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4.2: La derivada de 1 / sen x


¿Qué pasa con la derivada de la función seno? Las reglas para las derivadas que tenemos no son de ayuda, ya que ( sin x ) no es una función algebraica. Necesitamos volver a la definición de derivada, establecer un límite e intentar calcularlo. Aquí está la definición:

[{d over dx} sin x = lim _ { Delta x to0} { sin (x + Delta x) - sin x over Delta x}. ]

Usando algunas identidades trigonométricas, podemos avanzar un poco en el cociente:

[ eqalign {{ sin (x + Delta x) - sin x over Delta x} & = { sin x cos Delta x + sin Delta x cos x - sin x over Delta x} cr & = sin x { cos Delta x - 1 over Delta x} + cos x { sin Delta x over Delta x}. Cr} ]

Esto aísla los bits difíciles en los dos límites.

[ lim _ { Delta x to0} { cos Delta x - 1 over Delta x} quad hbox {y} quad lim _ { Delta x to0} { sin Delta x sobre Delta x}. ]

Aquí tenemos un poco de suerte: resulta que una vez que conocemos el segundo límite, el primero es bastante fácil. Sin embargo, el segundo es bastante complicado. De hecho, es el límite más difícil que calcularemos y le dedicaremos una sección.


Utilice nuestra calculadora de derivadas de reglas de producto en línea para diferenciar la función dada según la regla de producto de derivadas. Ingrese una función y envíe para conocer el resultado.

Lo anterior calculadora de derivadas de reglas de producto en línea calcula una derivada de una función dada con respecto a una variable x usando diferenciación analítica. La regla se aplica a las funciones que se expresan como el producto de otras dos funciones.

Regla de productos derivados:
En cálculo, la regla del producto en diferenciación es un método para encontrar la derivada de una función que es la multiplicación de otras dos funciones para las que existen derivadas. Esta regla fue descubierta por Gottfried Leibniz, un matemático alemán. La regla de las derivadas es una consecuencia directa de la diferenciación.

Regla de producto en diferenciación:
La regla del producto de derivadas se aplica para multiplicar más de dos funciones. Un caso especial de la regla del producto es la regla del múltiplo constante, que establece que si c es un número y f (x) es una función diferencial, entonces cf (x) también es diferencial, y su derivada es (cf) '(x ) = cf '(x). La regla para la integración por partes se deriva de la regla del producto. Utilice nuestra calculadora de diferenciación de reglas de producto en línea gratuita que le ayudará dinámicamente a calcular la ecuación diferencial.


Diferenciación de diferencias

La calculadora de diferenciación es capaz de hacer muchos cálculos en línea: calcular en línea la derivada de un diferencia, simplemente escriba la expresión matemática que contiene la diferencia, especifique la variable y aplique la función derivative_calculator.

Por ejemplo, para calcular en línea la derivada de la diferencia de las siguientes funciones `cos (x) -2x`, ingrese derivative_calculator (` cos (x) -2xx`), después de calcular el resultado `-sin (x) -2` regresó.

Cabe señalar que la función también muestra la descripción y los cálculos de pasos de la derivada.


  1. En los dos últimos tutoriales hemos visto ejemplos aplicativos de convoluciones. Una de las convoluciones más importantes es el cálculo de derivadas en una imagen (o una aproximación a ellas).

¿Por qué puede ser importante el cálculo de las derivadas en una imagen? Imaginemos que queremos detectar el bordes presente en la imagen. Por ejemplo:

Puedes notar fácilmente que en un borde, la intensidad de los píxeles cambios de una manera notoria. Una buena forma de expresarse cambios es usando derivados. Un gran cambio de gradiente indica un cambio importante en la imagen.

Para ser más gráfico, supongamos que tenemos una imagen 1D. Un borde se muestra por el "salto" en la intensidad en la siguiente gráfica:

El borde "salto" se puede ver más fácilmente si tomamos la primera derivada (en realidad, aquí aparece como un máximo)

Operador Sobel

  1. El operador de Sobel es un operador de diferenciación discreto. Calcula una aproximación del gradiente de una función de intensidad de imagen.
  2. El operador Sobel combina suavizado y diferenciación gaussianos.

Formulación

Suponiendo que la imagen a operar es (I ):

Calculamos dos derivadas:

  1. Cambios horizontales: Esto se calcula convolucionando (I ) con un kernel (G_) con tamaño impar. Por ejemplo, para un tamaño de kernel de 3, (G_) se calcularía como:
  1. Cambios verticales: Esto se calcula convolucionando (I ) con un kernel (G_) con tamaño impar. Por ejemplo, para un tamaño de kernel de 3, (G_) se calcularía como:

En cada punto de la imagen calculamos una aproximación de la degradado en ese punto combinando ambos resultados anteriores:

Aunque a veces se usa la siguiente ecuación más simple:

Puede consultar más información de esta función en la referencia de OpenCV - Scharr () . Además, en el código de muestra a continuación, notará que encima del código para Sobel () función también hay código para el Scharr () función comentada. Dejar de comentarlo (y obviamente comentar las cosas de Sobel) debería darle una idea de cómo funciona esta función.


Encuentra una ayuda derivada

El comando de diferenciación llevará a cabo una diferenciación ordinaria o parcial en prácticamente cualquier expresión.

De forma predeterminada, el comando diferenciar trata todas las variables de la expresión, además de aquellas por las que está diferenciando, como constantes. Puede diferenciar con respecto a una variable n veces incluyendo una coma y el número n después de la variable en el área de texto de las variables. Por ejemplo, para diferenciar una expresión con respecto a x tres veces, debe ingresar x, 3 en el área de texto de variables.

El comando de diferenciación avanzado le permite diferenciar con respecto a cualquier número de variables, cualquier número de veces. Simplemente ingrese cada variable en una línea separada. Como antes, las derivadas múltiples se indican siguiendo la variable con una coma y un número. El comando de diferenciación avanzada también le permite especificar las dependencias de funciones que aparecen en su expresión. El comando diferenciar maneja dependencias funcionales arbitrarias correctamente usando la regla de la cadena.

Ejemplos de

Comando básico de diferenciación

Expresión Variable (s) Resultado
x ^ 2 X 2 x
x ^ 3 X
5 x ^ 3 - 7 x ^ 2 + 2 x - 1 X
5 x ^ 3 - 7 x ^ 2 + 2 x - 1 x, 2 -14 + 30 x
5 x ^ 3 - 7 x ^ 2 + 2 x - 1 x, 3 30
pecado (t) t costo)
pecado (t) cos (t) t
ln (x) y + 3x ^ 2y ^ 3 X

Opciones (solo página avanzada)

Valores: marcado o no marcado + cadena vacía o lista de funciones con sus dependencias
Predeterminado: sin marcar + cadena vacía

La opción de funciones le permite especificar las dependencias de cualquier función arbitraria que aparezca en la expresión que se está diferenciando.

Por ejemplo, si la expresión contiene una función f que depende de x, entonces debe ingresar f (x) en el área de texto de funciones. La función en sí solo debe denominarse f dentro de la expresión, no f (x), ya que QuickMath no tiene forma de saber si f (x) en una expresión representa una función o el producto f * x.

Las funciones también pueden depender de otras funciones. Por ejemplo, suponga que f depende tanto de x como de y, mientras que xey dependen de t. Entonces entrarías

en el área de texto de funciones, pero haga referencia a las funciones simplemente como f, xey dentro de la expresión misma.

Si usa funciones arbitrarias dentro de su expresión, puede haber derivadas en la respuesta devuelta por QuickMath. Por ejemplo, el término

en una respuesta indica la primera derivada (ordinaria) de la función f con respecto a x, mientras que indica la primera derivada (parcial) de z (x, y) con respecto a x.


Evaluando y = sin -1 x:

Ejemplo 1: Evaluar sin -1 (1/2)

La mayoría de las personas están más familiarizadas (y más cómodas) con las funciones trigonométricas que con sus inversas. Por lo tanto, el primer paso para evaluar esta expresión es decir que si y = sin -1 (1/2), entonces sin y = 1/2. Esta simple función trigonométrica tiene un número infinito de soluciones:

Cinco de estas soluciones están indicadas por líneas verticales en la gráfica de y = sin x a continuación.

Entonces, ¿el valor de sin -1 (1/2) está dado por las expresiones anteriores? ¡No! Es de vital importancia tener en cuenta que la función de seno inverso es una función de un solo valor, uno a uno. Solo una de las infinitas soluciones dadas anteriormente es el resultado que queremos. ¿Cuál? Recuerde que el rango de sen -1 x es, que se indica en azul en la figura anterior. Es De Verdad ¡Es importante conocer el dominio y rango de las funciones trigonométricas inversas! (¿Por qué este intervalo azul está marcado en el eje x si representa el rango de sen -1 x? distancia de la función inversa es igual a la dominio de la función principal.) La única solución de y = sen x que cae dentro del rango requerido es (la línea roja sólida en la figura anterior). Por lo tanto,

Ejemplo 2: ¿Qué es

A la derecha se muestra un diagrama de círculo unitario. Tenga en cuenta que los candidatos para la solución incluyen:

Sin embargo, solo uno de estos valores está en el rango de sin -1 x (), entonces:

La derivada de y = sin -1 x:

La derivada de y = sin -1 x es: (Haga clic aquí para obtener una derivación).

Las gráficas de y = sin -1 x y su derivada se muestran a la derecha. El dominio de y 'es (-1. 1). Dado que y = sen -1 x siempre está aumentando, y '& gt 0 para todo x en su dominio.


Máximos y mínimos de cálculo

Uno de los grandes poderes del cálculo está en la determinación del valor máximo o mínimo de una función. Suponga que f (x) es una función de x. Entonces, el valor de x para el cual la derivada de f (x) con respecto a x es igual a cero corresponde a un máximo, un mínimo o un punto de inflexión de la función f (x).

Por ejemplo, la altura de un proyectil que se dispara hacia arriba viene dada por las ecuaciones de movimiento:

Tomando y0 = 0, a continuación se muestra un gráfico de la altura y (t).

La derivada de una función se puede interpretar geométricamente como la pendiente de la curva de la función matemática y (t) graficada como una función de t. La derivada es positiva cuando una función aumenta hacia un máximo, cero (horizontal) en el máximo y negativa justo después del máximo. La segunda derivada es la tasa de cambio de la derivada, y es negativa para el proceso descrito anteriormente, ya que la primera derivada (pendiente) siempre se hace más pequeña. La segunda derivada es siempre negativa para una "joroba" en la función, correspondiente a un máximo.

Para la función simple utilizada en el ejemplo, solo hay un máximo. Las funciones más complejas pueden tener múltiples máximos y mínimos, y la evaluación de la segunda derivada proporciona una forma de distinguirlos.


Encuentre el valor de dy / dx usando la primera derivada.

Aquí dy / dx representa la pendiente de la recta tangente en cualquier punto. Para encontrar la pendiente de la recta tangente en un punto particular, tenemos que aplicar el punto dado en la pendiente general.

Consideremos el punto dado como (x1, y1)

Aplicando el valor de pendiente en lugar de la variable "m" y aplicando los valores de (x1 , y1) en la fórmula dada a continuación, encontramos la ecuación de la recta tangente.

Veamos algunos problemas de ejemplo para comprender el concepto anterior.

Encuentre la ecuación de la tangente a la parábola y 2 = 12x en el punto (3, -6).

Diferenciar con respecto a "x",

Encuentre la ecuación de la tangente a la parábola x 2 + 2x - 4y + 4 = 0 en el punto (0, 1).

La ecuación de la curva es & # xa0 x 2 & # xa0 + 2x - 4y + 4 & # xa0 = & # xa0 0

Diferenciar con respecto a "x",

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La derivada de tan ^ -1 (sin x / 1 + cos x) w.r.t tan ^ -1 (cos x / 1 + sin x) es

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