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1.1: Preludio a la geometría analítica


En el sistema de coordenadas ((x, y) ) normalmente escribimos el eje (x ) - horizontalmente, con números positivos a la derecha del origen, y el eje (y ) - verticalmente, con números positivos por encima del origen. Es decir, a menos que se indique lo contrario, tomamos "hacia la derecha" como la dirección (x ) - positiva y "hacia arriba" como la dirección (y ) - positiva. En una situación puramente matemática, normalmente elegimos la misma escala para los ejes (x ) - y (y ) -. Por ejemplo, la línea que une el origen con el punto ((a, a) ) forma un ángulo de 45 ({} ^ circ ) con el eje (x ) - (y también con el ( y ) - eje).

En las aplicaciones, a menudo se utilizan letras distintas de (x ) y (y ) y, a menudo, se eligen diferentes escalas en las direcciones horizontal y vertical. Por ejemplo, suponga que deja caer algo desde una ventana y desea estudiar cómo cambia su altura sobre el suelo de un segundo a otro. Es natural dejar que la letra (t ) denote el tiempo (el número de segundos desde que se soltó el objeto) y dejar que la letra (h ) denote la altura. Para cada (t ) (digamos, a intervalos de un segundo) tienes una altura correspondiente (h ). Esta información se puede tabular y luego trazar en el plano de coordenadas ((t, h) ), como se muestra en la figura 1.0.1.

Figura 1.0.1. Una gráfica de datos, altura versus tiempo.
segundos01234
metros8075.160.435.91.6

Usamos la palabra "cuadrante" para cada una de las cuatro regiones en las que el plano está dividido por los ejes: el primer cuadrante es donde los puntos tienen ambas coordenadas positivas, o la parte "noreste" de la gráfica, y el segundo, los cuadrantes tercero y cuarto se cuentan en sentido contrario a las agujas del reloj, por lo que el segundo cuadrante es el noroeste, el tercero es el suroeste y el cuarto es el sureste.

Suponga que tenemos dos puntos (A ) y (B ) en el plano ((x, y) ) -. A menudo queremos saber el cambio en (x ) - coordenada (también llamada "distancia horizontal") al pasar de (A ) a (B ). Esto a menudo se escribe ( Delta x ), donde el significado de ( Delta ) (una delta mayúscula en el alfabeto griego) es "cambio en". (Por lo tanto, ( Delta x ) se puede leer como "cambio en (x )", aunque generalmente se lee como "delta (x )". El punto es que ( Delta x ) denota un solo número, y no debe interpretarse como "delta multiplicado por (x ) ''.) Por ejemplo, si (A = (2,1) ) y (B = (3,3) ), ( Delta x = 3-2 = 1 ). De manera similar, el "cambio en (y )" se escribe ( Delta y ). En nuestro ejemplo, ( Delta y = 3-1 = 2 ), la diferencia entre las coordenadas (y ) de los dos puntos. Es la distancia vertical que tienes que recorrer desde (A ) a (B ). Las fórmulas generales para el cambio en (x ) y el cambio en (y ) entre un punto ((x_1, y_1) ) y un punto ((x_2, y_2) ) son: $$ Delta x = x_2-x_1, qquad qquad Delta y = y_2-y_1. $$ Tenga en cuenta que cualquiera de estos o ambos pueden ser negativos.


Ver el vídeo: INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA (Septiembre 2021).