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8.6: Funciones racionales


A función racional es una fracción con polinomios en el numerador y denominador. Por ejemplo,

[{x ^ 3 over x ^ 2 + x-6}, qquad qquad {1 over (x-3) ^ 2}, qquad qquad {x ^ 2 + 1 over x ^ 2- 1}, ]

son todas funciones racionales de (x ). Existe una técnica general llamada "fracciones parciales" que, en principio, nos permite integrar cualquier función racional. Los pasos algebraicos en la técnica son bastante engorrosos si el polinomio en el denominador tiene grado mayor que 2, y la técnica requiere que factorizamos el denominador, algo que no siempre es posible. Sin embargo, en la práctica, no siempre se encuentran funciones racionales con polinomios de alto grado en el denominador para el que hay que encontrar la función antiderivada. Así que explicaremos cómo encontrar la antiderivada de una función racional solo cuando el denominador es un polinomio cuadrático (ax ^ 2 + bx + c ).

Debemos mencionar un tipo especial de función racional que ya sabemos cómo integrar: si el denominador tiene la forma ((ax + b) ^ n ), la sustitución (u = ax + b ) siempre funcionará. El denominador se convierte en (u ^ n ), y cada (x ) en el numerador se reemplaza por ((u-b) / a ) y (dx = du / a ). Si bien puede resultar tedioso completar la integración si el numerador tiene un grado alto, es simplemente una cuestión de álgebra.

Ejemplo ( PageIndex {1}

Encuentra ( int {x ^ 3 over (3-2x) ^ 5} , dx. )

Solución

Usando la sustitución (u = 3-2x ) obtenemos

[ eqalign { int {x ^ 3 over (3-2x) ^ 5} , dx & = {1 over -2} int { left ({u-3 over-2} right ) ^ 3 over u ^ 5} , du = {1 over 16} int {u ^ 3-9u ^ 2 + 27u-27 over u ^ 5} , du cr & = {1 over 16} int u ^ {- 2} -9u ^ {- 3} + 27u ^ {- 4} -27u ^ {- 5} , du cr & = {1 over 16} left ({u ^ {-1} over-1} - {9u ^ {- 2} over-2} + {27u ^ {- 3} over-3} - {27u ^ {- 4} over-4} right ) + C cr & = {1 over 16} left ({(3-2x) ^ {- 1} over-1} - {9 (3-2x) ^ {- 2} over-2} + {27 (3-2x) ^ {- 3} over-3} - {27 (3-2x) ^ {- 4} over-4} right) + C cr & = - {1 over 16 (3-2x)} + {9 over32 (3-2x) ^ 2} - {9 over16 (3-2x) ^ 3} + {27 over64 (3-2x) ^ 4} + C. cr} ]

Ahora procedemos al caso en el que el denominador es un polinomio cuadrático. Siempre podemos factorizar el coeficiente de (x ^ 2 ) y ponerlo fuera de la integral, por lo que podemos asumir que el denominador tiene la forma (x ^ 2 + bx + c ). Hay tres casos posibles, dependiendo de cómo los factores cuadráticos: (x ^ 2 + bx + c = (xr) (xs) ), (x ^ 2 + bx + c = (xr) ^ 2 ) o no tiene en cuenta. Podemos usar la fórmula cuadrática para decidir cuál de estos tenemos y factorizar la cuadrática si es posible.

Ejemplo ( PageIndex {2}

Determina si (x ^ 2 + x + 1 ) factoriza y factoriza si es posible.

Solución

La fórmula cuadrática nos dice que (x ^ 2 + x + 1 = 0 ) cuando [x = {- 1 pm sqrt {1-4} over 2}. ] Dado que no hay raíz cuadrada de (- 3 ), esta cuadrática no factoriza.

Ejemplo ( PageIndex {3}

Determina si (x ^ 2-x-1 ) factoriza y factoriza si es posible.

Solución

La fórmula cuadrática nos dice que (x ^ 2-x-1 = 0 ) cuando

[x = {1 pm sqrt {1 + 4} over 2} = {1 pm sqrt {5} over2}. ]

Por lo tanto

[x ^ 2-x-1 = left (x- {1+ sqrt {5} over2} right) left (x- {1- sqrt {5} over2} right). ]

Si (x ^ 2 + bx + c = (x-r) ^ 2 ) entonces tenemos el caso especial que ya hemos visto, que puede manejarse con una sustitución. Los otros dos casos requieren enfoques diferentes.

Si (x ^ 2 + bx + c = (x-r) (x-s) ), tenemos una integral de la forma

[ int {p (x) over (x-r) (x-s)} , dx ]

donde (p (x) ) es un polinomio. El primer paso es asegurarse de que (p (x) ) tenga un grado menor que 2.

Ejemplo ( PageIndex {4}

Reescribe ( int {x ^ 3 over (x-2) (x + 3)} , dx ) en términos de una integral con un numerador que tenga un grado menor que 2.

Solución

Para hacer esto usamos división larga de polinomios para descubrir que

[{x ^ 3 over (x-2) (x + 3)} = {x ^ 3 over x ^ 2 + x-6} = x-1 + {7x-6 over x ^ 2 + x -6} = x-1 + {7x-6 sobre (x-2) (x + 3)}, ]

entonces

[ int {x ^ 3 over (x-2) (x + 3)} , dx = int x-1 , dx + int {7x-6 over (x-2) (x + 3)} , dx. ]

La primera integral es fácil, por lo que solo la segunda requiere algo de trabajo.

Ahora considere el siguiente álgebra simple de fracciones: [{A over xr} + {B over xs} = {A (xs) + B (xr) over (xr) (xs)} = {(A + B ) x-As-Br sobre (xr) (xs)}. [Es decir, sumar dos fracciones con numerador y denominador constante ((xr) ) y ((xs) ) produce una fracción con denominador ((xr) (xs) ) y un polinomio de grado menor que 2 para el numerador. Queremos invertir este proceso: comenzando con una sola fracción, queremos escribirla como una suma de dos fracciones más simples. Un ejemplo debería dejar claro cómo proceder.

Ejemplo ( PageIndex {5}

Evalúa [ int {x ^ 3 over (x-2) (x + 3)} , dx. ]

Solución

Comenzamos escribiendo ({7x-6 over (x-2) (x + 3)} ) como la suma de dos fracciones. Queremos terminar con

[{7x-6 over (x-2) (x + 3)} = {A over x-2} + {B over x + 3}. ]

Si seguimos adelante y sumamos las fracciones del lado derecho obtenemos

[{7x-6 over (x-2) (x + 3)} = {(A + B) x + 3A-2B over (x-2) (x + 3)}. ]

Entonces, todo lo que tenemos que hacer es encontrar (A ) y (B ) de modo que (7x-6 = (A + B) x + 3A-2B ), es decir, necesitamos (7 = A + B ) y (- 6 = 3A-2B ). Este es un problema que has visto antes: resuelve un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Hay muchas formas de proceder; aquí hay uno: Si (7 = A + B ) entonces (B = 7-A ) y entonces (- 6 = 3A-2B = 3A-2 (7-A) = 3A-14 + 2A = 5A -14 ). Esto es fácil de resolver para (A ): (A = 8/5 ), y luego (B = 7-A = 7-8 / 5 = 27/5 ). Por lo tanto

[ int {7x-6 over (x-2) (x + 3)} , dx = int {8 over5} {1 over x-2} + {27 over5} {1 over x + 3} , dx = {8 over5} ln | x-2 | + {27 over5} ln | x + 3 | + C. ]

La respuesta al problema original es ahora

[ eqalign { int {x ^ 3 over (x-2) (x + 3)} , dx & = int x-1 , dx + int {7x-6 over (x-2 ) (x + 3)} , dx cr & = {x ^ 2 over 2} -x + {8 over5} ln | x-2 | + {27 over5} ln | x + 3 | + C. cr} ]

Ahora suponga que (x ^ 2 + bx + c ) no factoriza. Nuevamente, podemos usar una división larga para asegurarnos de que el numerador tenga un grado menor que 2, luego completamos el cuadrado.

Ejemplo ( PageIndex {6}

Evaluar

[ int {x + 1 sobre x ^ 2 + 4x + 8} , dx. ]

Solución

El denominador cuadrático no factoriza. Podríamos completar el cuadrado y usar una sustitución trigonométrica, pero es más simple reorganizar el integrando:

[ int {x + 1 sobre x ^ 2 + 4x + 8} , dx = int {x + 2 sobre x ^ 2 + 4x + 8} , dx - int {1 sobre x ^ 2 + 4x + 8} , dx. ]

La primera integral es un problema de sustitución fácil, usando (u = x ^ 2 + 4x + 8 ):

[ int {x + 2 over x ^ 2 + 4x + 8} , dx = {1 over2} int {du over u} = {1 over2} ln | x ^ 2 + 4x + 8 |. ]

Para la segunda integral completamos el cuadrado:

[x ^ 2 + 4x + 8 = (x + 2) ^ 2 + 4 = 4 left ( left ({x + 2 over2} right) ^ 2 + 1 right), ]

haciendo la integral

[{1 over4} int {1 over left ({x + 2 over2} right) ^ 2 + 1} , dx. ]

Usando (u = {x + 2 over2} ) obtenemos

[{1 over4} int {1 over left ({x + 2 over2} right) ^ 2 + 1} , dx = {1 over4} int {2 over u ^ 2 + 1} , dx = {1 over2} arctan left ({x + 2 over2} right). ]

La respuesta final es ahora

[ int {x + 1 over x ^ 2 + 4x + 8} , dx = {1 over2} ln | x ^ 2 + 4x + 8 | - {1 over2} arctan left ({ x + 2 over2} right) + C. ]


SOLUCIÓN: Cree una función racional que tenga las siguientes características: cruza el eje x en 3 toca el eje x en -2 tiene una asíntota vertical en x = 1 y en x = -4 tiene un agujero en

¡Puedes poner esta solución en TU sitio web!
Invente una función racional que tenga las siguientes características:
cruza el eje x en 3
Tiene (x-3) en el numerador.
---------------------
toca el eje x en -2
Tiene (x + 2) ^ 2 en el numerador.
--------------------
tiene una asíntota vertical en x = 1 y en x = -4
Tiene (x-1) y (x + 4) en el denominador
---------------
tiene un agujero en x = 5
Tiene (x-5) en el numerador y en el denominador.
--------------------
tiene una asíntota horizontal en y = 2.
En este punto, los grados del numerador son 4
y el grado del denominador es 3
por lo que necesita un factor de "2" en el numerador y un factor de "x" en el
denominador.
-------------------
f (x) = [2 (x-3) (x + 2) ^ 2 (x-5)] / [x (x-1) (x + 4) (x-5)]
==================
¿Qué significa "toca el eje x"?
Ejemplo y = x es una línea que "pasa por" el eje x en x = 0.
y = x ^ 2 es una parábola que "toca" el eje x en x = 0
Así es como se ven los "toques":


8.1. ¿Radical?

8.2. Como puede ver, la función tiene un radical.

8.3. Asíntotas radicales y racionales

8.4. Si ambos polinomios tienen el mismo grado, divida los coeficientes de los términos de mayor grado. Si el polinomio en el numerador es un grado menor que el denominador, el eje x (y = 0) es la asíntota horizontal.

8.5. Las curvas se acercan a estas asíntotas pero nunca las cruzan. Para encontrar la (s) asíntota (s) verticales de una función racional, simplemente iguale el denominador a 0 y resuelva para x.

8.6. Las asíntotas radicales y racionales son las mismas cuando se observan sus gráficos.

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Unidad de funciones racionales

Esta unidad incluye presentaciones de PowerPoint, notas guiadas coordinadas con respuestas, un cuestionario de mitad de unidad y una prueba de unidad que cubre las funciones racionales. El PowerPoint incluye ejercicios de calentamiento (hacer ahora o timbre de campana), conceptos clave y ejemplos para que los estudiantes los sigan. También incluye una guía de ritmo con estándares estatales básicos comunes y tareas sugeridas y asignaciones de trabajo en clase.

Creé esto para acompañar el libro de texto de Álgebra 2 de Prentice Hall Pearson. Esta unidad cubre las Secciones 8.1-8.6. Las lecciones son de 30 a 45 minutos cada una.


Preguntas esenciales de la unidad:
¿Son dos cantidades inversamente proporcionales si un aumento en una corresponde a una disminución en la otra?
¿Qué tipo de asíntotas son posibles para una función racional?
¿Son equivalentes una expresión racional y su forma simplificada?


El mapeo $ sigma_1: x mapsto -x $ se extiende únicamente a un $ F $ -automorfismo de $ K $. Claramente, $ L_1 $ está contenido en el campo fijo $ Inv (G_1) $ de $ G_1 = langle sigma_1 rangle le Aut (K / F) $. Como $ | G_1 | = 2 $, tenemos $ [K: Inv (G_1)] = 2 $. Como $ K = L_1 (x) $ también es una extensión cuadrática de $ L_1 $, podemos concluir que $ L_1 = Inv (G_1) $. De manera similar, si $ sigma_2 $ es el $ F $ -automorfismo de $ K $ determinado por $ x mapsto -x-1 $ (agradecimiento cordial a Georges Elencwajg por el automorfismo correcto), entonces $ G_2 = langle sigma_2 rangle $ también es cíclico de orden dos, y $ L_2 $ es su campo fijo.

Suponga que $ z = p (x) / q (x) en L_1 cap L_2 $, donde $ p (x), q (x) en F [x] $ son polinomios coprimos. Entonces $ z $ debe ser fijado por $ sigma_1 $ y $ sigma_2 $. Pero $ ( sigma_2 circ sigma_1) (x) = sigma_2 ( sigma_1 (x)) = sigma_2 (-x) = - (- x-1) = x + 1, $ entonces debemos tener $ frac= z = ( sigma_2 circ sigma_1) (z) = frac. $ Por inducción también tenemos, para todos $ n in mathbf$, $ p (x) / q (x) = p (x + n) / q (x + n) $. Al convertir eso en una identidad polinomial, tenemos para todos $ n in mathbf$ que $ p (x) q (x + n) = p (x + n) q (x). $ Suponga que $ p (x) $ no es un polinomio constante. Entonces tiene un $ alpha $ cero en alguna extensión finita $ E $ de $ F $, y según nuestro supuesto $ q ( alpha) neq0 $. De las identidades anteriores obtenemos que $ p ( alpha + n) = 0 $ para todos los $ n in mathbfPS Como asumimos que $ char F = 0 $, hay infinitos elementos distintos $ alpha + n $ en el campo $ F ( alpha) $, y llegamos a la absurda conclusión de que $ p (x) $ tiene infinitamente muchos ceros. Por tanto, $ p (x) $ debe ser una constante. De manera similar, vemos que el denominador $ q (x) $ también debe ser una constante. Esto prueba la afirmación.

Tenga en cuenta que la suposición de $ char F = 0 $ era absolutamente esencial. De hecho, la afirmación es falsa sin esa suposición, ya que el grupo generado por $ sigma_1 $ y $ sigma_2 $ es finito en ese caso. Como ejemplo concreto, ofrezco lo siguiente. Suponga $ p = char F = 2 $. Entonces $ x ^ 4 + x ^ 2 = (x ^ 2 + x) ^ 2 in L_1 cap L_2. $ Nota: $ sigma_1 $ es el mapeo de identidad cuando $ p = 2 $, y la extensión $ K / L_1 $ es entonces puramente inseparable. Si $ p & gt2 $ vemos fácilmente que el grupo $ G $ generado por $ sigma_1 $ y $ sigma_2 $ es el grupo diedro de orden $ 2p $, y el campo fijo $ L = L_1 cap L_2 $ de ese grupo satisface $ [K: L] = 2p $, y es una extensión trascendental de $ F $. Georges calculó amablemente que en ese caso tenemos $ L = F ((x ^ p-x) ^ 2) $. Esto se desprende de la observación de que $ prod_^( sigma_2 circ sigma_1) ^ t (x) = prod_^(x + t) = x ^ p-x. $ Como $ G = H cup sigma_1 H $, donde $ H = langle sigma_2 circ sigma_1 rangle $, obtenemos que el elemento $ (x ^ px) sigma_1 (x ^ px) = - (x ^ px) ^ 2 $ es invariante para todos los $ G $. Claramente $ [K: F ((x ^ p-x) ^ 2)] = 2p $, por lo que sigue el reclamo.

Esta es una variante de la solución de Jyrki Lahtonen, que evita cálculos explícitos con polinomios. Tiene $ K = F (x) $ y $ L_1 = F (x ^ 2) $ y $ L_2 = F (x ^ 2 + x) $, donde $ F $ es un campo de característica $. Entonces $ K / L_1 $ y $ K / L_2 $ son Galois, con los grupos de Galois $ G_1 = langle sigma_1 rangle $ y $ G_2 = langle sigma_2 rangle $ donde $ sigma_1 (x) = - x $ y $ sigma_2 (x) = - 1-x $. A continuación, cada elemento de $ G: = langle sigma_1, sigma_2 rangle $ corrige $ L_1 cap L_2 $. Pero $ G $ es infinito, ya que $ sigma_1 sigma_2 $ mapea $ x mapsto x-1 $ y por lo tanto tiene un orden infinito. Por tanto, $ [K: L_1 cap L_2] $ es infinito. De ello se deduce que $ L_1 cap L_2 = F $, ya que $ [F (x): F (f (x))] $ es finito para cualquier $ f (x) no constante en F (x) $ (prueba: $ x $ es una raíz del numerador de $ f (X) -f (x) $, y este numerador es un polinomio no constante en $ X $ con coeficientes en $ F (f (x)) $).

Observación adicional: si $ f (x) $ y $ g (x) $ son funciones racionales en $ F (x) $ para las cuales $ F (x) / F (f (x)) $ y $ F (x) / F (g (x)) $ no son Galois, generalmente es bastante difícil determinar si $ F (f (x)) cap F (g (x)) = F $. La única situación en la que esto se comprende completamente es cuando $ F $ tiene la característica cero y $ f, g $ son polinomios. Entonces, gracias principalmente al trabajo de Ritt de la década de 1920, sabemos que la intersección es $ F $ a menos que haya polinomios $ h, mu, nu en F [x] $ con $ text( mu) = texto( nu) = 1 $ para cuál de estos se cumple:

  1. $ f = mu circ D_n (x, a) circ h quad text quad g = nu circ D_m (x, a) circ h $
  2. $ f = mu circ x ^ n circ h quad text quad g = nu circ x ^ i p (x ^ n) circ h $
  3. $ f = mu circ x ^ i p (x ^ n) circ h quad text quad g = nu circ x ^ n circ h $.

Aquí $ p (x) en F [x] $, y $ D_n (x, a) $ es el grado- $ n $ polinomio de Dickson con parámetro $ a $ esto significa que $ a en F $ y que $ D_n (x, a) $ es el polinomio único en $ F [x] $ que satisface $ D_n (x + a / x, a) = x ^ n + (a / x) ^ n $. No se conoce un análogo de este resultado para funciones racionales en la característica cero o polinomios en la característica $ p $. Tales análogos tendrían aplicaciones importantes en teoría de números, geometría algebraica, lógica y análisis complejo. Para obtener más información sobre estas preguntas, consulte, por ejemplo, este documento y las páginas 31-32 de este documento.

Agregado más tarde: permítanme mencionar un resultado más. Si se le da un campo $ K $ y dos subcampos $ L_1, L_2 $ de $ K $ tales que cada $ K / L_i $ es finito y separable, puede intentar usar la teoría de Galois para determinar si $ [K: L_1 cap L_2] $ es finito. Porque, si $ [K: L_1 cap L_2] $ es finito, entonces hay una extensión finita $ M / K $ tal que tanto $ M / L_1 $ como $ M / L_2 $ son Galois. (Esto no es demasiado difícil, pero no es trivial). Por el contrario, si tal $ M $ existe, $ [K: L_1 cap L_2] $ es finito si y solo si los grupos de Galois de $ M / L_1 $ y $ M / L_2 $ generan un grupo finito. Ahora, si existe un $ M $, puede construir el mínimo de $ M $ dejando que $ M_1 $ sea el cierre de Galois de $ K / L_1 $, $ M_2 $ sea el cierre de Galois de $ M_1 / L_2 $, $ M_3 $ será el cierre de Galois de $ M_2 / L_1 $, y así sucesivamente. Esto da como resultado una torre $ K subseteq M_1 subseteq M_2 subseteq M_3 subseteq. $, y $ M $ existen si y solo si la torre eventualmente se convierte en una cadena infinita de igualdad de campos, en cuyo caso el mínimo $ M $ es este campo común. Ahora, aquí hay un resultado sorprendente debido a David Goldschmidt (1980): suponga que tanto $ K / L_1 $ como $ K / L_2 $ tienen grado 3, y realiza este procedimiento para construir $ M_1, M_2. PS Si alguna vez ve una instancia en la que $ [M_i: K] $ no divide $ 2 ^ 7 $, entonces la torre $ K subset M_1 subset M_2 subset M_3 subset dots $ seguirá aumentando para siempre.


Superficies NURBS

Una superficie se diferencia de una curva solo en que tiene dos direcciones paramétricas (tu y v) en lugar de uno (Figura 8-14), y que el orden y el vector de nudo deben especificarse para ambos parámetros.

Figura 8-12. Superficies curvas

Las dos dimensiones paramétricas, tu y v, se asignan al espacio de objetos 3D. Al igual que con las curvas, los puntos de control se especifican en el espacio de objetos. La tu y v los parámetros pueden tener un orden diferente y una secuencia de nudos diferente, aunque a menudo son iguales. El orden de cada dimensión se especifica como

pedido = número_de_nudos - número_de_puntos_control

Superficie Bezier

Ejemplo 8-3 crea una superficie Bezier plana. Los vectores de nudos definen una superficie Bézier cúbica (multiplicidad 4 al principio y al final). La superficie es de orden 4 con 16 puntos de control dispuestos en una cuadrícula de cuatro por cuatro. La tu y v Los vectores de nudos tienen cada uno una longitud de 8. La Figura 8-15 muestra el gráfico de escena para los nodos en este ejemplo. Observe que los puntos utilizados como puntos de control (controlPts) debe preceder al nodo NURBS (superficie) en el escenario gráfico. & # 8220Bezier Surface & # 8221 muestra la imagen renderizada.

Figura 8-13. Gráfico de escena para una superficie Bezier

Ejemplo 8-3. Superficie Bezier

Consejo: Si una superficie NURBS está cambiando, insertando una Complejidad nodo con SCREEN_SPACE especificado como el tipo puede mejorar el rendimiento, especialmente si las superficies NURBS están lejos.

Recorte de superficies NURBS

Curvas de perfil se utilizan para recortar (cortar áreas lejos de) una superficie NURBS. Las curvas de perfil en sí mismas no se renderizan, simplemente se utilizan para recortar cualquier superficie NURBS posterior en el gráfico de escena. Al igual que las transformaciones, las curvas de perfil son empujadas y desplegadas por grupos separadores, pero se acumulan entre sí.

Las curvas de perfil se utilizan a menudo para realizar una operación de esténcil, como cortar una forma de una superficie de tela con un par de tijeras. También se utilizan para eliminar esquinas afiladas de una superficie NURBS. Consulte también el Ejemplo 6-3, que utiliza una curva de perfil con texto 3D.

El recorte de superficies NURBS se considera un tema avanzado. Si esta es su primera exposición a un NURBS, experimente primero con curvas y superficies, luego pase a superficies recortadas.

Una curva de perfil puede constar de una curva de perfil lineal ( SoLinearProfile ), una curva NURBS ( SoNurbsPerfilCurva ), O una combinación de los dos. Para las coordenadas, usa SoProfileCoordinate2 (para curvas de perfil no racionales) o SoProfileCoordinate3 (para curvas de perfil racionales). El requisito principal es que la curva de perfil compuesto haga un bucle completo, con su primer punto repetido como su último punto. Además, no puede intersecarse a sí mismo.

Consejo: Si desea que la curva de su perfil sea recta pero siga la superficie, utilice un SoNurbsPerfilCurva con una curva de orden 2. (Consulte el Ejemplo 8-4.) Los perfiles lineales crean bordes de recorte rectos en el espacio del objeto que no siguen la superficie. Rara vez utilizará un SoLinearProfile para recortar una superficie NURBS.

La dirección en la que se definen los puntos de una curva de perfil es significativa. Si la curva de perfil se define en el sentido de las agujas del reloj, el área dentro de la curva se descarta y el área fuera de la curva se retiene. Si la curva del perfil se define en sentido antihorario, el área interior se retiene y el área exterior se descarta. Las curvas de perfil se pueden anidar unas dentro de otras, pero no se pueden intersecar. La curva de perfil más externa debe definirse en sentido antihorario (consulte el Ejemplo 8-4).

Las curvas de perfil se definen en el espacio de parámetros, que se asigna a
espacio de objetos.

El Ejemplo 8-4 agrega curvas de perfil a la superficie creada en el Ejemplo 8-3. La Figura 8-17 muestra el gráfico de escena para los nodos en este ejemplo. Observe que los puntos utilizados como puntos de control (controlPts) debe preceder al nodo NURBS (superficie) en el escenario gráfico. Del mismo modo, los puntos que definen la curva del perfil (recortarPtos) debe preceder a los nodos de curva de perfil (nTrim1, nTrim2, y nTrim3). Y, naturalmente, los nodos de curva de perfil deben preceder a la superficie NURBS a recortar.

Figura 8-14. Gráfico de escena para superficie Bezier recortada

La Figura 8-18 muestra las curvas de ajuste utilizadas en el Ejemplo 8-4, mapeadas en el parámetro (u / v) espacio. Este ejemplo utiliza tres curvas de perfil NURBS. Cada curva tiene su propio vector de nudos. La primera curva nTrim1, tiene cuatro segmentos y cinco puntos de control (comienza y termina en el mismo punto). Es una curva de orden 2 que pasa por los puntos finales. La segunda curva de perfil, nTrim2, también es lineal. Pasa por los puntos finales y tiene tres segmentos. La tercera curva de perfil, nTrim3, es una curva cúbica (orden = 4). Tiene una multiplicidad 4 al principio y al final (lo que la convierte en una curva de Bezier que pasa por los puntos finales).

Observe que estas curvas de recorte están anidadas una dentro de la otra y que la curva más externa está en sentido antihorario. No se cruzan entre sí. & # 8220A Trimmed Bezier Surface & # 8221 muestra la superficie Bezier recortada producida por el Ejemplo 8-4.


8.6: Funciones racionales

La función de transferencia del filtro de parada de banda se puede obtener mapeando la función de transferencia del prototipo de paso bajo, utilizando la siguiente función de mapeo

Todo el procedimiento para obtener la función de transferencia de parada de banda puede incluir los siguientes pasos:

Generar especificación de filtro de paso de banda

Convierta la especificación del filtro de paso de banda en simétrica

Los parámetros de la especificación simétrica deben satisfacer las siguientes condiciones:

Convierta la especificación de parada de banda simétrica en el prototipo de paso bajo equivalente utilizando las siguientes expresiones

Genere la función de transferencia de prototipos de paso bajo

Asigne la función de transferencia del prototipo de paso bajo a la función de transferencia de paso de banda deseada

Muestra

La función de transferencia del prototipo de paso bajo se obtiene de la siguiente manera:

Tales funciones de transferencia ocurren para las aproximaciones elípticas o inversas de Chebyshev. Los ceros son polos conjugados complejos también son conjugados complejos. La función de transferencia de parada de banda del filtro para el que (9.5) es un prototipo de paso bajo equivalente, se puede obtener mediante el mapeo de frecuencia en el dominio z. Reemplazo de variable con función de mapeo

La función de transferencia del filtro de parada de banda se puede expresar de la siguiente manera:

Tenga en cuenta que son ceros y polos conjugados complejos de la función de transferencia del prototipo de paso bajo. Por tanto, los factores y son números reales. Los pares y también son números complejos conjugados. En consecuencia, por analogía con (8.6), la expresión (9.7) puede presentarse en forma de un polinomio racional con coeficientes reales y satisface los requisitos de la función de transferencia del filtro.


8.6: Funciones racionales


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Los recursos de JMAP incluyen exámenes Regents en varios formatos, libros Regents que clasifican las preguntas del examen por estándar estatal: tema, fecha, tipo y al azar, hojas de trabajo Regents que clasifican las preguntas del examen por estándar estatal: tema, tipo y al azar, una guía de estudio de Álgebra I y Planes de lecciones de Álgebra I.

CLASES DE REVISIÓN DE EXÁMENES DE REGENTES
Estos recursos son para estudiantes que completaron el plan de estudios y se están preparando para el examen Regents.

GENERADORES DE HOJAS DE TRABAJO
JMAP ofrece bancos de preguntas para usar con el software ExamView. Los bancos incluyen preguntas de los exámenes Regents que se remontan a 1866. También puede descargar el software ExamView.

PROFESORES DE CIENCIA, HISTORIA E INGLÉS
JMAP interdisciplinario ofrece exámenes Regents en materias distintas de las matemáticas.


El radical racional & # 8230

Así que & # 8230 desde el lunes pasado & # 8211 & # 8217 he conocido a mi nueva administración. Trabajo final terminado en mi habitación (148). Descubrí que me iban a trasladar del ala de noveno grado a los grados 10-12. Ya no estoy en mi zona de confort de Álgebra I, pero me aventuraré en el mundo de Álgebra 2 y Geometría. Vacié mi salón de clases & # 8211 tengo MUCHAS cosas & # 8211 ayudé a mi amiga que se jubilaba a sacar cosas de su salón de clases mi mamá me ayudó a limpiar mi nueva habitación y finalmente, tengo cosas en mi nueva habitación. Todavía queda mucha organización por hacer, pero al menos está presentable (algo de todos modos).

No he tenido tiempo para sentarme e incluso leer los estándares de Geometría y Álgebra 2 hasta hoy, mientras estaba sentado en el Departamento de Educación de nuestro distrito. Lo más destacado de mi día & # 8211 no solo tuve el porcentaje de asistencia más alto en mi edificio & # 8211 sino en todo el distrito & # 8230yep, eso fue algo genial & # 8211 especialmente recibiendo $ 200 para materiales de clase # 8217s sugerencias sobre algunas herramientas para invertir instrucciones!) & # 8211 puede que no me proporcione TODO lo que quiero / necesito & # 8211 pero es un punto de partida. Quiero creer que fue porque a los niños les encantaron las matemáticas & # 8211 pero la verdad es & # 8211 tuve un grupo increíble de estudiantes que simplemente disfrutan de la escuela & # 8211, así que realmente no puedo atribuirme ningún mérito.

Entonces, estoy engañando mucho a # Made4Math hoy (lo siento @druinok por la publicación tardía) & # 8211 Solo estoy vinculando una actividad con la que realmente he tenido éxito a lo largo de los años. Mientras me siento aquí, escribiendo & # 8211 parece que & # 8217 he compartido esto antes & # 8211, así que me disculpo si lo hice & # 8211, es lo mejor que puedo hacer esta semana.

He usado Round Robins con grupos de tamaño 3 y # 8211 8 estudiantes. Cada estudiante coloca su nombre en la página & # 8211 para asegurarse de que lo recuperen al final de la actividad. Todos en el grupo siguen las instrucciones del primer cuadro. Pase la página a la persona a su izquierda, y todos se moverán hacia abajo un cuadro y seguirán las instrucciones dadas. Nuevamente, pase la página a la persona a su izquierda, baje un cuadro y complete las instrucciones dadas. Los estudiantes continuarán con este formato hasta que hayan completado completamente la & # 8220 hoja de trabajo. & # 8221

Debido a que las hojas de trabajo están diseñadas con una variedad de ejemplos / valores numéricos & # 8211 es posible que no esté trabajando con el mismo problema que el que acaba de completar, por lo que todos los demás & # 8217s trabajo / respuestas dependen de su respuesta & # 8211 es imperativo que usted da tu mejor esfuerzo. Veo que los estudiantes trabajan más duro en esta actividad que otros & # 8211 porque su trabajo es importante para la siguiente persona. Los estudiantes deben permanecer concentrados en la tarea & # 8211 ya que otros en el círculo tendrán que atenderlos si no están en la tarea.

Una vez que el grupo ha completado sus páginas & # 8211, se devuelven al propietario. Dentro del grupo & # 8211 deben discutir los patrones que reconocieron y tratar de desarrollar & # 8220 reglas & # 8221 que puedan usar en problemas futuros / similares.

Patrones de parábola Round Robin / Jigsaw - Aborda transformaciones en funciones cuadráticas y # 8211 cambios verticales y horizontales cambios estrechos / amplios y múltiples cambios de reflexión. Esta no es de ninguna manera mi idea & # 8211 Simplemente escribí un nuevo conjunto de problemas. Estos se pueden modificar fácilmente para cualquier transformación de función. Las actividades originales que recibí salieron de las Escuelas Públicas del Condado de Jefferson en Kentucky.


Descripción detallada de todas las hojas de trabajo de expresiones racionales

Simplificación de hojas de trabajo de expresiones radicales
Estas hojas de trabajo de expresiones racionales producirán problemas para simplificar expresiones racionales. Puede seleccionar qué tipo de expresión racional desea utilizar. Estas hojas de trabajo de expresiones racionales son un buen recurso para los estudiantes del quinto al octavo grado.

Sumar y restar hojas de trabajo de expresiones racionales
Estas hojas de trabajo de expresiones racionales producirán problemas para sumar y restar expresiones racionales. Puede seleccionar qué tipo de expresión racional desea utilizar. Estas hojas de trabajo de expresiones racionales son un buen recurso para los estudiantes del quinto al octavo grado.

Hojas de trabajo de multiplicación de expresiones racionales
Estas hojas de trabajo de expresiones racionales producirán problemas para multiplicar expresiones racionales. Puede seleccionar qué tipo de expresión racional desea utilizar. Estas hojas de trabajo de expresiones racionales son un buen recurso para los estudiantes del quinto al octavo grado.

Hojas de trabajo de división de expresiones racionales
Estas hojas de trabajo de expresiones racionales producirán problemas para dividir expresiones racionales. Puede seleccionar qué tipo de expresión racional desea utilizar. Estas hojas de trabajo de expresiones racionales son un buen recurso para los estudiantes del quinto al octavo grado.

División de hojas de trabajo de polinomios
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Resolver hojas de trabajo de expresiones racionales
Estas hojas de trabajo de expresiones racionales producirán problemas para resolver expresiones racionales. Puede seleccionar qué tipo de problema desea utilizar. Estas hojas de trabajo de expresiones racionales son un buen recurso para los estudiantes del quinto al octavo grado.


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