituciones:

[ eqalign {x & = rho sin phi cos theta cr y & = rho sin phi sin theta cr z & = rho cos phi. cr} ]

Figura ( PageIndex {5} ): Conversión de coordenadas rectangulares a esféricas.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Como el cilindro tenía una ecuación simple en coordenadas cilíndricas, también la tiene la esfera en coordenadas esféricas: ( rho = 2 ) es la esfera de radio 2.

Solución

Si partimos de la ecuación cartesiana de la esfera y la sustituimos, obtenemos la ecuación esférica:

[ begin {align *} x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 & = 2 ^ 2 cr rho ^ 2 sin ^ 2 phi cos ^ 2 theta + rho ^ 2 sin ^ 2 phi sin ^ 2 theta + rho ^ 2 cos ^ 2 phi & = 2 ^ 2 cr rho ^ 2 sin ^ 2 phi ( cos ^ 2 theta + sin ^ 2 theta) + rho ^ 2 cos ^ 2 phi & = 2 ^ 2 cr rho ^ 2 sin ^ 2 phi + rho ^ 2 cos ^ 2 phi & = 2 ^ 2 cr rho ^ 2 ( sin ^ 2 phi + cos ^ 2 phi) & = 2 ^ 2 cr rho ^ 2 & = 2 ^ 2 cr rho & = 2 cr end {align *} ]

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Encuentra una ecuación para el cilindro (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 ) en coordenadas esféricas.

Solución

Procediendo como en el ejemplo anterior:

[ begin {align *} x ^ 2 + y ^ 2 & = 4 cr rho ^ 2 sin ^ 2 phi cos ^ 2 theta + rho ^ 2 sin ^ 2 phi sin ^ 2 theta & = 4 cr rho ^ 2 sin ^ 2 phi ( cos ^ 2 theta + sin ^ 2 theta) & = 4 cr rho ^ 2 sin ^ 2 phi & = 4 cr rho sin phi & = 2 cr rho & = {2 over sin phi} cr end {align *} ]


Coordenadas GPS

Coordenadas GPS Finder es una herramienta que se utiliza para encontrar la latitud y longitud de su ubicación actual, incluida su dirección, código postal, estado, ciudad y latitud. El buscador de latitud y longitud tiene opciones para convertir la ubicación del GPS en dirección y viceversa y los resultados se mostrarán en las coordenadas del mapa.

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Coordenadas rectangulares

Cualquier punto P puede estar representado por tres números con signo, generalmente escritos (x, y, z) donde la coordenada es la distancia perpendicular al plano formado por los otros dos ejes.

A menudo, las posiciones se especifican mediante un vector de posición r que se puede expresar en términos de valores de coordenadas y vectores unitarios asociados.

Aunque se puede rotar todo el sistema de coordenadas, la relación entre los ejes se fija en lo que se llama un sistema de coordenadas para diestros.

Para la visualización de algunos tipos de datos, puede ser conveniente tener diferentes escalas para los diferentes ejes, pero para las operaciones matemáticas con las coordenadas, es necesario que los ejes tengan las mismas escalas. El término "coordenadas cartesianas" se utiliza para describir tales sistemas, y los valores de las tres coordenadas ubican sin ambigüedad un punto en el espacio. En un sistema de coordenadas de este tipo, puede calcular la distancia entre dos puntos y realizar operaciones como rotaciones de ejes sin alterar este valor.

La distancia entre dos puntos cualesquiera en coordenadas rectangulares se puede encontrar a partir de la relación de distancia.


Procedimiento

Para identificar el sistema de coordenadas correcto, examine la extensión del conjunto de datos. Determine qué tipo de sistema de coordenadas coincide mejor con la información de extensión del dataset y visite el artículo relacionado para ese tipo específico de sistema de coordenadas.

  1. Examine la extensión de coordenadas del conjunto de datos.
    1. Inicie ArcMap con un mapa nuevo y vacío.
    2. Haga clic en el botón Agregar datos y agregue los datos con el sistema de coordenadas desconocido a ArcMap.
    3. Haga clic con el botón derecho en el nombre de la capa, haga clic en Propiedades y seleccione la pestaña Fuente.
    4. En la sección Extensión, anote el número de dígitos a la IZQUIERDA del decimal en las posiciones Superior, Inferior, Izquierda y Derecha.
      • Incluya el signo menos (-) si las coordenadas son negativas.
      • Ignore los dígitos a la derecha del decimal.
    5. Guarde esta información para compararla con las propiedades de los sistemas de coordenadas geográficas, proyectadas y locales que se enumeran a continuación.

    Sistemas de coordenadas geográficas

    Los sistemas de coordenadas geográficas (GCS) utilizan unidades de grados decimales para las coordenadas. Estas unidades a menudo se denominan & # 39lat & # 39 y & # 39long & # 39.

    Los grados decimales (DD) son ángulos, y estas unidades de medida se utilizan a menudo con datos GIS, pero rara vez con datos CAD.

    Debido a que hay 360 grados en un círculo, las coordenadas en DD nunca pueden tener más de tres dígitos a la izquierda del decimal.
    Las coordenadas X son valores de longitud. Para los datos de América del Norte, los valores de longitud deben ser números negativos entre 0 y -180. Las coordenadas Y son valores de latitud. Para datos en Norteamérica, los valores de latitud deben ser números positivos entre 0 y +90.

    Los datos con coordenadas en grados decimales están en un GCS. Estos datos se pueden crear en una gran cantidad de datos diferentes. Los datums más comúnmente usados ​​en Norteamérica son North American Datum 1927 (NAD 1927), North American Datum 1983 (NAD 1983) y World Geodetic Survey 1984 (WGS 1984). Para definir el sistema de coordenadas para los datos en un sistema de coordenadas geográficas, se debe seleccionar el GCS correcto.

    Si la información de extensión del conjunto de datos parece pertenecer a un sistema de coordenadas geográficas, lea ¿Qué sistema de coordenadas geográficas o datum debo usar para mis datos?

    Sistemas de coordenadas proyectadas

    Tanto los datos GIS como los CAD se pueden crear utilizando sistemas de coordenadas proyectadas (PCS). Con ArcGIS se instala una amplia variedad de sistemas de coordenadas proyectadas predefinidas, que utilizan diferentes unidades y referencias. En los Estados Unidos, los sistemas de coordenadas proyectadas más comúnmente utilizados son State Plane y Universal Transverse Mercator (UTM).

    La mayoría de las veces, los datos proyectados en estos sistemas de coordenadas tienen una extensión de seis a ocho dígitos a la izquierda del decimal.

    Si la información de extensión del dataset parece pertenecer a un sistema de coordenadas proyectadas, lea el artículo relevante a continuación para su versión de ArcGIS Desktop:

    Sistemas de coordenadas locales

    Los datos CAD se crean con frecuencia en un sistema de coordenadas local.

    A diferencia de los datos en un sistema de coordenadas geográficas que tiene su origen (coordenadas 0,0), donde el primer meridiano cruza el ecuador frente a la costa oeste de África, un sistema de coordenadas local puede tener su origen (0,0) en cualquier lugar de la superficie de la tierra.

    Cuando la extensión de un conjunto de datos tiene de tres a cinco dígitos a la izquierda del decimal, lo más probable es que se encuentre en un sistema de coordenadas local.

    Si la información de extensión del dataset parece pertenecer a un sistema de coordenadas local, lea Crear un archivo de proyección personalizado en ArcMap para alinear los datos CAD.


      En este diagrama, un observador está parado en el medio del hemisferio que se muestra arriba. El disco el suelo y el perímetro define el horizonte. La cúpula es su vista del cielo. Este modelo asume que la Tierra es plana (con respecto al observador) y dado que el radio de la Tierra es mucho mayor que tu altura de 1.8 metros, esta suposición es válida.

    Este sistema de coordenadas mejorado define un ecuador celeste como una proyección del ecuador de la Tierra en el cielo. Los polos celestes norte y sur están a +/- 90 grados del ecuador celeste. Estas también son proyecciones de los polos norte y sur de la Tierra hacia el cielo.

    En este sistema de coordenadas, un observador en alguna latitud observaría que cualquier estrella alcanza una altitud máxima en el cielo. Esa altitud máxima es equivalente a la latitud del observador y se conoce como declinación . Por lo tanto, si estuviera en un barco de vela y tuviera una lista de declinaciones de estrellas brillantes y midiera cuándo esas estrellas alcanzaron su altitud máxima, entonces sabría su latitud. Una estrella en particular conveniente para medir la posición de la Tierra es la Estrella Polar o Polaris. Permanece fijo hora tras hora, noche tras noche. Por ejemplo, si estuvieras en la Tierra y vieras a Polaris en el cenit, estarías ubicado en el polo norte. Si viera Polaris a 30 grados sobre el horizonte, su latitud sería 30 grados norte. Ahora que cualquier estrella alcanza su altitud máxima en un punto más bajo que el cenit del observador, la latitud es igual a 90 - altitud de estrella + declinación de estrella. Por ejemplo, suponga que ve una estrella que alcanza una altitud máxima de 65 grados sobre el horizonte, sabe que su declinación es 20 grados norte, por lo que su latitud es: 90 - 65 + 20 = 45 grados norte.

    Conocer su longitud, sin embargo, requeriría un sistema de tiempo universal en la Tierra y eso no está establecido y definido hasta el siglo XIX (1884 para ser exactos). El cielo equivalente a la longitud es Ascensión Recta o RA. Esta coordenada se divide en 24 horas (no hay coincidencia allí) o 360 grados. Hay de 15 grados a una hora. Por lo tanto, si observa una dirección fija en el cielo, las estrellas se habrán "movido" 15 grados en una hora en RA. A continuación se muestra a Rigel en el sistema de coordenadas RA Dec para Los Ángeles y Calgary. Observe que las coordenadas RA / Dec son las mismas para ambas ubicaciones. ¡Hurra!

    Como se mencionó, este sistema de coordenadas es el sistema de coordenadas del cielo más utilizado por los astrónomos. Las estrellas permanecen fijas a esta cuadrícula de coordenadas con pequeños ajustes cada 50 años debido al bamboleo de la Tierra. Sin embargo, el Sol, la luna y los planetas no tienen coordenadas RA y Dec fijas como las estrellas. Y todavía no puede explicar por qué varía la cantidad de tiempo que el Sol pasa en el cielo.

    Un simple experimento realizado inicialmente por astrónomos chinos alrededor del año 1000 a.C. da una pista de por qué varía el sol y todo lo que necesita hacer es poner un palo en el suelo:

    Si haces esto, notarás que al mediodía solar (cuando el sol está en su punto más alto en el cielo) hay una sombra de cierta longitud desde la cual puedes medir un ángulo. Si hace esto el tiempo suficiente (por ejemplo, durante un año), notará que se midió un ángulo máximo y se midió un ángulo mínimo (esto funciona para cualquier latitud).

    La diferencia entre esos ángulos máximo y mínimo será de 47 grados. Esta diferencia es igual al doble de la "inclinación" de la Tierra. Por lo tanto, la tierra tiene una "inclinación" de 23,5 grados.

    ¿Pero una inclinación con respecto a qué?

    La comprensión correcta de la inclinación requiere un sistema de coordenadas diferente

    Lo que establece el "horizonte" como una extensión del ecuador del sol. Esto se conoce como el plano de la eclíptica y veremos más adelante que todos los planetas orbitan dentro de este plano. Así, la inclinación de la tierra significa que su eje de rotación está inclinado 23,5 grados con respecto al ecuador del sol (o, equivalentemente, el plano de la eclíptica).

    Entonces, desde el punto de vista de un observador en el plano de la eclíptica, el ecuador de la Tierra está inclinado 23,5 grados.

    Dado que los sistemas de coordenadas suelen ser relativos, se pueden cambiar. Entonces, desde el punto de vista del observador en la Tierra, el plano de la eclíptica está inclinado 23,5 grados con respecto al ecuador de la Tierra:

    Entonces, esto significa que en el solsticio de verano el Sol tiene una declinación de 23.5 grados, lo que significa que si estuviera a 23.5 grados, el sol estaría directamente sobre su cabeza (por ejemplo, 90 grados sobre el horizonte) al mediodía.

    Ahora, finalmente, consideremos el caso de Eugene, que se encuentra en una latitud de unos 44,5 grados.

    • 44,5 - 23,5 = 21 grados de ese punto de referencia
    • En el solisticio de verano, la máxima elevación del Sol sobre el horizonte sería, por tanto, 90-21 = 69 grados.


    El nuevo Actualización mensual de relaciones gubernamentales y políticas públicas de ANSI rastrea las iniciativas legislativas y regulatorias actuales de gran relevancia para la comunidad de normalización, investigadas y compiladas por Mary Saunders, vicepresidenta de relaciones gubernamentales de ANSI. El boletín presenta aspectos destacados de las actividades federales y del Congreso en áreas prioritarias para los constituyentes de ANSI y las partes interesadas en la estandarización.


    ¿Cuál es la distancia entre P y Q y las coordenadas del punto medio del segmento de línea PQ si P (7,6), Q (7, 2)?

    Entonces, en primer lugar, para calcular la distancia entre dos puntos, usamos la siguiente fórmula:

    distancia = #sqrt ((x_2 - x_1) ^ 2 + (y_2 -y_1) ^ 2 #

    Entonces, reemplazando las coordenadas en la fórmula,

    distancia = #sqrt ((7-7) ^ 2 + (6-2) ^ 2 # # = sqrt ((0 ^ 2 + 4 ^ 2) # # = sqrt 16 = 4 #

    El punto medio también tiene una fórmula sencilla:

    Entonces el punto medio es: # ((7 + 7) / 2, (6 + 2) / 2) = (14/2, 8/2) = (7, 4) #

    Explicación:

    Para calcular la distancia use la "fórmula de distancia" #color (azul) #

    #color (rojo) (bar (ul (| color (blanco) (2/2) color (negro) (d = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2)) color (blanco) (2/2) |))) #
    donde # (x_1, y_1), (x_2, y_2) "son 2 puntos de coordenadas" #

    Los 2 puntos aquí son (7, 6) y (7, 2)

    let # (x_1, y_1) = (7,6) "y" (x_2, y_2) = (7,2) #

    #rArrd_ (PQ) = raíz cuadrada ((7-7) ^ 2 + (2-6) ^ 2) = raíz cuadrada (16) = 4 #

    Las coordenadas del punto medio son el #color (azul) "promedio" # de las coordenadas xey de P (7, 6) y Q (7, 2)

    #rArrx _ ("punto medio") = 1/2 (7 + 7) = 7 #

    # "y" y _ ("punto medio") = 1/2 (6 + 2) = 4 #

    #rArr "coordenadas del punto medio" = (7,4) #


    Ejemplos de

    El siguiente ejemplo muestra los métodos Contains y Exists en una List & ltT & gt que contiene un objeto comercial simple que implementa Equals.

    El siguiente ejemplo contiene una lista de objetos complejos de tipo Cube. La clase Cube implementa el método IEquatable & ltT & gt.Equals para que dos cubos se consideren iguales si sus dimensiones son las mismas. En este ejemplo, el método Contains devuelve verdadero, porque un cubo que tiene las dimensiones especificadas ya está en la colección.


    1. Análisis de umbral de privacidad (PTA)

    El primer paso en el proceso para el personal del DHS que busca implementar o actualizar un sistema o programa es completar una PTA. La Oficina de Privacidad del DHS revisa la PTA para determinar si el sistema o programa es sensible a la privacidad y requiere documentación adicional de cumplimiento de la privacidad, como una PIA o SORN. Las PTA caducan y deben revisarse y volverse a certificar cada tres años o cuando se produzcan cambios / actualizaciones. Además, la Oficina de Privacidad del DHS también determinará si se requiere una Declaración de la Ley de Privacidad o un Aviso de Privacidad, que brinde transparencia y notifique a la persona de quien se recopila la Información de Identificación Personal (PII).


    Proyecciones azimutales

    Las proyecciones acimutales tocan la tierra con un plano en un punto tangente, los ángulos desde ese punto tangente se conservan, y las distancias desde ese punto se calculan mediante una función independiente del ángulo. Los radioaficionados utilizan la proyección equidistante azimutal para conocer la dirección en la que apuntar sus antenas hacia un punto y ver la distancia hasta él. La distancia desde el punto tangente en el mapa es igual a la distancia de la superficie en la tierra.

    Proyección azimutal de áreas iguales: la distancia desde el punto tangente en el mapa es igual a la distancia en línea recta a través de la Tierra.

    La proyección conforme azimutal es la misma que la proyección estereográfica.

    La proyección ortográfica azimutal mapea cada punto de la tierra al punto más cercano en el plano.


    Ver el vídeo: ΘΕΡΙΝΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ (Septiembre 2021).